高校数学「複素数平面」{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}6

高校数学「複素数平面」{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}⁶

■　問題

次の計算をせよ。

{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}⁶


解答解説はこのページ下


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■　解答解説

これもド・モアブルの定理を活用して計算します。

複素数の商

ｚ₁／ｚ₂＝(ｒ₁／ｒ₂){ｃｏｓ(θ₁−θ₂)＋ｉｓｉｎ(θ₁−θ₂)}

この公式を活用する方向でやっていきます。

分子は１＋√３ｉです。まずはこれを極形式で表します。

１＋√３ｉ＝２{１／２＋(√３／２)ｉ}
　　　　＝２{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}

１−ｉも同様にやります。

１−ｉ＝√２(１／√２−ｉ／√２)
　　　＝√２{ｃｏｓ(−π／４)＋ｉｓｉｎ(−π／４)}

というわけで、

(与式)＝[(２／√２){ｃｏｓ(π／３＋π／４)＋ｉｓｉｎ(π／３＋π／４)}]⁶
　　＝[√２{ｃｏｓ(７／１２)π＋ｉｓｉｎ(７／１２)π}]⁶

ここで、ド・モアブルの定理(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)ⁿ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθを使えば、

　　＝８(ｃｏｓ(７／２)π＋ｉｓｉｎ(７／２)π}
　　＝８×(−ｉ)
　　＝−８ｉ


前の問題に戻る→{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8


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