中学数学「２次関数」ｙ＝(１／２)ｘ2と△ＡＯＰ�A

中学数学「２次関数」ｙ＝(１／２)ｘ²と△ＡＯＰ�A

◆問題

座標平面上に曲線ｙ＝(１／２)ｘ²のグラフがあり、この曲線上に点Ａと点Ｐがある。
点ＡとＰのｘ座標をそれぞれ−２，ｐとする。
２点Ａ，Ｐを通る直線ｌを引き、△ＡＯＰをつくる。
このとき、次の問いに答えよ。

(1) ｐ＝４のとき、直線ｌの式を求めよ。

(2) △ＡＯＰの面積が２４になるときのｐの値を求めよ。ただし、ｐ＞０とする。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

(2)では新たな条件となっています。だから、(1)のｐ＝４やｙ＝ｘ＋４は使うことができないことに注意しましょう！
改めてわかっていることを確認してみると、

曲線の式はｙ＝(１／２)ｘ²
座標は、Ａ(−２，２)，Ｐ(ｐ，(１／２)ｐ²)

です。
この条件で、(2)では△ＡＯＰ＝２４が与えられています。

面積がわかっているので、面積の式を作って、イコール２４で方程式を解けばＯＫですね！

いくつか解ける方法はありますが、考え方が最も単純な、△ＡＯＰの頂点を通る長方形を作って、周りの三角形を引く。方法でやっていきます。

まず長方形は、横がｐ−(−２)＝ｐ＋２、縦は(１／２)ｐ²だから、
面積は(１／２)ｐ²(ｐ＋２)＝(１／２)ｐ³＋ｐ²です。
３次式になってしまいましたが、今のところは気にせず、どんどん表します。

まわりの三角形をひとつひとつ表していきます。
左下の三角形は、底辺２，高さ２で、面積＝(１／２)×２×２＝２

右下の三角形は、底辺ｐ，高さ(１／２)ｐ²だから、
面積は(１／２)×ｐ×(１／２)ｐ³＝(１／４)ｐ³

直線ｌの上側の三角形は、底辺ｐ＋２，高さ(１／２)ｐ²−２で、
面積は(１／２)×(ｐ＋２)×{(１／２)ｐ²−２}＝(１／４)(ｐ＋２)(ｐ²−４)＝(１／４)ｐ³＋(１／２)ｐ²−ｐ−２

長方形からこれらの三角形を引けば△ＡＯＰです。

　△ＡＯＰ
＝(１／２)ｐ³＋ｐ²−{２＋(１／４)ｐ³＋(１／４)ｐ³＋(１／２)ｐ²−ｐ−２}
＝(１／２)ｐ³＋ｐ²−{(１／２)ｐ³＋(１／２)ｐ²−ｐ}
＝(１／２)ｐ³＋ｐ²−(１／２)ｐ³−(１／２)ｐ²＋ｐ
＝(１／２)ｐ²＋ｐ

これが△ＡＯＰをｐで表した値で、イコール２４になります。
方程式を解いていきましょう！

(１／２)ｐ²＋ｐ＝２４
ｐ²＋２ｐ＝４８
ｐ²＋４ｐ−４８＝０
ｐ＝{−４±√(１６＋１９２)}／２
　＝(−４±√２０８)／２
　＝(−４±４√１３)／２
　＝−２±２√１３

ｐ＞０なので、ｐ＝−２＋２√１３


(1)に戻る→直線ｌの式


中学数学２次関数まとめ


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