高校数学「複素数平面」|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？

高校数学「複素数平面」|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？

■　問題

複素数平面上の点をｚとするとき、|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？


解答解説はこのページ下


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■　解答解説

|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|

イコールで結ばれているので、もちろん左辺と右辺が等しいことを意味しています。
絶対値の式は、プラスとマイナスの場合があって、そのままでは扱いにくいので２乗してみます。

|ｚ＋２ｉ|²＝(２|ｚ−４ｉ|)²

(ｚ＋２ｉ)(ｚ＋２ｉ)＝４(ｚ−４ｉ)(ｚ−４ｉ)
(ｚ＋２ｉ)(ｚ−２ｉ)＝４(ｚ−４ｉ)(ｚ＋４ｉ)
ｚｚ−２ｉｚ＋２ｉｚ＋４＝４(ｚｚ＋４ｉｚ−４ｉｚ＋１６)
ｚｚ−２ｉｚ＋２ｉｚ＋４＝４ｚｚ＋１６ｉｚ−１６ｉｚ＋６４
−３ｚｚ−１８ｉｚ＋１８ｉｚ−６０＝０
ｚｚ＋６ｉｚ−６ｉｚ＋２０＝０
ｚ(ｚ＋６ｉ)−６ｉ(ｚ＋６ｉ)＋２０−３６＝０
(ｚ−６ｉ)(ｚ＋６ｉ)＝１６
(ｚ−６ｉ)(ｚ−６ｉ)＝１６
よって、|ｚ−６ｉ|²＝１６

|ｚ−６ｉ|≧０だから、|ｚ−６ｉ|＝４

これは、点６ｉからの距離が４を意味しています。
ということは、表す図形は、

「点６ｉを中心とする半径４の円」

ですね！


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