2025年01月17日

本日配信のメルマガ。令和7年共通テスト試作問題数学2BC第7問

本日配信のメルマガでは、令和7年共通テスト試作問題数学2BC第7問の最後までを解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題

令和7年共通テスト試作問題数2BCより

第7問

[1] a,b,c,d,fを実数とし、x,yの方程式

  ax^2+by^2+cx+dy+f=0

について、この方程式が表す座標平面上の図形をコンピュータソフトを用いて表示
させる。ただし、このコンピュータソフトではa,b,c,d,fの値は充分に広い
範囲で変化させられるものとする。

 a,b,c,d,fの値をa=2,b=1,c=−8,d=−4,f=0とすると
図1のように楕円が表示された。

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/shisakum2bc7_1.png

 方程式ax^2+by^2+cx+dy+f=0のa,c,d,fの値は変えずに、
bの値だけをb≧0の範囲で変化させたとき、座標平面上には[ア]。

[ア]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} つねに楕円のみが現れ、円は現れない                |
|{1] 楕円、円が現れ、他の図形は現れない                |
|{2} 楕円、円、放物線が現れ、他の図形は現れない            |
|{3} 楕円、円、双曲線が現れ、他の図形は現れない            |
|{4} 楕円、円、双曲線、放物線が現れ、他の図形は現れない        |
|{5} 楕円、円、双曲線、放物線が現れ、また他の図形が現れることもある  |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


[2] 太郎さんと花子さんは、複素数wを一つ決めて、w,w^2,w^3,…によって
複素数平面上に表されるそれぞれの点A1,A2,A3,…を表示させたときの様子を
コンピュータソフトを用いて観察している。ただし、点wは実軸より上にあると
する。つまり、wの偏角をargwとするとき、w≠0かつ0≦argw<πを
満たすとする。

 図1,図2,図3は、wの値を変えて点A1,A2,A3,…,A20を表示させた
ものである。ただし、観察しやすくするために、図1,図2,図3の間では、
表示範囲を変えている。

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/shisakum2bc7_2.png

┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|太郎:wの値によって、A1からA20までの点の様子もずいぶんいろいろな  |
|   パターンがあるね。あれ、図3は点が20個ないよ。        |
|花子:試しにA30まで表示させても図3は変化しないね。同じところを何度も|
|   通っていくんだと思う。                     |
|太郎:図3に対してA1,A2,A3,…と線分で結んで点をたどってみると  |
|   図4のようになったよ。なるほど、A1に戻ってきているね。     |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/shisakum2bc7_3.png

 図4をもとに、太郎さんは、A1,A2,A3,…と点をとっていって再びA1に
戻る場合に、点を順に線分で結んでできる図形について一般に考えることにした。
すなわち、A1とAnが重なるようなnがあるとき、線分A1A2,A2A3,…,
An-1Anをかいてできる図形について考える。このとき、w=w^nに着目すると
|w|=[イ]であることがわかる。また、次のことが成り立つ。

・1≦k≦n−1に対してAkAk+1=[ウ]であり、つねに一定である。
・2≦k≦n−1に対して∠Ak+1AkAk-1=[エ]であり、つねに一定である。
ただし、∠Ak+1AkAk-1は、線分AkAk+1を線分AkAk-1に重なるまで回転させた
角とする。

 花子さんはn=25のとき、すなわち、A1とA25が重なるとき、A1からA25まで
を順に線分で結んでできる図形が、正多角形になる場合を考えた。このようなwの
値は全部で[オ]個である。また、このような正多角形についてどの場合であっても、
それぞれの正多角形に内接する円上の点をzとすると、zはつねに[カ]を満たす。

[ウ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} |w+1|  {1} |w−1|  {2} |w|+1  {3} |w|−1     |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[エ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} argw  {1} arg(−w)  {2} arg(1/w)        |
|{3} arg(−1/w)                         |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[カ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} |z|=1  {1} |z−w|=1  {2} |z|=|w+1|        |
|{3} |z|=|w−1|  {4} |z−w|=|w+1|  {5} |z−w|=|w−1||
|{6} |z|=|w+1|/2  {7} |z|=|w−1|/2           |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


  平面上の曲線まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/498791268.html

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■ 解説目次

 ◆1 第7問は平面上の曲線と複素数平面
 ◆2 bはyの2乗の係数

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 第7問は平面上の曲線と複素数平面

大多数の大学受験生が受ける「共通テスト」ですが、2025年は大きめの変更が
いくつかありそうです。

数学2Bに関しては、第1問〜第3問が必答、第4問〜第7問のうち3問を選択
となるようです。

今回掲載する第7問は、平面上の曲線と複素数平面です。
以前のカリキュラムでは数学3に含まれていた分野で、現在の高校生も、文系
コースの場合は、この分野は自動的にパスとなっている学校も多いかと思います。

そういう事情がある人の場合は、第6問までが実質的に必答になってしまいます。

理系の人は、数列、ベクトル、確率統計、2次曲線・複素数平面の4つの分野全て
勉強しているはずなので、どれを使うか自分の得意・不得意、好き嫌いも含めて
よく考えて決めておくと良いですね!


詳しい変更点などは

令和7年度 大学入学共通テストQ&A
https://www.dnc.ac.jp/kyotsu/faq.html

こちらをご覧いただくと良いと思います。


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 ◆2 bはyの2乗の係数

では今回の問題です。

ax^2+by^2+cx+dy+f=0

この2次式について考えます。

この「a,b,c,d,fの値をa=2,b=1,c=−8,d=−4,f=0」

とすると、問題の図にもあるように楕円になります。

それぞれの文字に値を入れることで、様々な関数を表すことができる。
という設定です。

そして、最初の設問では、

「方程式ax^2+by^2+cx+dy+f=0のa,c,d,fの値は変えずに、
bの値だけをb≧0の範囲で変化させたとき」

この関数のグラフはどんな可能性があるかを選択肢から選びます。

bはyの2乗の係数なので、b=0のときは、普通の2次関数になってしまいます。
a=2なので、b=2のときは・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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