■ 問題
y=6x2−3xとy=(3/2)x2+aが共有点を持ち、さらにその点においてそれぞれの曲線の接線が等しくなるようなaの値と接線の方程式を求めよ。
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■ 解答解説
y=6x2−3xとy=(3/2)x2+aが共有点を持ち、さらにその点においてそれぞれの曲線の接線が等しくなるようなaの値を全て求めよ。
条件に従って一つ一つわかることを表していきましょう!
共有点における接線が等しくなるので、まずはそれぞれ微分してみます。
y'=12x−3
y'=3x
ですね。
接線が等しいということはもちろん傾きも等しいです。
つまり、y'も等しいはずです。だから、
12x−3=3x
12x−3x=3
9x=3
x=1/3
というわけで、接点のx座標は1/3であることがわかりました。
このときy'は、y'=3・1/3=1だから、接線の傾きは1です。
さらに、y=6x2−3xにx=1/3を代入すると、
y=6・1/9−3・1/3
=2/3−1
=1/3
つまり、接点の座標は(1/3,1/3)です。
これで接線の方程式がわかります。直線の式の公式に傾きと座標を代入すると、
y−1/3=1(x−1/3)
y=x−1/3+1/3
y=x
接点の座標をy=(3/2)x2+aに代入すると、
1/3=(3/2)・1/9+a
1/3=1/6+a
a=1/3−1/6
a=1/6
というわけで、接線の方程式はy=x,aの値は1/6です。
◆関連項目
曲線y=x3+3x2の接線のうち(0,a)を通るもの
微分積分(数学2)まとめ
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ラベル:数学