高校数学「数列」「漸化式」ａnとｂnの置き換えについて

高校数学「数列」「漸化式」ａ_nとｂ_nの置き換えについて


この記事では、ａ_n+1＝３ａ_n−２，ａ₁＝２で表される数列の一般項を求めよ。この問題の、ａ_nをｂ_nに置き換える部分にフォーカスして解説します。


等差と等比の複合のタイプの漸化式の問題では、与えられた式を

ａ_n+1−α＝ｐ(ａ_n−α)

この形にして解くのが標準的です。

こうすれば、ａ_n−α＝ｂ_nとおいて、ｂ_nは等比数列になるので、一般項が表せる。というわけです。


この形にした結果、与式はａ_n+1−１＝３(ａ_n−１)と変形できたとします。

ここで括弧の中身つまり、ａ_n−１＝ｂ_nとおくと、ｂ_nだけの式が作れるし、初項も表せるので最終的には一般項が表せる。という方針です。

ｂ_n＝ａ_n−１とおけば、ｎのところにいろいろな値を入れて、いろいろな項を表すことができます。

例えば、ｎ＝１ならば、ｂ₁＝ａ₁−１ですね。
これでｂ₁すなわち初項がわかります。

この他にも、
ｎ＝２なら、ｂ₂＝ａ₂−１
ｎ＝３なら、ｂ₃＝ａ₃−１
ｎ＝４なら、ｂ₄＝ａ₄−１
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といったかんじで、ｎにあらゆる自然数を入れることができます。
ということは、同様にして、自然数を表す文字を入れることもできます。

ｎ＝ｎ＋１ならば、ｂ_n+1＝ａ_n+1−１

ですね。
これは先ほどのａ_n+1−１＝３(ａ_n−１)の左辺なので、当然、左辺はｂ_n+1に置き換えることができます。
ａ_n+1−１とｂ_n+1が等しいから、−１まで含めて置き換えられるというわけです。

両辺をそれぞれｂ_nで置き換えれば、

ｂ_n+1＝３ｂ_n

となります。


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◆関連項目
漸化式の基本的な方法
数列まとめ

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