高校数学「数列」第ｎ群の数の和 １｜２，３｜４，５，６，７｜８，…

高校数学「数列」第ｎ群の数の和　１｜２，３｜４，５，６，７｜８，…


■　問題

自然数の列を、次のような群に分ける。ただし、第ｎ群には２^n-1個の数が入るものとする。

１｜２，３｜４，５，６，７｜８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５｜１６，…

(1) 第ｎ群の最初の数をｎの式で表せ。

(2) 第ｎ群に入る全ての数の和Ｓを求めよ。


(2)の解答解説はこのページ下


↓この書籍も参考にしてみてください↓
１０秒でわかる！高校数学２Ｂ数列の考え方


■　解答解説

(1)より、第ｎ群の最初の数は、２^n-1であることがわかりました。

もとの数列は自然数の列だから、第ｎ群の数は、初項２^n-1、公差１の等差数列です。

この数列の和が、この問題のＳになります。
第ｎ群には、「２^n-1個の数が入る」ので、項数ｎ＝２^n-1も代入します。

普通に等差数列の公式に代入して計算していきましょう！

Ｓ＝(２^n-1／２){２・２^n-1＋(２^n-1−１)・１}
　＝２^n-2(２・２^n-1＋２^n-1−１)　・・・�@
　＝２^n-2(３・２^n-1−１)　・・・�A

数列の単元は特に、数式の解答は因数分解した形で答えるのが標準的なので、これで完成です！

計算がわかりにくいかも知れないので、少し補足説明をします。

�@のところは、２^n-1／２を２^n-2にしました。
２^n-1は、「２をｎ−１回掛けたもの」で、それを÷２しているので、２をかける回数が１回減ることになります。
つまり、「ｎ−２回掛ける」ので、２^n-2です。

�Aのところは、２・２^n-1＋２^n-1を３・２^n-1にしました。
２・２^n-1は、「２^n-1が２個」を意味しています。
そこにさらに、２^n-1を足したので、合計３個です。
だから、２^n-1が３個で、３・２^n-1です。


(1)に戻る→(1) 第ｎ群の最初の数をｎの式で表せ。


◆関連項目
１｜２，３｜４，５，６｜…の場合
群数列、等比数列
数列まとめ

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