【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2025年共通テスト数１Ａより
第１問
[2] 図１のように、直線ｌ上の点Ａにおいてｌに接する半径２の円を円Ｏとし、
ｌ上の点Ｂにおいてｌに接する半径４の円を円Ｏ'とする。円Ｏと円Ｏ'は２点で
交わるとし、その交点をＰ，Ｑとする。ただし、∠ＡＰＢ＜∠ＡＱＢとする。
さらに、∠ＰＡＢは鋭角であるとする。このとき、△ＰＡＢと△ＱＡＢについて
考えよう。
図はこちら→http://www.a-ema.com/img/2025math1a_1_2.png
(1) ∠ＰＡＢ＝α，∠ＰＢＡ＝βとおく。
円Ｏの中心Ｏから直線ＰＡに引いた垂線と直線ＰＡとの交点をＨとする。
∠ＯＡＢ＝９０°であるから、∠ＡＯＨ＝αである。よって、△ＯＡＨに着目
すると、ＡＨ＝[コ]ｓｉｎαであるから
ＰＡ＝２ＡＨ＝[サ]ｓｉｎα ……{1}
である。
同様にして、円Ｏ'の中心Ｏ'から直線ＰＢに引いた垂線と直線ＰＢとの交点を
Ｈ'とすると
ＰＢ＝２ＢＨ'＝[シ]ｓｉｎβ ……{2}
であることもわかる。
また、△ＰＡＢの外接円の半径をＲ1とおくと、正弦定理により
ＰＡ／ｓｉｎ[ス]＝ＰＢ／ｓｉｎ[セ]＝２Ｒ1
が成り立つので
ＰＡｓｉｎ[セ]＝ＰＢｓｉｎ[ス]
である。この式に{1}と{2}を代入することにより
ｓｉｎ[セ]＝√[ソ]・ｓｉｎ[ス]
ＰＢ＝√[ソ]・ＰＡ
となることがわかる。さらに
Ｒ1＝[タ]√[チ]
が得られる。
[ス]，[セ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} α {1} β ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 太郎さんと花子さんは(1)の考察を振り返っている。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎：△ＱＡＢの外接円の半径も求められるかな。 ｜
｜花子：(1)のＲ1の求め方を参考にすればよさそうだね。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
図1はこちら(再掲)→http://www.a-ema.com/img/2025math1a_1_2.png
△ＰＡＢ，△ＱＡＢの外接円の半径をそれぞれＲ1，Ｒ2とおく。このとき、
Ｒ1[ツ]Ｒ2である。さらに、ｓｉｎ∠ＡＰＢ[テ]ｓｉｎ∠ＡＱＢであることも
わかる。
[ツ]，[テ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ＜ {1} ＝ {2} ＞ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) 太郎さんと花子さんは、これまでの考察をもとに、△ＰＡＢと△ＱＡＢの辺の
長さについて考えている。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎：ＡＢの長さが与えられれば、ＰＡとＱＡの長さが求められそうだね。
｜花子：∠ＡＰＢ＜∠ＡＱＢに注意して求めてみようよ。
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
ＡＢ＝２√７とする。このとき
ｓｉｎ∠ＡＰＢ＝√[トナ]／[ニ]
である。(1)より、ＰＢ＝√[ソ]・ＰＡであるから
ＰＡ＝√[ソネ]
である。
同様にＱＡ＝√７であることがわかる。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 第１問[2]は三角比
◆２ 三角比は直角三角形の辺の比
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第１問[2]は三角比
2025年共通テスト数学１Ａ[2]は、三角比の問題でした。
今回の問題では、主に三角比の値、正弦定理が問われています。
三角比の値：
ｓｉｎθ＝ｙ／ｒ
ｃｏｓθ＝ｘ／ｒ
ｔａｎθ＝ｙ／ｘ
正弦定理：ａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ＝ｃ／ｓｉｎＣ＝２Ｒ
これらの公式の意味や使い方は確実にわかるようにしておきましょう！
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三角比まとめ → http://a-ema.seesaa.net/article/478799685.html
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◆２ 三角比は直角三角形の辺の比
それでは最初の設問です。
２つの円とその接線があり、ＰＡ，ＰＢ，ＱＡ，ＱＢを結んであります。
そして、「∠ＰＡＢ＝α，∠ＰＢＡ＝β」とおいて、
「Ｏから直線ＰＡに引いた垂線と直線ＰＡとの交点をＨ」としています。
接線と接点に引いた半径は垂直に交わるので、「∠ＯＡＢ＝９０°」です。
すると、∠ＡＯＨ＝αであることがわかります。これは高校入試レベルの三角形の
合同や相似の証明でよく出てくる事柄で・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
