■ 問題
ある自然数Ｎは５進法で表すと３桁の自然数ａｂｃ，７進法で表すと３桁の自然数ｃｂａとなる。
Ｎを１０進法で表せ。
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■ 解答解説
まずは、５進法で表した場合と、７進法で表した場合をそれぞれ１０進法の数で表します。
５進法でａｂｃというのは、ａが５の２乗の位、ｂが５の１乗の位、ｃが５の０乗の位だから、
ａ×５2＋ｂ×５1＋ｃ×５0
＝２５ａ＋５ｂ＋ｃ
７進法でも同様にして、
ｃ×７2＋ｂ×７＋ａ
＝４９ｃ＋７ｂ＋ａ
これらはどちらも同じ自然数Ｎだから、
２５ａ＋５ｂ＋ｃ＝４９ｃ＋７ｂ＋ａ
移項すると、
２４ａ－２ｂ－４８ｃ＝０
１２ａ－ｂ－２４ｃ＝０
ａ，ｂ，ｃは全て０～４の整数で、別々の文字ということは、数値も別々の値になると推定できます。
式をよく見てみると・・・
ｂ＝０とすれば、ａがｃの２倍のとき、この等式が成り立つことがわかりますね。
０～４の整数でこの関係が成り立つのは、
ａ＝２，ｂ＝０，ｃ＝１の場合と、ａ＝４，ｂ＝０，ｃ＝２の場合です。
ａ＝２，ｂ＝０，ｃ＝１のとき、２０１(5)だから、
Ｎ＝２×５2＋０＋１＝５０＋１＝５１
ａ＝４，ｂ＝０，ｃ＝２のとき、４０２(5)だから、
Ｎ＝４×５2＋０＋２＝１０２
◆関連項目
２進数→１０進数
ｎ進法
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