■ 問題
３種類の数字０，１，２を用いて表される自然数を次のように小さい順に並べる。
１，２，１０，１１，１２，２０，２１，２２，１００，１０１，１０２，１１０，１１１，……
(1) ２１０番目の数を求めよ。
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■ 解答解説
０，１，２の３種類の数字のみで表される数なので、要するに３進数の数とみなしてもよいですし、数列の考えを使っても良いですが、この記事ではそれらは使わず解説してみます。
この問題では、ゼロは含まないので、１桁の数は、３－１＝２個。
２桁以上の場合も、一番上の位はゼロにならないので、１か２ですね。
それ以外の位は３通りずつの選び方ができます。
というわけで、
２桁の数は、２×３＝６個
３桁の数は、２×３2＝１８個
４桁の数は、２×３3＝５４個
５桁の数は、２×３4＝１６２個
この時点で２１０個を超えました。
つまり、２１０番目の数は５桁の自然数です。
４桁までに、２＋６＋１８＋５４＝８０個の数があるので、５桁の数の最初は８１番目です。
２１０番目の数は、２１０－８１＋１＝１３０つまり、５桁の数の１３０番目ですね。
５桁の数のうち、一番上の位が１の数は、３4＝８１個あります。
つまり、１●●●●となる数が８１個です。
ということは、２１０番目の数の一番上の位は２であるとわかります。
続いて上２桁について考えます。
２０●●●となる数は、３3＝２７個あります。
２１●●●となる数も、２７個あります。
この時点で、８１＋２７＋２７＝１３５個あるので、２１２２２は２１５番目ですね。
２１０番目は、それより６個前です。
ここから６個戻って、「２１２１０」がこの自然数の２１０番目の数になります。
次の問題→２０１２は何番目か？
◆関連項目
３桁の整数の数、２進数→１０進数
ｎ進法
場合の数・確率
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ラベル：数学
