【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2025年共通テスト数２ＢＣより
第１問
(1) ０≦θ＜πのとき、方程式
ｓｉｎ(θ＋π／６)＝ｓｉｎ２θ ……{1}
の解を求めよう。以下では、α＝θ＋π／６，β＝２θとおく。このとき{1}は
ｓｉｎα＝ｓｉｎβ ……{2}
となる。
(i) ２つの一般角αとβが等しければ、ｓｉｎαとｓｉｎβは等しい。α＝βを
満たすθはπ／[ア]であり、これは{1}の解の１つである。そして、θ＝π／[ア]の
とき
ｓｉｎ(θ＋π／６)＝ｓｉｎ２θ＝√[イ]／[ウ]
となる。
(ii) 太郎さんと花子さんは、θ＝π／[ア]以外の{1}の解を求める方法について
話している。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎：角が等しくなくても、サインの値が等しくなることがあるね。 ｜
｜花子：サインの値が等しくなるのはどんなときか、単位円を用いて考えて ｜
｜ みようか。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
Ｏを原点とする座標平面において、中心がＯで、半径が１の円をＣとする。
さらに、αの動径とＣとの交点をＰ，βの動径とＣとの交点をＱとする。ここで、
動径はＯを中心とし、その始線はｘ軸の正の部分とする。
参考図→http://www.a-ema.com/img/2025math2bc_1.png
{2}が成り立つときに、点Ｐと点Ｑの間につねに成り立つ関係の記述として、次の
{0}〜{3}のうち、正しいものは[エ]である。
[エ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 点Ｐと点Ｑは同じ点である。 ｜
｜{1} 点Ｐのｘ座標と、点Ｑのｘ座標が等しい。 ｜
｜{2} 点Ｐのｙ座標と、点Ｑのｙ座標が等しい。 ｜
｜{3} 点Ｐと点Ｑは、原点Ｏに関して対称である。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(iii) θ≠π／[ア]とする。
・０≦θ≦π／２の場合を考える。このとき、０≦β≦πであるので、{2}が成り
立つとき、(ii)で考察したことに注意すると、αとβは
α＋β＝[オ]
を満たすことがわかる。これより、０≦θ≦π／２のときの{1}の解
θ＝([カ]／[キク])π
を得る。
・π／２＜θ＜πの場合を考える。このとき、π＜β＜２πであるので、{2}が成り
立つとき、(ii)で考察したことに注意すると、αとβは
α＋β＝[ケ]
を満たすことがわかる。これより、π／２＜θ＜πのときの{1}の解
θ＝([コサ]／[シス])π
を得る。
以上より、０≦θ＜πのとき、{1}の解は
θ＝π／[ア]，([カ]／[キク])π，([コサ]／[シス])π
である。
[オ]，[ケ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０ {1} π／２ {2} π {3} (３／２)π ｜
｜{4} ２π {5} (５／２)π {6} ３π {7} (７／２)π ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) ０≦θ＜πのとき、方程式
ｃｏｓ(θ＋π／６)＝ｃｏｓ２θ
の解は
θ＝π／[セ]，([ソタ]／[チツ])π
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
三角関数まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/478360103.html
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■ 解説目次
◆１ 第１問は三角関数
◆２ α＝βで計算
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第１問は三角関数
2025年共通テスト数学２ＢＣ第１問では、三角関数の問題が出題されました。
三角方程式が主なポイントの問題となっています。
今回の問題に限らず、三角関数の単元は様々な要素の複合となることが多いです。
三角関数の値、相互関係、加法定理、２倍角の公式、三角関数の合成
２次方程式、２次不等式、２次関数との複合
などなど。
こういった点もブログでいろいろ解説していますので、おさらいに活用して
ください。
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◆２ α＝βで計算
では今回の問題です。
(1) ０≦θ＜πのとき、方程式
ｓｉｎ(θ＋π／６)＝ｓｉｎ２θ ……{1}
の解を求めよう。以下では、α＝θ＋π／６，β＝２θとおく。このとき{1}は
ｓｉｎα＝ｓｉｎβ ……{2}
となる。
このような条件で、まずは「α＝β」を満たすθの値を求めます。
α＝βだから、θ＋π／６＝２θですね。
普通に解きましょう！
θ＋π／６＝２θ
θ−２θ＝−π／６
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
