【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
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■ 問題
2025年共通テスト数１Ａより
第２問
[1] 花子さんと太郎さんは、公園にある２つの小さな噴水と１つの大きな噴水の
高さについて話している。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜花子：あの中央の大きな噴水の高さは何メートルだろう。 ｜
｜太郎：実際に高さを測定するのは難しそうだね。噴水の水が描く曲線は、放物線｜
｜ になると聞いたことがあるよ。 ｜
｜花子：じゃあ、放物線と仮定して、およその高さを考えてみよう。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
参考図→http://www.a-ema.com/img/2025math1a_2s.png
花子さんと太郎さんは、噴水の高さについて次のように考えることにした。
噴水の水が描く曲線は３つとも放物線とする。３つの噴水の水が出る位置は水平な
地面にある。図１のように座標軸が定められた平面上に、３つの噴水を正面から見た
図をかく。左右の小さな噴水の水がえがく放物線については後の[仮定１]を、中央の
大きな噴水の水がえがく放物線については後の[仮定２]を設定する。図１のＰ1，Ｐ2
Ｐ3は噴水の水が出る位置である。なお、長さの単位はメートルであるが、以下では
省略する。
図１→http://www.a-ema.com/img/2025math1a_21.png
┌―[仮定１]―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜・左側の小さな噴水の水が描く放物線Ｃ1は、ｘ軸上の点Ｐ1(−５／２，０)から｜
｜ 出て点(１／２，０)に至る。 ｜
｜・右側の小さな噴水の水が描く放物線Ｃ3は、ｘ軸上の点Ｐ3(５／２，０)から ｜
｜ 出て点(−１／２，０)に至る。 ｜
｜・Ｃ1とＣ3はともに点(０，１)を通る。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
┌―[仮定２]―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 中央の大きな噴水の水が描く放物線Ｃ2は、ｘ軸上の点Ｐ(３／２，０)から出 ｜
｜てＣ3の頂点とＣ1の頂点を通る。 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
図１(再掲)→http://www.a-ema.com/img/2025math1a_21.png
(1) [仮定１]と[仮定2]のもとで考える。Ｃ1をグラフにもつ２次関数を
ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃとする。このときｃ＝[ア]であり、また
ｙ＝−([イ]／[ウ])ｘ^2−([エ]／[オ])ｘ＋[ア]
である。
Ｃ1の頂点のｙ座標は[カ]／[キ]である。このことを用いると、Ｃ2の頂点の
ｙ座標は[クケ]／[コサ]であることがわかる。
したがって、大きな噴水の高さは、小さな噴水の高さの[シ]である。
[シ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} およそ２倍 {1} およそ３倍 {2} およそ４倍 {3] およそ５倍 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
つづく
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□や太字は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆１ 第２問[1]は２次関数
◆２ ｙ軸上の点を入れるとｃ
◆３ 代入してａ，ｂの連立方程式
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第２問[1]は２次関数
2025年第２問[1]は２次関数でした。
噴水を放物線に見立てて、その高さ等を求めていこうという問題です。
設定となる文章が長いですが、座標がいろいろ書いてありますし、参考図も示して
あるので、とにかく普通に２次関数の問題として言っている通りにやればＯＫです。
基本的な２次関数の扱いが怪しい人は、次のブログ記事も参考にしてください。
座標や式の求め方、最大最小、２次方程式、２次不等式との関係など、数学１の
２次関数の様々な論点を掲載しています。
↓２次関数まとめ記事↓
http://a-ema.seesaa.net/article/478441371.html
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◆２ ｙ軸上の点を入れるとｃ
では早速問題を解いていきます。
[仮定１]から、小さい噴水のＣ1，Ｃ3の通る点の座標がわかります。
要するに、Ｃ1は(−５／２，０)，(１／２，０)と(０，１)の３点を通ります。
ｙ軸上の点(０，１)を与式に代入すると、ｃの値がわかりますね！
ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃに(０，１)を代入すると、
１＝０＋０＋ｃ
ｃ＝１
よって、[ア]＝１
わかっている人も多いと思いますが、ｘ＝０を代入するとｘを含む項は全て消えて
しまうので、定数項のみが残り、扱いやすい数値を求めることができます。
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◆３ 代入してａ，ｂの連立方程式
さらに残りの点の座標も入れてみましょう！
(−５／２，０)を入れると、
０＝ａ(−５／２)^2＋ｂ(−５／２)＋１
０＝(２５／４)ａ−(５／２)ｂ＋１
０＝２５ａ−１０ｂ＋４
(１／２，０)を入れると
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
