■問題
２次不等式|ｘ2＋６ｘ＋８|＜４ｘ＋１１を解け。
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■解答解説
絶対値のついた式を解く場合、通常は、絶対値の中身がプラスの場合とマイナスの場合で分けます。
今回の式は
|ｘ2＋６ｘ＋８|＜４ｘ＋１１
これなので、ｘ2＋６ｘ＋８がプラスの場合とマイナスの場合で分けます。
ｘ2＋６ｘ＋８＝(ｘ＋２)(ｘ＋４)だから、ｘ≦－４，ｘ≧－２のときプラス、－４＜ｘ＜－２のときマイナスですね。
だから、これらの区間で場合分けをします。
(i) ｘ≦－４，ｘ≧－２のとき
ｘ2＋６ｘ＋８＜４ｘ＋１１
ｘ2＋２ｘ－３＜０
(ｘ＋３)(ｘ－１)＜０
よって、－３＜ｘ＜１
ｘ≦－４，ｘ≧－２だから、－２≦ｘ＜１
(ii) －４＜ｘ＜－２のとき
－(ｘ2＋６ｘ＋８)＜４ｘ＋１１
ｘ2＋６ｘ＋８＞－４ｘ－１１
ｘ2＋１０ｘ＋１９＞０
整数では因数分解できないので、解の公式を使います。
ｘ＝{－１０±√(１００－４×１×１９)}／２
＝{－１０±√(１００－７６)}／２
＝(－１０±√２４)／２
＝(－１０±２√６)／２
＝－５±√６
つまり、ｘ＜－５－√６，ｘ＞－５＋√６
－４＜ｘ＜－２だから、－５＋√６＜ｘ＜－２
(i)と(ii)をまとめると、－５＋√６＜ｘ＜１
今回の問題のように、場合分けして解いた場合でも、その結果連続している範囲になったときは、ひとつにまとめて答えます。
◆関連項目
基本的な２次不等式の計算
２次関数まとめ
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ラベル：数学
