高校数学「整数の性質」ｎと３６の最小公倍数が３６０

高校数学「整数の性質」ｎと３６の最小公倍数が３６０

■　問題

ｎを正の整数とする。次のようなｎを全て求めよ。

(1) ｎと３６の最小公倍数が３６０


↓解答解説はお知らせの下に↓


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■　解答解説

最小公倍数は、全ての数に含まれている因数が入っている数。ということができます。
だから、まずは３６と３６０それぞれを素因数分解します。

２）３６
――――
２）１８
――――
３）　９
――――
　　　３

つまり、３６＝２²×３²です。

２）３６０
―――――
２）１８０
―――――
２）　９０
―――――
３）　４５
―――――
３）　１５
―――――
　　　　５

つまり、３６０＝２³×３²×５です。
３６０には２が３個、３が２個、５が１個入っています。

ということは、３６とｎの少なくとも片方に、２は３個、３は２個、５は１個入っている。といえます。

３６には３は２個入っているので、３はすでに３６の方で足りています。
ｎの方には、２が３個、５が１個入っている必要があります。ｎの方には３は入っていても入っていなくても大丈夫です。

つまり、「ｎ＝２³×５×３^□」ですね！

ｎに含むことができる３は、０個か１個か２個です。
３個以上になると最小公倍数が変わってしまうので、最大で２個です。

というわけで、求めるｎの値は、

２³×５×３⁰＝８×５×１＝４０
２³×５×３¹＝４０×３＝１２０
２³×５×３²＝４０×９＝３６０

以上の３つの数となります。


次の問題→ｎと４０の公倍数が１４００


◆関連項目
整数の性質等まとめ


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