◆問題
母集団から大きさ２５００の標本を抽出し、変量ｘの値を調べたところ、標本平均が５０．５で標準偏差が５．０であった。ｘの母平均ｍを信頼度９５％で推定せよ。
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◆解答解説
大きさ２５００の標本は充分に大きいとみなします。充分に大きければ、標準化すれば正規分布に当てはまる。と考えられます。
つまり、「母標準偏差＝標本標準偏差」として、標本平均Ｘは正規分布Ｎ(ｍ，５．０2／２５００)に従うと考えます。
Ｘを標準化すると、
Ｚ＝(Ｘ－ｍ)／σ(ｘ)
＝(Ｘ－ｍ)／(５．０／５０)
＝(Ｘ－ｍ)／(０．１)
信頼度９５％の信頼区間は、正規分布表の－１．９６から１．９６の範囲になるので
Ｐ(|Ｚ|≦１．９６)＝０．９５
これを満たすようなｍの値を求めれば良い。というわけです。
つまり、
－１．９６≦(Ｘ－ｍ)／(０．１)≦１．９６
－１．９６・０．１≦(Ｘ－ｍ)≦１．９６・０．１
－Ｘ－０．１９６≦－ｍ≦－Ｘ＋０．１９６
Ｘ＝５０．５を代入して、両辺の符号を変えると、
５０．５－０．１９６≦ｍ≦５０．５＋０．１９６
よって、５０．３０４≦ｍ≦５０．６９６
あとは、問題の指示によりますが、例えば小数第２位を四捨五入すると、
[５０．３，５０．７]
となります。
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◆確率統計まとめ
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ラベル：数学
