【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2025年共通テスト数１Ａより
第３問
６点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆを頂点とし、三角形ＡＢＣとＤＥＦ、および四角形
ＡＢＥＤ，ＡＣＦＤ，ＢＣＦＥを面とする五面体がある。ただし、直線ＡＤとＢＥは
平行でないとする。
以下では、例えば、面ＡＢＣを含む平面を平面ＡＢＣ，面ＡＢＥＤを含む平面を
平面ＡＢＥＤ，などということにする。
参考図→http://www.a-ema.com/img/2025math1a_3.png
(1) ３直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは１点で交わる。これを証明しよう。
直線ＡＤとＢＥは平面ＡＢＥＤ上にあり、平行でないので１点で交わる。その
交点をＰとする。
点Ｐは直線ＡＤ上にあり、直線ＡＤは平面ＡＢＥＤと平面[ア]との交線である
から、点は平面[ア]上にあることがわかる。
また、点Ｐは直線ＢＥ上にあり、直線ＢＥは平面ＡＢＥＤと平面[イ]との交線で
あるから、点Ｐは平面[イ]上にあることがわかる。
平面[ア]と平面[イ]との交線は直線ＣＦであるから、点Ｐは直線ＣＦ上にもある
ことがわかる。したがって、3直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは点Ｐで交わる。
[ア]，[イ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ＡＢＣ {1} ＤＥＦ {2} ＡＣＦＤ {3} ＢＣＦＥ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 五面体において、面ＡＢＣは一辺の長さが３の正三角形であり
ＡＤ＝７，ＢＥ＝１１，ＣＦ＝１７，ＤＥ＝９
であるとする。また、６点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆはある一つの球面上にあるとし、
その球面をＳとする。直線ＡＤとＢＥの交点をＰとする。
(i) 平面ＡＢＥＤと球面Ｓが交わる部分は円であり, ４点Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｄはその
円周上にある。このことから、三角形ＰＡＢとＰＥＤは相似であることがわかり、
その相似比は１：[ウ]である。したがって
[ウ]・ＰＡ＝ＰＢ＋[エオ]
[ウ]・ＰＢ＝ＰＡ＋[カ]
が成り立つ。よって
ＰＡ＝[キ]，ＰＢ＝[ク]
となる。
参考図(再掲)→http://www.a-ema.com/img/2025math1a_3.png
(ii) 平面ＢＣＦＥと球面Ｓが交わる部分に着目すると、方べきの定理より
ＰＣ＝[ケ]
となる。したがって
ＥＦ＝[コサ]，ＤＦ＝[シス]
となる。
(iii) ∠ＡＤＥ，∠ＡＤＦ，∠ＥＤＦの大きさに着目すると、次の命題 (a),
(b), (C)の真偽の組合せとして正しいものは[セ]であることがわかる。
(a) 平面ＡＢＥＤと平面ＤＥＦは垂直である。
(b) 直線ＤＥは平面ＡＣＦＤに垂直である。
(c) 直線ＡＣと直線ＤＥは垂直である。
[セ]の解答群
┌――┬――┬――┬――┬――┬――┬――┬――┐
｜{０}｜{１}｜{２}｜{３}｜{４}｜{５}｜{６}｜{７}｜
┌――┼――┼――┼――┼――┼――┼――┼――┼――┤
｜(ａ)｜ 真 ｜ 真 ｜ 真 ｜ 真 ｜ 偽 ｜ 偽 ｜ 偽 ｜ 偽 ｜
｜(ｂ)｜ 真 ｜ 真 ｜ 偽 ｜ 偽 ｜ 真 ｜ 真 ｜ 偽 ｜ 偽 ｜
｜(ｃ)｜ 真 ｜ 偽 ｜ 真 ｜ 偽 ｜ 真 ｜ 偽 ｜ 真 ｜ 偽 ｜
└――┴――┴――┴――┴――┴――┴――┴――┴――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□や太字は[ ]で表記して
います。
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■ 解説目次
◆１ 第３問は図形の性質
◆２ 交線は面と面が交わってできる線
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第３問は図形の性質
2025年第３問は図形の性質の問題でした。
図形の性質は、小学校や中学校の範囲も含んで、様々なものがあるので、ここで
全てに触れることはできませんが、
平行、垂直、相似
中学の範囲のこれら３つは、どんな図形の問題でも使うと考えて良いと思います。
・円と接線
・円に内接する四角形
・三角形の重心、内心、外心
・方べきの定理
・メネラウスの定理・チェバの定理
高校の内容でよく問われるのはこのあたりでしょうか。
皆さんは、これらの用語を見て、「アレだな！」と思い出すことができましたか？
もし怪しい場合は、教科書や参考書などを見て、再確認しておくことをおすすめ
します！
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◆２ 交線は面と面が交わってできる線
では今回の問題です。
(1)では、「３直線ＡＤ，ＢＥ，ＣＦは１点で交わる」ことを証明します。
問題文の内容を確認していきましょう！
「直線ＡＤとＢＥは平面ＡＢＥＤ上にあり、平行でないので１点で交わる」
同一平面上にある２本の直線は、平行でなければ必ずどこかで交わります。
その通りです！
「点Ｐは直線ＡＤ上にあり、直線ＡＤは平面ＡＢＥＤと平面[ア]との交線である」
交線は面と面が交わっている線のことだから・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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ラベル：数学
