◆問題
原点をＯとする座標平面上の２次関数ｙ＝ａｘ2のグラフは点Ａ(４，２)を通っている。ｙ軸上に点ＢをＡＢ＝ＯＢとなるようにとる。このとき、次の問いに答えよ。
(1) 点Ｂの座標を求めよ。
(2) ∠ＯＢＡの二等分線の式を求めよ。
(3) ｙ＝ａｘ2上に点Ｃをとり、ひし形ＯＣＡＤをつくる。点Ｃのｘ座標をｔとするとき、ｔの値を求めよ。
なお、今回の問題は中学レベルとしてはとても難しいです。
自信がない人は、中学数学２次関数まとめなどで、まずは基本問題の復習をしましょう！
◆解答解説
ひし形ＯＣＡＤなので、Ｏ→Ｃ→Ａ→Ｄ→Ｏの順に１周するように４つの点が並びます。
ということは、ＣはＯとＡの間になければいけません。
また、ひし形は４つの辺が全て等しい四角形だから、ＯＣ＝ＯＡです。
ということは、△ＯＣＡと△ＡＤＯは二等辺三角形になります。
(2)で、∠ＯＢＡの二等分線を考えましたが、これはＯＡの垂直二等分線でもあるので、ひし形ＯＣＡＤの対角線と重なります。
つまり、Ｃ，Ｄはこの∠ＯＢＡの二等分線上にある。ということができます。
線上にある点の座標は代入できるので、(2)で求めた式ｙ＝－２ｘ＋５に、点Ｃの座標を代入できる。と考えられます。
Ｃのｘ座標はｔで、(1)よりａ＝１／８だから、ｙ＝(１／８)ｔ2ですね。
つまりＣ(ｔ，(１／８)ｔ2)です。
これをｙ＝－２ｘ＋５に代入して、
(１／８)ｔ2＝－２ｔ＋５
２次方程式ができたので、あとは解きます！
ｔ2＝－１６ｔ＋４０
ｔ2＋１６ｔ－４０＝０
ｔ＝[－１６±√{１６2－４・１・(－４０)}]／２
＝{－１６±√(２５６＋１６０)／２
＝(－１６±√４１６)／２
＝(－１６±４√２６)／２
＝－８±２√２６
ＣはＯとＡの間だから、０＜ｔ＜４なので、ｔ＝－８＋２√２６
(1)に戻る→点Ｂの座標
中学数学２次関数まとめ
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