高校数学「複素数平面」(１＋√３ｉ)12の計算

高校数学「複素数平面」(１＋√３ｉ)¹²の計算

■問題

(１＋√３ｉ)¹²を計算せよ。


複素数の何乗もしている場合の計算では、ド・モアブルの定理を使います。

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■解説

ド・モアブルの定理とは、

ｎが整数のとき、(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

という定理です。

つまりは、複素数をｎ乗すると、偏角をｎ倍することになる。というわけです。

この定理を使うには、まずは極形式に直します。

ｒ＝√(１²＋√３²)＝√４＝２だから、
１＋√３ｉ＝２{１／２＋(√３／２)ｉ}
　　　　＝２{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}

与式のカッコの中身を変形できたので、あとはド・モアブルの定理を使います。

　(１＋√３ｉ)¹²
＝２¹²{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}¹²
＝４０９６(ｃｏｓ４π＋ｉｓｉｎ４π)
＝４０９６

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