■問題
点Ａ(α)，点Ｂ(β)，点Ｃ(γ)を頂点とする正三角形ＡＢＣがある。α＝１＋２ｉ，β＝７＋４ｉのとき、γを求めよ。
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■解説
点ｚを点ｚ0のまわりにθだけ回転した点をｗとすると、
ｗ－ｚ0＝(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)(ｚ－ｚ0)
という式が成り立ちます。
これを利用すると、γを表すことができますね。
例えばＡを中心とすると、Ｂを６０°＝π／３だけ回転した点がＣということができます。
つまり、
γ－α＝{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}(β－α)
です。α，βの値を代入して計算してみましょう！
γ＝{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}(β－α)＋α
＝(１／２＋ｉ・√３／２)(７＋４ｉ－１－２ｉ)＋１＋２ｉ
＝(１／２＋ｉ・√３／２)(６＋２ｉ)＋１＋２ｉ
＝３＋ｉ＋３√３ｉ＋√３ｉ2＋１＋２ｉ
＝４－√３＋３ｉ＋３√３ｉ
＝(４－√３)＋(３＋３√３)ｉ
回転方向は逆でも正三角形になるので、－π／３の場合も同様にやります。
γ＝{ｃｏｓ(－π／３)＋ｉｓｉｎ(－π／３)}(β－α)＋α
＝(１／２－ｉ・√３／２)(６＋２ｉ)＋１＋２ｉ
＝３＋ｉ－３√３ｉ＋√３＋１＋２ｉ
＝４＋√３＋３ｉ－３√３ｉ
＝(４＋√３)＋(３－３√３)ｉ
というわけで、求める値は、
γ＝(４－√３)＋(３＋３√３)ｉ，(４＋√３)＋(３－３√３)ｉ
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ラベル：数学
