高校数学「因数定理」ｘ3＋２ｘ2−２ｘ＋３はｘ＋３を因数にもつか？

高校数学「因数定理」ｘ³＋２ｘ²−２ｘ＋３はｘ＋３を因数にもつか？

◆問題

Ｐ(ｘ)＝ｘ³＋２ｘ²−２ｘ＋３が、ｘ＋３を因数にもつかどうか調べよ。因数にもつ場合は因数分解せよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

１次式を因数にもつかどうかは、因数定理で簡単に調べることができますね。

Ｐ(ａ)＝０のとき、ｘ−ａを因数にもつ

今回はｘ＋３を因数にもつかどうかを調べたいので、Ｐ(−３)を計算します。

Ｐ(−３)＝(−３)³＋２(−３)²−２×(−３)＋３
　　　＝−２７＋１８＋６＋３
　　　＝０

ゼロになったので、ｘ＋３は因数です。

そしてその場合は「因数分解せよ。」と言っているので、因数分解します。３次式の因数分解をするときは、まずはその因数でＰ(ｘ)を割ります。

もちろん普通に割り算で良いですが、ここでは組み立て除法で記載してみます。

まずはｘ＋３で割るので、左に−３，あとは係数を並べて書きます。

−３｜１　２　−２　３


続いて、一番上のくらいの係数をそのまま下ろして、「隣の位に掛けて足す」ことを次々とやっていきます。


−３｜１　２　−２　３
　　　　−３　　３−３
―――――――――――
　　　１−１　　１　０

というわけで、割った結果は、ｘ²−ｘ＋１、余りゼロです。
だから因数分解した結果は、

Ｐ(ｘ)＝(ｘ＋３)(ｘ²−ｘ＋１)

カッコの中は２次式ですが、「複素数の範囲で因数分解せよ」などと言われていなければ、コレで終わりです。

◆関連項目
３次方程式ｘ³＋ａｘ²−ｘ−６＝０の解の１つが２のとき
因数定理・高次方程式まとめ


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