■ 問題
ｌｉｍ[x→0]{(ｓｉｎｘ)／(ｘ＋ｔａｎｘ)}の極限を調べよ。
こういったちょっと複雑な式でも、サインの極限を求めるときは、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を使えるようにします。
公式はコレです→
解答解説はこのページ下です。
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１０秒でわかる高校数学３「微分」基本問題の考え方
■ 解答解説
ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１が使えるようにするためには、ｓｉｎ３ｘ／ｘの極限と同様のことをするのが基本的な方針です。
今回の問題では、その問題よりも、もう少し式が複雑なので、まずはｔａｎｘ＝ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘを使って変形していきます。
ｓｉｎｘ／(ｘ＋ｔａｎｘ)
＝ｓｉｎｘ／(ｘ＋ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘ)
＝ｓｉｎｘ／(ｘ＋ｓｉｎｘ・１／ｃｏｓｘ)
ｓｉｎｘ／ｘの形をつくるために、分子と分母をｘで割ります。
＝(ｓｉｎｘ／ｘ)／{１＋(ｓｉｎｘ／ｘ)・(１／ｃｏｓｘ)}
これでサインのところは全てｓｉｎｘ／ｘの形になりました。
あとは公式と、ｃｏｓ０＝１を使って、
ｌｉｍ[x→0][(ｓｉｎｘ／ｘ)／{１＋(ｓｉｎｘ／ｘ)・(１／ｃｏｓｘ)}]
＝１／(１＋１・１／１)
＝１／２
よって、求める極限値は１／２です！
◆関連項目
サインの極限
コサインの極限
極限・微分まとめ(数学３)
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ラベル：数学
