高校数学「極限」「三角関数」(π−２ｘ)／ｃｏｓｘの極限

高校数学「極限」「三角関数」(π−２ｘ)／ｃｏｓｘの極限

■　問題

次の極限を調べよ。

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - 2\pi}{\cos x} \]


こういったちょっと複雑な式でも、サインの極限を求めるときは、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を使えるようにします。

公式はコレです→

解答解説はこのページ下です。

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■　解答解説

ｓｉｎｘ／ｘの形を使うには、ｘ→０でなければいけません。
今回はｘ→π／２なので、まずはこの点を変更します。

π−２ｘ＝θとおくと、ｘ＝π／２のときθ＝０ですね。
だからこれに従って、ｘをθに置き換えます。

π−２ｘ＝θ
−２ｘ＝θ−π
　　ｘ＝π／２−θ／２

というわけで、

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - 2\pi}{\cos x} \]
は、
\[
\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\right)}
\]
に変換することができます。

ｃｏｓ(π／２−θ／２)＝ｓｉｎ(θ／２)だから、

θ／{ｃｏｓ(π／２−θ／２)}＝θ／{ｓｉｎ(θ／２)}＝２・(θ／２)／{ｓｉｎ(θ／２)}

このようになります。

よって、求める極限値は２

◆関連項目
サインの極限
コサインの極限
極限・微分まとめ(数学３)


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