高校数学「微分」「対数微分法」分数式の３乗根の微分

高校数学「微分」「対数微分法」分数式の３乗根の微分

次の関数を微分せよ。
ｙ＝{ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２}^1/3

つまり、「ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２の３乗根」です。
このように、式が複雑なときは「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。

対数微分法とは、まず両辺の自然対数をとり、その対数を微分するという方法です。

今回の問題では、まず、

ｌｏｇ|ｙ|＝(１／３)ｌｏｇ|ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２|

とします。
全体の１／３乗は係数に移動しています。
さらに、分数全体についている絶対値は、分子と分母それぞれに分けても同じなので、分解していきます。

ｌｏｇ|ｙ|＝(１／３)ｌｏｇ|ｘ||ｘ−３|²|ｘ＋２|
　　　　＝(１／３)(ｌｏｇ|ｘ|＋２ｌｏｇ|ｘ−３|−ｌｏｇ|ｘ＋２|)

これで、右辺が全て対数の１次式になったので、微分できそうですね。

ｙ'／ｙ＝(１／３){１／ｘ＋２／(ｘ−３)−１／(ｘ＋２)}
　　　＝(１／３){(ｘ−３)(ｘ＋２)＋２ｘ(ｘ＋２)−ｘ(ｘ−３)}／{ｘ(ｘ−３)(ｘ−２)}
　　　＝(１／３)(ｘ²−ｘ−６＋２ｘ²＋４ｘ−ｘ²＋３ｘ)／{ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)}
　　　＝(２ｘ²＋６ｘ−６)／{３ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)}

求めるのはｙ'だから、左辺がｙ'だけになるように、両辺にｙをかけます。

ｙ'＝ｙ(２ｘ²＋６ｘ−６)／{３ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)}

ｙ＝{ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２}^1/3だから、

ｙ'＝{ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２}^1/3・２ｘ²＋６ｘ−６３ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)

あとは、(ｘ−３)の３乗根で少し約分できたりもしますが、とりあえずここまでできるようになっていれば、それほど問題ないと思います。


数学３微分積分まとめ


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