■ 問題
次の関数を微分せよ。
ｆ(ｘ)＝ｘ1/x
対数微分法を使う問題です。
この問題では数学２の対数の計算法則、数学３の対数関数の微分と積の微分法を使います。
「そんなの知らないよ！」という人は、まずは公式等を確認してみましょう！
■ 解答解説
まずは両辺の自然対数をとります。
ｌｏｇｆ(ｘ)＝ｌｏｇｘ1/x
＝(１／ｘ)・ｌｏｇｘ
＝ｘ-1・ｌｏｇｘ
両辺をｘで微分します。
左辺は対数の微分、右辺は積の微分ですね。
ｆ'(ｘ)／ｆ(ｘ)＝(ｘ-1)'・ｌｏｇｘ＋ｘ-1・(ｌｏｇｘ)'
＝−(１／ｘ2)・ｌｏｇｘ＋(１／ｘ)(１／ｘ)
＝−(１／ｘ2)・ｌｏｇｘ＋１／ｘ2
＝(１−ｌｏｇｘ)／ｘ2
両辺にｆ(ｘ)をかけて、
ｆ'(ｘ)＝ｆ(ｘ)(１−ｌｏｇｘ)／ｘ2
＝{(１−ｌｏｇｘ)／ｘ2}・ｘ1/x
ここで終わりでも大きな問題はありませんが、さらに次のように変形することもできます。
＝(１−ｌｏｇｘ)・ｘ1/x-2
■ 関連項目
積の微分法、対数関数の微分、数学３微分積分まとめ
対数の計算法則、指数・対数まとめ
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ラベル：数学
