【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.html
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■ 問題
2025年共通テスト数２ＢＣより
第６問
Ｏを原点とする座標空間において、Ｏを中心とする半径１の球面をＳとする。
Ｓ上に二つの点Ａ(１，０，０)，Ｂ(ａ，√(１−ａ^2)，０)をとる。ただし、ａは
−１＜ａ＜１を満たす実数とする。Ｓ上の点Ｃを、△ＡＢＣが正三角形となるよう
にとれるかどうかを考えてみよう。
参考図→http://www.a-ema.com/img/2025math2bc6.png
(1) 点Ｃの座標を (ｘ，ｙ，ｚ) とする。ＣがＳ上にあるとき
|→ＯＣ|^2＝[ア]
である。これをベクトルＯＣの成分を用いて表すと
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝[ア] ……{1}
となる。
さらに、△ＡＢＣが正三角形であるとする。△ＯＡＣと△ＯＡＢは、対応する
三組の辺の長さがそれぞれ等しいから合同である。したがって、対応する角の
大きさも等しいから
→ＯＡ・→ＯＣ＝[イ]
が成り立つ。これをペクトルの成分を用いて表すと
ｘ＝[ウ] ……{2}
となる。同様に△ＯＢＣと△ＯＡＢも合同であるから
→ＯＢ・→ＯＣ＝[イ]
が成り立ち、これをベクトルの成分を用いて表すと
[エ]ｘ＋[オ]ｙ＝[ウ] ……{3}
となる。
逆に、実数ｘ，ｙ，ｚが{1}, {2}, {3}を満たすとき、Ｃ(ｘ，ｙ，ｚ)はＳ上の点
であり、△ＡＢＣは正三角形になっていることがわかる。
[イ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０ {1} １ {2} |→ＡＢ| ｜
｜{3} |→ＡＢ|^2 {4} →ＯＡ・→ＯＢ {5} →ＯＡ・→ＡＢ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ウ]〜[オ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ａ {1} (１＋ａ) {2} (１−ａ) ｜
｜{3} ａ^2 {4} (１−ａ^2) {5} √(１−ａ^2) ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) ａに具体的な値を代入して、△ＡＢＣが正三角形となるＳ上の点Ｃがあるか
どうかを調べよう。
(i) ａ＝３／５のとき、{2}と{3}を満たす実数ｘ，ｙは
ｘ＝[カ]／[キ]，ｙ＝[ク]／[ケコ]
である。このｘ，ｙに対して、{1}を満たす実数は[サ]。したがって、△ＡＢＣが
正三角形となるＳ上の点Ｃは[サ]。
(ii) ａ＝−３／５のときも調べよう。(i) と同様に考えると、△ＡＢＣが正三角形
となるＳ上の点Ｃは[シ]ことがわかる。
[サ]，[シ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ない {1} ちょうど一つある {2} ちょうど二つある ｜
｜{3} ちょうど三つある {4} ちょうど四つある {5} 無限に多くある ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) △ＡＢＣが正三角形となるＳ上の点Ｃがあるための、ａに関する条件を見つけ
よう。
実数ｘ，ｙ，ｚは、{1}，{2}，{3}を満たすとする。{2}と{3}から
ｘ＝[ウ]，ｙ＝{[ウ](１−[エ])}／[オ]
である。このとき、{1}から
ｚ^2＝[ア]−ｘ^2−ｙ^2＝[ス]／(１＋ａ)
となる。さらに、ｚ^2≧０，１＋ａ＞０であるから[ス]≧０である。
逆に、[ス]≧０のとき{1}，{2}，{3}を満たす実数ｘ，ｙ，ｚがあることが
わかる。
以上のことから、[セ]は、△ＡＢＣが正三角形となるＳ上の点Ｃがあるための
必要十分条件である。
[ス]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} １−２ａ {1} (１−ａ)^2 ｜
｜{2} (１＋２ａ)^2 {3} (１＋２ａ)(１−ａ) ｜
｜{4} (１−２ａ)(１−ａ) {5} (１−２ａ^2)(１＋２ａ) ｜
｜{6} (１＋２ａ^2)(１−ａ) {7} (１−２ａ^2)(１−ａ) ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[セ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} −１＜ａ＜１ {1} −１＜ａ≦１／２ {2} −√２／２≦ａ≦√２／２｜
｜{3} −１／２≦ａ≦１／２ {4} −１／２≦ａ＜１ {5} １／２≦ａ＜１ ｜
｜{6} −１＜ａ≦−１／２または１／２≦ａ＜１ ｜
｜{7} −１＜ａ≦−√２／２または√２／２≦ａ＜１ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
ベクトルまとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/478238347.html
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■ 解説目次
◆１ 第６問はベクトル
◆２ 球は中心からの距離が等しい点
◆３ 合同なら内積も等しい
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第６問はベクトル
2025年共通テスト数学２ＢＣでは、第４問から第問が選択問題となりました。
ただし、第７問の複素数平面は旧数３の内容なので、実質的に第４問〜第６問が
必修となってしまった人も多いかも知れません。
この第６問では、ベクトルの問題が出題されました。
ベクトルは内分外分、内積などの主なポイントがわかっていれば、高得点を狙い
やすい単元だと思います。基本的な内容をしっかりマスターして、問題の条件に
合わせて柔軟に式を立てられるようにしたいですね。
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◆２ 球は中心からの距離が等しい点
では今回の問題です。
今回は空間のベクトルが題材となっています。
「Ｏを中心とする半径１の球面をＳ」として、
「Ｓ上に二つの点Ａ(１，０，０)，Ｂ(ａ，√(１−ａ^2)，０)」をとります。
参考図にもあるように、原点が中心で半径が１の球があります。
(1)最初の設問では、「点Ｃの座標を (ｘ，ｙ，ｚ) とする。ＣがＳ上にあるとき」
という条件で、→ＯＣの絶対値の２乗を考えます。
ＣはＳ上にあるのだから、球面上であり、球面上の点は中心からの距離が一定です。
球の半径は１だから、|→ＯＣ|^2＝１です。つまり、ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝１でも
ありますね！
よって、[ア]＝１
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◆３ 合同なら内積も等しい
次の設問では、「△ＡＢＣが正三角形である」という条件が付け足されています。
「△ＯＡＣと△ＯＡＢは、対応する三組の辺の長さがそれぞれ等しいから合同」
です。
ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ＝１であり、ＡＢ＝ＡＣですよね。
だから、△ＯＡＣ≡△ＯＡＢです。
ということは・・・
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
