■ 問題
次の定積分を求めよ。
\( \int_1^2 x(2-x)^5 \, dx \)
定積分の置換積分の典型的なパターンです。
不定積分では、考慮しなくてもよかった積分の区間にも注意が必要です。
■ 解答解説
(２－ｘ)5と、累乗になっている部分の方が複数の項の式の形です。
このような場合は、カッコの中身をｔとおくと、全体としてシンプルな式になり、計算しやすくなることがあります。
２－ｘ＝ｔとおくと、－ｘ＝ｔ－２より、ｘ＝２－ｔですね。
ということは、ｄｘ／ｄｔ＝－１であり、ｄｘ＝－ｄｔです。
また、置き換えた場合は、積分の区間にも注意が必要です。
| ｘ | １→２ |
| ｔ | １→０ |
ですね。
\( \int_1^2 x(2-x)^5 \, dx \)
＝\( \int_1^0 (2-t)t^5 \, (-1)dt \)
＝\( \int_0^1 (2-t)t^5 \, dt \)
＝\( \int_0^1 (2t^5-t^6) \, dt \)
＝\( \left[ \frac{2}{6}x^6 - \frac{1}{7}t^7 \right]_0^1 \)
＝\( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \)－０
＝\( \frac{7}{21} - \frac{4}{21} \)
＝\( \frac{4}{21} \)
◆関連項目
置換積分法
微分積分(数学３)まとめ
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ラベル：数学
