高校数学「積分」楕円の面積

高校数学「積分」楕円の面積

■　問題

ａ＞０，ｂ＞０のとき、楕円ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１で囲まれた部分の面積を求めよ。

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数学３の積分の単元の典型的な問題です。
もちろん定積分を計算すれば良いのですが、ｙも２乗になっているので、数学２の範囲では計算できませんね。

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■　解答解説

まずはｙについて解きます。

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１
ｙ²／ｂ²＝１−ｘ²／ａ²
ｙ²＝ｂ²−ｂ²ｘ²／ａ²
ｙ²＝(ｂ²／ａ²)(ａ²−ｘ²)
ｙ＝±(ｂ／ａ)√(ａ²−ｘ²)

このグラフはｘ軸に関して上下対称なので、上半分を計算して２倍でＯＫです。

積分の区間を求めるために、ｙ＝０で解きます。

ｘ²／ａ²＝１
ｘ²＝ａ²
ｘ＝±ａ

つまり、−ａ〜ａの区間で定積分を計算すればよいです。

Ｓ＝\( \frac{2b}{a} \int_{-a}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx \)

このように表すことができますね。

ここで、ｙ＝\( \sqrt{a^2 - x^2} \) を考えると、両辺を２乗して移項すれば、ｘ²＋ｙ²＝ａ²です。
ということは、この式は原点を中心とする半径ａの円の上半分を表しています。
つまり、

Ｓ＝\( \frac{2b}{a}・\frac{π}{2} a^2 \)
　＝πａｂ


◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ


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