高校数学「積分」\( \int \ x^2 \sin x \, dx \) の不定積分

高校数学「積分」\( \int \ x^2 \sin x \, dx \) の不定積分

■　問題

\( \int \ x^2 \sin x \, dx \) の不定積分を求めよ。


関数の積の積分なので、部分積分法を使います。


解答解説はこのページ下です。

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■　解答解説

　\( \int \ x^2 \sin x \, dx \)
＝\( \int \ x^2 (- \cos x )' \, dx \)

だから、

∫ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)ｄｘ＝ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)−∫ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)ｄｘにおいて、ｆ(ｘ)＝ｘ²，ｇ'(ｘ)＝ｓｉｎｘとすると、

＝\( - x^2 \cdot \cos x + 2 \int x \cdot \cos x \, dx \)

後ろの部分にもう一度部分積分をします。
いったん取り出して積分すると、

　\( \int x \cdot \cos x \, dx \)
＝ \( x \cdot \sin x - \int 1 \cdot \sin x \, dx \)
＝\( x \cdot \sin x + \cos x \)

だから、

＝\( - x^2 \cdot \cos x + 2( x \cdot \sin x + \cos x \) ) + C
＝\( - x^2 \cdot \cos x + 2x \cdot \sin x + 2 \cos x \) + C
＝\( - ( x^2 -2) \cos x + 2x \cdot \sin x \) + C


◆関連項目
不定積分
微分積分(数学３)まとめ


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