【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2025年共通テスト数２ＢＣより
第７問
α，β，γを異なる複素数とし、複素数平面上に3点Ａ(α), Ｂ(β), Ｃ(γ)を
とる。直線ＡＢと直線ＡＣの関係について考えよう。
以下,複素数の偏角は０以上２未満とする。
(1) α＝３＋２ｉ，β＝７，γ＝７＋１０ｉの場合を考える。(γ－α)／(β－α)の
角を求めよう。
γ－α＝[ア]＋[イ]ｉ
β－α＝[ウ]－[エ]ｉ
であるから
(γ－α)／(β－α)＝[オ]
であり、[オ]の偏角は[力]である。
[オ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｉ {1} １＋ｉ {2} ２ {3} ２ｉ ｜
｜{4} －ｉ {5} １－ｉ {6} －２ {7} －２ｉ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[カ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０ {1} π／６ {2} π／４ {3} π／３ ｜
｜{4} π／２ {5} (３／４)π {6} π {7} (５／４)π ｜
｜{8} (３／２)π {9} (７／４)π ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) ω＝(γ－α)／(β－α)とおく。直線ＡＢと直線ＡＣが垂直に交わるのは、ωの
偏角がπ／２または(３／２)πのときである。このとき、ωは[キ]であるから
＿
ω＋ω＝[ク]
＿
である。逆に、ω≠０に注意すると、ω＋ω＝[ク]のときは、ωは[キ]であるので、
直線ＡＢと直線ＡＣが垂直に交わる。
[キ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０でない実数 {1} １＋ｉまたは１－ｉ ｜
｜{2} 純虚数(実部が０である虚数) {3} －１＋ｉまたは－１－ｉ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ク]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ０ {1} １ {2} ２ {3} ｉ ｜
｜{4} ２ｉ {5} －１ {6} －２ {7} －ｉ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) ｚは０，２，－２でない複素数とする。
(i) α＝ｚ，β＝２，γ＝４／ｚとする。直線ＡＢと直線ＡＣが垂直に交わるための
条件について考えよう。
(γ－α)／(β－α)＝(４／ｚ－ｚ)／(２－ｚ)＝１＋２／ｚ
が成り立つので、直線ＡＢと直線ＡＣが垂直に交わるための必要十分条件は
＿＿＿＿＿＿
(１＋２／ｚ)＋(１＋２／ｚ)＝[ク]
である。これは
＿
２＋２／ｚ＋２／ｚ＝[ク]
＿
と変形できる。さらに、この両辺にｚｚをかけて整理すると、直線ＡＢと直線ＡＣが
垂直に交わるための必要十分条件は[ケ]であることがわかる。したがって、直線ＡＢ
と直線ＡＣが垂直に交わるような点ｚ全体を複素数平面上に図示すると[コ]である。
[ケ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} |ｚ|＝|ｚ－４| {1} |ｚ|＝|ｚ－２| ｜
｜{2} |ｚ|＝|ｚ＋４| {3} |ｚ＋１|＝|ｚ－１| ｜
｜{4} |ｚ－１|＝１ {5} |ｚ|＝２ ｜
｜{6} |ｚ＋１|＝１ {7} |ｚ|＝√２ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[コ]については、最も適当なものを、次の{0}～{7}のうちから一つ選べ。
選択肢の画像→http://www.a-ema.com/img/2025math2bc7.png
(ii) (i) のα，β，γをそれぞれ－１倍した複素数α'＝－ｚ，β'＝－２，
γ'＝－４／ｚについて考える。複素数平面上の異なる3点Ａ'(α')，Ｂ'(β')，
Ｃ'(γ')について、直線Ａ'Ｂ'と直線Ａ'Ｃ'が垂直になるような点ｚ全体を複素数
平面上に図示すると[サ]である。
(iii) (i) のα，β，γにおけるｚを－ｚに置き換え、α"＝－ｚ，β"＝２，
γ"＝－４／ｚについて考える。複素数平面上の異なる3点Ａ"(α")，Ｂ"(β")，
Ｃ"(γ")について、直線Ａ"Ｂ"と直線Ａ"Ｃ"が垂直になるような点ｚ全体を複素数
平面上に図示すると[シ]である。
[サ]，[シ]については、最も適当なものを、次の{0}～{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
選択肢の画像→http://www.a-ema.com/img/2025math2bc7.png
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
確率統計まとめ→http://a-ema.seesaa.net/article/503260113.html
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■ 解説目次
◆１ 第７問は複素数平面
◆２ γ－α，β－αを計算
◆３ 純虚数なら垂直
(以下略)
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■ 解説
◆１ 第７問は複素数平面
2025年共通テスト数学２ＢＣでは、第４問から第問が選択問題となりました。
ただし、第７問の複素数平面は旧数３の内容なので、実質的に第４問～第６問が
必修となってしまった人も多いかも知れません。
この第７問では、複素数平面の問題が出題されました。
複素数平面の単元は、偏角、極形式など、他の単元ではあまり見ない用語や考え方が
出てきます。だから慣れないうちは難しく感じると思いますが、それぞれが何を
意味していて、どう計算すればいいか覚えさえすれば、いわば「作業」の単元です。
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◆２ γ－α，β－αを計算
では今回の問題です。
「α＝３＋２ｉ，β＝７，γ＝７＋１０ｉ」という値が定められていて、
(γ－α)／(β－α)を求めます。
まずは、分子と分母それぞれを計算します。
γ－α＝７＋１０ｉ－(３＋２ｉ)
＝７＋１０ｉ－３－２ｉ
＝４＋８ｉ
β－α＝７－(３＋２ｉ)
＝７－３－２ｉ
＝４－２ｉ
よって、[ア]＝４，[イ]＝８，[ウ]＝４，[エ]＝２
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◆３ 純虚数なら垂直
次も指示通り計算してみましょう！
(γ－α)／(β－α)
＝(４＋８ｉ)／(４－２ｉ)
＝(２＋４ｉ)／(２－ｉ)
＝(２＋４ｉ)(２＋ｉ)／(２－ｉ)(２＋ｉ)
＝(４＋２ｉ＋８ｉ－４)／(４＋１)
＝１０ｉ／５
＝２ｉ
(γ－α)／(β－α)＝２ｉつまり、純虚数になったので・・・
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
