◆問題
√２が無理数であることを証明せよ。
◆解答
いつくかの方法がありますが、もっとも代表的な、√２が有理数だと仮定した場合の方法を書いてみます。
まず、√２が有理数だと仮定します。
有理数は分数で表すことができるので、仮に有理数ならば、既約分数ｂ／ａを使って、√２＝ｂ／ａとおくことができますね。
これを少し計算します。
√２＝ｂ／ａ
２＝ｂ2／ａ2
２ａ2＝ｂ2
普通に計算するとこうなります。
２ａ2は整数の２倍だから、２の倍数です。
２ａ2が２の倍数ということは、ｂ2も２の倍数です。
２乗して２の倍数つまり偶数になるのは、偶数だから、ｂは偶数です。
ｂが偶数ということは、ｂ2は４の倍数になります。
２ａ2＝ｂ2だから、２ａ2は４の倍数となり、ａ2は２の倍数のはずです。
ａ2が２の倍数ならば、ａも２の倍数になるはずです。
ということは、「ａは２の倍数、ｂも２の倍数」ということになり、「ｂ／ａは既約分数」すなわち「ａとｂは互いに素」という前提条件と矛盾します。
だから、「√２は有理数である」という仮定が間違っている。すなわち「√２は無理数である」ということができます。
数学のテストの解答としては、もう少し整理して書いた方がよいですが、基本的な内容はこういうことです。
標準的な解答は、教科書等を参考にしてみてください！
◆関連項目
背理法、真偽の判断
命題と集合、式と証明
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ラベル：数学
