■ 問題
次の関数を微分せよ。
ｙ＝ｌｏｇ\( \sqrt{x^2+a^2} \)
対数の微分のちょっとだけ応用問題ですね。
この問題では数学２の対数の計算法則、数学３の対数関数の微分を使います。
「そんなの知らないよ！」という人は、まずは公式等を確認してみましょう！
■ 解答解説
まずは対数の計算法則ｌｏｇｘa＝ａｌｏｇｘを使って変形します。
ｙ＝(１／２)ｌｏｇ(ｘ2＋ａ2)
となりますね。
今回は、合成関数の微分法を活用してみます。
つまり、(ｄｙ／ｄｘ)＝(ｄｙ／ｄｔ)・(ｄｔ／ｄｘ)として計算します。
ｘ2＋ａ2＝ｔとおくと、ｙ＝(１／２)ｌｏｇｔですね。
ｄｙ／ｄｔ＝{(１／２)ｌｏｇｔ}'＝(１／２)(１／ｔ)＝１／２ｔ
ｄｔ／ｄｘ＝(ｘ2＋ａ2)'＝２ｘ
ｄｙ／ｄｘ
＝(ｄｙ／ｄｔ)・(ｄｔ／ｄｘ)
＝(１／２ｔ)・２ｘ
ｘ2＋ａ2＝ｔだから、
＝２ｘ／(ｘ2＋ａ2)
これで完成です！
■ 関連項目
対数関数の微分、数学３微分積分まとめ
対数の計算法則、指数・対数まとめ
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ラベル：数学
