◆ 問題
連続する２つの奇数の大きい方の２乗から小さい方の２乗を引くと８の倍数になる。このことを証明せよ。
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◆解答解説
連続する２つの奇数の大きい方の２乗から小さい方の２乗を引くと８の倍数になる。このことを証明せよ。
「証明」というと「難しい！パス！」という人も多いですが、数式の証明は実はそれほど難しくありません。
言ってるとおりに式を作って計算するだけです。
「証明せよ」というからには、絶対そうなるので、言ってる通りにやるだけでＯＫなのです。
とは言っても、まず最初に「連続する２つの奇数」をどう表すかということ、式を作るところが最大の関門だと思います。
奇数は偶数の隣の数だから、「偶数＋１」や「偶数－１」で表します。
偶数は２の倍数なので、整数ｎを使って「２ｎ」と表せます。
偶数が２ｎだから、奇数は例えば「２ｎ＋１」となります。
今回の問題では「連続する２つの奇数」です。
例えば、１と３，１５と１７，１０９と１１１のように、連続する２つの奇数は片方を決めると、もう片方は２だけ増やした数、または、２だけ減らした数になります。
今回は計算しやすくするために、「２ｎ－１」「２ｎ＋１」とおいてみましょう！
作りたい式は、「大きい方の２乗から小さい方の２乗を引く」と書いてあるので、その通りに式を作ると、
(２ｎ＋１)2－(２ｎ－１)2
となります。
「証明せよ」というからには、これを計算すれば、８の倍数になるような式が必ずできます。計算してみましょう！
カッコの２乗の展開の公式を使います。公式がわからない人はこちらを見てください。
＝(４ｎ2＋４ｎ＋１)－(４ｎ2－４ｎ＋１)
＝４ｎ2＋４ｎ＋１－４ｎ2＋４ｎ－１
＝８ｎ
ｎは整数なので、８ｎは８の倍数です。
つまり、計算したら自動的に８の倍数になってしまった。というわけです。
よって、「連続する２つの奇数の大きい方の２乗から小さい方の２乗を引くと８の倍数になる」ことが証明できました！
◆関連項目
(ａ＋ｂ)2の展開
展開・因数分解まとめ
江間淳の書籍はこちら
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