高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �@

高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �@

◆問題
確率変数Ｘの確率密度関数が、ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) 　(０≦ｘ≦１)で与えられるとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

確率密度関数ｆ(ｘ)が、０≦ｘ≦１で与えられているということは、確率分布を示すｘの範囲が０から１の範囲である。ということで、
その範囲の確率を合計すると１(＝１００％)になります。

０から１の範囲の値を合計する計算をするので、つまりは０から１の区間での定積分を計算すると１になる。と考えます。
つまり、

\( \int_0^1 f(x)\, dx = 1 \)

です。

今回の問題では、ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)だから、これを普通に定積分すれば良いです。

　\( \int_0^1 ax(x-1)\, dx \)
＝ａ \( \int_0^1 (x^2-x)\, dx \)
＝ａ \( \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 \)
＝ａ( \( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \) −０)
＝ａ・(− \( \frac{1}{6} \) )

これがイコール１だから、

−ａ／６＝１より、ａ＝−６


次の問題→Ｘの期待値


確率統計まとめ


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