高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �B

高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �B

◆問題
確率変数Ｘの確率密度関数が、ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) 　(０≦ｘ≦１)で与えられるとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。

(2) Ｘの期待値を求めよ。

(3) Ｘの分散を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

Ｘが確率密度関数の場合でも、普通の分散の公式が成り立ちます。つまり

Ｖ(Ｘ)＝Ｅ(Ｘ²)−{Ｅ(Ｘ)}²

です。

Ｅ(Ｘ²)＝\( \int_0^1 x^2・f(x)\, dx \)だから、これを計算していきます。

Ｅ(Ｘ²)＝\( \int_0^1 x^2・｛ -6x(x-1) ｝ \, dx \)
　　＝−６ \( \int_0^1 x^2・x(x-1) \, dx \)
　　＝−６ \( \int_0^1 ( x^4 - x^3 ) \, dx \)
　　＝−６ \( \left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^1 \)
　　＝−６・( \( \frac{1}{5} - \frac{1}{4} \) )−０
　　＝−６・(− \( \frac{1}{20} \) )
　　＝\( \frac{6}{20} \)

Ｖ(Ｘ)＝Ｅ(Ｘ²)−{Ｅ(Ｘ)}²にこれと、Ｅ(Ｘ)＝ \( \frac{1}{2} \)を代入すると、

Ｖ(Ｘ)＝\( \frac{6}{20} - \frac{1}{4} \)
　　＝\( \frac{1}{20} \)

というわけで、分散Ｖ(Ｘ)を求めることができました。


(1)に戻る→ａの値


確率統計まとめ


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