高校数学「三角関数」ｓｉｎαｃｏｓβ＝(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)を導く

高校数学「三角関数」ｓｉｎαｃｏｓβ＝(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)を導く

■問題

次の等式を証明せよ。

ｓｉｎαｃｏｓβ＝(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！



■解答解説

いわゆる「積和の公式」を導く問題です。

積和・和積は全て三角関数の加法定理の公式を組み合わせることで求めることができます。

今回の式は、サインの加法定理の公式を使えばＯＫです。

ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ
ｓｉｎ(α−β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ−ｃｏｓαｓｉｎβ

これらの式をそのまま足すと、

ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＋ｓｉｎαｃｏｓβ−ｃｏｓαｓｉｎβ
ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)＝２ｓｉｎαｃｏｓβ

ですね。この両辺を２で割れば

(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)}＝ｓｉｎαｃｏｓβ

問題の指示は、左辺にｓｉｎαｃｏｓβだったので、両辺を入れ替えて、

ｓｉｎαｃｏｓβ＝(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)


◆関連項目
三角関数の加法定理
三角関数まとめ


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