◆問題
テストの得点Ｘについて、Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)，標準偏差σ(Ｘ)を用いて、Ｘの偏差値Ｘ'は以下の式で表される。
Ｘ'＝Ｘ－Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０
テストの得点Ｘが正規分布に従うとして、次の問いに答えよ。
(1) 平均点６０点、標準偏差６点のテストにおいて、得点が６９点の受験生の偏差値を求めよ。
(2) 偏差値が６０以上であるとき、全体の上位何％に入っていると考えられるか求めよ。
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◆解答解説
模試などのテストを受けるとデータとして出てくるあの「偏差値」に関する問題です。
Ｘ'＝Ｘ－Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０
この、まあまあ単純な式で偏差値を求めることができます。
今回の問題では、このＸ'が６０以上である場合を考えます。
テストの得点分布はＸ'は正規分布Ｎ(５０，１００)に従います。
これを標準化して、Ｚが標準正規分布Ｎ(０，１)に従うようにします。
Ｚ＝(６０－５０)／√１００＝１０／１０＝１
つまり、
Ｐ(Ｘ'≧６０)＝Ｐ(Ｚ≧１)
です。
あとは正規分布表の値を使って計算です。
Ｐ(Ｚ≧１)＝Ｐ(Ｚ≧０)－Ｐ(０≦Ｚ≦１)
＝０．５－０．３４１３
＝０．１５８７
つまり、偏差値６０以上ならば、上位１５．８７％に入っていることになります。
次の問題→上位１０％以内のとき
正規分布表
確率統計まとめ
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