◆問題
テストの得点Ｘについて、Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)，標準偏差σ(Ｘ)を用いて、Ｘの偏差値Ｘ'は以下の式で表される。
Ｘ'＝Ｘ－Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０
テストの得点Ｘが正規分布に従うとして、次の問いに答えよ。
(1) 平均点６０点、標準偏差６点のテストにおいて、得点が６９点の受験生の偏差値を求めよ。
(2) 偏差値が６０以上であるとき、全体の上位何％に入っていると考えられるか求めよ。
(3) 上位１０％以内に入っている受験生の偏差値を求めよ。
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◆解答解説
今回の問題では、上位１０％の偏差値を求めます。
上位１０％ということは、正規分布の右端の１０％というイメージです。
ちょうど１０％の位置をｚ0とすると、
０．５－Ｐ(０≦Ｚ≦ｚ0)≦０．１
ですね。つまり、
Ｐ(０≦Ｚ≦ｚ0)≧０．４
です。
正規分布表を見て、０．４に近いところを探すと、
Ｐ(０≦Ｚ≦１．２８)＝０．３９９７
Ｐ(０≦Ｚ≦１．２９)＝０．４０１５
です。
ということは、ｚ0≧１．２９とわかります。
これを偏差値の公式に当てはめると、
Ｘ'＝１０×１．２９＋５０＝６２．９
つまり、上位１０％は偏差値６２．９以上ということがわかります。
もし偏差値を整数値とするならば、６３以上ですね。
次の問題→偏差値７０以上の場合
正規分布表
確率統計まとめ
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