◆問題
粗い水平面上に質量ｍの物体を置き、鉛直と角θをなす向きに、物体上面に大きさｆの力を加える。物体と面との間の静止摩擦係数をμ、重力加速度の大きさをｇとして、次の問いに答えよ。
(1) 力の大きさを一定に保ったまま、θを大きくしていったとき、物体が滑り出す瞬間の条件式を求めよ。
(2) ｆを大きくしても物体が滑り出さないための、ｔａｎθの範囲を求めよ。
参考図
力ｆ
↘
┌────┐←質力ｍの物体
─┴────┴─床
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↓解答解説はお知らせの下に↓
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◆解答解説
(1)で、物体が滑り出す瞬間の条件式を求めました。
ｆｓｉｎθ＝μ(ｍｇ＋ｆｃｏｓθ)
ですね。
ｆｓｉｎθは物体を滑らせる力で、μ(ｍｇ＋ｆｃｏｓθ)は最大摩擦力だから、
ｆｓｉｎθ≦μ(ｍｇ＋ｆｃｏｓθ)ならば、物体が滑らない。ということです。
この(2)では、このときのｔａｎθを求めます。
三角関数の相互関係より、ｔａｎθ＝ｓｉｎθ／ｃｏｓθだから、この形を目指して変形していきましょう！
ｆｓｉｎθ≦μ(ｍｇ＋ｆｃｏｓθ)
ｆｓｉｎθ≦μｍｇ＋μｆｃｏｓθ
ｆｓｉｎθ／ｆｃｏｓθ≦μｍｇ／ｆｃｏｓθ＋μ
ｔａｎθ≦μ(ｍｇ／ｆｃｏｓθ＋１)
ここで、ｆを増やしていくとどうなるか考えます。
数学２や数学３の極限の考え方になりますが、ｆ→∞ならば、ｍｇ／ｆｃｏｓθ→０ですね。
分子はｍｇで有限の数である一方、分母のｆはどんどん大きくしていけるので、分母が充分に大きければ、その分数の値はゼロに近づいていく。というわけです。
つまり、
ｔａｎθ≦μ
(1)に戻る→物体が滑り出す瞬間の条件式
◆関連項目
運動方程式
力～エネルギー
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