高校物理「力学的エネルギー」ばね定数ｋの軽いばねに、質量の無視できる皿を載せ…�@

高校物理「力学的エネルギー」ばね定数ｋの軽いばねに、質量の無視できる皿を載せ…�@

◆問題

ばね定数ｋの軽いばねに、質量の無視できる皿を載せ、参考図のように鉛直に立てる。次に、質量ｍの物体を手で持ったまま皿に静かに接触させ、急に手を離したところ、物体は振動を始めた。重力加速度の大きさをｇとして次の各問いに答えよ。

(1) 物体が最下点に来たとき、物体ははじめの高さから距離ｘ₀下がっていた。ｘ₀を求めよ。


参考図



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◆解答解説

伸び縮みするばねについても、力学的エネルギーの保存が成り立ちます。
つまり、ある状態での力学的エネルギーがわかれば、他の状態での力学的エネルギーと等しいことを使って方程式を立てることができます。

最初の位置の位置エネルギーの基準とすると、まず手を離す瞬間は、速さゼロ、高さゼロ、ばねは伸び縮みしていないので、ばねの弾性エネルギーもゼロです。
つまり、力学的エネルギーもゼロです。

最下点では、運動の向きが変わるので速さゼロ、高さは基準より下なので、−ｘ₀ですね。ということは、ばねの弾性エネルギーは(１／２)ｋｘ₀²です。

これらが等しいはずなので、

０＝０＋ｍｇ(−ｘ₀)＋(１／２)ｋｘ₀²
０＝ｘ₀{−ｍｇ＋(１／２)ｋｘ₀}

この式を満たすｘ₀の値は、ひとつはｘ₀＝０ですね。
もう一つは「中括弧の中の式＝０」を解いて、

−ｍｇ＋(１／２)ｋｘ₀＝０
(１／２)ｋｘ₀＝ｍｇ
ｘ₀＝ｍｇ・(２／ｋ)
ｘ₀＝２ｍｇ／ｋ


次の問題→速さが最大となるとき


◆関連項目
力〜エネルギー


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