◆問題
ばね定数ｋの軽いばねに、質量の無視できる皿を載せ、参考図のように鉛直に立てる。次に、質量ｍの物体を手で持ったまま皿に静かに接触させ、急に手を離したところ、物体は振動を始めた。重力加速度の大きさをｇとして次の各問いに答えよ。
(1) 物体が最下点に来たとき、物体ははじめの高さから距離ｘ0下がっていた。ｘ0を求めよ。
(2) 物体の速さが最大となる物体の位置を求めよ。
※この記事では、(2)で、きちんと力学的エネルギーの保存の式を作った場合の解説をします。
参考図
↓解答解説はお知らせの下に↓
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◆解答解説
答えとしては、ｍｇ／ｋがすでに分かっていますが、力学的エネルギー保存の式を作ってみましょう！
運動エネルギーと位置エネルギー(と弾性エネルギー)の和が一定というやつです。
まず最初の状態では、運動エネルギー、位置エネルギーともにゼロでした。
物体がｘだけ下がったときの速さをｖとすると、
運動エネルギーは、(１／２)ｍｖ2
位置エネルギーは、－ｍｇｘ
弾性エネルギーは、(１／２)ｋｘ2
ですね。
つまり、
(１／２)ｍｖ2－ｍｇｘ＋(１／２)ｋｘ2＝０
です。
これをｘについての２次関数とみなして、ｖが最大になるときのｘの値を求めます。
(１／２)ｍｖ2＝ｍｇｘ－(１／２)ｋｘ2
ｖ2＝２ｇｘ－ｋｘ2／ｍ
ｖ2＝ー(ｋ／ｍ){ｘ2－(２ｍｇ／ｋ)ｘ}
ｖ2＝－(ｋ／ｍ){(ｘ－ｍｇ／ｋ)2－(ｍｇ／ｋ)2}
まだ計算できますが、ｘ－ｍｇ／ｋ＝０のときｖは最大になることはこの時点でわかりますね！
つまり、ｘ＝ｍｇ／ｋです！
この問題の最初に戻る→物体が最下点に来たとき
◆関連項目
力～エネルギー
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