高校数学「平面上の曲線」放物線：ｙ2＝４ｘと直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１の共有点の個数�@

高校数学「平面上の曲線」放物線：ｙ²＝４ｘと直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１の共有点の個数�@

◆問題
次の放物線と直線の共有点の個数を求めよ。

放物線：ｙ²＝４ｘ，直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１


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◆解答・解説

「平面上の曲線」の単元でも、共有点の個数を調べるときは、数学１の２次関数の場合と基本的には同様です。
つまり、２つの式を合成して判別式です。

放物線：ｙ²＝４ｘ，直線：ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１

直線の式をｘについて解いて、放物線の式に代入します。

ｙ＝ｋｘ＋ｋ＋１
ｋｘ＝ｙ−ｋ−１
　ｘ＝(ｙ−ｋ−１)／ｋ

これをｙ²＝４ｘに代入して、

ｙ²＝４(ｙ−ｋ−１)／ｋ
ｋｙ²＝４ｙ−４ｋ−４
ｋｙ²−４ｙ＋４ｋ＋４＝０

Ｄ＝(−４)²−４・ｋ・(４ｋ＋４)
　＝１６−１６ｋ²−１６ｋ

まずは接するときを考えます。

Ｄ＝０のとき接するのは、普通の２次関数と同じです。

１６−１６ｋ²−１６ｋ＝０
ｋ²＋ｋ−１＝０

これを解いて、ｋ＝−１±√５２

まず、この場合は共有点は１個ですね。


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◆関連項目
放物線
平面上の曲線まとめ


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