中学数学「１次方程式」小数・カッコを含む方程式

中学数学「１次方程式」小数・カッコを含む方程式

◆問題

次の１次方程式を解きなさい。

０．３(０．９−０．４ｘ)＝−０．１ｘ＋０．２１


◆解答解説

小数を含む方程式は、小数があるとやりにくいので、小数がなくなるような数を両辺に掛ける。ことを最初にやるのがノーマルです。

小数点以下の桁数が一番多いのは０．２１だから、これが整数になるような数を両辺にかけます。
つまり、両辺に１００を掛ければＯＫですね！

「両辺に１００をかける」とは「全ての項に１００をかける」だから、

３０(９０−４０ｘ)＝−１０ｘ＋２１

このようにやってしまう人もいると思いますが、これは間違っています。
なぜかというと、左辺のカッコの外と中両方に１００をかけると、トータルで１００×１００＝１００００をかけていることになってしまうからです。

正しくは、以下のうちのどれかの考え方をします。

★０．３(０．９−０．４ｘ)の部分は、かけ算でつながっているので、コレ全体で一つの項だから、カッコの外か中のどちらかだけに１００をかける。

と見ることもできますし、

★０．３(０．９−０．４ｘ)のカッコを外すと、０．２７−０．１２ｘだから、これらに１００をかける。

と考えてもよいです。
あるいは、１００＝１０×１０だから、

★カッコの外と中の両方に１０をかける。

と考えることもできます。

以上のどの考え方でも正しく解くことができますし、どれで解いてももちろん答えは同じです。
この場合計算が一番簡単なのは、最後の「両方に１０をかける」なので、ここではこのやり方でやっていきます。

「両辺に１００をかける＝カッコの中と外の両方に１０をかける」だから、

　３(９−４ｘ)＝−１０ｘ＋２１
　２７−１２ｘ＝−１０ｘ＋２１
１０ｘ−１２ｘ＝２１−２７　　　←移項した
　　　　−２ｘ＝−６
　　　　　　ｘ＝３


◆関連項目
１次方程式の基本的な解き方、移項


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中学数学「平面図形」一つの外角が２４°の正多角形の内角の和

中学数学「平面図形」一つの外角が２４°の正多角形の内角の和

◆問題

一つの外角が２４°の正多角形の内角の和を求めよ。


解答解説はこのページ下


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多角形の外角の和は、何角形でも３６０°です。

三角形でも四角形でも五角形でも、十角形でも百角形でも、３６０°です。

だから、今回の問題の多角形も外角の和は３６０°です。

そして、正多角形は全ての角が同じ大きさですね。

一つの外角が２４°の正多角形ならば、全ての外角が２４°です。
今のところ何角形かはわかっていませんが、２４°の外角を合計したら３６０°になることはわかります。

求める多角形をｎ角形とすると、２４ｎ＝３６０という関係式が成り立ちます。
これを計算すると、ｎ＝１５ですね。
つまり１５角形です。

多角形の内角の和は(ｎ−２)×１８０で求めることができます。
１５角形の内角の和は、

(１５−２)×１８０＝１３×１８０＝２３４０

よって、求める内角の和は２３４０°ですね！


◆関連項目
図形まとめ(中学)


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中学数学「１次関数」２点(１，３)と(−４，１)を通る直線の式

中学数学「１次関数」２点(１，３)と(−４，１)を通る直線の式

◆問題

２点(１，３)と(−４，１)を通る直線の式を求めよ。


直線は１次関数なのでｙ＝ａｘ＋ｂを使います。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

２点を通る直線の式を求めるときは、ｙ＝ａｘ＋ｂにその２点の座標をそれぞれ代入して、式を２つ作り、連立方程式にして解きます。

(１，３)を代入すると、

３＝ａ＋ｂより、ａ＋ｂ＝３・・・�@

(−４，１)を代入すると、

１＝−４ａ＋ｂより−４ａ＋ｂ＝１・・・�A

これら２つのａ，ｂについての式を連立して解けばＯＫ！

�@・・・　　　　ａ＋ｂ＝３
�A・・・−）−４ａ＋ｂ＝１
　　　　―――――――――
　　　　　　　５ａ　　＝２
　　　　　　　　　　ａ＝２／５　・・・�B

�Bを�@に代入して、
２／５＋ｂ＝３
　　　　ｂ＝３−２／５
　　　　ｂ＝１３／５

これらのａ，ｂの値がｙ＝ａｘ＋ｂのａ，ｂの値で、問題では直線の式を聞いているので、代入した式を答えます。

ｙ＝(２／５)ｘ＋１３／５


直線の式を求める方法はいくつかありますが、まずはコレを完璧にマスターすることを優先すると良いと思います。
ほとんどの人にとっては「他の解き方は余裕があれば取り組む」という方針でＯＫです！


◆関連項目
１次関数まとめ


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中学数学「２次関数」直線と放物線の交点と原点を頂点とする三角形の面積

中学数学「２次関数」直線と放物線の交点と原点を頂点とする三角形の面積

◆問題

直線ｙ＝(１／２)ｘ＋２とｘの２乗に比例する放物線ｙ＝ａｘ²が２点Ａ，Ｂで交わっている。
Ａ，Ｂのｘ座標がそれぞれ−２，４のとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。

(2) △ＡＯＢの面積を求めよ。


この記事では(2)を解説します。
解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

(1)で、点Ａ(−２，１)，点Ｂ(４，４)を求めました。

次は△ＡＯＢの面積を求めます。
図形の面積は、頂点の座標がわかれば求めることができます。

求め方はいくつかありますが、個人的には、「頂点を全て通る長方形を描いて、周りの三角形を引く」という方法をおすすめしています。

点Ａ，Ｂ，Ｏを通る長方形を描くと、縦が４，横が６の長方形になります。
この長方形の面積は２４ですね。

周りの三角形は・・・

まず左下の小さい三角形は、底辺１，高さ２だから、１×２÷２＝１

右下の大きい三角形は、底辺４，高さ４だから、４×４÷２＝８

上の大きい三角形は、横を底辺とすると、底辺６，高さ３だから、６×３÷２＝９

これら３つの三角形の面積を長方形の２４から引けば、△ＡＯＢというわけです。


２４−１−８−９＝６

つまり、△ＡＯＢ＝６


この問題の最初に戻る→ａの値


◆関連問題
直線と放物線の交点
２次関数まとめ(中学)


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中学数学「２次関数」直線と放物線の交点を用いて、放物線の式を求める

中学数学「２次関数」直線と放物線の交点を用いて、放物線の式を求める

◆問題

直線ｙ＝(１／２)ｘ＋２とｘの２乗に比例する放物線ｙ＝ａｘ²が２点Ａ，Ｂで交わっている。
Ａ，Ｂのｘ座標がそれぞれ−２，４のとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

２点Ａ，Ｂは直線と放物線の交点です。
交点の座標は、両方のグラフの式に代入して成り立つ値です。

つまり、Ａ，Ｂの座標は、直線と放物線のどちらに代入しても成り立ちます。

「Ａ，Ｂのｘ座標はそれぞれ−２，４」と言っているので、まずは直線の式にこれらの値を代入してみましょう！

ｘ＝−２のとき、ｙ＝(１／２)×(−２)＋２＝−１＋２＝１
よって、点Ａの座標は(−２，１)

ｘ＝４のとき、ｙ＝(１／２)×４＋２＝２＋２＝４
よって、点Ｂの座標は(４，４)

これらの点は放物線上の点でもあります。
だから、ｙ＝ａｘ²に代入しても成り立ちます。

例えば点Ａ(−２，１)を代入してみると、

１＝ａ×(−２)²
１＝４ａ
ａ＝１／４


次の問題→△ＡＯＢの面積


◆関連問題
直線と放物線の交点
２次関数まとめ(中学)


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中学数学「２次方程式」長方形の面積から縦の長さを求める

中学数学「２次方程式」長方形の面積から縦の長さを求める

縦より横が５ｃｍ長い長方形ＡＢＣＤがある。この長方形の面積が８４ｃｍ^２のとき、長方形の縦の長さを求めよ。


参考図

Ａ　　　　　Ｄ
┌─────┐
│　　　　　│
│　　　　　│
└─────┘
Ｂ　　　　　Ｃ


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



２次方程式に関する基本的な文章問題です。
このくらいは楽勝でできるようにしておきましょう！

長方形の縦の長さを聞いているので、縦をｘｃｍとします。

横は縦より５ｃｍ長いので、(ｘ＋５)ｃｍですね。

そして、面積が８４ｃｍ2だから、「縦×横＝８４」という式を作ればＯＫですね！

ｘ(ｘ＋５)＝８４

カッコを外して移項すると、

ｘ^２＋５ｘ−８４＝０

これで見慣れた形の２次方程式になりました。
この数字の組み合わせなら因数分解できそうですね。

(ｘ＋１２)(ｘ−７)＝０

よって、ｘ＝−１２，７

長さは正の数なので、縦の長さは７ｃｍ


◆関連問題
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０，２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０
２次方程式まとめ

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中学数学「相似」「中点連結定理」台形の辺の長さ

中学数学「相似」「中点連結定理」台形の辺の長さ

◆問題

ＡＤ＝８，ＢＣ＝ｘ，ＡＤ‖ＢＣの台形ＡＢＣＤがある。ＡＢ，ＣＤそれぞれの中点をＥ，Ｆとし、ＡＣとＥＦの交点をＧとすると、ＥＧ＝１０，ＧＦ＝ｙとなる。
このとき、ｘ，ｙの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


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ＡＤ‖ＢＣで、Ｅ，Ｆはそれぞれの辺の中点なので、ＡＤ‖ＥＦ‖ＢＣです。
ということは、これらに交わる直線との間にできる同位角や錯角は等しいので、「２組の角がそれぞれ等しい」という相似条件を満たし、△ＡＢＣ∽△ＡＥＧ，△ＣＡＤ∽△ＣＧＦなどがわかります。

ＥはＡＢの中点だから、ＡＢ：ＡＥ＝２：１なので、相似な三角形の相似比は２：１です。
これを「中点連結定理」と呼んで、相似であることを意識せずに解いてしまう人も多いと思いますが、中点連結定理は相似の特殊な場合であることを理解しておいた方が良いです。

中点連結定理と考えても、相似と考えてもどちらでも良いですが、とにかく、ＢＣ：ＥＧ＝２：１です。
ＥＧ＝１０なので、ＢＣ＝２０ですね。

同様にして、ＡＤ：ＧＦ＝２：１，ＡＤ＝８より、ＧＦ＝４です。

つまり、ｘ＝２０，ｙ＝４ですね！


◆関連項目
基本的な相似の証明のやり方
図形まとめ(中学)


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中学数学「２次関数」１次関数と２次関数の変化の割合が等しいとき

中学数学「２次関数」１次関数と２次関数の変化の割合が等しいとき

関数ｙ＝ａｘ^２で、ｘの値が−２から８まで変化するときの変化の割合は、関数ｙ＝(３／２)ｘ＋３の変化の割合と等しくなる。このときのａの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


一般的に、

「変化の割合＝ｙの増加量／ｘの増加量」

ですね。

さらに、１次関数の場合は、傾きと変化の割合は等しくなります。

ｙ＝(３／２)ｘ＋３の傾きは(３／２)だから、変化の割合も(３／２)です。

つまり、２次関数の変化の割合が３／２になるようなａの値を求めればＯＫ！
というわけです。

ｘは−２から８まで増加するので、増加量は８−(−２)＝１０ですね。

ｙの増加量は、そのときのｙ座標の差だから、ａ×８^２−ａ×(−２)^２＝６４ａ−４ａ＝６０ａです。

変化の割合は３／２なので、

６０ａ／１０＝３／２

あとは普通に計算します。

６ａ＝３／２
　ａ＝３／(２×６)
　ａ＝１／４

よって、求めるａの値は１／４


◆関連問題
ｙ＝２ｘ^2において、ｘが−２から１まで変化するときの変化の割合
２次関数まとめ(中学)


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中学数学「相似」基本的な相似の証明

中学数学「相似」基本的な相似の証明

◆問題

△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣ上に、ＤＥ‖ＢＣとなるように点Ｄ，Ｅをとる。
このとき、△ＡＢＣ∽△ＡＤＥとなることを証明しなさい。


解答解説はこのページ下


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基本的な相似の証明のページでも説明したように、

まずはどの三角形について考えるかを宣言し
→理由を付けて等しいものを言っていき
→相似条件を述べて結論を言う。

という流れです。
早速やってみましょう！

＜証明＞

△ＡＢＣと△ＡＤＥで、

仮定よりＤＥ‖ＢＣで、平行線の同位角は等しいので、
∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ　・・・�@
∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ　・・・�A

�@，�Aより、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ


この問題はこれで終了です。
これは最も基本的なタイプの相似の証明ですが、もっと複雑な問題でも、意外と簡単なものも多いです。
「絶対解けるはず」と思って真剣に取り組んだらできるかも知れないので、諦めずがんばっていきましょう！


◆関連項目
基本的な相似の証明のやり方
図形まとめ(中学)


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中学数学「図形まとめ」

中学数学「図形まとめ」

中学数学の図形に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。
主に図形の性質や証明について書いていきたいと思います。


◆　解説

扇形の弧の長さ、扇形の面積

直方体の表面積

合同条件、基本的な合同の証明

相似条件、基本的な相似の証明

相似比と面積比

三平方の定理の基本
　三角定規の形の三角形、正三角形

　円と三角形の複合問題

　２点間の距離

　直方体の対角線


◆　問題

半径３ｃｍ，中心角２４０°の扇形の面積

基本的な相似の証明


まだまだ追加していきます！
リクエストがあればお気軽にどうぞ！


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中学数学「合同」「合同条件」「基本的な証明の方法」

中学数学「合同」「合同条件」「基本的な証明の方法」

★合同

形も大きさも同じ図形を「合同である」といいます。
△ＡＢＣと△ＤＥＦが合同ならば、「△ＡＢＣ≡△ＤＥＦ」と表します。


★合同条件

三角形の合同条件は３つあり、どれか一つでも満たしていれば、それら２つの三角形が合同であることがわかります。

・３組の辺がそれぞれ等しい
・２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
・１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい


★基本的な証明の方法

まず最初に

「△●●●と△×××で」

のように、どの三角形について考えるかを宣言します。
このとき、必ず対応する順番で言う必要があります。
対応する順番とは、辺や角が等しいもの同士を同じ順番で言う。ということです。
例えば、１個目の三角形で角の大きさが「大・中・小」の順番で言ったならば、２個目の三角形でも同じく「大・中・小」の順番にします。

その後は「仮定より」「共通な角だから」「平行線の錯角だから」など、理由をつけて等しいものを言っていきます。
一つのことを言う度に、�@，�A，…と番号を付けていきます。

テストの問題では、まず仮定で１つか２つのことを言えて、残りは図形の性質などを使って等しいと言っていく場合が多いです。

合同条件のうちどれかを満たす事柄を全て言えたら、その合同条件を述べて「▲●●●≡▲×××」と言って証明完成です。


合同条件は３つのことを言えばいいので、基本的には�@，�A，�Bで済むこともありますが、問題の条件によっては、�@，�A，�B，�C，�D，�Eくらいまで使うこともあります。
とにかく、きちんと理由を述べながら、論理の飛躍がないようにして「何かと何かが等しい」と言っていきます。

具体的な問題に関しては、また別の記事で解説します。


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基本的な相似の証明
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中学数学「２次方程式」動点の問題�A

中学数学「２次方程式」動点の問題�A

ＡＢ＝２０ｃｍ，ＢＣ＝３０ｃｍの長方形がある。点Ｐ，ＱはそれぞれＣ，Ｄを同時に出発し、Ｐは毎秒２ｃｍの速さでＤまで、Ｑは毎秒３ｃｍの速さでＡまで移動して止まる。△ＰＤＱの面積が４８ｃｍ2になるのは、点Ｐ，Ｑが出発してから何秒後か求めよ。


参考図

Ａ　　←Ｑ　Ｄ
┌─────┐
│　　　　　│↑
│　　　　　│Ｐ
└─────┘
Ｂ　　　　　Ｃ


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



△ＰＤＱは直角三角形なので、普通に「底辺×高さ÷２」で面積を求めることが出来ます。

直角をはさむ２辺のうち片方を底辺、残り片方を高さとすればＯＫです。
ここでは、ＤＱを底辺、ＤＰを高さ、求める時刻をｘ秒後として考えてみます。

点Ｑは毎秒３ｃｍの速さでＤからＡまで進むので、ｘ秒後にはＤＱ＝３ｘｃｍとなります。

点Ｐは毎秒２ｃｍの速さでＣからＤまで進むので、ｘ秒後にはＣＰ＝２ｘｃｍです。
ＣＰ＝２ｘであって、ＤＰ＝２ｘではないことに注意してください。

ＤＰ＝ＣＤ−ＣＰですね。

ＤＣ＝２０ｃｍだから、ＤＰ＝(２０−２ｘ)ｃｍです。

あとは普通に「底辺×高さ÷２」をやると、

△ＰＤＱ＝３ｘ×(２０−２ｘ)÷２＝３ｘ(１０−ｘ)

となります。
面積が４８ｃｍ2のときについて考えるので、

３ｘ(１０−ｘ)＝４８

このような式ができます。
これは２次方程式なので、あとは普通に計算ですね！

３０ｘ−３ｘ^２＝４８
−３ｘ^２＋３０ｘ−４８＝０
ｘ^２−１０ｘ＋１６＝０
(ｘ−２)(ｘ−８)＝０
よって、ｘ＝２，８

Ｐ，Ｑが止まるまでにかかる時間は１０秒なので、ｘ＝２，８どちらも適した値ということができます。
よって求める答えは、

２秒後，８秒後


◆関連問題
動点の問題�@
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０，２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０
２次方程式まとめ

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中学数学「２次方程式」動点の問題�@

中学数学「２次方程式」動点の問題�@

１辺が１２ｃｍの正方形ＡＢＣＤがある。点Ｐ，ＱはそれぞれＢ，Ｃを同時に出発し、毎秒１ｃｍの速さでそれぞれＣ，Ｄまで動いて止まる。このとき、△ＰＣＱの面積が１８ｃｍ2になるのは、２点が動き出して何秒後か求めよ。


参考図

Ａ　　　Ｄ
┌───┐
│　　　│↑
│Ｐ→　│Ｑ
└───┘
Ｂ　　　Ｃ


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



△ＰＣＱは直角三角形なので、普通に「底辺×高さ÷２」で面積を求めることが出来ます。

底辺はＰＣ，高さはＣＱですね。

Ｐ，Ｑは毎秒１ｃｍで動くので、ｘ秒後のＢＰ，ＣＱの長さはｘｃｍです。

ＰＣ＝ＢＣ−ＢＰだから、

ＰＣ＝１２−ｘ

ですね。

これで底辺がわかり、高さはＣＱ＝ｘｃｍがわかっているので、「面積＝１８」という式を立てます。

ｘ(１２−ｘ)÷２＝１８

方程式ができたので、あとは普通に解けば、何秒後かわかる。というわけです。

１２ｘ−ｘ^２＝３６
−ｘ^２＋１２ｘ−３６＝０
ｘ^２−１２ｘ＋３６＝０
(ｘ−６)^２＝０

よって、ｘ＝６

つまり、６秒後に△ＰＣＱの面積は１８ｃｍ2になります。


◆関連問題
動点の問題�A
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０、２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０
２次方程式まとめ

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中学数学「２次方程式」解の公式

中学数学「２次方程式」解の公式

どんな２次方程式でも正しく代入して正しく計算すれば、解ける公式が「２次方程式の解の公式」です。

２次方程式ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝０の解の公式はコレです。



中学数学としては難しい公式ですが、とてもよく使う公式なので、

「エックスイコール２ａ分のマイナスｂプラスマイナスルートｂ２乗マイナス４ａｃ」

と呪文のように唱えて覚えて、何度も代入して計算する練習をする必要があります。

この記事では、この解の公式を導いてみます。
実は、ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０を変形しただけです。

ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０

まずはｘを含む項をａでくくります。

ａ{ｘ^2＋(ｂ／ａ)ｘ}＋ｃ＝０

中括弧の中身が(●●)^2の形になるようにします。そのためには(ｂ／ａ)の半分の２乗が必要なので、

ａ{ｘ^2＋(ｂ／ａ)ｘ＋(ｂ／２ａ)^2−(ｂ／２ａ)^2}＋ｃ＝０
ａ(ｘ＋ｂ／２ａ)^2−ａ×(ｂ／２ａ)^2＋ｃ＝０

定数項を右辺に移項し、両辺をａで割ります

ａ(ｘ＋ｂ／２ａ)^2＝ａ×(ｂ／２ａ)^2−ｃ
(ｘ＋ｂ／２ａ)^2＝ｂ^2／４ａ^2−ｃ／ａ

ここで両辺の平方根をとると

ｘ＋ｂ／２ａ＝±√(ｂ^2／４ａ^2−ｃ／ａ)

ｂ／２ａを右辺に移項し整理すれば完成です！

ｘ＝−ｂ／２ａ±√(ｂ^2／４ａ^2−４ａｃ／４ａ^2)
　＝−ｂ／２ａ±√{(ｂ^2−４ａｃ)／４ａ^2}
　＝−ｂ／２ａ±(１／２ａ)√(ｂ^2−４ａｃ)
　＝{−ｂ±√(ｂ^2−４ａｃ)}／２ａ

というわけで、



ですね！

念のため言っておきますが、中学数学ではこれができる必要はありません。
途中に高校数学の「平方完成」を含みます。だから、高校生になってからできるようになれば問題ありません。
まずは教科書・ワーク、入試の過去問などの普通の問題を全て解けるようにしていきましょう！


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



◆関連問題
平方完成
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０
２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０


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中学数学「２次方程式」基本的な解き方

中学数学「２次方程式」基本的な解き方

ノーマルな２次方程式を解きたいときは、基本的に以下のように考えます。


�@●●＝０の形に直す

�A因数分解をやってみる

�B因数分解できなければ解の公式を使う


この考え方でほとんどの２次方程式は解けます。

ちなみに、↓解の公式はコレ↓


中学の範囲では、２次方程式の解の公式の導き方は、特に気にする必要はありません。
とてもよく使う公式なので、理屈抜きにして確実に素早く使えるようにする必要があります。

もちろん、余力がある人は自分で導けるようにするとさらに良いです。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



◆関連問題
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０
２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０


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中学数学「２次方程式」まとめ

中学数学「２次方程式」まとめ

中学数学の２次方程式に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆　解説

基本的な解き方
因数分解
解の公式

◆　問題

因数分解で２次方程式を解く
解の公式を使って２次方程式を解く

ｘ＝１±√３を解とする２次方程式をつくる
ｘ^2＋ａｘ＋ｂ＝０の解が３，−２のとき、ａ，ｂの値を求めよ。

１次関数と２次関数の交点

長方形の面積から縦の長さを求める


◆　関連項目
１次関数、比例・反比例
中学数学の２次関数
高校数学の２次関数


まだまだ追加していきます！
リクエストがあればお気軽にどうぞ！


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中学数学「２次方程式」ｘ＝１±√３を解とする２次方程式をつくる

中学数学「２次方程式」ｘ＝１±√３を解とする２次方程式をつくる

■問題

ｘ＝１±√３を解とする２次方程式を作りなさい。


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



■解答

まず、２次方程式を解くときは、「●●＝０」の形に直して、

★因数分解を試みる。できなければ解の公式に代入する。

という考え方をすればＯＫですね。

そして、因数分解をした場合、(ｘ−α)(ｘ−β)＝０の形になれば、解はｘ＝α，βとなります。

ここまでは２次方程式を解ける人ならみんなわかっていると思います。


今回の問題は、これを活用すればいいのです。

「解がｘ＝１±√３」

なので、(ｘ−α)(ｘ−β)＝０のα，βが１±√３だ。というわけですね。

それならば、α，βに１±√３を代入すればＯＫ！

「１±√３」は「１＋√３または１−√３」で、α＝１＋√３，β＝１−√３とすれば、

{ｘ−(１＋√３)}{ｘ−(１−√３)}＝０

ただ単に代入したらこうなりますね。
必要のない中括弧が残ったままなのはは答えとしてはふさわしくないので、書き直すと、

(ｘ−１−√３)(ｘ−１＋√３)＝０

これで完成です。
ワークや問題集の模範解答には、別の形で答えが書いてあるかも知れませんが、この問題では解答の形式に特に指定はないので、この形で全く問題ありません。

もし、「このままではどうしても嫌！」という人は、単に展開して整理すればＯＫです。

ｘ^2＋(−１＋√３)ｘ＋(−１−√３)ｘ＋(−１−√３)(−１＋√３)＝０
ｘ^2−２ｘ＋１−３＝０
ｘ^2−２ｘ−２＝０

もちろん、他の解き方も可能ですが、まずはこの解き方を理解した方が応用が利きます。
「オリジナリティ溢れる解き方」を暗記するのではなく、式の意味を正しく理解して、意味の通りに式を立てられるようにしましょう！


◆関連問題
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０


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中学数学「２次関数」直線と放物線の交点

中学数学「２次関数」直線と放物線の交点

■問題

ｙ＝ｘ^２とｙ＝ｘ＋６の交点を求めよ。


■選択肢

このときは何をすればいいでしょうか？

�@ｘ＝０を代入する
�Aｙ＝０を代入する
�B連立方程式を解く
�C変域を求める


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�B連立方程式を解く

関数の組み合わせが直線と放物線でも、交点なら連立方程式ですね！


■解答

ｙ＝ｘ^２とｙ＝ｘ＋６を連立方程式として解きます。

両方ｙ＝●●の形なので、右辺同士をイコールで結んで、

ｘ^２＝ｘ＋６

２次方程式になったので、右辺をゼロにして因数分解を試みます。

ｘ^２−ｘ−６＝０
(ｘ＋２)(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝−２，３

これでｘの値が出ました。それぞれｙ＝ｘ＋６に代入すればｙ座標もわかり、求めたい交点がわかります。

ｘ＝−２のとき、ｙ＝−２＋６＝４
ｘ＝３のとき、ｙ＝３＋６＝９

よって求める交点は、(−２，４)，(３，９)


ちなみに、交点は両方の式で同時に成り立つので、ｘの値はｙ＝ｘ^２に代入しても大丈夫です。


２次関数(中学)まとめ


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中学数学「１次関数」ａｘ＋ｂｙ＝６がｙ軸に平行で(２，３)を通るとき

中学数学「１次関数」ａｘ＋ｂｙ＝６がｙ軸に平行で(２，３)を通るとき

◆問題

２元１次方程式ａｘ＋ｂｙ＝６のグラフは、ｙ軸に平行で点(２，３)を通るという。
この条件を満たすａ，ｂの値を求めよ。


◆解答解説

ｙ軸は縦の直線なので、ｙ軸に平行なグラフも縦の直線になります。

ｙ軸に平行な直線上は、どこでもｘの値が同じです。
上下にしか動かないので、ｙ座標だけしか変わらない。ｘ座標は一定。というわけです。

だから、「ｙ軸に平行で(２，３)を通る」直線の式は、

ｘ＝２

ですね。
どこまで上に行っても、下に行っても、ｘ座標は一定でｘ＝２です。
だから、直線の式はｘ＝２です。

「問題の条件を満たす方程式はｘ＝２だから、あとは、ａｘ＋ｂｙ＝６と同じ形に変形すればａ，ｂの値がわかるはず！」と考えます。

定数項が６と決まっているので、ｘ＝２の定数項も６に合わせます。
つまり、両辺を３倍してみます。

３ｘ＝６

これで目的の形と同じになりました。

「ｙが消えちゃってるから違うような・・・？」と思う人もいると思います。

確かにｙがないので違う形にも見えますが、ｙの係数ｂが、ｙの項が消えちゃうような値だから見た目上消えている。というわけです。
０×ｙ＝０なので、ｂ＝０ならばｙの項が消えちゃいますね。

つまり、問題の条件を満たす式は、

３ｘ＋０ｙ＝６

です。

ａｘ＋ｂｙ＝６と比較すると、ａ＝３，ｂ＝０ですね！


１次関数まとめ


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中学数学(用語)「２乗に比例する関数」

中学数学(用語)「２乗に比例する関数」

中学で習う２次関数は、ｙ＝ａｘ^２の形で表される「２乗に比例する関数」です。

ｘ＝０のときｙ＝０で、原点を頂点とする２次関数なので「ｙはｘの２乗に比例する」というわけです。

物を空中に放り投げたときの軌道が２次関数のグラフの形になるので、２次関数のグラフのことを「放物線」とも言います。
放物線は曲線なので、定規を当てて描くことはできないので、いくつかの点を取って、それらをフリーハンドでなめらかな曲線で結んで描きます。

・変化の割合はａの値とは一致するとは限らないので、ちゃんと「ｙの増加量／ｘの増加量」を計算する
・グラフの両端が最大・最小になるとは限らない→頂点を含むときは頂点が最大または最小

など、１次関数とは違う点も多いことを理解しておきましょう！


◆関連項目
２次関数(中学)まとめ
１次関数、比例・反比例まとめ


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