2019年11月29日

中学数学「平方根」「足し算・引き算」A

中学数学「平方根」「足し算・引き算」A

前回の記事で、基本的な足し算引き算を解説しました。

今回はa√bの形に直して計算する場合を解説します。


√3+√3=2√3

のように、ルートの中身が同じならば、中身はそのままで、外の数を足すだけでしたね。
そして、中身が違うときは足し算引き算はできません。

でしたが、中身が違っても、変形して同じになるなら、同じに直せば計算できる。ということができます。
たとえば、

 √8+√32
=2√2+4√2
=6√2

です。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、2次方程式などの練習ができます。


√8と√32はもちろんそのままでは、√の中身が違います。
しかし、それぞれ直すと、

√8=2√2,√32=4√2

だから、√の中身が同じになり、足し算ができる。というわけです。

引き算でももちろん同様です。

 √5−√125
=√5−2√5
=−√5


次の記事→ルートの四則混合


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中学数学「平方根」「足し算・引き算」@

中学数学「平方根」「足し算・引き算」@

平方根のかけ算平方根の割り算は、「ルートの中同士、外同士を掛けたり割ったりする」だけでしたが、足し算引き算はちょっと違います。

例えば、

√3+√3=2√3

です。

√3と√3を足したら、√3が2個だから、2×√3=2√3というわけです。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、2次方程式などの練習ができます。


つまり平方根の足し算は、√の部分は変わらず、√の前の係数同士を足すだけで完成!です。


2√5+√5=3√5

(3/2)√2+(1/2)√2=(4/2)√2=2√2


分数が入ってもやり方は同じです。

さらに、引き算でも同様に、√の部分は変わらず、係数同士を引き算すればOKです。


√10−√10=0×√10=0

5√3−2√3=3√3


などなど。


次の記事→ルートの中身が違うときの足し算・引き算


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2019年11月28日

中学数学「平方根」「かけ算・割り算」

中学数学「平方根」「かけ算・割り算」

平方根のかけ算平方根の割り算が一つの式に複合した場合を考えます。

・・・と言っても、特別なことは特になく、普通の数字や式のときにやったことと同じ事をすればOKです。
つまり、割り切れる数の場合は割り算を普通にしてしまえばよく、割り切れない場合は、

「÷の後の数を逆数にしてかけ算をする」

です。

まずは割り切れる場合。

 √2×√10÷√5
=√2×√2
=2

√10÷√5は普通に割れるので割って、残りをかけ算ですね。


次は割り切れない場合。

 √3÷2√6÷√10

この場合は、割り切れないので、÷の直後の数を逆数にしてかけ算をします。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、2次方程式などの練習ができます。


 √3÷2√6÷√10
=√3×(1/2√6)×(1/√10)
=(√3×1×1)/(2√6×√10)
=1/(2√2×√10)
=1/2√20

ここで、分母の√20をa√bの形に直します。

20=2×2×5なので、√20=2√5ですね。

=1/(2×2√5)
=1/4√5

ここでさらに、分母の有理化をします。
分母には√5があるので、分子と分母に√5を掛けます。

=(1×√5)/(4√5×√5)
=√5/(4×5)
=√5/20

これで完成です!
途中の計算は省略せずに、このようにしっかり書いた方がミスも少なくなり、結局トータルでは速く終わります。
手間を惜しまず丁寧にやりましょう!


次の記事→ルートの足し算・引き算


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2019年11月27日

中学数学「平方根」「割り算」A

中学数学「平方根」「割り算」A

基本的な平方根の割り算では、√の中や外がそれぞれ割り切れる場合を見てみましたが、もちろん、割り切れない場合もあります。そんなときは、分数にして「分母の有理化」をします。


√2÷√10は、割り切れないのでまずは分数にします。

√2÷√10=√2/√10

約分して、

=√1/√5

分母が√のときは、分母から√が消えるようにします。これを「分母の有理化」と言います。
平方根は「2乗したら中身の数になる数」であるので、

√5×√5=5

ですね。
分母をこの形にしてしまえば良いのです。
ただし、分母だけを変えると、分数の値が変化してしまうので、ちゃんとイコールの前後が等しくなるように、分子にも√5を掛けます。

=(√1×√5)/(√5×√5)
=√5/5

ということで、計算終了です!


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、2次方程式などの練習ができます。


他の例も一つ挙げておきます。

 2√6/5√12
=2/5√2   ←√6で約分した
=(2×√2)/(5√2×√2)  ←分子と分母に√2を掛けた
=2√2/(5×2)  ←√2×√2=2
=2√2/10
=√2/5   ←2で約分した


次の記事→かけ算・割り算が混ざっている場合


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中学数学「平方根」「割り算」@

中学数学「平方根」「割り算」@

平方根の割り算も、かけ算と同じく、基本的に「ルートの中は中同士、外は外同士数字を割り算する」だけです。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓



例えば・・・

√6÷√2=√3

4√10÷2√5=2√2

など、それぞれが割り切れる場合は特に迷うことはないと思います。
とにかく「中同士、外同士を割る」だけです。


次の記事→そのままでは割り切れない場合(分母の有理化)


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2019年11月26日

中学数学「平方根」「かけ算」B

中学数学「平方根」「かけ算」B「a√bに直す場合」

a√bに直す場合の続きです。

√6×√42を計算してみましょう。

まずはルートの中身同士を掛けるので、

√6×√42=√252

252はかなり大きいので、素因数分解をしてみます。

 2)252
 ーーーーー
 2)126
 ーーーーー
 3) 63
 ーーーーー
 3) 21
 ーーーーー
     7

となるので、252=2^2×3^2×7です。

素因数分解して「同じ数が2個あれば1個外に出る」ので、2と3がルートの外に出る。とわかります。
7は一つしかないので、ルートの中に残ります。

「252=2^2×3^2×7」はかけ算が連続している形になっているので、外に出た2と3もかけ算をします。
よって、

√252=6√7


もうひとつやってみましょう!

2√14×5√35=10√490

これもルートの中身が大きいので、素因数分解してみます。

 2)490
 ーーーーー
 5)245
 ーーーーー
 7) 49
 ーーーーー
     7

490=2×5×7^2であることがわかりました。
7は2個あるので外に出て、2と5は1個ずつしかないのでルートの中に残ります。
中に残る数同士もかけ算をします。
だから、√490=7√10となります。

この場合はさらに、√の外に10がついていて、10√490=10×√490なので、求める答えは、

 2√14×5√35
=10√490
=10×7√10
=70√10

ですね!


次の記事→割り算の場合


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2019年11月25日

中学数学「平方根」「かけ算」A「a√bに直す場合」

中学数学「平方根」「かけ算」A「a√bに直す場合」

平方根のかけ算の続きです。

平方根のかけ算割り算は、基本的に、ルートの中同士、外同士をそれぞれ掛けるだけですが、

√2×√6=√12

の場合は、これで終わりでなく、さらにもっと簡単にしなければいけません。
どうするのが「簡単にする」ことなのかといえば、

「ルートの中身をできるだけ小さい数にする」

ということです。

それには、素因数分解を用います。

 2)12
 ーーーーー
 2) 6
 ーーーーー
    3

となるので、12=2^2×3です。

√12=√(2^2×3)
  =(√2)^2×√3
  =2√3

となります。

普通は、素因数分解して「同じ数が2個あれば1個外に出る」と考えます。

2が2個あったから、√の外に2が出て、3は1個だから√の中に残った。というわけです。


次の記事→a√bの形に直す他の例


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中学数学「平方根」「かけ算」@

中学数学「平方根」「かけ算」@

平方根のかけ算割り算は、基本的に、ルートの中同士、外同士をそれぞれ掛けるだけです。
つまり、

√2×√3=√6

2√5×√7=2√35

3√2×2√5=15√10

などとなります。
ここまでの例では、これでおしまいですが、数字の組み合わせによっては、もう少しやることがある場合もあります。

√2×√6=√12

これ自体は正しいですが、√12の場合はもっと簡単に直せるので、直します。

数学での答え方の原則は「最も簡単な形に直して答える」ですね。


次の記事→√12の直し方


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中学数学「平方根」「√2の2乗」

中学数学「平方根」「√2の2乗」

平方根の単元の計算をするには、まずは定義をよく理解しなければいけません。
具体例を挙げてみます。

√2は「2乗したら2になる数」であり、
√3は「2乗したら3になる数」であり、
√4は「2乗したら4になる数」だから、√4=2であり、
√5は「2乗したら5になる数」です。

では、√2を2乗したらどうなるでしょうか?

√2の意味をもう一度考えると、「√2は2乗したら2になる数」です。

この「2乗したら2になる数」を2乗するのだから・・・

2ですね!

式で表すと、

(√2)^2=2

というわけです。


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2019年11月14日

中学数学「2次方程式」「解の公式」

中学数学「2次方程式」「解の公式」

2次方程式x^2+9x−5=0を解け。


2次方程式は、まずは因数分解を試みる。もしできなければ、解の公式。と考えます。


次の書籍も参考にしてください。





x^2+9x−5=0

掛けて−5,足して9の整数の組み合わせはないので、解の公式を使います。
このように、真ん中の数が大きいときは(中学の範囲では)因数分解できないことが多いです。


解の公式は
2dkai01.png
ですね。

これにa=1,b=9,c=−5を代入して、

x=[−9±√{9^2−4×1×(−5)}]/2×1
 ={−9±√(81+20)}/2
 =(−9±√101)/2


関連問題
因数分解のとき


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2019年11月13日

中学数学「2次方程式」「因数分解」

中学数学「2次方程式」「因数分解」

2次方程式x^2+3x−28=0を解け。


2次方程式は、まずは因数分解を試みる。もしできなければ、解の公式。と考えます。


次の書籍も参考にしてください。





x^2+3x−28=0

掛けて−28,足して3なのは、−4と7なので、

(x−4)(x+7)=0

よって、x=4,−7


2つのものを掛けてゼロなので、かっこの中がそれぞれゼロ。ということから、xの値がわかります。


関連問題
解の公式による2次方程式の解き方


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2019年09月11日

中学数学「1次関数」「2直線の交点」

中学数学「1次関数」「2直線の交点」

y=2x−1とy=−x+3の交点を求めよ。

y=2x−1もy=−x+3も1次関数です。つまり直線です。

直線同士の交点は、2つの直線両方を満たすx,yの値を意味するので、
つまりは

2つの直線の式を連立方程式にして解く。

だけで求めることができます。


そして、直線の式は普通は「y=ax+b」の形になっていて、2つともyを表した式だから、右辺同士をイコールで結ぶことができます。
つまり、

2x−1=−x+3

簡単な1次方程式になってしまいましたね。
あとはこれを解けば

2x+x=3+1
  3x=4
   x=4/3

x座標がわかりました。
もとの2つの直線の式のうち好きな方にこのx座標を代入すればy座標がわかる。というわけです。

y=−x+3にx=4/3を代入して、
y=−4/3+3
 =−4/3+9/3
 =5/3

よって、求める交点の座標は(4/3,5/3)


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2019年08月29日

中学数学「1次関数」「グラフの描き方」

中学数学「1次関数」「グラフの描き方」

y=2x−1のグラフを描け。

見えてる数字をなんとなくそのまま使って、

x軸上に2,y軸上に−1をとって、その2点を結んで完成!

としてしまう人がたくさんいます。
もちろんこれは間違いです。

1次関数のグラフを描く場合は、切片と傾きを考えます。
y=ax+bのaが傾き、bが切片ですね。

@切片と傾きの値を式から読み取る。→ここでは切片は−1,傾きは2

Ay軸上に切片の値の点を取る。→切片は−1なのでy軸上に−1の点を取る。

B切片のところから右に1進んだら、傾きの値と同じ数だけ縦に進む。→傾きは2なので、切片の位置から右に1進んだら上に2進む。

CBで求めた点からさらに右に1進んだら、また、傾きの値と同じ数だけ縦に進む。→傾き2なので、Bの位置から右に1進んだら上に2進む。

DCを繰り返して、次々と点を取っていき、全ての点を通るように直線を引く。

注意点としては、通る点は、なるべく離れた点をたくさん見つけるとよいです。離れた2点が正しく取れれば、その間の点は自動的に通ります。
慣れることも大切なので、グラフの描き方がわかったら、何度も練習しましょう!


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2019年08月15日

中学数学「1次関数」「切片」「y軸上で交わる」

中学数学「1次関数」「切片」「y軸上で交わる」

1次関数の問題では、「y軸上で交わる」という条件もよく登場します。

y軸上の点は、すなわち「切片」なので、

「y軸上で交わる」ならば、「それらの2直線の切片は等しい」ということができます。

例えば、y=2x+5とy軸上で交わる直線は、切片が5である。

というわけです。


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2019年08月13日

中学数学「1次関数」「傾き」「平行」

中学数学「1次関数」「傾き」「平行」

1次関数の問題では、「平行」という条件がよく出てきます。

2本の直線が平行ならば、傾きが等しい。

ということを意味します。

傾きは「xが1増えた時のyの増加量」を表しているので、

もし、傾きが同じならば、「xが1増えた時のyの増加量も同じ」というわけです。

例えば、y=2x+5に平行な直線の傾きは2ですね。


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2019年08月12日

中学数学「1次関数」「傾き」「切片」

中学数学「1次関数」「傾き」「切片」

中学数学の「グラフ」に関する問題は、1次関数の理解が欠かせません。

1次関数は次の式で表されます。

y=ax+b

x,yはグラフ上の点の座標です。

aは傾き

bは切片

ですね。

「傾き」とは、「xが1増えたらyがいくつ増えるか」を表す値です。
傾きが大きくなると、グラフの傾き方が大きくなります。

例えば「傾きが1」なら、「xが1増えたらyも1増える」ですが、
「傾きが10」なら、「xが1増えたりyは10増える」のです。

「切片」とは、「y軸との交点のy座標」を表す値です。
直線のグラフを描くと、必ずどこかでy軸と交わります。
その交点の場所を表すのが「切片」です。


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2019年04月15日

中学数学「扇形の面積」

中学数学「扇形の面積」

扇形の面積の公式を実際に使ってみましょう!

半径3cm,中心角240°の扇形の面積を求めることを考えます。

扇形は円の一部なので、「円×a/360」で求めることができます。

つまり、「S=πr^2×a/360」ですね。

これにr=3,a=240を代入して、

S=π×3^2×240/360
 =9π×2/3
 =6π

よって、求める扇形の面積は、6πcm^2です。


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2019年04月13日

中学数学「単項式」「多項式」

中学数学「単項式」「多項式」

−7xy,ab^3などは単項式

x−y,a+3などは多項式

です。

かけ算割り算でつながっている数字や文字は「ひとかたまり」とみなし「一つの項」だから「単項式」

足し算引き算でつながっている数字や文字は「別々のもの」とみなし「多数の項」だから「多項式」

です。

つまり、文字や数字の間にプラスやマイナスが入っていれば「多項式」、なければ「単項式」ということができます。


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2019年04月07日

中学数学「空間図形」直方体の表面積

中学数学「空間図形」直方体の表面積

立体図形の表面積を求めるときは、展開図を考えて、その展開図のそれぞれの図形の面積の和を求めます。

直方体ならば、すべての面が長方形でできているので、それらの長方形の面積を全部足すだけです。

中学レベルでは、各辺の単位がcmとなっている場合が多いので、面積はたいていcm2となります。

単位をつけ忘れると、減点またはバツとなってしまいますので、気をつけてくださいね!


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2019年04月05日

中学数学「1次方程式」移項

中学数学「1次方程式」移項

方程式の計算では、たいてい移項が必要になります。

移項とは、「イコールの反対側に項を移動すること」です。

「移項すると符号が変わる」と考えますが、これはどうしてでしょうか?

例えば「x+3=2」という方程式を考えます。
この方程式を解くときは、左辺の+3が邪魔です。
邪魔なら消せば良い。ということで、移項しますが、移項するとき実は「両辺に同じ数を足す(引く)」ということをやっています。

+3を消すには−3する。左辺から−3したら右辺にも−3をする。

すると、「x+3−3=2−3」となり、「x=2−3」となります。

3を右辺に移項したら符号が変わるのは、両辺に消える数を足す(引く)からですね!


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