中学数学「扇形の面積」

中学数学「扇形の面積」

扇形の面積の公式を実際に使ってみましょう！

半径３ｃｍ，中心角２４０°の扇形の面積を求めることを考えます。

扇形は円の一部なので、「円×ａ／３６０」で求めることができます。

つまり、「Ｓ＝πｒ^2×ａ／３６０」ですね。

これにｒ＝３，ａ＝２４０を代入して、

Ｓ＝π×３^2×２４０／３６０
　＝９π×２／３
　＝６π

よって、求める扇形の面積は、６πｃｍ^2です。


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中学数学「単項式」「多項式」

中学数学「単項式」「多項式」

−７ｘｙ，ａｂ^3などは単項式

ｘ−ｙ，ａ＋３などは多項式

です。

かけ算割り算でつながっている数字や文字は「ひとかたまり」とみなし「一つの項」だから「単項式」

足し算引き算でつながっている数字や文字は「別々のもの」とみなし「多数の項」だから「多項式」

です。

つまり、文字や数字の間にプラスやマイナスが入っていれば「多項式」、なければ「単項式」ということができます。


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中学数学「空間図形」直方体の表面積

中学数学「空間図形」直方体の表面積

立体図形の表面積を求めるときは、展開図を考えて、その展開図のそれぞれの図形の面積の和を求めます。

直方体ならば、すべての面が長方形でできているので、それらの長方形の面積を全部足すだけです。

中学レベルでは、各辺の単位がｃｍとなっている場合が多いので、面積はたいていｃｍ2となります。

単位をつけ忘れると、減点またはバツとなってしまいますので、気をつけてくださいね！


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中学数学「１次方程式」移項

中学数学「１次方程式」移項

方程式の計算では、たいてい移項が必要になります。

移項とは、「イコールの反対側に項を移動すること」です。

「移項すると符号が変わる」と考えますが、これはどうしてでしょうか？

例えば「ｘ＋３＝２」という方程式を考えます。
この方程式を解くときは、左辺の＋３が邪魔です。
邪魔なら消せば良い。ということで、移項しますが、移項するとき実は「両辺に同じ数を足す(引く)」ということをやっています。

＋３を消すには−３する。左辺から−３したら右辺にも−３をする。

すると、「ｘ＋３−３＝２−３」となり、「ｘ＝２−３」となります。

３を右辺に移項したら符号が変わるのは、両辺に消える数を足す(引く)からですね！


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中学数学「１次関数と２次関数の交点」

中学数学「１次関数と２次関数の交点」

１次関数と２次関数は関数の種類が違うので、交点の座標を出すときは、特別な方法が必要・・・なわけがありません(笑)

１次関数と２次関数だろうが、１次関数同士だろうが、その他の関数だろうが、

交点を出したければ「連立方程式」です。

１次関数と２次関数の場合は、連立すると２次方程式になるので、因数分解したり、解の公式を使ったりして解いて、座標を求めます。



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中学数学「１次関数」２点を通る直線の式

中学数学「１次関数」２点を通る直線の式

座標平面上の２点が与えられ、その２点を通る直線の式は、

その２点の座標をｙ＝ａｘ＋ｂに代入してできた式を連立方程式にして解けば求めることができます。


通る点の座標は、そのグラフの式に代入できる

直線の式はｙ＝ａｘ＋ｂ


だから、その２点の座標をそれぞれｙ＝ａｘ＋ｂのｘ，ｙに代入して連立方程式！ですね！


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中学数学「資料の整理」高校数学「データの分析」「ヒストグラム」

中学数学「資料の整理」高校数学「データの分析」「ヒストグラム」

ヒストグラムとは要するに「棒グラフ」です。

データを一定の幅に区切って、その度数分布をグラフに表したのが「ヒストグラム」です。

中学数学の範囲では、ヒストグラムと度数分布表の関係がわかればＯＫです。

高校数学の範囲では、ヒストグラムと箱ひげ図の関係をわかるようにします。




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中学数学「正負の数」マイナスを含む数の足し算引き算

中学数学「正負の数」マイナスを含む数の足し算引き算

例えば、「−８＋５」という計算をやるとします。
答えはもちろん「−３」ですが、正負の数を習いたての中学１年生や、中学の内容を先取りする小学生はその意味がわからず、「−１３」「１３」「３」などと間違えることがあります。

そんなときは、身近な例で考えるとよいです。

例えば、

「気温が−８℃から５℃上がったら何度？」
「階段を８段下がって５段上がったらどの位置にいる？」

などの具体例で尋ねると、「あ、そっか！」とわかる場合もあるはずです。


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中学数学「１次方程式」方程式の基本的な解き方

中学数学「１次方程式」方程式の基本的な解き方

方程式を解くというのは、「ｘ＝●●」の形にして、ｘの値を求めることです。

方程式は両辺が等しいので、両辺に同じことをして変形することができます。

左辺から２を引いたら、右辺からも２を引く。
左辺に５を足したら、右辺にも５を足す。
左辺を４で割ったら、右辺も４で割る。
左辺に−３を掛けたら、右辺にも−３を掛ける。

などなど。
とにかく、「ｘ＝●●の形にする」「両辺に同じことをする」です。


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中学数学「三平方の定理」「特別な三角形」「正三角形」

中学数学「三平方の定理」「特別な三角形」「正三角形」

正三角形は３つの角がすべて６０°です。

正三角形の一つの頂点から対辺に垂線を引くと、その角の二等分線かつ対辺の垂直二等分線になります。

ここまでは小学校の知識でもわかることです。

このようにして正三角形を２つの三角形に分けると、必然的に、３０°６０°９０°の三角形になります。

これは辺の比が１：２：√３になる「特別な三角形」です。

このことを利用すれば、正三角形は１辺の長さがわかれば、面積などその他の情報もわかることになります。


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中学数学「資料の整理」ヒストグラムから平均値を求める

中学数学「資料の整理」ヒストグラムから平均値を求める

平均値を求めたいならば、当然、「平均値＝合計÷度数(人数、回数等)」です。
ヒストグラムだからといって特別なことはありません。

ただし、ヒストグラムで表された資料は、実際の値がわからなくなっています。
ではどうやって合計÷度数をやればいいかというと・・・

まず、それぞれの階級の真ん中の値を階級値といい、その階級に属するデータはすべて階級値の値とみなします。

たとえば、２０〜３０の階級に４つの度数があるとすると、階級値は２５なので、２５の値が４つある。と考えます。
この階級の合計は、２５×４＝１００です。

同様にして、すべての階級について「階級値×度数」をして、合計を出します。

合計を全体の度数で割れば、それが平均値になります。


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中学数学「相似」相似比と面積比

中学数学「相似」相似比と面積比

「相似な図形の面積比は、相似比の２乗である」と、性質として覚える人も多いと思いますが、どうしてそうなのかできるだけ理解しておくようにしましょう！

面積は、「縦×横」など、長さを２回掛けたものです。

相似な図形の場合、その２回掛ける長さがそれぞれ相似比の比率になります。
たとえば３：２ならば、縦も横も３：２です。
３：２のもの同士を掛けるのだから、掛けた結果は２乗になって、９：４になる。というわけです。

これを応用すれば、体積比は相似比の３乗になる理由もわかりますね？


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中学数学「関数」「三平方の定理」２点間の距離

中学数学「関数」「三平方の定理」２点間の距離

斜めの２点間の距離を求めたいときは、三平方の定理を使います。

その２点を直線で結び、それぞれの点からｘ軸に平行な線とｙ軸に平行な線を引いて、直角三角形を作ります。

直角三角形ができれば、三平方の定理が使える。というわけです。

ｘ軸に平行な線とｙ軸に平行な線の長さは、それぞれ２点の座標の差で求めることができます。
それらが直角を挟む２辺になり、求める２点間の距離が斜辺になります。

公式としては、求める距離をｄ，２点の座標を(ｘ1，ｙ1)，(ｘ2，ｙ2)とすれば、

ｄ＝√{(ｘ2−ｘ1)^2＋(ｙ2−ｙ1)^2}

となります。


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中学数学「関数」ｘ軸に平行な直線上の２点間の距離

中学数学「関数」ｘ軸に平行な直線上の２点間の距離

中学数学では、２点間の距離は、ｘ軸に平行な直線またはｙ軸に平行な直線の場合が多いです。

その場合は、座標を引き算するだけで２点間の距離が出ます。

(−１，２)と(３，２)ならば、ｙ座標が等しいので、ｘ座標を引き算して、

３−(−１)＝３＋１＝４

このように２点間の距離が出ます。


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中学数学「平面図形」扇形の弧の長さ

中学数学「平面図形」扇形の弧の長さ

弧とは、扇形の曲線の部分です。
扇形の曲線の部分は、円の一部です。
弧は円の一部だから、円の公式を使えば、弧の長さも計算できる。ということができます。

円周＝２πｒ

ですね。
扇形の中心角をａ°とすると、

扇形の弧の長さ＝２πｒ×(ａ／３６０)

です。
ぼんやりと公式を見ていると、なにやら難しそうに見えますが、つまりは、「円×ａ／３６０」です。

扇形は円の一部だから、円に対する割合を表すａ／３６０を掛けているのですね。


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中学数学「平面図形」扇形の面積

中学数学「平面図形」扇形の面積

当たり前ですが、扇形は、円の一部です。

だから、扇形の面積は円の公式にちょっと手を加えるだけで完成してしまいます。

円の面積＝πｒ^2

ですね。
扇形の中心角をａ°とすると、

扇形の面積＝πｒ^2×(ａ／３６０)

です。
これは、円の面積に(ａ／３６０)を掛けただけです。

中心角が、円に対する割合を表しているので、円の面積に(ａ／３６０)をかけるのだ。と理解できます。


具体的な問題例はこちら


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中学数学「三平方の定理」直方体の対角線

中学数学「三平方の定理」直方体の対角線

縦横高さがａ，ｂ，ｃの直方体の対角線ｌは

ｌ＝√(ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2)

の公式だ！
・・・と言って満足せずに、どうしてそうなるか理解しておきましょう！

まず、直方体の底面を考えます。
その対角線は三平方の定理により、√(ａ^2＋ｂ^2)と表すことができます。

直方体の対角線を斜辺とし、底面の対角線と高さの３辺でできる三角形も直角三角形になります。
直角三角形ならば三平方の定理が成り立つので、

ｌ^2＝{√(ａ^2＋ｂ^2)}^2＋ｃ^2
　　＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2

よって、ｌ＝√(ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2)

となるのですね。


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中学数学「因数分解」因数分解の手順

中学数学「因数分解」因数分解の手順

「因数分解をしなさい」という問題の場合、以下のような順序で考えるのが基本です。

�@全部の項に共通する因数があればくくる
�A式全体に公式を当てはめる
�B式の中に共通する部分があれば、それをＸなどで置き換えて、�@，�Aをやってみる
�C共通因数がなく、公式も使えないときは、式を２つに分けて、それぞれ�@，�Aをやってみる

中学数学の範囲では、ほとんどの場合ここまでで解けます。

高校数学の場合は、降べきの順に整理したり、因数定理を使ったり、解の公式を使ったり・・・
ほかにもやることがあるかも知れません。


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中学数学「三平方の定理の応用」「特別な三角形」

中学数学「三平方の定理の応用」「特別な三角形」

三角定規と同じ形の直角三角形は、「特別な三角形」として、角度と辺の長さの比を覚えて使うことになっています。

３０°６０°９０°の直角三角形ならば、辺の長さは１：２：√３になります。
√３よりも２の方が大きい値なので、一番長い辺(斜辺)が２であることに注意してください。

４５°４５°９０°の直角三角形ならば、辺の長さは１：１：√２になります。
直角二等辺三角形ですね。

これら共通の注意点としては、ちゃんと角度を確認することです。
形がどんなに「それっぽく」見えたとしても、角度がこの組み合わせでない限り、この「特別な三角形」の辺の比を使うことはできません。
問題の設定や図形の性質から、これらの角度の組み合わせであることを確認するようにしましょう！


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中学数学「三平方の定理」の基本

中学数学「三平方の定理」の基本

直角三角形ならば「三平方の定理」が成り立ちます。

直角の対辺を「斜辺」といい、「斜辺の２乗は残り２辺の２乗の合計と等しい」という性質です。

よく、ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2などの式で表します。
このｃが「斜辺」です。「一番長い辺が斜辺」と理解してもＯＫです。

直角三角形でない場合はこの性質は成り立ちません。
また、斜辺でない辺をｃにしてしまうと、イコールになりません。

できるだけ図を描いて、どこがどこなのか把握しながら式を立てて計算しましょう！


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