中学数学「２次関数」「変化の割合」

中学数学「２次関数」「変化の割合」

■問題

ｙ＝２ｘ^2において、ｘが−２から１まで変化するときの変化の割合を求めよ。


■選択肢

このとき適切な考え方はどれでしょうか？

�@変化の割合はａだから、２
�A変化の割合はｙ座標の増加量だから、ｘ＝１のときのｙの値からｘ＝−２のときのｙの値を引く
�B変化の割合はｘ座標の増加量だから、１から−２を引く
�C変化の割合は(ｙの増加量／ｘの増加量)だから、ｘ＝１，ｘ＝−２の差と、それらを代入した場合のｙ座標の差を求める


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�C変化の割合は(ｙの増加量／ｘの増加量)だから、ｘ＝１，ｘ＝−２の差と、それらを代入した場合のｙ座標の差を求める

変化の割合は、ｘが１増加したときのｙの増加量です。
だから、ｙの増加量をｘの増加量で割ると求められます。


■解答

ｘの増加量＝１−(−２)＝１＋２＝３

ｙの増加量＝２×１^2−{２×(−２)^2}＝２−８＝−６

「変化の割合＝ｘの増加量／ｙの増加量」だから、これらの値を割り算します。

３／(−６)＝−１／２


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中学数学「２次関数」「変域」�A

中学数学「２次関数」「変域」�A

■問題

ｙ＝２ｘ^2において、ｘの変域が−１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域を求めよ。


■選択肢

このとき適切な考え方はどれでしょうか？

�@ｘ＝−１のときｙ＝２，ｘ＝３のときｙ＝１８だから、２≦ｙ≦１８
�Aｘの変域に原点を含むので、ｙの最小値は０だから、０≦ｙ≦１８
�Bｘの変域に原点を含むので、ｙの最大値は０だから、０≧ｙ≧１８
�Cｘが大きくなれば、ｙはいくらでも大きくなるので、ｙ≧０


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�Aｘの変域に原点を含むので、ｙの最小値は０だから、０≦ｙ≦１８

下に凸のグラフで変域に原点を含むときは、原点が最小になります。


■解答

ｘ＝−１のときｙ＝２×(−１)^2＝２
ｘ＝３のときｙ＝２×３^2＝２×９＝１８

ですが、グラフを考えると、−１から３の範囲では原点が一番下なので、ｙの最小値は０です。

よって、求めるｙの変域は

０≦ｙ≦１８


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中学数学「２次関数」「変域」�@

中学数学「２次関数」「変域」�@

■問題

ｙ＝２ｘ^2において、ｘの変域が１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域を求めよ。


■選択肢

このときは何をすればいいでしょうか？(複数選択)

�@２ｘ^2＝０で解いてｘ＝０
�Aｙ＝２ｘ^2にｘ＝１を代入する
�Bｙ＝２ｘ^2にｘ＝３を代入する
�Cｙの変域もｘの変域と同じだから１≦ｙ≦３


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�Aｙ＝２ｘ^2にｘ＝１を代入する
�Bｙ＝２ｘ^2にｘ＝３を代入する

変域とは「いくつからいくつまで変化するか」を表したものなので、最大値と最小値を求めて不等式で表せば完成です。


■解答

ｙ＝２ｘ^2にｘ＝１を代入すると、
ｙ＝２×１^2＝２

ｘ＝３を代入すると、
ｙ＝２×３^2＝２×９＝１８

よって、２≦ｙ≦１８


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中学数学「２次関数」「関数の式」

中学数学「２次関数」「関数の式」

■問題

ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝６のときｙ＝９である。ｙをｘの式で表せ。


■選択肢

このときは何をすればいいでしょうか？

�@ｙ＝ａｘにｘ＝６，ｙ＝９を代入する
�Aｙ＝ａｘ＋ｂにｘ＝６，ｙ＝９を代入する
�Bｙ＝ａｘ^2にｘ＝６，ｙ＝９を代入する
�Cｙ＝ａ／ｘにｘ＝６，ｙ＝９を代入する


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�Bｙ＝ａｘ^2にｘ＝６，ｙ＝９を代入する

「ｙはｘの２乗に比例する」ので、ｙ＝ａｘ^2に代入します。


■解答

ｙ＝ａｘ^2に、ｘ＝６，ｙ＝９を代入すると、

　　９＝ａ×３６
３６ａ＝９
　　ａ＝９／３６
　　ａ＝１／４

よって、求める式は、ｙ＝(１／４)ｘ^2


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中学数学「平方根」「足し算・引き算」�A

中学数学「平方根」「足し算・引き算」�A

前回の記事で、基本的な足し算引き算を解説しました。

今回はａ√ｂの形に直して計算する場合を解説します。


√３＋√３＝２√３

のように、ルートの中身が同じならば、中身はそのままで、外の数を足すだけでしたね。
そして、中身が違うときは足し算引き算はできません。

でしたが、中身が違っても、変形して同じになるなら、同じに直せば計算できる。ということができます。
たとえば、

　√８＋√３２
＝２√２＋４√２
＝６√２

です。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


√８と√３２はもちろんそのままでは、√の中身が違います。
しかし、それぞれ直すと、

√８＝２√２，√３２＝４√２

だから、√の中身が同じになり、足し算ができる。というわけです。

引き算でももちろん同様です。

　√５−√１２５
＝√５−２√５
＝−√５


次の記事→ルートの四則混合


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中学数学「平方根」「足し算・引き算」�@

中学数学「平方根」「足し算・引き算」�@

平方根のかけ算、平方根の割り算は、「ルートの中同士、外同士を掛けたり割ったりする」だけでしたが、足し算引き算はちょっと違います。

例えば、

√３＋√３＝２√３

です。

√３と√３を足したら、√３が２個だから、２×√３＝２√３というわけです。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


つまり平方根の足し算は、√の部分は変わらず、√の前の係数同士を足すだけで完成！です。


２√５＋√５＝３√５

(３／２)√２＋(１／２)√２＝(４／２)√２＝２√２


分数が入ってもやり方は同じです。

さらに、引き算でも同様に、√の部分は変わらず、係数同士を引き算すればＯＫです。


√１０−√１０＝０×√１０＝０

５√３−２√３＝３√３


などなど。


次の記事→ルートの中身が違うときの足し算・引き算


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中学数学「平方根」「かけ算・割り算」

中学数学「平方根」「かけ算・割り算」

平方根のかけ算、平方根の割り算が一つの式に複合した場合を考えます。

・・・と言っても、特別なことは特になく、普通の数字や式のときにやったことと同じ事をすればＯＫです。
つまり、割り切れる数の場合は割り算を普通にしてしまえばよく、割り切れない場合は、

「÷の後の数を逆数にしてかけ算をする」

です。

まずは割り切れる場合。

　√２×√１０÷√５
＝√２×√２
＝２

√１０÷√５は普通に割れるので割って、残りをかけ算ですね。


次は割り切れない場合。

　√３÷２√６÷√１０

この場合は、割り切れないので、÷の直後の数を逆数にしてかけ算をします。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


　√３÷２√６÷√１０
＝√３×(１／２√６)×(１／√１０)
＝(√３×１×１)／(２√６×√１０)
＝１／(２√２×√１０)
＝１／２√２０

ここで、分母の√２０をａ√ｂの形に直します。

２０＝２×２×５なので、√２０＝２√５ですね。

＝１／(２×２√５)
＝１／４√５

ここでさらに、分母の有理化をします。
分母には√５があるので、分子と分母に√５を掛けます。

＝(１×√５)／(４√５×√５)
＝√５／(４×５)
＝√５／２０

これで完成です！
途中の計算は省略せずに、このようにしっかり書いた方がミスも少なくなり、結局トータルでは速く終わります。
手間を惜しまず丁寧にやりましょう！


次の記事→ルートの足し算・引き算


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中学数学「平方根」「割り算」�A

中学数学「平方根」「割り算」�A

基本的な平方根の割り算では、√の中や外がそれぞれ割り切れる場合を見てみましたが、もちろん、割り切れない場合もあります。そんなときは、分数にして「分母の有理化」をします。


√２÷√１０は、割り切れないのでまずは分数にします。

√２÷√１０＝√２／√１０

約分して、

＝√１／√５

分母が√のときは、分母から√が消えるようにします。これを「分母の有理化」と言います。
平方根は「２乗したら中身の数になる数」であるので、

√５×√５＝５

ですね。
分母をこの形にしてしまえば良いのです。
ただし、分母だけを変えると、分数の値が変化してしまうので、ちゃんとイコールの前後が等しくなるように、分子にも√５を掛けます。

＝(√１×√５)／(√５×√５)
＝√５／５

ということで、計算終了です！


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


他の例も一つ挙げておきます。

　２√６／５√１２
＝２／５√２　　　←√６で約分した
＝(２×√２)／(５√２×√２)　　←分子と分母に√２を掛けた
＝２√２／(５×２)　　←√２×√２＝２
＝２√２／１０
＝√２／５　　　←２で約分した


次の記事→かけ算・割り算が混ざっている場合


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中学数学「平方根」「割り算」�@

中学数学「平方根」「割り算」�@

平方根の割り算も、かけ算と同じく、基本的に「ルートの中は中同士、外は外同士数字を割り算する」だけです。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓



例えば・・・

√６÷√２＝√３

４√１０÷２√５＝２√２

など、それぞれが割り切れる場合は特に迷うことはないと思います。
とにかく「中同士、外同士を割る」だけです。


次の記事→そのままでは割り切れない場合(分母の有理化)


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中学数学「平方根」「かけ算」�B

中学数学「平方根」「かけ算」�B「ａ√ｂに直す場合」

ａ√ｂに直す場合の続きです。

√６×√４２を計算してみましょう。

まずはルートの中身同士を掛けるので、

√６×√４２＝√２５２

２５２はかなり大きいので、素因数分解をしてみます。

　２）２５２
　ーーーーー
　２）１２６
　ーーーーー
　３）　６３
　ーーーーー
　３）　２１
　ーーーーー
　　　　　７

となるので、２５２＝２^2×３^2×７です。

素因数分解して「同じ数が２個あれば１個外に出る」ので、２と３がルートの外に出る。とわかります。
７は一つしかないので、ルートの中に残ります。

「２５２＝２^2×３^2×７」はかけ算が連続している形になっているので、外に出た２と３もかけ算をします。
よって、

√２５２＝６√７


もうひとつやってみましょう！

２√１４×５√３５＝１０√４９０

これもルートの中身が大きいので、素因数分解してみます。

　２）４９０
　ーーーーー
　５）２４５
　ーーーーー
　７）　４９
　ーーーーー
　　　　　７

４９０＝２×５×７^2であることがわかりました。
７は２個あるので外に出て、２と５は１個ずつしかないのでルートの中に残ります。
中に残る数同士もかけ算をします。
だから、√４９０＝７√１０となります。

この場合はさらに、√の外に１０がついていて、１０√４９０＝１０×√４９０なので、求める答えは、

　２√１４×５√３５
＝１０√４９０
＝１０×７√１０
＝７０√１０

ですね！


次の記事→割り算の場合


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中学数学「平方根」「かけ算」�A「ａ√ｂに直す場合」

中学数学「平方根」「かけ算」�A「ａ√ｂに直す場合」

平方根のかけ算の続きです。

平方根のかけ算割り算は、基本的に、ルートの中同士、外同士をそれぞれ掛けるだけですが、

√２×√６＝√１２

の場合は、これで終わりでなく、さらにもっと簡単にしなければいけません。
どうするのが「簡単にする」ことなのかといえば、

「ルートの中身をできるだけ小さい数にする」

ということです。

それには、素因数分解を用います。

　２）１２
　ーーーーー
　２）　６
　ーーーーー
　　　　３

となるので、１２＝２^2×３です。

√１２＝√(２^2×３)
　　＝(√２)^2×√３
　　＝２√３

となります。

普通は、素因数分解して「同じ数が２個あれば１個外に出る」と考えます。

２が２個あったから、√の外に２が出て、３は１個だから√の中に残った。というわけです。


次の記事→ａ√ｂの形に直す他の例


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中学数学「平方根」「かけ算」�@

中学数学「平方根」「かけ算」�@

平方根のかけ算割り算は、基本的に、ルートの中同士、外同士をそれぞれ掛けるだけです。
つまり、

√２×√３＝√６

２√５×√７＝２√３５

３√２×２√５＝１５√１０

などとなります。
ここまでの例では、これでおしまいですが、数字の組み合わせによっては、もう少しやることがある場合もあります。

√２×√６＝√１２

これ自体は正しいですが、√１２の場合はもっと簡単に直せるので、直します。

数学での答え方の原則は「最も簡単な形に直して答える」ですね。


次の記事→√１２の直し方


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中学数学「平方根」「√２の２乗」

中学数学「平方根」「√２の２乗」

平方根の単元の計算をするには、まずは定義をよく理解しなければいけません。
具体例を挙げてみます。

√２は「２乗したら２になる数」であり、
√３は「２乗したら３になる数」であり、
√４は「２乗したら４になる数」だから、√４＝２であり、
√５は「２乗したら５になる数」です。

では、√２を２乗したらどうなるでしょうか？

√２の意味をもう一度考えると、「√２は２乗したら２になる数」です。

この「２乗したら２になる数」を２乗するのだから・・・

２ですね！

式で表すと、

(√２)^2＝２

というわけです。


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中学数学「２次方程式」「解の公式」

中学数学「２次方程式」「解の公式」

２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０を解け。


２次方程式は、まずは因数分解を試みる。もしできなければ、解の公式。と考えます。


次の書籍も参考にしてください。





ｘ^2＋９ｘ−５＝０

掛けて−５，足して９の整数の組み合わせはないので、解の公式を使います。
このように、真ん中の数が大きいときは(中学の範囲では)因数分解できないことが多いです。


解の公式は

ですね。

これにａ＝１，ｂ＝９，ｃ＝−５を代入して、

ｘ＝[−９±√{９^2−４×１×(−５)}]／２×１
　＝{−９±√(８１＋２０)}／２
　＝(−９±√１０１)／２


関連問題
因数分解のとき


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中学数学「２次方程式」「因数分解」

中学数学「２次方程式」「因数分解」

２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０を解け。


２次方程式は、まずは因数分解を試みる。もしできなければ、解の公式。と考えます。


次の書籍も参考にしてください。





ｘ^2＋３ｘ−２８＝０

掛けて−２８，足して３なのは、−４と７なので、

(ｘ−４)(ｘ＋７)＝０

よって、ｘ＝４，−７


２つのものを掛けてゼロなので、かっこの中がそれぞれゼロ。ということから、ｘの値がわかります。


関連問題
解の公式による２次方程式の解き方


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中学数学「１次関数」「２直線の交点」

中学数学「１次関数」「２直線の交点」

ｙ＝２ｘ−１とｙ＝−ｘ＋３の交点を求めよ。

ｙ＝２ｘ−１もｙ＝−ｘ＋３も１次関数です。つまり直線です。

直線同士の交点は、２つの直線両方を満たすｘ，ｙの値を意味するので、
つまりは

２つの直線の式を連立方程式にして解く。

だけで求めることができます。


そして、直線の式は普通は「ｙ＝ａｘ＋ｂ」の形になっていて、２つともｙを表した式だから、右辺同士をイコールで結ぶことができます。
つまり、

２ｘ−１＝−ｘ＋３

簡単な１次方程式になってしまいましたね。
あとはこれを解けば

２ｘ＋ｘ＝３＋１
　　３ｘ＝４
　　　ｘ＝４／３

ｘ座標がわかりました。
もとの２つの直線の式のうち好きな方にこのｘ座標を代入すればｙ座標がわかる。というわけです。

ｙ＝−ｘ＋３にｘ＝４／３を代入して、
ｙ＝−４／３＋３
　＝−４／３＋９／３
　＝５／３

よって、求める交点の座標は(４／３，５／３)


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中学数学「１次関数」「グラフの描き方」

中学数学「１次関数」「グラフの描き方」

ｙ＝２ｘ−１のグラフを描け。

見えてる数字をなんとなくそのまま使って、

ｘ軸上に２，ｙ軸上に−１をとって、その２点を結んで完成！

としてしまう人がたくさんいます。
もちろんこれは間違いです。

１次関数のグラフを描く場合は、切片と傾きを考えます。
ｙ＝ａｘ＋ｂのａが傾き、ｂが切片ですね。

�@切片と傾きの値を式から読み取る。→ここでは切片は−１，傾きは２

�Aｙ軸上に切片の値の点を取る。→切片は−１なのでｙ軸上に−１の点を取る。

�B切片のところから右に１進んだら、傾きの値と同じ数だけ縦に進む。→傾きは２なので、切片の位置から右に１進んだら上に２進む。

�C�Bで求めた点からさらに右に１進んだら、また、傾きの値と同じ数だけ縦に進む。→傾き２なので、�Bの位置から右に１進んだら上に２進む。

�D�Cを繰り返して、次々と点を取っていき、全ての点を通るように直線を引く。

注意点としては、通る点は、なるべく離れた点をたくさん見つけるとよいです。離れた２点が正しく取れれば、その間の点は自動的に通ります。
慣れることも大切なので、グラフの描き方がわかったら、何度も練習しましょう！


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中学数学「１次関数」「切片」「y軸上で交わる」

中学数学「１次関数」「切片」「y軸上で交わる」

1次関数の問題では、「y軸上で交わる」という条件もよく登場します。

y軸上の点は、すなわち「切片」なので、

「y軸上で交わる」ならば、「それらの2直線の切片は等しい」ということができます。

例えば、y＝2x＋5とy軸上で交わる直線は、切片が5である。

というわけです。


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中学数学「１次関数」「傾き」「平行」

中学数学「１次関数」「傾き」「平行」

１次関数の問題では、「平行」という条件がよく出てきます。

2本の直線が平行ならば、傾きが等しい。

ということを意味します。

傾きは「xが1増えた時のyの増加量」を表しているので、

もし、傾きが同じならば、「xが1増えた時のyの増加量も同じ」というわけです。

例えば、y＝2x＋5に平行な直線の傾きは2ですね。


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中学数学「１次関数」「傾き」「切片」

中学数学「１次関数」「傾き」「切片」

中学数学の「グラフ」に関する問題は、１次関数の理解が欠かせません。

１次関数は次の式で表されます。

ｙ＝ａｘ＋ｂ

ｘ，ｙはグラフ上の点の座標です。

ａは傾き

ｂは切片

ですね。

「傾き」とは、「ｘが１増えたらｙがいくつ増えるか」を表す値です。
傾きが大きくなると、グラフの傾き方が大きくなります。

例えば「傾きが１」なら、「ｘが１増えたらｙも１増える」ですが、
「傾きが１０」なら、「ｘが１増えたりｙは１０増える」のです。

「切片」とは、「ｙ軸との交点のｙ座標」を表す値です。
直線のグラフを描くと、必ずどこかでｙ軸と交わります。
その交点の場所を表すのが「切片」です。


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