中学数学「１次関数」「２直線の交点」

中学数学「１次関数」「２直線の交点」

ｙ＝２ｘ−１とｙ＝−ｘ＋３の交点を求めよ。

ｙ＝２ｘ−１もｙ＝−ｘ＋３も１次関数です。つまり直線です。

直線同士の交点は、２つの直線両方を満たすｘ，ｙの値を意味するので、
つまりは

２つの直線の式を連立方程式にして解く。

だけで求めることができます。


そして、直線の式は普通は「ｙ＝ａｘ＋ｂ」の形になっていて、２つともｙを表した式だから、右辺同士をイコールで結ぶことができます。
つまり、

２ｘ−１＝−ｘ＋３

簡単な１次方程式になってしまいましたね。
あとはこれを解けば

２ｘ＋ｘ＝３＋１
　　３ｘ＝４
　　　ｘ＝４／３

ｘ座標がわかりました。
もとの２つの直線の式のうち好きな方にこのｘ座標を代入すればｙ座標がわかる。というわけです。

ｙ＝−ｘ＋３にｘ＝４／３を代入して、
ｙ＝−４／３＋３
　＝−４／３＋９／３
　＝５／３

よって、求める交点の座標は(４／３，５／３)


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中学数学「１次関数」「グラフの描き方」

中学数学「１次関数」「グラフの描き方」

ｙ＝２ｘ−１のグラフを描け。

見えてる数字をなんとなくそのまま使って、

ｘ軸上に２，ｙ軸上に−１をとって、その２点を結んで完成！

としてしまう人がたくさんいます。
もちろんこれは間違いです。

１次関数のグラフを描く場合は、切片と傾きを考えます。
ｙ＝ａｘ＋ｂのａが傾き、ｂが切片ですね。

�@切片と傾きの値を式から読み取る。→ここでは切片は−１，傾きは２

�Aｙ軸上に切片の値の点を取る。→切片は−１なのでｙ軸上に−１の点を取る。

�B切片のところから右に１進んだら、傾きの値と同じ数だけ縦に進む。→傾きは２なので、切片の位置から右に１進んだら上に２進む。

�C�Bで求めた点からさらに右に１進んだら、また、傾きの値と同じ数だけ縦に進む。→傾き２なので、�Bの位置から右に１進んだら上に２進む。

�D�Cを繰り返して、次々と点を取っていき、全ての点を通るように直線を引く。

注意点としては、通る点は、なるべく離れた点をたくさん見つけるとよいです。離れた２点が正しく取れれば、その間の点は自動的に通ります。
慣れることも大切なので、グラフの描き方がわかったら、何度も練習しましょう！


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中学数学「１次関数」「切片」「y軸上で交わる」

中学数学「１次関数」「切片」「y軸上で交わる」

1次関数の問題では、「y軸上で交わる」という条件もよく登場します。

y軸上の点は、すなわち「切片」なので、

「y軸上で交わる」ならば、「それらの2直線の切片は等しい」ということができます。

例えば、y＝2x＋5とy軸上で交わる直線は、切片が5である。

というわけです。


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中学数学「１次関数」「傾き」「平行」

中学数学「１次関数」「傾き」「平行」

１次関数の問題では、「平行」という条件がよく出てきます。

2本の直線が平行ならば、傾きが等しい。

ということを意味します。

傾きは「xが1増えた時のyの増加量」を表しているので、

もし、傾きが同じならば、「xが1増えた時のyの増加量も同じ」というわけです。

例えば、y＝2x＋5に平行な直線の傾きは2ですね。


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中学数学「１次関数」「傾き」「切片」

中学数学「１次関数」「傾き」「切片」

中学数学の「グラフ」に関する問題は、１次関数の理解が欠かせません。

１次関数は次の式で表されます。

ｙ＝ａｘ＋ｂ

ｘ，ｙはグラフ上の点の座標です。

ａは傾き

ｂは切片

ですね。

「傾き」とは、「ｘが１増えたらｙがいくつ増えるか」を表す値です。
傾きが大きくなると、グラフの傾き方が大きくなります。

例えば「傾きが１」なら、「ｘが１増えたらｙも１増える」ですが、
「傾きが１０」なら、「ｘが１増えたりｙは１０増える」のです。

「切片」とは、「ｙ軸との交点のｙ座標」を表す値です。
直線のグラフを描くと、必ずどこかでｙ軸と交わります。
その交点の場所を表すのが「切片」です。


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中学数学「扇形の面積」

中学数学「扇形の面積」

扇形の面積の公式を実際に使ってみましょう！

半径３ｃｍ，中心角２４０°の扇形の面積を求めることを考えます。

扇形は円の一部なので、「円×ａ／３６０」で求めることができます。

つまり、「Ｓ＝πｒ^2×ａ／３６０」ですね。

これにｒ＝３，ａ＝２４０を代入して、

Ｓ＝π×３^2×２４０／３６０
　＝９π×２／３
　＝６π

よって、求める扇形の面積は、６πｃｍ^2です。


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中学数学「単項式」「多項式」

中学数学「単項式」「多項式」

−７ｘｙ，ａｂ^3などは単項式

ｘ−ｙ，ａ＋３などは多項式

です。

かけ算割り算でつながっている数字や文字は「ひとかたまり」とみなし「一つの項」だから「単項式」

足し算引き算でつながっている数字や文字は「別々のもの」とみなし「多数の項」だから「多項式」

です。

つまり、文字や数字の間にプラスやマイナスが入っていれば「多項式」、なければ「単項式」ということができます。


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中学数学「空間図形」直方体の表面積

中学数学「空間図形」直方体の表面積

立体図形の表面積を求めるときは、展開図を考えて、その展開図のそれぞれの図形の面積の和を求めます。

直方体ならば、すべての面が長方形でできているので、それらの長方形の面積を全部足すだけです。

中学レベルでは、各辺の単位がｃｍとなっている場合が多いので、面積はたいていｃｍ2となります。

単位をつけ忘れると、減点またはバツとなってしまいますので、気をつけてくださいね！


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中学数学「１次方程式」移項

中学数学「１次方程式」移項

方程式の計算では、たいてい移項が必要になります。

移項とは、「イコールの反対側に項を移動すること」です。

「移項すると符号が変わる」と考えますが、これはどうしてでしょうか？

例えば「ｘ＋３＝２」という方程式を考えます。
この方程式を解くときは、左辺の＋３が邪魔です。
邪魔なら消せば良い。ということで、移項しますが、移項するとき実は「両辺に同じ数を足す(引く)」ということをやっています。

＋３を消すには−３する。左辺から−３したら右辺にも−３をする。

すると、「ｘ＋３−３＝２−３」となり、「ｘ＝２−３」となります。

３を右辺に移項したら符号が変わるのは、両辺に消える数を足す(引く)からですね！


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中学数学「１次関数と２次関数の交点」

中学数学「１次関数と２次関数の交点」

１次関数と２次関数は関数の種類が違うので、交点の座標を出すときは、特別な方法が必要・・・なわけがありません(笑)

１次関数と２次関数だろうが、１次関数同士だろうが、その他の関数だろうが、

交点を出したければ「連立方程式」です。

１次関数と２次関数の場合は、連立すると２次方程式になるので、因数分解したり、解の公式を使ったりして解いて、座標を求めます。



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中学数学「１次関数」２点を通る直線の式

中学数学「１次関数」２点を通る直線の式

座標平面上の２点が与えられ、その２点を通る直線の式は、

その２点の座標をｙ＝ａｘ＋ｂに代入してできた式を連立方程式にして解けば求めることができます。


通る点の座標は、そのグラフの式に代入できる

直線の式はｙ＝ａｘ＋ｂ


だから、その２点の座標をそれぞれｙ＝ａｘ＋ｂのｘ，ｙに代入して連立方程式！ですね！


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中学数学「資料の整理」高校数学「データの分析」「ヒストグラム」

中学数学「資料の整理」高校数学「データの分析」「ヒストグラム」

ヒストグラムとは要するに「棒グラフ」です。

データを一定の幅に区切って、その度数分布をグラフに表したのが「ヒストグラム」です。

中学数学の範囲では、ヒストグラムと度数分布表の関係がわかればＯＫです。

高校数学の範囲では、ヒストグラムと箱ひげ図の関係をわかるようにします。




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中学数学「正負の数」マイナスを含む数の足し算引き算

中学数学「正負の数」マイナスを含む数の足し算引き算

例えば、「−８＋５」という計算をやるとします。
答えはもちろん「−３」ですが、正負の数を習いたての中学１年生や、中学の内容を先取りする小学生はその意味がわからず、「−１３」「１３」「３」などと間違えることがあります。

そんなときは、身近な例で考えるとよいです。

例えば、

「気温が−８℃から５℃上がったら何度？」
「階段を８段下がって５段上がったらどの位置にいる？」

などの具体例で尋ねると、「あ、そっか！」とわかる場合もあるはずです。


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中学数学「１次方程式」方程式の基本的な解き方

中学数学「１次方程式」方程式の基本的な解き方

方程式を解くというのは、「ｘ＝●●」の形にして、ｘの値を求めることです。

方程式は両辺が等しいので、両辺に同じことをして変形することができます。

左辺から２を引いたら、右辺からも２を引く。
左辺に５を足したら、右辺にも５を足す。
左辺を４で割ったら、右辺も４で割る。
左辺に−３を掛けたら、右辺にも−３を掛ける。

などなど。
とにかく、「ｘ＝●●の形にする」「両辺に同じことをする」です。


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中学数学「三平方の定理」「特別な三角形」「正三角形」

中学数学「三平方の定理」「特別な三角形」「正三角形」

正三角形は３つの角がすべて６０°です。

正三角形の一つの頂点から対辺に垂線を引くと、その角の二等分線かつ対辺の垂直二等分線になります。

ここまでは小学校の知識でもわかることです。

このようにして正三角形を２つの三角形に分けると、必然的に、３０°６０°９０°の三角形になります。

これは辺の比が１：２：√３になる「特別な三角形」です。

このことを利用すれば、正三角形は１辺の長さがわかれば、面積などその他の情報もわかることになります。


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中学数学「資料の整理」ヒストグラムから平均値を求める

中学数学「資料の整理」ヒストグラムから平均値を求める

平均値を求めたいならば、当然、「平均値＝合計÷度数(人数、回数等)」です。
ヒストグラムだからといって特別なことはありません。

ただし、ヒストグラムで表された資料は、実際の値がわからなくなっています。
ではどうやって合計÷度数をやればいいかというと・・・

まず、それぞれの階級の真ん中の値を階級値といい、その階級に属するデータはすべて階級値の値とみなします。

たとえば、２０〜３０の階級に４つの度数があるとすると、階級値は２５なので、２５の値が４つある。と考えます。
この階級の合計は、２５×４＝１００です。

同様にして、すべての階級について「階級値×度数」をして、合計を出します。

合計を全体の度数で割れば、それが平均値になります。


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中学数学「相似」相似比と面積比

中学数学「相似」相似比と面積比

「相似な図形の面積比は、相似比の２乗である」と、性質として覚える人も多いと思いますが、どうしてそうなのかできるだけ理解しておくようにしましょう！

面積は、「縦×横」など、長さを２回掛けたものです。

相似な図形の場合、その２回掛ける長さがそれぞれ相似比の比率になります。
たとえば３：２ならば、縦も横も３：２です。
３：２のもの同士を掛けるのだから、掛けた結果は２乗になって、９：４になる。というわけです。

これを応用すれば、体積比は相似比の３乗になる理由もわかりますね？


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中学数学「関数」「三平方の定理」２点間の距離

中学数学「関数」「三平方の定理」２点間の距離

斜めの２点間の距離を求めたいときは、三平方の定理を使います。

その２点を直線で結び、それぞれの点からｘ軸に平行な線とｙ軸に平行な線を引いて、直角三角形を作ります。

直角三角形ができれば、三平方の定理が使える。というわけです。

ｘ軸に平行な線とｙ軸に平行な線の長さは、それぞれ２点の座標の差で求めることができます。
それらが直角を挟む２辺になり、求める２点間の距離が斜辺になります。

公式としては、求める距離をｄ，２点の座標を(ｘ1，ｙ1)，(ｘ2，ｙ2)とすれば、

ｄ＝√{(ｘ2−ｘ1)^2＋(ｙ2−ｙ1)^2}

となります。


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中学数学「関数」ｘ軸に平行な直線上の２点間の距離

中学数学「関数」ｘ軸に平行な直線上の２点間の距離

中学数学では、２点間の距離は、ｘ軸に平行な直線またはｙ軸に平行な直線の場合が多いです。

その場合は、座標を引き算するだけで２点間の距離が出ます。

(−１，２)と(３，２)ならば、ｙ座標が等しいので、ｘ座標を引き算して、

３−(−１)＝３＋１＝４

このように２点間の距離が出ます。


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中学数学「平面図形」扇形の弧の長さ

中学数学「平面図形」扇形の弧の長さ

弧とは、扇形の曲線の部分です。
扇形の曲線の部分は、円の一部です。
弧は円の一部だから、円の公式を使えば、弧の長さも計算できる。ということができます。

円周＝２πｒ

ですね。
扇形の中心角をａ°とすると、

扇形の弧の長さ＝２πｒ×(ａ／３６０)

です。
ぼんやりと公式を見ていると、なにやら難しそうに見えますが、つまりは、「円×ａ／３６０」です。

扇形は円の一部だから、円に対する割合を表すａ／３６０を掛けているのですね。


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