中学数学「空間図形」柱体・錐体の体積

中学数学「空間図形」柱体・錐体の体積

上下２つの面が同じ形の柱の形をした立体をまとめて柱体といいます。
円柱、三角柱、四角柱などがあります。
立方体や直方体も四角柱の一種です。身近なものでは鉛筆は六角柱や三角柱、丸太やチョークは円柱とみなせますね。

円柱でも三角柱でも四角柱でも、何角柱でも、体積の求め方は同じです。

★柱体の体積＝底面積×高さ


そして錐体とは、ピラミッドやとんがりコーンのような形のことで、円錐、三角錐、四角錐などがあります。

円錐でも三角錐でも、四角錐でも体積の求め方は同じです。
錐体の体積は、柱体×１／３となります。
つまり、

★錐体の体積＝底面積×高さ×１／３

底面積の求め方は底面の形によって違いますが、底面積が出れば、それに高さをかけて１／３するのはどの錐体でも同じです！


図形まとめ(中学)


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中学・高校数学「数と式」約数・倍数と約数の個数

中学・高校数学「数と式」約数・倍数と約数の個数

◆約数(divisor)

ある整数を割りきれる整数を約数という。

◆倍数(multiple)

ある整数を何倍かした整数を倍数という。


約数・倍数自体の基本は小学校で習っていますね。
このページでは、数が大きいときについて少し解説しておきます。

例えば、３５１の約数の個数を求めることを考えます。
数が大きいので、ひたすら割れる数を考えて・・・というのはちょっと大変ですね。
そんなときは、素因数分解をすると良いです。

　）３５１
　――――
３）１１７
　――――
３）　３９
　――――
　　　１３

ということで、３５１＝３²×１３です。

公式としては、「指数＋１」を掛け合わせて、(２＋１)×(１＋１)＝３×２＝６個ですが、どうしてそうなるのでしょうか？

３５１を構成する素因数は３が２個と１３が１個です。
ということは、

３は１個使うか、２個使うか、１個も使わない(０個使う)かの３通りの選び方がある。
１３は１個使うか、使わない(０個使う)かの２通りの選び方がある。

これらの選び方の総数は、「３通りの事柄と２通りの事柄が同時に起こる場合の数」と考えられます。

だから、３×２＝６通り。つまり、約数の個数は６個となります。


詳しくは後ほど別の記事を書こうと思いますが、式の約数についても、基本的に同じ考え方で解決できます。


高校数学数と式まとめ


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中学数学「１次関数」座標平面上の平行四辺形�A

中学数学「１次関数」座標平面上の平行四辺形�A

◆問題

座標平面上に点Ａ(１，２)，点Ｂ(３，６)，点Ｃがある。四角形ＯＡＢＣが平行四辺形になるとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Ｃの座標を求めよ。

(2) 点Ａを通り、四角形ＯＡＢＣの面積を２等分する直線の式を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

平行四辺形の面積の二等分は、実は、三角形の場合より簡単です。

面積が半分になるためには、イメージ的には「真ん中を通ればＯＫ」ですよね？

平行四辺形の場合は、対角線の交点がその「真ん中」になるので、他にどんな点を通っても、対角線の中点を通りさえすれば、面積は二等分になります。

ＯＢの中点Ｍは(1)で求めたように、(３／２，３)であることがわかっています。

この問題では他には点Ａ(１，２)を通るので、これらの２点を通る直線の式を求めればＯＫ！というわけです。
やってみましょう！

ｙ＝ａｘ＋ｂに、(１，２)を代入すると、２＝ａ＋ｂ　…�@
ｙ＝ａｘ＋ｂに、(３／２，３)を代入すると、３＝(３／２)ａ＋ｂ　…�A

�A−�@より

１＝ａ／２
ａ＝２　…�B

�Bを�@に代入して、

２＝２＋ｂ
ｂ＝０

よって求める直線は、ｙ＝２ｘ


(1)に戻る


◆関連項目
三角形の面積を２等分する直線頂点を通る場合、頂点を通らない場合
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」座標平面上の平行四辺形�@

中学数学「１次関数」座標平面上の平行四辺形�@

◆問題

座標平面上に点Ａ(１，２)，点Ｂ(３，６)，点Ｃがある。四角形ＯＡＢＣが平行四辺形になるとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Ｃの座標を求めよ。

(2) 点Ａを通り、四角形ＯＡＢＣの面積を２等分する直線の式を求めよ。


この記事では(1)を解説します。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

座標平面上の平行四辺形も、高校入試で頻出のポイントです。
しっかりマスターしていきましょう！

平行四辺形の性質の一つに、「平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる」があります。
座標平面上の平行四辺形を考える場合は、この性質を使うと簡単に解ける場合が多いです。

「対角線が中点で交わる」ということは、「ＯＢの中点とＡＣの中点が一致する」ということですね。

ＯＢの中点をＭとすると、

Ｍ＝(３／２，６／２)＝(３／２，３)

ＡＣの中点もＭになるから、Ｃの座標を(ｘ，ｙ)とすれば、ｘ座標とｙ座標それぞれから、

(１＋ｘ)／２＝３／２，(２＋ｙ)＝３

という式ができます。それぞれ解くと、

１＋ｘ＝３
　　ｘ＝３−１
　　ｘ＝２

２＋ｙ＝３
　　ｙ＝３−２
　　ｙ＝１

よって、Ｃ(２，１)


次の問題→四角形ＯＡＢＣを二等分する直線の式


◆関連項目
三角形の面積を２等分する直線頂点を通る場合、頂点を通らない場合
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」三角形の面積を２等分する直線�@

中学数学「１次関数」三角形の面積を２等分する直線�@

◆問題

座標平面上に点Ａ(２，０)，点Ｂ(−４，０)，点Ｃ(０，３)がある。点Ａを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の式を求めよ。


面積を二等分する直線の式は難しそうに見えますが、頂点を通る場合は簡単です。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

三角形の面積はもちろん「底辺×高さ÷２」ですね。

点Ａを通って△ＡＢＣの面積を二等分するには、二等分した三角形の底辺と高さが同じになればＯＫです。
点Ａを頂点とすれば、底辺はＢＣで、高さはＡからＢＣに下ろした垂線になります。

ということは、

Ａを通る直線で△ＡＢＣを２つに分けるならば、高さは必ず同じになる！

のですね！

高さが同じだから、底辺が同じになれば、面積も同じです。
それならば底辺の真ん中、つまり、中点を通ればＯＫ！というわけです。

中点は座標の平均だから、ＢＣの中点の座標は、(−４／２，３／２)＝(−２，３／２)です。
この点とＡを通る直線が、「Ａを通って△ＡＢＣの面積を二等分する直線」です。

２点の座標がわかったので、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して計算していきましょう！

点Ａを代入すると、

０＝２ａ＋ｂ

ＢＣの中点を代入すると、

３／２＝−２ａ＋ｂ

これらを連立方程式として解けば、ａ＝−３／８，ｂ＝３／４だから、求める直線の式は、

ｙ＝(−３／８)ｘ＋３／４

ですね！

◆関連項目
頂点を通らない場合、平行四辺形の場合
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」三角形の面積を２等分する直線�A

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◆問題

座標平面上に点Ａ(２，０)，点Ｂ(−４，０)，点Ｃ(０，３)がある。原点Ｏを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の式を求めよ。


面積を２等分する直線は、三角形の頂点を通らない場合はちょっと大変ですが、県立高校入試でも、この程度の難易度までは出る可能性があります。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

頂点を通る場合は、対辺の中点を通ればいいのでわかりやすかったと思います。

頂点を通らない場合は、面積そのものを使うのが標準的です。
もとの三角形の面積を求め、その半分を出します。

もとの三角形は、三角形と四角形に分けられるので、出しやすい方を利用して、通る点を求めて、直線の式を求める。という流れです。


この流れでやっていきましょう！
まずは△ＡＢＣを求めます。
底辺をＡＢとすると、頂点はＣです。

ＡＢ＝２−(−４)＝６

底辺はｘ軸上だから、高さはＣのｙ座標と同じです。つまり、高さ＝３です。

よって、△ＡＢＣ＝(１／２)×６×３＝９

半分に分けられた図形の面積は、もちろん９／２です。

Ｏを通る直線で、△ＡＢＣは三角形と四角形に分けられます。
三角形の方は、底辺が４の三角形ですね。底辺が４で面積が９／２だから、高さをｈとすれば、

(１／２)×４×ｈ＝９／２
　　　　　２ｈ＝９／２
　　　　　　ｈ＝９／４

つまり、頂点のｙ座標が９／４になればＯＫというわけです。
頂点はＢＣ上なので、直線ＢＣの式を求めて、ｙ＝９／４を代入する。という方針です。

Ｃ(０，３)だから切片が３です。ｙ＝ａｘ＋ｂに、ｂ＝３とＢ(−４，０)を代入すると、

　０＝−４ａ＋３
４ａ＝３
　ａ＝３／４

よって、直線ＢＣはｙ＝(３／４)ｘ＋３

これにｙ＝９／４を代入すると、

９／４＝(３／４)ｘ＋３
　　９＝３ｘ＋１２
−３ｘ＝１２−９
−３ｘ＝３
　　ｘ＝−１

つまり、求める直線は(−１，３／４)を通ることがわかりました。さらに原点を通るので、比例の式ｙ＝ａｘにこの座標を代入すると、

３／４＝−ａ
　　ａ＝−３／４

よって、求める直線の式は、ｙ＝(−３／４)ｘ


◆関連項目
三角形の面積を２等分する直線(頂点を通る場合)、平行四辺形の場合
１次関数まとめ


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中学数学「１次方程式」小数・カッコを含む方程式

中学数学「１次方程式」小数・カッコを含む方程式

◆問題

次の１次方程式を解きなさい。

０．３(０．９−０．４ｘ)＝−０．１ｘ＋０．２１


◆解答解説

小数を含む方程式は、小数があるとやりにくいので、小数がなくなるような数を両辺に掛ける。ことを最初にやるのがノーマルです。

小数点以下の桁数が一番多いのは０．２１だから、これが整数になるような数を両辺にかけます。
つまり、両辺に１００を掛ければＯＫですね！

「両辺に１００をかける」とは「全ての項に１００をかける」だから、

３０(９０−４０ｘ)＝−１０ｘ＋２１

このようにやってしまう人もいると思いますが、これは間違っています。
なぜかというと、左辺のカッコの外と中両方に１００をかけると、トータルで１００×１００＝１００００をかけていることになってしまうからです。

正しくは、以下のうちのどれかの考え方をします。

★０．３(０．９−０．４ｘ)の部分は、かけ算でつながっているので、コレ全体で一つの項だから、カッコの外か中のどちらかだけに１００をかける。

と見ることもできますし、

★０．３(０．９−０．４ｘ)のカッコを外すと、０．２７−０．１２ｘだから、これらに１００をかける。

と考えてもよいです。
あるいは、１００＝１０×１０だから、

★カッコの外と中の両方に１０をかける。

と考えることもできます。

以上のどの考え方でも正しく解くことができますし、どれで解いてももちろん答えは同じです。
この場合計算が一番簡単なのは、最後の「両方に１０をかける」なので、ここではこのやり方でやっていきます。

「両辺に１００をかける＝カッコの中と外の両方に１０をかける」だから、

　３(９−４ｘ)＝−１０ｘ＋２１
　２７−１２ｘ＝−１０ｘ＋２１
１０ｘ−１２ｘ＝２１−２７　　　←移項した
　　　　−２ｘ＝−６
　　　　　　ｘ＝３


◆関連項目
１次方程式の基本的な解き方、移項


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中学数学「平面図形」一つの外角が２４°の正多角形の内角の和

中学数学「平面図形」一つの外角が２４°の正多角形の内角の和

◆問題

一つの外角が２４°の正多角形の内角の和を求めよ。


解答解説はこのページ下


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多角形の外角の和は、何角形でも３６０°です。

三角形でも四角形でも五角形でも、十角形でも百角形でも、３６０°です。

だから、今回の問題の多角形も外角の和は３６０°です。

そして、正多角形は全ての角が同じ大きさですね。

一つの外角が２４°の正多角形ならば、全ての外角が２４°です。
今のところ何角形かはわかっていませんが、２４°の外角を合計したら３６０°になることはわかります。

求める多角形をｎ角形とすると、２４ｎ＝３６０という関係式が成り立ちます。
これを計算すると、ｎ＝１５ですね。
つまり１５角形です。

多角形の内角の和は(ｎ−２)×１８０で求めることができます。
１５角形の内角の和は、

(１５−２)×１８０＝１３×１８０＝２３４０

よって、求める内角の和は２３４０°ですね！


◆関連項目
図形まとめ(中学)


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中学数学「１次関数」２点(１，３)と(−４，１)を通る直線の式

中学数学「１次関数」２点(１，３)と(−４，１)を通る直線の式

◆問題

２点(１，３)と(−４，１)を通る直線の式を求めよ。


直線は１次関数なのでｙ＝ａｘ＋ｂを使います。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

２点を通る直線の式を求めるときは、ｙ＝ａｘ＋ｂにその２点の座標をそれぞれ代入して、式を２つ作り、連立方程式にして解きます。

(１，３)を代入すると、

３＝ａ＋ｂより、ａ＋ｂ＝３・・・�@

(−４，１)を代入すると、

１＝−４ａ＋ｂより−４ａ＋ｂ＝１・・・�A

これら２つのａ，ｂについての式を連立して解けばＯＫ！

�@・・・　　　　ａ＋ｂ＝３
�A・・・−）−４ａ＋ｂ＝１
　　　　―――――――――
　　　　　　　５ａ　　＝２
　　　　　　　　　　ａ＝２／５　・・・�B

�Bを�@に代入して、
２／５＋ｂ＝３
　　　　ｂ＝３−２／５
　　　　ｂ＝１３／５

これらのａ，ｂの値がｙ＝ａｘ＋ｂのａ，ｂの値で、問題では直線の式を聞いているので、代入した式を答えます。

ｙ＝(２／５)ｘ＋１３／５


直線の式を求める方法はいくつかありますが、まずはコレを完璧にマスターすることを優先すると良いと思います。
ほとんどの人にとっては「他の解き方は余裕があれば取り組む」という方針でＯＫです！


◆関連項目
１次関数まとめ


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中学数学「２次関数」直線と放物線の交点と原点を頂点とする三角形の面積

中学数学「２次関数」直線と放物線の交点と原点を頂点とする三角形の面積

◆問題

直線ｙ＝(１／２)ｘ＋２とｘの２乗に比例する放物線ｙ＝ａｘ²が２点Ａ，Ｂで交わっている。
Ａ，Ｂのｘ座標がそれぞれ−２，４のとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。

(2) △ＡＯＢの面積を求めよ。


この記事では(2)を解説します。
解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

(1)で、点Ａ(−２，１)，点Ｂ(４，４)を求めました。

次は△ＡＯＢの面積を求めます。
図形の面積は、頂点の座標がわかれば求めることができます。

求め方はいくつかありますが、個人的には、「頂点を全て通る長方形を描いて、周りの三角形を引く」という方法をおすすめしています。

点Ａ，Ｂ，Ｏを通る長方形を描くと、縦が４，横が６の長方形になります。
この長方形の面積は２４ですね。

周りの三角形は・・・

まず左下の小さい三角形は、底辺１，高さ２だから、１×２÷２＝１

右下の大きい三角形は、底辺４，高さ４だから、４×４÷２＝８

上の大きい三角形は、横を底辺とすると、底辺６，高さ３だから、６×３÷２＝９

これら３つの三角形の面積を長方形の２４から引けば、△ＡＯＢというわけです。


２４−１−８−９＝６

つまり、△ＡＯＢ＝６


この問題の最初に戻る→ａの値


◆関連問題
直線と放物線の交点
２次関数まとめ(中学)


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中学数学「２次関数」直線と放物線の交点を用いて、放物線の式を求める

中学数学「２次関数」直線と放物線の交点を用いて、放物線の式を求める

◆問題

直線ｙ＝(１／２)ｘ＋２とｘの２乗に比例する放物線ｙ＝ａｘ²が２点Ａ，Ｂで交わっている。
Ａ，Ｂのｘ座標がそれぞれ−２，４のとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

２点Ａ，Ｂは直線と放物線の交点です。
交点の座標は、両方のグラフの式に代入して成り立つ値です。

つまり、Ａ，Ｂの座標は、直線と放物線のどちらに代入しても成り立ちます。

「Ａ，Ｂのｘ座標はそれぞれ−２，４」と言っているので、まずは直線の式にこれらの値を代入してみましょう！

ｘ＝−２のとき、ｙ＝(１／２)×(−２)＋２＝−１＋２＝１
よって、点Ａの座標は(−２，１)

ｘ＝４のとき、ｙ＝(１／２)×４＋２＝２＋２＝４
よって、点Ｂの座標は(４，４)

これらの点は放物線上の点でもあります。
だから、ｙ＝ａｘ²に代入しても成り立ちます。

例えば点Ａ(−２，１)を代入してみると、

１＝ａ×(−２)²
１＝４ａ
ａ＝１／４


次の問題→△ＡＯＢの面積


◆関連問題
直線と放物線の交点
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中学数学「２次方程式」長方形の面積から縦の長さを求める

中学数学「２次方程式」長方形の面積から縦の長さを求める

縦より横が５ｃｍ長い長方形ＡＢＣＤがある。この長方形の面積が８４ｃｍ^２のとき、長方形の縦の長さを求めよ。


参考図

Ａ　　　　　Ｄ
┌─────┐
│　　　　　│
│　　　　　│
└─────┘
Ｂ　　　　　Ｃ


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



２次方程式に関する基本的な文章問題です。
このくらいは楽勝でできるようにしておきましょう！

長方形の縦の長さを聞いているので、縦をｘｃｍとします。

横は縦より５ｃｍ長いので、(ｘ＋５)ｃｍですね。

そして、面積が８４ｃｍ2だから、「縦×横＝８４」という式を作ればＯＫですね！

ｘ(ｘ＋５)＝８４

カッコを外して移項すると、

ｘ^２＋５ｘ−８４＝０

これで見慣れた形の２次方程式になりました。
この数字の組み合わせなら因数分解できそうですね。

(ｘ＋１２)(ｘ−７)＝０

よって、ｘ＝−１２，７

長さは正の数なので、縦の長さは７ｃｍ


◆関連問題
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０，２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０
２次方程式まとめ

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中学数学「相似」「中点連結定理」台形の辺の長さ

中学数学「相似」「中点連結定理」台形の辺の長さ

◆問題

ＡＤ＝８，ＢＣ＝ｘ，ＡＤ‖ＢＣの台形ＡＢＣＤがある。ＡＢ，ＣＤそれぞれの中点をＥ，Ｆとし、ＡＣとＥＦの交点をＧとすると、ＥＧ＝１０，ＧＦ＝ｙとなる。
このとき、ｘ，ｙの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


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ＡＤ‖ＢＣで、Ｅ，Ｆはそれぞれの辺の中点なので、ＡＤ‖ＥＦ‖ＢＣです。
ということは、これらに交わる直線との間にできる同位角や錯角は等しいので、「２組の角がそれぞれ等しい」という相似条件を満たし、△ＡＢＣ∽△ＡＥＧ，△ＣＡＤ∽△ＣＧＦなどがわかります。

ＥはＡＢの中点だから、ＡＢ：ＡＥ＝２：１なので、相似な三角形の相似比は２：１です。
これを「中点連結定理」と呼んで、相似であることを意識せずに解いてしまう人も多いと思いますが、中点連結定理は相似の特殊な場合であることを理解しておいた方が良いです。

中点連結定理と考えても、相似と考えてもどちらでも良いですが、とにかく、ＢＣ：ＥＧ＝２：１です。
ＥＧ＝１０なので、ＢＣ＝２０ですね。

同様にして、ＡＤ：ＧＦ＝２：１，ＡＤ＝８より、ＧＦ＝４です。

つまり、ｘ＝２０，ｙ＝４ですね！


◆関連項目
基本的な相似の証明のやり方
図形まとめ(中学)


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中学数学「２次関数」１次関数と２次関数の変化の割合が等しいとき

中学数学「２次関数」１次関数と２次関数の変化の割合が等しいとき

関数ｙ＝ａｘ^２で、ｘの値が−２から８まで変化するときの変化の割合は、関数ｙ＝(３／２)ｘ＋３の変化の割合と等しくなる。このときのａの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


一般的に、

「変化の割合＝ｙの増加量／ｘの増加量」

ですね。

さらに、１次関数の場合は、傾きと変化の割合は等しくなります。

ｙ＝(３／２)ｘ＋３の傾きは(３／２)だから、変化の割合も(３／２)です。

つまり、２次関数の変化の割合が３／２になるようなａの値を求めればＯＫ！
というわけです。

ｘは−２から８まで増加するので、増加量は８−(−２)＝１０ですね。

ｙの増加量は、そのときのｙ座標の差だから、ａ×８^２−ａ×(−２)^２＝６４ａ−４ａ＝６０ａです。

変化の割合は３／２なので、

６０ａ／１０＝３／２

あとは普通に計算します。

６ａ＝３／２
　ａ＝３／(２×６)
　ａ＝１／４

よって、求めるａの値は１／４


◆関連問題
ｙ＝２ｘ^2において、ｘが−２から１まで変化するときの変化の割合
２次関数まとめ(中学)


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中学数学「相似」基本的な相似の証明

中学数学「相似」基本的な相似の証明

◆問題

△ＡＢＣの辺ＡＢ，ＡＣ上に、ＤＥ‖ＢＣとなるように点Ｄ，Ｅをとる。
このとき、△ＡＢＣ∽△ＡＤＥとなることを証明しなさい。


解答解説はこのページ下


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基本的な相似の証明のページでも説明したように、

まずはどの三角形について考えるかを宣言し
→理由を付けて等しいものを言っていき
→相似条件を述べて結論を言う。

という流れです。
早速やってみましょう！

＜証明＞

△ＡＢＣと△ＡＤＥで、

仮定よりＤＥ‖ＢＣで、平行線の同位角は等しいので、
∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＥ　・・・�@
∠ＡＣＢ＝∠ＡＥＤ　・・・�A

�@，�Aより、２組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ


この問題はこれで終了です。
これは最も基本的なタイプの相似の証明ですが、もっと複雑な問題でも、意外と簡単なものも多いです。
「絶対解けるはず」と思って真剣に取り組んだらできるかも知れないので、諦めずがんばっていきましょう！


◆関連項目
基本的な相似の証明のやり方
図形まとめ(中学)


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中学数学「図形まとめ」

中学数学「図形まとめ」

中学数学の図形に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。
主に図形の性質や証明について書いていきたいと思います。


◆　解説

扇形の弧の長さ、扇形の面積

直方体の表面積

柱体・錐体の体積

合同条件、基本的な合同の証明

相似条件、基本的な相似の証明

相似比と面積比

三平方の定理の基本
　三角定規の形の三角形、正三角形

　円と三角形の複合問題

　２点間の距離

　直方体の対角線


◆　問題

半径３ｃｍ，中心角２４０°の扇形の面積

基本的な相似の証明


まだまだ追加していきます！
リクエストがあればお気軽にどうぞ！


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中学数学「合同」「合同条件」「基本的な証明の方法」

中学数学「合同」「合同条件」「基本的な証明の方法」

★合同

形も大きさも同じ図形を「合同である」といいます。
△ＡＢＣと△ＤＥＦが合同ならば、「△ＡＢＣ≡△ＤＥＦ」と表します。


★合同条件

三角形の合同条件は３つあり、どれか一つでも満たしていれば、それら２つの三角形が合同であることがわかります。

・３組の辺がそれぞれ等しい
・２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
・１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい


★基本的な証明の方法

まず最初に

「△●●●と△×××で」

のように、どの三角形について考えるかを宣言します。
このとき、必ず対応する順番で言う必要があります。
対応する順番とは、辺や角が等しいもの同士を同じ順番で言う。ということです。
例えば、１個目の三角形で角の大きさが「大・中・小」の順番で言ったならば、２個目の三角形でも同じく「大・中・小」の順番にします。

その後は「仮定より」「共通な角だから」「平行線の錯角だから」など、理由をつけて等しいものを言っていきます。
一つのことを言う度に、�@，�A，…と番号を付けていきます。

テストの問題では、まず仮定で１つか２つのことを言えて、残りは図形の性質などを使って等しいと言っていく場合が多いです。

合同条件のうちどれかを満たす事柄を全て言えたら、その合同条件を述べて「▲●●●≡▲×××」と言って証明完成です。


合同条件は３つのことを言えばいいので、基本的には�@，�A，�Bで済むこともありますが、問題の条件によっては、�@，�A，�B，�C，�D，�Eくらいまで使うこともあります。
とにかく、きちんと理由を述べながら、論理の飛躍がないようにして「何かと何かが等しい」と言っていきます。

具体的な問題に関しては、また別の記事で解説します。


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中学数学「２次方程式」動点の問題�A

中学数学「２次方程式」動点の問題�A

ＡＢ＝２０ｃｍ，ＢＣ＝３０ｃｍの長方形がある。点Ｐ，ＱはそれぞれＣ，Ｄを同時に出発し、Ｐは毎秒２ｃｍの速さでＤまで、Ｑは毎秒３ｃｍの速さでＡまで移動して止まる。△ＰＤＱの面積が４８ｃｍ2になるのは、点Ｐ，Ｑが出発してから何秒後か求めよ。


参考図

Ａ　　←Ｑ　Ｄ
┌─────┐
│　　　　　│↑
│　　　　　│Ｐ
└─────┘
Ｂ　　　　　Ｃ


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



△ＰＤＱは直角三角形なので、普通に「底辺×高さ÷２」で面積を求めることが出来ます。

直角をはさむ２辺のうち片方を底辺、残り片方を高さとすればＯＫです。
ここでは、ＤＱを底辺、ＤＰを高さ、求める時刻をｘ秒後として考えてみます。

点Ｑは毎秒３ｃｍの速さでＤからＡまで進むので、ｘ秒後にはＤＱ＝３ｘｃｍとなります。

点Ｐは毎秒２ｃｍの速さでＣからＤまで進むので、ｘ秒後にはＣＰ＝２ｘｃｍです。
ＣＰ＝２ｘであって、ＤＰ＝２ｘではないことに注意してください。

ＤＰ＝ＣＤ−ＣＰですね。

ＤＣ＝２０ｃｍだから、ＤＰ＝(２０−２ｘ)ｃｍです。

あとは普通に「底辺×高さ÷２」をやると、

△ＰＤＱ＝３ｘ×(２０−２ｘ)÷２＝３ｘ(１０−ｘ)

となります。
面積が４８ｃｍ2のときについて考えるので、

３ｘ(１０−ｘ)＝４８

このような式ができます。
これは２次方程式なので、あとは普通に計算ですね！

３０ｘ−３ｘ^２＝４８
−３ｘ^２＋３０ｘ−４８＝０
ｘ^２−１０ｘ＋１６＝０
(ｘ−２)(ｘ−８)＝０
よって、ｘ＝２，８

Ｐ，Ｑが止まるまでにかかる時間は１０秒なので、ｘ＝２，８どちらも適した値ということができます。
よって求める答えは、

２秒後，８秒後


◆関連問題
動点の問題�@
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０，２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０
２次方程式まとめ

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中学数学「２次方程式」動点の問題�@

中学数学「２次方程式」動点の問題�@

１辺が１２ｃｍの正方形ＡＢＣＤがある。点Ｐ，ＱはそれぞれＢ，Ｃを同時に出発し、毎秒１ｃｍの速さでそれぞれＣ，Ｄまで動いて止まる。このとき、△ＰＣＱの面積が１８ｃｍ2になるのは、２点が動き出して何秒後か求めよ。


参考図

Ａ　　　Ｄ
┌───┐
│　　　│↑
│Ｐ→　│Ｑ
└───┘
Ｂ　　　Ｃ


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



△ＰＣＱは直角三角形なので、普通に「底辺×高さ÷２」で面積を求めることが出来ます。

底辺はＰＣ，高さはＣＱですね。

Ｐ，Ｑは毎秒１ｃｍで動くので、ｘ秒後のＢＰ，ＣＱの長さはｘｃｍです。

ＰＣ＝ＢＣ−ＢＰだから、

ＰＣ＝１２−ｘ

ですね。

これで底辺がわかり、高さはＣＱ＝ｘｃｍがわかっているので、「面積＝１８」という式を立てます。

ｘ(１２−ｘ)÷２＝１８

方程式ができたので、あとは普通に解けば、何秒後かわかる。というわけです。

１２ｘ−ｘ^２＝３６
−ｘ^２＋１２ｘ−３６＝０
ｘ^２−１２ｘ＋３６＝０
(ｘ−６)^２＝０

よって、ｘ＝６

つまり、６秒後に△ＰＣＱの面積は１８ｃｍ2になります。


◆関連問題
動点の問題�A
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０、２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０
２次方程式まとめ

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中学数学「２次方程式」解の公式

中学数学「２次方程式」解の公式

どんな２次方程式でも正しく代入して正しく計算すれば、解ける公式が「２次方程式の解の公式」です。

２次方程式ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝０の解の公式はコレです。



中学数学としては難しい公式ですが、とてもよく使う公式なので、

「エックスイコール２ａ分のマイナスｂプラスマイナスルートｂ２乗マイナス４ａｃ」

と呪文のように唱えて覚えて、何度も代入して計算する練習をする必要があります。

この記事では、この解の公式を導いてみます。
実は、ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０を変形しただけです。

ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０

まずはｘを含む項をａでくくります。

ａ{ｘ^2＋(ｂ／ａ)ｘ}＋ｃ＝０

中括弧の中身が(●●)^2の形になるようにします。そのためには(ｂ／ａ)の半分の２乗が必要なので、

ａ{ｘ^2＋(ｂ／ａ)ｘ＋(ｂ／２ａ)^2−(ｂ／２ａ)^2}＋ｃ＝０
ａ(ｘ＋ｂ／２ａ)^2−ａ×(ｂ／２ａ)^2＋ｃ＝０

定数項を右辺に移項し、両辺をａで割ります

ａ(ｘ＋ｂ／２ａ)^2＝ａ×(ｂ／２ａ)^2−ｃ
(ｘ＋ｂ／２ａ)^2＝ｂ^2／４ａ^2−ｃ／ａ

ここで両辺の平方根をとると

ｘ＋ｂ／２ａ＝±√(ｂ^2／４ａ^2−ｃ／ａ)

ｂ／２ａを右辺に移項し整理すれば完成です！

ｘ＝−ｂ／２ａ±√(ｂ^2／４ａ^2−４ａｃ／４ａ^2)
　＝−ｂ／２ａ±√{(ｂ^2−４ａｃ)／４ａ^2}
　＝−ｂ／２ａ±(１／２ａ)√(ｂ^2−４ａｃ)
　＝{−ｂ±√(ｂ^2−４ａｃ)}／２ａ

というわけで、



ですね！

念のため言っておきますが、中学数学ではこれができる必要はありません。
途中に高校数学の「平方完成」を含みます。だから、高校生になってからできるようになれば問題ありません。
まずは教科書・ワーク、入試の過去問などの普通の問題を全て解けるようにしていきましょう！


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



◆関連問題
平方完成
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０
２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０


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