中学数学「２次方程式」９(ｘ−５)2−１０＝０

中学数学「２次方程式」９(ｘ−５)²−１０＝０


◆問題　次の２次方程式を解け。

９(ｘ−５)²−１０＝０


このような式の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていると思いますが、えまじゅくでは別の方法をおすすめしています。


「そもそも基本的な２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

このように、カッコの２乗と定数項の問題の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていますが、もちろんそれ以外の方法で解くこともできます。

まずは展開してまとめます。

９(ｘ−５)²−１０＝０
９(ｘ²−１０ｘ＋２５)−１０＝０
９ｘ²−９０ｘ＋２２５−１０＝０
９ｘ²−９０ｘ＋２１５＝０

少し数字が大きいですが、ｘの２乗の項に係数が残っているので、解の公式に代入してみます。

ｘ＝[−(−９０)±√{(−９０)²−４×９×２１５}]／２×９
　＝{９０±√(８１００−７７４０)／１８
　＝(９０±√３６０)／１８
　＝(９０±６√１０)／１８
　＝(１５±√１０)／３


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」５(ｘ−１)2＝２０

中学数学「２次方程式」５(ｘ−１)²＝２０


◆問題　次の２次方程式を解け。

５(ｘ−１)²＝２０


このような式の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていると思いますが、えまじゅくでは別の方法をおすすめしています。


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◆解答解説

まずは両辺を共通因数の５で割ります。

５(ｘ−１)²＝２０
　(ｘ−１)²＝４

いわゆる「模範解答」では、ここで両辺の平方根をとりますが、「とにかく展開してまとめる」で全く問題なく解けます。

ｘ²−２ｘ＋１＝４
ｘ²−２ｘ−３＝０

ここで、因数分解をやってみましょう！

(ｘ＋１)(ｘ−３)＝０

よって、ｘ＝−１，３


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」(２／３)ｘ2＋１／６＝５／９

中学数学「２次方程式」(２／３)ｘ²＋１／６＝５／９


◆問題　次の２次方程式を解け。

(２／３)ｘ²＋１／６＝５／９


分数だらけなので難しく見えますが、ｘの２乗の項と定数項しかないので、実はそれほどでもないです。まずは式の変形をしましょう！


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◆解答解説

分数がない方が解きやすいので、まずは分母の公倍数を両辺に掛けましょう！
３，６，９の公倍数は１８だから、

(２／３)ｘ²＋１／６＝５／９
１８×(２／３)ｘ²＋１８×１／６＝１８×５／９
１２ｘ²＋３＝１０
１２ｘ²＝１０−３
１２ｘ²＝７
ｘ²＝７／１２

あとは両辺の平方根をとって、有理化していきます。

ｘ＝±√(７／１２)
　＝±√７／√１２
　＝±√７／２√３
　＝±√７×√３／(２×３)
　＝±√２１／６


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「空間図形」２：１に切断した立体の面積比

中学数学「空間図形」２：１に切断した立体の面積比

点Ａを頂点、△ＢＣＤを底面とする正四面体Ａ−ＢＣＤがある。
ＡＥ：ＥＢ＝２：１となるように点Ｅをとり、点Ｅを通り△ＢＣＤと平行な平面でこの正四面体を切断した。
頂点Ａを含む立体をＰ，頂点Ｂを含む立体をＱとして、次の問いに答えよ。

(1) 立体Ｐと立体Ｑの体積比を求めよ。

(2) 立体Ｐと立体Ｑの表面積の比を求めよ。


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◆解答解説

(1)でも考えたように、立体Ｐはもとの正四面体ＡＢＣＤと相似です。

切断面とＡＣとの交点をＦとすれば、

△ＡＥＦ：△ＡＢＣ＝２²：３²＝４：９

です。
ということは、

△ＡＥＦ：四角形ＥＢＣＦ＝４：５

となります。
今回の問題では、表面積の比を聞いているので、これらの比の値を合計して比べてしまいましょう！

立体Ｐは、△ＡＥＦと合同な三角形が４つ集まっているので、表面積は

４×４＝１６

となります。

立体Ｑは、四角形ＥＢＣＦと合同な四角形が３つ、△ＡＥＦと合同な三角形が１つ、△ＡＢＣと合同な三角形が１つだから、

５×３＋４＋９＝２０＋４＋９＝２８

というわけで、求める面積比は、

１６：２８＝４：７


(1)に戻る


図形まとめ(中学)


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中学数学「空間図形」２：１に切断した立体の体積比

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点Ａを頂点、△ＢＣＤを底面とする正四面体Ａ−ＢＣＤがある。
ＡＥ：ＥＢ＝２：１となるように点Ｅをとり、点Ｅを通り△ＢＣＤと平行な平面でこの正四面体を切断した。
頂点Ａを含む立体をＰ，頂点Ｂを含む立体をＱとして、次の問いに答えよ。

(1) 立体Ｐと立体Ｑの体積比を求めよ。


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◆解答解説

底面に平行な平面で切断したのだから、もとの正四面体ＡＢＣＤと立体Ｐは相似な立体です。

相似な立体はどの辺も相似比の割合の比率だから、その体積比は相似比の３乗です。

ＡＥ：ＥＢ＝１：２だから、相似比は２：３ですね。

ということは、ＡＢＣＤ：立体Ｐ＝２³：３³＝８：２７です。

立体Ｑは、ＡＢＣＤから立体Ｐを引いた残りなので、

立体Ｑ＝２７−８＝１９

よって、立体Ｐ：立体Ｑ＝８：１９


次の問題→表面積の比


図形まとめ(中学)


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中学数学「２次方程式」物体を秒速60mの速さで打ち上げたとき

中学数学「２次方程式」物体を秒速60mの速さで打ち上げたとき


◆問題　

物体を地上から毎秒６０ｍの速さで真上に打ち上げたときの、ｔ秒後の高さを(６０ｔ−５ｔ²)ｍとする。
物体の高さが１００ｍになるのは、物体を打ち上げてから何秒後か？


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◆解答解説

問題文に「ｔ秒後の高さを(６０ｔ−５ｔ²)ｍ」とする。と書かれているので、そのままコレを活用します。

高さが１００ｍになるときを求めたいのだから、「高さ＝１００」で式を立てればＯＫです。
つまり、

６０ｔ−５ｔ²＝１００

ですね。
ｔについての２次方程式ができたので、あとは普通に解きます。
まずは「●●＝０」の形にして整理します。

６０ｔ−５ｔ²−１００＝０
　　ｔ²−１２ｔ＋２０＝０

因数分解してｔの値を求めると、

(ｔ−２)(ｔ−１０)＝０
よって、ｔ＝２，１０

物体を打ち上げて、最高点に達した後また落ちてくるので、１００ｍ地点を２回通過する。というわけですね。

つまり解答は、「２秒後，１０秒後」


◆関連項目
長方形の土地の問題、２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある…�A

中学数学「２次方程式」横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある…�A


◆問題　

横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある。この土地内に参考図に示すように、幅２ｍのＬ字型の花壇を作ったところ、残りの面積が２１６ｍ²となった。このとき次の問いに答えよ。


参考図　　　　２ｍ
┌──────┬┐
│　　　　　　││
│　　　　　　││
│　　　　　　││
├──────┘│
└───────┘

(1) 長方形の土地の縦の長さをｘｍとして、「残りの面積」を表す式を求めよ。

(2) この長方形の土地の縦の長さを求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓


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◆解答解説

(1)で、長方形の縦の長さをｘｍとするときの等式は、

(ｘ−２)(ｘ＋４)＝２１６

であることがわかりました。
これを解けばｘの値、つまり、縦の長さがわかりますね。解いてみましょう！

まずは展開して、

ｘ²＋２ｘ−８＝２１６

移項してまとめて、

ｘ²＋２ｘ−８−２１６＝０
ｘ²＋２ｘ−２２４＝０

かけて−２２４，足して２の２つの数の組合せを考えると・・・
１６と−１４ならうまくいきそうですね！

(ｘ＋１６)(ｘ−１４)＝０
よって、ｘ＝−１６，１４

ｘは縦の長さだから、ｘ＞０なので、

ｘ＝１４


(1)に戻る


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◆問題　

横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある。この土地内に参考図に示すように、幅２ｍのＬ字型の花壇を作ったところ、残りの面積が２１６ｍ²となった。このとき次の問いに答えよ。


参考図　　　　２ｍ
┌──────┬┐
│　　　　　　││
│　　　　　　││
│　　　　　　││
├──────┘│
└───────┘

(1) 長方形の土地の縦の長さをｘｍとして、「残りの面積」を表す式を求めよ。


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◆解答解説

長方形の縦の長さをｘｍとするので、横の長さは(ｘ＋６)ｍとなります。

そして、花壇の幅は２ｍだから、「残りの面積」の縦は(ｘ−２)ｍ，横は(ｘ＋４)ｍです。

「残りの面積」は２１６ｍ²だから、求める式は、

(ｘ−２)(ｘ＋４)＝２１６


次の問題→この長方形の縦の長さ


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中学数学「空間図形」三角錐の体積�A

中学数学「空間図形」三角錐の体積�A

ＡＢ＝ＡＣ＝９ｃｍ，∠Ａ＝９０°の直角三角形ＡＢＣを底面とし、高さがＯＡとなる三角錐Ｏ−ＡＢＣがある。
ＯＡ＝９ｃｍのとき、次の問いに答えよ。

(1) この三角錐Ｏ−ＡＢＣの体積を求めよ。

(2) ＯＣを２：１に分ける点をＰとする。Ｏ，Ｐ，Ａ，Ｂを頂点とする三角錐の体積を求めよ。


↓この記事では(2)を解説します。解答解説はお知らせの下↓

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ＰはＯＣを２：１に分けるので、三角錐Ｐ−ＡＢＣを考えると、高さはＯ−ＡＢＣの１／３になります。

(1)より、Ｏ−ＡＢＣの体積は２４３／２ｃｍ³で、底面は共通だから、体積は１／３となります。
つまり、

Ｐ−ＡＢＣ＝(２４３／２)×１／３＝８１／２[ｃｍ³]

求める立体はＯ，Ｐ，Ａ，Ｂを頂点とする三角錐で、これはＯ−ＡＢＣからＰ−ＡＢＣを差し引いたものだから、

２４３／２−８１／２＝１６２／２＝８１

というわけで、求める立体の体積は、８１ｃｍ³となります。


(1)に戻る


図形まとめ(中学)


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中学数学「空間図形」三角錐の体積�@

中学数学「空間図形」三角錐の体積�@

ＡＢ＝ＡＣ＝９ｃｍ，∠Ａ＝９０°の直角三角形ＡＢＣを底面とし、高さがＯＡとなる三角錐Ｏ−ＡＢＣがある。
ＯＡ＝９ｃｍのとき、次の問いに答えよ。

(1) この三角錐Ｏ−ＡＢＣの体積を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓

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三角錐の体積は、底面積×高さ×１／３で求めることができます。

この問題では底面は直角三角形ＡＢＣで、長さは与えられているので、早速求めてみましょう！

△ＡＢＣ＝(１／２)×９×９＝８１／２[ｃｍ²]

高さは９ｃｍだから、求める体積は、

　(１／３)×(８１／２)×９
＝３×８１／２
＝２４３／２

というわけで、三角錐Ｏ−ＡＢＣの体積は、２４３／２ｃｍ³となります。


次の問題→Ｐ，Ｏ，Ａ，Ｂを頂点とする立体の体積


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中学数学「２次方程式」８ｘ2−６０＝０

中学数学「２次方程式」８ｘ²−６０＝０


◆問題　次の２次方程式を解け。

８ｘ²−６０＝０


少し難しい２次方程式ですね。まずは式の変形をします。


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◆解答解説

２次方程式を解くためには、基本的には、まずは右辺をゼロにした方がよいです。
ただし、この問題のようにｘの２乗の項と定数項の２つの項のみがある場合は、定数項つまり数字だけの項を右辺に移項するのがノーマルです。

８ｘ²−６０＝０
８ｘ²＝６０
　ｘ²＝６０／８
　ｘ²＝１５／２

あとは両辺の平方根をとって、

　　ｘ＝±√(１５／２)
　　ｘ＝±√１５／√２

分母が√の数なので、有理化して完成です。

　　ｘ＝±√３０／２


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「展開」少し難しい計算(ｘ−４)(ｘ＋５)−(ｘ−６)^2

中学数学「展開」少し難しい計算(ｘ−４)(ｘ＋５)−(ｘ−６)²

◆　次の計算をせよ。

(ｘ−４)(ｘ＋５)−(ｘ−６)²


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◆解答解説

(ｘ−４)(ｘ＋５)−(ｘ−６)²

文字や数字がいくつもあって、難しく見えますが、それぞれ展開して同類項をまとめるだけです。
ただし、後半部分の前にマイナスがついているので、カッコを適切に使うことを意識しましょう！

　(ｘ−４)(ｘ＋５)−(ｘ−６)²
＝ｘ²＋ｘ−２０−(ｘ²−１２ｘ＋３６)

(ｘ−６)²にマイナスがついていたので、ｘ²−１２ｘ＋３６全体にマイナスをつけるイメージで、カッコが必要になります。
続いて、カッコを外して同類項をまとめれば完成です！

＝ｘ²＋ｘ−２０−ｘ²＋１２ｘ−３６
＝１３ｘ−５６


◆関連項目
展開・因数分解まとめ


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中学数学「２次方程式」１８ｘ^2＋１２ｘ＝−２など

中学数学「２次方程式」１８ｘ²＋１２ｘ＝−２など


◆問題　次の２次方程式を解け。

(1) １８ｘ²＋１２ｘ＝−２

(2) ２７ｘ²＝１８ｘ−３


少し難しい２次方程式ですね。まずは式の変形をします。


「そもそも基本的な２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


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◆解答解説

２次方程式を解くためには、まずは右辺をゼロにした方がよいです。
そして、因数分解ができれば因数分解。できなければ解の公式。です。

(1) １８ｘ²＋１２ｘ＝−２

まずは移項すると

１８ｘ²＋１２ｘ＋２＝０

全ての項が２で割れるので２で割って、

９ｘ²＋６ｘ＋１＝０

ここまできたら、因数分解をやってみましょう！
中学の範囲では、「項が３つあって、ｘの２乗に係数がついている場合はカッコの２乗になる」と考えてほとんど問題ありません。

(３ｘ＋１)²＝０

この式の値がゼロだから、カッコの中身がゼロです。０の２乗はゼロですね。

３ｘ＋１＝０

これはただの１次方程式なので、普通に解きます。

　　３ｘ＝−１
　　　ｘ＝−１／３


(2) ２７ｘ²＝１８ｘ−３

まずは移項して、右辺をゼロにします。

２７ｘ²−１８ｘ＋３＝０

全ての項が３で割れるので、割りましょう！

９ｘ²−６ｘ＋１＝０

先ほどの(1)とだいたい同じですね。因数分解をしてカッコの２乗にすることができます。

(３ｘ−１)²＝０

これも「カッコの中身がゼロ」だから、

３ｘ−１＝０
　　３ｘ＝１
　　　ｘ＝１／３


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「１次関数」２直線の交点と(０，３)を通る１次関数の式

中学数学「１次関数」２直線の交点と(０，３)を通る１次関数の式

◆問題

２直線２ｘ＋ｙ−２＝０，３ｘ＋２ｙ−５＝０の交点と、(０，３)を通る１次関数の式を求めよ。


２直線の交点は連立方程式で出ますね！


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◆解答・解説

２直線２ｘ＋ｙ−２＝０，３ｘ＋２ｙ−５＝０の交点と、(０，３)を通る１次関数の式を求めよ。

２つの関数の交点は、それらの式の連立方程式で求めることができます。

２ｘ＋ｙ−２＝０　・・・�@
３ｘ＋２ｙ−５＝０　・・・�A

�@×２　・・・　４ｘ＋２ｙ−４＝０
�A　　・・・−）３ｘ＋２ｙ−５＝０
　　　　　　―――――――――――
　　　　　　　　　ｘ　　　＋１＝０
　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝−１
これを�@に代入すると、
−２＋ｙ−２＝０
　　　　　ｙ＝４

よって、交点は(−１，４)です。
この点と、(０，３)を通る直線の式を求めます。

(０，３)はｙ軸上の点なので、切片ｂ＝３がわかります。

ｙ＝ａｘ＋ｂにｂ＝３，(−１，４)を代入して、
４＝−ａ＋３
ａ＝−１

というわけで、傾き−１，切片３なので、求める直線の式は、

ｙ＝−ｘ＋３


◆関連項目
２つの関数の交点、ｙ軸上の点
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」２点(−２，−８)，(２，４)を通る１次関数の式

中学数学「１次関数」２点(−２，−８)，(２，４)を通る１次関数の式

◆問題

２点(−２，−８)，(２，４)を通る１次関数の式を求めよ。


１次関数なので、ｙ＝ａｘ＋ｂに適切な値を代入して計算ですね！


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◆解答・解説

２点(−２，−８)，(２，４)を通る１次関数の式を求めよ。

２点を通る直線の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂに座標を代入して、式を２つ作り、連立して解けば求められます。

まず、(−２，−８)を代入すると、

−８＝−２ａ＋ｂ

(２，４)を代入すると、

４＝２ａ＋ｂ

これら２つの式を差し引いて、

−１２＝−４ａ
　　ａ＝３

ａ＝３を４＝２ａ＋ｂに代入すると、

４＝２×３＋ｂ
４＝６＋ｂ
ｂ＝−２

これで傾きと切片がわかりました。よって、求める直線の式は、

ｙ＝３ｘ−２


◆関連項目
２点を通る直線の式
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」変化の割合が−２で、ｘ＝−３のときｙ＝７となる１次関数の式

中学数学「１次関数」変化の割合が−２で、ｘ＝−３のときｙ＝７となる１次関数の式

◆問題

変化の割合が−２で、ｘ＝−３のときｙ＝７となる１次関数の式を求めよ。


１次関数なので、ｙ＝ａｘ＋ｂに適切な値を代入して計算ですね！


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◆解答・解説

変化の割合が−２で、ｘ＝−３のときｙ＝７となる１次関数の式を求めよ。

変化の割合は傾きと同じで、ａ＝−２です。
ｘ，ｙの値はそのまま代入します。つまり、

７＝−２×(−３)＋ｂ
７＝６＋ｂ
ｂ＝１

これで傾きと切片がわかりました。
あとはｙ＝ａｘ＋ｂの形で答えれば完成です！

ｙ＝２ｘ＋１


◆関連項目
変化の割合
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２に関する問題�A

中学数学「１次関数」直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２に関する問題�A

◆問題

座標平面上に、直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２があり、直線ｌとｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＡ，Ｂ、直線ｍとｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＣ，Ｄとする。また、直線ｌと直線ｍの交点をＰとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) ２点Ａ，Ｄを通る直線の式を求めよ。

(2) △ＢＰＣを直線ＢＣに平行な直線で２つの部分に分けたとき、頂点Ｐの側にできる三角形の面積が△ＢＰＣの面積の１／４になった。このときの直線の式を求めよ。


(2)の解答解説はこのページ下


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◆解答・解説

「直線ＢＣに平行な直線」とあるので、まずは直線ＢＣの式(傾き)を求めましょう！

Ｂは直線ｌの切片なので、直線ＢＣの切片も４となります。

Ｃは直線ｍとｘ軸との交点なので、ｙ＝０を代入して計算します。

０＝(−１／３)ｘ＋２
０＝−ｘ＋６
ｘ＝６

つまり、Ｃ(６，０)です。

ｙ＝ａｘ＋ｂに、ｂ＝４，ｘ＝６，ｙ＝０を代入すると、
　　０＝６ａ＋４
−６ａ＝４
　　ａ＝−２／３

よって、直線ＢＣの式はｙ＝(−２／３)ｘ＋４となります。
そして、直線ＢＣと平行な直線は傾きが−２／３です。
「平行な直線は傾きが等しい」という性質があります。そしてＢＣの傾きは−２／３だから、求める直線の傾きも−２／３です。

あとは「面積が１／４」という条件について考える必要があります。
ＢＣに平行な直線で△ＢＰＣを切ると、点Ｐ側の三角形は、△ＢＰＣと形が同じつまり相似になります。
平行線の同位角は等しいので、２組の角がそれぞれ等しいので、相似ですね。

相似な図形で面積が１／４の場合は・・・

「相似比が１：２」です。

底辺も高さも１：２だから、面積は１／４となります。

相似比が１：２になればいいのだから、求める直線はＢＰ(とＣＰ)の中点を通ればいい。ということができます。


Ｐの座標はまだ求めていなかったので、ここで求めてみましょう！
Ｐは直線ｌと直線ｍの交点だから、これらの直線の式を連立して解けばＯＫです。

ｙ＝−２ｘ＋４，ｙ＝(−１／３)ｘ＋２の右辺同士をイコールで結んで、解きます。

　−２ｘ＋４＝(−１／３)ｘ＋２
−６ｘ＋１２＝−ｘ＋６
　　　−５ｘ＝−６
　　　　　ｘ＝６／５

これをｙ＝−２ｘ＋４に代入して、
ｙ＝−２×６／５＋４
　＝−１２／５＋２０／５
　＝８／５

つまり、Ｐ(６／５，８／５)です。

そしてＢＰの中点は、Ｂの座標とＰの座標の平均です。
ｘ座標・・・(０＋６／５)÷２＝３／５
ｙ座標・・・(４＋８／５)÷２＝１４／５

だから、ＢＰの中点(３／５，１４／５)です。

というわけで、傾きが−２／３で、(３／５，１４／５)を通る直線が求める直線です。
ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して計算していきましょう！

１４／５＝(−２／３)×(３／５)＋ｂ
１４／５＝−２／５＋ｂ
−ｂ＝−２／５−１４／５
−ｂ＝−１６／５
　ｂ＝１６／５

だいぶ長くなりましたが、というわけで、求める直線は、

ｙ＝(−２／３)ｘ＋１６／５


◆関連項目
交点、ｙ軸上で交わる条件、平行な直線
１次関数まとめ
相似比と面積比


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中学数学「１次関数」直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２に関する問題�@

中学数学「１次関数」直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２に関する問題�@

◆問題

座標平面上に、直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２があり、直線ｌとｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＡ，Ｂ、直線ｍとｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＣ，Ｄとする。また、直線ｌと直線ｍの交点をＰとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) ２点Ａ，Ｄを通る直線の式を求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解答・解説

直線の式を求めるときは、多くの場合は２点の座標を求めればＯＫです。

「２点の座標→ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して連立」

という方針です。

「Ａ，Ｐを通る直線」を求めたいので、まずは点Ａ，点Ｐの座標を求めましょう！


Ａは「ｙ＝−２ｘ＋４とｘ軸との交点」です。

ｘ軸上はｙ＝０なので、この式にｙ＝０を代入して解きます。

　０＝−２ｘ＋４
２ｘ＝４
　ｘ＝２

よって、Ａ(２，０)ですね。
ｙ＝０を入れたらｘ＝２だったので、(２，０)です。


続いて点Ｄです。
点Ｄは「ｙ＝(−１／３)ｘ＋２とｙ軸との交点」です。

ｙ軸上はｘ＝０なので、この式にｘ＝０を代入して解きます。
ｙ＝２だから、Ｄ(０，２)ですね。

ｙ軸上の点は切片なので、ｂ＝２だからＤ(０，２)と見てもよいです。


２点の座標Ａ(２，０)，Ｄ(０，２)がわかったので、あとはこれら２点を通る直線の式を求めます。

２点がわかればとにかくｙ＝ａｘ＋ｂに代入して連立で解けますが、この場合はＤから切片がわかっているので、ｂ＝２を代入して、ｘ，ｙにＡの座標を代入する。と考えた方が簡単です。

　　０＝２ａ＋２
−２ａ＝２
　　ａ＝−１

よって、ｙ＝−ｘ＋２

傾きは−１，切片は２だから、ａ，ｂにそれぞれ代入すると、ｙ＝−ｘ＋２ですね！


◆関連項目
交点、ｙ軸上で交わる条件
１次関数まとめ


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中学数学(用語)「交点」

中学数学(用語)「交点」

交点とは「交わる点」です。
交点の座標は、それら２つの関数の式を同時に満たすｘ，ｙの値です。

両方の式を同時に満たす値だから、

２つの関数の交点の座標は連立方程式で求めることができます。

直線同士でも、直線と曲線でも、曲線同士でも、交点なら連立方程式です。


動画でも説明してみました。


◆関連項目
ｙ＝２ｘ−１とｙ＝−ｘ＋３の交点、ｙ＝−(３／４)ｘ＋４の増加量、ｘ軸・ｙ軸との交点、平行な直線
ｙ＝ｘ^２とｙ＝ｘ＋６の交点


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中学数学「２次方程式」ｘについての説明の通りに式を立てる問題

中学数学「２次方程式」ｘについての説明の通りに式を立てる問題


◆問題

ある自然数ｘがある。ｘに２を加えて２乗した数は、ｘに１２を加えて５倍した数に等しい。この条件を満たすｘの値を求めよ。


２次方程式の基本的な文章問題です。「そもそも２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


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◆解答解説

ある自然数ｘがある。ｘに２を加えて２乗した数は、ｘに１２を加えて５倍した数に等しい。この条件を満たすｘの値を求めよ。

このように、ｘについての説明がある問題は、とにかく「その通りに式を作って解く」だけです。

「ｘに２を加えて２乗」・・・(ｘ＋２)²
「ｘに１２を加えて５倍」・・・(ｘ＋１２)×５

これらが等しいので、イコールで結びます。

(ｘ＋２)²＝(ｘ＋１２)×５

あとは普通に解きましょう！

ｘ²＋４ｘ＋４＝５ｘ−６０

ｘ²＋４ｘ−５ｘ＋４−６０＝０
ｘ²−ｘ−５６＝０
(ｘ＋７)(ｘ−８)＝０
よって、ｘ＝−７，８

問題の条件では「自然数」なので、プラスの数のみを答えます。
だから、この問題の答えは

ｘ＝８


◆関連項目
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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