中学数学「２次関数」ｙ＝(１／２)ｘ2と△ＡＯＰ�A

中学数学「２次関数」ｙ＝(１／２)ｘ²と△ＡＯＰ�A

◆問題

座標平面上に曲線ｙ＝(１／２)ｘ²のグラフがあり、この曲線上に点Ａと点Ｐがある。
点ＡとＰのｘ座標をそれぞれ−２，ｐとする。
２点Ａ，Ｐを通る直線ｌを引き、△ＡＯＰをつくる。
このとき、次の問いに答えよ。

(1) ｐ＝４のとき、直線ｌの式を求めよ。

(2) △ＡＯＰの面積が２４になるときのｐの値を求めよ。ただし、ｐ＞０とする。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

(2)では新たな条件となっています。だから、(1)のｐ＝４やｙ＝ｘ＋４は使うことができないことに注意しましょう！
改めてわかっていることを確認してみると、

曲線の式はｙ＝(１／２)ｘ²
座標は、Ａ(−２，２)，Ｐ(ｐ，(１／２)ｐ²)

です。
この条件で、(2)では△ＡＯＰ＝２４が与えられています。

面積がわかっているので、面積の式を作って、イコール２４で方程式を解けばＯＫですね！

いくつか解ける方法はありますが、考え方が最も単純な、△ＡＯＰの頂点を通る長方形を作って、周りの三角形を引く。方法でやっていきます。

まず長方形は、横がｐ−(−２)＝ｐ＋２、縦は(１／２)ｐ²だから、
面積は(１／２)ｐ²(ｐ＋２)＝(１／２)ｐ³＋ｐ²です。
３次式になってしまいましたが、今のところは気にせず、どんどん表します。

まわりの三角形をひとつひとつ表していきます。
左下の三角形は、底辺２，高さ２で、面積＝(１／２)×２×２＝２

右下の三角形は、底辺ｐ，高さ(１／２)ｐ²だから、
面積は(１／２)×ｐ×(１／２)ｐ³＝(１／４)ｐ³

直線ｌの上側の三角形は、底辺ｐ＋２，高さ(１／２)ｐ²−２で、
面積は(１／２)×(ｐ＋２)×{(１／２)ｐ²−２}＝(１／４)(ｐ＋２)(ｐ²−４)＝(１／４)ｐ³＋(１／２)ｐ²−ｐ−２

長方形からこれらの三角形を引けば△ＡＯＰです。

　△ＡＯＰ
＝(１／２)ｐ³＋ｐ²−{２＋(１／４)ｐ³＋(１／４)ｐ³＋(１／２)ｐ²−ｐ−２}
＝(１／２)ｐ³＋ｐ²−{(１／２)ｐ³＋(１／２)ｐ²−ｐ}
＝(１／２)ｐ³＋ｐ²−(１／２)ｐ³−(１／２)ｐ²＋ｐ
＝(１／２)ｐ²＋ｐ

これが△ＡＯＰをｐで表した値で、イコール２４になります。
方程式を解いていきましょう！

(１／２)ｐ²＋ｐ＝２４
ｐ²＋２ｐ＝４８
ｐ²＋４ｐ−４８＝０
ｐ＝{−４±√(１６＋１９２)}／２
　＝(−４±√２０８)／２
　＝(−４±４√１３)／２
　＝−２±２√１３

ｐ＞０なので、ｐ＝−２＋２√１３


(1)に戻る→直線ｌの式


中学数学２次関数まとめ


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中学数学「２次関数」ｙ＝(１／２)ｘ2と△ＡＯＰ�@

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◆問題

座標平面上に曲線ｙ＝(１／２)ｘ²のグラフがあり、この曲線上に点Ａと点Ｐがある。
点ＡとＰのｘ座標をそれぞれ−２，ｐとする。
２点Ａ，Ｐを通る直線ｌを引き、△ＡＯＰをつくる。
このとき、次の問いに答えよ。

(1) ｐ＝４のとき、直線ｌの式を求めよ。


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◆解答解説

関数の問題では、まずはとにかく出る座標を出した方がよいです。
ｘ座標が数字でわかっている場合はもちろん、文字で与えられている場合でも、ｘ座標が決まればｙ座標もその文字で表すことができます。
というわけで、早速Ａ，Ｐの座標を求めていきましょう！

点Ａはｘ＝−２だから、ｙ＝(１／２)×(−２)²＝(１／２)×４＝２
よって、Ａ(−２，２)

点Ａはｘ＝ｐだから、ｙ＝(１／２)ｐ²
そして、(1)では、ｐ＝４なので、代入すると、
ｙ＝(１／２)×４²＝(１／２)×１６＝８
よって、Ｐ(４，８)

２点の座標がわかれば、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して連立方程式ですね！

２＝−２ａ＋ｂ・・・�@
８＝４ａ＋ｂ　・・・�A

�A−�@より、６＝６ａだから、ａ＝１

�@にａ＝１を代入して、

２＝−２＋ｂ
ｂ＝４

よって、求める直線の式は、ｙ＝ｘ＋４


次の問題→△ＡＯＰの面積が２４になるとき


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中学数学「２次方程式」連続する３つの自然数がある。最も大きい数と最も小さい数の積から…

中学数学「２次方程式」連続する３つの自然数がある。最も大きい数と最も小さい数の積から…


◆問題　

連続する３つの自然数がある。最も大きい数と最も小さい数の積から、中央の数を引くと、その差は５５になった。
中央の数をｘとして方程式を作り、これら３つの自然数を求めよ。


「そもそも基本的な２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

問題の指示に「中央の数をｘとして」とあるので、その通りにやっていきます。

「連続する３つの自然数」だから、「最も小さい数」はｘより１小さいので、ｘ−１です。
「最も大きい数は」ｘより１大きいので、ｘ＋１ですね。

つまり、３つの数は、ｘ−１，ｘ，ｘ＋１です。

あとは、問題文の通りに式を立てて計算です。

「最も大きい数と最も小さい数の積から、中央の数を引くと、その差は５５になった。」

この通りに式を立てると、

(ｘ＋１)(ｘ−１)−ｘ＝５５

ですね！
２次方程式になったので、普通に解きます。

ｘ²−１−ｘ＝５５
ｘ²−ｘ−５６＝０
(ｘ＋７)(ｘ−８)＝０
よって、ｘ＝−７，８

ｘは自然数だから、ｘ＝−７は不適。

というわけでｘ＝８がこの問題に適した解となります。
よって「３つの自然数」は

７，８，９


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題�B

中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題�B

■問題

図の正四角錐で、ＯＡ＝４ｃｍ，ＡＢ＝√６ｃｍとする。



(1) 底面の対角線ＡＣの長さを求めよ。

(2) 正四角錐ＯＡＢＣＤの高さと体積を求めよ。

(3) 正四角錐ＯＡＢＣＤの表面積を求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下↓

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■解答

表面積を求めるときは、展開図を考えて全ての面の合計を計算します。

まず、底面は正方形で、６ｃｍ²ですね。

側面は４つの面が合同な二等辺三角形で、４，４，√６の３辺です。
ここから高さを求めて面積を計算します。

二等辺三角形の底辺の中点と頂角を結ぶと、底辺と垂直に交わるので、直角三角形ができます。
そして三平方の定理を使う。という流れです。
底辺の半分は√６／２ｃｍで、求める高さをｘｃｍとすると、

ｘ²＋(√６／２)²＝４²
ｘ²＋６／４＝１６
ｘ²＝１６−３／２
ｘ²＝３２／２−３／２＝２９／２
ｘ＝√２９／√２＝√５８／２

よって、側面の二等辺三角形１つの面積は、

　(１／２)×√６×√５８／２
＝√３４８／４
＝２√８７／４
＝√８７／２

これが４つあるので、４倍して、(√８７／２)×４＝２√８７

表面積は全ての面の合計だから、

(２√８７＋３６)ｃｍ²


この問題の最初に戻る→底面の対角線ＡＣの長さ


図形まとめ(中学)


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中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題�A

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■問題

図の正四角錐で、ＯＡ＝４ｃｍ，ＡＢ＝√６ｃｍとする。



(1) 底面の対角線ＡＣの長さを求めよ。

(2) 正四角錐の高さと体積を求めよ。


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■解答

(1)で対角線ＡＣ＝２√３ｃｍを求めました。

Ｏから底面に垂線を引き、その足をＨとすると、ＯＨはＡＣの中点を通ります。
つまり、ＡＨ＝√３です。

△ＯＡＨについてＯＨ＝ｘとして三平方の定理の式を作ると、

ｘ²＋√３²＝４²
ｘ²＋３＝１６
ｘ²＝１３
ｘ＝√１３

つまり、高さは√１３ｃｍです。

四角錐の体積は、「底面積×高さ×１／３」だから、

√６²×√１３×１／３＝２√１３

というわけで、求める四角錐の体積は２√１３ｃｍ³です。


次の問題→正四角錐の表面積


図形まとめ(中学)


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中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題�@

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■問題

図の正四角錐で、ＯＡ＝４ｃｍ，ＡＢ＝√６ｃｍとする。



(1) 底面の対角線ＡＣの長さを求めよ。


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■解答

底面は正方形なので、△ＡＢＣは直角二等辺三角形です。

ということは、４５°４５°９０°の直角三角形だから、辺の長さの比は１：１：√２ですね。

ＡＣ＝ｘとすると、

１：√２＝√６：ｘ
　　ｘ＝√１２
　　ｘ＝２√３

よって、ＡＣ＝２√３ｃｍです。


次の問題→正四角錐の高さと体積


図形まとめ(中学)


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中学数学「１次関数」点Ｐが動く問題(変域と式)�B

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◆問題

下の図の長方形ＡＢＣＤで、ＡＢ＝４ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍとする。点Ｐは点Ｂを出発して辺上をＣ，Ｄを通り、Ａまで動く。点ＰがＢからｘｃｍ動いたときの△ＡＢＰの面積をｙｃｍ²とする。次のそれぞれの場合のｙをｘの式で表し、ｘの変域も答えよ。

(1) 点ＰがＢＣ上を動くとき

(2) 点ＰがＣＤ上を動くとき

(3) 点ＰがＤＡ上を動くとき


参考図



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◆解答解説

△ＡＢＰの面積をｙｃｍ²としているので、とにかく底辺と高さを表して、面積を式にしてみましょう！

今度は、底辺をＡＢと考えると、高さはＡＰとなります。
高さは６ｃｍから徐々に減っていき、点ＰがＡまで達すると、０ｃｍになりますね。

点Ｄまで来た時点でｘ＝１０，点Ａまで達するとｘ＝１６です。

ｘ＝１０のときＡＰ＝６，ｘ＝１６のときＡＰ＝０だから、ＡＰをｘで表すと

ＡＰ＝１６−ｘ

です。つまり、△ＡＢＰは底辺４，高さ１６−ｘの三角形です。
これで面積を表すと、

ｙ＝４(１６−ｘ)÷２
ｙ＝２(１６−ｘ)
ｙ＝３２−２ｘ

変域はすでに考えたように、１０≦ｘ≦１６です。


この問題の最初に戻る→点ＰがＢＣ上を動くとき


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中学数学「１次関数」点Ｐが動く問題(変域と式)�A

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◆問題

下の図の長方形ＡＢＣＤで、ＡＢ＝４ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍとする。点Ｐは点Ｂを出発して辺上をＣ，Ｄを通り、Ａまで動く。点ＰがＢからｘｃｍ動いたときの△ＡＢＰの面積をｙｃｍ²とする。次のそれぞれの場合のｙをｘの式で表し、ｘの変域も答えよ。

(1) 点ＰがＢＣ上を動くとき

(2) 点ＰがＣＤ上を動くとき


参考図



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◆解答解説

△ＡＢＰの面積をｙｃｍ²としているので、とにかく底辺と高さを表して、面積を式にしてみましょう！

点ＰがＣＤ上を動くときは、底辺をＡＢとするとよいです。
そうすると、高さは長方形の横の長さ、つまり、６ｃｍですね。

だから、△ＡＢＰ＝４×６×１／２＝１２

よって求める式は、ｙ＝１２です。

点ＰがＣまで来た時点で６ｃｍ移動していて、Ｄまでいくとさらに４ｃｍだから、変域は

６≦ｘ≦１０

となります。


次の問題→ＤＡ上のとき


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中学数学「１次関数」点Ｐが動く問題(変域と式)�@

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◆問題

下の図の長方形ＡＢＣＤで、ＡＢ＝４ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍとする。点Ｐは点Ｂを出発して辺上をＣ，Ｄを通り、Ａまで動く。点ＰがＢからｘｃｍ動いたときの△ＡＢＰの面積をｙｃｍ²とする。次のそれぞれの場合のｙをｘの式で表し、ｘの変域も答えよ。

(1) 点ＰがＢＣ上を動くとき


参考図



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◆解答解説

△ＡＢＰの面積をｙｃｍ²としているので、とにかく底辺と高さを表して、面積を式にしてみましょう！

点Ｐが辺ＢＣ上を動くとき、ＢＰを底辺とすれば、高さはＡＢになります。

「点ＰがＢからｘｃｍ動いた」と言っているので、このときはＢＰ＝ｘｃｍです。
そして，ＡＢ＝４ｃｍですね。

つまり、△ＡＢＰの面積ｙの式は以下のようになります。

ｙ＝ｘ×４÷２
ｙ＝２ｘ

ＢからＣまでは６ｃｍあるので、このときのｘの変域は

０≦ｘ≦６

となります。


次の問題→ＣＤ上のとき


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中学数学「２次関数」座標平面上の△ＡＯＢの面積が８であるとき

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◆問題

下の図のように、関数ｙ＝ａｘ²(ａ＞０)のグラフ上に点Ａ，ｘ軸上に点Ｂがある。点Ａのｘ座標は−４で、点Ｂのｘ座標は−２であるとする。
△ＡＯＢの面積が８であるとき、ａの値を求めよ。


参考図



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◆解答解説

関数の問題では、まずはとにかく出る座標を出した方がよいです。

点Ａのｘ座標は−４だから、ｙ＝ａ×(−４)²＝１６ａ
よって、Ａ(−４，１６ａ)です。

Ｂはｘ軸上の点だから、Ｂ(−２，０)ですね。

「△ＡＯＢの面積は８」なので、面積をａを使って表していきましょう！

△ＡＯＢの底辺をＢＯとすると、底辺の長さは２です。
高さはＡからｘ軸に下ろした垂線になるから、Ａのｙ座標で１６ａですね。

普通に「底辺×高さ÷２」をやると、

△ＡＯＢ＝(１／２)×２×１６ａ＝１６ａ

この問題では△ＡＯＢ＝８だから、

１６ａ＝８
　　ａ＝１／２


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中学数学「平面図形」ひし形ＡＢＣＤの辺ＡＢ上に点Ｅ，辺ＢＣ上に点Ｆをとり…�A

中学数学「平面図形」ひし形ＡＢＣＤの辺ＡＢ上に点Ｅ，辺ＢＣ上に点Ｆをとり…�A

◆問題

ひし形ＡＢＣＤの辺ＡＢ上に点Ｅ，辺ＢＣ上に点Ｆをとり、これらの２点を結ぶ。
さらに、対角線ＡＣと対角線ＢＤを引きその交点をＯ、対角線ＢＤとＥＦとの交点をＧとする。

△ＡＯＧ≡△ＣＯＧであることを証明せよ。


参考図



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◆解答解説

三角形の合同を証明するときは、まず最初にどの三角形について考えるか宣言し、
使う合同条件を意識しながら、理由をつけて等しいものを言っていきます。

<証明>
△ＡＯＧと△ＣＯＧで、
共通な辺だから、ＯＧ＝ＯＧ　…�@
平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わるので、ＡＯ＝ＣＯ　…�A
ひし形の対角線は垂直に交わるので、∠ＡＯＧ＝∠ＣＯＧ　…�B

�@，�A，�Bより、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＯＧ≡△ＣＯＧ


前の問題に戻る→∠ＡＥＦ＋∠ＣＦＥ＝２９０°のとき


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中学数学「平面図形」ひし形ＡＢＣＤの辺ＡＢ上に点Ｅ，辺ＢＣ上に点Ｆをとり…�@

中学数学「平面図形」ひし形ＡＢＣＤの辺ＡＢ上に点Ｅ，辺ＢＣ上に点Ｆをとり…�@

◆問題

ひし形ＡＢＣＤの辺ＡＢ上に点Ｅ，辺ＢＣ上に点Ｆをとり、これらの２点を結ぶと、∠ＡＥＦ＋∠ＣＦＥ＝２９０°になった。
２点Ｅ，Ｆがどの位置にあっても、∠ＡＥＦ＋∠ＣＦＥの大きさは一定になることを利用して、∠ＢＡＤの大きさを求めよ。


参考図



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◆解答解説

ひし形ＡＢＣＤの辺ＡＢ上に点Ｅ，辺ＢＣ上に点Ｆをとり、これらの２点を結ぶと、∠ＡＥＦ＋∠ＣＦＥ＝２９０°になった。
２点Ｅ，Ｆがどの位置にあっても、∠ＡＥＦ＋∠ＣＦＥの大きさは一定になることを利用して、∠ＢＡＤの大きさを求めよ。


平面図形の問題は、わかることを表していけば、そのうち解答に達してしまうことが多いです。
今回も一つ一つ表していきましょう！

∠ＡＥＦ＝１８０°−∠ＢＥＦ
∠ＣＦＥ＝１８０°−∠ＢＦＥ

∠ＡＥＦ＋∠ＣＦＥ＝１８０°−∠ＢＥＦ＋１８０°−∠ＢＦＥ
２９０°＝３６０°−∠ＢＥＦ−∠ＢＦＥ

∠ＢＥＦ＋∠ＢＦＥ＝３６０°−２９０°＝７０°

∠ＡＥＦと∠ＣＦＥを使うので、それらを表して、２９０°を使って出せるものを出してみました。

ここで、△ＢＥＦに注目すると、３つの角のうち２つの角∠ＢＥＦと∠ＢＦＥの和が７０°であることがわかったので、残り１つの角∠ＥＢＦもわかりますね！

∠ＥＢＦ＝１８０°−(∠ＢＥＦ＋∠ＢＦＥ)
　　　＝１８０°−７０°＝１１０°

そして、ひし形も平行四辺形だから、対辺は平行です。
平行線の同位角や錯角は等しいことから、平行四辺形の隣り合う角の和は１８０°であることが導けます。
つまり、∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＣ＝１８０°です。

∠ＡＢＣ＝∠ＥＢＦだから、

∠ＢＡＤ＋１１０°＝１８０°
　　　　∠ＢＡＤ＝７０°


次の問題→三角形の合同の証明


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中学数学「連立方程式」ある中学校の今年度の新入生は１５０人で、昨年度の新入生と比べると…

中学数学「連立方程式」ある中学校の今年度の新入生は１５０人で、昨年度の新入生と比べると…

◆問題

ある中学校の今年度の新入生は１５０人で、昨年度の新入生と比べると、男子は４％増え、女子は１０％減ったため、全体では５人減ったという。今年度の男子と女子の新入生はそれぞれ何人か求めよ。


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◆解答解説

ある中学校の今年度の新入生は１５０人で、昨年度の新入生と比べると、男子は４％増え、女子は１０％減ったため、全体では５人減ったという。今年度の男子と女子の新入生はそれぞれ何人か求めよ。

方程式の文章問題では、基本的に、求めるものを文字でおきますが、今回の問題のように、増加・減少する場合は、もとの数の方をｘ，ｙにした方がよいです。
つまり今回の問題では、「昨年度の男子をｘ人、女子をｙ人」としてみましょう！


今年度は５人減った結果１５０人になったのだから、昨年度は１５５人だったはずです。
だから、

ｘ＋ｙ＝１５５

まずはこのような式を作ることができます。


続いて、「男子は４％増え、女子は１０％減った」という今年の人数について式を立てます。

(１０４／１００)ｘ＋(９０／１００)ｙ＝１５０

「男子は４％増えた」は(１０４／１００)ｘ
「女子は１０％減った」は(９０／１００)ｙ
ですね！

あとは連立して解きます。
計算は省略しますが、ｘ＝７５，ｙ＝８０となります。

だから答えは、「男子７５人、女子８０」ですね！

・・・ですか？

今回は、昨年の人数をｘ，ｙとおきました。
そして、聞いているのは「今年の人数」です。

だから、そのままｘ，ｙの値を答えると不正解になってしまいます。
今年の人数を求めて答える必要がありますね！

男子の今年の人数は、(１０４／１００)×７５＝７８
女子は、(９０／１００)×８０＝７２

というわけで、求める人数は、男子７８人、女子７２人です！


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中学数学「相似」平行四辺形の内部の三角形の面積比�A

中学数学「相似」平行四辺形の内部の三角形の面積比�A

◆問題

平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、ＡＥ：ＥＤ＝１：３とする。




(1) △ＤＥＦ：△ＢＣＦ：△ＣＤＦを求めよ。

(2) 四角形ＡＢＦＥの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの何倍か？


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

四角形ＡＢＦＥは、中途半端な位置(?)にあるので、直接求めるのが難しいと思います。

そんなときは、周りの面積を求めて、全体から引く。と考えるとよいです。

(1)から、△ＤＥＦ：△ＢＣＦ：△ＣＤＦ＝９：１６：１２であることがわかっています。

これを使うと、△ＢＣＤ＝△ＢＣＦ＋△ＣＤＦ＝１６＋１２＝２８ですね。

さらに、

△ＢＣＤ＝△ＡＢＤ＝２８

ですね。
平行四辺形の対角線で、ちょうど半分に分けられる。というわけです。

これだけわかれば、四角形ＡＢＦＥも求めることができますね！

四角形ＡＢＦＥ＝△ＡＢＤ−△ＤＥＦ＝２８−９＝１７


平行四辺形ＡＢＣＤは、△ＡＢＤの２倍だから、２８×２＝５６となります。


聞いているのは、「四角形ＡＢＦＥは平行四辺形ＡＢＣＤの何倍か？」だから、

１７／５６倍

これがこの問題の答えです！


(1)に戻る→△ＤＥＦ：△ＢＣＦ：△ＣＤＦを求めよ。


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中学数学「相似」平行四辺形の内部の三角形の面積比�@

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◆問題

平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、ＡＥ：ＥＤ＝１：３とする。




(1) △ＤＥＦ：△ＢＣＦ：△ＣＤＦを求めよ。

(2) 四角形ＡＢＦＥの面積は平行四辺形ＡＢＣＤの何倍か？


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◆解答解説

まず、相似な三角形を見つけましょう。

平行四辺形は対辺がそれぞれ平行なので、同位角や錯角が等しいので、相似な三角形がいくつもできる場合が多いです。

今回の図形でも、△ＤＥＦ∽△ＢＣＦです。
錯角が等しい。対頂角が等しい。ということから、２組の角がそれぞれ等しいことがわかると思います。

相似ならば、相似比の２乗が面積比です。
というわけで、まずはこれらの三角形の相似比を考えます。

ＡＥ：ＥＤ＝１：３なので、ＡＤは４ですね。
ＡＥ＋ＥＤ＝ＡＤだから、ＡＤ＝４です。
そして、平行四辺形の対辺は等しいので、ＡＤ＝ＢＣです。つまり、ＢＣも４です。

ＤＥとＢＣは△ＤＥＦと△ＢＣＦの対応する辺だから、これらの辺の比がそのまま相似比です。つまり、３：４ですね。

ということで、△ＤＥＦ：△ＢＣＦ＝３²：４²＝９：１６


次に、△ＤＥＦと△ＣＤＦの比を考えましょう。
これらの三角形は相似ではないので、底辺の比や高さの比を考える必要があります。

底辺を直線ＥＣ上の辺とみなすと、どちらも頂点はＤとなります。
底辺が同じ直線上にあり、頂点が同じなら、高さは同じです。

高さが同じならば、底辺の比がそのまま面積比になります。

ＥＦとＣＦは、先ほどの△ＤＥＦと△ＢＣＦの対応する辺だから、３：４です。

つまり、△ＤＥＦ：△ＣＤＦ＝３：４となります。

これで２組の面積比が分かりました。
あとはこれらを組み合わせます。

△ＤＥＦ：△ＢＣＦ＝９：１６
△ＤＥＦ：△ＣＤＦ＝３：４

共通の比として扱うために、△ＤＥＦの数値を揃えてみましょう。

△ＤＥＦ：△ＢＣＦ＝９：１６
△ＤＥＦ：△ＣＤＦ＝９：１２

これをまとめると、

△ＤＥＦ：△ＢＣＦ：△ＣＤＦ＝９：１６：１２

これが(1)の解答です！


次の問題→(2) 四角形ＡＢＦＥは平行四辺形ＡＢＤＥの何倍か？


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中学数学「不等式」１個ａｇのトマト６個をｂｇの箱に入れると…

中学数学「不等式」１個ａｇのトマト６個をｂｇの箱に入れると…

◆問題

１個ａｇのトマト６個をｂｇの箱に入れると、重さの合計が８００ｇより軽かった。このとき、この数量の関係を不等式で表しなさい。


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◆解答解説

「式で表しなさい」という問いに対しては、とにかく、言ってる通りにそのまま式にすればＯＫです！


「重さの合計が８００ｇより軽かった」と言っているので、まず、

(重さの合計)＜８００

ですね。

重さの合計は、「１個ａｇのトマト６個」「ｂｇの箱」の合計だから、そのまま

６ａ＋ｂ

です。

というわけで、求める不等式は、

６ａ＋ｂ＜８００

これで完成です！


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中学数学「連立方程式」大人と子供の入館者数の問題

中学数学「連立方程式」大人と子供の入館者数の問題

◆問題

ある博物館の入館料は大人１人300円、子供１人150円である。
ある日の子供の入館者数は大人の入館者数の２倍より20人多かった。また、その日の入館料の合計金額は33000円だった。
このとき、大人と子供の入館者数をそれぞれ求めなさい。ただし、消費税は考えないものとする。


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◆解答解説

方程式の文章問題では、基本的に、求めるものを文字でおきます。

今回は、「大人の入館者数をｘ人、子供の入館者数をｙ人」とおいてみましょう。

あとは問題文で言っている通りに式を作ります。

「ある日の子供の入館者数は大人の入館者数の２倍より20人多かった。」
つまり、「ｙはｘの２倍より２０多かった」だから、この記述を式にすると、

ｙ＝２ｘ＋２０

ですね。
文字が２つあるので、式も２つ必要です。
続きの記述を確認すると、こんな風に書いてあります。

「その日の入館料の合計金額は33000円だった。」
つまり、「大人と子供の入館料を合計すると33000円だった」ですね。
大人は300円、子供は150円だから、

３００ｘ＋１５０ｙ＝３３０００

このように表すことができます。
あとは好きな方法で連立方程式を解けばＯＫです！

ここでは、代入法で解いてみます。

ｙ＝２ｘ＋２０を３００ｘ＋１５０ｙ＝３３０００に代入すると、

３００ｘ＋１５０(２ｘ＋２０)＝３３０００
３００ｘ＋３００ｘ＋３０００＝３３０００
６００ｘ＝３３０００−３０００
６００ｘ＝３００００
　　　ｘ＝５０

ｙ＝２ｘ＋２０にｘ＝５０を代入すると、
ｙ＝１００＋２０＝１２０

よって、大人５０人、子供１２０人


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中学数学「２次関数」制動距離の問題�A

中学数学「２次関数」制動距離の問題�A

◆問題
走っている自動車で、ブレーキがきき始めてから停止するまでに自動車が動く距離を制動距離という。自動車が時速ｘｋｍで走っているときの制動距離をｙｍとすると、ｙはｘの２乗に比例する。
ある自動車では、時速４０ｋｍのときの制動距離は１０ｍだったという。次の問いに答えよ。

(1) ｙをｘの式で表せ。

(2) 自動車の速度が時速６０ｋｍのときの制動距離を求めよ。


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◆解答解説

(1)で、この場合のｘ，ｙの関係式は、「ｙ＝(１／１６０)ｘ²」であることがわかりました。

時速６０ｋｍはｘの値だから、これを代入して計算すればｙがわかります！

ｘ＝６０を代入すると、

ｙ＝(１／１６０)×６０²
　＝(１／１６０)×３６００
　＝３６０／１６
　＝４５／２

よって、制動距離は(４５／２)ｍとなります。

小数に直して２２．５ｍの方がイメージがわかりやすいかもしれませんね。


(1)に戻る→式を求める


◆関連項目
２次関数(中学)まとめ


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中学数学「２次関数」制動距離の問題�@

中学数学「２次関数」制動距離の問題�@

◆問題
走っている自動車で、ブレーキがきき始めてから停止するまでに自動車が動く距離を制動距離という。自動車が時速ｘｋｍで走っているときの制動距離をｙｍとすると、ｙはｘの２乗に比例する。
ある自動車では、時速４０ｋｍのときの制動距離は１０ｍだったという。次の問いに答えよ。

(1) ｙをｘの式で表せ。


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◆解答解説

自動車の速さがｘ，制動距離がｙで、ｙはｘの２乗に比例する。という設定です。
ｙはｘの２乗に比例するので、

ｙ＝ａｘ₂

という式が成り立ちます。

今回の問題では、時速４０ｋｍのときの制動距離は１０ｍだから、ｘ＝４０，ｙ＝１０です。
代入して計算してみましょう！

１０＝ａ×４０²
１０＝１６００ａ
　ａ＝１０／１６００
　ａ＝１／１６０

というわけで求める式は、

ｙ＝(１／１６０)ｘ²

となります。


次の問題→時速６０ｋｍのとき


◆関連項目
２次関数(中学)まとめ


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中学数学「２次方程式」正方形の縦を３ｃｍ短くし…

中学数学「２次方程式」正方形の縦を３ｃｍ短くし…


◆問題　

ある正方形の縦を３ｃｍ短くし、横を２ｃｍ長くしたところ、面積が５０ｃｍ²の長方形になった。もとの正方形の１辺は何ｃｍか求めよ。


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◆解答解説

文章問題では、基本的には求めるものをｘでおきます。
この問題では、もとの正方形の１辺の長さをｘｃｍとおくと良いでしょう。

辺の長さを変えてできた長方形は、「縦を３ｃｍ短くし、横を２ｃｍ長くした」ので、

縦は(ｘ−３)ｃｍ，横は(ｘ＋２)ｃｍ

ですね。
面積が５０ｃｍ²だから、「面積＝縦×横」の通りに式を作ると、

(ｘ−３)(ｘ＋２)＝５０

あとは計算です。

ｘ²−ｘ−６＝５０
ｘ²−ｘ−５６＝０
(ｘ＋７)(ｘ−８)＝０
よって、ｘ＝−７，８

辺の長さは正の数だから、ｘ＝８が適する値になります。

つまり、もとの正方形の１辺の長さは８ｃｍですね！


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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