中学数学(用語)「平方根」

中学数学(用語)「平方根」

★平方根(square root)

「２乗(平方)したらその数になる数」を平方根という。


文字での説明だけではつらいと思うので、まずは数字で理解し覚えておくとよいと思います。

√２の２乗＝２
√３の２乗＝３
√４(＝２)の２乗＝４
√５の２乗＝５
√６の２乗＝６

などなど。
√の数を２乗するとルートが取れる。という見方もできます。

数字のところを文字や式にしても計算法則は変わらないので、

√ａの２乗＝ａ
√(ｘ＋１)の２乗＝ｘ＋１

中学レベルでは、基本的にこのように考えて問題ないことが多いです。
本当は√の中身の符号によって場合分けしますが、中学レベルでは、これらの式が必要になる場合は文章問題の場合が多く、中学の文章問題では金額、長さ、重さ、人数など正の数で扱う数量が題材となるので、√(ｘ＋１)^2＝ｘ＋１などとなります。

何はともあれ、「√の数を２乗したら中身の数(式)になる」「２乗したらルートが取れる」ことを覚えておきましょう！


◆関連項目
√２の２乗、三平方の定理


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中学数学「相似」「相似条件」「証明の方法」

中学数学「相似」「相似条件」「証明の方法」

★相似

大きさが違っていても、形が同じ図形を「相似」といいます。
小学校の範囲での、「拡大」「縮小」と同じ概念ですね。


★相似条件

三角形の相似条件は３つあり、どれか一つでも満たしていれば、それら２つの三角形が相似であることがわかります。

・３組の辺の比が全て等しい
・２組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい
・２組の辺の比がそれぞれ等しい


★証明の方法

まず最初に

「△●●●と△×××で」

のように、どの三角形について考えるかを宣言します。

その後は「共通な角だから」「平行線の錯角だから」など、理由をつけて等しいものを言っていきます。

相似条件のうちどれかを満たす事柄を全て言えたら、その相似条件を述べて「▲●●●∽▲×××」と言って証明完成です。

ちなみに、相似のノーマルな証明問題では、相似条件は、ほとんどの場合「２組の角がそれぞれ等しい」になってしまいます。
あえて辺の比を使うことを意図して問題を作らない限り、普通に図形の性質を使って相似の証明をしようとすると、ほとんどの場合は「２組の角」が先にわかってしまうからです。

というわけで、相似の証明をする問題ならば、「とりあえず等しい角を探そう！」と考えると解きやすいと思います！


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◆関連項目
相似比と面積比


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中学数学「素因数分解」１４０

中学数学「素因数分解」１４０

■　問題

１４０を素因数分解しなさい。


解答解説はこのページ下


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■　解答解説

素因数分解とは、素数の因数に分解することです。

因数とは、かけ算でその数を構成するもとになる数です。例えば６＝２×３なので、６の素因数は２と３です。

というわけで、素因数分解をするときは、素数で割っていけばＯＫ！ですね。

今回は１４０を素因数分解します。
まずはもっとも小さい素数の２で割っていきます。次のような書き方をするのがノーマルです。

２）１４０
　――――
　　　７０

まだ２で割れますね。

２）１４０
　――――
２）　７０
　――――
　　　３５

もう２では割れないので、次は３を考えます。
３でも割れないので、次は５で割ります。

２）１４０
　――――
２）　７０
　――――
５）　３５
　――――
　　　　７

わった結果、素数が出てきたのでこれでおしまいです。
つまり、１４０を素因数分解すると、

１４０＝２^2×５×７

となります。


◆関連問題
ａ√ｂに直す


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中学数学(用語)「連立方程式」

中学数学(用語)「連立方程式」

★連立方程式(simultaneous equation)

複数の方程式を組み合わせたものを連立方程式といい、連立方程式の解は、それらの方程式を同時に満たす値になります。

例えばｘ，ｙについての方程式が２つあり、その解がｘ＝１，ｙ＝２ならば、両方の式にｘ＝１，ｙ＝２を代入すると、どちらも両辺が等しくなります。

連立方程式の主な解法は、代入法と加減法です。

中学数学では全て加減法でやってしまう人も多いですが、高校以上では代入法が必要な場合も増えてくるので、中学のうちに両方の解き方をマスターしておいた方がよいです。


連立方程式の解は、２つの関数を同時に満たす値でもあるので、関数同士の交点の座標にもなります。


◆関連項目
２点を通る直線の式(中学)



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中学数学(用語)「資料の整理」「平均値」

中学数学(用語)「資料の整理」「平均値」

中学数学の「資料の整理」は、用語さえわかれば誰でも常識な判断で簡単にわかる単元です。
しっかり用語を覚えていきましょう！


★平均値

資料の整理やデータの分析の単元の「平均値」は、いわゆる普通の「平均」のことです。

小学生の頃から何度も扱っているように、

「平均＝合計÷人数(個数)」

で求めることができます。


◆関連項目
階級値、最頻値、中央値、分散


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中学数学(用語)「資料の整理」「中央値」

中学数学(用語)「資料の整理」「中央値」

中学数学の「資料の整理」は、用語さえわかれば誰でも常識な判断で簡単にわかる単元です。
しっかり用語を覚えていきましょう！


★中央値(ちゅうおうち, median)

中央値とは、データを値の順に並べたとき、順位が真ん中の値です。

データの個数(人数)が奇数のときは、ちょうど真ん中の順位の人がいるので、そのまま真ん中の順位の値でＯＫですが、
データの個数(人数)が偶数のときは、ちょうど真ん中の順位の人はいないので、真ん中に近い２つの値の平均が中央値になります。

例えば、

全体が５人なら中央値は３位の人の値で、
全体が６人なら中央値は３位と４位の値の平均

となります。


◆関連項目
階級値、最頻値、平均値


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中学数学(用語)「資料の整理」「階級値」

中学数学(用語)「資料の整理」「階級値」

中学数学の「資料の整理」は、用語さえわかれば誰でも常識な判断で簡単にわかる単元です。
しっかり用語を覚えていきましょう！


★階級値(class value)

度数分布表やヒストグラムの階級の中央の値で、その階級を代表する値です。
例えば「４〜６」という階級があれば、階級値は７です。

度数分布表やヒストグラムで最頻値や中央値を求めるときは、該当する階級の階級値を答えます。


◆関連項目
最頻値、中央値、平均値


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中学数学(用語)「資料の整理」「最頻値」

中学数学(用語)「資料の整理」「最頻値」

中学数学の「資料の整理」は、用語さえわかれば誰でも常識な判断で簡単にわかる単元です。
しっかり用語を覚えていきましょう！


★最頻値(さいひんち, mode)

最頻値とは、最も度数の多い階級の階級値のことです。

「頻」は「頻度」「頻繁」の「頻」なので、よく現れることを意味します。

度数分布表やヒストグラムを見て、度数(人数や回数など)が一番多いところを見つければ、その階級値が「最頻値」というわけです。


◆関連項目
階級値、中央値、平均値


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中学数学「平行な直線」「１次関数」

中学数学「平行な直線」「１次関数」

中学数学の１次関数において、平行な直線の条件は

傾きが等しい

これだけです。

例えばｙ＝２ｘ＋３と平行な直線は傾きが２です。

ｙ＝２ｘ＋３の傾きは２なので、この直線と平行な直線は全て傾きが２です。

傾きをキープしたまま直線を移動すると、平行な直線になる。という見方もできます。

このような見方、条件は高校数学でも何度も登場するので、中学のうちにしっかりマスターしておきましょう！


◆関連項目
比例、１次関数、変化の割合


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中学数学(用語)「１次関数」

中学数学(用語)「１次関数」

座標平面上に表された直線は１次関数になり、「ｙ＝ａｘ＋ｂ」の形で表されます。

ａが傾き、ｂが切片、ｘ，ｙは直線上の点の座標です。


傾きａは「ｘが１増えるとｙがいくつ増えるか」を表した値で、つまりは、１次関数では変化の割合と傾きが等しくなります。

切片ｂは「直線とｙ軸との交点のｙ座標」です。グラフを描くときは、まず最初に切片の値をｙ軸上に取り、傾きの値に従ってその他の点を取るようにすると描きやすいはずです。

さらに、

・平行な直線は傾きが等しい
・交点は連立方程式の解
・比例はｂ＝０の場合の１次関数

などを理解しておくとよいでしょう！


◆関連項目
変化の割合、比例、反比例、２次関数、直線の公式ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)


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中学数学「変化の割合」

中学数学「変化の割合」

変化の割合＝ｙの増加量／ｘの増加量

つまり、「ｘが１増えるとｙがいくつ増えるか」を表した値のこと。

比例ｙ＝ａｘや１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂの式では、傾きａが変化の割合と等しくなる。


グラフを描くときは、「右に１進んだら縦にａの値と同じだけ進む」という使い方をします。


ちなみに、２次関数などの曲線のグラフでは、変化の割合とａの値は一致しないことに注意しておきましょう！


◆関連項目
比例、反比例、１次関数、平均変化率


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中学数学「平方根」ルートの値

中学数学「平方根」ルートの値

平方根は「２乗したらその数になる数」です。

２乗したら２になる数は√２，２乗したら３になる数は√３，２乗したら４になる数は√４＝２，・・・

というかんじです。

平方根の意味については、また別の記事で解説するとして、この記事では、よく使われるルートの値を挙げておきます。

平方根の値は、必要ならば普通は問題に書いてあるので覚えていなくても一応大丈夫ですが、値を予測しながら計算するためには、よく出てくる値くらいは覚えておいた方がよいです。

√２＝１．４１４…
√３＝１．７３２…
√５＝２．２３６…

まずはこの３つくらいわかれば問題ないでしょう！

これらがわかれば、√６，√８，√１０，√１２などの値も求めることができます。


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中学数学「２次関数」「変化の割合」

中学数学「２次関数」「変化の割合」

■問題

ｙ＝２ｘ^2において、ｘが−２から１まで変化するときの変化の割合を求めよ。


■選択肢

このとき適切な考え方はどれでしょうか？

�@変化の割合はａだから、２
�A変化の割合はｙ座標の増加量だから、ｘ＝１のときのｙの値からｘ＝−２のときのｙの値を引く
�B変化の割合はｘ座標の増加量だから、１から−２を引く
�C変化の割合は(ｙの増加量／ｘの増加量)だから、ｘ＝１，ｘ＝−２の差と、それらを代入した場合のｙ座標の差を求める


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�C変化の割合は(ｙの増加量／ｘの増加量)だから、ｘ＝１，ｘ＝−２の差と、それらを代入した場合のｙ座標の差を求める

変化の割合は、ｘが１増加したときのｙの増加量です。
だから、ｙの増加量をｘの増加量で割ると求められます。


■解答

ｘの増加量＝１−(−２)＝１＋２＝３

ｙの増加量＝２×１^2−{２×(−２)^2}＝２−８＝−６

「変化の割合＝ｘの増加量／ｙの増加量」だから、これらの値を割り算します。

３／(−６)＝−１／２


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中学数学「２次関数」「変域」�A

中学数学「２次関数」「変域」�A

■問題

ｙ＝２ｘ^2において、ｘの変域が−１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域を求めよ。


■選択肢

このとき適切な考え方はどれでしょうか？

�@ｘ＝−１のときｙ＝２，ｘ＝３のときｙ＝１８だから、２≦ｙ≦１８
�Aｘの変域に原点を含むので、ｙの最小値は０だから、０≦ｙ≦１８
�Bｘの変域に原点を含むので、ｙの最大値は０だから、０≧ｙ≧１８
�Cｘが大きくなれば、ｙはいくらでも大きくなるので、ｙ≧０


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�Aｘの変域に原点を含むので、ｙの最小値は０だから、０≦ｙ≦１８

下に凸のグラフで変域に原点を含むときは、原点が最小になります。


■解答

ｘ＝−１のときｙ＝２×(−１)^2＝２
ｘ＝３のときｙ＝２×３^2＝２×９＝１８

ですが、グラフを考えると、−１から３の範囲では原点が一番下なので、ｙの最小値は０です。

よって、求めるｙの変域は

０≦ｙ≦１８


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中学数学「２次関数」「変域」�@

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■問題

ｙ＝２ｘ^2において、ｘの変域が１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域を求めよ。


■選択肢

このときは何をすればいいでしょうか？(複数選択)

�@２ｘ^2＝０で解いてｘ＝０
�Aｙ＝２ｘ^2にｘ＝１を代入する
�Bｙ＝２ｘ^2にｘ＝３を代入する
�Cｙの変域もｘの変域と同じだから１≦ｙ≦３


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�Aｙ＝２ｘ^2にｘ＝１を代入する
�Bｙ＝２ｘ^2にｘ＝３を代入する

変域とは「いくつからいくつまで変化するか」を表したものなので、最大値と最小値を求めて不等式で表せば完成です。


■解答

ｙ＝２ｘ^2にｘ＝１を代入すると、
ｙ＝２×１^2＝２

ｘ＝３を代入すると、
ｙ＝２×３^2＝２×９＝１８

よって、２≦ｙ≦１８


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中学数学「２次関数」「関数の式」

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■問題

ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝６のときｙ＝９である。ｙをｘの式で表せ。


■選択肢

このときは何をすればいいでしょうか？

�@ｙ＝ａｘにｘ＝６，ｙ＝９を代入する
�Aｙ＝ａｘ＋ｂにｘ＝６，ｙ＝９を代入する
�Bｙ＝ａｘ^2にｘ＝６，ｙ＝９を代入する
�Cｙ＝ａ／ｘにｘ＝６，ｙ＝９を代入する


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�Bｙ＝ａｘ^2にｘ＝６，ｙ＝９を代入する

「ｙはｘの２乗に比例する」ので、ｙ＝ａｘ^2に代入します。


■解答

ｙ＝ａｘ^2に、ｘ＝６，ｙ＝９を代入すると、

　　９＝ａ×３６
３６ａ＝９
　　ａ＝９／３６
　　ａ＝１／４

よって、求める式は、ｙ＝(１／４)ｘ^2


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中学数学「平方根」「足し算・引き算」�A

中学数学「平方根」「足し算・引き算」�A

前回の記事で、基本的な足し算引き算を解説しました。

今回はａ√ｂの形に直して計算する場合を解説します。


√３＋√３＝２√３

のように、ルートの中身が同じならば、中身はそのままで、外の数を足すだけでしたね。
そして、中身が違うときは足し算引き算はできません。

でしたが、中身が違っても、変形して同じになるなら、同じに直せば計算できる。ということができます。
たとえば、

　√８＋√３２
＝２√２＋４√２
＝６√２

です。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


√８と√３２はもちろんそのままでは、√の中身が違います。
しかし、それぞれ直すと、

√８＝２√２，√３２＝４√２

だから、√の中身が同じになり、足し算ができる。というわけです。

引き算でももちろん同様です。

　√５−√１２５
＝√５−２√５
＝−√５


次の記事→ルートの四則混合


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中学数学「平方根」「足し算・引き算」�@

中学数学「平方根」「足し算・引き算」�@

平方根のかけ算、平方根の割り算は、「ルートの中同士、外同士を掛けたり割ったりする」だけでしたが、足し算引き算はちょっと違います。

例えば、

√３＋√３＝２√３

です。

√３と√３を足したら、√３が２個だから、２×√３＝２√３というわけです。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


つまり平方根の足し算は、√の部分は変わらず、√の前の係数同士を足すだけで完成！です。


２√５＋√５＝３√５

(３／２)√２＋(１／２)√２＝(４／２)√２＝２√２


分数が入ってもやり方は同じです。

さらに、引き算でも同様に、√の部分は変わらず、係数同士を引き算すればＯＫです。


√１０−√１０＝０×√１０＝０

５√３−２√３＝３√３


などなど。


次の記事→ルートの中身が違うときの足し算・引き算


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中学数学「平方根」「かけ算・割り算」

中学数学「平方根」「かけ算・割り算」

平方根のかけ算、平方根の割り算が一つの式に複合した場合を考えます。

・・・と言っても、特別なことは特になく、普通の数字や式のときにやったことと同じ事をすればＯＫです。
つまり、割り切れる数の場合は割り算を普通にしてしまえばよく、割り切れない場合は、

「÷の後の数を逆数にしてかけ算をする」

です。

まずは割り切れる場合。

　√２×√１０÷√５
＝√２×√２
＝２

√１０÷√５は普通に割れるので割って、残りをかけ算ですね。


次は割り切れない場合。

　√３÷２√６÷√１０

この場合は、割り切れないので、÷の直後の数を逆数にしてかけ算をします。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


　√３÷２√６÷√１０
＝√３×(１／２√６)×(１／√１０)
＝(√３×１×１)／(２√６×√１０)
＝１／(２√２×√１０)
＝１／２√２０

ここで、分母の√２０をａ√ｂの形に直します。

２０＝２×２×５なので、√２０＝２√５ですね。

＝１／(２×２√５)
＝１／４√５

ここでさらに、分母の有理化をします。
分母には√５があるので、分子と分母に√５を掛けます。

＝(１×√５)／(４√５×√５)
＝√５／(４×５)
＝√５／２０

これで完成です！
途中の計算は省略せずに、このようにしっかり書いた方がミスも少なくなり、結局トータルでは速く終わります。
手間を惜しまず丁寧にやりましょう！


次の記事→ルートの足し算・引き算


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中学数学「平方根」「割り算」�A

中学数学「平方根」「割り算」�A

基本的な平方根の割り算では、√の中や外がそれぞれ割り切れる場合を見てみましたが、もちろん、割り切れない場合もあります。そんなときは、分数にして「分母の有理化」をします。


√２÷√１０は、割り切れないのでまずは分数にします。

√２÷√１０＝√２／√１０

約分して、

＝√１／√５

分母が√のときは、分母から√が消えるようにします。これを「分母の有理化」と言います。
平方根は「２乗したら中身の数になる数」であるので、

√５×√５＝５

ですね。
分母をこの形にしてしまえば良いのです。
ただし、分母だけを変えると、分数の値が変化してしまうので、ちゃんとイコールの前後が等しくなるように、分子にも√５を掛けます。

＝(√１×√５)／(√５×√５)
＝√５／５

ということで、計算終了です！


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


他の例も一つ挙げておきます。

　２√６／５√１２
＝２／５√２　　　←√６で約分した
＝(２×√２)／(５√２×√２)　　←分子と分母に√２を掛けた
＝２√２／(５×２)　　←√２×√２＝２
＝２√２／１０
＝√２／５　　　←２で約分した


次の記事→かけ算・割り算が混ざっている場合


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