2023年10月22日

中学数学「2次方程式」9(x−5)2−10=0

中学数学「2次方程式」9(x−5)2−10=0


◆問題 次の2次方程式を解け。

9(x−5)2−10=0


このような式の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていると思いますが、えまじゅくでは別の方法をおすすめしています。


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◆解答解説

このように、カッコの2乗と定数項の問題の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていますが、もちろんそれ以外の方法で解くこともできます。

まずは展開してまとめます。

9(x−5)2−10=0
9(x2−10x+25)−10=0
9x2−90x+225−10=0
9x2−90x+215=0

少し数字が大きいですが、xの2乗の項に係数が残っているので、解の公式に代入してみます。

x=[−(−90)±√{(−90)2−4×9×215}]/2×9
 ={90±√(8100−7740)/18
 =(90±√360)/18
 =(90±6√10)/18
 =(15±√10)/3


◆関連項目
2次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」

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ラベル:数学
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中学数学「2次方程式」5(x−1)2=20

中学数学「2次方程式」5(x−1)2=20


◆問題 次の2次方程式を解け。

5(x−1)2=20


このような式の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていると思いますが、えまじゅくでは別の方法をおすすめしています。


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◆解答解説

まずは両辺を共通因数の5で割ります。

5(x−1)2=20
 (x−1)2=4

いわゆる「模範解答」では、ここで両辺の平方根をとりますが、「とにかく展開してまとめる」で全く問題なく解けます。

2−2x+1=4
2−2x−3=0

ここで、因数分解をやってみましょう!

(x+1)(x−3)=0

よって、x=−1,3


◆関連項目
2次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」

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2023年10月21日

中学数学「2次方程式」(2/3)x2+1/6=5/9

中学数学「2次方程式」(2/3)x2+1/6=5/9


◆問題 次の2次方程式を解け。

(2/3)x2+1/6=5/9


分数だらけなので難しく見えますが、xの2乗の項と定数項しかないので、実はそれほどでもないです。まずは式の変形をしましょう!


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◆解答解説

分数がない方が解きやすいので、まずは分母の公倍数を両辺に掛けましょう!
3,6,9の公倍数は18だから、

(2/3)x2+1/6=5/9
18×(2/3)x2+18×1/6=18×5/9
12x2+3=10
12x2=10−3
12x2=7
2=7/12

あとは両辺の平方根をとって、有理化していきます。

x=±√(7/12)
 =±√7/√12
 =±√7/2√3
 =±√7×√3/(2×3)
 =±√21/6


◆関連項目
2次方程式の基本〜標準の計算問題
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2023年10月15日

中学数学「空間図形」2:1に切断した立体の面積比

中学数学「空間図形」2:1に切断した立体の面積比

点Aを頂点、△BCDを底面とする正四面体A−BCDがある。
AE:EB=2:1となるように点Eをとり、点Eを通り△BCDと平行な平面でこの正四面体を切断した。
頂点Aを含む立体をP,頂点Bを含む立体をQとして、次の問いに答えよ。

(1) 立体Pと立体Qの体積比を求めよ。

(2) 立体Pと立体Qの表面積の比を求めよ。


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◆解答解説

(1)でも考えたように、立体Pはもとの正四面体ABCDと相似です。

切断面とACとの交点をFとすれば、

△AEF:△ABC=22:32=4:9

です。
ということは、

△AEF:四角形EBCF=4:5

となります。
今回の問題では、表面積の比を聞いているので、これらの比の値を合計して比べてしまいましょう!

立体Pは、△AEFと合同な三角形が4つ集まっているので、表面積は

4×4=16

となります。

立体Qは、四角形EBCFと合同な四角形が3つ、△AEFと合同な三角形が1つ、△ABCと合同な三角形が1つだから、

5×3+4+9=20+4+9=28

というわけで、求める面積比は、

16:28=4:7


(1)に戻る


図形まとめ(中学)


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2023年10月14日

中学数学「空間図形」2:1に切断した立体の体積比

中学数学「空間図形」2:1に切断した立体の体積比

点Aを頂点、△BCDを底面とする正四面体A−BCDがある。
AE:EB=2:1となるように点Eをとり、点Eを通り△BCDと平行な平面でこの正四面体を切断した。
頂点Aを含む立体をP,頂点Bを含む立体をQとして、次の問いに答えよ。

(1) 立体Pと立体Qの体積比を求めよ。


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◆解答解説

底面に平行な平面で切断したのだから、もとの正四面体ABCDと立体Pは相似な立体です。

相似な立体はどの辺も相似比の割合の比率だから、その体積比は相似比の3乗です。

AE:EB=1:2だから、相似比は2:3ですね。

ということは、ABCD:立体P=23:33=8:27です。

立体Qは、ABCDから立体Pを引いた残りなので、

立体Q=27−8=19

よって、立体P:立体Q=8:19


次の問題→表面積の比


図形まとめ(中学)


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2023年10月12日

中学数学「2次方程式」物体を秒速60mの速さで打ち上げたとき

中学数学「2次方程式」物体を秒速60mの速さで打ち上げたとき


◆問題 

物体を地上から毎秒60mの速さで真上に打ち上げたときの、t秒後の高さを(60t−5t2)mとする。
物体の高さが100mになるのは、物体を打ち上げてから何秒後か?


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◆解答解説

問題文に「t秒後の高さを(60t−5t2)m」とする。と書かれているので、そのままコレを活用します。

高さが100mになるときを求めたいのだから、「高さ=100」で式を立てればOKです。
つまり、

60t−5t2=100

ですね。
tについての2次方程式ができたので、あとは普通に解きます。
まずは「●●=0」の形にして整理します。

60t−5t2−100=0
  t2−12t+20=0

因数分解してtの値を求めると、

(t−2)(t−10)=0
よって、t=2,10

物体を打ち上げて、最高点に達した後また落ちてくるので、100m地点を2回通過する。というわけですね。

つまり解答は、「2秒後,10秒後」


◆関連項目
長方形の土地の問題2次方程式の基本〜標準の計算問題
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2023年10月11日

中学数学「2次方程式」横の長さが縦の長さより6m長い長方形の土地がある…A

中学数学「2次方程式」横の長さが縦の長さより6m長い長方形の土地がある…A


◆問題 

横の長さが縦の長さより6m長い長方形の土地がある。この土地内に参考図に示すように、幅2mのL字型の花壇を作ったところ、残りの面積が216m2となった。このとき次の問いに答えよ。


参考図    2m
┌──────┬┐
│      ││
│      ││
│      ││
├──────┘│
└───────┘

(1) 長方形の土地の縦の長さをxmとして、「残りの面積」を表す式を求めよ。

(2) この長方形の土地の縦の長さを求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓


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◆解答解説

(1)で、長方形の縦の長さをxmとするときの等式は、

(x−2)(x+4)=216

であることがわかりました。
これを解けばxの値、つまり、縦の長さがわかりますね。解いてみましょう!

まずは展開して、

2+2x−8=216

移項してまとめて、

2+2x−8−216=0
2+2x−224=0

かけて−224,足して2の2つの数の組合せを考えると・・・
16と−14ならうまくいきそうですね!

(x+16)(x−14)=0
よって、x=−16,14

xは縦の長さだから、x>0なので、

x=14


(1)に戻る


◆関連項目
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2023年10月10日

中学数学「2次方程式」横の長さが縦の長さより6m長い長方形の土地がある…@

中学数学「2次方程式」横の長さが縦の長さより6m長い長方形の土地がある…@


◆問題 

横の長さが縦の長さより6m長い長方形の土地がある。この土地内に参考図に示すように、幅2mのL字型の花壇を作ったところ、残りの面積が216m2となった。このとき次の問いに答えよ。


参考図    2m
┌──────┬┐
│      ││
│      ││
│      ││
├──────┘│
└───────┘

(1) 長方形の土地の縦の長さをxmとして、「残りの面積」を表す式を求めよ。


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◆解答解説

長方形の縦の長さをxmとするので、横の長さは(x+6)mとなります。

そして、花壇の幅は2mだから、「残りの面積」の縦は(x−2)m,横は(x+4)mです。

「残りの面積」は216m2だから、求める式は、

(x−2)(x+4)=216


次の問題→この長方形の縦の長さ


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2023年09月09日

中学数学「空間図形」三角錐の体積A

中学数学「空間図形」三角錐の体積A

AB=AC=9cm,∠A=90°の直角三角形ABCを底面とし、高さがOAとなる三角錐O−ABCがある。
OA=9cmのとき、次の問いに答えよ。

(1) この三角錐O−ABCの体積を求めよ。

(2) OCを2:1に分ける点をPとする。O,P,A,Bを頂点とする三角錐の体積を求めよ。


↓この記事では(2)を解説します。解答解説はお知らせの下↓

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PはOCを2:1に分けるので、三角錐P−ABCを考えると、高さはO−ABCの1/3になります。

(1)より、O−ABCの体積は243/2cm3で、底面は共通だから、体積は1/3となります。
つまり、

P−ABC=(243/2)×1/3=81/2[cm3]

求める立体はO,P,A,Bを頂点とする三角錐で、これはO−ABCからP−ABCを差し引いたものだから、

243/2−81/2=162/2=81

というわけで、求める立体の体積は、81cm3となります。


(1)に戻る


図形まとめ(中学)


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中学数学「空間図形」三角錐の体積@

中学数学「空間図形」三角錐の体積@

AB=AC=9cm,∠A=90°の直角三角形ABCを底面とし、高さがOAとなる三角錐O−ABCがある。
OA=9cmのとき、次の問いに答えよ。

(1) この三角錐O−ABCの体積を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓

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三角錐の体積は、底面積×高さ×1/3で求めることができます。

この問題では底面は直角三角形ABCで、長さは与えられているので、早速求めてみましょう!

△ABC=(1/2)×9×9=81/2[cm2]

高さは9cmだから、求める体積は、

 (1/3)×(81/2)×9
=3×81/2
=243/2

というわけで、三角錐O−ABCの体積は、243/2cm3となります。


次の問題→P,O,A,Bを頂点とする立体の体積


図形まとめ(中学)


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2023年08月28日

中学数学「2次方程式」8x2−60=0

中学数学「2次方程式」8x2−60=0


◆問題 次の2次方程式を解け。

8x2−60=0


少し難しい2次方程式ですね。まずは式の変形をします。


「そもそも基本的な2次方程式の解き方がわからないよ!」という人は、まずは「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」を見てください。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

2次方程式を解くためには、基本的には、まずは右辺をゼロにした方がよいです。
ただし、この問題のようにxの2乗の項と定数項の2つの項のみがある場合は、定数項つまり数字だけの項を右辺に移項するのがノーマルです。

8x2−60=0
8x2=60
 x2=60/8
 x2=15/2

あとは両辺の平方根をとって、

  x=±√(15/2)
  x=±√15/√2

分母が√の数なので、有理化して完成です。

  x=±√30/2


◆関連項目
2次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」

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2023年08月26日

中学数学「展開」少し難しい計算(x−4)(x+5)−(x−6)^2

中学数学「展開」少し難しい計算(x−4)(x+5)−(x−6)2

◆ 次の計算をせよ。

(x−4)(x+5)−(x−6)2


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(x−4)(x+5)−(x−6)2

文字や数字がいくつもあって、難しく見えますが、それぞれ展開して同類項をまとめるだけです。
ただし、後半部分の前にマイナスがついているので、カッコを適切に使うことを意識しましょう!

 (x−4)(x+5)−(x−6)2
=x2+x−20−(x2−12x+36)

(x−6)2にマイナスがついていたので、x2−12x+36全体にマイナスをつけるイメージで、カッコが必要になります。
続いて、カッコを外して同類項をまとめれば完成です!

=x2+x−20−x2+12x−36
=13x−56


◆関連項目
展開・因数分解まとめ


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中学数学「2次方程式」18x^2+12x=−2など

中学数学「2次方程式」18x2+12x=−2など


◆問題 次の2次方程式を解け。

(1) 18x2+12x=−2

(2) 27x2=18x−3


少し難しい2次方程式ですね。まずは式の変形をします。


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◆解答解説

2次方程式を解くためには、まずは右辺をゼロにした方がよいです。
そして、因数分解ができれば因数分解。できなければ解の公式。です。

(1) 18x2+12x=−2

まずは移項すると

18x2+12x+2=0

全ての項が2で割れるので2で割って、

9x2+6x+1=0

ここまできたら、因数分解をやってみましょう!
中学の範囲では、「項が3つあって、xの2乗に係数がついている場合はカッコの2乗になる」と考えてほとんど問題ありません。

(3x+1)2=0

この式の値がゼロだから、カッコの中身がゼロです。0の2乗はゼロですね。

3x+1=0

これはただの1次方程式なので、普通に解きます。

  3x=−1
   x=−1/3


(2) 27x2=18x−3

まずは移項して、右辺をゼロにします。

27x2−18x+3=0

全ての項が3で割れるので、割りましょう!

9x2−6x+1=0

先ほどの(1)とだいたい同じですね。因数分解をしてカッコの2乗にすることができます。

(3x−1)2=0

これも「カッコの中身がゼロ」だから、

3x−1=0
  3x=1
   x=1/3


◆関連項目
2次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」

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2023年08月19日

中学数学「1次関数」2直線の交点と(0,3)を通る1次関数の式

中学数学「1次関数」2直線の交点と(0,3)を通る1次関数の式

◆問題

2直線2x+y−2=0,3x+2y−5=0の交点と、(0,3)を通る1次関数の式を求めよ。


2直線の交点は連立方程式で出ますね!


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◆解答・解説

2直線2x+y−2=0,3x+2y−5=0の交点と、(0,3)を通る1次関数の式を求めよ。

2つの関数の交点は、それらの式の連立方程式で求めることができます。

2x+y−2=0 ・・・@
3x+2y−5=0 ・・・A

@×2 ・・・ 4x+2y−4=0
A  ・・・−)3x+2y−5=0
      ―――――――――――
         x   +1=0
              x=−1
これを@に代入すると、
−2+y−2=0
     y=4

よって、交点は(−1,4)です。
この点と、(0,3)を通る直線の式を求めます。

(0,3)はy軸上の点なので、切片b=3がわかります。

y=ax+bにb=3,(−1,4)を代入して、
4=−a+3
a=−1

というわけで、傾き−1,切片3なので、求める直線の式は、

y=−x+3


◆関連項目
2つの関数の交点y軸上の点
1次関数まとめ


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中学数学「1次関数」2点(−2,−8),(2,4)を通る1次関数の式

中学数学「1次関数」2点(−2,−8),(2,4)を通る1次関数の式

◆問題

2点(−2,−8),(2,4)を通る1次関数の式を求めよ。


1次関数なので、y=ax+bに適切な値を代入して計算ですね!


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◆解答・解説

2点(−2,−8),(2,4)を通る1次関数の式を求めよ。

2点を通る直線の式は、y=ax+bに座標を代入して、式を2つ作り、連立して解けば求められます。

まず、(−2,−8)を代入すると、

−8=−2a+b

(2,4)を代入すると、

4=2a+b

これら2つの式を差し引いて、

−12=−4a
  a=3

a=3を4=2a+bに代入すると、

4=2×3+b
4=6+b
b=−2

これで傾きと切片がわかりました。よって、求める直線の式は、

y=3x−2


◆関連項目
2点を通る直線の式
1次関数まとめ


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中学数学「1次関数」変化の割合が−2で、x=−3のときy=7となる1次関数の式

中学数学「1次関数」変化の割合が−2で、x=−3のときy=7となる1次関数の式

◆問題

変化の割合が−2で、x=−3のときy=7となる1次関数の式を求めよ。


1次関数なので、y=ax+bに適切な値を代入して計算ですね!


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◆解答・解説

変化の割合が−2で、x=−3のときy=7となる1次関数の式を求めよ。

変化の割合は傾きと同じで、a=−2です。
x,yの値はそのまま代入します。つまり、

7=−2×(−3)+b
7=6+b
b=1

これで傾きと切片がわかりました。
あとはy=ax+bの形で答えれば完成です!

y=2x+1


◆関連項目
変化の割合
1次関数まとめ


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2023年08月14日

中学数学「1次関数」直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2に関する問題A

中学数学「1次関数」直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2に関する問題A

◆問題

座標平面上に、直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2があり、直線lとx軸,y軸との交点をそれぞれA,B、直線mとx軸,y軸との交点をそれぞれC,Dとする。また、直線lと直線mの交点をPとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 2点A,Dを通る直線の式を求めよ。

(2) △BPCを直線BCに平行な直線で2つの部分に分けたとき、頂点Pの側にできる三角形の面積が△BPCの面積の1/4になった。このときの直線の式を求めよ。


(2)の解答解説はこのページ下


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◆解答・解説

「直線BCに平行な直線」とあるので、まずは直線BCの式(傾き)を求めましょう!

Bは直線lの切片なので、直線BCの切片も4となります。

Cは直線mとx軸との交点なので、y=0を代入して計算します。

0=(−1/3)x+2
0=−x+6
x=6

つまり、C(6,0)です。

y=ax+bに、b=4,x=6,y=0を代入すると、
  0=6a+4
−6a=4
  a=−2/3

よって、直線BCの式はy=(−2/3)x+4となります。
そして、直線BCと平行な直線は傾きが−2/3です。
「平行な直線は傾きが等しい」という性質があります。そしてBCの傾きは−2/3だから、求める直線の傾きも−2/3です。

あとは「面積が1/4」という条件について考える必要があります。
BCに平行な直線で△BPCを切ると、点P側の三角形は、△BPCと形が同じつまり相似になります。
平行線の同位角は等しいので、2組の角がそれぞれ等しいので、相似ですね。

相似な図形で面積が1/4の場合は・・・

「相似比が1:2」です。

底辺も高さも1:2だから、面積は1/4となります。

相似比が1:2になればいいのだから、求める直線はBP(とCP)の中点を通ればいい。ということができます。


Pの座標はまだ求めていなかったので、ここで求めてみましょう!
Pは直線lと直線mの交点だから、これらの直線の式を連立して解けばOKです。

y=−2x+4,y=(−1/3)x+2の右辺同士をイコールで結んで、解きます。

 −2x+4=(−1/3)x+2
−6x+12=−x+6
   −5x=−6
     x=6/5

これをy=−2x+4に代入して、
y=−2×6/5+4
 =−12/5+20/5
 =8/5

つまり、P(6/5,8/5)です。

そしてBPの中点は、Bの座標とPの座標の平均です。
x座標・・・(0+6/5)÷2=3/5
y座標・・・(4+8/5)÷2=14/5

だから、BPの中点(3/5,14/5)です。

というわけで、傾きが−2/3で、(3/5,14/5)を通る直線が求める直線です。
y=ax+bに代入して計算していきましょう!

14/5=(−2/3)×(3/5)+b
14/5=−2/5+b
−b=−2/5−14/5
−b=−16/5
 b=16/5

だいぶ長くなりましたが、というわけで、求める直線は、

y=(−2/3)x+16/5


◆関連項目
交点y軸上で交わる条件平行な直線
1次関数まとめ
相似比と面積比


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中学数学「1次関数」直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2に関する問題@

中学数学「1次関数」直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2に関する問題@

◆問題

座標平面上に、直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2があり、直線lとx軸,y軸との交点をそれぞれA,B、直線mとx軸,y軸との交点をそれぞれC,Dとする。また、直線lと直線mの交点をPとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 2点A,Dを通る直線の式を求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解答・解説

直線の式を求めるときは、多くの場合は2点の座標を求めればOKです。

「2点の座標→y=ax+bに代入して連立」

という方針です。

「A,Pを通る直線」を求めたいので、まずは点A,点Pの座標を求めましょう!


Aは「y=−2x+4とx軸との交点」です。

x軸上はy=0なので、この式にy=0を代入して解きます。

 0=−2x+4
2x=4
 x=2

よって、A(2,0)ですね。
y=0を入れたらx=2だったので、(2,0)です。


続いて点Dです。
点Dは「y=(−1/3)x+2とy軸との交点」です。

y軸上はx=0なので、この式にx=0を代入して解きます。
y=2だから、D(0,2)ですね。

y軸上の点は切片なので、b=2だからD(0,2)と見てもよいです。


2点の座標A(2,0),D(0,2)がわかったので、あとはこれら2点を通る直線の式を求めます。

2点がわかればとにかくy=ax+bに代入して連立で解けますが、この場合はDから切片がわかっているので、b=2を代入して、x,yにAの座標を代入する。と考えた方が簡単です。

  0=2a+2
−2a=2
  a=−1

よって、y=−x+2

傾きは−1,切片は2だから、a,bにそれぞれ代入すると、y=−x+2ですね!


◆関連項目
交点y軸上で交わる条件
1次関数まとめ


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2023年08月01日

中学数学(用語)「交点」

中学数学(用語)「交点」

交点とは「交わる点」です。
交点の座標は、それら2つの関数の式を同時に満たすx,yの値です。

両方の式を同時に満たす値だから、

2つの関数の交点の座標は連立方程式で求めることができます。

直線同士でも、直線と曲線でも、曲線同士でも、交点なら連立方程式です。


動画でも説明してみました。


◆関連項目
y=2x−1とy=−x+3の交点y=−(3/4)x+4の増加量、x軸・y軸との交点、平行な直線
y=xとy=x+6の交点


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2023年07月16日

中学数学「2次方程式」xについての説明の通りに式を立てる問題

中学数学「2次方程式」xについての説明の通りに式を立てる問題


◆問題

ある自然数xがある。xに2を加えて2乗した数は、xに12を加えて5倍した数に等しい。この条件を満たすxの値を求めよ。


2次方程式の基本的な文章問題です。「そもそも2次方程式の解き方がわからないよ!」という人は、まずは「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」を見てください。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

ある自然数xがある。xに2を加えて2乗した数は、xに12を加えて5倍した数に等しい。この条件を満たすxの値を求めよ。

このように、xについての説明がある問題は、とにかく「その通りに式を作って解く」だけです。

「xに2を加えて2乗」・・・(x+2)2
「xに12を加えて5倍」・・・(x+12)×5

これらが等しいので、イコールで結びます。

(x+2)2=(x+12)×5

あとは普通に解きましょう!

2+4x+4=5x−60

2+4x−5x+4−60=0
2−x−56=0
(x+7)(x−8)=0
よって、x=−7,8

問題の条件では「自然数」なので、プラスの数のみを答えます。
だから、この問題の答えは

x=8


◆関連項目
「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」

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