中学数学「平方根」ルートの値

中学数学「平方根」ルートの値

平方根は「２乗したらその数になる数」です。

２乗したら２になる数は√２，２乗したら３になる数は√３，２乗したら４になる数は√４＝２，・・・

というかんじです。

平方根の意味については、また別の記事で解説するとして、この記事では、よく使われるルートの値を挙げておきます。

平方根の値は、必要ならば普通は問題に書いてあるので覚えていなくても一応大丈夫ですが、値を予測しながら計算するためには、よく出てくる値くらいは覚えておいた方がよいです。

√２＝１．４１４…
√３＝１．７３２…
√５＝２．２３６…

まずはこの３つくらいわかれば問題ないでしょう！

これらがわかれば、√６，√８，√１０，√１２などの値も求めることができます。


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中学数学「２次関数」「変化の割合」

中学数学「２次関数」「変化の割合」

■問題

ｙ＝２ｘ^2において、ｘが−２から１まで変化するときの変化の割合を求めよ。


■選択肢

このとき適切な考え方はどれでしょうか？

�@変化の割合はａだから、２
�A変化の割合はｙ座標の増加量だから、ｘ＝１のときのｙの値からｘ＝−２のときのｙの値を引く
�B変化の割合はｘ座標の増加量だから、１から−２を引く
�C変化の割合は(ｙの増加量／ｘの増加量)だから、ｘ＝１，ｘ＝−２の差と、それらを代入した場合のｙ座標の差を求める


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�C変化の割合は(ｙの増加量／ｘの増加量)だから、ｘ＝１，ｘ＝−２の差と、それらを代入した場合のｙ座標の差を求める

変化の割合は、ｘが１増加したときのｙの増加量です。
だから、ｙの増加量をｘの増加量で割ると求められます。


■解答

ｘの増加量＝１−(−２)＝１＋２＝３

ｙの増加量＝２×１^2−{２×(−２)^2}＝２−８＝−６

「変化の割合＝ｘの増加量／ｙの増加量」だから、これらの値を割り算します。

３／(−６)＝−１／２


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中学数学「２次関数」「変域」�A

中学数学「２次関数」「変域」�A

■問題

ｙ＝２ｘ^2において、ｘの変域が−１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域を求めよ。


■選択肢

このとき適切な考え方はどれでしょうか？

�@ｘ＝−１のときｙ＝２，ｘ＝３のときｙ＝１８だから、２≦ｙ≦１８
�Aｘの変域に原点を含むので、ｙの最小値は０だから、０≦ｙ≦１８
�Bｘの変域に原点を含むので、ｙの最大値は０だから、０≧ｙ≧１８
�Cｘが大きくなれば、ｙはいくらでも大きくなるので、ｙ≧０


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�Aｘの変域に原点を含むので、ｙの最小値は０だから、０≦ｙ≦１８

下に凸のグラフで変域に原点を含むときは、原点が最小になります。


■解答

ｘ＝−１のときｙ＝２×(−１)^2＝２
ｘ＝３のときｙ＝２×３^2＝２×９＝１８

ですが、グラフを考えると、−１から３の範囲では原点が一番下なので、ｙの最小値は０です。

よって、求めるｙの変域は

０≦ｙ≦１８


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中学数学「２次関数」「変域」�@

中学数学「２次関数」「変域」�@

■問題

ｙ＝２ｘ^2において、ｘの変域が１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域を求めよ。


■選択肢

このときは何をすればいいでしょうか？(複数選択)

�@２ｘ^2＝０で解いてｘ＝０
�Aｙ＝２ｘ^2にｘ＝１を代入する
�Bｙ＝２ｘ^2にｘ＝３を代入する
�Cｙの変域もｘの変域と同じだから１≦ｙ≦３


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�Aｙ＝２ｘ^2にｘ＝１を代入する
�Bｙ＝２ｘ^2にｘ＝３を代入する

変域とは「いくつからいくつまで変化するか」を表したものなので、最大値と最小値を求めて不等式で表せば完成です。


■解答

ｙ＝２ｘ^2にｘ＝１を代入すると、
ｙ＝２×１^2＝２

ｘ＝３を代入すると、
ｙ＝２×３^2＝２×９＝１８

よって、２≦ｙ≦１８


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中学数学「２次関数」「関数の式」

中学数学「２次関数」「関数の式」

■問題

ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝６のときｙ＝９である。ｙをｘの式で表せ。


■選択肢

このときは何をすればいいでしょうか？

�@ｙ＝ａｘにｘ＝６，ｙ＝９を代入する
�Aｙ＝ａｘ＋ｂにｘ＝６，ｙ＝９を代入する
�Bｙ＝ａｘ^2にｘ＝６，ｙ＝９を代入する
�Cｙ＝ａ／ｘにｘ＝６，ｙ＝９を代入する


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�Bｙ＝ａｘ^2にｘ＝６，ｙ＝９を代入する

「ｙはｘの２乗に比例する」ので、ｙ＝ａｘ^2に代入します。


■解答

ｙ＝ａｘ^2に、ｘ＝６，ｙ＝９を代入すると、

　　９＝ａ×３６
３６ａ＝９
　　ａ＝９／３６
　　ａ＝１／４

よって、求める式は、ｙ＝(１／４)ｘ^2


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中学数学「平方根」「足し算・引き算」�A

中学数学「平方根」「足し算・引き算」�A

前回の記事で、基本的な足し算引き算を解説しました。

今回はａ√ｂの形に直して計算する場合を解説します。


√３＋√３＝２√３

のように、ルートの中身が同じならば、中身はそのままで、外の数を足すだけでしたね。
そして、中身が違うときは足し算引き算はできません。

でしたが、中身が違っても、変形して同じになるなら、同じに直せば計算できる。ということができます。
たとえば、

　√８＋√３２
＝２√２＋４√２
＝６√２

です。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


√８と√３２はもちろんそのままでは、√の中身が違います。
しかし、それぞれ直すと、

√８＝２√２，√３２＝４√２

だから、√の中身が同じになり、足し算ができる。というわけです。

引き算でももちろん同様です。

　√５−√１２５
＝√５−２√５
＝−√５


次の記事→ルートの四則混合


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中学数学「平方根」「足し算・引き算」�@

中学数学「平方根」「足し算・引き算」�@

平方根のかけ算、平方根の割り算は、「ルートの中同士、外同士を掛けたり割ったりする」だけでしたが、足し算引き算はちょっと違います。

例えば、

√３＋√３＝２√３

です。

√３と√３を足したら、√３が２個だから、２×√３＝２√３というわけです。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


つまり平方根の足し算は、√の部分は変わらず、√の前の係数同士を足すだけで完成！です。


２√５＋√５＝３√５

(３／２)√２＋(１／２)√２＝(４／２)√２＝２√２


分数が入ってもやり方は同じです。

さらに、引き算でも同様に、√の部分は変わらず、係数同士を引き算すればＯＫです。


√１０−√１０＝０×√１０＝０

５√３−２√３＝３√３


などなど。


次の記事→ルートの中身が違うときの足し算・引き算


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中学数学「平方根」「かけ算・割り算」

中学数学「平方根」「かけ算・割り算」

平方根のかけ算、平方根の割り算が一つの式に複合した場合を考えます。

・・・と言っても、特別なことは特になく、普通の数字や式のときにやったことと同じ事をすればＯＫです。
つまり、割り切れる数の場合は割り算を普通にしてしまえばよく、割り切れない場合は、

「÷の後の数を逆数にしてかけ算をする」

です。

まずは割り切れる場合。

　√２×√１０÷√５
＝√２×√２
＝２

√１０÷√５は普通に割れるので割って、残りをかけ算ですね。


次は割り切れない場合。

　√３÷２√６÷√１０

この場合は、割り切れないので、÷の直後の数を逆数にしてかけ算をします。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


　√３÷２√６÷√１０
＝√３×(１／２√６)×(１／√１０)
＝(√３×１×１)／(２√６×√１０)
＝１／(２√２×√１０)
＝１／２√２０

ここで、分母の√２０をａ√ｂの形に直します。

２０＝２×２×５なので、√２０＝２√５ですね。

＝１／(２×２√５)
＝１／４√５

ここでさらに、分母の有理化をします。
分母には√５があるので、分子と分母に√５を掛けます。

＝(１×√５)／(４√５×√５)
＝√５／(４×５)
＝√５／２０

これで完成です！
途中の計算は省略せずに、このようにしっかり書いた方がミスも少なくなり、結局トータルでは速く終わります。
手間を惜しまず丁寧にやりましょう！


次の記事→ルートの足し算・引き算


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中学数学「平方根」「割り算」�A

中学数学「平方根」「割り算」�A

基本的な平方根の割り算では、√の中や外がそれぞれ割り切れる場合を見てみましたが、もちろん、割り切れない場合もあります。そんなときは、分数にして「分母の有理化」をします。


√２÷√１０は、割り切れないのでまずは分数にします。

√２÷√１０＝√２／√１０

約分して、

＝√１／√５

分母が√のときは、分母から√が消えるようにします。これを「分母の有理化」と言います。
平方根は「２乗したら中身の数になる数」であるので、

√５×√５＝５

ですね。
分母をこの形にしてしまえば良いのです。
ただし、分母だけを変えると、分数の値が変化してしまうので、ちゃんとイコールの前後が等しくなるように、分子にも√５を掛けます。

＝(√１×√５)／(√５×√５)
＝√５／５

ということで、計算終了です！


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。


他の例も一つ挙げておきます。

　２√６／５√１２
＝２／５√２　　　←√６で約分した
＝(２×√２)／(５√２×√２)　　←分子と分母に√２を掛けた
＝２√２／(５×２)　　←√２×√２＝２
＝２√２／１０
＝√２／５　　　←２で約分した


次の記事→かけ算・割り算が混ざっている場合


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中学数学「平方根」「割り算」�@

中学数学「平方根」「割り算」�@

平方根の割り算も、かけ算と同じく、基本的に「ルートの中は中同士、外は外同士数字を割り算する」だけです。


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓



例えば・・・

√６÷√２＝√３

４√１０÷２√５＝２√２

など、それぞれが割り切れる場合は特に迷うことはないと思います。
とにかく「中同士、外同士を割る」だけです。


次の記事→そのままでは割り切れない場合(分母の有理化)


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中学数学「平方根」「かけ算」�B

中学数学「平方根」「かけ算」�B「ａ√ｂに直す場合」

ａ√ｂに直す場合の続きです。

√６×√４２を計算してみましょう。

まずはルートの中身同士を掛けるので、

√６×√４２＝√２５２

２５２はかなり大きいので、素因数分解をしてみます。

　２）２５２
　ーーーーー
　２）１２６
　ーーーーー
　３）　６３
　ーーーーー
　３）　２１
　ーーーーー
　　　　　７

となるので、２５２＝２^2×３^2×７です。

素因数分解して「同じ数が２個あれば１個外に出る」ので、２と３がルートの外に出る。とわかります。
７は一つしかないので、ルートの中に残ります。

「２５２＝２^2×３^2×７」はかけ算が連続している形になっているので、外に出た２と３もかけ算をします。
よって、

√２５２＝６√７


もうひとつやってみましょう！

２√１４×５√３５＝１０√４９０

これもルートの中身が大きいので、素因数分解してみます。

　２）４９０
　ーーーーー
　５）２４５
　ーーーーー
　７）　４９
　ーーーーー
　　　　　７

４９０＝２×５×７^2であることがわかりました。
７は２個あるので外に出て、２と５は１個ずつしかないのでルートの中に残ります。
中に残る数同士もかけ算をします。
だから、√４９０＝７√１０となります。

この場合はさらに、√の外に１０がついていて、１０√４９０＝１０×√４９０なので、求める答えは、

　２√１４×５√３５
＝１０√４９０
＝１０×７√１０
＝７０√１０

ですね！


次の記事→割り算の場合


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中学数学「平方根」「かけ算」�A「ａ√ｂに直す場合」

中学数学「平方根」「かけ算」�A「ａ√ｂに直す場合」

平方根のかけ算の続きです。

平方根のかけ算割り算は、基本的に、ルートの中同士、外同士をそれぞれ掛けるだけですが、

√２×√６＝√１２

の場合は、これで終わりでなく、さらにもっと簡単にしなければいけません。
どうするのが「簡単にする」ことなのかといえば、

「ルートの中身をできるだけ小さい数にする」

ということです。

それには、素因数分解を用います。

　２）１２
　ーーーーー
　２）　６
　ーーーーー
　　　　３

となるので、１２＝２^2×３です。

√１２＝√(２^2×３)
　　＝(√２)^2×√３
　　＝２√３

となります。

普通は、素因数分解して「同じ数が２個あれば１個外に出る」と考えます。

２が２個あったから、√の外に２が出て、３は１個だから√の中に残った。というわけです。


次の記事→ａ√ｂの形に直す他の例


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中学数学「平方根」「かけ算」�@

中学数学「平方根」「かけ算」�@

平方根のかけ算割り算は、基本的に、ルートの中同士、外同士をそれぞれ掛けるだけです。
つまり、

√２×√３＝√６

２√５×√７＝２√３５

３√２×２√５＝１５√１０

などとなります。
ここまでの例では、これでおしまいですが、数字の組み合わせによっては、もう少しやることがある場合もあります。

√２×√６＝√１２

これ自体は正しいですが、√１２の場合はもっと簡単に直せるので、直します。

数学での答え方の原則は「最も簡単な形に直して答える」ですね。


次の記事→√１２の直し方


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中学数学「平方根」「√２の２乗」

中学数学「平方根」「√２の２乗」

平方根の単元の計算をするには、まずは定義をよく理解しなければいけません。
具体例を挙げてみます。

√２は「２乗したら２になる数」であり、
√３は「２乗したら３になる数」であり、
√４は「２乗したら４になる数」だから、√４＝２であり、
√５は「２乗したら５になる数」です。

では、√２を２乗したらどうなるでしょうか？

√２の意味をもう一度考えると、「√２は２乗したら２になる数」です。

この「２乗したら２になる数」を２乗するのだから・・・

２ですね！

式で表すと、

(√２)^2＝２

というわけです。


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中学数学「２次方程式」「解の公式」

中学数学「２次方程式」「解の公式」

２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０を解け。


２次方程式は、まずは因数分解を試みる。もしできなければ、解の公式。と考えます。


次の書籍も参考にしてください。





ｘ^2＋９ｘ−５＝０

掛けて−５，足して９の整数の組み合わせはないので、解の公式を使います。
このように、真ん中の数が大きいときは(中学の範囲では)因数分解できないことが多いです。


解の公式は

ですね。

これにａ＝１，ｂ＝９，ｃ＝−５を代入して、

ｘ＝[−９±√{９^2−４×１×(−５)}]／２×１
　＝{−９±√(８１＋２０)}／２
　＝(−９±√１０１)／２


関連問題
因数分解のとき


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中学数学「２次方程式」「因数分解」

中学数学「２次方程式」「因数分解」

２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０を解け。


２次方程式は、まずは因数分解を試みる。もしできなければ、解の公式。と考えます。


次の書籍も参考にしてください。





ｘ^2＋３ｘ−２８＝０

掛けて−２８，足して３なのは、−４と７なので、

(ｘ−４)(ｘ＋７)＝０

よって、ｘ＝４，−７


２つのものを掛けてゼロなので、かっこの中がそれぞれゼロ。ということから、ｘの値がわかります。


関連問題
解の公式による２次方程式の解き方


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中学数学「１次関数」「２直線の交点」

中学数学「１次関数」「２直線の交点」

ｙ＝２ｘ−１とｙ＝−ｘ＋３の交点を求めよ。

ｙ＝２ｘ−１もｙ＝−ｘ＋３も１次関数です。つまり直線です。

直線同士の交点は、２つの直線両方を満たすｘ，ｙの値を意味するので、
つまりは

２つの直線の式を連立方程式にして解く。

だけで求めることができます。


そして、直線の式は普通は「ｙ＝ａｘ＋ｂ」の形になっていて、２つともｙを表した式だから、右辺同士をイコールで結ぶことができます。
つまり、

２ｘ−１＝−ｘ＋３

簡単な１次方程式になってしまいましたね。
あとはこれを解けば

２ｘ＋ｘ＝３＋１
　　３ｘ＝４
　　　ｘ＝４／３

ｘ座標がわかりました。
もとの２つの直線の式のうち好きな方にこのｘ座標を代入すればｙ座標がわかる。というわけです。

ｙ＝−ｘ＋３にｘ＝４／３を代入して、
ｙ＝−４／３＋３
　＝−４／３＋９／３
　＝５／３

よって、求める交点の座標は(４／３，５／３)


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中学数学「１次関数」「グラフの描き方」

中学数学「１次関数」「グラフの描き方」

ｙ＝２ｘ−１のグラフを描け。

見えてる数字をなんとなくそのまま使って、

ｘ軸上に２，ｙ軸上に−１をとって、その２点を結んで完成！

としてしまう人がたくさんいます。
もちろんこれは間違いです。

１次関数のグラフを描く場合は、切片と傾きを考えます。
ｙ＝ａｘ＋ｂのａが傾き、ｂが切片ですね。

�@切片と傾きの値を式から読み取る。→ここでは切片は−１，傾きは２

�Aｙ軸上に切片の値の点を取る。→切片は−１なのでｙ軸上に−１の点を取る。

�B切片のところから右に１進んだら、傾きの値と同じ数だけ縦に進む。→傾きは２なので、切片の位置から右に１進んだら上に２進む。

�C�Bで求めた点からさらに右に１進んだら、また、傾きの値と同じ数だけ縦に進む。→傾き２なので、�Bの位置から右に１進んだら上に２進む。

�D�Cを繰り返して、次々と点を取っていき、全ての点を通るように直線を引く。

注意点としては、通る点は、なるべく離れた点をたくさん見つけるとよいです。離れた２点が正しく取れれば、その間の点は自動的に通ります。
慣れることも大切なので、グラフの描き方がわかったら、何度も練習しましょう！


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中学数学「１次関数」「切片」「y軸上で交わる」

中学数学「１次関数」「切片」「y軸上で交わる」

1次関数の問題では、「y軸上で交わる」という条件もよく登場します。

y軸上の点は、すなわち「切片」なので、

「y軸上で交わる」ならば、「それらの2直線の切片は等しい」ということができます。

例えば、y＝2x＋5とy軸上で交わる直線は、切片が5である。

というわけです。


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中学数学「１次関数」「傾き」「平行」

中学数学「１次関数」「傾き」「平行」

１次関数の問題では、「平行」という条件がよく出てきます。

2本の直線が平行ならば、傾きが等しい。

ということを意味します。

傾きは「xが1増えた時のyの増加量」を表しているので、

もし、傾きが同じならば、「xが1増えた時のyの増加量も同じ」というわけです。

例えば、y＝2x＋5に平行な直線の傾きは2ですね。


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