中学・高校数学(用語)「範囲」「四分位範囲」

中学・高校数学(用語)「範囲」「四分位範囲」

★範囲(range)

データの最大値と最小値の差を範囲という。


★四分位範囲(interquartile range)

第３四分位数と第１四分位数の差を四分位範囲という。
箱ひげ図の「箱」の大きさが四分位範囲に相当する。


新課程では、四分位数・四分位範囲も、中学数学でも出題される可能性があります。
新しく導入された内容は、入試にも出題されやすいので、過去問には登場していなくても、しっかり覚えていきましょう！


データの分析の考え方・解き方の習得に活用してください。好評です！



◆関連項目
平均値、分散
データの分析まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「２次関数」ｘが−４から−１まで増加するときの変化の割合

中学数学「２次関数」ｘが−４から−１まで増加するときの変化の割合

◆問題

関数ｙ＝２ｘ^２について、ｘが−４から−１まで増加するときの変化の割合を求めよ。


◆解答解説

まず、「変化の割合＝ｙの増加量／ｘの増加量」です。

そして、ｘの増加量はｘがどれだけ増えたか？で、ｙの増加量はｙがどれだけ増えたか？ですね。
つまり、増加量は座標の差です。

この場合ｘは「−４から−１まで増加」したので、

−１−(−４)＝−１＋４＝３

３増加しました。

そのときのｙの増加量はｙ座標の差です。

ｘ＝−４のときｙ＝２×(−４)^２＝２×１６＝３２
ｘ＝−１のときｙ＝２×(−１)^２＝２

つまり、ｙは３２から２まで増加(変化)したので、増加量は２−３２＝−３０です。

「３２−２」ではなく「２−３２」であることに注意してください。

ｘが−４から−１まで変化したので、ｙもそれに対応して変化します。だから、「ｘ＝−４のときのｙの値からｙ＝−１のときのｙの値まで変化した」と考えます。

「変化の割合の式の分子と分母を揃える」と考えても良いです。

まとめると、ｘの増加量は３，ｙの増加量は−３０だから、

変化の割合＝−３０／３＝−１０


◆関連項目
変化の割合
１次関数まとめ、２次関数まとめ(中学)


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学・高校数学(用語)「平均値」「中央値」「最頻値」

中学・高校数学(用語)「平均値」「中央値」「最頻値」

★平均値(average value)

小学校の算数でも登場する平均の値のこと。
合計を人数や個数で割った値。


★中央値(median)

データの順位が真ん中の値。

・データの個数が奇数の時はちょうど真ん中の値そのものが中央値
・データの個数が偶数の時は真ん中に近い２つの平均が中央値

ヒストグラムや度数分布表でデータが表されているときは、その階級値が中央値となる。


★最頻値(mode)

ヒストグラムや度数分布表で表されたデータで、度数が最も多い階級の階級値のこと。


データの分析の考え方・解き方の習得に活用してください。好評です！



◆関連項目
四分位数、箱ひげ図、偏差
データの分析まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学(用語)「反比例」

中学数学(用語)「反比例」

ｘが２倍，３倍，４倍，…となるとき、ｙが１／２，１／３，１／４…となるような関係の関数を反比例といいます。

式は通常、「ｙ＝ａ／ｘ」の形で表し、グラフは「双曲線」になります。

ｘ，ｙは座標、ａは比例定数です。

ｙ＝ａ／ｘの両辺にｘをかけると、ｘｙ＝ａの形になります。つまり、「ｘ座標とｙ座標を掛けると比例定数ａになる」ということができます。
これは反比例の特徴といえるので、覚えておくと便利な場合もあります。


中２までの範囲では、曲線のグラフはほぼ「反比例」と考えて問題ありません。

中３では「２乗に比例する関数(２次関数)」が、高校では、三角関数、指数関数、対数関数など様々な曲線のグラフになる関数が登場します。



◆関連項目
比例、２次関数
１次関数、比例・反比例まとめ


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　　最高級の指導を提供します！生徒募集中です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　　ＡＥ個別学習室
http://www.a-ema.com/k/　　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「比例・反比例」ｘ座標、ｙ座標がともに整数の点

中学数学「比例・反比例」ｘ座標、ｙ座標がともに整数の点

◆問題

関数ｙ＝１２／ｘ上の点のうち、ｘ座標とｙ座標がともに整数の点はいくつあるか求めなさい。ただし、ｘ＞０とする。


◆解答解説

問いの意味がわからず止まってしまう人も多いですが、こういう問題こそ「言ってる通りにやればいい」のです。

代入して計算して、「ｘ座標とｙ座標がともに整数の点」を求めるだけです。

「ｘ＞０」という条件があるので、ｘに１から順に数字を代入していきましょう！

ｘ＝１のとき、ｙ＝１２／１＝１２
つまり座標は(１，１２)だから、「ともに整数」ですね。

ｘ＝２のとき、ｙ＝１２／２＝６
座標は(２，６)だから、これも「ともに整数」ですね。

ｘ＝３のとき、ｙ＝１２／３＝４
ｘ＝４のとき、ｙ＝１２／４＝３
これらも「ともに整数」です。

ｘ＝５のとき、ｙ＝１２／５
ｙ座標は整数ではないようです。

ｘ＝６のとき、ｙ＝１２／６＝２
(６，２)だから「ともに整数」ですね。

ｘ＝７のとき、ｙ＝１２／７
ｘ＝８のとき、ｙ＝１２／８＝３／２
ｘ＝９のとき、ｙ＝１２／９＝４／３
ｘ＝１０のとき、ｙ＝１２／１０＝６／５
ｘ＝１１のとき、ｙ＝１２／１１
ここまでｘ＝７〜１１の場合は、全て分数ですね。

ｘ＝１２のとき、ｙ＝１２／１２＝１
座標は(１２，１)だから「ともに整数」です。

ｘ＝１３以上の場合、ｙ座標は分母の方が大きくなるので整数になるわけがありません。

ということで、ここまでで見つけた、(１，１２)，(２，６)，(３，４)，(４，３)，(６，２)，(１２，１)の合計６個が「ｘ座標、ｙ座標ともに整数の点」です。


１次関数、比例・反比例まとめ


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「平方根」√１７の整数部分・小数部分

中学数学「平方根」√１７の整数部分・小数部分

◆問題

√１７の整数部分をａ，小数部分をｂとするとき、ａｂ＋ｂ^２を求めよ。


◆解答解説

中学数学の平方根としては、難易度が高い問題です。高校数学でも類似の出題があります。

この場合の「整数部分」とは、√１７を小数で表した場合の小数点より上の数字のことです。
４＜√１７＜５なので、√１７の整数部分は４です。

そして、小数点以下の部分が「小数部分」です。
小数部分は、√１７から整数部分を取り除いた値なので、ｂ＝√１７−４です。

まとめると、

ａ＝４，ｂ＝√１７−４

となります。
これさえわかれば、後は代入して計算ですね！

　ａｂ＋ｂ^２
＝ｂ(ａ＋ｂ)
＝(√１７−４)(４＋√１７−４)
＝(√１７−４)×√１７
＝(√１７)^２−４√１７
＝１７−４√１７


平方根まとめ(中学)


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「約数」６４ｐの約数の個数

中学数学「約数」６４ｐの約数の個数

◆問題

ｐを３以上の素数とするとき、６４ｐの約数の個数を求めよ。


◆解答解説

「ｐの値が決まらなかったら約数の個数なんてわからないじゃないか！」と思う人も多いと思いますが、意外とそうでもありません。「ｐが３以上の素数」ならば、約数の個数は一つに決まります。

約数は「割りきれる数」だから、「もとの数がどういう数の積でできているか？」が分かれば、約数の個数がわかる。というわけです。

６４ｐの因数は２かｐの２種類なので、これら以外の素数で割れる可能性はありません。

だから、２の選び方は何通りか？ｐの選び方は何通りか？がわかればＯＫです！

６４ｐ＝６４×ｐ

まず、「６４＝２^６」だから、２は最大で６個含むことができます。
２が０個、１個、２個、３個、４個、５個、６個の場合があるので、２の選び方で７通りです。

「ｐは２でない素数」だから、ｐは０個か１個で２通りです。

これらは同時に選ぶので、場合の数をかけ算して、

７×２＝１４

よって、１４通りの約数があります。


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「１次関数」点(４，３)を通り、ｙ＝２ｘ＋１に平行な直線

中学数学「１次関数」点(４，３)を通り、ｙ＝２ｘ＋１に平行な直線

◆問題

点(４，３)を通り、ｙ＝２ｘ＋１に平行な直線の式を求めよ。


◆解答解説

まず、１次関数はｙ＝ａｘ＋ｂの形で表されます。ａは傾き、ｂは切片ですね。

そして基本的な性質として、平行な直線は、傾きが等しいです。

ｙ＝２ｘ＋１の傾きは２なので、求める直線の傾きも２です。つまり、ａ＝２です。

さらに、点(４，３)を通るので、ｘ＝４，ｙ＝３です。

これらをｙ＝ａｘ＋ｂに代入すると、

３＝２×４＋ｂ

となります。
ちなみに、平行であることと切片の値は特に関係はないので、ｂに１を代入したりしてはいけません。

計算してみると、

　３＝８＋ｂ
−ｂ＝８−３
−ｂ＝５
　ｂ＝−５

これでａとｂがわかったので、ｙ＝ａｘ＋ｂにそれらの値を代入して完成です！

ｙ＝２ｘ−５

これが求める直線の式ですね！


１次関数まとめ


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「１次関数」「比例・反比例」まとめ

中学数学「１次関数」まとめ

中学数学の１次関数、比例・反比例に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

◆　解説

●比例・反比例

比例

反比例


●１次関数
１次関数とは？

傾きと切片

変化の割合

グラフの描き方


２点を通る直線の式の求め方

平行な直線の条件

ｙ軸上で交わる条件

１次関数と２次関数の交点


◆　問題

●比例・反比例

ｘ，ｙがともに整数の点


●１次関数

点(４，３)を通り、ｙ＝２ｘ＋１に平行な直線

ｙ＝２ｘ−１とｙ＝−ｘ＋３の交点



◆　関連項目

２次関数(２乗に比例する関数)


まだまだ追加していきます！
リクエストがあればお気軽にどうぞ！


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「平方根」√(１６−ｎ)が整数となるとき

中学数学「平方根」√(１６−ｎ)が整数となるとき

◆問題

√(１６−ｎ)が整数となるようなｎの値を全て求めよ。ただし、ｎは自然数とする。



◆解答解説

ルートの数が整数になるためには、ルートの中身が何かの２乗になればＯＫです。

１６より小さい数の中で、ある数の２乗は、０，１，４，９ですね。

つまり、１６−ｎがこれらの数になる場合を見つければＯＫというわけです。


１６−ｎ＝０
　　−ｎ＝−１６
　　　ｎ＝１６

１６−ｎ＝１
　　−ｎ＝−１５
　　　ｎ＝１５

１６−ｎ＝４
　　−ｎ＝−１２
　　　ｎ＝１２

１６−ｎ＝９
　　−ｎ＝−７
　　　ｎ＝７

ということで、求めるｎの値は、７，１２，１５，１６となります。


平方根まとめ


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「平方根」√(１６２／ｎ)が整数となるとき

中学数学「平方根」√(１６２／ｎ)が整数となるとき

◆問題

√(１６２／ｎ)が整数となるようなｎの値を全て求めよ。



◆解答解説

ルートの数が整数になるためには、ルートの中身が何かの２乗になればＯＫです。

１６２を素因数分解すると、

１６２＝２×３^４

ですね。

√(１６２／ｎ)が整数となるようなｎを求めるので、

これをｎで割ったとき、その結果が何かの２乗になる場合を探していきます。
約分して、何かの２乗が残るような場合なので・・・

ｎ＝２のとき、１６２／ｎ＝１６２／２＝８１＝９^２

ｎ＝２×３^２のとき、１６２／ｎ＝２×３^４／(２×３^２)＝３^２

ｎ＝２×３^４のとき、１６２／ｎ＝２×３^４／２×３^４＝１


というわけで、これら３つの場合が求めるｎの値となります。


平方根まとめ


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「平方根」「有理数・無理数」１．４１４は無理数か？

中学数学「平方根」「有理数・無理数」

　　有理数とは分数で表せる数
　　無理数とは分数で表せない数

です。

たとえば、１，２，３，…などの自然数、−１，−２，−３，…などの負の整数は、全て分母が１の分数に直すことができるので有理数です。
もともと分数の１／２，１／３，１／４，…などももちろん有理数です。
０．１，０．２，０．３，…などの小数も分数に直すことができるので有理数です。

一方、√２，√３，√５などの、ルートを使わないと表せない数は、分数に直すことができないので、無理数です。

√４は、√４＝２なので、整数に直せるということは分数にもなり、有理数です。同様に、√９，√１６，√２５，…も有理数です。


少し意地悪な(?)問いとしては、「１．４１４は有理数か無理数か？」などがあります。

「１．４１４って√２だったよね。√２は無理数だから、１．４１４も無理数」
・・・と答えてしまう人も多いと思いますが、これは間違いです。

√２の近似値を４桁で表すと１．４１４ですが、正確には√２は１．４１４ではありません。
√２は、１．４１４２１３５６…と限りなく続きます。限りなく不規則に続くので分数で表すことができないから√２は無理数です。

１．４１４という小数は√２の近似値として使われる数ですが、√２ではなく、分数で表すことができます。

１．４１４＝１４１４／１０００＝７０７／５００

だから、１．４１４は有理数です。


同様に、

√３は無理数ですが、１．７３２は有理数。
πは無理数ですが、３．１４は有理数。

となります。

しっかり考えて、意地悪な出題にだまされないようにしましょう！


平方根まとめ


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「平方根」「四則混合」√２０(１＋√５)÷√８

中学数学「平方根」「四則混合」


平方根に関する基本的な計算方法は平方根まとめなどをご覧ください。
このページでは、四則混合の計算を必要とする問題とその解答を掲載します。


◆問題
次の計算をしてください。

(1) (√２＋√３)^２

(2) √２０(１＋√５)÷√８


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、２次方程式などの練習ができます。

◆解答解説

(1) (√２＋√３)^２

このように、カッコを含む式の場合、普通に展開の公式を使って計算します。

★(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２

なので、

(√２＋√３)^２＝√２^２＋２√２×√３＋√３^２
　　　　　＝２＋２√６＋３
　　　　　＝５＋２√６


(2) √２０(１＋√５)÷√８

このように色々ついてる場合は、だいたい、「カッコの中が足せれば足す→かけ算割り算をやる→カッコを外す→足し算引き算をやる」という手順です。

１＋√５は足せないので、まずはカッコの外の数を計算すると、

　√２０(１＋√５)÷√８
＝(√２０／√８)(１＋√５)
＝(√５／√２)(１＋√５)

先にカッコを外しても良いですが、ここでは先に分母の有理化をしてみます。

＝(√１０／２)(１＋√５)

カッコを外すと、

＝√１０／２＋√５０／２
＝√１０／２＋(５／２)√２

答え方はこれでも良いですし、(√２／２)でくくっても良いです。

＝(√２／２)(√５＋５)


平方根まとめ


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「平方根」まとめ

中学数学「平方根」まとめ

中学数学の平方根に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

◆　解説

平方根とは？

ルートの値

ａ√ｂの形に直す

平方根のかけ算

平方根の割り算

分母の有理化

平方根の足し算引き算(ルートの中身が同じ)

平方根の足し算引き算(ルートの中身が違う)

有理数・無理数


◆　問題

√６×√４２

√２×√１０÷√５、√３÷２√６÷√１０

(1) (√２＋√３)^2，(2) √２０(１＋√５)÷√８

１．４１４は無理数か？

√(１６２／ｎ)が整数になるとき

√(１６−ｎ)が整数になるとき

√１７の整数部分・小数部分


まだまだ追加していきます！
リクエストがあればお気軽にどうぞ！


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「因数分解」おきかえを使うとき

中学数学「因数分解」おきかえを使うとき

◆問題

次の式を因数分解せよ。

(ｘ−３)^２＋３(ｘ−３)−２８


このように、かっこの中身が同じ場合は、Ａ＝ｘ−３などとおいてみると、因数分解しやすくなります。


解答解説はこのページ下


★★　お知らせ　★★

ＡＥ個別学習室(えまじゅく)では、高校受験対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は小学校の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。

★★★★★★★★★★

◆解答・解説

Ａ＝ｘ−３とおくと、

　(ｘ−３)^２＋３(ｘ−３)−２８
＝Ａ^２＋４Ａ−２８

このように式を書き換えることができます。
こうなれば、普通に「ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)の場合」のやり方で因数分解できますね。

＝(Ａ＋７)(Ａ−４)

Ａをｘ−３に戻せば、

＝(ｘ−３＋７)(ｘ−３−４)
＝(ｘ＋４)(ｘ−７)

これで完成です！


※「おきかえ」を使わない別解は、このページさらに下


◆関連項目
因数分解の手順
ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)
(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２
展開・因数分解まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−


◆別解

まずは「おきかえ」を利用して解いてみましたが、そんなことをしなくてもやることもできます。
今回の問題のようにカッコの部分が複数あるときは、それぞれ展開して同類項をまとめてから因数分解してもＯＫです。

　(ｘ−３)^２＋３(ｘ−３)−２８
＝ｘ^２−６ｘ＋９＋３ｘ−９−２８

それぞれのカッコを外すとまずはこうなりますね。
同類項をまとめると、

＝ｘ^２−６ｘ＋３ｘ＋９−９−２８
＝ｘ^２−３ｘ−２８

普通の２次式になったので、普通に因数分解すると、

＝(ｘ＋４)(ｘ−７)

もちろん、先ほどと同じ答えになりました！

中学数学「展開」「因数分解」まとめ

中学数学「展開」「因数分解」まとめ

中学数学の展開・因数分解に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

◆　解説

展開と因数分解

因数分解の基本的な手順

公式　(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)＝ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ

公式　(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２

公式　(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２


◆　問題

共通因数をくくる場合

ｘ^２＋ａｘ＋ｂの形

２乗引く２乗の場合

ｘの２乗の項に係数がある場合

おきかえを使う場合


リクエストがあればお気軽にどうぞ！


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「展開」「因数分解」(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２

中学数学「展開」「因数分解」(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２


中学数学では、基本的に以下の公式が使えれば大丈夫です。

★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)＝ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ
★　因数分解・・・ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)

★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２
★　因数分解・・・ｘ^２−ａ^２＝(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)

★　展開・・・(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２
★　因数分解・・・ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２＝(ａ＋ｂ)^２


◆◆　カッコの２乗の展開・因数分解　◆◆

この記事では、これらの展開・因数分解の公式のうち、「カッコの２乗」のパターンの公式を取り上げます。

★　展開・・・(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２
★　因数分解・・・ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２＝(ａ＋ｂ)^２


◆◆　真ん中は掛けて２倍　◆◆

展開はカッコを外すので、公式を使わなくても分配法則で何とかなりますし、

「２乗は同じ数を２回掛ける」ので、(ａ＋ｂ)^２＝(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)と考えて、普通に展開しても全く問題ありません。

でもやはり、この場合の特別な公式として扱えた方が速いし、確実なので、この公式も使えるに越したことはありません。

★　展開・・・(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２

「最初と最後は２乗」「真ん中は掛けて２倍」と考えるとわかりやすいと思います。


◆◆　最初と最後は２乗、真ん中は掛けて２倍　◆◆

このパターンの因数分解は、中学では公式を使うと考えないと厳しいと思います。最初の数にも係数がついていることも多く、その場合は、普通の「掛けてｂ，足してａ」に当てはまらないからです。

★　因数分解・・・ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２＝(ａ＋ｂ)^２

やはり展開の逆なので、「最初と最後が何かの２乗」「真ん中は掛けて２倍」と考えます。
このような数字の組み合わせになっているときは、カッコの２乗の公式に従って因数分解します。

中学数学の因数分解で、ｘの２乗に係数がついてる場合は、この「カッコの２乗」の他には、「２乗引く２乗」や「共通因数でくくる場合」があります。数字の組み合わせをしっかり考えて、どのパターンになるか判断できるようにしましょう！


★★　お知らせ　★★

ＡＥ個別学習室(えまじゅく)では、高校受験対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は小学校の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。

★★★★★★★★★★


◆関連項目
因数分解の手順
ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)
(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２
展開・因数分解まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「展開」「因数分解」(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ２−ａ２

中学数学「展開」「因数分解」(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２


中学数学では、基本的に以下の公式が使えれば大丈夫です。

★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)＝ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ
★　因数分解・・・ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)

★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２
★　因数分解・・・ｘ^２−ａ^２＝(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)

★　展開・・・(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２
★　因数分解・・・ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２＝(ａ＋ｂ)^２


◆◆　２乗引く２乗の展開・因数分解　◆◆

この記事では、これらの展開・因数分解の公式のうち、「２乗引く２乗」のパターンの公式を取り上げます。

★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２
★　因数分解・・・ｘ^２−ａ^２＝(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)


◆◆　数字は同じで符号だけ違うならこのパターン　◆◆

まずは展開の場合について考えます。

(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)のときと同じく「足したらｘの係数、掛けたら定数項」と考えてみると、

(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２＋(ａ−ａ)ｘ＋ａ×(−ａ)
　　　　　　　＝ｘ^２＋０ｘ−ａ^２
　　　　　　　＝ｘ^２−ａ^２

ａと−ａだから、足したらゼロ、掛けたら−ａ^２ですよね。
このように、数字の部分が同じで符号だけ違う場合に、このパターンになります。

この場合の特別な公式と考えなくても、展開は全く問題なくできる人が多いと思います。
でも、公式で一発でできた方が速いし楽ですし、因数分解をするためには公式としてわかっていないとツラいです。


★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２


◆◆　２乗引く２乗ならこのパターン　◆◆

そして、この逆が因数分解です。

何かの２乗から何かの２乗を引いている形になっているときは、

★　因数分解・・・ｘ^２−ａ^２＝(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)

このように因数分解することができます。

普通の「掛けてａ，足してｂ」のパターンに慣れてくると、このパターンの場合に「項が２つしかない！やばい！わかんない！」となってしまう人が多いです。項が２つしかない場合の因数分解は、中学ではほとんどこの「２乗引く２乗」になります。わからなくなったときは、「もしかして、これって何かの２乗かな？」と考えてみると解決するかも？


★★　お知らせ　★★

ＡＥ個別学習室(えまじゅく)では、高校受験対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は小学校の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。

★★★★★★★★★★


◆関連項目
因数分解の手順
ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)
(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２
展開・因数分解まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「展開」「因数分解」(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)＝ｘ２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ

中学数学「展開」「因数分解」(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)＝ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ


中学数学では、基本的に以下の公式が使えれば大丈夫です。

★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)＝ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ
★　因数分解・・・ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)

★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２
★　因数分解・・・ｘ^２−ａ^２＝(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)

★　展開・・・(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２
★　因数分解・・・ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２＝(ａ＋ｂ)^２


◆◆　一番ノーマルなタイプの展開・因数分解　◆◆

この記事では、これらの展開・因数分解の公式のうち、最もよく使う「掛けていくつ、足していくつ」のパターンの公式を取り上げます。

★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)＝ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ
★　因数分解・・・ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)


◆◆　足したらｘの係数、掛けたら定数項　◆◆

展開は要するに、分配法則です。
カッコの外に数字がついている場合、その数字をカッコの中の数全てに掛ける。という法則ですね。

展開の公式について、その考えを当てはめると、

「(ｘ＋ｂ)というカッコに(ｘ＋ａ)という数がついてるので、カッコの中のｘとｂの両方に(ｘ＋ａ)をかける」
「ｘに(ｘ＋ａ)を掛けると(ｘ^２＋ａｘ)、ｂに(ｘ＋ａ)を掛けると(ｂｘ＋ａｂ)」
「まとめて整理すると、ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ」

このように、分配法則に従って計算すれば、公式と全く同じ結果が得られます。
でもちょっとだけめんどくさいですね。
公式を使えば、この手間が少し省ける。というわけです。

展開の公式を使ったと考えると、「２つの数ａ，ｂを足したらｘの係数、掛けたら定数項」と考えれば良いです。改めてこのタイプの展開の公式を見直してください。

★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)＝ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ

左辺と右辺で、ａ，ｂの位置がどこにあるのか、できるだけ納得しておきましょう！


◆◆　掛けたら定数項、足したらｘの係数　◆◆

そして、この逆が因数分解です。
展開した式から元に戻すのが因数分解なので、

「掛けたら定数項、足したらｘの係数」になるような２つの数ａ，ｂを考えます。

このとき、「掛けたら定数項」の方を先に考えると、可能性が限定されるので数を探しやすくなります。

★　因数分解・・・ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)

因数分解した式は、展開してカッコをはずせば必ず元に戻ります。
普段から元に戻るかどうか確認するようにしておくと、ミスが減りますよ！
慣れれば誰でも一瞬でわかるので、いつもやるように心がけるのをオススメします。


★★　お知らせ　★★

ＡＥ個別学習室(えまじゅく)では、高校受験対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は小学校の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。

★★★★★★★★★★


◆関連項目
因数分解の手順
(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２
(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２
展開・因数分解まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

中学数学「展開と因数分解の関係」

中学数学「展開と因数分解の関係」

式の計算において、

★カッコを外すことが「展開」
★展開の逆が「因数分解」

ということができます。

例えば、

(ｘ＋１)(ｘ＋２)という式のカッコを外して、ｘ^２＋２ｘ＋ｘ＋２＝ｘ^２＋３ｘ＋２とするのが展開です。

そして、これを逆にして、

ｘ^２＋３ｘ＋２＝(ｘ＋１)(ｘ＋２)と、カッコのある式に戻すことが因数分解です。


展開と因数分解はちょうど逆の関係なので、必ず元に戻せます。
つまり、

・展開した式を因数分解すると元に戻る
・因数分解した式を展開すると元に戻る

というわけです。

「元に戻るように変形するのが展開・因数分解」

と言ってもよいです。
元に戻るように変形すると、自ずと一定のパターンに当てはまってしまうので、それを「公式」として扱っています。


★★　お知らせ　★★

ＡＥ個別学習室(えまじゅく)では、高校受験対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は小学校の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。

★★★★★★★★★★


中学数学では、基本的に以下の公式が使えれば大丈夫です。
詳しくは別の記事で解説します。


★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)＝ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ
★　因数分解・・・ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)

★　展開・・・(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２
★　因数分解・・・ｘ^２−ａ^２＝(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)

★　展開・・・(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２
★　因数分解・・・ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２＝(ａ＋ｂ)^２


◆関連項目
因数分解の手順
ｘ^２＋(ａ＋ｂ)ｘ＋ａｂ＝(ｘ＋ａ)(ｘ＋ｂ)
(ｘ＋ａ)(ｘ−ａ)＝ｘ^２−ａ^２
(ａ＋ｂ)^２＝ａ^２＋２ａｂ＋ｂ^２
展開・因数分解まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−