2019年08月15日

中学数学「1次関数」「切片」「y軸上で交わる」

中学数学「1次関数」「切片」「y軸上で交わる」

1次関数の問題では、「y軸上で交わる」という条件もよく登場します。

y軸上の点は、すなわち「切片」なので、

「y軸上で交わる」ならば、「それらの2直線の切片は等しい」ということができます。

例えば、y=2x+5とy軸上で交わる直線は、切片が5である。

というわけです。


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2019年08月13日

中学数学「1次関数」「傾き」「平行」

中学数学「1次関数」「傾き」「平行」

1次関数の問題では、「平行」という条件がよく出てきます。

2本の直線が平行ならば、傾きが等しい。

ということを意味します。

傾きは「xが1増えた時のyの増加量」を表しているので、

もし、傾きが同じならば、「xが1増えた時のyの増加量も同じ」というわけです。

例えば、y=2x+5に平行な直線の傾きは2ですね。


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2019年08月12日

中学数学「1次関数」「傾き」「切片」

中学数学「1次関数」「傾き」「切片」

中学数学の「グラフ」に関する問題は、1次関数の理解が欠かせません。

1次関数は次の式で表されます。

y=ax+b

x,yはグラフ上の点の座標です。

aは傾き

bは切片

ですね。

「傾き」とは、「xが1増えたらyがいくつ増えるか」を表す値です。
傾きが大きくなると、グラフの傾き方が大きくなります。

例えば「傾きが1」なら、「xが1増えたらyも1増える」ですが、
「傾きが10」なら、「xが1増えたりyは10増える」のです。

「切片」とは、「y軸との交点のy座標」を表す値です。
直線のグラフを描くと、必ずどこかでy軸と交わります。
その交点の場所を表すのが「切片」です。


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2019年04月15日

中学数学「扇形の面積」

中学数学「扇形の面積」

扇形の面積の公式を実際に使ってみましょう!

半径3cm,中心角240°の扇形の面積を求めることを考えます。

扇形は円の一部なので、「円×a/360」で求めることができます。

つまり、「S=πr^2×a/360」ですね。

これにr=3,a=240を代入して、

S=π×3^2×240/360
 =9π×2/3
 =6π

よって、求める扇形の面積は、6πcm^2です。


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2019年04月13日

中学数学「単項式」「多項式」

中学数学「単項式」「多項式」

−7xy,ab^3などは単項式

x−y,a+3などは多項式

です。

かけ算割り算でつながっている数字や文字は「ひとかたまり」とみなし「一つの項」だから「単項式」

足し算引き算でつながっている数字や文字は「別々のもの」とみなし「多数の項」だから「多項式」

です。

つまり、文字や数字の間にプラスやマイナスが入っていれば「多項式」、なければ「単項式」ということができます。


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2019年04月07日

中学数学「空間図形」直方体の表面積

中学数学「空間図形」直方体の表面積

立体図形の表面積を求めるときは、展開図を考えて、その展開図のそれぞれの図形の面積の和を求めます。

直方体ならば、すべての面が長方形でできているので、それらの長方形の面積を全部足すだけです。

中学レベルでは、各辺の単位がcmとなっている場合が多いので、面積はたいていcm2となります。

単位をつけ忘れると、減点またはバツとなってしまいますので、気をつけてくださいね!


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2019年04月05日

中学数学「1次方程式」移項

中学数学「1次方程式」移項

方程式の計算では、たいてい移項が必要になります。

移項とは、「イコールの反対側に項を移動すること」です。

「移項すると符号が変わる」と考えますが、これはどうしてでしょうか?

例えば「x+3=2」という方程式を考えます。
この方程式を解くときは、左辺の+3が邪魔です。
邪魔なら消せば良い。ということで、移項しますが、移項するとき実は「両辺に同じ数を足す(引く)」ということをやっています。

+3を消すには−3する。左辺から−3したら右辺にも−3をする。

すると、「x+3−3=2−3」となり、「x=2−3」となります。

3を右辺に移項したら符号が変わるのは、両辺に消える数を足す(引く)からですね!


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2019年04月02日

中学数学「1次関数と2次関数の交点」

中学数学「1次関数と2次関数の交点」

1次関数と2次関数は関数の種類が違うので、交点の座標を出すときは、特別な方法が必要・・・なわけがありません(笑)

1次関数と2次関数だろうが、1次関数同士だろうが、その他の関数だろうが、

交点を出したければ「連立方程式」です。

1次関数と2次関数の場合は、連立すると2次方程式になるので、因数分解したり、解の公式を使ったりして解いて、座標を求めます。



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2019年03月30日

中学数学「1次関数」2点を通る直線の式

中学数学「1次関数」2点を通る直線の式

座標平面上の2点が与えられ、その2点を通る直線の式は、

その2点の座標をy=ax+bに代入してできた式を連立方程式にして解けば求めることができます。


通る点の座標は、そのグラフの式に代入できる

直線の式はy=ax+b


だから、その2点の座標をそれぞれy=ax+bのx,yに代入して連立方程式!ですね!


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2019年03月27日

中学数学「資料の整理」高校数学「データの分析」「ヒストグラム」

中学数学「資料の整理」高校数学「データの分析」「ヒストグラム」

ヒストグラムとは要するに「棒グラフ」です。

データを一定の幅に区切って、その度数分布をグラフに表したのが「ヒストグラム」です。

中学数学の範囲では、ヒストグラムと度数分布表の関係がわかればOKです。

高校数学の範囲では、ヒストグラムと箱ひげ図の関係をわかるようにします。




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2019年03月26日

中学数学「正負の数」マイナスを含む数の足し算引き算

中学数学「正負の数」マイナスを含む数の足し算引き算

例えば、「−8+5」という計算をやるとします。
答えはもちろん「−3」ですが、正負の数を習いたての中学1年生や、中学の内容を先取りする小学生はその意味がわからず、「−13」「13」「3」などと間違えることがあります。

そんなときは、身近な例で考えるとよいです。

例えば、

「気温が−8℃から5℃上がったら何度?」
「階段を8段下がって5段上がったらどの位置にいる?」

などの具体例で尋ねると、「あ、そっか!」とわかる場合もあるはずです。


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2019年03月25日

中学数学「1次方程式」方程式の基本的な解き方

中学数学「1次方程式」方程式の基本的な解き方

方程式を解くというのは、「x=●●」の形にして、xの値を求めることです。

方程式は両辺が等しいので、両辺に同じことをして変形することができます。

左辺から2を引いたら、右辺からも2を引く。
左辺に5を足したら、右辺にも5を足す。
左辺を4で割ったら、右辺も4で割る。
左辺に−3を掛けたら、右辺にも−3を掛ける。

などなど。
とにかく、「x=●●の形にする」「両辺に同じことをする」です。


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2019年03月21日

中学数学「三平方の定理」「特別な三角形」「正三角形」

中学数学「三平方の定理」「特別な三角形」「正三角形」

正三角形は3つの角がすべて60°です。

正三角形の一つの頂点から対辺に垂線を引くと、その角の二等分線かつ対辺の垂直二等分線になります。

ここまでは小学校の知識でもわかることです。

このようにして正三角形を2つの三角形に分けると、必然的に、30°60°90°の三角形になります。

これは辺の比が1:2:√3になる「特別な三角形」です。

このことを利用すれば、正三角形は1辺の長さがわかれば、面積などその他の情報もわかることになります。


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2019年03月20日

中学数学「資料の整理」ヒストグラムから平均値を求める

中学数学「資料の整理」ヒストグラムから平均値を求める

平均値を求めたいならば、当然、「平均値=合計÷度数(人数、回数等)」です。
ヒストグラムだからといって特別なことはありません。

ただし、ヒストグラムで表された資料は、実際の値がわからなくなっています。
ではどうやって合計÷度数をやればいいかというと・・・

まず、それぞれの階級の真ん中の値を階級値といい、その階級に属するデータはすべて階級値の値とみなします。

たとえば、20〜30の階級に4つの度数があるとすると、階級値は25なので、25の値が4つある。と考えます。
この階級の合計は、25×4=100です。

同様にして、すべての階級について「階級値×度数」をして、合計を出します。

合計を全体の度数で割れば、それが平均値になります。


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中学数学「相似」相似比と面積比

中学数学「相似」相似比と面積比

「相似な図形の面積比は、相似比の2乗である」と、性質として覚える人も多いと思いますが、どうしてそうなのかできるだけ理解しておくようにしましょう!

面積は、「縦×横」など、長さを2回掛けたものです。

相似な図形の場合、その2回掛ける長さがそれぞれ相似比の比率になります。
たとえば3:2ならば、縦も横も3:2です。
3:2のもの同士を掛けるのだから、掛けた結果は2乗になって、9:4になる。というわけです。

これを応用すれば、体積比は相似比の3乗になる理由もわかりますね?


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中学数学「関数」「三平方の定理」2点間の距離

中学数学「関数」「三平方の定理」2点間の距離

斜めの2点間の距離を求めたいときは、三平方の定理を使います。

その2点を直線で結び、それぞれの点からx軸に平行な線とy軸に平行な線を引いて、直角三角形を作ります。

直角三角形ができれば、三平方の定理が使える。というわけです。

x軸に平行な線とy軸に平行な線の長さは、それぞれ2点の座標の差で求めることができます。
それらが直角を挟む2辺になり、求める2点間の距離が斜辺になります。

公式としては、求める距離をd,2点の座標を(x1,y1),(x2,y2)とすれば、

d=√{(x2−x1)^2+(y2−y1)^2}

となります。


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中学数学「関数」x軸に平行な直線上の2点間の距離

中学数学「関数」x軸に平行な直線上の2点間の距離

中学数学では、2点間の距離は、x軸に平行な直線またはy軸に平行な直線の場合が多いです。

その場合は、座標を引き算するだけで2点間の距離が出ます。

(−1,2)と(3,2)ならば、y座標が等しいので、x座標を引き算して、

3−(−1)=3+1=4

このように2点間の距離が出ます。


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中学数学「平面図形」扇形の弧の長さ

中学数学「平面図形」扇形の弧の長さ

弧とは、扇形の曲線の部分です。
扇形の曲線の部分は、円の一部です。
弧は円の一部だから、円の公式を使えば、弧の長さも計算できる。ということができます。

円周=2πr

ですね。
扇形の中心角をa°とすると、

扇形の弧の長さ=2πr×(a/360)

です。
ぼんやりと公式を見ていると、なにやら難しそうに見えますが、つまりは、「円×a/360」です。

扇形は円の一部だから、円に対する割合を表すa/360を掛けているのですね。


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中学数学「平面図形」扇形の面積

中学数学「平面図形」扇形の面積

当たり前ですが、扇形は、円の一部です。

だから、扇形の面積は円の公式にちょっと手を加えるだけで完成してしまいます。

円の面積=πr^2

ですね。
扇形の中心角をa°とすると、

扇形の面積=πr^2×(a/360)

です。
これは、円の面積に(a/360)を掛けただけです。

中心角が、円に対する割合を表しているので、円の面積に(a/360)をかけるのだ。と理解できます。


具体的な問題例はこちら


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2019年03月19日

中学数学「三平方の定理」直方体の対角線

中学数学「三平方の定理」直方体の対角線

縦横高さがa,b,cの直方体の対角線lは

l=√(a^2+b^2+c^2)

の公式だ!
・・・と言って満足せずに、どうしてそうなるか理解しておきましょう!

まず、直方体の底面を考えます。
その対角線は三平方の定理により、√(a^2+b^2)と表すことができます。

直方体の対角線を斜辺とし、底面の対角線と高さの3辺でできる三角形も直角三角形になります。
直角三角形ならば三平方の定理が成り立つので、

l^2={√(a^2+b^2)}^2+c^2
  =a^2+b^2+c^2

よって、l=√(a^2+b^2+c^2)

となるのですね。


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