2021年09月15日

中学・高校数学(用語)「範囲」「四分位範囲」

中学・高校数学(用語)「範囲」「四分位範囲」

★範囲(range)

データの最大値と最小値の差を範囲という。


★四分位範囲(interquartile range)

第3四分位数と第1四分位数の差を四分位範囲という。
箱ひげ図の「箱」の大きさが四分位範囲に相当する。


新課程では、四分位数・四分位範囲も、中学数学でも出題される可能性があります。
新しく導入された内容は、入試にも出題されやすいので、過去問には登場していなくても、しっかり覚えていきましょう!


データの分析の考え方・解き方の習得に活用してください。好評です!



◆関連項目
平均値分散
データの分析まとめ


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2021年09月10日

中学数学「2次関数」xが−4から−1まで増加するときの変化の割合

中学数学「2次関数」xが−4から−1まで増加するときの変化の割合

◆問題

関数y=2xについて、xが−4から−1まで増加するときの変化の割合を求めよ。


◆解答解説

まず、「変化の割合=yの増加量/xの増加量」です。

そして、xの増加量はxがどれだけ増えたか?で、yの増加量はyがどれだけ増えたか?ですね。
つまり、増加量は座標の差です。

この場合xは「−4から−1まで増加」したので、

−1−(−4)=−1+4=3

3増加しました。

そのときのyの増加量はy座標の差です。

x=−4のときy=2×(−4)=2×16=32
x=−1のときy=2×(−1)=2

つまり、yは32から2まで増加(変化)したので、増加量は2−32=−30です。

「32−2」ではなく「2−32」であることに注意してください。

xが−4から−1まで変化したので、yもそれに対応して変化します。だから、「x=−4のときのyの値からy=−1のときのyの値まで変化した」と考えます。

「変化の割合の式の分子と分母を揃える」と考えても良いです。

まとめると、xの増加量は3,yの増加量は−30だから、

変化の割合=−30/3=−10


◆関連項目
変化の割合
1次関数まとめ、2次関数まとめ(中学)


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2021年09月06日

中学・高校数学(用語)「平均値」「中央値」「最頻値」

中学・高校数学(用語)「平均値」「中央値」「最頻値」

★平均値(average value)

小学校の算数でも登場する平均の値のこと。
合計を人数や個数で割った値。


★中央値(median)

データの順位が真ん中の値。

・データの個数が奇数の時はちょうど真ん中の値そのものが中央値
・データの個数が偶数の時は真ん中に近い2つの平均が中央値

ヒストグラムや度数分布表でデータが表されているときは、その階級値が中央値となる。


★最頻値(mode)

ヒストグラムや度数分布表で表されたデータで、度数が最も多い階級の階級値のこと。


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◆関連項目
四分位数、箱ひげ図、偏差
データの分析まとめ


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2021年08月18日

中学数学(用語)「反比例」

中学数学(用語)「反比例」

xが2倍,3倍,4倍,…となるとき、yが1/2,1/3,1/4…となるような関係の関数を反比例といいます。

式は通常、「y=a/x」の形で表し、グラフは「双曲線」になります。

x,yは座標、aは比例定数です。

y=a/xの両辺にxをかけると、xy=aの形になります。つまり、「x座標とy座標を掛けると比例定数aになる」ということができます。
これは反比例の特徴といえるので、覚えておくと便利な場合もあります。


中2までの範囲では、曲線のグラフはほぼ「反比例」と考えて問題ありません。

中3では「2乗に比例する関数(2次関数)」が、高校では、三角関数、指数関数、対数関数など様々な曲線のグラフになる関数が登場します。



◆関連項目
比例、2次関数
1次関数、比例・反比例まとめ


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2021年08月08日

中学数学「比例・反比例」x座標、y座標がともに整数の点

中学数学「比例・反比例」x座標、y座標がともに整数の点

◆問題

関数y=12/x上の点のうち、x座標とy座標がともに整数の点はいくつあるか求めなさい。ただし、x>0とする。


◆解答解説

問いの意味がわからず止まってしまう人も多いですが、こういう問題こそ「言ってる通りにやればいい」のです。

代入して計算して、「x座標とy座標がともに整数の点」を求めるだけです。

「x>0」という条件があるので、xに1から順に数字を代入していきましょう!

x=1のとき、y=12/1=12
つまり座標は(1,12)だから、「ともに整数」ですね。

x=2のとき、y=12/2=6
座標は(2,6)だから、これも「ともに整数」ですね。

x=3のとき、y=12/3=4
x=4のとき、y=12/4=3
これらも「ともに整数」です。

x=5のとき、y=12/5
y座標は整数ではないようです。

x=6のとき、y=12/6=2
(6,2)だから「ともに整数」ですね。

x=7のとき、y=12/7
x=8のとき、y=12/8=3/2
x=9のとき、y=12/9=4/3
x=10のとき、y=12/10=6/5
x=11のとき、y=12/11
ここまでx=7〜11の場合は、全て分数ですね。

x=12のとき、y=12/12=1
座標は(12,1)だから「ともに整数」です。

x=13以上の場合、y座標は分母の方が大きくなるので整数になるわけがありません。

ということで、ここまでで見つけた、(1,12),(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),(12,1)の合計6個が「x座標、y座標ともに整数の点」です。


1次関数、比例・反比例まとめ


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2021年08月01日

中学数学「平方根」√17の整数部分・小数部分

中学数学「平方根」√17の整数部分・小数部分

◆問題

√17の整数部分をa,小数部分をbとするとき、ab+bを求めよ。


◆解答解説

中学数学の平方根としては、難易度が高い問題です。高校数学でも類似の出題があります。

この場合の「整数部分」とは、√17を小数で表した場合の小数点より上の数字のことです。
4<√17<5なので、√17の整数部分は4です。

そして、小数点以下の部分が「小数部分」です。
小数部分は、√17から整数部分を取り除いた値なので、b=√17−4です。

まとめると、

a=4,b=√17−4

となります。
これさえわかれば、後は代入して計算ですね!

 ab+b
=b(a+b)
=(√17−4)(4+√17−4)
=(√17−4)×√17
=(√17)−4√17
=17−4√17


平方根まとめ(中学)


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2021年07月29日

中学数学「約数」64pの約数の個数

中学数学「約数」64pの約数の個数

◆問題

pを3以上の素数とするとき、64pの約数の個数を求めよ。


◆解答解説

「pの値が決まらなかったら約数の個数なんてわからないじゃないか!」と思う人も多いと思いますが、意外とそうでもありません。「pが3以上の素数」ならば、約数の個数は一つに決まります。

約数は「割りきれる数」だから、「もとの数がどういう数の積でできているか?」が分かれば、約数の個数がわかる。というわけです。

64pの因数は2かpの2種類なので、これら以外の素数で割れる可能性はありません。

だから、2の選び方は何通りか?pの選び方は何通りか?がわかればOKです!

64p=64×p

まず、「64=2」だから、2は最大で6個含むことができます。
2が0個、1個、2個、3個、4個、5個、6個の場合があるので、2の選び方で7通りです。

「pは2でない素数」だから、pは0個か1個で2通りです。

これらは同時に選ぶので、場合の数をかけ算して、

7×2=14

よって、14通りの約数があります。


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2021年07月21日

中学数学「1次関数」点(4,3)を通り、y=2x+1に平行な直線

中学数学「1次関数」点(4,3)を通り、y=2x+1に平行な直線

◆問題

点(4,3)を通り、y=2x+1に平行な直線の式を求めよ。


◆解答解説

まず、1次関数はy=ax+bの形で表されます。aは傾き、bは切片ですね。

そして基本的な性質として、平行な直線は、傾きが等しいです。

y=2x+1の傾きは2なので、求める直線の傾きも2です。つまり、a=2です。

さらに、点(4,3)を通るので、x=4,y=3です。

これらをy=ax+bに代入すると、

3=2×4+b

となります。
ちなみに、平行であることと切片の値は特に関係はないので、bに1を代入したりしてはいけません。

計算してみると、

 3=8+b
−b=8−3
−b=5
 b=−5

これでaとbがわかったので、y=ax+bにそれらの値を代入して完成です!

y=2x−5

これが求める直線の式ですね!


1次関数まとめ


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2021年07月20日

中学数学「1次関数」「比例・反比例」まとめ

中学数学「1次関数」まとめ

中学数学の1次関数、比例・反比例に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

◆ 解説

●比例・反比例

比例

反比例


●1次関数
1次関数とは?

傾きと切片

変化の割合

グラフの描き方


2点を通る直線の式の求め方

平行な直線の条件

y軸上で交わる条件

1次関数と2次関数の交点


◆ 問題

●比例・反比例

x,yがともに整数の点


●1次関数

点(4,3)を通り、y=2x+1に平行な直線

y=2x−1とy=−x+3の交点



◆ 関連項目

2次関数(2乗に比例する関数)


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2021年07月14日

中学数学「平方根」√(16−n)が整数となるとき

中学数学「平方根」√(16−n)が整数となるとき

◆問題

√(16−n)が整数となるようなnの値を全て求めよ。ただし、nは自然数とする。



◆解答解説

ルートの数が整数になるためには、ルートの中身が何かの2乗になればOKです。

16より小さい数の中で、ある数の2乗は、0,1,4,9ですね。

つまり、16−nがこれらの数になる場合を見つければOKというわけです。


16−n=0
  −n=−16
   n=16

16−n=1
  −n=−15
   n=15

16−n=4
  −n=−12
   n=12

16−n=9
  −n=−7
   n=7

ということで、求めるnの値は、7,12,15,16となります。


平方根まとめ


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中学数学「平方根」√(162/n)が整数となるとき

中学数学「平方根」√(162/n)が整数となるとき

◆問題

√(162/n)が整数となるようなnの値を全て求めよ。



◆解答解説

ルートの数が整数になるためには、ルートの中身が何かの2乗になればOKです。

162を素因数分解すると、

162=2×3

ですね。

√(162/n)が整数となるようなnを求めるので、

これをnで割ったとき、その結果が何かの2乗になる場合を探していきます。
約分して、何かの2乗が残るような場合なので・・・

n=2のとき、162/n=162/2=81=9

n=2×3のとき、162/n=2×3/(2×3)=3

n=2×3のとき、162/n=2×3/2×3=1


というわけで、これら3つの場合が求めるnの値となります。


平方根まとめ


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2021年06月10日

中学数学「平方根」「有理数・無理数」1.414は無理数か?

中学数学「平方根」「有理数・無理数」

  有理数とは分数で表せる数
  無理数とは分数で表せない数

です。

たとえば、1,2,3,…などの自然数、−1,−2,−3,…などの負の整数は、全て分母が1の分数に直すことができるので有理数です。
もともと分数の1/2,1/3,1/4,…などももちろん有理数です。
0.1,0.2,0.3,…などの小数も分数に直すことができるので有理数です。

一方、√2,√3,√5などの、ルートを使わないと表せない数は、分数に直すことができないので、無理数です。

√4は、√4=2なので、整数に直せるということは分数にもなり、有理数です。同様に、√9,√16,√25,…も有理数です。


少し意地悪な(?)問いとしては、「1.414は有理数か無理数か?」などがあります。

「1.414って√2だったよね。√2は無理数だから、1.414も無理数」
・・・と答えてしまう人も多いと思いますが、これは間違いです。

√2の近似値を4桁で表すと1.414ですが、正確には√2は1.414ではありません。
√2は、1.41421356…と限りなく続きます。限りなく不規則に続くので分数で表すことができないから√2は無理数です。

1.414という小数は√2の近似値として使われる数ですが、√2ではなく、分数で表すことができます。

1.414=1414/1000=707/500

だから、1.414は有理数です。


同様に、

√3は無理数ですが、1.732は有理数。
πは無理数ですが、3.14は有理数。

となります。

しっかり考えて、意地悪な出題にだまされないようにしましょう!


平方根まとめ


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2021年05月22日

中学数学「平方根」「四則混合」√20(1+√5)÷√8

中学数学「平方根」「四則混合」


平方根に関する基本的な計算方法は平方根まとめなどをご覧ください。
このページでは、四則混合の計算を必要とする問題とその解答を掲載します。


◆問題
次の計算をしてください。

(1) (√2+√3)

(2) √20(1+√5)÷√8


↓基本的な計算練習にお勧めの問題集です↓

平方根はもちろん、展開・因数分解、2次方程式などの練習ができます。

◆解答解説

(1) (√2+√3)

このように、カッコを含む式の場合、普通に展開の公式を使って計算します。

(a+b)=a+2ab+b

なので、

(√2+√3)=√2+2√2×√3+√3
     =2+2√6+3
     =5+2√6


(2) √20(1+√5)÷√8

このように色々ついてる場合は、だいたい、「カッコの中が足せれば足す→かけ算割り算をやる→カッコを外す→足し算引き算をやる」という手順です。

1+√5は足せないので、まずはカッコの外の数を計算すると、

 √20(1+√5)÷√8
=(√20/√8)(1+√5)
=(√5/√2)(1+√5)

先にカッコを外しても良いですが、ここでは先に分母の有理化をしてみます。

=(√10/2)(1+√5)

カッコを外すと、

=√10/2+√50/2
=√10/2+(5/2)√2

答え方はこれでも良いですし、(√2/2)でくくっても良いです。

=(√2/2)(√5+5)


平方根まとめ


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2021年05月21日

中学数学「平方根」まとめ

中学数学「平方根」まとめ

中学数学の平方根に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

◆ 解説

平方根とは?

ルートの値

a√bの形に直す

平方根のかけ算

平方根の割り算

分母の有理化

平方根の足し算引き算(ルートの中身が同じ)

平方根の足し算引き算(ルートの中身が違う)

有理数・無理数


◆ 問題

√6×√42

√2×√10÷√5、√3÷2√6÷√10

(1) (√2+√3)^2,(2) √20(1+√5)÷√8

1.414は無理数か?

√(162/n)が整数になるとき

√(16−n)が整数になるとき

√17の整数部分・小数部分


まだまだ追加していきます!
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2021年04月30日

中学数学「因数分解」おきかえを使うとき

中学数学「因数分解」おきかえを使うとき

◆問題

次の式を因数分解せよ。

(x−3)+3(x−3)−28


このように、かっこの中身が同じ場合は、A=x−3などとおいてみると、因数分解しやすくなります。


解答解説はこのページ下


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)では、高校受験対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は小学校の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。

★★★★★★★★★★

◆解答・解説

A=x−3とおくと、

 (x−3)+3(x−3)−28
=A+4A−28

このように式を書き換えることができます。
こうなれば、普通に「x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)の場合」のやり方で因数分解できますね。

=(A+7)(A−4)

Aをx−3に戻せば、

=(x−3+7)(x−3−4)
=(x+4)(x−7)

これで完成です!


※「おきかえ」を使わない別解は、このページさらに下


◆関連項目
因数分解の手順
+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(x+a)(x−a)=x−a
展開・因数分解まとめ


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◆別解

まずは「おきかえ」を利用して解いてみましたが、そんなことをしなくてもやることもできます。
今回の問題のようにカッコの部分が複数あるときは、それぞれ展開して同類項をまとめてから因数分解してもOKです。

 (x−3)+3(x−3)−28
=x−6x+9+3x−9−28

それぞれのカッコを外すとまずはこうなりますね。
同類項をまとめると、

=x−6x+3x+9−9−28
=x−3x−28

普通の2次式になったので、普通に因数分解すると、

=(x+4)(x−7)

もちろん、先ほどと同じ答えになりました!
ラベル:数学
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2021年04月29日

中学数学「展開」「因数分解」まとめ

中学数学「展開」「因数分解」まとめ

中学数学の展開・因数分解に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

◆ 解説

展開と因数分解

因数分解の基本的な手順

公式 (x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab

公式 (x+a)(x−a)=x−a

公式 (a+b)=a+2ab+b


◆ 問題

共通因数をくくる場合

+ax+bの形

2乗引く2乗の場合

xの2乗の項に係数がある場合

おきかえを使う場合


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中学数学「展開」「因数分解」(a+b)=a+2ab+b

中学数学「展開」「因数分解」(a+b)=a+2ab+b


中学数学では、基本的に以下の公式が使えれば大丈夫です。

★ 展開・・・(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
★ 因数分解・・・x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

★ 展開・・・(x+a)(x−a)=x−a
★ 因数分解・・・x−a=(x+a)(x−a)

★ 展開・・・(a+b)=a+2ab+b
★ 因数分解・・・a+2ab+b=(a+b)


◆◆ カッコの2乗の展開・因数分解 ◆◆

この記事では、これらの展開・因数分解の公式のうち、「カッコの2乗」のパターンの公式を取り上げます。

★ 展開・・・(a+b)=a+2ab+b
★ 因数分解・・・a+2ab+b=(a+b)


◆◆ 真ん中は掛けて2倍 ◆◆

展開はカッコを外すので、公式を使わなくても分配法則で何とかなりますし、

「2乗は同じ数を2回掛ける」ので、(a+b)=(a+b)(a+b)と考えて、普通に展開しても全く問題ありません。

でもやはり、この場合の特別な公式として扱えた方が速いし、確実なので、この公式も使えるに越したことはありません。

★ 展開・・・(a+b)=a+2ab+b

「最初と最後は2乗」「真ん中は掛けて2倍」と考えるとわかりやすいと思います。


◆◆ 最初と最後は2乗、真ん中は掛けて2倍 ◆◆

このパターンの因数分解は、中学では公式を使うと考えないと厳しいと思います。最初の数にも係数がついていることも多く、その場合は、普通の「掛けてb,足してa」に当てはまらないからです。

★ 因数分解・・・a+2ab+b=(a+b)

やはり展開の逆なので、「最初と最後が何かの2乗」「真ん中は掛けて2倍」と考えます。
このような数字の組み合わせになっているときは、カッコの2乗の公式に従って因数分解します。

中学数学の因数分解で、xの2乗に係数がついてる場合は、この「カッコの2乗」の他には、「2乗引く2乗」や「共通因数でくくる場合」があります。数字の組み合わせをしっかり考えて、どのパターンになるか判断できるようにしましょう!


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)では、高校受験対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は小学校の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。

★★★★★★★★★★


◆関連項目
因数分解の手順
+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(x+a)(x−a)=x−a
展開・因数分解まとめ


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2021年04月28日

中学数学「展開」「因数分解」(x+a)(x−a)=x−a

中学数学「展開」「因数分解」(x+a)(x−a)=x−a


中学数学では、基本的に以下の公式が使えれば大丈夫です。

★ 展開・・・(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
★ 因数分解・・・x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

★ 展開・・・(x+a)(x−a)=x−a
★ 因数分解・・・x−a=(x+a)(x−a)

★ 展開・・・(a+b)=a+2ab+b
★ 因数分解・・・a+2ab+b=(a+b)


◆◆ 2乗引く2乗の展開・因数分解 ◆◆

この記事では、これらの展開・因数分解の公式のうち、「2乗引く2乗」のパターンの公式を取り上げます。

★ 展開・・・(x+a)(x−a)=x−a
★ 因数分解・・・x−a=(x+a)(x−a)


◆◆ 数字は同じで符号だけ違うならこのパターン ◆◆

まずは展開の場合について考えます。

(x+a)(x+b)のときと同じく「足したらxの係数、掛けたら定数項」と考えてみると、

(x+a)(x−a)=x+(a−a)x+a×(−a)
       =x+0x−a
       =x−a

aと−aだから、足したらゼロ、掛けたら−aですよね。
このように、数字の部分が同じで符号だけ違う場合に、このパターンになります。

この場合の特別な公式と考えなくても、展開は全く問題なくできる人が多いと思います。
でも、公式で一発でできた方が速いし楽ですし、因数分解をするためには公式としてわかっていないとツラいです。


★ 展開・・・(x+a)(x−a)=x−a


◆◆ 2乗引く2乗ならこのパターン ◆◆

そして、この逆が因数分解です。

何かの2乗から何かの2乗を引いている形になっているときは、

★ 因数分解・・・x−a=(x+a)(x−a)

このように因数分解することができます。

普通の「掛けてa,足してb」のパターンに慣れてくると、このパターンの場合に「項が2つしかない!やばい!わかんない!」となってしまう人が多いです。項が2つしかない場合の因数分解は、中学ではほとんどこの「2乗引く2乗」になります。わからなくなったときは、「もしかして、これって何かの2乗かな?」と考えてみると解決するかも?


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◆関連項目
因数分解の手順
+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(a+b)=a+2ab+b
展開・因数分解まとめ


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中学数学「展開」「因数分解」(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab

中学数学「展開」「因数分解」(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab


中学数学では、基本的に以下の公式が使えれば大丈夫です。

★ 展開・・・(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
★ 因数分解・・・x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

★ 展開・・・(x+a)(x−a)=x−a
★ 因数分解・・・x−a=(x+a)(x−a)

★ 展開・・・(a+b)=a+2ab+b
★ 因数分解・・・a+2ab+b=(a+b)


◆◆ 一番ノーマルなタイプの展開・因数分解 ◆◆

この記事では、これらの展開・因数分解の公式のうち、最もよく使う「掛けていくつ、足していくつ」のパターンの公式を取り上げます。

★ 展開・・・(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
★ 因数分解・・・x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)


◆◆ 足したらxの係数、掛けたら定数項 ◆◆

展開は要するに、分配法則です。
カッコの外に数字がついている場合、その数字をカッコの中の数全てに掛ける。という法則ですね。

展開の公式について、その考えを当てはめると、

「(x+b)というカッコに(x+a)という数がついてるので、カッコの中のxとbの両方に(x+a)をかける」
「xに(x+a)を掛けると(x+ax)、bに(x+a)を掛けると(bx+ab)」
「まとめて整理すると、x+(a+b)x+ab」

このように、分配法則に従って計算すれば、公式と全く同じ結果が得られます。
でもちょっとだけめんどくさいですね。
公式を使えば、この手間が少し省ける。というわけです。

展開の公式を使ったと考えると、「2つの数a,bを足したらxの係数、掛けたら定数項」と考えれば良いです。改めてこのタイプの展開の公式を見直してください。

★ 展開・・・(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab

左辺と右辺で、a,bの位置がどこにあるのか、できるだけ納得しておきましょう!


◆◆ 掛けたら定数項、足したらxの係数 ◆◆

そして、この逆が因数分解です。
展開した式から元に戻すのが因数分解なので、

「掛けたら定数項、足したらxの係数」になるような2つの数a,bを考えます。

このとき、「掛けたら定数項」の方を先に考えると、可能性が限定されるので数を探しやすくなります。

★ 因数分解・・・x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

因数分解した式は、展開してカッコをはずせば必ず元に戻ります。
普段から元に戻るかどうか確認するようにしておくと、ミスが減りますよ!
慣れれば誰でも一瞬でわかるので、いつもやるように心がけるのをオススメします。


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◆関連項目
因数分解の手順
(x+a)(x−a)=x−a
(a+b)=a+2ab+b
展開・因数分解まとめ


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ラベル:数学
posted by えま at 15:00| Comment(0) | 中学数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

中学数学「展開と因数分解の関係」

中学数学「展開と因数分解の関係」

式の計算において、

★カッコを外すことが「展開」
★展開の逆が「因数分解」

ということができます。

例えば、

(x+1)(x+2)という式のカッコを外して、x+2x+x+2=x+3x+2とするのが展開です。

そして、これを逆にして、

+3x+2=(x+1)(x+2)と、カッコのある式に戻すことが因数分解です。


展開と因数分解はちょうど逆の関係なので、必ず元に戻せます。
つまり、

・展開した式を因数分解すると元に戻る
・因数分解した式を展開すると元に戻る

というわけです。

「元に戻るように変形するのが展開・因数分解」

と言ってもよいです。
元に戻るように変形すると、自ずと一定のパターンに当てはまってしまうので、それを「公式」として扱っています。


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中学数学では、基本的に以下の公式が使えれば大丈夫です。
詳しくは別の記事で解説します。


★ 展開・・・(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab
★ 因数分解・・・x+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

★ 展開・・・(x+a)(x−a)=x−a
★ 因数分解・・・x−a=(x+a)(x−a)

★ 展開・・・(a+b)=a+2ab+b
★ 因数分解・・・a+2ab+b=(a+b)


◆関連項目
因数分解の手順
+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
(x+a)(x−a)=x−a
(a+b)=a+2ab+b
展開・因数分解まとめ


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