2025年07月12日

中学数学「数と式」かけて2乗になるとき

中学数学「数と式」かけて2乗になるとき

■問題

90にある自然数nをかけると、aの2乗になるという。
このようなnとaの値を求めよ。


■解答解説

このように、「ある数の2乗」を考えるときは、素因数分解を活用するとよいです。
素因数分解をしてみると、

 2)90
 ーーーー
 3)45
 ーーーー
 3)15
 ーーーー
    5

このようになりますね。つまり、「90=2×32×5」です。

ある数の2乗ならば、このように素因数分解した場合のそれぞれの数の指数は2などの偶数になるはずです。

90=2×32×5の素因数のうち、3はすでに2乗になっているので、残りの2と5を2乗にします。

つまり、かける数は、「n=2×5=10」です。

10をかけると、90×10=900ですね。これは30の2乗です。
ということは、a=30となります。

よって求める解は、n=10,a=30です!


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2025年07月08日

中学数学「数と式」素数・素因数分解

中学数学「数と式」素数・素因数分解

★素数(prime number)

素数とは約数が2個だけの数のことで、要するに、その数自身と1でしか割り切れない数です。
0や1は素数には含めません。

たとえば20以下の素数を書いてみると、

2,3,5,7,11,13,17,19

です。


★素因数分解(factorization into prime factors)

・ある数を素数の積の形で表すこと。

たとえば、63を素因数分解してみましょう。
63を小さい方から順に素数で割っていきます。

3)63
ーーーーー
3)21
ーーーーー
   7

割った結果、素数が出てきたらおしまいです。

3が2個、7が1個出てきたので、これらを積の形で表します。

63=32×7


中学1年の段階では、これができて何に役立つかわからないと思いますが、中3の平方根などで役立ちます。
できるだけ早いうちにマスターしておくとよいでしょう!


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2025年04月04日

中学数学「2次関数」y=ax2のグラフがAB=OBとなるときB

中学数学「2次関数」y=ax2のグラフがAB=OBとなるときB

◆問題

原点をOとする座標平面上の2次関数y=ax2のグラフは点A(4,2)を通っている。y軸上に点BをAB=OBとなるようにとる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Bの座標を求めよ。

(2) ∠OBAの二等分線の式を求めよ。

(3) y=ax2上に点Cをとり、ひし形OCADをつくる。点Cのx座標をtとするとき、tの値を求めよ。




なお、今回の問題は中学レベルとしてはとても難しいです。
自信がない人は、中学数学2次関数まとめなどで、まずは基本問題の復習をしましょう!




◆解答解説

ひし形OCADなので、O→C→A→D→Oの順に1周するように4つの点が並びます。
ということは、CはOとAの間になければいけません。

また、ひし形は4つの辺が全て等しい四角形だから、OC=OAです。

ということは、△OCAと△ADOは二等辺三角形になります。

(2)で、∠OBAの二等分線を考えましたが、これはOAの垂直二等分線でもあるので、ひし形OCADの対角線と重なります。

つまり、C,Dはこの∠OBAの二等分線上にある。ということができます。
線上にある点の座標は代入できるので、(2)で求めた式y=−2x+5に、点Cの座標を代入できる。と考えられます。

Cのx座標はtで、(1)よりa=1/8だから、y=(1/8)t2ですね。
つまりC(t,(1/8)t2)です。
これをy=−2x+5に代入して、

(1/8)t2=−2t+5

2次方程式ができたので、あとは解きます!

2=−16t+40
2+16t−40=0
t=[−16±√{162−4・1・(−40)}]/2
 ={−16±√(256+160)/2
 =(−16±√416)/2
 =(−16±4√26)/2
 =−8±2√26

CはOとAの間だから、0<t<4なので、t=−8+2√26


(1)に戻る→点Bの座標




中学数学2次関数まとめ


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2025年04月03日

中学数学「2次関数」y=ax2のグラフがAB=OBとなるときA

中学数学「2次関数」y=ax2のグラフがAB=OBとなるときA

◆問題

原点をOとする座標平面上の2次関数y=ax2のグラフは点A(4,2)を通っている。y軸上に点BをAB=OBとなるようにとる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Bの座標を求めよ。

(2) ∠OBAの二等分線の式を求めよ。



なお、今回の問題は中学レベルとしてはとても難しいです。
自信がない人は、中学数学2次関数まとめなどで、まずは基本問題の復習をしましょう!




◆解答解説

まず△OBAに注目すると、AB=OBの二等辺三角形ですね。
∠OBAは二等辺三角形の頂角です。

「二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する」

という性質があります。
つまり、∠OBAの二等分線は、OAの中点を通る。というわけです。

O(0,0),A(4,2)だから、これらの中点は、(2,1)です。

ということは、求める直線は、(0,5)と(2,1)通ることになります。
あとは、普通に直線の式を求めればOKですね!(0,5)は切片b=5だから、

y=ax+bに、(2,1),b=5を代入すると、
  1=2a+5
−2a=5−1
−2a=4
  a=−2

よって∠OBAの二等分線の式は、y=−2x+5


次の問題→ひし形OCADについて




中学数学2次関数まとめ


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中学数学「2次関数」y=ax2のグラフがAB=OBとなるとき@

中学数学「2次関数」y=ax2のグラフがAB=OBとなるとき@

◆問題

原点をOとする座標平面上の2次関数y=ax2のグラフは点A(4,2)を通っている。y軸上に点BをAB=OBとなるようにとる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Bの座標を求めよ。



なお、今回の問題は中学レベルとしてはとても難しいです。
自信がない人は、中学数学2次関数まとめなどで、まずは基本問題の復習をしましょう!




◆解答解説

まず、y=ax2のaを求めておきましょう!
この関数のグラフが、(4,2)を通るのだから、この座標を代入することができます。

2=a×42
2=16a
a=2/16=1/8

点Bはy軸上の点なので、x=0だから(0,y)とおきます。

AB=OBという条件なので、その通りに式を立てます。

ABの長さは三平方の定理の応用の「2点間の距離」で求めることができます。
ABを斜辺とする直角三角形を考えると、縦はy−2,横は4だから、

AB2=(y−2)2+42
  =y2−4y+4+16
  =y2−4y+20

そして、OB=yです。

AB=OBだから、AB2=OB2ですね。
ということで、

2−4y+20=y2

こんな式ができます。あとは解いてみましょう!

−4y+20=0
   −4y=−20
     y=5

よって、求める点Bの座標は、(0,5)となります。


次の問題→∠OBAの二等分線の式






中学数学2次関数まとめ


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2025年03月27日

中学・高校数学「平面図形の性質」円周角

中学・高校数学「平面図形の性質」円周角

★円周角(angle of circumference)

円周角1.jpg

1つの円で等しい弧に対する円周角は等しい。同じ弧に対する円周角は中心角の半分である。


この図で言えば、∠APBと∠AQBは弧ABに対する円周角なので、等しい。ということができます。
P,Qの位置に限らず、頂点が円周上を動くならどこでも同じ大きさになる。ということも理解しておきましょう!


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◆関連項目
図形の性質まとめ
三角比まとめ
中学の図形

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2025年03月23日

中学・高校数学「平面図形の性質」三角形の重心

中学・高校数学「平面図形の性質」三角形の重心

★重心(center of gravity)

重心.jpg

三角形の3本の中線は1点で交わる。その交点はそれぞれの中線を2:1に内分する。


D,E,FはそれぞれBC,CA,ABの中点ですね。
頂点とその対辺の中点を結ぶと1点で交わり、その交点を重心という。という見方もできます。


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◆関連項目
図形の性質まとめ
座標平面上の重心
物理における重心


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2025年03月22日

中学・高校数学「平面図形の性質」接線の性質を使って角度を求める問題@

中学・高校数学「平面図形の性質」接線の性質を使って角度を求める問題@

◆問題

下の図において、角θを求めよ。ただし、AS,ATは接線、S,Tは接点とする。

接線2.png


↓解答解説はこのページ下↓


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◆解答解説

このままでは角度のわからない部分が多すぎるので、この円の中心Oを書き込み、OS,OTを引いてみます。

接線2 (1).png

すると、円と接線の性質より、∠OSA=∠OTA=90°ですね。
さらに、円周角の定理より、∠SOT=2・∠SPT=2×76°=152°となります。

四角形ASOTに注目すれば、4つの角のうちすでに3つがわかっているので、残り1つのθを求めることができます!

θ=360°−90°×2−152°
 =180°−152°
 =28°






◆関連項目
円と接線の性質
図形の性質まとめ


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2025年03月02日

中学数学「2次方程式」針金を折り曲げて長方形を作るA

中学数学「2次方程式」針金を折り曲げて長方形を作るA


◆問題 

長さが18cmの針金を折り曲げて長方形を作ると、18cm2になった。この長方形の対角線の長さを求めよ。



「そもそも基本的な2次方程式の解き方がわからないよ!」という人は、まずは「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」を見てください。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

まずは、@と同様に考えると、

周の長さが18cmだから、縦2本+横2本=18cmです。
つまり、縦と横1本ずつの合計は9cmですね。

ならば、縦をxcmとすると、横は(9−x)cmになります。

今回の問題では、面積が18cm2だから、「縦×横=18」で式を作ります。

x(9−x)=18
9x−x2=18
−x2+9x−18=0
2−9x+18=0
(x−3)(x−6)=0
x=3,6

つまり、隣り合う2辺の長さが3cmと6cmです。
対角線は、これらの2辺を使ってできる直角三角形の斜辺だから、
対角線の長さをlとすると、

2=32+62
2=9+36
2=45
l=√45
l=3√5

というわけで、求める対角線の長さは3√5cmです!


◆関連項目
2次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」

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中学数学「2次方程式」針金を折り曲げて長方形を作る@

中学数学「2次方程式」針金を折り曲げて長方形を作る@


◆問題 

長さが24cmの針金を折り曲げて長方形を作ると、対角線の長さが4√5cmになった。このとき、この長方形の辺の長さを求めよ。



「そもそも基本的な2次方程式の解き方がわからないよ!」という人は、まずは「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」を見てください。


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◆解答解説

24cmの針金を折り曲げて長方形を作るなら、その長方形の周の長さが24cmですね。

ということは、縦×2+横×2で24cmになります。
一周して24cmだから、縦が2本、横が2本ですね。
つまり、縦1本と横1本の合計は、その半分の12cmになります。

ならば、縦をxcmとすると、横は(12−x)cmになります。

今回の問題では、対角線の長さが4√5だから、三平方の定理の式を立てます。

2+(12−x)2=(4√5)2

ですね!
長方形は4つの角が直角だから、対角線を引くと直角三角形になります。
だから、三平方の定理が成り立つ。というわけです。
あとは計算です!

2+144−24x+x2=80
2x2−24x+64=0
2−12x+32=0
(x−4)(x−8)=0

よって、長方形の辺の長さは4cmと8cmになります。


◆関連項目
2次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」

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2025年02月17日

中学数学「平方根」√(72n/7)が整数となるとき

中学数学「平方根」√(72n/7)が整数となるとき

◆問題

√(72n/7)が整数となるような自然数nの値の最小値を求めよ。



◆解答解説

ルートの数が整数になるためには、ルートの中身が何かの2乗になればOKです。

まず、72を素因数分解すると、

72=23×32

ですね。

何かの2乗になるには、これに2をかけて、

4×32=(22×3)2

とすればOKです。

分母の7も消したいので、7もかけます。

つまり、n=2×7=14ですね!

最小の自然数nを求めるので、n=14が答えとなります。


平方根まとめ


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2025年02月02日

中学数学「連立方程式」2種類の箱A,Bがそれぞれ何箱かあり、箱Aに2個ずつ…

中学数学「連立方程式」2種類の箱A,Bがそれぞれ何箱かあり、箱Aに2個ずつ…

◆問題

2種類の箱A,Bがそれぞれ何箱かあり、全ての箱にメロンを入れる。箱Aに2個ずつ、箱Bに3個ずつ入れるとメロンが5個余る。箱Aに3個ずつ、箱Bに2個ずつ入れるとちょうど入れることができる。また、箱Aの個数は箱Bの個数の2倍である。
このとき、箱の個数を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓

※この記事では、連立方程式にして解いてみます。

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◆解答解説

文章題では、基本的に、聞いているものをxでおきます。

この問題では「箱Aの個数」を聞いているので、箱Aの個数をxでおきます。
AはBの2倍ということは、BはAの半分なので、箱Bの個数は(1/2)x個ですね。

さらに、メロンの個数もわかっていないので、メロンの個数をy個としてみます。

あとは問題の条件に従って、メロンの個数についての式を表していきます。

「箱Aに2個ずつ、箱Bに3個ずつ入れるとメロンが5個余り」とあるので、

 2x+3×(1/2)x=y−5
(4/2)x+(3/2)x=y−5
     (7/2)x=y−5 ・・・@

まずはひとつ式ができました。

「箱Aに3個ずつ、箱Bに2個ずつ入れるとちょうど入れることができる」とあるので、

3x+2×(1/2)x=y
  3x+x=y
    4x=y ・・・A

これら2つの式を連立して解けば、箱Aの個数(と箱Bの個数、メロンの個数)がわかります。

Aを@に代入して、

(7/2)x=4x−5
(7/2)x−4x=−5
(7/2)x−(8/2)x=−5
−(1/2)x=−5
x=10


この時点で箱Aの個数はわかりましたが、一応yも出してみると、

4×10=y
  y=40

というわけで、箱Aの個数は10個ですね!


ついでに、箱Bは5個、メロンは40個です。
余裕があれば、こうして他の数値も求めてみると、ミスが防げる場合があります。


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2025年01月29日

中学数学「確率」サイコロの出目の積が16の約数になる

中学数学「確率」サイコロの出目の積が16の約数になる

◆問題

1から6までの目のある1個のさいころを2回投げる。1回目の出目をa,2回目の出目をbとする。
このとき、abの値が16の約数となる確率を求めよ。


↓解答解説はこのページ下↓


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◆解答解説

中学の数学では確率は、サイコロ2個程度の場合の数になることが多いです。

サイコロ2個の場合は6マス×6マスの表を描いて該当する枠に○を入れる。という方法が確実だと思います。









 


こんなふうにして、それぞれの枠が条件に合うかどうかをチェックして、該当すれば○を入れていきます。
今回はかけ算の値について考えるので、それぞれの枠にかけ算の結果を書き込んでみます。









 
1012
121518
12162024
1015202530
1218243036


さらに、16の約数1,2,4,8,16のところを○で囲んでみると、









 
@AC
ACG1012
121518
CG12O2024
1015202530
1218243036


○がついたのは9個ですね。

というわけで、求める確率は9/36=1/4


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2025年01月27日

中学数学「2次関数」正方形ABCDの内部および辺上にあり、x座標、y座標がともに整数である点

中学数学「2次関数」正方形ABCDの内部および辺上にあり、x座標、y座標がともに整数である点

◆問題

座標平面上に、関数y=x2のグラフと1辺の長さが16の正方形ABCDがある。B,Cはx軸上の点でx座標はそれぞれ−8,8、A,Dのy座標はともに正の数である。

このとき、y=x2のグラフ上にある点のうち、正方形ABCDの内部および辺上にあり、x座標、y座標がともに整数である点の個数を求めよ。


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◆解答解説

y=x2上で、x,yがともに整数の点を求める問題です。

適当な値を代入して座標を求めて、それが正方形の内部にあるかどうかを一つ一つ調べていけば、もちろんそのうち解答は出ますが、もっと簡単に素早く解くこともできます。

正方形の中または辺上でのyの最大値はy=16だから、xは最大で4,最小で−4ですね。

y=x2だから、xが整数ならyも整数です。

そして正方形の辺上はOKだから、条件を満たすxの値は−4から4です。

ゼロも整数なので、忘れずにカウントするとこの範囲の整数は9個です。
つまり、求める点の個数は9個です。


これで素早く簡単に答えを出すことができますが、様々な座標を計算して求める。という経験も大切なので、練習の段階では、全部座標を求めることも、ぜひやってみましょう!


中学数学2次関数まとめ


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2025年01月16日

中学数学「2次関数」y=(1/2)x2と△AOPA

中学数学「2次関数」y=(1/2)x2と△AOPA

◆問題

座標平面上に曲線y=(1/2)x2のグラフがあり、この曲線上に点Aと点Pがある。
点AとPのx座標をそれぞれ−2,pとする。
2点A,Pを通る直線lを引き、△AOPをつくる。
このとき、次の問いに答えよ。

(1) p=4のとき、直線lの式を求めよ。

(2) △AOPの面積が24になるときのpの値を求めよ。ただし、p>0とする。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

(2)では新たな条件となっています。だから、(1)のp=4やy=x+4は使うことができないことに注意しましょう!
改めてわかっていることを確認してみると、

曲線の式はy=(1/2)x2
座標は、A(−2,2),P(p,(1/2)p2)

です。
この条件で、(2)では△AOP=24が与えられています。

面積がわかっているので、面積の式を作って、イコール24で方程式を解けばOKですね!

いくつか解ける方法はありますが、考え方が最も単純な、△AOPの頂点を通る長方形を作って、周りの三角形を引く。方法でやっていきます。

まず長方形は、横がp−(−2)=p+2、縦は(1/2)p2だから、
面積は(1/2)p2(p+2)=(1/2)p3+p2です。
3次式になってしまいましたが、今のところは気にせず、どんどん表します。

まわりの三角形をひとつひとつ表していきます。
左下の三角形は、底辺2,高さ2で、面積=(1/2)×2×2=2

右下の三角形は、底辺p,高さ(1/2)p2だから、
面積は(1/2)×p×(1/2)p3=(1/4)p3

直線lの上側の三角形は、底辺p+2,高さ(1/2)p2−2で、
面積は(1/2)×(p+2)×{(1/2)p2−2}=(1/4)(p+2)(p2−4)=(1/4)p3+(1/2)p2−p−2

長方形からこれらの三角形を引けば△AOPです。

 △AOP
=(1/2)p3+p2−{2+(1/4)p3+(1/4)p3+(1/2)p2−p−2}
=(1/2)p3+p2−{(1/2)p3+(1/2)p2−p}
=(1/2)p3+p2−(1/2)p3−(1/2)p2+p
=(1/2)p2+p

これが△AOPをpで表した値で、イコール24になります。
方程式を解いていきましょう!

(1/2)p2+p=24
2+2p=48
2+4p−48=0
p={−4±√(16+192)}/2
 =(−4±√208)/2
 =(−4±4√13)/2
 =−2±2√13

p>0なので、p=−2+2√13


(1)に戻る→直線lの式


中学数学2次関数まとめ


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中学数学「2次関数」y=(1/2)x2と△AOP@

中学数学「2次関数」y=(1/2)x2と△AOP@

◆問題

座標平面上に曲線y=(1/2)x2のグラフがあり、この曲線上に点Aと点Pがある。
点AとPのx座標をそれぞれ−2,pとする。
2点A,Pを通る直線lを引き、△AOPをつくる。
このとき、次の問いに答えよ。

(1) p=4のとき、直線lの式を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

関数の問題では、まずはとにかく出る座標を出した方がよいです。
x座標が数字でわかっている場合はもちろん、文字で与えられている場合でも、x座標が決まればy座標もその文字で表すことができます。
というわけで、早速A,Pの座標を求めていきましょう!

点Aはx=−2だから、y=(1/2)×(−2)2=(1/2)×4=2
よって、A(−2,2)

点Aはx=pだから、y=(1/2)p2
そして、(1)では、p=4なので、代入すると、
y=(1/2)×42=(1/2)×16=8
よって、P(4,8)

2点の座標がわかれば、y=ax+bに代入して連立方程式ですね!

2=−2a+b・・・@
8=4a+b ・・・A

A−@より、6=6aだから、a=1

@にa=1を代入して、

2=−2+b
b=4

よって、求める直線の式は、y=x+4


次の問題→△AOPの面積が24になるとき


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2024年12月28日

中学数学「2次方程式」連続する3つの自然数がある。最も大きい数と最も小さい数の積から…

中学数学「2次方程式」連続する3つの自然数がある。最も大きい数と最も小さい数の積から…


◆問題 

連続する3つの自然数がある。最も大きい数と最も小さい数の積から、中央の数を引くと、その差は55になった。
中央の数をxとして方程式を作り、これら3つの自然数を求めよ。


「そもそも基本的な2次方程式の解き方がわからないよ!」という人は、まずは「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」を見てください。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

問題の指示に「中央の数をxとして」とあるので、その通りにやっていきます。

「連続する3つの自然数」だから、「最も小さい数」はxより1小さいので、x−1です。
「最も大きい数は」xより1大きいので、x+1ですね。

つまり、3つの数は、x−1,x,x+1です。

あとは、問題文の通りに式を立てて計算です。

「最も大きい数と最も小さい数の積から、中央の数を引くと、その差は55になった。」

この通りに式を立てると、

(x+1)(x−1)−x=55

ですね!
2次方程式になったので、普通に解きます。

2−1−x=55
2−x−56=0
(x+7)(x−8)=0
よって、x=−7,8

xは自然数だから、x=−7は不適。

というわけでx=8がこの問題に適した解となります。
よって「3つの自然数」は

7,8,9


◆関連項目
2次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」

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2024年12月22日

中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題B

中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題B

■問題

図の正四角錐で、OA=4cm,AB=√6cmとする。

正四角錐OABCD.png

(1) 底面の対角線ACの長さを求めよ。

(2) 正四角錐OABCDの高さと体積を求めよ。

(3) 正四角錐OABCDの表面積を求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下↓

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■解答

表面積を求めるときは、展開図を考えて全ての面の合計を計算します。

まず、底面は正方形で、6cm2ですね。

側面は4つの面が合同な二等辺三角形で、4,4,√6の3辺です。
ここから高さを求めて面積を計算します。

二等辺三角形の底辺の中点と頂角を結ぶと、底辺と垂直に交わるので、直角三角形ができます。
そして三平方の定理を使う。という流れです。
底辺の半分は√6/2cmで、求める高さをxcmとすると、

2+(√6/2)2=42
2+6/4=16
2=16−3/2
2=32/2−3/2=29/2
x=√29/√2=√58/2

よって、側面の二等辺三角形1つの面積は、

 (1/2)×√6×√58/2
=√348/4
=2√87/4
=√87/2

これが4つあるので、4倍して、(√87/2)×4=2√87

表面積は全ての面の合計だから、

(2√87+36)cm2


この問題の最初に戻る→底面の対角線ACの長さ


図形まとめ(中学)


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2024年12月21日

中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題A

中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題A

■問題

図の正四角錐で、OA=4cm,AB=√6cmとする。

正四角錐OABCD.png

(1) 底面の対角線ACの長さを求めよ。

(2) 正四角錐の高さと体積を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓

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■解答

(1)で対角線AC=2√3cmを求めました。

Oから底面に垂線を引き、その足をHとすると、OHはACの中点を通ります。
つまり、AH=√3です。

△OAHについてOH=xとして三平方の定理の式を作ると、

2+√32=42
2+3=16
2=13
x=√13

つまり、高さは√13cmです。

四角錐の体積は、「底面積×高さ×1/3」だから、

√62×√13×1/3=2√13

というわけで、求める四角錐の体積は2√13cm3です。


次の問題→正四角錐の表面積


図形まとめ(中学)


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中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題@

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■問題

図の正四角錐で、OA=4cm,AB=√6cmとする。

正四角錐OABCD.png

(1) 底面の対角線ACの長さを求めよ。


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■解答

底面は正方形なので、△ABCは直角二等辺三角形です。

ということは、45°45°90°の直角三角形だから、辺の長さの比は1:1:√2ですね。

AC=xとすると、

1:√2=√6:x
  x=√12
  x=2√3

よって、AC=2√3cmです。


次の問題→正四角錐の高さと体積


図形まとめ(中学)


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