中学数学「数と式」かけて２乗になるとき

中学数学「数と式」かけて２乗になるとき

■問題

９０にある自然数ｎをかけると、ａの２乗になるという。
このようなｎとａの値を求めよ。


■解答解説

このように、「ある数の２乗」を考えるときは、素因数分解を活用するとよいです。
素因数分解をしてみると、

　２）９０
　ーーーー
　３）４５
　ーーーー
　３）１５
　ーーーー
　　　　５

このようになりますね。つまり、「９０＝２×３²×５」です。

ある数の２乗ならば、このように素因数分解した場合のそれぞれの数の指数は２などの偶数になるはずです。

９０＝２×３²×５の素因数のうち、３はすでに２乗になっているので、残りの２と５を２乗にします。

つまり、かける数は、「ｎ＝２×５＝１０」です。

１０をかけると、９０×１０＝９００ですね。これは３０の２乗です。
ということは、ａ＝３０となります。

よって求める解は、ｎ＝１０，ａ＝３０です！


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中学数学「数と式」素数・素因数分解

中学数学「数と式」素数・素因数分解

★素数(prime number)

素数とは約数が２個だけの数のことで、要するに、その数自身と１でしか割り切れない数です。
０や１は素数には含めません。

たとえば２０以下の素数を書いてみると、

２，３，５，７，１１，１３，１７，１９

です。


★素因数分解(factorization into prime factors)

・ある数を素数の積の形で表すこと。

たとえば、６３を素因数分解してみましょう。
６３を小さい方から順に素数で割っていきます。

３）６３
ーーーーー
３）２１
ーーーーー
　　　７

割った結果、素数が出てきたらおしまいです。

３が２個、７が１個出てきたので、これらを積の形で表します。

６３＝３²×７


中学１年の段階では、これができて何に役立つかわからないと思いますが、中３の平方根などで役立ちます。
できるだけ早いうちにマスターしておくとよいでしょう！


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中学数学「２次関数」ｙ＝ａｘ2のグラフがＡＢ＝ＯＢとなるとき�B

中学数学「２次関数」ｙ＝ａｘ²のグラフがＡＢ＝ＯＢとなるとき�B

◆問題

原点をＯとする座標平面上の２次関数ｙ＝ａｘ²のグラフは点Ａ(４，２)を通っている。ｙ軸上に点ＢをＡＢ＝ＯＢとなるようにとる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Ｂの座標を求めよ。

(2) ∠ＯＢＡの二等分線の式を求めよ。

(3) ｙ＝ａｘ²上に点Ｃをとり、ひし形ＯＣＡＤをつくる。点Ｃのｘ座標をｔとするとき、ｔの値を求めよ。

---

なお、今回の問題は中学レベルとしてはとても難しいです。
自信がない人は、中学数学２次関数まとめなどで、まずは基本問題の復習をしましょう！

---

◆解答解説

ひし形ＯＣＡＤなので、Ｏ→Ｃ→Ａ→Ｄ→Ｏの順に１周するように４つの点が並びます。
ということは、ＣはＯとＡの間になければいけません。

また、ひし形は４つの辺が全て等しい四角形だから、ＯＣ＝ＯＡです。

ということは、△ＯＣＡと△ＡＤＯは二等辺三角形になります。

(2)で、∠ＯＢＡの二等分線を考えましたが、これはＯＡの垂直二等分線でもあるので、ひし形ＯＣＡＤの対角線と重なります。

つまり、Ｃ，Ｄはこの∠ＯＢＡの二等分線上にある。ということができます。
線上にある点の座標は代入できるので、(2)で求めた式ｙ＝−２ｘ＋５に、点Ｃの座標を代入できる。と考えられます。

Ｃのｘ座標はｔで、(1)よりａ＝１／８だから、ｙ＝(１／８)ｔ²ですね。
つまりＣ(ｔ，(１／８)ｔ²)です。
これをｙ＝−２ｘ＋５に代入して、

(１／８)ｔ²＝−２ｔ＋５

２次方程式ができたので、あとは解きます！

ｔ²＝−１６ｔ＋４０
ｔ²＋１６ｔ−４０＝０
ｔ＝[−１６±√{１６²−４・１・(−４０)}]／２
　＝{−１６±√(２５６＋１６０)／２
　＝(−１６±√４１６)／２
　＝(−１６±４√２６)／２
　＝−８±２√２６

ＣはＯとＡの間だから、０＜ｔ＜４なので、ｔ＝−８＋２√２６


(1)に戻る→点Ｂの座標

中学数学２次関数まとめ


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中学数学「２次関数」ｙ＝ａｘ2のグラフがＡＢ＝ＯＢとなるとき�A

中学数学「２次関数」ｙ＝ａｘ²のグラフがＡＢ＝ＯＢとなるとき�A

◆問題

原点をＯとする座標平面上の２次関数ｙ＝ａｘ²のグラフは点Ａ(４，２)を通っている。ｙ軸上に点ＢをＡＢ＝ＯＢとなるようにとる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Ｂの座標を求めよ。

(2) ∠ＯＢＡの二等分線の式を求めよ。

---

なお、今回の問題は中学レベルとしてはとても難しいです。
自信がない人は、中学数学２次関数まとめなどで、まずは基本問題の復習をしましょう！

---

◆解答解説

まず△ＯＢＡに注目すると、ＡＢ＝ＯＢの二等辺三角形ですね。
∠ＯＢＡは二等辺三角形の頂角です。

「二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する」

という性質があります。
つまり、∠ＯＢＡの二等分線は、ＯＡの中点を通る。というわけです。

Ｏ(０，０)，Ａ(４，２)だから、これらの中点は、(２，１)です。

ということは、求める直線は、(０，５)と(２，１)通ることになります。
あとは、普通に直線の式を求めればＯＫですね！(０，５)は切片ｂ＝５だから、

ｙ＝ａｘ＋ｂに、(２，１)，ｂ＝５を代入すると、
　　１＝２ａ＋５
−２ａ＝５−１
−２ａ＝４
　　ａ＝−２

よって∠ＯＢＡの二等分線の式は、ｙ＝−２ｘ＋５


次の問題→ひし形ＯＣＡＤについて

中学数学２次関数まとめ


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中学数学「２次関数」ｙ＝ａｘ2のグラフがＡＢ＝ＯＢとなるとき�@

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◆問題

原点をＯとする座標平面上の２次関数ｙ＝ａｘ²のグラフは点Ａ(４，２)を通っている。ｙ軸上に点ＢをＡＢ＝ＯＢとなるようにとる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Ｂの座標を求めよ。

---

なお、今回の問題は中学レベルとしてはとても難しいです。
自信がない人は、中学数学２次関数まとめなどで、まずは基本問題の復習をしましょう！

---

◆解答解説

まず、ｙ＝ａｘ²のａを求めておきましょう！
この関数のグラフが、(４，２)を通るのだから、この座標を代入することができます。

２＝ａ×４²
２＝１６ａ
ａ＝２／１６＝１／８

点Ｂはｙ軸上の点なので、ｘ＝０だから(０，ｙ)とおきます。

ＡＢ＝ＯＢという条件なので、その通りに式を立てます。

ＡＢの長さは三平方の定理の応用の「２点間の距離」で求めることができます。
ＡＢを斜辺とする直角三角形を考えると、縦はｙ−２，横は４だから、

ＡＢ²＝(ｙ−２)²＋４²
　　＝ｙ²−４ｙ＋４＋１６
　　＝ｙ²−４ｙ＋２０

そして、ＯＢ＝ｙです。

ＡＢ＝ＯＢだから、ＡＢ²＝ＯＢ²ですね。
ということで、

ｙ²−４ｙ＋２０＝ｙ²

こんな式ができます。あとは解いてみましょう！

−４ｙ＋２０＝０
　　　−４ｙ＝−２０
　　　　　ｙ＝５

よって、求める点Ｂの座標は、(０，５)となります。


次の問題→∠ＯＢＡの二等分線の式

中学数学２次関数まとめ


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中学・高校数学「平面図形の性質」円周角

中学・高校数学「平面図形の性質」円周角

★円周角(angle of circumference)



１つの円で等しい弧に対する円周角は等しい。同じ弧に対する円周角は中心角の半分である。


この図で言えば、∠ＡＰＢと∠ＡＱＢは弧ＡＢに対する円周角なので、等しい。ということができます。
Ｐ，Ｑの位置に限らず、頂点が円周上を動くならどこでも同じ大きさになる。ということも理解しておきましょう！


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◆関連項目
図形の性質まとめ
三角比まとめ
中学の図形

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中学・高校数学「平面図形の性質」三角形の重心

中学・高校数学「平面図形の性質」三角形の重心

★重心(center of gravity)



三角形の３本の中線は１点で交わる。その交点はそれぞれの中線を２：１に内分する。


Ｄ，Ｅ，ＦはそれぞれＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点ですね。
頂点とその対辺の中点を結ぶと１点で交わり、その交点を重心という。という見方もできます。


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◆関連項目
図形の性質まとめ
座標平面上の重心
物理における重心


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中学・高校数学「平面図形の性質」接線の性質を使って角度を求める問題�@

中学・高校数学「平面図形の性質」接線の性質を使って角度を求める問題�@

◆問題

下の図において、角θを求めよ。ただし、ＡＳ，ＡＴは接線、Ｓ，Ｔは接点とする。




↓解答解説はこのページ下↓


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◆解答解説

このままでは角度のわからない部分が多すぎるので、この円の中心Ｏを書き込み、ＯＳ，ＯＴを引いてみます。



すると、円と接線の性質より、∠ＯＳＡ＝∠ＯＴＡ＝９０°ですね。
さらに、円周角の定理より、∠ＳＯＴ＝２・∠ＳＰＴ＝２×７６°＝１５２°となります。

四角形ＡＳＯＴに注目すれば、４つの角のうちすでに３つがわかっているので、残り１つのθを求めることができます！

θ＝３６０°−９０°×２−１５２°
　＝１８０°−１５２°
　＝２８°

◆関連項目
円と接線の性質
図形の性質まとめ


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中学数学「２次方程式」針金を折り曲げて長方形を作る�A

中学数学「２次方程式」針金を折り曲げて長方形を作る�A


◆問題　

長さが１８ｃｍの針金を折り曲げて長方形を作ると、１８ｃｍ²になった。この長方形の対角線の長さを求めよ。



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◆解答解説

まずは、�@と同様に考えると、

周の長さが１８ｃｍだから、縦２本＋横２本＝１８ｃｍです。
つまり、縦と横１本ずつの合計は９ｃｍですね。

ならば、縦をｘｃｍとすると、横は(９−ｘ)ｃｍになります。

今回の問題では、面積が１８ｃｍ²だから、「縦×横＝１８」で式を作ります。

ｘ(９−ｘ)＝１８
９ｘ−ｘ²＝１８
−ｘ²＋９ｘ−１８＝０
ｘ²−９ｘ＋１８＝０
(ｘ−３)(ｘ−６)＝０
ｘ＝３，６

つまり、隣り合う２辺の長さが３ｃｍと６ｃｍです。
対角線は、これらの２辺を使ってできる直角三角形の斜辺だから、
対角線の長さをｌとすると、

ｌ²＝３²＋６²
ｌ²＝９＋３６
ｌ²＝４５
ｌ＝√４５
ｌ＝３√５

というわけで、求める対角線の長さは３√５ｃｍです！


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」針金を折り曲げて長方形を作る�@

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◆問題　

長さが２４ｃｍの針金を折り曲げて長方形を作ると、対角線の長さが４√５ｃｍになった。このとき、この長方形の辺の長さを求めよ。



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◆解答解説

２４ｃｍの針金を折り曲げて長方形を作るなら、その長方形の周の長さが２４ｃｍですね。

ということは、縦×２＋横×２で２４ｃｍになります。
一周して２４ｃｍだから、縦が２本、横が２本ですね。
つまり、縦１本と横１本の合計は、その半分の１２ｃｍになります。

ならば、縦をｘｃｍとすると、横は(１２−ｘ)ｃｍになります。

今回の問題では、対角線の長さが４√５だから、三平方の定理の式を立てます。

ｘ²＋(１２−ｘ)²＝(４√５)²

ですね！
長方形は４つの角が直角だから、対角線を引くと直角三角形になります。
だから、三平方の定理が成り立つ。というわけです。
あとは計算です！

ｘ²＋１４４−２４ｘ＋ｘ²＝８０
２ｘ²−２４ｘ＋６４＝０
ｘ²−１２ｘ＋３２＝０
(ｘ−４)(ｘ−８)＝０

よって、長方形の辺の長さは４ｃｍと８ｃｍになります。


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「平方根」√(７２ｎ／７)が整数となるとき

中学数学「平方根」√(７２ｎ／７)が整数となるとき

◆問題

√(７２ｎ／７)が整数となるような自然数ｎの値の最小値を求めよ。



◆解答解説

ルートの数が整数になるためには、ルートの中身が何かの２乗になればＯＫです。

まず、７２を素因数分解すると、

７２＝２³×３²

ですね。

何かの２乗になるには、これに２をかけて、

２⁴×３²＝(２²×３)²

とすればＯＫです。

分母の７も消したいので、７もかけます。

つまり、ｎ＝２×７＝１４ですね！

最小の自然数ｎを求めるので、ｎ＝１４が答えとなります。


平方根まとめ


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中学数学「連立方程式」２種類の箱Ａ，Ｂがそれぞれ何箱かあり、箱Ａに２個ずつ…

中学数学「連立方程式」２種類の箱Ａ，Ｂがそれぞれ何箱かあり、箱Ａに２個ずつ…

◆問題

２種類の箱Ａ，Ｂがそれぞれ何箱かあり、全ての箱にメロンを入れる。箱Ａに２個ずつ、箱Ｂに３個ずつ入れるとメロンが５個余る。箱Ａに３個ずつ、箱Ｂに２個ずつ入れるとちょうど入れることができる。また、箱Ａの個数は箱Ｂの個数の２倍である。
このとき、箱の個数を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓

※この記事では、連立方程式にして解いてみます。

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◆解答解説

文章題では、基本的に、聞いているものをｘでおきます。

この問題では「箱Ａの個数」を聞いているので、箱Ａの個数をｘでおきます。
ＡはＢの２倍ということは、ＢはＡの半分なので、箱Ｂの個数は(１／２)ｘ個ですね。

さらに、メロンの個数もわかっていないので、メロンの個数をｙ個としてみます。

あとは問題の条件に従って、メロンの個数についての式を表していきます。

「箱Ａに２個ずつ、箱Ｂに３個ずつ入れるとメロンが５個余り」とあるので、

　２ｘ＋３×(１／２)ｘ＝ｙ−５
(４／２)ｘ＋(３／２)ｘ＝ｙ−５
　　　　　(７／２)ｘ＝ｙ−５　・・・�@

まずはひとつ式ができました。

「箱Ａに３個ずつ、箱Ｂに２個ずつ入れるとちょうど入れることができる」とあるので、

３ｘ＋２×(１／２)ｘ＝ｙ
　　３ｘ＋ｘ＝ｙ
　　　　４ｘ＝ｙ　・・・�A

これら２つの式を連立して解けば、箱Ａの個数(と箱Ｂの個数、メロンの個数)がわかります。

�Aを�@に代入して、

(７／２)ｘ＝４ｘ−５
(７／２)ｘ−４ｘ＝−５
(７／２)ｘ−(８／２)ｘ＝−５
−(１／２)ｘ＝−５
ｘ＝１０


この時点で箱Ａの個数はわかりましたが、一応ｙも出してみると、

４×１０＝ｙ
　　ｙ＝４０

というわけで、箱Ａの個数は１０個ですね！


ついでに、箱Ｂは５個、メロンは４０個です。
余裕があれば、こうして他の数値も求めてみると、ミスが防げる場合があります。


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中学数学「確率」サイコロの出目の積が１６の約数になる

中学数学「確率」サイコロの出目の積が１６の約数になる

◆問題

１から６までの目のある１個のさいころを２回投げる。１回目の出目をａ，２回目の出目をｂとする。
このとき、ａｂの値が１６の約数となる確率を求めよ。


↓解答解説はこのページ下↓


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◆解答解説

中学の数学では確率は、サイコロ２個程度の場合の数になることが多いです。

サイコロ２個の場合は６マス×６マスの表を描いて該当する枠に○を入れる。という方法が確実だと思います。

	１	２	３	４	５	６
１
２
３
４
５
６

こんなふうにして、それぞれの枠が条件に合うかどうかをチェックして、該当すれば○を入れていきます。
今回はかけ算の値について考えるので、それぞれの枠にかけ算の結果を書き込んでみます。

	１	２	３	４	５	６
１	１	２	３	４	５	６
２	２	４	６	８	１０	１２
３	３	６	９	１２	１５	１８
４	４	８	１２	１６	２０	２４
５	５	１０	１５	２０	２５	３０
６	６	１２	１８	２４	３０	３６

さらに、１６の約数１，２，４，８，１６のところを○で囲んでみると、

	１	２	３	４	５	６
１	�@	�A	３	�C	５	６
２	�A	�C	６	�G	１０	１２
３	３	６	９	１２	１５	１８
４	�C	�G	１２	�O	２０	２４
５	５	１０	１５	２０	２５	３０
６	６	１２	１８	２４	３０	３６

○がついたのは９個ですね。

というわけで、求める確率は９／３６＝１／４


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中学数学「２次関数」正方形ＡＢＣＤの内部および辺上にあり、ｘ座標、ｙ座標がともに整数である点

中学数学「２次関数」正方形ＡＢＣＤの内部および辺上にあり、ｘ座標、ｙ座標がともに整数である点

◆問題

座標平面上に、関数ｙ＝ｘ²のグラフと１辺の長さが１６の正方形ＡＢＣＤがある。Ｂ，Ｃはｘ軸上の点でｘ座標はそれぞれ−８，８、Ａ，Ｄのｙ座標はともに正の数である。

このとき、ｙ＝ｘ²のグラフ上にある点のうち、正方形ＡＢＣＤの内部および辺上にあり、ｘ座標、ｙ座標がともに整数である点の個数を求めよ。


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◆解答解説

ｙ＝ｘ²上で、ｘ，ｙがともに整数の点を求める問題です。

適当な値を代入して座標を求めて、それが正方形の内部にあるかどうかを一つ一つ調べていけば、もちろんそのうち解答は出ますが、もっと簡単に素早く解くこともできます。

正方形の中または辺上でのｙの最大値はｙ＝１６だから、ｘは最大で４，最小で−４ですね。

ｙ＝ｘ²だから、ｘが整数ならｙも整数です。

そして正方形の辺上はＯＫだから、条件を満たすｘの値は−４から４です。

ゼロも整数なので、忘れずにカウントするとこの範囲の整数は９個です。
つまり、求める点の個数は９個です。


これで素早く簡単に答えを出すことができますが、様々な座標を計算して求める。という経験も大切なので、練習の段階では、全部座標を求めることも、ぜひやってみましょう！


中学数学２次関数まとめ


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中学数学「２次関数」ｙ＝(１／２)ｘ2と△ＡＯＰ�A

中学数学「２次関数」ｙ＝(１／２)ｘ²と△ＡＯＰ�A

◆問題

座標平面上に曲線ｙ＝(１／２)ｘ²のグラフがあり、この曲線上に点Ａと点Ｐがある。
点ＡとＰのｘ座標をそれぞれ−２，ｐとする。
２点Ａ，Ｐを通る直線ｌを引き、△ＡＯＰをつくる。
このとき、次の問いに答えよ。

(1) ｐ＝４のとき、直線ｌの式を求めよ。

(2) △ＡＯＰの面積が２４になるときのｐの値を求めよ。ただし、ｐ＞０とする。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

(2)では新たな条件となっています。だから、(1)のｐ＝４やｙ＝ｘ＋４は使うことができないことに注意しましょう！
改めてわかっていることを確認してみると、

曲線の式はｙ＝(１／２)ｘ²
座標は、Ａ(−２，２)，Ｐ(ｐ，(１／２)ｐ²)

です。
この条件で、(2)では△ＡＯＰ＝２４が与えられています。

面積がわかっているので、面積の式を作って、イコール２４で方程式を解けばＯＫですね！

いくつか解ける方法はありますが、考え方が最も単純な、△ＡＯＰの頂点を通る長方形を作って、周りの三角形を引く。方法でやっていきます。

まず長方形は、横がｐ−(−２)＝ｐ＋２、縦は(１／２)ｐ²だから、
面積は(１／２)ｐ²(ｐ＋２)＝(１／２)ｐ³＋ｐ²です。
３次式になってしまいましたが、今のところは気にせず、どんどん表します。

まわりの三角形をひとつひとつ表していきます。
左下の三角形は、底辺２，高さ２で、面積＝(１／２)×２×２＝２

右下の三角形は、底辺ｐ，高さ(１／２)ｐ²だから、
面積は(１／２)×ｐ×(１／２)ｐ³＝(１／４)ｐ³

直線ｌの上側の三角形は、底辺ｐ＋２，高さ(１／２)ｐ²−２で、
面積は(１／２)×(ｐ＋２)×{(１／２)ｐ²−２}＝(１／４)(ｐ＋２)(ｐ²−４)＝(１／４)ｐ³＋(１／２)ｐ²−ｐ−２

長方形からこれらの三角形を引けば△ＡＯＰです。

　△ＡＯＰ
＝(１／２)ｐ³＋ｐ²−{２＋(１／４)ｐ³＋(１／４)ｐ³＋(１／２)ｐ²−ｐ−２}
＝(１／２)ｐ³＋ｐ²−{(１／２)ｐ³＋(１／２)ｐ²−ｐ}
＝(１／２)ｐ³＋ｐ²−(１／２)ｐ³−(１／２)ｐ²＋ｐ
＝(１／２)ｐ²＋ｐ

これが△ＡＯＰをｐで表した値で、イコール２４になります。
方程式を解いていきましょう！

(１／２)ｐ²＋ｐ＝２４
ｐ²＋２ｐ＝４８
ｐ²＋４ｐ−４８＝０
ｐ＝{−４±√(１６＋１９２)}／２
　＝(−４±√２０８)／２
　＝(−４±４√１３)／２
　＝−２±２√１３

ｐ＞０なので、ｐ＝−２＋２√１３


(1)に戻る→直線ｌの式


中学数学２次関数まとめ


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中学数学「２次関数」ｙ＝(１／２)ｘ2と△ＡＯＰ�@

中学数学「２次関数」ｙ＝(１／２)ｘ²と△ＡＯＰ�@

◆問題

座標平面上に曲線ｙ＝(１／２)ｘ²のグラフがあり、この曲線上に点Ａと点Ｐがある。
点ＡとＰのｘ座標をそれぞれ−２，ｐとする。
２点Ａ，Ｐを通る直線ｌを引き、△ＡＯＰをつくる。
このとき、次の問いに答えよ。

(1) ｐ＝４のとき、直線ｌの式を求めよ。


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◆解答解説

関数の問題では、まずはとにかく出る座標を出した方がよいです。
ｘ座標が数字でわかっている場合はもちろん、文字で与えられている場合でも、ｘ座標が決まればｙ座標もその文字で表すことができます。
というわけで、早速Ａ，Ｐの座標を求めていきましょう！

点Ａはｘ＝−２だから、ｙ＝(１／２)×(−２)²＝(１／２)×４＝２
よって、Ａ(−２，２)

点Ａはｘ＝ｐだから、ｙ＝(１／２)ｐ²
そして、(1)では、ｐ＝４なので、代入すると、
ｙ＝(１／２)×４²＝(１／２)×１６＝８
よって、Ｐ(４，８)

２点の座標がわかれば、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して連立方程式ですね！

２＝−２ａ＋ｂ・・・�@
８＝４ａ＋ｂ　・・・�A

�A−�@より、６＝６ａだから、ａ＝１

�@にａ＝１を代入して、

２＝−２＋ｂ
ｂ＝４

よって、求める直線の式は、ｙ＝ｘ＋４


次の問題→△ＡＯＰの面積が２４になるとき


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中学数学「２次方程式」連続する３つの自然数がある。最も大きい数と最も小さい数の積から…

中学数学「２次方程式」連続する３つの自然数がある。最も大きい数と最も小さい数の積から…


◆問題　

連続する３つの自然数がある。最も大きい数と最も小さい数の積から、中央の数を引くと、その差は５５になった。
中央の数をｘとして方程式を作り、これら３つの自然数を求めよ。


「そもそも基本的な２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

問題の指示に「中央の数をｘとして」とあるので、その通りにやっていきます。

「連続する３つの自然数」だから、「最も小さい数」はｘより１小さいので、ｘ−１です。
「最も大きい数は」ｘより１大きいので、ｘ＋１ですね。

つまり、３つの数は、ｘ−１，ｘ，ｘ＋１です。

あとは、問題文の通りに式を立てて計算です。

「最も大きい数と最も小さい数の積から、中央の数を引くと、その差は５５になった。」

この通りに式を立てると、

(ｘ＋１)(ｘ−１)−ｘ＝５５

ですね！
２次方程式になったので、普通に解きます。

ｘ²−１−ｘ＝５５
ｘ²−ｘ−５６＝０
(ｘ＋７)(ｘ−８)＝０
よって、ｘ＝−７，８

ｘは自然数だから、ｘ＝−７は不適。

というわけでｘ＝８がこの問題に適した解となります。
よって「３つの自然数」は

７，８，９


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題�B

中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題�B

■問題

図の正四角錐で、ＯＡ＝４ｃｍ，ＡＢ＝√６ｃｍとする。



(1) 底面の対角線ＡＣの長さを求めよ。

(2) 正四角錐ＯＡＢＣＤの高さと体積を求めよ。

(3) 正四角錐ＯＡＢＣＤの表面積を求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下↓

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■解答

表面積を求めるときは、展開図を考えて全ての面の合計を計算します。

まず、底面は正方形で、６ｃｍ²ですね。

側面は４つの面が合同な二等辺三角形で、４，４，√６の３辺です。
ここから高さを求めて面積を計算します。

二等辺三角形の底辺の中点と頂角を結ぶと、底辺と垂直に交わるので、直角三角形ができます。
そして三平方の定理を使う。という流れです。
底辺の半分は√６／２ｃｍで、求める高さをｘｃｍとすると、

ｘ²＋(√６／２)²＝４²
ｘ²＋６／４＝１６
ｘ²＝１６−３／２
ｘ²＝３２／２−３／２＝２９／２
ｘ＝√２９／√２＝√５８／２

よって、側面の二等辺三角形１つの面積は、

　(１／２)×√６×√５８／２
＝√３４８／４
＝２√８７／４
＝√８７／２

これが４つあるので、４倍して、(√８７／２)×４＝２√８７

表面積は全ての面の合計だから、

(２√８７＋３６)ｃｍ²


この問題の最初に戻る→底面の対角線ＡＣの長さ


図形まとめ(中学)


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中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題�A

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■問題

図の正四角錐で、ＯＡ＝４ｃｍ，ＡＢ＝√６ｃｍとする。



(1) 底面の対角線ＡＣの長さを求めよ。

(2) 正四角錐の高さと体積を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓

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■解答

(1)で対角線ＡＣ＝２√３ｃｍを求めました。

Ｏから底面に垂線を引き、その足をＨとすると、ＯＨはＡＣの中点を通ります。
つまり、ＡＨ＝√３です。

△ＯＡＨについてＯＨ＝ｘとして三平方の定理の式を作ると、

ｘ²＋√３²＝４²
ｘ²＋３＝１６
ｘ²＝１３
ｘ＝√１３

つまり、高さは√１３ｃｍです。

四角錐の体積は、「底面積×高さ×１／３」だから、

√６²×√１３×１／３＝２√１３

というわけで、求める四角錐の体積は２√１３ｃｍ³です。


次の問題→正四角錐の表面積


図形まとめ(中学)


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中学数学「三平方の定理」正四角錐に関する問題�@

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■問題

図の正四角錐で、ＯＡ＝４ｃｍ，ＡＢ＝√６ｃｍとする。



(1) 底面の対角線ＡＣの長さを求めよ。


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■解答

底面は正方形なので、△ＡＢＣは直角二等辺三角形です。

ということは、４５°４５°９０°の直角三角形だから、辺の長さの比は１：１：√２ですね。

ＡＣ＝ｘとすると、

１：√２＝√６：ｘ
　　ｘ＝√１２
　　ｘ＝２√３

よって、ＡＣ＝２√３ｃｍです。


次の問題→正四角錐の高さと体積


図形まとめ(中学)


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