2024年10月03日

中学数学「2次関数」制動距離の問題A

中学数学「2次関数」制動距離の問題A

◆問題
走っている自動車で、ブレーキがきき始めてから停止するまでに自動車が動く距離を制動距離という。自動車が時速xkmで走っているときの制動距離をymとすると、yはxの2乗に比例する。
ある自動車では、時速40kmのときの制動距離は10mだったという。次の問いに答えよ。

(1) yをxの式で表せ。

(2) 自動車の速度が時速60kmのときの制動距離を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

(1)で、この場合のx,yの関係式は、「y=(1/160)x2」であることがわかりました。

時速60kmはxの値だから、これを代入して計算すればyがわかります!

x=60を代入すると、

y=(1/160)×602
 =(1/160)×3600
 =360/16
 =45/2

よって、制動距離は(45/2)mとなります。

小数に直して22.5mの方がイメージがわかりやすいかもしれませんね。


(1)に戻る→式を求める


◆関連項目
2次関数(中学)まとめ


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中学数学「2次関数」制動距離の問題@

中学数学「2次関数」制動距離の問題@

◆問題
走っている自動車で、ブレーキがきき始めてから停止するまでに自動車が動く距離を制動距離という。自動車が時速xkmで走っているときの制動距離をymとすると、yはxの2乗に比例する。
ある自動車では、時速40kmのときの制動距離は10mだったという。次の問いに答えよ。

(1) yをxの式で表せ。


↓解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

自動車の速さがx,制動距離がyで、yはxの2乗に比例する。という設定です。
yはxの2乗に比例するので、

y=ax2

という式が成り立ちます。

今回の問題では、時速40kmのときの制動距離は10mだから、x=40,y=10です。
代入して計算してみましょう!

10=a×402
10=1600a
 a=10/1600
 a=1/160

というわけで求める式は、

y=(1/160)x2

となります。


次の問題→時速60kmのとき


◆関連項目
2次関数(中学)まとめ


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2024年09月03日

中学数学「2次方程式」正方形の縦を3cm短くし…

中学数学「2次方程式」正方形の縦を3cm短くし…


◆問題 

ある正方形の縦を3cm短くし、横を2cm長くしたところ、面積が50cm2の長方形になった。もとの正方形の1辺は何cmか求めよ。


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◆解答解説

文章問題では、基本的には求めるものをxでおきます。
この問題では、もとの正方形の1辺の長さをxcmとおくと良いでしょう。

辺の長さを変えてできた長方形は、「縦を3cm短くし、横を2cm長くした」ので、

縦は(x−3)cm,横は(x+2)cm

ですね。
面積が50cm2だから、「面積=縦×横」の通りに式を作ると、

(x−3)(x+2)=50

あとは計算です。

2−x−6=50
2−x−56=0
(x+7)(x−8)=0
よって、x=−7,8

辺の長さは正の数だから、x=8が適する値になります。

つまり、もとの正方形の1辺の長さは8cmですね!


◆関連項目
2次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」「2次方程式まとめ」

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2024年07月26日

中学数学「2次方程式」2つの方程式が共通解をもつとき

中学数学「2次方程式」2つの方程式が共通解をもつとき


◆問題 

xについての2次方程式x2−5x−24=0とx2+ax−12=0が共通の解を1つもつときの整数aの値を求めよ。


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◆解答解説

xについての2次方程式x2−5x−24=0とx2+ax−12=0が共通の解を1つもつときの整数aの値を求めよ。

共通の解について考える問題です。
まずは完成している式の方を解いてみましょう!

2−5x−24=0
(x+3)(x−8)=0
よって、x=−3,8

この式の解は−3か8だから、「共通の解」もこれらの値のどちらかになります。

というわけで、2つめの式にこれらのxの値をそれぞれ代入して計算してみましょう!

x=−3のとき、

(−3)2+a×(−3)−12=0
9−3a−12=0
  −3a−3=0
    −3a=3
     a=−1

−1は整数なので、特に問題なさそうです。

x=8のとき、

2+8a−12=0
64+8a−12=0
   8a+52=0
      8a=−52
       a=−52/8
       a=−13/2

aが整数ではなくなってしまったので、これは適しません。

というわけで、求めるaの値は、「a=−1」のみとなります。


◆関連項目
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2024年07月23日

中学数学「2次方程式」2つの整数の差は9で、積は36

中学数学「2次方程式」2つの整数の差は9で、積は36


◆問題 

2つの整数がある。これら2つの整数の差は9で、積は36である。この条件を満たす2つの整数を求めよ。


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◆解答解説

2つの整数がわからないので、x,yとおく・・・とすることもできますが、

「差が9」ということから、小さい方の整数をxとおけば、大きい方の整数は(x+9)とおくことができます。
こうすれば文字が1つだけだから、計算しやすいですね。
2つの整数を文字で表したら、あとは問題文の通りに式を立てて計算します。

「積が36」だから、

x(x+9)=36

2つの整数を掛けたら36だから、このような式ができます。
あとは計算ですね!

2+9x−36=0
(x+12)(x−3)=0

よって、x=−12,3

これは「小さい方の整数」です。
小さい方の整数が−12の場合と、3の場合がある。というわけです。
それぞれの場合の大きい方の整数も求めて、それぞれセットで答えます。

x=−12のとき、大きい方の整数は−12+9=−3
x=3のとき、大きい方の整数は3+9=12

というわけで、

−12,−3または3,12

これが解答となります。


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2024年07月17日

中学数学「2次方程式」1辺が10cmの正方形ABCDの辺上を点P,Qが秒速1cmで動くB

中学数学「2次方程式」1辺が10cmの正方形ABCDの辺上を点P,Qが秒速1cmで動くB


◆問題 

1辺が10cmの正方形ABCDの辺上を点P,Qが秒速1cmで動く。
点PはAからBまで、点QはDからAまで、同時に出発し、目的地に着いたら停止するものとする。

(1)x秒後のAP,AQの長さを求めよ。

(2) △APQの面積をxを用いて表せ。

(3) △APQの面積が12cm2になるのは何秒後か求めよ。


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◆解答解説

(2)で、

△APQ=(1/2)x(10−x)[cm2]

であることを求めました。

(3)では、この△APQの面積が12cm2になるときの時間を求めます。
面積の式はすでにできているので、イコール12で解けばOKです。

(1/2)x(10−x)=12
   x(10−x)=24
   10x−x2=24
−x2+10x−24=0
 x2−10x+24=0
 (x−4)(x−6)=0
よって、x=4,6

つまり△APQの面積が12cm2になるのは、4秒後、6秒後の2回あることがわかりました。


(1)に戻る→x秒後のAP,AQの長さ


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2024年07月14日

中学数学「2次方程式」1辺が10cmの正方形ABCDの辺上を点P,Qが秒速1cmで動くA

中学数学「2次方程式」1辺が10cmの正方形ABCDの辺上を点P,Qが秒速1cmで動くA


◆問題 

1辺が10cmの正方形ABCDの辺上を点P,Qが秒速1cmで動く。
点PはAからBまで、点QはDからAまで、同時に出発し、目的地に着いたら停止するものとする。

(1)x秒後のAP,AQの長さを求めよ。

(2) △APQの面積をxを用いて表せ。


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◆解答解説

(1)で、AP,AQの長さを求めました。
AP=x,AQ=10−xですね。

△APQは、頂点Aが直角の直角三角形だから、APを底辺とすればAQが高さになります。

だから

△APQ=(1/2)AP×AQ

ということができます。

それぞれの長さを代入すると、

△APQ=(1/2)x(10−x)[cm2]


次の問題→APQの面積が12cm2のとき


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2024年07月13日

中学数学「2次方程式」1辺が10cmの正方形ABCDの辺上を点P,Qが秒速1cmで動く@

中学数学「2次方程式」1辺が10cmの正方形ABCDの辺上を点P,Qが秒速1cmで動く@


◆問題 

1辺が10cmの正方形ABCDの辺上を点P,Qが秒速1cmで動く。
点PはAからBまで、点QはDからAまで、同時に出発し、目的地に着いたら停止するものとする。

(1)x秒後のAP,AQの長さを求めよ。


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◆解答解説

同様の問題は関数の単元でも出されますが、今回は2次方程式の単元の問題として掲載してみました。

まずはAP,AQの長さをxで表します。

点PはAから出発し、速さは1cm/秒だから、x秒後のAPの長さは・・・

AP=x[cm]

ですね!

点QはDを出発してAまで毎秒1cmで進むので、AQの長さはだんだん短くなっていきます。
最初はAQ=10cmで、1秒ごとに1cmずつ短くなりますね。だから・・・

AQ=10−x[cm]

です。


次の問題→APQの面積


◆関連項目
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2024年07月10日

中学・高校数学「平方根の表」

中学・高校数学「平方根の表」

教科書の巻末などにも載っている平方根の表です。
ちょっと桁数を多くしましたが、もちろん全部覚える必要はありません。
必要に応じて、2桁〜4桁程度で使うケースが多いと思います。



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2024年06月24日

中学数学「1次関数」P町とQ町を往復する問題A

中学数学「1次関数」P町とQ町を往復する問題A

◆ 問題

P町とQ町の間を、AさんとBさんが往復した。P町とQ町は6km離れていて、二人はP町を同時に出発し、Q町に着いたら直ちにP町に引き返す。P町に戻ってきたら直ちにQ町に向かう。という往復を繰り返すとする。AさんとBさんの走る速さは一定、2人が最初にP町を出発してから経過した時間をx分、P町からの距離をykmとしてグラフを描くと、次のような座標を読み取ることができたという。

Aさん:(0,0),(15,6),(30,0),(45,6),(60,0)
Bさん:(0,0),(30,6),(60,0)

(1) xの変域が15≦x≦30のとき、Aさんの進む様子を表す直線の式を求めよ。

(2) AさんとBさんが最初にすれ違ったのは、2人が最初にP町を出発してから何分後か求めよ。


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)では、高校受験対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は小学校の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
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★★★★★★★★★★

◆解答解説

どこですれ違ったかを確認するために、わかっている座標をチェックしてみましょう

Aさん:(0,0),(15,6),(30,0),(45,6),(60,0)
Bさん:(0,0),(30,6),(60,0)

AさんBさんの2人は同時に出発して、15分の時点で先にAさんがQ町に到着して折り返します。
Bさんは30分の時点でQ町に到着したわけですね。

すると、15分から30分の間で2人はすれ違ったと判断できます。

追いつく場合でもすれ違う場合でも、グラフが交わることには変わりないので、2つの関数の式を連立して解けばOKです!

Aさんの式は(1)で出しているので、Bさんの式を求めて連立してみましょう!

Bさんは原点(0,0)と点(30,6)がわかっています。
原点を通るから比例ということで、y=axに代入すると簡単です。
(もちろんy=ax+bにこれら2点を入れても問題ありません)

6=30a
a=6/30
a=1/5

よって、Bさんの移動を表す式は、y=(1/5)xです。

Aさんの式y=(−2/5)x+12と連立して解きます。
両方y=●●の形だから、右辺同士をイコールで結んで

(1/5)x=(−2/5)x+12

あとは普通に1次方程式ですね!

(1/5)x+(2/5)x=12
(3/5)x=12
   x=12×(5/3)
   x=20

というわけで、AさんとBさんがすれ違うのは、「出発してから20分後」です!


◆関連項目
途中で速さが変わる問題
1次関数(中学)まとめ


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2024年06月23日

中学数学「1次関数」P町とQ町を往復する問題@

中学数学「1次関数」P町とQ町を往復する問題@

◆ 問題

P町とQ町の間を、AさんとBさんが往復した。P町とQ町は6km離れていて、二人はP町を同時に出発し、Q町に着いたら直ちにP町に引き返す。P町に戻ってきたら直ちにQ町に向かう。という往復を繰り返すとする。AさんとBさんの走る速さは一定、2人が最初にP町を出発してから経過した時間をx分、P町からの距離をykmとしてグラフを描くと、次のような座標を読み取ることができたという。

Aさん:(0,0),(15,6),(30,0),(45,6),(60,0)
Bさん:(0,0),(30,6),(60,0)

(1) xの変域が15≦x≦30のとき、Aさんの進む様子を表す直線の式を求めよ。


★★ お知らせ ★★

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★★★★★★★★★★

◆解答解説

1次関数の式は、2点の座標がわかれば求めることができます。

今回の15≦x≦30の範囲では、(15,6)と(30,0)がわかっていますね。

これら2点の座標をy=ax+bに代入して連立方程式を解けば、求める直線の式がわかります。

6=15a+b ・・・@
0=30a+b ・・・A

@・・・   15a+b=6
A・・・ −)30a+b=0
     ―――――――――
      −15a  =6
よって、a=−6/15=−2/5

a=−2/5を@に代入すると、
15×(−2/5)+b=6
     −6+b=6
        b=12

これでa,bがわかったので、y=ax+bに代入して完成です!

y=(−2/5)x+12


次の問題→AさんとBさんがすれ違った時間


◆関連項目
途中で速さが変わる問題
1次関数(中学)まとめ


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中学数学「1次関数」途中で速さが変わる文章問題A

中学数学「1次関数」途中で速さが変わる文章問題A

◆ 問題

Aさんは、駅から図書館まで20分間歩いた。はじめの10分間は平らな道で、その後の10分間は上り坂だったという。Aさんが駅を出発してからx分後の駅からの距離をymとすると、10≦x≦20においてy=40x+280の関係が成り立つとする。Aさんの歩く速さは0≦x≦10でも一定だったとして、次の問いに答えよ。

(1) 0≦x≦10におけるAさんの歩く速さを求めよ。

(2) Aさんが出発した8分後に、Bさんは自転車に乗って駅から図書館に向かった。Bさんは分速160mの一定の速さで図書館まで進んだとするとき、BさんがAさんに追いついた場所は図書館から何mの位置だったか求めよ。


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◆解答解説

要するに、2つの関数の交点を求める問題です。
交点は、2つの関数の式の連立方程式で求められますね。

Aさんの式は問題文に与えられているので、Bさんの式を求められれば、あとは連立!という流れです。

Bさんの速さは分速160mとわかっているので、直線の傾きは160と考えられます。
そして、8分後に出発したから、グラフ上の(8,0)が出発点です。

つまり、y=ax+bに、a=160,x=8,y=0を代入できる。というわけです。
代入して計算してみると、

0=160×8+b
0=1280+b
b=−1280

よって、Bさんの式は、y=160x−1280

Aさんの式y=40x+280と連立して解いていきます。

両方y=●●の形だから、右辺同士をイコールで結んで、

160x−1280=40x+280
 160x−40x=280+1280
     120x=1560
        x=13

y=40x+280にx=13を代入すると、
y=40×13+280
 =520+280
 =800

BさんがAさんに追いついたのは、駅から800mの地点だとわかりました。
聞いているのは、図書館からの距離なので、図書館の位置を求めます。

Aさんが図書館についたのは20分後だから、y=40x+280にx=20を代入すると、駅から図書館までの距離がわかります。
y=40×20+280
 =800+280
 =1080

全体で1080mある道のりのうち、800m地点で追いついたので、求める図書館からの距離は、

1080−800=280m


◆関連項目
1次関数(中学)まとめ


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2024年06月20日

中学数学「1次関数」途中で速さが変わる文章問題@

中学数学「1次関数」途中で速さが変わる文章問題@

◆ 問題

Aさんは、駅から図書館まで20分間歩いた。はじめの10分間は平らな道で、その後の10分間は上り坂だったという。Aさんが駅を出発してからx分後の駅からの距離をymとすると、10≦x≦20においてy=40x+280の関係が成り立つとする。Aさんの歩く速さは0≦x≦10でも一定だったとして、次の問いに答えよ。

(1) 0≦x≦10におけるAさんの歩く速さを求めよ。


★★ お知らせ ★★

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★★★★★★★★★★

◆解答解説

横軸が時間、縦軸が距離を表すようなノーマルな設定の場合、直線の傾きが移動の速さになります。

傾き=変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)=(距離)/(時間)=速さ

だからですね。

ならば、0≦x≦10での直線の傾きがわかれば答えが出る!ということができます。

最初は時間x=0,距離y=0だから、原点を通る直線つまり比例の式になるので、直線上のどこか他の点が1箇所でもわかれば直線の式がわかります。

Aさんの移動については、10≦x≦20のときy=40x+280が与えられています。
これを使えば、x=10のときのyの値がわかりますね!
代入してみましょう!

y=40×10+280
 =400+280
 =680

つまり、x=10のときy=680です。
最初の平らな道を歩いて10分経った瞬間には、680m地点にいることなります。

10分間一定の速度で進んで680m進んだということは・・・

速さは680÷10=68m/分ですね!


または、原点を通る直線つまり比例だから、y=axにx=10,y=680を代入すると考えてもよいです。
その場合、

680=10a
10a=680
  a=68

傾きが68だから速さは68m/分

というわけです。もちろん解答は同じです。


次の問題→BさんがAさんに追いついた場所


◆関連項目
1次関数(中学)まとめ


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2024年06月19日

中学数学「式の計算」x=55,y=45のときのx2−y2の式の値

中学数学「式の計算」x=55,y=45のときのx2−y2の式の値

◆ 問題

x=55,y=45のとき、x2−y2の式の値を求めよ。


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★★★★★★★★★★

◆解答解説

式の値を求める問題は、xに値を代入して計算すれば、必ず正解が出せます。
ただし、今回の問題のように、数字が大きめの場合は、計算が大変になってしまうので、少し工夫をすると良いです。

 x2−y2

この式を見ると、因数分解できることに気付く人も多いと思います。
因数分解できるのだから、とりあえずやってみよう!ということで、

=(x+y)(x−y)

こうなりますね!
ここでx=55,y=45を代入してみます。

=(55+45)(55−45)

カッコの中身はそれぞれ計算できますね!

=100×10
=1000

これで式の値を求めることができました!

このように、因数分解してから代入すれば、暗算でもできてしまうくらい簡単な計算になりますね!


◆関連項目
少し難しい因数分解
展開・因数分解まとめ


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中学数学「式の計算」x=56のときのx2−12x+36の式の値

中学数学「式の計算」x=56のときのx2−12x+36の式の値

◆ 問題

x=56のとき、x2−12x+36の式の値を求めよ。



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★★★★★★★★★★

◆解答解説

式の値を求める問題は、xに値を代入して計算すれば、必ず正解が出せます。
ただし、今回の問題のように、数字が大きめの場合は、計算が大変になってしまうので、少し工夫をすると良いです。

 x2−12x+36

この式を見ると、因数分解できることに気付く人も多いと思います。
因数分解できるのだから、とりあえずやってみよう!ということで、

=(x−6)2

こうなりますね!
ここでx=56を代入してみます。

=(56−6)2

カッコの中身は引けますね!

=502
=2500

これで式の値を求めることができました!

このように、因数分解してから代入すれば、暗算でもできてしまうような簡単な数字になりました。
そのまま入れると結構大変になりますが、興味のある人はチャレンジしてみるのもアリだと思います!


◆関連項目
少し難しい因数分解
展開・因数分解まとめ


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2024年05月06日

中学数学「式の計算」少し難しい因数分解B

中学数学「式の計算」少し難しい因数分解B

◆ 問題

次の計算をせよ。

(1) 2a2+8ab+8b2
(2) ax2−3ax+2a

(3) 20x2−5y2
(4) x2y−9y

(5) 3xy2−6xy+3x

(6) 8a2b−18b


↓(5), (6)の解答解説はお知らせの下↓


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★★★★★★★★★★

◆解答解説

これまでと同様に、まずは共通因数でくくってから、中身を因数分解します。

(5) 3xy2−6xy+3x
=3x(y2−2y+1)
=3x(y−1)2


(6) 8a2b−18b
=2b(4a2−9)
=2b(2a+3)(2a−3)


この問題の最初に戻る→(1) 2a2+8ab+8b2


◆関連項目
xの2乗に係数がついている場合
展開・因数分解まとめ


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2024年05月05日

中学数学「式の計算」少し難しい因数分解A

中学数学「式の計算」少し難しい因数分解A

◆ 問題

次の計算をせよ。

(1) 2a2+8ab+8b2

(2) ax2−3ax+2a

(3) 20x2−5y2

(4) x2y−9y


↓(3), (4)の解答解説はお知らせの下↓


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★★★★★★★★★★

◆解答解説

(1), (2)と同様に、まずは共通因数でくくってから、中身を因数分解します。

(3) 20x2−5y2
=5(4x2−y2)
=5(2x+y)(2x−y)

(4) x2y−9y
=y(x2−9)
=y(x+3)(x−3)


次の問題→(5) 3xy2−6xy+3xなど


◆関連項目
xの2乗に係数がついている場合
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2024年05月04日

中学数学「式の計算」少し難しい因数分解@

中学数学「式の計算」少し難しい因数分解@

◆ 問題

次の計算をせよ。

(1) 2a2+8ab+8b2

(2) ax2−3ax+2a


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(1) 2a2+8ab+8b2
全ての項が2で割れるので、まずは2でくくってから、中身を因数分解します。

=2(a2+4ab+4b2)
=2(a+2b)2


(2) ax2−3ax+2a
これはaが共通しているので、aでくくってから、中身を因数分解ですね。

=a(x2−3x+2)
=a(x−1)(x−2)


次の問題(3), (4)


◆関連項目
xの2乗に係数がついている場合
展開・因数分解まとめ


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2024年04月27日

中学数学「式の計算」置き換えを使う場合A

中学数学「式の計算」置き換えを使う場合A

◆ 問題

次の計算をせよ。

(1) (x−3)+3(x−3)−28

(2) (a+b−c)(a−b+c)


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(2) (a+b−c)(a−b+c)

文字はだいたい同じだけど、符号まで同じなのはaしかないし、置き換えられない!?
なんて思って、諦めてしまう人もいるかと思います。
でも、ちょっと工夫することで、簡単な式に書き換えることができます。

b−cのかたまりをつくればいいですね!
−b+c=−(b−c)だから、

 (a+b−c)(a−b+c)
={a+(b−c)}(a−(b−c)}

このように書き換えることができます。
ここで、b−c=Aとすれば、

=(a+A)(a−A)

このようにシンプルな式に直すことができました!
続いて、展開の公式に従ってカッコを外すと、

=a2−A2

Aをもとに戻せば、

=a2−(b−c)2
=a2−(b2−2bc+c2)
=a2−b2+2bc−c2

これで完成です!


◆関連項目
工夫して計算する問題
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2024年04月25日

中学数学「式の計算」展開の公式を使って工夫して計算する問題A

中学数学「式の計算」展開の公式を使って工夫して計算する問題A

◆ 問題

次の計算をせよ。

(1),(2)はこちら

(3) 6.1×5.9

(4) 9.9×9.7


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

工夫して計算する問題です。
でも、もちろん、工夫してもしなくても結果は同じです。
工夫の仕方がわからない人は、普通に計算してしまえば良いです。
例えば10分悩むくらいなら、普通に計算すれば、その悩んでいる時間のうちに終わると思います。

とは言っても、工夫の仕方がわかれば、工夫した方が速いし楽です。
どちらでもできるようにしておけば完璧ですね!

前置きはこの辺にして、実際の問題です。
このページでは工夫した場合を解説します。

(3) 6.1×5.9
昨日掲載した(2)の問題と同様に、(a+b)(a−b)=a2−b2の公式を使います。

 6.1×5.9
=(6+0.1)(6−0.1)
=62−0.12
=36−0.01
=35.99


(4) 9.9×9.7
どちらも10に近いので、10との差で書き換えてみます。

 9.9×9.7
=(10−0.1)(10−0.3)

あとは普通に展開の公式に従って計算すると、

=102+(−0.1−0.3)×10+0.1×0.3
=100−4+0.03
=96.03


(1),(2)に戻る


◆関連項目
展開・因数分解まとめ


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ラベル:数学
posted by えま at 07:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 中学数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。アマゾンやGooglePlayで「江間淳」で検索!
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