中学数学「立体」2024年茨城県立高校入試大問６(2)より�A三角錐ＲＰＥＦの体積

中学数学「立体」2024年茨城県立高校入試大問６(2)より�A三角錐ＲＰＥＦの体積

◆問題
底面を△ＤＥＦとする高さ４ｃｍの三角柱ＡＢＣＤＥＦについて次の問いに答えよ。ただし、ＤＥ＝ＤＦ＝３ｃｍ，ＥＦ＝２ｃｍとする。

�@三角柱ＡＢＣＤＥＦの表面積を求めよ。
�A辺ＢＣの中点をＰとし、辺ＡＤ上にＡＱ：ＱＤ＝３：１となる点Ｑをとる。また線分ＤＰ上に∠ＱＲＤ＝９０°となる点Ｒをとる。このとき、三角錐ＲＰＥＦの体積を求めよ。


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◆解答解説

�A辺ＢＣの中点をＰとし、辺ＡＤ上にＡＱ：ＱＤ＝３：１となる点Ｑをとる。また線分ＤＰ上に∠ＱＲＤ＝９０°となる点Ｒをとる。このとき、三角錐ＲＰＥＦの体積を求めよ。

この問題は新聞等に掲載されている図を見ながら読んでいただいた方が良いと思います。
東京新聞より＜茨城＞2024年首都圏公立高校入試　問題と正答

解き方はいくつか考えられますが、この記事では最も標準的と思われる方法を掲載します。
「三角錐Ｐ−ＤＥＦから三角錐Ｒ−ＤＥＦを引く」という方針です。

まずは三角錐Ｐ−ＤＥＦは簡単ですね。
底面が△ＤＥＦで、高さは４ｃｍだから、

(１／３)×２√２×４＝(８／３)√２ｃｍ³

となります。

次は三角錐Ｒ−ＤＥＦを求めます。
この三角錐の高さは、Ｒから△ＤＥＦに下ろした垂線になります。
Ｒ−ＤＥＦとＰ−ＤＥＦの高さの比は、ＤＲ：ＤＰと等しくなります。
これを求めるには、この線を含む断面を考えると良いです。

もとの三角柱をＡＰを通る平面で真下に二等分すると、断面はＡ，Ｐ，Ｄを通る長方形になります。
この断面上に△ＤＱＲがあります。
△ＤＱＲ∽△ＰＤＡだから、ＤＲ：ＤＱ＝ＤＡ：ＤＰですね。

これらの三角形の辺うち必要な長さを求めていきます。
△ＰＤＡについては、ＡＤ＝４ｃｍは問題の設定からわかっていて、ＡＰ＝２√２ｃｍは�@で求めました。
三平方の定理から、ＤＰ＝√{４²＋(２√２)²}＝√２４＝２√６ｃｍ

そして、ＡＱ：ＱＤ＝３：１で、ＡＤ＝４ｃｍだから、ＤＱ＝１ｃｍです。

というわけで、ＤＲ：１＝４：２√６より、ＤＲ＝４／２√６＝２／√６ｃｍとなります。

ＤＲとＤＰがわかったので、高さの比を求めていきましょう！
ＤＲ：ＤＰ＝２／√６：２√６＝２：１２＝１：６

というわけて、三角錐Ｒ−ＤＥＦは、Ｐ−ＤＥＦの１／６であることがわかります。
つまり、

Ｒ−ＤＥＦ＝(８／３)√２×１／６
　　　　　＝(４／９)√２ｃｍ³

というわけで求める体積は、

ＲＰＥＦ＝(８／３)√２−(４／９)√２＝{(２４−４)／９}√２＝(２０／９)√２ｃｍ³

ですね！


◆関連項目
直方体の表面積
図形まとめ(中学)


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中学数学「立体」2024年茨城県立高校入試大問６(2)より�@三角柱の表面積

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◆問題
底面を△ＤＥＦとする高さ４ｃｍの三角柱ＡＢＣＤＥＦについて次の問いに答えよ。ただし、ＤＥ＝ＤＦ＝３ｃｍ，ＥＦ＝２ｃｍとする。

�@三角柱ＡＢＣＤＥＦの表面積を求めよ。


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◆解答解説

立体の表面積を求めるときは、展開図を考えるとよいです。
展開図の全ての面の面積の合計が表面積ですね。

三角柱を展開すると、上と下の底面の三角形２つ、側面の長方形３つの合計５つの面ができます。

まず簡単に求められる側面から。

高さが４ｃｍだから、側面は３つとも縦は４ｃｍです。
横は、３ｃｍ，３ｃｍ，２ｃｍですね。
これらを１つにまとめれば、縦４ｃｍ，横８ｃｍの長方形になります。
つまり側面の面積は、３２ｃｍ²です。

底面の三角形は３ｃｍ，３ｃｍ，２ｃｍだから、二等辺三角形です。
頂点から底辺に垂線を引くと底辺を二等分するから、斜辺が３ｃｍの直角三角形ができて、三平方の定理で高さを求めることができます。

１²＋ｘ²＝３²
ｘ²＝９−１
ｘ²＝８
ｘ＝２√２

つまり、底面の三角形の高さは２√２ｃｍです。底辺は２ｃｍだから、底面の三角形の面積は、

２×２√２÷２＝２√２

これが上下２つあるので、底面の合計は４√２ｃｍ²です。

側面と底面を合計して、求める表面積は、

(３２＋４√２)ｃｍ²


◆関連項目
直方体の表面積
図形まとめ(中学)


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中学数学「２次関数」2024年茨城県立高校入試大問２(4)より

中学数学「２次関数」2024年茨城県立高校入試大問２(4)より

◆問題
関数ｙ＝２ｘ²で、ｘの変域が−１≦ｘ≦[�T]のとき、ｙの変域が[�U]≦ｙ≦１８である。[�T]，[�U]に当てはまる値をそれぞれ求めよ。


※実際の問題は２つの数字の組合せを選択肢から選ぶ問題でしたが、この記事ではそれぞれに入る値を直接求めることとします。


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◆解答解説

関数ｙ＝２ｘ²で、ｘの変域が−１≦ｘ≦[�T]のとき、ｙの変域が[�U]≦ｙ≦１８である。[�T]，[�U]に当てはまる値をそれぞれ求めよ。

標準的な２次関数の変域の問題です。
２次関数の場合は、ｘの範囲の両端がｙの最大最小になるとは限らないので、グラフを考えることが大切です。

ｙ＝２ｘ²のグラフは、正の数になるので、原点が頂点の下に凸の放物線となります。
ということは、使う範囲の中にｘ＝０が含まれていれば、自動的に原点が最小値です。

この問題では、ｙ＝１８が最大値になることがわかっているので、まずはこれを関数の式に代入してｘの値を求めてみましょう！

１８＝２ｘ²
ｘ²＝９
よって、ｘ＝±３

ｘの変域より、ｘは−１よりは小さくならないので、ｘ＝−３は適しない値とわかります。
つまり、ｙ＝１８のときのｘの値は３であると決まります。

ということは、ｘの変域は−１≦ｘ≦３ですね。
そしてこの範囲にゼロを含むので、原点のときが最小値であることも決まります。
つまり、ｙの変域は０≦ｙ≦１８となります。


◆関連項目
２次関数の式とｘの変域がわかっているとき
２次関数(中学)まとめ


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中学数学「三平方の定理」基本的な問題

中学数学「三平方の定理」基本的な問題

■問題

以下の直角三角形ＡＢＣの残りの辺の長さを求めよ。ただし、∠Ａ＝９０°とする。

(1) ｂ＝３，ｃ＝４

(2) ａ＝１３，ｂ＝５

(3) ｂ＝１，ｃ＝２


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■解答

∠Ａ＝９０°ということは、ａ²＝ｂ²＋ｃ²が成り立ちます。

この式にわかっている値をそれぞれ代入して、できた方程式を解けばＯＫです！

(1) ａ²＝３²＋４²
　　＝９＋１６
　　＝２５
　ａ＝５

(2) １３²＝５²＋ｃ²
ｃ²＝１６９−２５
ｃ²＝１４４
ｃ＝１２

(3) １：２：√３だから・・・とやってしまってはいけません。
ａが直角の対辺で、ｂ＝１，ｃ＝２だから、１：２：√３の場合つまり３０°，６０°，９０°の場合に当てはまらないからです。
一見して「特別な三角形」かな？と思っても、角度や辺の長さの条件が合うかどうかをしっかり確認するようにしましょう！

ａ²＝ｂ²＋ｃ²にｂ＝１，ｃ＝２を代入して、
ａ²＝１＋４
ａ²＝５
ａ＝√５


ちなみに、辺の長さはプラスに決まっているので、ここでは平方根を考えるときの±は省略しました。


図形まとめ(中学)


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中学数学「２次方程式」９(ｘ−５)2−１０＝０

中学数学「２次方程式」９(ｘ−５)²−１０＝０


◆問題　次の２次方程式を解け。

９(ｘ−５)²−１０＝０


このような式の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていると思いますが、えまじゅくでは別の方法をおすすめしています。


「そもそも基本的な２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


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◆解答解説

このように、カッコの２乗と定数項の問題の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていますが、もちろんそれ以外の方法で解くこともできます。

まずは展開してまとめます。

９(ｘ−５)²−１０＝０
９(ｘ²−１０ｘ＋２５)−１０＝０
９ｘ²−９０ｘ＋２２５−１０＝０
９ｘ²−９０ｘ＋２１５＝０

少し数字が大きいですが、ｘの２乗の項に係数が残っているので、解の公式に代入してみます。

ｘ＝[−(−９０)±√{(−９０)²−４×９×２１５}]／２×９
　＝{９０±√(８１００−７７４０)／１８
　＝(９０±√３６０)／１８
　＝(９０±６√１０)／１８
　＝(１５±√１０)／３


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」５(ｘ−１)2＝２０

中学数学「２次方程式」５(ｘ−１)²＝２０


◆問題　次の２次方程式を解け。

５(ｘ−１)²＝２０


このような式の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていると思いますが、えまじゅくでは別の方法をおすすめしています。


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◆解答解説

まずは両辺を共通因数の５で割ります。

５(ｘ−１)²＝２０
　(ｘ−１)²＝４

いわゆる「模範解答」では、ここで両辺の平方根をとりますが、「とにかく展開してまとめる」で全く問題なく解けます。

ｘ²−２ｘ＋１＝４
ｘ²−２ｘ−３＝０

ここで、因数分解をやってみましょう！

(ｘ＋１)(ｘ−３)＝０

よって、ｘ＝−１，３


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」(２／３)ｘ2＋１／６＝５／９

中学数学「２次方程式」(２／３)ｘ²＋１／６＝５／９


◆問題　次の２次方程式を解け。

(２／３)ｘ²＋１／６＝５／９


分数だらけなので難しく見えますが、ｘの２乗の項と定数項しかないので、実はそれほどでもないです。まずは式の変形をしましょう！


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◆解答解説

分数がない方が解きやすいので、まずは分母の公倍数を両辺に掛けましょう！
３，６，９の公倍数は１８だから、

(２／３)ｘ²＋１／６＝５／９
１８×(２／３)ｘ²＋１８×１／６＝１８×５／９
１２ｘ²＋３＝１０
１２ｘ²＝１０−３
１２ｘ²＝７
ｘ²＝７／１２

あとは両辺の平方根をとって、有理化していきます。

ｘ＝±√(７／１２)
　＝±√７／√１２
　＝±√７／２√３
　＝±√７×√３／(２×３)
　＝±√２１／６


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
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中学数学「空間図形」２：１に切断した立体の面積比

中学数学「空間図形」２：１に切断した立体の面積比

点Ａを頂点、△ＢＣＤを底面とする正四面体Ａ−ＢＣＤがある。
ＡＥ：ＥＢ＝２：１となるように点Ｅをとり、点Ｅを通り△ＢＣＤと平行な平面でこの正四面体を切断した。
頂点Ａを含む立体をＰ，頂点Ｂを含む立体をＱとして、次の問いに答えよ。

(1) 立体Ｐと立体Ｑの体積比を求めよ。

(2) 立体Ｐと立体Ｑの表面積の比を求めよ。


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◆解答解説

(1)でも考えたように、立体Ｐはもとの正四面体ＡＢＣＤと相似です。

切断面とＡＣとの交点をＦとすれば、

△ＡＥＦ：△ＡＢＣ＝２²：３²＝４：９

です。
ということは、

△ＡＥＦ：四角形ＥＢＣＦ＝４：５

となります。
今回の問題では、表面積の比を聞いているので、これらの比の値を合計して比べてしまいましょう！

立体Ｐは、△ＡＥＦと合同な三角形が４つ集まっているので、表面積は

４×４＝１６

となります。

立体Ｑは、四角形ＥＢＣＦと合同な四角形が３つ、△ＡＥＦと合同な三角形が１つ、△ＡＢＣと合同な三角形が１つだから、

５×３＋４＋９＝２０＋４＋９＝２８

というわけで、求める面積比は、

１６：２８＝４：７


(1)に戻る


図形まとめ(中学)


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中学数学「空間図形」２：１に切断した立体の体積比

中学数学「空間図形」２：１に切断した立体の体積比

点Ａを頂点、△ＢＣＤを底面とする正四面体Ａ−ＢＣＤがある。
ＡＥ：ＥＢ＝２：１となるように点Ｅをとり、点Ｅを通り△ＢＣＤと平行な平面でこの正四面体を切断した。
頂点Ａを含む立体をＰ，頂点Ｂを含む立体をＱとして、次の問いに答えよ。

(1) 立体Ｐと立体Ｑの体積比を求めよ。


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◆解答解説

底面に平行な平面で切断したのだから、もとの正四面体ＡＢＣＤと立体Ｐは相似な立体です。

相似な立体はどの辺も相似比の割合の比率だから、その体積比は相似比の３乗です。

ＡＥ：ＥＢ＝１：２だから、相似比は２：３ですね。

ということは、ＡＢＣＤ：立体Ｐ＝２³：３³＝８：２７です。

立体Ｑは、ＡＢＣＤから立体Ｐを引いた残りなので、

立体Ｑ＝２７−８＝１９

よって、立体Ｐ：立体Ｑ＝８：１９


次の問題→表面積の比


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中学数学「２次方程式」物体を秒速60mの速さで打ち上げたとき

中学数学「２次方程式」物体を秒速60mの速さで打ち上げたとき


◆問題　

物体を地上から毎秒６０ｍの速さで真上に打ち上げたときの、ｔ秒後の高さを(６０ｔ−５ｔ²)ｍとする。
物体の高さが１００ｍになるのは、物体を打ち上げてから何秒後か？


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◆解答解説

問題文に「ｔ秒後の高さを(６０ｔ−５ｔ²)ｍ」とする。と書かれているので、そのままコレを活用します。

高さが１００ｍになるときを求めたいのだから、「高さ＝１００」で式を立てればＯＫです。
つまり、

６０ｔ−５ｔ²＝１００

ですね。
ｔについての２次方程式ができたので、あとは普通に解きます。
まずは「●●＝０」の形にして整理します。

６０ｔ−５ｔ²−１００＝０
　　ｔ²−１２ｔ＋２０＝０

因数分解してｔの値を求めると、

(ｔ−２)(ｔ−１０)＝０
よって、ｔ＝２，１０

物体を打ち上げて、最高点に達した後また落ちてくるので、１００ｍ地点を２回通過する。というわけですね。

つまり解答は、「２秒後，１０秒後」


◆関連項目
長方形の土地の問題、２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある…�A

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◆問題　

横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある。この土地内に参考図に示すように、幅２ｍのＬ字型の花壇を作ったところ、残りの面積が２１６ｍ²となった。このとき次の問いに答えよ。


参考図　　　　２ｍ
┌──────┬┐
│　　　　　　││
│　　　　　　││
│　　　　　　││
├──────┘│
└───────┘

(1) 長方形の土地の縦の長さをｘｍとして、「残りの面積」を表す式を求めよ。

(2) この長方形の土地の縦の長さを求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓


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◆解答解説

(1)で、長方形の縦の長さをｘｍとするときの等式は、

(ｘ−２)(ｘ＋４)＝２１６

であることがわかりました。
これを解けばｘの値、つまり、縦の長さがわかりますね。解いてみましょう！

まずは展開して、

ｘ²＋２ｘ−８＝２１６

移項してまとめて、

ｘ²＋２ｘ−８−２１６＝０
ｘ²＋２ｘ−２２４＝０

かけて−２２４，足して２の２つの数の組合せを考えると・・・
１６と−１４ならうまくいきそうですね！

(ｘ＋１６)(ｘ−１４)＝０
よって、ｘ＝−１６，１４

ｘは縦の長さだから、ｘ＞０なので、

ｘ＝１４


(1)に戻る


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある…�@

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◆問題　

横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある。この土地内に参考図に示すように、幅２ｍのＬ字型の花壇を作ったところ、残りの面積が２１６ｍ²となった。このとき次の問いに答えよ。


参考図　　　　２ｍ
┌──────┬┐
│　　　　　　││
│　　　　　　││
│　　　　　　││
├──────┘│
└───────┘

(1) 長方形の土地の縦の長さをｘｍとして、「残りの面積」を表す式を求めよ。


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◆解答解説

長方形の縦の長さをｘｍとするので、横の長さは(ｘ＋６)ｍとなります。

そして、花壇の幅は２ｍだから、「残りの面積」の縦は(ｘ−２)ｍ，横は(ｘ＋４)ｍです。

「残りの面積」は２１６ｍ²だから、求める式は、

(ｘ−２)(ｘ＋４)＝２１６


次の問題→この長方形の縦の長さ


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「空間図形」三角錐の体積�A

中学数学「空間図形」三角錐の体積�A

ＡＢ＝ＡＣ＝９ｃｍ，∠Ａ＝９０°の直角三角形ＡＢＣを底面とし、高さがＯＡとなる三角錐Ｏ−ＡＢＣがある。
ＯＡ＝９ｃｍのとき、次の問いに答えよ。

(1) この三角錐Ｏ−ＡＢＣの体積を求めよ。

(2) ＯＣを２：１に分ける点をＰとする。Ｏ，Ｐ，Ａ，Ｂを頂点とする三角錐の体積を求めよ。


↓この記事では(2)を解説します。解答解説はお知らせの下↓

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ＰはＯＣを２：１に分けるので、三角錐Ｐ−ＡＢＣを考えると、高さはＯ−ＡＢＣの１／３になります。

(1)より、Ｏ−ＡＢＣの体積は２４３／２ｃｍ³で、底面は共通だから、体積は１／３となります。
つまり、

Ｐ−ＡＢＣ＝(２４３／２)×１／３＝８１／２[ｃｍ³]

求める立体はＯ，Ｐ，Ａ，Ｂを頂点とする三角錐で、これはＯ−ＡＢＣからＰ−ＡＢＣを差し引いたものだから、

２４３／２−８１／２＝１６２／２＝８１

というわけで、求める立体の体積は、８１ｃｍ³となります。


(1)に戻る


図形まとめ(中学)


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中学数学「空間図形」三角錐の体積�@

中学数学「空間図形」三角錐の体積�@

ＡＢ＝ＡＣ＝９ｃｍ，∠Ａ＝９０°の直角三角形ＡＢＣを底面とし、高さがＯＡとなる三角錐Ｏ−ＡＢＣがある。
ＯＡ＝９ｃｍのとき、次の問いに答えよ。

(1) この三角錐Ｏ−ＡＢＣの体積を求めよ。


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三角錐の体積は、底面積×高さ×１／３で求めることができます。

この問題では底面は直角三角形ＡＢＣで、長さは与えられているので、早速求めてみましょう！

△ＡＢＣ＝(１／２)×９×９＝８１／２[ｃｍ²]

高さは９ｃｍだから、求める体積は、

　(１／３)×(８１／２)×９
＝３×８１／２
＝２４３／２

というわけで、三角錐Ｏ−ＡＢＣの体積は、２４３／２ｃｍ³となります。


次の問題→Ｐ，Ｏ，Ａ，Ｂを頂点とする立体の体積


図形まとめ(中学)


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中学数学「２次方程式」８ｘ2−６０＝０

中学数学「２次方程式」８ｘ²−６０＝０


◆問題　次の２次方程式を解け。

８ｘ²−６０＝０


少し難しい２次方程式ですね。まずは式の変形をします。


「そもそも基本的な２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


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◆解答解説

２次方程式を解くためには、基本的には、まずは右辺をゼロにした方がよいです。
ただし、この問題のようにｘの２乗の項と定数項の２つの項のみがある場合は、定数項つまり数字だけの項を右辺に移項するのがノーマルです。

８ｘ²−６０＝０
８ｘ²＝６０
　ｘ²＝６０／８
　ｘ²＝１５／２

あとは両辺の平方根をとって、

　　ｘ＝±√(１５／２)
　　ｘ＝±√１５／√２

分母が√の数なので、有理化して完成です。

　　ｘ＝±√３０／２


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「展開」少し難しい計算(ｘ−４)(ｘ＋５)−(ｘ−６)^2

中学数学「展開」少し難しい計算(ｘ−４)(ｘ＋５)−(ｘ−６)²

◆　次の計算をせよ。

(ｘ−４)(ｘ＋５)−(ｘ−６)²


↓解答解説はお知らせの下↓


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ＡＥ個別学習室(えまじゅく)では、高校受験対策授業も行っています。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は小学校の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。

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◆解答解説

(ｘ−４)(ｘ＋５)−(ｘ−６)²

文字や数字がいくつもあって、難しく見えますが、それぞれ展開して同類項をまとめるだけです。
ただし、後半部分の前にマイナスがついているので、カッコを適切に使うことを意識しましょう！

　(ｘ−４)(ｘ＋５)−(ｘ−６)²
＝ｘ²＋ｘ−２０−(ｘ²−１２ｘ＋３６)

(ｘ−６)²にマイナスがついていたので、ｘ²−１２ｘ＋３６全体にマイナスをつけるイメージで、カッコが必要になります。
続いて、カッコを外して同類項をまとめれば完成です！

＝ｘ²＋ｘ−２０−ｘ²＋１２ｘ−３６
＝１３ｘ−５６


◆関連項目
展開・因数分解まとめ


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中学数学「２次方程式」１８ｘ^2＋１２ｘ＝−２など

中学数学「２次方程式」１８ｘ²＋１２ｘ＝−２など


◆問題　次の２次方程式を解け。

(1) １８ｘ²＋１２ｘ＝−２

(2) ２７ｘ²＝１８ｘ−３


少し難しい２次方程式ですね。まずは式の変形をします。


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◆解答解説

２次方程式を解くためには、まずは右辺をゼロにした方がよいです。
そして、因数分解ができれば因数分解。できなければ解の公式。です。

(1) １８ｘ²＋１２ｘ＝−２

まずは移項すると

１８ｘ²＋１２ｘ＋２＝０

全ての項が２で割れるので２で割って、

９ｘ²＋６ｘ＋１＝０

ここまできたら、因数分解をやってみましょう！
中学の範囲では、「項が３つあって、ｘの２乗に係数がついている場合はカッコの２乗になる」と考えてほとんど問題ありません。

(３ｘ＋１)²＝０

この式の値がゼロだから、カッコの中身がゼロです。０の２乗はゼロですね。

３ｘ＋１＝０

これはただの１次方程式なので、普通に解きます。

　　３ｘ＝−１
　　　ｘ＝−１／３


(2) ２７ｘ²＝１８ｘ−３

まずは移項して、右辺をゼロにします。

２７ｘ²−１８ｘ＋３＝０

全ての項が３で割れるので、割りましょう！

９ｘ²−６ｘ＋１＝０

先ほどの(1)とだいたい同じですね。因数分解をしてカッコの２乗にすることができます。

(３ｘ−１)²＝０

これも「カッコの中身がゼロ」だから、

３ｘ−１＝０
　　３ｘ＝１
　　　ｘ＝１／３


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中学数学「１次関数」２直線の交点と(０，３)を通る１次関数の式

中学数学「１次関数」２直線の交点と(０，３)を通る１次関数の式

◆問題

２直線２ｘ＋ｙ−２＝０，３ｘ＋２ｙ−５＝０の交点と、(０，３)を通る１次関数の式を求めよ。


２直線の交点は連立方程式で出ますね！


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◆解答・解説

２直線２ｘ＋ｙ−２＝０，３ｘ＋２ｙ−５＝０の交点と、(０，３)を通る１次関数の式を求めよ。

２つの関数の交点は、それらの式の連立方程式で求めることができます。

２ｘ＋ｙ−２＝０　・・・�@
３ｘ＋２ｙ−５＝０　・・・�A

�@×２　・・・　４ｘ＋２ｙ−４＝０
�A　　・・・−）３ｘ＋２ｙ−５＝０
　　　　　　―――――――――――
　　　　　　　　　ｘ　　　＋１＝０
　　　　　　　　　　　　　　ｘ＝−１
これを�@に代入すると、
−２＋ｙ−２＝０
　　　　　ｙ＝４

よって、交点は(−１，４)です。
この点と、(０，３)を通る直線の式を求めます。

(０，３)はｙ軸上の点なので、切片ｂ＝３がわかります。

ｙ＝ａｘ＋ｂにｂ＝３，(−１，４)を代入して、
４＝−ａ＋３
ａ＝−１

というわけで、傾き−１，切片３なので、求める直線の式は、

ｙ＝−ｘ＋３


◆関連項目
２つの関数の交点、ｙ軸上の点
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」２点(−２，−８)，(２，４)を通る１次関数の式

中学数学「１次関数」２点(−２，−８)，(２，４)を通る１次関数の式

◆問題

２点(−２，−８)，(２，４)を通る１次関数の式を求めよ。


１次関数なので、ｙ＝ａｘ＋ｂに適切な値を代入して計算ですね！


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◆解答・解説

２点(−２，−８)，(２，４)を通る１次関数の式を求めよ。

２点を通る直線の式は、ｙ＝ａｘ＋ｂに座標を代入して、式を２つ作り、連立して解けば求められます。

まず、(−２，−８)を代入すると、

−８＝−２ａ＋ｂ

(２，４)を代入すると、

４＝２ａ＋ｂ

これら２つの式を差し引いて、

−１２＝−４ａ
　　ａ＝３

ａ＝３を４＝２ａ＋ｂに代入すると、

４＝２×３＋ｂ
４＝６＋ｂ
ｂ＝−２

これで傾きと切片がわかりました。よって、求める直線の式は、

ｙ＝３ｘ−２


◆関連項目
２点を通る直線の式
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」変化の割合が−２で、ｘ＝−３のときｙ＝７となる１次関数の式

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◆問題

変化の割合が−２で、ｘ＝−３のときｙ＝７となる１次関数の式を求めよ。


１次関数なので、ｙ＝ａｘ＋ｂに適切な値を代入して計算ですね！


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◆解答・解説

変化の割合が−２で、ｘ＝−３のときｙ＝７となる１次関数の式を求めよ。

変化の割合は傾きと同じで、ａ＝−２です。
ｘ，ｙの値はそのまま代入します。つまり、

７＝−２×(−３)＋ｂ
７＝６＋ｂ
ｂ＝１

これで傾きと切片がわかりました。
あとはｙ＝ａｘ＋ｂの形で答えれば完成です！

ｙ＝２ｘ＋１


◆関連項目
変化の割合
１次関数まとめ


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プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
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