中学数学「式の計算」少し難しい因数分解�@

中学数学「式の計算」少し難しい因数分解�@

◆　問題

次の計算をせよ。

(1) ２ａ²＋８ａｂ＋８ｂ²

(2) ａｘ²−３ａｘ＋２ａ


↓解答解説はお知らせの下↓


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★★★★★★★★★★

◆解答解説

(1) ２ａ²＋８ａｂ＋８ｂ²
全ての項が２で割れるので、まずは２でくくってから、中身を因数分解します。

＝２(ａ²＋４ａｂ＋４ｂ²)
＝２(ａ＋２ｂ)²


(2) ａｘ²−３ａｘ＋２ａ
これはａが共通しているので、ａでくくってから、中身を因数分解ですね。

＝ａ(ｘ²−３ｘ＋２)
＝ａ(ｘ−１)(ｘ−２)


次の問題(3), (4)


◆関連項目
ｘの２乗に係数がついている場合
展開・因数分解まとめ


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中学数学「式の計算」置き換えを使う場合�A

中学数学「式の計算」置き換えを使う場合�A

◆　問題

次の計算をせよ。

(1) (ｘ−３)^２＋３(ｘ−３)−２８

(2) (ａ＋ｂ−ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(2) (ａ＋ｂ−ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)

文字はだいたい同じだけど、符号まで同じなのはａしかないし、置き換えられない！？
なんて思って、諦めてしまう人もいるかと思います。
でも、ちょっと工夫することで、簡単な式に書き換えることができます。

ｂ−ｃのかたまりをつくればいいですね！
−ｂ＋ｃ＝−(ｂ−ｃ)だから、

　(ａ＋ｂ−ｃ)(ａ−ｂ＋ｃ)
＝{ａ＋(ｂ−ｃ)}(ａ−(ｂ−ｃ)}

このように書き換えることができます。
ここで、ｂ−ｃ＝Ａとすれば、

＝(ａ＋Ａ)(ａ−Ａ)

このようにシンプルな式に直すことができました！
続いて、展開の公式に従ってカッコを外すと、

＝ａ²−Ａ²

Ａをもとに戻せば、

＝ａ²−(ｂ−ｃ)²
＝ａ²−(ｂ²−２ｂｃ＋ｃ²)
＝ａ²−ｂ²＋２ｂｃ−ｃ²

これで完成です！


◆関連項目
工夫して計算する問題
展開・因数分解まとめ


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中学数学「式の計算」展開の公式を使って工夫して計算する問題�A

中学数学「式の計算」展開の公式を使って工夫して計算する問題�A

◆　問題

次の計算をせよ。

(1)，(2)はこちら

(3) ６．１×５．９

(4) ９．９×９．７


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★★★★★★★★★★

◆解答解説

工夫して計算する問題です。
でも、もちろん、工夫してもしなくても結果は同じです。
工夫の仕方がわからない人は、普通に計算してしまえば良いです。
例えば１０分悩むくらいなら、普通に計算すれば、その悩んでいる時間のうちに終わると思います。

とは言っても、工夫の仕方がわかれば、工夫した方が速いし楽です。
どちらでもできるようにしておけば完璧ですね！

前置きはこの辺にして、実際の問題です。
このページでは工夫した場合を解説します。

(3) ６．１×５．９
昨日掲載した(2)の問題と同様に、(ａ＋ｂ)(ａ−ｂ)＝ａ²−ｂ²の公式を使います。

　６．１×５．９
＝(６＋０．１)(６−０．１)
＝６²−０．１²
＝３６−０．０１
＝３５．９９


(4) ９．９×９．７
どちらも１０に近いので、１０との差で書き換えてみます。

　９．９×９．７
＝(１０−０．１)(１０−０．３)

あとは普通に展開の公式に従って計算すると、

＝１０²＋(−０．１−０．３)×１０＋０．１×０．３
＝１００−４＋０．０３
＝９６．０３


(1)，(2)に戻る


◆関連項目
展開・因数分解まとめ


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中学数学「式の計算」展開の公式を使って工夫して計算する問題�@

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◆　問題

次の計算をせよ。

(1) １．０５²

(2) １００４×９９６


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★★★★★★★★★★

◆解答解説

工夫して計算する問題です。
でも、もちろん、工夫してもしなくても結果は同じです。
工夫の仕方がわからない人は、普通に計算してしまえば良いです。
例えば１０分悩むくらいなら、普通に計算すれば、その悩んでいる時間のうちに終わると思います。

とは言っても、工夫の仕方がわかれば、工夫した方が速いし楽です。
どちらでもできるようにしておけば完璧ですね！

前置きはこの辺にして、実際の問題です。
このページでは工夫した場合を解説します。

(1) １．０５²

「１．０５＝１＋０．０５」と考えて、展開の公式を使うと楽に計算できます。
(ａ＋ｂ)²＝ａ²＋２ａｂ＋ｂ²の公式ですね。

(１＋０．０５)²＝１²＋２×１×０．０５＋０．０５²

まず、そのまま公式に当てはめれば、このように書くことができます。
あとは計算ですね！

＝１＋０．１＋０．００２５
＝１．１０２５

(2) １００４×９９６

どちらも１０００に近い数なので、１０００＋４と１０００−４に書き換えて計算するとよいです。

１００４×９９６＝(１０００＋４)×(１０００−４)

(ａ＋ｂ)(ａ−ｂ)＝ａ²−ｂ²
の公式を使うと、とても簡単に計算できます。

＝１０００²−４²

文字式と同様にカッコを外せば、このように書き換えられますね！
よって、

＝１００００００−１６
＝９９９９８４


次の問題はこちら


◆関連項目
展開・因数分解まとめ


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中学数学「合同」平行四辺形の内部の三角形の合同の証明

中学数学「合同」平行四辺形の内部の三角形の合同の証明

■　問題

平行四辺形ＡＢＣＤの対角線ＢＤ上に、ＢＥ＝ＤＦとなる点Ｅ，Ｆをとると、△ＡＦＤ≡△ＣＥＢとなることを証明せよ。


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■　解答解説

合同の証明をするときは、最初にどの三角形について考えるかを宣言して、理由をつけて等しいことを言っていきます。
そして合同条件を述べて完成！という流れです。

＜証明＞
△ＡＦＤと△ＣＥＢで、
仮定より、ＤＦ＝ＢＥ　・・・�@
平行四辺形の対辺は等しいので、ＡＤ＝ＣＢ　・・・�A
平行線の錯角は等しいので、∠ＡＤＦ＝∠ＣＢＥ　・・・�B
�@，�A，�Bより、２組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＦＤ≡△ＣＥＢ


合同の証明をするのだから、必ず対応する辺や角は等しいです。
理由をつけて言うことができるものを探していく。という方針で探すとよいと思います。


◆関連項目
基本的な相似の証明
図形まとめ(中学)


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中学数学「立体」2024年茨城県立高校入試大問６(2)より�A三角錐ＲＰＥＦの体積

中学数学「立体」2024年茨城県立高校入試大問６(2)より�A三角錐ＲＰＥＦの体積

◆問題
底面を△ＤＥＦとする高さ４ｃｍの三角柱ＡＢＣＤＥＦについて次の問いに答えよ。ただし、ＤＥ＝ＤＦ＝３ｃｍ，ＥＦ＝２ｃｍとする。

�@三角柱ＡＢＣＤＥＦの表面積を求めよ。
�A辺ＢＣの中点をＰとし、辺ＡＤ上にＡＱ：ＱＤ＝３：１となる点Ｑをとる。また線分ＤＰ上に∠ＱＲＤ＝９０°となる点Ｒをとる。このとき、三角錐ＲＰＥＦの体積を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

�A辺ＢＣの中点をＰとし、辺ＡＤ上にＡＱ：ＱＤ＝３：１となる点Ｑをとる。また線分ＤＰ上に∠ＱＲＤ＝９０°となる点Ｒをとる。このとき、三角錐ＲＰＥＦの体積を求めよ。

この問題は新聞等に掲載されている図を見ながら読んでいただいた方が良いと思います。
東京新聞より＜茨城＞2024年首都圏公立高校入試　問題と正答

解き方はいくつか考えられますが、この記事では最も標準的と思われる方法を掲載します。
「三角錐Ｐ−ＤＥＦから三角錐Ｒ−ＤＥＦを引く」という方針です。

まずは三角錐Ｐ−ＤＥＦは簡単ですね。
底面が△ＤＥＦで、高さは４ｃｍだから、

(１／３)×２√２×４＝(８／３)√２ｃｍ³

となります。

次は三角錐Ｒ−ＤＥＦを求めます。
この三角錐の高さは、Ｒから△ＤＥＦに下ろした垂線になります。
Ｒ−ＤＥＦとＰ−ＤＥＦの高さの比は、ＤＲ：ＤＰと等しくなります。
これを求めるには、この線を含む断面を考えると良いです。

もとの三角柱をＡＰを通る平面で真下に二等分すると、断面はＡ，Ｐ，Ｄを通る長方形になります。
この断面上に△ＤＱＲがあります。
△ＤＱＲ∽△ＰＤＡだから、ＤＲ：ＤＱ＝ＤＡ：ＤＰですね。

これらの三角形の辺うち必要な長さを求めていきます。
△ＰＤＡについては、ＡＤ＝４ｃｍは問題の設定からわかっていて、ＡＰ＝２√２ｃｍは�@で求めました。
三平方の定理から、ＤＰ＝√{４²＋(２√２)²}＝√２４＝２√６ｃｍ

そして、ＡＱ：ＱＤ＝３：１で、ＡＤ＝４ｃｍだから、ＤＱ＝１ｃｍです。

というわけで、ＤＲ：１＝４：２√６より、ＤＲ＝４／２√６＝２／√６ｃｍとなります。

ＤＲとＤＰがわかったので、高さの比を求めていきましょう！
ＤＲ：ＤＰ＝２／√６：２√６＝２：１２＝１：６

というわけて、三角錐Ｒ−ＤＥＦは、Ｐ−ＤＥＦの１／６であることがわかります。
つまり、

Ｒ−ＤＥＦ＝(８／３)√２×１／６
　　　　　＝(４／９)√２ｃｍ³

というわけで求める体積は、

ＲＰＥＦ＝(８／３)√２−(４／９)√２＝{(２４−４)／９}√２＝(２０／９)√２ｃｍ³

ですね！


◆関連項目
直方体の表面積
図形まとめ(中学)


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中学数学「立体」2024年茨城県立高校入試大問６(2)より�@三角柱の表面積

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◆問題
底面を△ＤＥＦとする高さ４ｃｍの三角柱ＡＢＣＤＥＦについて次の問いに答えよ。ただし、ＤＥ＝ＤＦ＝３ｃｍ，ＥＦ＝２ｃｍとする。

�@三角柱ＡＢＣＤＥＦの表面積を求めよ。


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◆解答解説

立体の表面積を求めるときは、展開図を考えるとよいです。
展開図の全ての面の面積の合計が表面積ですね。

三角柱を展開すると、上と下の底面の三角形２つ、側面の長方形３つの合計５つの面ができます。

まず簡単に求められる側面から。

高さが４ｃｍだから、側面は３つとも縦は４ｃｍです。
横は、３ｃｍ，３ｃｍ，２ｃｍですね。
これらを１つにまとめれば、縦４ｃｍ，横８ｃｍの長方形になります。
つまり側面の面積は、３２ｃｍ²です。

底面の三角形は３ｃｍ，３ｃｍ，２ｃｍだから、二等辺三角形です。
頂点から底辺に垂線を引くと底辺を二等分するから、斜辺が３ｃｍの直角三角形ができて、三平方の定理で高さを求めることができます。

１²＋ｘ²＝３²
ｘ²＝９−１
ｘ²＝８
ｘ＝２√２

つまり、底面の三角形の高さは２√２ｃｍです。底辺は２ｃｍだから、底面の三角形の面積は、

２×２√２÷２＝２√２

これが上下２つあるので、底面の合計は４√２ｃｍ²です。

側面と底面を合計して、求める表面積は、

(３２＋４√２)ｃｍ²


◆関連項目
直方体の表面積
図形まとめ(中学)


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中学数学「２次関数」2024年茨城県立高校入試大問２(4)より

中学数学「２次関数」2024年茨城県立高校入試大問２(4)より

◆問題
関数ｙ＝２ｘ²で、ｘの変域が−１≦ｘ≦[�T]のとき、ｙの変域が[�U]≦ｙ≦１８である。[�T]，[�U]に当てはまる値をそれぞれ求めよ。


※実際の問題は２つの数字の組合せを選択肢から選ぶ問題でしたが、この記事ではそれぞれに入る値を直接求めることとします。


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◆解答解説

関数ｙ＝２ｘ²で、ｘの変域が−１≦ｘ≦[�T]のとき、ｙの変域が[�U]≦ｙ≦１８である。[�T]，[�U]に当てはまる値をそれぞれ求めよ。

標準的な２次関数の変域の問題です。
２次関数の場合は、ｘの範囲の両端がｙの最大最小になるとは限らないので、グラフを考えることが大切です。

ｙ＝２ｘ²のグラフは、正の数になるので、原点が頂点の下に凸の放物線となります。
ということは、使う範囲の中にｘ＝０が含まれていれば、自動的に原点が最小値です。

この問題では、ｙ＝１８が最大値になることがわかっているので、まずはこれを関数の式に代入してｘの値を求めてみましょう！

１８＝２ｘ²
ｘ²＝９
よって、ｘ＝±３

ｘの変域より、ｘは−１よりは小さくならないので、ｘ＝−３は適しない値とわかります。
つまり、ｙ＝１８のときのｘの値は３であると決まります。

ということは、ｘの変域は−１≦ｘ≦３ですね。
そしてこの範囲にゼロを含むので、原点のときが最小値であることも決まります。
つまり、ｙの変域は０≦ｙ≦１８となります。


◆関連項目
２次関数の式とｘの変域がわかっているとき
２次関数(中学)まとめ


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中学数学「三平方の定理」基本的な問題

中学数学「三平方の定理」基本的な問題

■問題

以下の直角三角形ＡＢＣの残りの辺の長さを求めよ。ただし、∠Ａ＝９０°とする。

(1) ｂ＝３，ｃ＝４

(2) ａ＝１３，ｂ＝５

(3) ｂ＝１，ｃ＝２


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■解答

∠Ａ＝９０°ということは、ａ²＝ｂ²＋ｃ²が成り立ちます。

この式にわかっている値をそれぞれ代入して、できた方程式を解けばＯＫです！

(1) ａ²＝３²＋４²
　　＝９＋１６
　　＝２５
　ａ＝５

(2) １３²＝５²＋ｃ²
ｃ²＝１６９−２５
ｃ²＝１４４
ｃ＝１２

(3) １：２：√３だから・・・とやってしまってはいけません。
ａが直角の対辺で、ｂ＝１，ｃ＝２だから、１：２：√３の場合つまり３０°，６０°，９０°の場合に当てはまらないからです。
一見して「特別な三角形」かな？と思っても、角度や辺の長さの条件が合うかどうかをしっかり確認するようにしましょう！

ａ²＝ｂ²＋ｃ²にｂ＝１，ｃ＝２を代入して、
ａ²＝１＋４
ａ²＝５
ａ＝√５


ちなみに、辺の長さはプラスに決まっているので、ここでは平方根を考えるときの±は省略しました。


図形まとめ(中学)


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中学数学「２次方程式」９(ｘ−５)2−１０＝０

中学数学「２次方程式」９(ｘ−５)²−１０＝０


◆問題　次の２次方程式を解け。

９(ｘ−５)²−１０＝０


このような式の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていると思いますが、えまじゅくでは別の方法をおすすめしています。


「そもそも基本的な２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

このように、カッコの２乗と定数項の問題の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていますが、もちろんそれ以外の方法で解くこともできます。

まずは展開してまとめます。

９(ｘ−５)²−１０＝０
９(ｘ²−１０ｘ＋２５)−１０＝０
９ｘ²−９０ｘ＋２２５−１０＝０
９ｘ²−９０ｘ＋２１５＝０

少し数字が大きいですが、ｘの２乗の項に係数が残っているので、解の公式に代入してみます。

ｘ＝[−(−９０)±√{(−９０)²−４×９×２１５}]／２×９
　＝{９０±√(８１００−７７４０)／１８
　＝(９０±√３６０)／１８
　＝(９０±６√１０)／１８
　＝(１５±√１０)／３


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」５(ｘ−１)2＝２０

中学数学「２次方程式」５(ｘ−１)²＝２０


◆問題　次の２次方程式を解け。

５(ｘ−１)²＝２０


このような式の場合は、平方根の考えによる解き方が標準となっていると思いますが、えまじゅくでは別の方法をおすすめしています。


「そもそも基本的な２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

まずは両辺を共通因数の５で割ります。

５(ｘ−１)²＝２０
　(ｘ−１)²＝４

いわゆる「模範解答」では、ここで両辺の平方根をとりますが、「とにかく展開してまとめる」で全く問題なく解けます。

ｘ²−２ｘ＋１＝４
ｘ²−２ｘ−３＝０

ここで、因数分解をやってみましょう！

(ｘ＋１)(ｘ−３)＝０

よって、ｘ＝−１，３


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」(２／３)ｘ2＋１／６＝５／９

中学数学「２次方程式」(２／３)ｘ²＋１／６＝５／９


◆問題　次の２次方程式を解け。

(２／３)ｘ²＋１／６＝５／９


分数だらけなので難しく見えますが、ｘの２乗の項と定数項しかないので、実はそれほどでもないです。まずは式の変形をしましょう！


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◆解答解説

分数がない方が解きやすいので、まずは分母の公倍数を両辺に掛けましょう！
３，６，９の公倍数は１８だから、

(２／３)ｘ²＋１／６＝５／９
１８×(２／３)ｘ²＋１８×１／６＝１８×５／９
１２ｘ²＋３＝１０
１２ｘ²＝１０−３
１２ｘ²＝７
ｘ²＝７／１２

あとは両辺の平方根をとって、有理化していきます。

ｘ＝±√(７／１２)
　＝±√７／√１２
　＝±√７／２√３
　＝±√７×√３／(２×３)
　＝±√２１／６


◆関連項目
２次方程式の基本〜標準の計算問題
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中学数学「空間図形」２：１に切断した立体の面積比

中学数学「空間図形」２：１に切断した立体の面積比

点Ａを頂点、△ＢＣＤを底面とする正四面体Ａ−ＢＣＤがある。
ＡＥ：ＥＢ＝２：１となるように点Ｅをとり、点Ｅを通り△ＢＣＤと平行な平面でこの正四面体を切断した。
頂点Ａを含む立体をＰ，頂点Ｂを含む立体をＱとして、次の問いに答えよ。

(1) 立体Ｐと立体Ｑの体積比を求めよ。

(2) 立体Ｐと立体Ｑの表面積の比を求めよ。


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◆解答解説

(1)でも考えたように、立体Ｐはもとの正四面体ＡＢＣＤと相似です。

切断面とＡＣとの交点をＦとすれば、

△ＡＥＦ：△ＡＢＣ＝２²：３²＝４：９

です。
ということは、

△ＡＥＦ：四角形ＥＢＣＦ＝４：５

となります。
今回の問題では、表面積の比を聞いているので、これらの比の値を合計して比べてしまいましょう！

立体Ｐは、△ＡＥＦと合同な三角形が４つ集まっているので、表面積は

４×４＝１６

となります。

立体Ｑは、四角形ＥＢＣＦと合同な四角形が３つ、△ＡＥＦと合同な三角形が１つ、△ＡＢＣと合同な三角形が１つだから、

５×３＋４＋９＝２０＋４＋９＝２８

というわけで、求める面積比は、

１６：２８＝４：７


(1)に戻る


図形まとめ(中学)


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中学数学「空間図形」２：１に切断した立体の体積比

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点Ａを頂点、△ＢＣＤを底面とする正四面体Ａ−ＢＣＤがある。
ＡＥ：ＥＢ＝２：１となるように点Ｅをとり、点Ｅを通り△ＢＣＤと平行な平面でこの正四面体を切断した。
頂点Ａを含む立体をＰ，頂点Ｂを含む立体をＱとして、次の問いに答えよ。

(1) 立体Ｐと立体Ｑの体積比を求めよ。


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◆解答解説

底面に平行な平面で切断したのだから、もとの正四面体ＡＢＣＤと立体Ｐは相似な立体です。

相似な立体はどの辺も相似比の割合の比率だから、その体積比は相似比の３乗です。

ＡＥ：ＥＢ＝１：２だから、相似比は２：３ですね。

ということは、ＡＢＣＤ：立体Ｐ＝２³：３³＝８：２７です。

立体Ｑは、ＡＢＣＤから立体Ｐを引いた残りなので、

立体Ｑ＝２７−８＝１９

よって、立体Ｐ：立体Ｑ＝８：１９


次の問題→表面積の比


図形まとめ(中学)


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中学数学「２次方程式」物体を秒速60mの速さで打ち上げたとき

中学数学「２次方程式」物体を秒速60mの速さで打ち上げたとき


◆問題　

物体を地上から毎秒６０ｍの速さで真上に打ち上げたときの、ｔ秒後の高さを(６０ｔ−５ｔ²)ｍとする。
物体の高さが１００ｍになるのは、物体を打ち上げてから何秒後か？


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◆解答解説

問題文に「ｔ秒後の高さを(６０ｔ−５ｔ²)ｍ」とする。と書かれているので、そのままコレを活用します。

高さが１００ｍになるときを求めたいのだから、「高さ＝１００」で式を立てればＯＫです。
つまり、

６０ｔ−５ｔ²＝１００

ですね。
ｔについての２次方程式ができたので、あとは普通に解きます。
まずは「●●＝０」の形にして整理します。

６０ｔ−５ｔ²−１００＝０
　　ｔ²−１２ｔ＋２０＝０

因数分解してｔの値を求めると、

(ｔ−２)(ｔ−１０)＝０
よって、ｔ＝２，１０

物体を打ち上げて、最高点に達した後また落ちてくるので、１００ｍ地点を２回通過する。というわけですね。

つまり解答は、「２秒後，１０秒後」


◆関連項目
長方形の土地の問題、２次方程式の基本〜標準の計算問題
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある…�A

中学数学「２次方程式」横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある…�A


◆問題　

横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある。この土地内に参考図に示すように、幅２ｍのＬ字型の花壇を作ったところ、残りの面積が２１６ｍ²となった。このとき次の問いに答えよ。


参考図　　　　２ｍ
┌──────┬┐
│　　　　　　││
│　　　　　　││
│　　　　　　││
├──────┘│
└───────┘

(1) 長方形の土地の縦の長さをｘｍとして、「残りの面積」を表す式を求めよ。

(2) この長方形の土地の縦の長さを求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓


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◆解答解説

(1)で、長方形の縦の長さをｘｍとするときの等式は、

(ｘ−２)(ｘ＋４)＝２１６

であることがわかりました。
これを解けばｘの値、つまり、縦の長さがわかりますね。解いてみましょう！

まずは展開して、

ｘ²＋２ｘ−８＝２１６

移項してまとめて、

ｘ²＋２ｘ−８−２１６＝０
ｘ²＋２ｘ−２２４＝０

かけて−２２４，足して２の２つの数の組合せを考えると・・・
１６と−１４ならうまくいきそうですね！

(ｘ＋１６)(ｘ−１４)＝０
よって、ｘ＝−１６，１４

ｘは縦の長さだから、ｘ＞０なので、

ｘ＝１４


(1)に戻る


◆関連項目
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中学数学「２次方程式」横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある…�@

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◆問題　

横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある。この土地内に参考図に示すように、幅２ｍのＬ字型の花壇を作ったところ、残りの面積が２１６ｍ²となった。このとき次の問いに答えよ。


参考図　　　　２ｍ
┌──────┬┐
│　　　　　　││
│　　　　　　││
│　　　　　　││
├──────┘│
└───────┘

(1) 長方形の土地の縦の長さをｘｍとして、「残りの面積」を表す式を求めよ。


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◆解答解説

長方形の縦の長さをｘｍとするので、横の長さは(ｘ＋６)ｍとなります。

そして、花壇の幅は２ｍだから、「残りの面積」の縦は(ｘ−２)ｍ，横は(ｘ＋４)ｍです。

「残りの面積」は２１６ｍ²だから、求める式は、

(ｘ−２)(ｘ＋４)＝２１６


次の問題→この長方形の縦の長さ


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中学数学「空間図形」三角錐の体積�A

中学数学「空間図形」三角錐の体積�A

ＡＢ＝ＡＣ＝９ｃｍ，∠Ａ＝９０°の直角三角形ＡＢＣを底面とし、高さがＯＡとなる三角錐Ｏ−ＡＢＣがある。
ＯＡ＝９ｃｍのとき、次の問いに答えよ。

(1) この三角錐Ｏ−ＡＢＣの体積を求めよ。

(2) ＯＣを２：１に分ける点をＰとする。Ｏ，Ｐ，Ａ，Ｂを頂点とする三角錐の体積を求めよ。


↓この記事では(2)を解説します。解答解説はお知らせの下↓

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ＰはＯＣを２：１に分けるので、三角錐Ｐ−ＡＢＣを考えると、高さはＯ−ＡＢＣの１／３になります。

(1)より、Ｏ−ＡＢＣの体積は２４３／２ｃｍ³で、底面は共通だから、体積は１／３となります。
つまり、

Ｐ−ＡＢＣ＝(２４３／２)×１／３＝８１／２[ｃｍ³]

求める立体はＯ，Ｐ，Ａ，Ｂを頂点とする三角錐で、これはＯ−ＡＢＣからＰ−ＡＢＣを差し引いたものだから、

２４３／２−８１／２＝１６２／２＝８１

というわけで、求める立体の体積は、８１ｃｍ³となります。


(1)に戻る


図形まとめ(中学)


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中学数学「空間図形」三角錐の体積�@

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ＡＢ＝ＡＣ＝９ｃｍ，∠Ａ＝９０°の直角三角形ＡＢＣを底面とし、高さがＯＡとなる三角錐Ｏ−ＡＢＣがある。
ＯＡ＝９ｃｍのとき、次の問いに答えよ。

(1) この三角錐Ｏ−ＡＢＣの体積を求めよ。


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三角錐の体積は、底面積×高さ×１／３で求めることができます。

この問題では底面は直角三角形ＡＢＣで、長さは与えられているので、早速求めてみましょう！

△ＡＢＣ＝(１／２)×９×９＝８１／２[ｃｍ²]

高さは９ｃｍだから、求める体積は、

　(１／３)×(８１／２)×９
＝３×８１／２
＝２４３／２

というわけで、三角錐Ｏ−ＡＢＣの体積は、２４３／２ｃｍ³となります。


次の問題→Ｐ，Ｏ，Ａ，Ｂを頂点とする立体の体積


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中学数学「２次方程式」８ｘ2−６０＝０

中学数学「２次方程式」８ｘ²−６０＝０


◆問題　次の２次方程式を解け。

８ｘ²−６０＝０


少し難しい２次方程式ですね。まずは式の変形をします。


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◆解答解説

２次方程式を解くためには、基本的には、まずは右辺をゼロにした方がよいです。
ただし、この問題のようにｘの２乗の項と定数項の２つの項のみがある場合は、定数項つまり数字だけの項を右辺に移項するのがノーマルです。

８ｘ²−６０＝０
８ｘ²＝６０
　ｘ²＝６０／８
　ｘ²＝１５／２

あとは両辺の平方根をとって、

　　ｘ＝±√(１５／２)
　　ｘ＝±√１５／√２

分母が√の数なので、有理化して完成です。

　　ｘ＝±√３０／２


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