中学数学「１次関数」直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２に関する問題�A

中学数学「１次関数」直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２に関する問題�A

◆問題

座標平面上に、直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２があり、直線ｌとｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＡ，Ｂ、直線ｍとｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＣ，Ｄとする。また、直線ｌと直線ｍの交点をＰとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) ２点Ａ，Ｄを通る直線の式を求めよ。

(2) △ＢＰＣを直線ＢＣに平行な直線で２つの部分に分けたとき、頂点Ｐの側にできる三角形の面積が△ＢＰＣの面積の１／４になった。このときの直線の式を求めよ。


(2)の解答解説はこのページ下


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◆解答・解説

「直線ＢＣに平行な直線」とあるので、まずは直線ＢＣの式(傾き)を求めましょう！

Ｂは直線ｌの切片なので、直線ＢＣの切片も４となります。

Ｃは直線ｍとｘ軸との交点なので、ｙ＝０を代入して計算します。

０＝(−１／３)ｘ＋２
０＝−ｘ＋６
ｘ＝６

つまり、Ｃ(６，０)です。

ｙ＝ａｘ＋ｂに、ｂ＝４，ｘ＝６，ｙ＝０を代入すると、
　　０＝６ａ＋４
−６ａ＝４
　　ａ＝−２／３

よって、直線ＢＣの式はｙ＝(−２／３)ｘ＋４となります。
そして、直線ＢＣと平行な直線は傾きが−２／３です。
「平行な直線は傾きが等しい」という性質があります。そしてＢＣの傾きは−２／３だから、求める直線の傾きも−２／３です。

あとは「面積が１／４」という条件について考える必要があります。
ＢＣに平行な直線で△ＢＰＣを切ると、点Ｐ側の三角形は、△ＢＰＣと形が同じつまり相似になります。
平行線の同位角は等しいので、２組の角がそれぞれ等しいので、相似ですね。

相似な図形で面積が１／４の場合は・・・

「相似比が１：２」です。

底辺も高さも１：２だから、面積は１／４となります。

相似比が１：２になればいいのだから、求める直線はＢＰ(とＣＰ)の中点を通ればいい。ということができます。


Ｐの座標はまだ求めていなかったので、ここで求めてみましょう！
Ｐは直線ｌと直線ｍの交点だから、これらの直線の式を連立して解けばＯＫです。

ｙ＝−２ｘ＋４，ｙ＝(−１／３)ｘ＋２の右辺同士をイコールで結んで、解きます。

　−２ｘ＋４＝(−１／３)ｘ＋２
−６ｘ＋１２＝−ｘ＋６
　　　−５ｘ＝−６
　　　　　ｘ＝６／５

これをｙ＝−２ｘ＋４に代入して、
ｙ＝−２×６／５＋４
　＝−１２／５＋２０／５
　＝８／５

つまり、Ｐ(６／５，８／５)です。

そしてＢＰの中点は、Ｂの座標とＰの座標の平均です。
ｘ座標・・・(０＋６／５)÷２＝３／５
ｙ座標・・・(４＋８／５)÷２＝１４／５

だから、ＢＰの中点(３／５，１４／５)です。

というわけで、傾きが−２／３で、(３／５，１４／５)を通る直線が求める直線です。
ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して計算していきましょう！

１４／５＝(−２／３)×(３／５)＋ｂ
１４／５＝−２／５＋ｂ
−ｂ＝−２／５−１４／５
−ｂ＝−１６／５
　ｂ＝１６／５

だいぶ長くなりましたが、というわけで、求める直線は、

ｙ＝(−２／３)ｘ＋１６／５


◆関連項目
交点、ｙ軸上で交わる条件、平行な直線
１次関数まとめ
相似比と面積比


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中学数学「１次関数」直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２に関する問題�@

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◆問題

座標平面上に、直線ｌ：ｙ＝−２ｘ＋４，直線ｍ：ｙ＝(−１／３)ｘ＋２があり、直線ｌとｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＡ，Ｂ、直線ｍとｘ軸，ｙ軸との交点をそれぞれＣ，Ｄとする。また、直線ｌと直線ｍの交点をＰとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) ２点Ａ，Ｄを通る直線の式を求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解答・解説

直線の式を求めるときは、多くの場合は２点の座標を求めればＯＫです。

「２点の座標→ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して連立」

という方針です。

「Ａ，Ｐを通る直線」を求めたいので、まずは点Ａ，点Ｐの座標を求めましょう！


Ａは「ｙ＝−２ｘ＋４とｘ軸との交点」です。

ｘ軸上はｙ＝０なので、この式にｙ＝０を代入して解きます。

　０＝−２ｘ＋４
２ｘ＝４
　ｘ＝２

よって、Ａ(２，０)ですね。
ｙ＝０を入れたらｘ＝２だったので、(２，０)です。


続いて点Ｄです。
点Ｄは「ｙ＝(−１／３)ｘ＋２とｙ軸との交点」です。

ｙ軸上はｘ＝０なので、この式にｘ＝０を代入して解きます。
ｙ＝２だから、Ｄ(０，２)ですね。

ｙ軸上の点は切片なので、ｂ＝２だからＤ(０，２)と見てもよいです。


２点の座標Ａ(２，０)，Ｄ(０，２)がわかったので、あとはこれら２点を通る直線の式を求めます。

２点がわかればとにかくｙ＝ａｘ＋ｂに代入して連立で解けますが、この場合はＤから切片がわかっているので、ｂ＝２を代入して、ｘ，ｙにＡの座標を代入する。と考えた方が簡単です。

　　０＝２ａ＋２
−２ａ＝２
　　ａ＝−１

よって、ｙ＝−ｘ＋２

傾きは−１，切片は２だから、ａ，ｂにそれぞれ代入すると、ｙ＝−ｘ＋２ですね！


◆関連項目
交点、ｙ軸上で交わる条件
１次関数まとめ


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中学数学(用語)「交点」

中学数学(用語)「交点」

交点とは「交わる点」です。
交点の座標は、それら２つの関数の式を同時に満たすｘ，ｙの値です。

両方の式を同時に満たす値だから、

２つの関数の交点の座標は連立方程式で求めることができます。

直線同士でも、直線と曲線でも、曲線同士でも、交点なら連立方程式です。


動画でも説明してみました。


◆関連項目
ｙ＝２ｘ−１とｙ＝−ｘ＋３の交点、ｙ＝−(３／４)ｘ＋４の増加量、ｘ軸・ｙ軸との交点、平行な直線
ｙ＝ｘ^２とｙ＝ｘ＋６の交点


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中学数学「２次方程式」ｘについての説明の通りに式を立てる問題

中学数学「２次方程式」ｘについての説明の通りに式を立てる問題


◆問題

ある自然数ｘがある。ｘに２を加えて２乗した数は、ｘに１２を加えて５倍した数に等しい。この条件を満たすｘの値を求めよ。


２次方程式の基本的な文章問題です。「そもそも２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


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◆解答解説

ある自然数ｘがある。ｘに２を加えて２乗した数は、ｘに１２を加えて５倍した数に等しい。この条件を満たすｘの値を求めよ。

このように、ｘについての説明がある問題は、とにかく「その通りに式を作って解く」だけです。

「ｘに２を加えて２乗」・・・(ｘ＋２)²
「ｘに１２を加えて５倍」・・・(ｘ＋１２)×５

これらが等しいので、イコールで結びます。

(ｘ＋２)²＝(ｘ＋１２)×５

あとは普通に解きましょう！

ｘ²＋４ｘ＋４＝５ｘ−６０

ｘ²＋４ｘ−５ｘ＋４−６０＝０
ｘ²−ｘ−５６＝０
(ｘ＋７)(ｘ−８)＝０
よって、ｘ＝−７，８

問題の条件では「自然数」なので、プラスの数のみを答えます。
だから、この問題の答えは

ｘ＝８


◆関連項目
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」差と積がわかっている２数

中学数学「２次方程式」差と積がわかっている２数


◆問題

大小２つの整数ａ，ｂがある。ａ，ｂの差は６で、積は４０である。ａ＞ｂのとき、ａ，ｂの値を求めよ。


２次方程式の基本的な文章問題です。「そもそも２次方程式の解き方がわからないよ！」という人は、まずは「基本的な解き方」や「２次方程式まとめ」を見てください。


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◆解答解説

大小２つの整数ａ，ｂがある。ａ，ｂの差は６で、積は４０である。ａ＞ｂのとき、ａ，ｂの値を求めよ。

まずは問題の設定の通りに、式を立ててみましょう。

「ａ，ｂの差は６」「ａ＞ｂ」だから、ａ−ｂ＝６
「積は４０」だから、ａｂ＝４０

まずはこれらの式ができます。
これらを組み合わせれば、ａ，ｂの値を求めることができそうですね！

ａ−ｂ＝６よりａ＝ｂ＋６

これをａｂ＝４０に代入すると、

(ｂ＋６)×ｂ＝４０

ｂについての２次式ができたので、普通に２次方程式を解きます。

　　　ｂ²＋６ｂ＝４０
ｂ²＋６ｂ−４０＝０
(ｂ−４)(ｂ＋１０)＝０
ｂ＝４，−１０

それぞれのａの値を求めましょう！

ｂ＝４のとき、ａ−４＝６より、ａ＝１０
ｂ＝−１０のとき、ａ−(−１０)＝６より、ａ＝−４

これらはどちらも整数ですし、ａ＞ｂを満たしているので、題意に合っています。
よって解答は、

ａ＝１０，ｂ＝４またはａ＝−４，ｂ＝−１０


◆関連項目
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「２次方程式」解が１つわかっているとき

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◆問題

２次方程式ｘ²＋ａｘ＋１２＝０の解の１つが２のとき、ａの値と他の解を求めなさい。


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◆解答解説

２次方程式ｘ²＋ａｘ＋１２＝０の解の１つが２のとき、ａの値と他の解を求めなさい。

「解」は「ｘの値」だから、解がわかっているときは、その解をｘに代入して計算すればＯＫです。

「解が２」だから「ｘ＝２」ですね。
代入してみると、

２²＋２ａ＋１２＝０

こうなります。
あとは普通にａについての１次方程式として解けばＯＫ！

４＋２ａ＋１２＝０
　　　　　２ａ＝−１６
　　　　　　ａ＝−８

これでａの値は出ました。この問題では「他の解」も聞いているので、ａの値をもとの式に代入して計算します。

ｘ²−８ｘ＋１２＝０
(ｘ−２)(ｘ−６)＝０
よって、ｘ＝２，６

つまり、「他の解」はｘ＝６ですね！


◆関連項目
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中学数学「２次方程式」平方完成や置き換えを使う計算問題

中学数学「２次方程式」平方完成や置き換えを使う計算問題


この記事では、前回の記事のうち、

(6) (ｘ−３)²−４＝０

(10) (ｘ−５)²−３(ｘ−５)＝０

これら２問の「模範的な解き方」を紹介します。


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◆解答解説

(6) (ｘ−３)²−４＝０

このように「カッコの２乗」と数字だけの式の場合は、平方根の考え方を応用して解くのが模範的とされています。

(ｘ−３)²＝４

こうすれば、左辺も右辺も「何かの２乗」だから、両辺の平方根をとれば簡単な式になる。というわけです。

ｘ−３＝±２
　　ｘ＝３±２

これは「３＋２の場合と３−２の場合がある」という意味です。

よって、ｘ＝５，１


(10) (ｘ−５)²−３(ｘ−５)＝０

このように、カッコの中身が共通しているときは、その共通の部分をＡなどで置き換えると、式の変形が簡単にできます。

Ａ²−３Ａ＝０
Ａ(Ａ−３)＝０

Ａをもとに戻せば、

(ｘ−５)(ｘ−５−３)＝０
　　(ｘ−５)(ｘ−８)＝０
よって、ｘ＝５，８


展開してまとめて解いた場合


◆関連項目
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中学数学「２次方程式」計算問題(解の公式を使ったり、式の変形をする問題)

中学数学「２次方程式」計算問題(解の公式を使ったり、式の変形をする問題)

◆問題
次の２次方程式を解け。

(6) (ｘ−３)²−４＝０

(7) ｘ²−３ｘ−２＝０

(8) ｘ²−２ｘ−２＝０

(9) (ｘ＋３)²＝５ｘ＋１１

(10) (ｘ−５)²−３(ｘ−５)＝０


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◆解答解説

(6) (ｘ−３)²−４＝０

このタイプの問題は、−４を移項して、平方根の考えで解くのが模範的とされていますが、展開してまとめて因数分解または解の公式で解けば全く問題ありません。

ｘ²−６ｘ＋９−４＝０
ｘ²−６ｘ＋５＝０
(ｘ−１)(ｘ−５)＝０
よって、ｘ＝１，５


(7) ｘ²−３ｘ−２＝０

かけて−２，足して−３になる整数はないので、解の公式を使います。

ｘ＝[−(−３)±√{(−３)2−４×１×(−２)}]／(２×１)
　＝{３±√(９＋８)}／２
　＝(３±√１７)／２


(8) ｘ²−２ｘ−２＝０

同様に、解の公式を使います。

ｘ＝[−(−２)±√{(−２)²−４×１×(−２)}]／(２×１)
　＝{２±√(４＋８)}／２
　＝(２±√１２)／２
　＝(２±２√３)／２
　＝１±√３

このように最後に約分できる場合もあります。


(9) (ｘ＋３)²＝５ｘ＋１１

項がたくさんある場合は、まずは展開してまとめます。

ｘ²＋６ｘ＋９−５ｘ−１１＝０
ｘ²＋ｘ−２＝０
(ｘ＋２)(ｘ−１)＝０
よって、ｘ＝−２，１


(10) (ｘ−５)²−３(ｘ−５)＝０

「計算の工夫」ができる場合は、やると計算が簡単になる場合もありますが、どうすればいいか悩むくらいなら、「とにかく展開してまとめる！」方が速いです。

(ｘ−５)²−３(ｘ−５)＝０
ｘ²−１０ｘ＋２５−３ｘ＋１５＝０
ｘ²−１３ｘ＋４０＝０
(ｘ−５)(ｘ−８)＝０
よって、ｘ＝５，８


動画による解説はこちら


(6)と(10)については、「どうしても模範的な解き方でやりたい！」という人もいると思うので、別の記事で解説します→こちらです


前の問題→(1)〜(5)


◆関連項目
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中学数学「２次方程式」計算問題(平方根の考えや因数分解で解ける問題)

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◆問題
次の２次方程式を解け。

(1) ｘ²＝２４

(2) ２ｘ²＝５０

(3) ｘ²−ｘ−６＝０

(4) ｘ²＋２ｘ＝２４

(5) ｘ²＋２ｘ＝０


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◆解答解説

(1) ｘ²＝２４

「ｘ²＝●●」の形なので、平方根の考えで解くのがノーマルです。

ｘ＝±√２４
　＝±２√６


(2) ２ｘ²＝５０

ｘの2乗の項と数字だけなので、平方根の考えで解きますが、２と５０はどちらも２で割れるので、まずは割ってから平方根にします。

ｘ²＝２５
　ｘ＝±５


(3) ｘ²−ｘ−６＝０

かけて−６，足して−１となる数は２と−３だから、因数分解します。

(ｘ＋２)(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝−２，３


(4) ｘ²＋２ｘ＝２４

２次方程式を解くときは、まずは「●●＝０」の形にします。それから因数分解。

ｘ²＋２ｘ−２４＝０
　　(ｘ＋６)(ｘ−４)＝０
よって、ｘ＝−６，４


(5) ｘ²＋２ｘ＝０

これは項が２つしかないので、平方根の考えで・・・とやってしまう人も多いですが、２ではなく２ｘだから、それはできません。
むしろ簡単な因数分解です。
２つの項にｘが共通しているので、ｘでくくります。

ｘ(ｘ＋２)＝０

ｘとｘ＋２をかけたらゼロだから、ｘ＝０，ｘ＋２＝０より、
ｘ＝０，−２


動画による解説はこちら


次の問題→(6)〜(10)


◆関連項目
「基本的な解き方」、「２次方程式まとめ」

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中学数学「平方根」四則混合の計算問題１０問

中学数学「平方根」四則混合の計算問題１０問


◆問題

(1) √２(√６−１)

(2) ２√５(√１０−√２０)

(3) √１８＋４／√２

(4) √２４＋√(３／２)−１２／√６

(5) (√３−√２)(√３−１)

(6) (√５−７)(√５−２)

(7) (√２＋１)²

(8) (√６−√１２)²

(9) (√２−３)(√２＋２)−√６(√３−√６)

(10) (√７−２)²−(√７＋２)²


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◆解答解説

・カッコがあるので、まずはカッコを外す。
・展開の公式が使えるときは使う。
・√の中身が大きいときはａ√ｂの形に直す。
・分母にルートがあれば有理化する。
・√の中身が同じもの同士を足したり引いたりする。

以上のことをやっていきます。

(1) √２(√６−１)
＝√１２−√２
＝２√３−√２

(2) ２√５(√１０−√２０)
＝２√５０−２√１００
＝２×５√２−２×１０
＝１０√２−２０

(3) √１８＋４／√２
＝３√２＋(４√２)／２
＝３√２＋２√２
＝５√２

(4) √２４＋√(３／２)−１２／√６
＝２√６＋√３／√２−(１２√６)／６
＝２√６＋√６／２−２√６
＝√６／２

(5) (√３−√２)(√３−１)
＝√３²−√３−√６＋√２
＝３＋√２−√３−√６

(6) (√５−７)(√５−２)
＝√５²−９√５＋１４
＝５−９√５＋１４
＝１９−９√５

(7) (√２＋１)²
＝√２²＋２√２＋１
＝２＋２√２＋１
＝３＋２√２

(8) (√６−√１２)²
＝６−２√７２＋１２
＝１８−２×６√２
＝１８−１２√２

(9) (√２−３)(√２＋２)−√６(√３−√６)
＝√２²−√２−６−√１８＋√６²
＝２−√２−６−３√２＋６
＝２−４√２

(10) (√７−２)²−(√７＋２)²
√７−２＝Ａ，√７＋２＝Ｂとおくと、
＝Ａ²−Ｂ²
＝(Ａ＋Ｂ)(Ａ−Ｂ)
＝(√７−２＋√７＋２){(√７−２)−(√７＋２)}
＝２√７(√７−２−√７−２)
＝(２√７)×(−４)
＝−８√７

(10)は「計算の工夫」をしてみました。
もちろんしなくても大丈夫です！


動画による解説はこちら


◆関連項目
√２０(１＋√５)÷√８など
平方根まとめ


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中学数学「平方根」３＜√ａ＜４を満たす自然数ａの値

中学数学「平方根」３＜√ａ＜４を満たす自然数ａの値


先日の中学生の授業から、１問ピックアップします。


◆問題

３＜√ａ＜４を満たす自然数ａの値を全て求めよ。


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◆解答解説

平方根の値の大小に関して考えるときは、２乗してみると良いです。
ルートのままでは値の大小が比較しにくいので、２乗してルートを外してしまおうというわけです。
与えられた式のそれぞれの部分を２乗してみましょう！

３＜√ａ＜４
９＜ａ＜１６

２乗したらとてもシンプルな式になりました。
９＜ａ＜１６はつまり「ａは９より大きく１６より小さい」という意味です。

今回の問題では、この式を満たすａの値を聞いているので、答えは

１０，１１，１２，１３，１４，１５

となります！


動画による解説はこちら


◆関連項目
ルートの値
平方根まとめ


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中学数学「平方根」５と２√６の大小比較

中学数学「平方根」５と２√６の大小比較


先日の中学生の授業から、１問ピックアップします。


◆問題

次の２数の大小を比較せよ。

５，２√６


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◆解答解説

５と２√６ではどちらが大きいか比較する問題です。
このままではわかりにくいので、２乗して比較しましょう！
正の数は、有理数でも無理数でも、２乗しても大小関係は変わりません。

例えば、

２＜３
２²＜３²

ですね。

５と２√６でも同様の考え方ができます。

５²＝２５
(２√６)²＝２４

だから

５²＞(２√６)²

つまり、

５＞２√６

です。


動画による解説はこちら


◆関連項目
ルートの値
平方根まとめ

高校レベルでも類似問題があります。興味がある人はチャレンジしてみましょう！→３／(√５−√２)，２／(√５−√３)の大小比較


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中学数学「１次関数」動点Ｐと三角形の面積の問題

中学数学「１次関数」動点Ｐと三角形の面積の問題

◆問題

ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ＝１２ｃｍの直角三角形ＡＢＣがある。点ＰがＡを出発して、Ｂを通りＣまで移動する。点Ｐがｘｃｍ動いたときの△ＡＰＣの面積をｙｃｍ²として、次の問いに答えなさい。

(1) 点Ｐが次の位置にあるとき、ｙをｘの式で表しなさい。
�@ＡＢ間　　�AＢＣ間

(2) ｙ＝１８となるときのｘの値を求めなさい。

　　Ａ
　��
Ｃ　Ｂ


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◆解答・解説

三角形の面積を表す問題なので、「ｘを使って、底辺や高さを表して、式を立てる」のが標準的な解き方ですが、実はこの場合はそんなことをしなくても、ｘ，ｙの関係式を簡単に求めることができます。

それは、

わかりやすいときのｘ，ｙを求める

という方法です。

ｘ＝０のとき、点Ｐは点Ａ上にあるので、△ＡＰＣの面積はゼロですね。つまり、ｘ＝０のときｙ＝０です。

点ＰがＢまで移動したときは、ｘ＝５です。このとき△ＡＰＣ＝△ＡＢＣだから、面積は５×１２÷２＝３０です。つまり、ｘ＝５のときｙ＝３０です。

この間の面積の変化の仕方は一定なので、ｘ，ｙの関係は１次関数ｙ＝ａｘ＋ｂで表すことができます。
そして、ｘ，ｙの組み合わせが２つわかっているので、それらをｙ＝ａｘ＋ｂに代入することができる。というわけです。

ｘ＝０のときｙ＝０つまり、原点を通るので、ｂ＝０です。

ｙ＝ａｘ＋ｂに、ｘ＝５，ｙ＝３０，ｂ＝０を代入すると、
３０＝５ａ
　ａ＝６

というわけで、�@の答えは、ｙ＝６ｘ

�Aも同様にやっていきます。
ＰがＣまで移動したときは、Ｐは５＋１２＝１７ｃｍ移動していて、△ＡＰＣ＝０ですね。つまり、ｘ＝１７のときｙ＝０です。
点Ｂのときの、ｘ＝５，ｙ＝３０は、ＢＣ間の値でもあるので、そのまま利用すれば、この時点ですでにｙ＝ａｘ＋ｂ上の点が２ヶ所わかっていることになります。
だから、普通に「２点を通る直線式の求め方」で�Aの式を求めることができます。

ｘ＝５，ｙ＝３０のとき、３０＝５ａ＋ｂ
ｘ＝１７，ｙ＝０のとき、０＝１７ａ＋ｂ

これらを連立して解けば、

３０＝−１２ａ
　ａ＝−３０／１２
　　＝−５／２

０＝１７×(−５／２)＋ｂ
０＝−８５／２＋ｂ
ｂ＝８５／２

よって、�Aのときの式は、ｙ＝−(５／２)ｘ＋８５／２


(2) ｙ＝１８となるときのｘの値を求めなさい。
すでに式がわかっているので、ｙ＝１８を代入して計算するだけです。

�@のときはｙは０から３０まで変化し、�Aのときは３０から０まで変化したので、どちらでもｙ＝１８になる瞬間があるはずです。
というわけで、�@，�A両方やっていきます。

�@のとき
１８＝６ｘ
　ｘ＝３

�Aのとき
１８＝−(５／２)ｘ＋８５／２
(５／２)ｘ＝８５／２−１８
(５／２)ｘ＝４９／２
　　　ｘ＝(４９／２)×(２／５)
　　　　＝４９／５


◆関連項目
動点Ｐと三角形の面積(動画)
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」１次関数ｙ＝−２ｘ＋５のｘの変域が−２≦ｘ≦ａのときのｙの変域

中学数学「１次関数」１次関数ｙ＝−２ｘ＋５のｘの変域が−２≦ｘ≦ａのときのｙの変域

◆問題

１次関数ｙ＝−２ｘ＋５のｘの変域が−２≦ｘ≦ａのとき、ｙの変域は、−３≦ｙ≦ｂになる。ａ，ｂの値を求めよ。


直線の変域は、両端です！


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◆解答・解説

１次関数の変域に関する問題です。
この記事などにも書きましたが、１次関数の変域は、その範囲内の両端の値になります。

−２≦ｘ≦ａ，−３≦ｙ≦ｂだから、ｘ＝−２のときｙ＝−３で、ｘ＝ａのときｙ＝ｂ・・・とは限りません(笑)

直線は右上がりの場合と右下がりの場合があります。
傾きがプラスなら右上がり、傾きがマイナスなら右下がりですね。

今回の問題では、ｙ＝−２ｘ＋５なので、傾きがマイナスだから右下がりです。

ということは、ｘが小さいときにｙが大きく、ｘが大きくなるとｙが小さくなります。

つまり、ｘ＝−２のときｙ＝ｂで、ｘ＝ａのときｙ＝−３です。

ｙ＝−２ｘ＋５にｘ＝−２を代入すると、
ｙ＝−２×(−２)＋５
　＝４＋５
　＝９

よって、ｂ＝９

ｙ＝−２ｘ＋５にｙ＝−３を代入すると、
−３＝−２ｘ＋５
２ｘ＝５＋３
２ｘ＝８
　ｘ＝４

よって、ａ＝４

まとめると、ａ＝４，ｂ＝９です。


ちなみにこのａ，ｂは、問題で決められているので、１次関数の標準形の傾きａと切片ｂとは関係ありません。


◆関連項目
変域
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中学数学「１次関数」変域

中学数学「１次関数」変域

変域とは「変化する範囲」です。

つまり、最小値と最大値です。

例えばｘの最小値が−２，最大値が３ならば、ｘの変域は不等号を使って

−２≦ｘ≦３

このように表します。

１次関数や比例は直線なので、最大値と最小値は必ず両端になります。
実際に座標平面上に直線を引いてみるとわかると思いますが、直線の途中が最大や最小になることはありません。

だから、「変域を求めなさい」という問いがあれば、とにかく両端の座標を求めればＯＫです！


ちなみに、中３や高校で習う２次関数の場合は、グラフが曲線なので、両端が最大最小とは限りません。
また、高校数学ではｘの変域を「定義域」、ｙの変域を「値域」と呼びます。


◆関連項目
ｙ＝２ｘ＋１の変域(ショート動画)
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」ｙ＝−３ｘ＋５，６ｘ＋ａｙ−４＝０が平行

中学数学「１次関数」ｙ＝−３ｘ＋５，６ｘ＋ａｙ−４＝０が平行

◆問題

２直線ｙ＝−３ｘ＋５，６ｘ＋ａｙ−４＝０が平行になるようにａの値を定めよ。


平行ならば傾きが等しいですね！


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

平行ならば傾きが等しいので、「それぞれの直線の式の傾きを求めて、イコールで結ぶ」という方針でやっていきます。

まず、ｙ＝−３ｘ＋５は、ｙ＝ａｘ＋ｂの形になっているので、見たままで傾きがわかります。
−３ですね。


６ｘ＋ａｙ−４＝０は、このままでは傾きはわからないので、ｙ＝ａｘ＋ｂの形に変形します。

６ｘ＋ａｙ−４＝０
　　　　　ａｙ＝−６ｘ＋４
　　　　　　ｙ＝−(６／ａ)ｘ＋４／ａ

というわけで、傾きは−６／ａです。

平行ならばこれらの傾きが等しいので、

　−３＝−６／ａ
−３ａ＝−６
　　ａ＝２

この２直線が平行なときのａの値は２であることがわかりました！


◆関連項目
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」ｙ＝−(３／４)ｘ＋４の増加量、ｘ軸・ｙ軸との交点、平行な直線

中学数学「１次関数」ｙ＝−(３／４)ｘ＋４の増加量、ｘ軸・ｙ軸との交点、平行な直線

◆問題

ｙ＝−(３／４)ｘ＋４について、次の問いに答えなさい。

(1)ｘの値が１増加すると、ｙの値はどうなりますか？
(2)ｘの値が−３から３まで変わるとき、ｙの値はいくらからいくらまで変わりますか？
(3)この関数のグラフがｘ軸，ｙ軸と交わる点をそれぞれ求めなさい。
(4)この関数のグラフと平行で、原点を通る直線の式を求めなさい。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

ｙ＝−(３／４)ｘ＋４について、次の問いに答えなさい。

(1)ｘの値が１増加すると、ｙの値はどうなりますか？
１次関数の傾きａは、「ｘが１増えたときのｙの増加量」を表します。
だから、この１次関数の「ｘの値が１増加したときのｙの増加量」は、−３／４です！


(2)ｘの値が−３から３まで変わるとき、ｙの値はいくらからいくらまで変わりますか？
「ｙの値はいくらからいくらまで」と聞いているので、単にｙ座標を出せばＯＫ！

ｘ＝−３のとき、
ｙ＝−(３／４)×(−３)＋４
　＝９／４＋１６／４
　＝２５／４

ｘ＝３のとき、
ｙ＝−(３／４)×３＋４
　＝−９／４＋１６／４
　＝７／４

というわけで、「ｙの値は、２５／４から７／４まで変わる」


(3)この関数のグラフがｘ軸，ｙ軸と交わる点をそれぞれ求めなさい。
ｘ軸との交点はｙ＝０，ｙ軸との交点はｘ＝０で切片です。
ｙ＝０のとき、
　　　０＝−(３／４)ｘ＋４
(３／４)ｘ＝４
　　　ｘ＝４×４／３
　　　ｘ＝１６／３
よって、ｘ軸との交点は(１６／３，０)

切片は４なので、ｙ軸との交点は(０，４)


(4)この関数のグラフと平行で、原点を通る直線の式を求めなさい。

「平行ならば傾きが等しい」ので、求める直線の傾きは−３／４です。
そして「原点を通る」ということは切片はゼロだから、

求める直線の式は、ｙ＝−(３／４)ｘ


それぞれの求め方・考え方は、別ページも参照してください！


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中学数学「１次関数」「変域」ｙ＝２ｘ−１で、ｘの変域が−１≦ｘ≦３のとき

中学数学「１次関数」「変域」ｙ＝２ｘ−１で、ｘの変域が−１≦ｘ≦３のとき

◆問題

ｙ＝２ｘ−１で、ｘの変域が−１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域がａ≦ｙ≦ｂとなる。ａ，ｂの値を求めなさい。


１次関数では、最大値・最小値はその範囲の両端です。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

１次関数は直線なので、最大値・最小値はその範囲の両端になります。

今回の問題では、１次関数の式とｘの変域が決まっているので、ｘの両端の値を式に代入し、それぞれのｙ座標を出せば、それがｙの変域の両端の値になってしまう。ということができます。

式はｙ＝２ｘ−１，ｘの変域は−１≦ｘ≦３なので、
まずはｘ＝−１のときを求めてみます。

ｙ＝２ｘ−１にｘ＝−１を代入して、
ｙ＝２×(−１)−１
　＝−２−１
　＝−３

次はｘ＝３のとき。
ｙ＝２×３−１
　＝６−１
　＝５

これらのｙの値が最小値と最大値です。つまり、ｙの変域は

−３≦ｙ≦５

です。

今回の問題では、ａ≦ｙ≦ｂと決められていて、このａ，ｂを答えるので、問題の答えは次のようになります。

ａ＝−３，ｂ＝５


◆関連項目
１次関数まとめ


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中学数学「連立方程式」食塩水ＡとＢを１：１の割合で…

中学数学「連立方程式」食塩水ＡとＢを１：１の割合で…

◆問題

濃度が、それぞれａ％，ｂ％の食塩水Ａ，Ｂがあります。ＡとＢを１：１の割合で混ぜ合わせると濃度が８．１％の食塩水Ｃができます。ＡとＣを１：２の割合で混ぜ合わせると、７．２％の食塩水Ｄができます。このとき、ａ，ｂの値を求めなさい。


◆解答解説

この問題では、食塩水の重さは与えられていません。割合が与えられているだけです。
このような場合、重さをｘなどでおくのが模範的ですが、実はそんなことをしなくても正しく解くことができます。

「ＡとＢを１：１の割合で」と言っているので、１：１になるような適当な重さにしてしまえばＯＫです。
問題の条件は１：１なのだから、それを満たしていれば、どんな重さでも成り立つはずです。
例えば、わかりやすく１００ｇにしてみましょう！

Ａを１００ｇ，Ｂを１００ｇで１：１になりますね。これらを混ぜると８．１％の食塩水ができるらしいです。
その通りに式を立ててみると、

(ａ／１００)×１００＋(ｂ／１００)×１００＝(８．１／１００)×２００・・・�@

混ぜると合計２００ｇになることにも注意してください。

「ＡとＣを１：２の割合で・・・」の部分も、Ａを１００ｇ，Ｃを２００ｇとして式にしてみます。合計３００ｇなので、この場合のＤの重さは３００ｇですね。

(ａ／１００)×１００＋(８．１／１００)×２００＝(７．２／１００)×３００・・・�A

あとはこれらの連立方程式を解けばＯＫ！
ただし、この場合はまず�A単独で解くことができますね。やってみましょう！

�Aより、
ａ＋１６．２＝２１．６
　　　　　ａ＝２１．６−１６．２
　　　　　ａ＝５．４

�@にａ＝５．４を代入すると、
(５．４／１００)×１００＋(ｂ／１００)×１００＝(８．１／１００)×２００
５．４＋ｂ＝１６．２
　　　　ｂ＝１６．２−５．４
　　　　ｂ＝１０．８

よって、ａ＝５．４，ｂ＝１０．８


動画による解説はこちら


◆関連項目
理科の濃度問題


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中学数学「１次関数」ｘ軸，ｙ軸に平行な直線

中学数学「１次関数」ｘ軸，ｙ軸に平行な直線

式の形が「ｘ＝定数」なら、ｙ軸に平行な直線です。

ｘの値のみが定められている
→ｙ値は何でも良い
→ｙの値にかかわらずｘの値が一定
→ｙの値がどんなに増えても減ってもｘの値は一定

というわけで、「ｘ＝定数」ならｙ軸に平行であることがわかると思います。

同様に、「ｙ＝定数」ならばｘ軸に平行です。

ちなみに、ｙ＝定数の方は、傾きゼロの直線とみなして、ｙ＝ａｘ＋ｂにａ＝０を代入した。と考えてもよいです。


◆関連項目
ｘ軸，ｙ軸に平行な直線(動画)
１次関数まとめ


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