中学数学「１次関数」ｙ＝−３ｘ＋５，６ｘ＋ａｙ−４＝０が平行

中学数学「１次関数」ｙ＝−３ｘ＋５，６ｘ＋ａｙ−４＝０が平行

◆問題

２直線ｙ＝−３ｘ＋５，６ｘ＋ａｙ−４＝０が平行になるようにａの値を定めよ。


平行ならば傾きが等しいですね！


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

平行ならば傾きが等しいので、「それぞれの直線の式の傾きを求めて、イコールで結ぶ」という方針でやっていきます。

まず、ｙ＝−３ｘ＋５は、ｙ＝ａｘ＋ｂの形になっているので、見たままで傾きがわかります。
−３ですね。


６ｘ＋ａｙ−４＝０は、このままでは傾きはわからないので、ｙ＝ａｘ＋ｂの形に変形します。

６ｘ＋ａｙ−４＝０
　　　　　ａｙ＝−６ｘ＋４
　　　　　　ｙ＝−(６／ａ)ｘ＋４／ａ

というわけで、傾きは−６／ａです。

平行ならばこれらの傾きが等しいので、

　−３＝−６／ａ
−３ａ＝−６
　　ａ＝２

この２直線が平行なときのａの値は２であることがわかりました！


◆関連項目
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」ｙ＝−(３／４)ｘ＋４の増加量、ｘ軸・ｙ軸との交点、平行な直線

中学数学「１次関数」ｙ＝−(３／４)ｘ＋４の増加量、ｘ軸・ｙ軸との交点、平行な直線

◆問題

ｙ＝−(３／４)ｘ＋４について、次の問いに答えなさい。

(1)ｘの値が１増加すると、ｙの値はどうなりますか？
(2)ｘの値が−３から３まで変わるとき、ｙの値はいくらからいくらまで変わりますか？
(3)この関数のグラフがｘ軸，ｙ軸と交わる点をそれぞれ求めなさい。
(4)この関数のグラフと平行で、原点を通る直線の式を求めなさい。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

ｙ＝−(３／４)ｘ＋４について、次の問いに答えなさい。

(1)ｘの値が１増加すると、ｙの値はどうなりますか？
１次関数の傾きａは、「ｘが１増えたときのｙの増加量」を表します。
だから、この１次関数の「ｘの値が１増加したときのｙの増加量」は、−３／４です！


(2)ｘの値が−３から３まで変わるとき、ｙの値はいくらからいくらまで変わりますか？
「ｙの値はいくらからいくらまで」と聞いているので、単にｙ座標を出せばＯＫ！

ｘ＝−３のとき、
ｙ＝−(３／４)×(−３)＋４
　＝９／４＋１６／４
　＝２５／４

ｘ＝３のとき、
ｙ＝−(３／４)×３＋４
　＝−９／４＋１６／４
　＝７／４

というわけで、「ｙの値は、２５／４から７／４まで変わる」


(3)この関数のグラフがｘ軸，ｙ軸と交わる点をそれぞれ求めなさい。
ｘ軸との交点はｙ＝０，ｙ軸との交点はｘ＝０で切片です。
ｙ＝０のとき、
　　　０＝−(３／４)ｘ＋４
(３／４)ｘ＝４
　　　ｘ＝４×４／３
　　　ｘ＝１６／３
よって、ｘ軸との交点は(１６／３，０)

切片は４なので、ｙ軸との交点は(０，４)


(4)この関数のグラフと平行で、原点を通る直線の式を求めなさい。

「平行ならば傾きが等しい」ので、求める直線の傾きは−３／４です。
そして「原点を通る」ということは切片はゼロだから、

求める直線の式は、ｙ＝−(３／４)ｘ


それぞれの求め方・考え方は、別ページも参照してください！


◆関連項目
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」「変域」ｙ＝２ｘ−１で、ｘの変域が−１≦ｘ≦３のとき

中学数学「１次関数」「変域」ｙ＝２ｘ−１で、ｘの変域が−１≦ｘ≦３のとき

◆問題

ｙ＝２ｘ−１で、ｘの変域が−１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域がａ≦ｙ≦ｂとなる。ａ，ｂの値を求めなさい。


１次関数では、最大値・最小値はその範囲の両端です。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

１次関数は直線なので、最大値・最小値はその範囲の両端になります。

今回の問題では、１次関数の式とｘの変域が決まっているので、ｘの両端の値を式に代入し、それぞれのｙ座標を出せば、それがｙの変域の両端の値になってしまう。ということができます。

式はｙ＝２ｘ−１，ｘの変域は−１≦ｘ≦３なので、
まずはｘ＝−１のときを求めてみます。

ｙ＝２ｘ−１にｘ＝−１を代入して、
ｙ＝２×(−１)−１
　＝−２−１
　＝−３

次はｘ＝３のとき。
ｙ＝２×３−１
　＝６−１
　＝５

これらのｙの値が最小値と最大値です。つまり、ｙの変域は

−３≦ｙ≦５

です。

今回の問題では、ａ≦ｙ≦ｂと決められていて、このａ，ｂを答えるので、問題の答えは次のようになります。

ａ＝−３，ｂ＝５


◆関連項目
１次関数まとめ


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中学数学「連立方程式」食塩水ＡとＢを１：１の割合で…

中学数学「連立方程式」食塩水ＡとＢを１：１の割合で…

◆問題

濃度が、それぞれａ％，ｂ％の食塩水Ａ，Ｂがあります。ＡとＢを１：１の割合で混ぜ合わせると濃度が８．１％の食塩水Ｃができます。ＡとＣを１：２の割合で混ぜ合わせると、７．２％の食塩水Ｄができます。このとき、ａ，ｂの値を求めなさい。


◆解答解説

この問題では、食塩水の重さは与えられていません。割合が与えられているだけです。
このような場合、重さをｘなどでおくのが模範的ですが、実はそんなことをしなくても正しく解くことができます。

「ＡとＢを１：１の割合で」と言っているので、１：１になるような適当な重さにしてしまえばＯＫです。
問題の条件は１：１なのだから、それを満たしていれば、どんな重さでも成り立つはずです。
例えば、わかりやすく１００ｇにしてみましょう！

Ａを１００ｇ，Ｂを１００ｇで１：１になりますね。これらを混ぜると８．１％の食塩水ができるらしいです。
その通りに式を立ててみると、

(ａ／１００)×１００＋(ｂ／１００)×１００＝(８．１／１００)×２００・・・�@

混ぜると合計２００ｇになることにも注意してください。

「ＡとＣを１：２の割合で・・・」の部分も、Ａを１００ｇ，Ｃを２００ｇとして式にしてみます。合計３００ｇなので、この場合のＤの重さは３００ｇですね。

(ａ／１００)×１００＋(８．１／１００)×２００＝(７．２／１００)×３００・・・�A

あとはこれらの連立方程式を解けばＯＫ！
ただし、この場合はまず�A単独で解くことができますね。やってみましょう！

�Aより、
ａ＋１６．２＝２１．６
　　　　　ａ＝２１．６−１６．２
　　　　　ａ＝５．４

�@にａ＝５．４を代入すると、
(５．４／１００)×１００＋(ｂ／１００)×１００＝(８．１／１００)×２００
５．４＋ｂ＝１６．２
　　　　ｂ＝１６．２−５．４
　　　　ｂ＝１０．８

よって、ａ＝５．４，ｂ＝１０．８


動画による解説はこちら


◆関連項目
理科の濃度問題


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中学数学「１次関数」ｘ軸，ｙ軸に平行な直線

中学数学「１次関数」ｘ軸，ｙ軸に平行な直線

式の形が「ｘ＝定数」なら、ｙ軸に平行な直線です。

ｘの値のみが定められている
→ｙ値は何でも良い
→ｙの値にかかわらずｘの値が一定
→ｙの値がどんなに増えても減ってもｘの値は一定

というわけで、「ｘ＝定数」ならｙ軸に平行であることがわかると思います。

同様に、「ｙ＝定数」ならばｘ軸に平行です。

ちなみに、ｙ＝定数の方は、傾きゼロの直線とみなして、ｙ＝ａｘ＋ｂにａ＝０を代入した。と考えてもよいです。


◆関連項目
ｘ軸，ｙ軸に平行な直線(動画)
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」座標平面上の三角形の面積�A

中学数学「１次関数」座標平面上の三角形の面積�A

◆問題

座標平面上に点Ａ(１，１)，点Ｂ(−３，５)，点Ｃ(−２，−３)がある。△ＡＢＣの面積を求めよ。


この場合は、３辺ともに斜めなので、座標平面上の三角形の面積�@とは違う考え方を使います。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

今回の問題のように、３辺とも斜めの場合は、

「３つの頂点を通る長方形を描き、周りの三角形を引く」

という方法をおすすめします。
三角形の形や位置次第では、他の方法の方が簡単な場合もありますが、この方法の最もよい点は、「どんな三角形に対しても使える」という点です。
「この場合はどうしたら良いかな？」と考える工程が一つ減るのは意外と大きいです。
楽な方法を考えるために時間を食っていたら、結局楽な方法を見つけたとしても、トータルでは余計に時間がかかる。ということも珍しくありません。
悩まずにできる方法を習得して、それで押し切る。というのも一つの考え方です。

どちらにしても、今回の三角形の場合は、「長方形から周りを引く」という方法が一番よいと思います。

点Ａ(１，１)，点Ｂ(−３，５)，点Ｃ(−２，−３)を通って、各辺がｘ軸，ｙ軸に平行な長方形を考えます。
すると、横は４，縦は８ですね。だから、長方形の面積は４×８＝３２です。

次にまわりの三角形です。
ＡＢを斜辺とする直角三角形は、横が４，縦も４だから、４×４÷２＝８
ＢＣを斜辺とする直角三角形は、横が１，縦が８だから、１×８÷２＝４
ＣＡを斜辺とする直角三角形は、横が３，縦は４だから、３×４÷２＝６

ということで、求める三角形の面積は、

３２−(８＋４＋６)＝３２−１８＝１４

少し面倒に感じるかも知れませんが、この方法なら、どんな三角形にも応用できるので、覚えておくとよいですよ！


◆関連項目
座標平面上の三角形の面積の求め方(動画)
座標平面上の三角形の面積�@
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」動画紹介

中学数学「１次関数」動画紹介

１次関数のポイントを動画でも説明しています。

◆解説
１次関数の式の形、傾きと切片
１次関数の式の求め方
交点の座標の求め方
中点の座標の求め方

ｘ軸、ｙ軸に平行な直線
２元１次方程式のグラフ
座標平面上の三角形の面積の求め方
座標平面上の三角形の面積を二等分する直線の式の求め方


◆問題
ｙ＝２ｘ＋１の−３≦ｘ≦１におけるｙの変域(youtubeショート)
１次関数の変域(ｘの変域とｙの変域が文字で表されている場合)

２直線ｙ＝−３ｘ＋５と６ｘ＋ａｙ−４＝０が平行になるａの値
ｙ＝−(３／４)ｘ＋４の増加量、ｘ軸・ｙ軸との交点、平行な直線

動点Ｐと三角形の面積


まだまだ追加していきます！
リクエストなどあれば、お気軽にご連絡ください。


１次関数まとめ


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中学数学「場合の数」表と樹形図の簡単な使い分け方

中学数学「場合の数」表と樹形図の簡単な使い分け方

中学数学の場合の数・確率では、主に表と樹形図を使って「何通りか？」を考えます。
この使い分けがわからない。という人多いと思います。

実はこれ、シンプルに見分けることができます。


「サイコロ２つ」「くじ引きを２回」など、２つや２回の場合は表。

「３枚のコインを投げる」「３人の代表を決める」など、３つや３回(以上)の場合は樹形図。


基本的には、このように考えるとわかりやすいと思います！


この記事の内容は動画でも見ることができます。


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中学数学「１次関数」座標平面上の三角形の面積�@

中学数学「１次関数」座標平面上の三角形の面積�@

◆問題

座標平面上に点Ａ(２，０)，点Ｂ(−４，０)，点Ｃ(０，３)がある。△ＡＢＣの面積を求めよ。


この場合は、底辺がｘ軸上にあるので、比較的簡単です。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

三角形の面積はもちろん「底辺×高さ÷２」ですね。

頂点となる３点は、「点Ａ(２，０)，点Ｂ(−４，０)，点Ｃ(０，３)」だから、底辺をＡＢとすれば簡単に面積を求めることができます。

底辺ＡＢはｘ軸上で、−４から２までなので、その長さは６です。

頂点は点Ｃで、Ｃからｘ軸に下ろした垂線が高さだから、高さは３です。

つまり、△ＡＢＣは、底辺が６，高さが３の三角形です。

よって、△ＡＢＣ＝６×３÷２＝９


もう少し難しい問題はこちら


◆関連項目
座標平面上の三角形の面積の求め方(動画)
面積を二等分する直線の式
１次関数まとめ


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中学数学「空間図形」柱体・錐体の体積

中学数学「空間図形」柱体・錐体の体積

上下２つの面が同じ形の柱の形をした立体をまとめて柱体といいます。
円柱、三角柱、四角柱などがあります。
立方体や直方体も四角柱の一種です。身近なものでは鉛筆は六角柱や三角柱、丸太やチョークは円柱とみなせますね。

円柱でも三角柱でも四角柱でも、何角柱でも、体積の求め方は同じです。

★柱体の体積＝底面積×高さ


そして錐体とは、ピラミッドやとんがりコーンのような形のことで、円錐、三角錐、四角錐などがあります。

円錐でも三角錐でも、四角錐でも体積の求め方は同じです。
錐体の体積は、柱体×１／３となります。
つまり、

★錐体の体積＝底面積×高さ×１／３

底面積の求め方は底面の形によって違いますが、底面積が出れば、それに高さをかけて１／３するのはどの錐体でも同じです！


図形まとめ(中学)


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中学・高校数学「数と式」約数・倍数と約数の個数

中学・高校数学「数と式」約数・倍数と約数の個数

◆約数(divisor)

ある整数を割りきれる整数を約数という。

◆倍数(multiple)

ある整数を何倍かした整数を倍数という。


約数・倍数自体の基本は小学校で習っていますね。
このページでは、数が大きいときについて少し解説しておきます。

例えば、３５１の約数の個数を求めることを考えます。
数が大きいので、ひたすら割れる数を考えて・・・というのはちょっと大変ですね。
そんなときは、素因数分解をすると良いです。

　）３５１
　――――
３）１１７
　――――
３）　３９
　――――
　　　１３

ということで、３５１＝３²×１３です。

公式としては、「指数＋１」を掛け合わせて、(２＋１)×(１＋１)＝３×２＝６個ですが、どうしてそうなるのでしょうか？

３５１を構成する素因数は３が２個と１３が１個です。
ということは、

３は１個使うか、２個使うか、１個も使わない(０個使う)かの３通りの選び方がある。
１３は１個使うか、使わない(０個使う)かの２通りの選び方がある。

これらの選び方の総数は、「３通りの事柄と２通りの事柄が同時に起こる場合の数」と考えられます。

だから、３×２＝６通り。つまり、約数の個数は６個となります。


詳しくは後ほど別の記事を書こうと思いますが、式の約数についても、基本的に同じ考え方で解決できます。


高校数学数と式まとめ


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中学数学「１次関数」座標平面上の平行四辺形�A

中学数学「１次関数」座標平面上の平行四辺形�A

◆問題

座標平面上に点Ａ(１，２)，点Ｂ(３，６)，点Ｃがある。四角形ＯＡＢＣが平行四辺形になるとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Ｃの座標を求めよ。

(2) 点Ａを通り、四角形ＯＡＢＣの面積を２等分する直線の式を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

平行四辺形の面積の二等分は、実は、三角形の場合より簡単です。

面積が半分になるためには、イメージ的には「真ん中を通ればＯＫ」ですよね？

平行四辺形の場合は、対角線の交点がその「真ん中」になるので、他にどんな点を通っても、対角線の中点を通りさえすれば、面積は二等分になります。

ＯＢの中点Ｍは(1)で求めたように、(３／２，３)であることがわかっています。

この問題では他には点Ａ(１，２)を通るので、これらの２点を通る直線の式を求めればＯＫ！というわけです。
やってみましょう！

ｙ＝ａｘ＋ｂに、(１，２)を代入すると、２＝ａ＋ｂ　…�@
ｙ＝ａｘ＋ｂに、(３／２，３)を代入すると、３＝(３／２)ａ＋ｂ　…�A

�A−�@より

１＝ａ／２
ａ＝２　…�B

�Bを�@に代入して、

２＝２＋ｂ
ｂ＝０

よって求める直線は、ｙ＝２ｘ


(1)に戻る


◆関連項目
三角形の面積を２等分する直線頂点を通る場合、頂点を通らない場合
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」座標平面上の平行四辺形�@

中学数学「１次関数」座標平面上の平行四辺形�@

◆問題

座標平面上に点Ａ(１，２)，点Ｂ(３，６)，点Ｃがある。四角形ＯＡＢＣが平行四辺形になるとき、次の問いに答えよ。

(1) 点Ｃの座標を求めよ。

(2) 点Ａを通り、四角形ＯＡＢＣの面積を２等分する直線の式を求めよ。


この記事では(1)を解説します。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

座標平面上の平行四辺形も、高校入試で頻出のポイントです。
しっかりマスターしていきましょう！

平行四辺形の性質の一つに、「平行四辺形の対角線はそれぞれの中点で交わる」があります。
座標平面上の平行四辺形を考える場合は、この性質を使うと簡単に解ける場合が多いです。

「対角線が中点で交わる」ということは、「ＯＢの中点とＡＣの中点が一致する」ということですね。

ＯＢの中点をＭとすると、

Ｍ＝(３／２，６／２)＝(３／２，３)

ＡＣの中点もＭになるから、Ｃの座標を(ｘ，ｙ)とすれば、ｘ座標とｙ座標それぞれから、

(１＋ｘ)／２＝３／２，(２＋ｙ)＝３

という式ができます。それぞれ解くと、

１＋ｘ＝３
　　ｘ＝３−１
　　ｘ＝２

２＋ｙ＝３
　　ｙ＝３−２
　　ｙ＝１

よって、Ｃ(２，１)


次の問題→四角形ＯＡＢＣを二等分する直線の式


◆関連項目
三角形の面積を２等分する直線頂点を通る場合、頂点を通らない場合
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」三角形の面積を２等分する直線�@

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◆問題

座標平面上に点Ａ(２，０)，点Ｂ(−４，０)，点Ｃ(０，３)がある。点Ａを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の式を求めよ。


面積を二等分する直線の式は難しそうに見えますが、頂点を通る場合は簡単です。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

三角形の面積はもちろん「底辺×高さ÷２」ですね。

点Ａを通って△ＡＢＣの面積を二等分するには、二等分した三角形の底辺と高さが同じになればＯＫです。
点Ａを頂点とすれば、底辺はＢＣで、高さはＡからＢＣに下ろした垂線になります。

ということは、

Ａを通る直線で△ＡＢＣを２つに分けるならば、高さは必ず同じになる！

のですね！

高さが同じだから、底辺が同じになれば、面積も同じです。
それならば底辺の真ん中、つまり、中点を通ればＯＫ！というわけです。

中点は座標の平均だから、ＢＣの中点の座標は、(−４／２，３／２)＝(−２，３／２)です。
この点とＡを通る直線が、「Ａを通って△ＡＢＣの面積を二等分する直線」です。

２点の座標がわかったので、ｙ＝ａｘ＋ｂに代入して計算していきましょう！

点Ａを代入すると、

０＝２ａ＋ｂ

ＢＣの中点を代入すると、

３／２＝−２ａ＋ｂ

これらを連立方程式として解けば、ａ＝−３／８，ｂ＝３／４だから、求める直線の式は、

ｙ＝(−３／８)ｘ＋３／４

ですね！

◆関連項目
頂点を通らない場合、平行四辺形の場合
１次関数まとめ


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中学数学「１次関数」三角形の面積を２等分する直線�A

中学数学「１次関数」三角形の面積を２等分する直線�A

◆問題

座標平面上に点Ａ(２，０)，点Ｂ(−４，０)，点Ｃ(０，３)がある。原点Ｏを通り、△ＡＢＣの面積を２等分する直線の式を求めよ。


面積を２等分する直線は、三角形の頂点を通らない場合はちょっと大変ですが、県立高校入試でも、この程度の難易度までは出る可能性があります。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

頂点を通る場合は、対辺の中点を通ればいいのでわかりやすかったと思います。

頂点を通らない場合は、面積そのものを使うのが標準的です。
もとの三角形の面積を求め、その半分を出します。

もとの三角形は、三角形と四角形に分けられるので、出しやすい方を利用して、通る点を求めて、直線の式を求める。という流れです。


この流れでやっていきましょう！
まずは△ＡＢＣを求めます。
底辺をＡＢとすると、頂点はＣです。

ＡＢ＝２−(−４)＝６

底辺はｘ軸上だから、高さはＣのｙ座標と同じです。つまり、高さ＝３です。

よって、△ＡＢＣ＝(１／２)×６×３＝９

半分に分けられた図形の面積は、もちろん９／２です。

Ｏを通る直線で、△ＡＢＣは三角形と四角形に分けられます。
三角形の方は、底辺が４の三角形ですね。底辺が４で面積が９／２だから、高さをｈとすれば、

(１／２)×４×ｈ＝９／２
　　　　　２ｈ＝９／２
　　　　　　ｈ＝９／４

つまり、頂点のｙ座標が９／４になればＯＫというわけです。
頂点はＢＣ上なので、直線ＢＣの式を求めて、ｙ＝９／４を代入する。という方針です。

Ｃ(０，３)だから切片が３です。ｙ＝ａｘ＋ｂに、ｂ＝３とＢ(−４，０)を代入すると、

　０＝−４ａ＋３
４ａ＝３
　ａ＝３／４

よって、直線ＢＣはｙ＝(３／４)ｘ＋３

これにｙ＝９／４を代入すると、

９／４＝(３／４)ｘ＋３
　　９＝３ｘ＋１２
−３ｘ＝１２−９
−３ｘ＝３
　　ｘ＝−１

つまり、求める直線は(−１，３／４)を通ることがわかりました。さらに原点を通るので、比例の式ｙ＝ａｘにこの座標を代入すると、

３／４＝−ａ
　　ａ＝−３／４

よって、求める直線の式は、ｙ＝(−３／４)ｘ


◆関連項目
三角形の面積を２等分する直線(頂点を通る場合)、平行四辺形の場合
１次関数まとめ


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中学数学「１次方程式」小数・カッコを含む方程式

中学数学「１次方程式」小数・カッコを含む方程式

◆問題

次の１次方程式を解きなさい。

０．３(０．９−０．４ｘ)＝−０．１ｘ＋０．２１


◆解答解説

小数を含む方程式は、小数があるとやりにくいので、小数がなくなるような数を両辺に掛ける。ことを最初にやるのがノーマルです。

小数点以下の桁数が一番多いのは０．２１だから、これが整数になるような数を両辺にかけます。
つまり、両辺に１００を掛ければＯＫですね！

「両辺に１００をかける」とは「全ての項に１００をかける」だから、

３０(９０−４０ｘ)＝−１０ｘ＋２１

このようにやってしまう人もいると思いますが、これは間違っています。
なぜかというと、左辺のカッコの外と中両方に１００をかけると、トータルで１００×１００＝１００００をかけていることになってしまうからです。

正しくは、以下のうちのどれかの考え方をします。

★０．３(０．９−０．４ｘ)の部分は、かけ算でつながっているので、コレ全体で一つの項だから、カッコの外か中のどちらかだけに１００をかける。

と見ることもできますし、

★０．３(０．９−０．４ｘ)のカッコを外すと、０．２７−０．１２ｘだから、これらに１００をかける。

と考えてもよいです。
あるいは、１００＝１０×１０だから、

★カッコの外と中の両方に１０をかける。

と考えることもできます。

以上のどの考え方でも正しく解くことができますし、どれで解いてももちろん答えは同じです。
この場合計算が一番簡単なのは、最後の「両方に１０をかける」なので、ここではこのやり方でやっていきます。

「両辺に１００をかける＝カッコの中と外の両方に１０をかける」だから、

　３(９−４ｘ)＝−１０ｘ＋２１
　２７−１２ｘ＝−１０ｘ＋２１
１０ｘ−１２ｘ＝２１−２７　　　←移項した
　　　　−２ｘ＝−６
　　　　　　ｘ＝３


◆関連項目
１次方程式の基本的な解き方、移項


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中学数学「平面図形」一つの外角が２４°の正多角形の内角の和

中学数学「平面図形」一つの外角が２４°の正多角形の内角の和

◆問題

一つの外角が２４°の正多角形の内角の和を求めよ。


解答解説はこのページ下


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多角形の外角の和は、何角形でも３６０°です。

三角形でも四角形でも五角形でも、十角形でも百角形でも、３６０°です。

だから、今回の問題の多角形も外角の和は３６０°です。

そして、正多角形は全ての角が同じ大きさですね。

一つの外角が２４°の正多角形ならば、全ての外角が２４°です。
今のところ何角形かはわかっていませんが、２４°の外角を合計したら３６０°になることはわかります。

求める多角形をｎ角形とすると、２４ｎ＝３６０という関係式が成り立ちます。
これを計算すると、ｎ＝１５ですね。
つまり１５角形です。

多角形の内角の和は(ｎ−２)×１８０で求めることができます。
１５角形の内角の和は、

(１５−２)×１８０＝１３×１８０＝２３４０

よって、求める内角の和は２３４０°ですね！


◆関連項目
図形まとめ(中学)


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中学数学「１次関数」２点(１，３)と(−４，１)を通る直線の式

中学数学「１次関数」２点(１，３)と(−４，１)を通る直線の式

◆問題

２点(１，３)と(−４，１)を通る直線の式を求めよ。


直線は１次関数なのでｙ＝ａｘ＋ｂを使います。


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

２点を通る直線の式を求めるときは、ｙ＝ａｘ＋ｂにその２点の座標をそれぞれ代入して、式を２つ作り、連立方程式にして解きます。

(１，３)を代入すると、

３＝ａ＋ｂより、ａ＋ｂ＝３・・・�@

(−４，１)を代入すると、

１＝−４ａ＋ｂより−４ａ＋ｂ＝１・・・�A

これら２つのａ，ｂについての式を連立して解けばＯＫ！

�@・・・　　　　ａ＋ｂ＝３
�A・・・−）−４ａ＋ｂ＝１
　　　　―――――――――
　　　　　　　５ａ　　＝２
　　　　　　　　　　ａ＝２／５　・・・�B

�Bを�@に代入して、
２／５＋ｂ＝３
　　　　ｂ＝３−２／５
　　　　ｂ＝１３／５

これらのａ，ｂの値がｙ＝ａｘ＋ｂのａ，ｂの値で、問題では直線の式を聞いているので、代入した式を答えます。

ｙ＝(２／５)ｘ＋１３／５


直線の式を求める方法はいくつかありますが、まずはコレを完璧にマスターすることを優先すると良いと思います。
ほとんどの人にとっては「他の解き方は余裕があれば取り組む」という方針でＯＫです！


◆関連項目
１次関数まとめ
１次関数の式の求め方(動画)


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中学数学「２次関数」直線と放物線の交点と原点を頂点とする三角形の面積

中学数学「２次関数」直線と放物線の交点と原点を頂点とする三角形の面積

◆問題

直線ｙ＝(１／２)ｘ＋２とｘの２乗に比例する放物線ｙ＝ａｘ²が２点Ａ，Ｂで交わっている。
Ａ，Ｂのｘ座標がそれぞれ−２，４のとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。

(2) △ＡＯＢの面積を求めよ。


この記事では(2)を解説します。
解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

(1)で、点Ａ(−２，１)，点Ｂ(４，４)を求めました。

次は△ＡＯＢの面積を求めます。
図形の面積は、頂点の座標がわかれば求めることができます。

求め方はいくつかありますが、個人的には、「頂点を全て通る長方形を描いて、周りの三角形を引く」という方法をおすすめしています。

点Ａ，Ｂ，Ｏを通る長方形を描くと、縦が４，横が６の長方形になります。
この長方形の面積は２４ですね。

周りの三角形は・・・

まず左下の小さい三角形は、底辺１，高さ２だから、１×２÷２＝１

右下の大きい三角形は、底辺４，高さ４だから、４×４÷２＝８

上の大きい三角形は、横を底辺とすると、底辺６，高さ３だから、６×３÷２＝９

これら３つの三角形の面積を長方形の２４から引けば、△ＡＯＢというわけです。


２４−１−８−９＝６

つまり、△ＡＯＢ＝６


この問題の最初に戻る→ａの値


◆関連問題
直線と放物線の交点
２次関数まとめ(中学)


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中学数学「２次関数」直線と放物線の交点を用いて、放物線の式を求める

中学数学「２次関数」直線と放物線の交点を用いて、放物線の式を求める

◆問題

直線ｙ＝(１／２)ｘ＋２とｘの２乗に比例する放物線ｙ＝ａｘ²が２点Ａ，Ｂで交わっている。
Ａ，Ｂのｘ座標がそれぞれ−２，４のとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


◆解答・解説

２点Ａ，Ｂは直線と放物線の交点です。
交点の座標は、両方のグラフの式に代入して成り立つ値です。

つまり、Ａ，Ｂの座標は、直線と放物線のどちらに代入しても成り立ちます。

「Ａ，Ｂのｘ座標はそれぞれ−２，４」と言っているので、まずは直線の式にこれらの値を代入してみましょう！

ｘ＝−２のとき、ｙ＝(１／２)×(−２)＋２＝−１＋２＝１
よって、点Ａの座標は(−２，１)

ｘ＝４のとき、ｙ＝(１／２)×４＋２＝２＋２＝４
よって、点Ｂの座標は(４，４)

これらの点は放物線上の点でもあります。
だから、ｙ＝ａｘ²に代入しても成り立ちます。

例えば点Ａ(−２，１)を代入してみると、

１＝ａ×(−２)²
１＝４ａ
ａ＝１／４


次の問題→△ＡＯＢの面積


◆関連問題
直線と放物線の交点
２次関数まとめ(中学)


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