中学数学「合同」「合同条件」「基本的な証明の方法」

中学数学「合同」「合同条件」「基本的な証明の方法」

★合同

形も大きさも同じ図形を「合同である」といいます。
△ＡＢＣと△ＤＥＦが合同ならば、「△ＡＢＣ≡△ＤＥＦ」と表します。


★合同条件

三角形の合同条件は３つあり、どれか一つでも満たしていれば、それら２つの三角形が合同であることがわかります。

・３組の辺がそれぞれ等しい
・２組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
・１組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい


★基本的な証明の方法
動画での説明はこちら

まず最初に

「△●●●と△×××で」

のように、どの三角形について考えるかを宣言します。
このとき、必ず対応する順番で言う必要があります。
対応する順番とは、辺や角が等しいもの同士を同じ順番で言う。ということです。
例えば、１個目の三角形で角の大きさが「大・中・小」の順番で言ったならば、２個目の三角形でも同じく「大・中・小」の順番にします。

その後は「仮定より」「共通な角だから」「平行線の錯角だから」など、理由をつけて等しいものを言っていきます。
一つのことを言う度に、�@，�A，…と番号を付けていきます。

テストの問題では、まず仮定で１つか２つのことを言えて、残りは図形の性質などを使って等しいと言っていく場合が多いです。

合同条件のうちどれかを満たす事柄を全て言えたら、その合同条件を述べて「▲●●●≡▲×××」と言って証明完成です。


合同条件は３つのことを言えばいいので、基本的には�@，�A，�Bで済むこともありますが、問題の条件によっては、�@，�A，�B，�C，�D，�Eくらいまで使うこともあります。
とにかく、きちんと理由を述べながら、論理の飛躍がないようにして「何かと何かが等しい」と言っていきます。

具体的な問題に関しては、また別の記事で解説します。


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◆関連項目
基本的な相似の証明
図形まとめ(中学)


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中学数学「２次方程式」動点の問題�A

中学数学「２次方程式」動点の問題�A

ＡＢ＝２０ｃｍ，ＢＣ＝３０ｃｍの長方形がある。点Ｐ，ＱはそれぞれＣ，Ｄを同時に出発し、Ｐは毎秒２ｃｍの速さでＤまで、Ｑは毎秒３ｃｍの速さでＡまで移動して止まる。△ＰＤＱの面積が４８ｃｍ2になるのは、点Ｐ，Ｑが出発してから何秒後か求めよ。


参考図

Ａ　　←Ｑ　Ｄ
┌─────┐
│　　　　　│↑
│　　　　　│Ｐ
└─────┘
Ｂ　　　　　Ｃ


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



△ＰＤＱは直角三角形なので、普通に「底辺×高さ÷２」で面積を求めることが出来ます。

直角をはさむ２辺のうち片方を底辺、残り片方を高さとすればＯＫです。
ここでは、ＤＱを底辺、ＤＰを高さ、求める時刻をｘ秒後として考えてみます。

点Ｑは毎秒３ｃｍの速さでＤからＡまで進むので、ｘ秒後にはＤＱ＝３ｘｃｍとなります。

点Ｐは毎秒２ｃｍの速さでＣからＤまで進むので、ｘ秒後にはＣＰ＝２ｘｃｍです。
ＣＰ＝２ｘであって、ＤＰ＝２ｘではないことに注意してください。

ＤＰ＝ＣＤ−ＣＰですね。

ＤＣ＝２０ｃｍだから、ＤＰ＝(２０−２ｘ)ｃｍです。

あとは普通に「底辺×高さ÷２」をやると、

△ＰＤＱ＝３ｘ×(２０−２ｘ)÷２＝３ｘ(１０−ｘ)

となります。
面積が４８ｃｍ2のときについて考えるので、

３ｘ(１０−ｘ)＝４８

このような式ができます。
これは２次方程式なので、あとは普通に計算ですね！

３０ｘ−３ｘ^２＝４８
−３ｘ^２＋３０ｘ−４８＝０
ｘ^２−１０ｘ＋１６＝０
(ｘ−２)(ｘ−８)＝０
よって、ｘ＝２，８

Ｐ，Ｑが止まるまでにかかる時間は１０秒なので、ｘ＝２，８どちらも適した値ということができます。
よって求める答えは、

２秒後，８秒後


◆関連問題
動点の問題�@
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０，２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０
２次方程式まとめ

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中学数学「２次方程式」動点の問題�@

中学数学「２次方程式」動点の問題�@

１辺が１２ｃｍの正方形ＡＢＣＤがある。点Ｐ，ＱはそれぞれＢ，Ｃを同時に出発し、毎秒１ｃｍの速さでそれぞれＣ，Ｄまで動いて止まる。このとき、△ＰＣＱの面積が１８ｃｍ2になるのは、２点が動き出して何秒後か求めよ。


参考図

Ａ　　　Ｄ
┌───┐
│　　　│↑
│Ｐ→　│Ｑ
└───┘
Ｂ　　　Ｃ


解答解説はこのページ下


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



△ＰＣＱは直角三角形なので、普通に「底辺×高さ÷２」で面積を求めることが出来ます。

底辺はＰＣ，高さはＣＱですね。

Ｐ，Ｑは毎秒１ｃｍで動くので、ｘ秒後のＢＰ，ＣＱの長さはｘｃｍです。

ＰＣ＝ＢＣ−ＢＰだから、

ＰＣ＝１２−ｘ

ですね。

これで底辺がわかり、高さはＣＱ＝ｘｃｍがわかっているので、「面積＝１８」という式を立てます。

ｘ(１２−ｘ)÷２＝１８

方程式ができたので、あとは普通に解けば、何秒後かわかる。というわけです。

１２ｘ−ｘ^２＝３６
−ｘ^２＋１２ｘ−３６＝０
ｘ^２−１２ｘ＋３６＝０
(ｘ−６)^２＝０

よって、ｘ＝６

つまり、６秒後に△ＰＣＱの面積は１８ｃｍ2になります。


◆関連問題
動点の問題�A
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０、２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０
２次方程式まとめ

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中学数学「２次方程式」解の公式

中学数学「２次方程式」解の公式

どんな２次方程式でも正しく代入して正しく計算すれば、解ける公式が「２次方程式の解の公式」です。

２次方程式ａｘ^２＋ｂｘ＋ｃ＝０の解の公式はコレです。



中学数学としては難しい公式ですが、とてもよく使う公式なので、

「エックスイコール２ａ分のマイナスｂプラスマイナスルートｂ２乗マイナス４ａｃ」

と呪文のように唱えて覚えて、何度も代入して計算する練習をする必要があります。

この記事では、この解の公式を導いてみます。
実は、ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０を変形しただけです。

ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０

まずはｘを含む項をａでくくります。

ａ{ｘ²＋(ｂ／ａ)ｘ}＋ｃ＝０

中括弧の中身が(●●)²の形になるようにします。そのためには(ｂ／ａ)の半分の２乗が必要なので、

ａ{ｘ²＋(ｂ／ａ)ｘ＋(ｂ／２ａ)²−(ｂ／２ａ)²}＋ｃ＝０
ａ(ｘ＋ｂ／２ａ)²−ａ×(ｂ／２ａ)²＋ｃ＝０

定数項を右辺に移項し、両辺をａで割ります

ａ(ｘ＋ｂ／２ａ)²＝ａ×(ｂ／２ａ)²−ｃ
(ｘ＋ｂ／２ａ)²＝ｂ²／４ａ²−ｃ／ａ

ここで両辺の平方根をとると

ｘ＋ｂ／２ａ＝±√(ｂ²／４ａ²−ｃ／ａ)

ｂ／２ａを右辺に移項し整理すれば完成です！

ｘ＝−ｂ／２ａ±√(ｂ²／４ａ²−４ａｃ／４ａ²)
　＝−ｂ／２ａ±√{(ｂ²−４ａｃ)／４ａ²}
　＝−ｂ／２ａ±(１／２ａ)√(ｂ²−４ａｃ)
　＝{−ｂ±√(ｂ²−４ａｃ)}／２ａ

というわけで、



ですね！

念のため言っておきますが、中学数学では解の公式を導ける必要はありません。
途中に高校数学の「平方完成」を含みます。だから、高校生になってからできるようになれば問題ありません。
まずは教科書・ワーク、入試の過去問などの普通の問題を全て解けるようにしていきましょう！


◆関連問題
平方完成
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０
２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０


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中学数学「２次方程式」基本的な解き方

中学数学「２次方程式」基本的な解き方

ノーマルな２次方程式を解きたいときは、基本的に以下のように考えます。


�@●●＝０の形に直す

�A因数分解をやってみる

�B因数分解できなければ解の公式を使う


この考え方でほとんどの２次方程式は解けます。

ちなみに、↓解の公式はコレ↓


中学の範囲では、２次方程式の解の公式の導き方は、特に気にする必要はありません。
とてもよく使う公式なので、理屈抜きにして確実に素早く使えるようにする必要があります。

もちろん、余力がある人は自分で導けるようにするとさらに良いです。


動画による解説はこちら


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◆関連問題
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０
２次方程式ｘ^2＋９ｘ−５＝０


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中学数学「２次方程式」まとめ

中学数学「２次方程式」まとめ

中学数学の２次方程式に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆　解説

基本的な解き方
因数分解
解の公式

◆　問題

因数分解で２次方程式を解く
解の公式を使って２次方程式を解く
(1) ｘ²＝２４, (2) ２ｘ²＝５０, (3) ｘ²−ｘ−６＝０, (4) ｘ²＋２ｘ＝２４, (5) ｘ²＋２ｘ＝０
(6) (ｘ−３)²−４＝０, (7) ｘ²−３ｘ−２＝０, (8) ｘ²−２ｘ−２＝０, (9) (ｘ＋３)²＝５ｘ＋１１, (10) (ｘ−５)²−３(ｘ−５)＝０
８ｘ²−６０＝０、１８ｘ²＋１２ｘ＝−２など

ｘ＝１±√３を解とする２次方程式をつくる
２次方程式ｘ²＋ａｘ＋１２＝０の解の１つが２のとき、ａの値と他の解
ｘ²＋ａｘ＋ｂ＝０の解が３，−２のとき、ａ，ｂの値

大小２つの整数ａ，ｂがある。ａ，ｂの差は６で、積は４０である。ａ＞ｂのとき、ａ，ｂの値を求めよ。

１次関数と２次関数の交点

長方形の面積から縦の長さを求める
横の長さが縦の長さより６ｍ長い長方形の土地がある…

秒速60mの速さで打ち上げた物体の運動


◆　関連項目
１次関数、比例・反比例
中学数学の２次関数
高校数学の２次関数


まだまだ追加していきます！
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中学数学「２次方程式」ｘ＝１±√３を解とする２次方程式をつくる

中学数学「２次方程式」ｘ＝１±√３を解とする２次方程式をつくる

■問題

ｘ＝１±√３を解とする２次方程式を作りなさい。


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。



■解答

まず、２次方程式を解くときは、「●●＝０」の形に直して、

★因数分解を試みる。できなければ解の公式に代入する。

という考え方をすればＯＫですね。

そして、因数分解をした場合、(ｘ−α)(ｘ−β)＝０の形になれば、解はｘ＝α，βとなります。

ここまでは２次方程式を解ける人ならみんなわかっていると思います。


今回の問題は、これを活用すればいいのです。

「解がｘ＝１±√３」

なので、(ｘ−α)(ｘ−β)＝０のα，βが１±√３だ。というわけですね。

それならば、α，βに１±√３を代入すればＯＫ！

「１±√３」は「１＋√３または１−√３」で、α＝１＋√３，β＝１−√３とすれば、

{ｘ−(１＋√３)}{ｘ−(１−√３)}＝０

ただ単に代入したらこうなりますね。
必要のない中括弧が残ったままなのはは答えとしてはふさわしくないので、書き直すと、

(ｘ−１−√３)(ｘ−１＋√３)＝０

これで完成です。
ワークや問題集の模範解答には、別の形で答えが書いてあるかも知れませんが、この問題では解答の形式に特に指定はないので、この形で全く問題ありません。

もし、「このままではどうしても嫌！」という人は、単に展開して整理すればＯＫです。

ｘ^2＋(−１＋√３)ｘ＋(−１−√３)ｘ＋(−１−√３)(−１＋√３)＝０
ｘ^2−２ｘ＋１−３＝０
ｘ^2−２ｘ−２＝０

もちろん、他の解き方も可能ですが、まずはこの解き方を理解した方が応用が利きます。
「オリジナリティ溢れる解き方」を暗記するのではなく、式の意味を正しく理解して、意味の通りに式を立てられるようにしましょう！


◆関連問題
２次方程式ｘ^2＋３ｘ−２８＝０


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中学数学「２次関数」直線と放物線の交点

中学数学「２次関数」直線と放物線の交点

■問題

ｙ＝ｘ^２とｙ＝ｘ＋６の交点を求めよ。


■選択肢

このときは何をすればいいでしょうか？

�@ｘ＝０を代入する
�Aｙ＝０を代入する
�B連立方程式を解く
�C変域を求める


解答解説はこのページ下に・・・


基本的な方法の習得におすすめの問題集です。


■選択肢の解答

�B連立方程式を解く

関数の組み合わせが直線と放物線でも、交点なら連立方程式ですね！


■解答

ｙ＝ｘ^２とｙ＝ｘ＋６を連立方程式として解きます。

両方ｙ＝●●の形なので、右辺同士をイコールで結んで、

ｘ^２＝ｘ＋６

２次方程式になったので、右辺をゼロにして因数分解を試みます。

ｘ^２−ｘ−６＝０
(ｘ＋２)(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝−２，３

これでｘの値が出ました。それぞれｙ＝ｘ＋６に代入すればｙ座標もわかり、求めたい交点がわかります。

ｘ＝−２のとき、ｙ＝−２＋６＝４
ｘ＝３のとき、ｙ＝３＋６＝９

よって求める交点は、(−２，４)，(３，９)


ちなみに、交点は両方の式で同時に成り立つので、ｘの値はｙ＝ｘ^２に代入しても大丈夫です。


２次関数(中学)まとめ


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中学数学「１次関数」ａｘ＋ｂｙ＝６がｙ軸に平行で(２，３)を通るとき

中学数学「１次関数」ａｘ＋ｂｙ＝６がｙ軸に平行で(２，３)を通るとき

◆問題

２元１次方程式ａｘ＋ｂｙ＝６のグラフは、ｙ軸に平行で点(２，３)を通るという。
この条件を満たすａ，ｂの値を求めよ。


◆解答解説

ｙ軸は縦の直線なので、ｙ軸に平行なグラフも縦の直線になります。

ｙ軸に平行な直線上は、どこでもｘの値が同じです。
上下にしか動かないので、ｙ座標だけしか変わらない。ｘ座標は一定。というわけです。

だから、「ｙ軸に平行で(２，３)を通る」直線の式は、

ｘ＝２

ですね。
どこまで上に行っても、下に行っても、ｘ座標は一定でｘ＝２です。
だから、直線の式はｘ＝２です。

「問題の条件を満たす方程式はｘ＝２だから、あとは、ａｘ＋ｂｙ＝６と同じ形に変形すればａ，ｂの値がわかるはず！」と考えます。

定数項が６と決まっているので、ｘ＝２の定数項も６に合わせます。
つまり、両辺を３倍してみます。

３ｘ＝６

これで目的の形と同じになりました。

「ｙが消えちゃってるから違うような・・・？」と思う人もいると思います。

確かにｙがないので違う形にも見えますが、ｙの係数ｂが、ｙの項が消えちゃうような値だから見た目上消えている。というわけです。
０×ｙ＝０なので、ｂ＝０ならばｙの項が消えちゃいますね。

つまり、問題の条件を満たす式は、

３ｘ＋０ｙ＝６

です。

ａｘ＋ｂｙ＝６と比較すると、ａ＝３，ｂ＝０ですね！


１次関数まとめ


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中学数学(用語)「２乗に比例する関数」

中学数学(用語)「２乗に比例する関数」

中学で習う２次関数は、ｙ＝ａｘ^２の形で表される「２乗に比例する関数」です。

ｘ＝０のときｙ＝０で、原点を頂点とする２次関数なので「ｙはｘの２乗に比例する」というわけです。

物を空中に放り投げたときの軌道が２次関数のグラフの形になるので、２次関数のグラフのことを「放物線」とも言います。
放物線は曲線なので、定規を当てて描くことはできないので、いくつかの点を取って、それらをフリーハンドでなめらかな曲線で結んで描きます。

・変化の割合はａの値とは一致するとは限らないので、ちゃんと「ｙの増加量／ｘの増加量」を計算する
・グラフの両端が最大・最小になるとは限らない→頂点を含むときは頂点が最大または最小

など、１次関数とは違う点も多いことを理解しておきましょう！


◆関連項目
２次関数(中学)まとめ
１次関数、比例・反比例まとめ


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中学数学「２次関数」まとめ

中学数学「２次関数」まとめ

中学数学の２次関数に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。
中学の２次関数は必ず原点を通るので、「２乗に比例する関数」と呼ぶ場合も多いです。


◆　解説

ｘの２乗に比例する関数

変化の割合


◆　問題

ｙはｘの２乗に比例し、ｘ＝６のときｙ＝９である。ｙをｘの式で表せ。

関数ｙ＝２ｘ^2について、ｘが−４から−１まで増加するときの変化の割合を求めよ。

ｙ＝２ｘ^2において、ｘが−２から１まで変化するときの変化の割合を求めよ。

ｙ＝２ｘ^2において、ｘの変域が１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域を求めよ。

ｙ＝２ｘ^2において、ｘの変域が−１≦ｘ≦３のとき、ｙの変域を求めよ。

直線と放物線の交点の座標を求める

直線と放物線の交点を用いて、２次関数の式と三角形の面積を求める


◆　関連項目
１次関数、比例・反比例、２次方程式(中学)
高校数学の２次関数


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中学数学「１次関数」２元１次方程式２ｘ−３ｙ＝６のグラフ

中学数学「１次関数」２元１次方程式２ｘ−３ｙ＝６のグラフ

◆問題

次の方程式のグラフをかけ。

２ｘ−３ｙ＝６


◆解答解説

１次関数っぽいけど、ｙ＝ａｘ＋ｂの形じゃないし、グラフ描けない・・・

などと悩んで手が止まってしまう人もいると思います。

どうすればいいかというと・・・

ｙ＝ａｘ＋ｂの形なら、傾きと切片がわかってグラフが描けるのだから、その形にしてしまえばＯＫ！ですね！

つまり、２ｘ−３ｙ＝６をｙについて解くのです。

２ｘ−３ｙ＝６
　　−３ｙ＝６−２ｘ
　　　　ｙ＝−２＋(２／３)ｘ

さらに順番を変えれば、

ｙ＝(２／３)ｘ−２

この１次関数は、傾き２／３，切片−２であることがわかりました。

あとはｙ軸上の−２の点をとり、そこから横に３縦に２ずつ進んで点をとり、直線で結べば完成！



１次関数まとめ


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中学・高校数学(用語)「範囲」「四分位範囲」

中学・高校数学(用語)「範囲」「四分位範囲」

★範囲(range)

データの最大値と最小値の差を範囲という。


★四分位範囲(interquartile range)

第３四分位数と第１四分位数の差を四分位範囲という。
箱ひげ図の「箱」の大きさが四分位範囲に相当する。


新課程では、四分位数・四分位範囲も、中学数学でも出題される可能性があります。
新しく導入された内容は、入試にも出題されやすいので、過去問には登場していなくても、しっかり覚えていきましょう！


データの分析の考え方・解き方の習得に活用してください。好評です！



◆関連項目
平均値、分散
データの分析まとめ


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中学数学「２次関数」ｘが−４から−１まで増加するときの変化の割合

中学数学「２次関数」ｘが−４から−１まで増加するときの変化の割合

◆問題

関数ｙ＝２ｘ^２について、ｘが−４から−１まで増加するときの変化の割合を求めよ。


◆解答解説

まず、「変化の割合＝ｙの増加量／ｘの増加量」です。

そして、ｘの増加量はｘがどれだけ増えたか？で、ｙの増加量はｙがどれだけ増えたか？ですね。
つまり、増加量は座標の差です。

この場合ｘは「−４から−１まで増加」したので、

−１−(−４)＝−１＋４＝３

３増加しました。

そのときのｙの増加量はｙ座標の差です。

ｘ＝−４のときｙ＝２×(−４)^２＝２×１６＝３２
ｘ＝−１のときｙ＝２×(−１)^２＝２

つまり、ｙは３２から２まで増加(変化)したので、増加量は２−３２＝−３０です。

「３２−２」ではなく「２−３２」であることに注意してください。

ｘが−４から−１まで変化したので、ｙもそれに対応して変化します。だから、「ｘ＝−４のときのｙの値からｙ＝−１のときのｙの値まで変化した」と考えます。

「変化の割合の式の分子と分母を揃える」と考えても良いです。

まとめると、ｘの増加量は３，ｙの増加量は−３０だから、

変化の割合＝−３０／３＝−１０


◆関連項目
変化の割合
１次関数まとめ、２次関数まとめ(中学)


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中学・高校数学(用語)「平均値」「中央値」「最頻値」

中学・高校数学(用語)「平均値」「中央値」「最頻値」

★平均値(average value)

小学校の算数でも登場する平均の値のこと。
合計を人数や個数で割った値。


★中央値(median)

データの順位が真ん中の値。

・データの個数が奇数の時はちょうど真ん中の値そのものが中央値
・データの個数が偶数の時は真ん中に近い２つの平均が中央値

ヒストグラムや度数分布表でデータが表されているときは、その階級値が中央値となる。


★最頻値(mode)

ヒストグラムや度数分布表で表されたデータで、度数が最も多い階級の階級値のこと。


データの分析の考え方・解き方の習得に活用してください。好評です！



◆関連項目
四分位数、箱ひげ図、偏差
データの分析まとめ


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中学数学(用語)「反比例」

中学数学(用語)「反比例」

ｘが２倍，３倍，４倍，…となるとき、ｙが１／２，１／３，１／４…となるような関係の関数を反比例といいます。

式は通常、「ｙ＝ａ／ｘ」の形で表し、グラフは「双曲線」になります。

ｘ，ｙは座標、ａは比例定数です。

ｙ＝ａ／ｘの両辺にｘをかけると、ｘｙ＝ａの形になります。つまり、「ｘ座標とｙ座標を掛けると比例定数ａになる」ということができます。
これは反比例の特徴といえるので、覚えておくと便利な場合もあります。


中２までの範囲では、曲線のグラフはほぼ「反比例」と考えて問題ありません。

中３では「２乗に比例する関数(２次関数)」が、高校では、三角関数、指数関数、対数関数など様々な曲線のグラフになる関数が登場します。



◆関連項目
比例、２次関数
１次関数、比例・反比例まとめ


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中学数学「比例・反比例」ｘ座標、ｙ座標がともに整数の点

中学数学「比例・反比例」ｘ座標、ｙ座標がともに整数の点

◆問題

関数ｙ＝１２／ｘ上の点のうち、ｘ座標とｙ座標がともに整数の点はいくつあるか求めなさい。ただし、ｘ＞０とする。


◆解答解説

問いの意味がわからず止まってしまう人も多いですが、こういう問題こそ「言ってる通りにやればいい」のです。

代入して計算して、「ｘ座標とｙ座標がともに整数の点」を求めるだけです。

「ｘ＞０」という条件があるので、ｘに１から順に数字を代入していきましょう！

ｘ＝１のとき、ｙ＝１２／１＝１２
つまり座標は(１，１２)だから、「ともに整数」ですね。

ｘ＝２のとき、ｙ＝１２／２＝６
座標は(２，６)だから、これも「ともに整数」ですね。

ｘ＝３のとき、ｙ＝１２／３＝４
ｘ＝４のとき、ｙ＝１２／４＝３
これらも「ともに整数」です。

ｘ＝５のとき、ｙ＝１２／５
ｙ座標は整数ではないようです。

ｘ＝６のとき、ｙ＝１２／６＝２
(６，２)だから「ともに整数」ですね。

ｘ＝７のとき、ｙ＝１２／７
ｘ＝８のとき、ｙ＝１２／８＝３／２
ｘ＝９のとき、ｙ＝１２／９＝４／３
ｘ＝１０のとき、ｙ＝１２／１０＝６／５
ｘ＝１１のとき、ｙ＝１２／１１
ここまでｘ＝７〜１１の場合は、全て分数ですね。

ｘ＝１２のとき、ｙ＝１２／１２＝１
座標は(１２，１)だから「ともに整数」です。

ｘ＝１３以上の場合、ｙ座標は分母の方が大きくなるので整数になるわけがありません。

ということで、ここまでで見つけた、(１，１２)，(２，６)，(３，４)，(４，３)，(６，２)，(１２，１)の合計６個が「ｘ座標、ｙ座標ともに整数の点」です。


１次関数、比例・反比例まとめ


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中学数学「平方根」√１７の整数部分・小数部分

中学数学「平方根」√１７の整数部分・小数部分

◆問題

√１７の整数部分をａ，小数部分をｂとするとき、ａｂ＋ｂ^２を求めよ。


◆解答解説

中学数学の平方根としては、難易度が高い問題です。高校数学でも類似の出題があります。

この場合の「整数部分」とは、√１７を小数で表した場合の小数点より上の数字のことです。
４＜√１７＜５なので、√１７の整数部分は４です。

そして、小数点以下の部分が「小数部分」です。
小数部分は、√１７から整数部分を取り除いた値なので、ｂ＝√１７−４です。

まとめると、

ａ＝４，ｂ＝√１７−４

となります。
これさえわかれば、後は代入して計算ですね！

　ａｂ＋ｂ^２
＝ｂ(ａ＋ｂ)
＝(√１７−４)(４＋√１７−４)
＝(√１７−４)×√１７
＝(√１７)^２−４√１７
＝１７−４√１７


平方根まとめ(中学)


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中学数学「約数」６４ｐの約数の個数

中学数学「約数」６４ｐの約数の個数

◆問題

ｐを３以上の素数とするとき、６４ｐの約数の個数を求めよ。


◆解答解説

「ｐの値が決まらなかったら約数の個数なんてわからないじゃないか！」と思う人も多いと思いますが、意外とそうでもありません。「ｐが３以上の素数」ならば、約数の個数は一つに決まります。

約数は「割りきれる数」だから、「もとの数がどういう数の積でできているか？」が分かれば、約数の個数がわかる。というわけです。

６４ｐの因数は２かｐの２種類なので、これら以外の素数で割れる可能性はありません。

だから、２の選び方は何通りか？ｐの選び方は何通りか？がわかればＯＫです！

６４ｐ＝６４×ｐ

まず、「６４＝２^６」だから、２は最大で６個含むことができます。
２が０個、１個、２個、３個、４個、５個、６個の場合があるので、２の選び方で７通りです。

「ｐは２でない素数」だから、ｐは０個か１個で２通りです。

これらは同時に選ぶので、場合の数をかけ算して、

７×２＝１４

よって、１４通りの約数があります。


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中学数学「１次関数」点(４，３)を通り、ｙ＝２ｘ＋１に平行な直線

中学数学「１次関数」点(４，３)を通り、ｙ＝２ｘ＋１に平行な直線

◆問題

点(４，３)を通り、ｙ＝２ｘ＋１に平行な直線の式を求めよ。


◆解答解説

まず、１次関数はｙ＝ａｘ＋ｂの形で表されます。ａは傾き、ｂは切片ですね。

そして基本的な性質として、平行な直線は、傾きが等しいです。

ｙ＝２ｘ＋１の傾きは２なので、求める直線の傾きも２です。つまり、ａ＝２です。

さらに、点(４，３)を通るので、ｘ＝４，ｙ＝３です。

これらをｙ＝ａｘ＋ｂに代入すると、

３＝２×４＋ｂ

となります。
ちなみに、平行であることと切片の値は特に関係はないので、ｂに１を代入したりしてはいけません。

計算してみると、

　３＝８＋ｂ
−ｂ＝８−３
−ｂ＝５
　ｂ＝−５

これでａとｂがわかったので、ｙ＝ａｘ＋ｂにそれらの値を代入して完成です！

ｙ＝２ｘ−５

これが求める直線の式ですね！


１次関数まとめ


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