高校数学「確率統計」偏差値に関する問題�C

高校数学「確率統計」偏差値に関する問題�C

◆問題
テストの得点Ｘについて、Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)，標準偏差σ(Ｘ)を用いて、Ｘの偏差値Ｘ'は以下の式で表される。

Ｘ'＝Ｘ−Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０

テストの得点Ｘが正規分布に従うとして、次の問いに答えよ。

(1) 平均点６０点、標準偏差６点のテストにおいて、得点が６９点の受験生の偏差値を求めよ。

(2) 偏差値が６０以上であるとき、全体の上位何％に入っていると考えられるか求めよ。

(3) 上位１０％以内に入っている受験生の偏差値を求めよ。

(4) 偏差値７０以上の受験生は、５万人が受験したテストでは上位何位以内に入っているか求めよ。


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◆解答解説

偏差値７０以上ということは、Ｘ'≧７０ですね。

Ｚ＝(７０−５０)／１０＝２だから、

Ｐ(Ｘ'≧７０)＝Ｐ(Ｚ≧２)
　　　　　＝０．５−Ｐ(０≦Ｚ≦２)

これを求めればよいです。
正規分布表を確認して、

　　　　　＝０．５−０．４７７２
　　　　　＝０．０２２８

つまり、偏差値７０以上は、上位２．２８％以内ということです。

今回の問題では、５万人が受験した。という設定なので、

０．０２２８×５００００＝１１４０

よって求める順位は、１１４０位以内です！


この問題の最初に戻る→得点が６９点の受験生の偏差値


正規分布表
確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」偏差値に関する問題�B

高校数学「確率統計」偏差値に関する問題�B

◆問題
テストの得点Ｘについて、Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)，標準偏差σ(Ｘ)を用いて、Ｘの偏差値Ｘ'は以下の式で表される。

Ｘ'＝Ｘ−Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０

テストの得点Ｘが正規分布に従うとして、次の問いに答えよ。

(1) 平均点６０点、標準偏差６点のテストにおいて、得点が６９点の受験生の偏差値を求めよ。

(2) 偏差値が６０以上であるとき、全体の上位何％に入っていると考えられるか求めよ。

(3) 上位１０％以内に入っている受験生の偏差値を求めよ。


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◆解答解説

今回の問題では、上位１０％の偏差値を求めます。
上位１０％ということは、正規分布の右端の１０％というイメージです。
ちょうど１０％の位置をｚ₀とすると、

０．５−Ｐ(０≦Ｚ≦ｚ₀)≦０．１

ですね。つまり、

Ｐ(０≦Ｚ≦ｚ₀)≧０．４

です。
正規分布表を見て、０．４に近いところを探すと、

Ｐ(０≦Ｚ≦１．２８)＝０．３９９７
Ｐ(０≦Ｚ≦１．２９)＝０．４０１５

です。
ということは、ｚ₀≧１．２９とわかります。

これを偏差値の公式に当てはめると、

Ｘ'＝１０×１．２９＋５０＝６２．９

つまり、上位１０％は偏差値６２．９以上ということがわかります。
もし偏差値を整数値とするならば、６３以上ですね。


次の問題→偏差値７０以上の場合


正規分布表
確率統計まとめ


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高校数学「指数・対数」８ｌｏｇ2６

高校数学「指数・対数」８^{ｌｏｇ₂６}

■　問題

次の値を求めよ。

８^{ｌｏｇ₂６}


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

８^{ｌｏｇ₂６}の値を求めます。

８＝２³だから、

(２³)^{ｌｏｇ₂６}＝２^{3・ｌｏｇ₂６}ですね。

まずはコレをｘとおいてみましょう！

２^{3・ｌｏｇ₂６}＝ｘ

このようにおくと、指数と対数の関係から、この式を変形することができます。

ａ^b＝ｃならばｌｏｇ_aｃ＝ｂだから、これと同様に考えると、

ｌｏｇ_２ｘ＝３・ｌｏｇ₂６
　　　　＝ｌｏｇ₂６³

このように変形できます。

底が等しくなったので、真数同士をイコールで結ぶことができますね。
つまり、

ｘ＝６³＝２１６

となります！


◆関連項目
次の式の値を求めよ。３^2log₃4
対数の公式、指数・対数まとめ


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高校数学「確率統計」偏差値に関する問題�A

高校数学「確率統計」偏差値に関する問題�A

◆問題
テストの得点Ｘについて、Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)，標準偏差σ(Ｘ)を用いて、Ｘの偏差値Ｘ'は以下の式で表される。

Ｘ'＝Ｘ−Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０

テストの得点Ｘが正規分布に従うとして、次の問いに答えよ。

(1) 平均点６０点、標準偏差６点のテストにおいて、得点が６９点の受験生の偏差値を求めよ。

(2) 偏差値が６０以上であるとき、全体の上位何％に入っていると考えられるか求めよ。


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◆解答解説

模試などのテストを受けるとデータとして出てくるあの「偏差値」に関する問題です。

Ｘ'＝Ｘ−Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０

この、まあまあ単純な式で偏差値を求めることができます。

今回の問題では、このＸ'が６０以上である場合を考えます。

テストの得点分布はＸ'は正規分布Ｎ(５０，１００)に従います。
これを標準化して、Ｚが標準正規分布Ｎ(０，１)に従うようにします。

Ｚ＝(６０−５０)／√１００＝１０／１０＝１

つまり、

Ｐ(Ｘ'≧６０)＝Ｐ(Ｚ≧１)

です。
あとは正規分布表の値を使って計算です。

Ｐ(Ｚ≧１)＝Ｐ(Ｚ≧０)−Ｐ(０≦Ｚ≦１)
　　　　＝０．５−０．３４１３
　　　　＝０．１５８７

つまり、偏差値６０以上ならば、上位１５．８７％に入っていることになります。


次の問題→上位１０％以内のとき


正規分布表
確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」偏差値に関する問題�@

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◆問題
テストの得点Ｘについて、Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)，標準偏差σ(Ｘ)を用いて、Ｘの偏差値Ｘ'は以下の式で表される。

Ｘ'＝Ｘ−Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０

テストの得点Ｘが正規分布に従うとして、次の問いに答えよ。

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◆解答解説

模試などのテストを受けるとデータとして出てくるあの「偏差値」に関する問題です。

Ｘ'＝Ｘ−Ｅ(Ｘ)σ(Ｘ)×１０＋５０

この、まあまあ単純な式で偏差値を求めることができます。

今回の問題では、Ｘ＝６９，Ｅ(Ｘ)６０，σ(Ｘ)＝６ですね。
これらを代入して計算します。

Ｘ'＝６９−６０６×１０＋５０
　＝(９／６)×１０＋５０
　＝１５＋５０
　＝６５

よって、求める偏差値は６５です。


次の問題→偏差値が６０以上のとき


正規分布表
確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」母比率の推定�A政党Ａの支持率が３０％と予想されているとき…

高校数学「確率統計」母比率の推定�A政党Ａの支持率が３０％と予想されているとき…

◆問題
国政政党の支持率を調査することを考える。
政党Ａの支持率が３０％と予想されているとき、信頼区間の上端と下端の差が５％以下になるように推定したい。以下のそれぞれの場合に、標本の大きさはどのようにすれば良いか求めよ。

(1) 信頼度９５％

(2) 信頼度９９％


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◆解答解説

支持率ｐの母集団から、大きさｎの標本を抽出することを考えます。
集団の中である性質Ａをもつ固体の割合を、母集団に対しては「性質Ａの母比率」、標本の中では「性質Ａの標本比率」といいます。

公式はもちろん(1)と同様で、今回は９９％の場合を計算します。

母比率をｐ，標本比率をＲ，標本の大きさをｎとすると、信頼度９９%の信頼区間は

Ｒ−２．５８・√{(Ｒ(１−Ｒ)／ｎ}≦ｐ≦Ｒ＋２．５８・√{(Ｒ(１−Ｒ)／ｎ}

で表されます。
この「上端と下端の差が５％以下」だから、

２×２．５８・√{(Ｒ(１−Ｒ)／√ｎ}≦０．０５

この場合を計算すればよいです。

標本比率は母比率３０％と同じと考えて、Ｒ＝０．３とすれば、

２×２．５８×√{(０．３×０．７)／ｎ}≦０．０５

まず√ｎについて解くと、

√ｎ≧(２×２．５８×√０．２１)／０．０５
√ｎ≧１０３．２√０．２１

両辺を２乗して、

ｎ≧１０３．２²×０．２１
ｎ≧２２３６．５５０４

ということは、求める人数は２２３７人です！


(1)に戻る→９５％の場合


正規分布表
確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」母比率の推定�@政党Ａの支持率が３０％と予想されているとき…

高校数学「確率統計」母比率の推定�@政党Ａの支持率が３０％と予想されているとき…

◆問題
国政政党の支持率を調査することを考える。
政党Ａの支持率が３０％と予想されているとき、信頼区間の上端と下端の差が５％以下になるように推定したい。以下のそれぞれの場合に、標本の大きさはどのようにすれば良いか求めよ。

(1) 信頼度９５％


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◆解答解説

支持率ｐの母集団から、大きさｎの標本を抽出することを考えます。
集団の中である性質Ａをもつ固体の割合を、母集団に対しては「性質Ａの母比率」、標本の中では「性質Ａの標本比率」といいます。
母比率をｐ，標本比率をＲ，標本の大きさをｎとすると、信頼度95%の信頼区間は

Ｒ−１．９６・√{(Ｒ(１−Ｒ)／ｎ}≦ｐ≦Ｒ＋１．９６・√{(Ｒ(１−Ｒ)／ｎ}

で表されます。
この「上端と下端の差が５％以下」だから、

２×１．９６・√{(Ｒ(１−Ｒ)／√ｎ}≦０．０５

この場合を計算すればよいです。

標本比率は母比率３０％と同じと考えて、Ｒ＝０．３とすれば、

２×１．９６×√{(０．３×０．７)／ｎ}≦０．０５

まず√ｎについて解くと、

√ｎ≧(２×１．９６×√０．２１)／０．０５
√ｎ≧７８．４√０．２１

両辺を２乗して、

ｎ≧７８．４²×０．２１
ｎ≧１２９０．７７７６

ということは、求める人数は１２９１人です！


次の問題→９９％の場合


正規分布表
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高校数学(用語)「信頼区間」

高校数学(用語)「信頼区間」

★信頼区間(confidence interval)

正規分布に従う母集団の母平均が含まれると考えられる範囲のこと。


「95%の信頼区間」を使うことが多く、これは「母集団から標本を抽出し、母平均が含まれる範囲を推定する操作を100回行ったとき、そのうち95回求めた区間に真の母平均が実際に含まれる」ことを意味します。

95%の信頼区間を求める計算式は、標本平均をＸ＿，母標準偏差をσ，標本の大きさをｎ，母平均をｍとして、

Ｘ＿−１．９６・σ／√ｎ≦ｍ≦Ｘ＿＋１．９６・σ／√ｎ

このようになります。
１．９６は、９５％の半分の０．４７５を正規分布表から読み取ることでわかる値なので、テストでは覚えていなくても問題ありませんが、よく出てくるので覚えてしまっても良いと思います。


大きさ２５００の標本から、母平均ｍを信頼度９５％で推定する問題
平均身長ｍに対する信頼度９５％の信頼区間を求める問題


◆関連項目
正規分布表
確率統計まとめ


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高校数学「三角関数」ｓｉｎ４５°ｃｏｓ７５°

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■問題

次の式の値を求めよ。

ｓｉｎ４５°ｃｏｓ７５°


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１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

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■解答解説

いわゆる「積和の公式」を使った計算問題です。

導き方はここでは省略しますが、三角関数の加法定理を組み合わせることで、和積の公式は導くことができます。
単なる暗記だと、符号などを間違いやすいので、導けるようにしておきましょう！

今回はサインとコサインの積なので、サインの加法定理から導いた

ｃｏｓαｓｉｎβ＝１２{ｓｉｎ(α＋β)−ｓｉｎ(α−β)}

この公式を使えばＯＫですね！

ｓｉｎ４５°ｃｏｓ７５°だから、α＝７５°，β＝４５°を代入して、

　ｃｏｓ７５°ｓｉｎ４５°
＝１２{ｓｉｎ(７５°＋４５°)−ｓｉｎ(７５−４５)}
＝１２(ｓｉｎ１２０°−ｓｉｎ３０°)
＝１２(√３２−１２)
＝√３−１４


◆関連項目
三角関数の加法定理
三角関数まとめ


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高校数学「三角関数」ｃｏｓ１６５°＋ｃｏｓ１０５°

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■問題

次の式の値を求めよ。

ｃｏｓ１６５°＋ｃｏｓ１０５°


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■解答解説

いわゆる「和積の公式」を使った計算問題です。

導き方はここでは省略しますが、三角関数の加法定理を組み合わせることで、和積の公式は導くことができます。
単なる暗記だと、符号などを間違いやすいので、導けるようにしておきましょう！

今回はコサインの足し算なので、

ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝２ｃｏｓＡ＋Ｂ２・ｃｏｓＡ−Ｂ２

ですね。

ｃｏｓ１６５°＋ｃｏｓ１０５°なので、Ａ＋Ｂ＝２７０°、Ａ−Ｂ＝６０°です。
つまり、(Ａ＋Ｂ)／２＝１３５°，(Ａ−Ｂ)／２＝３０°です。
これらを公式に代入すると、

　ｃｏｓ１６５°＋ｃｏｓ１０５°
＝２ｃｏｓ１３５°・ｃｏｓ３０°
＝２・(−√２／２)・(√３／２)
＝−√６／２


◆関連項目
三角関数の加法定理
三角関数まとめ


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高校数学「三角関数」ｓｉｎ７５°−ｓｉｎ１５°

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■問題

次の式の値を求めよ。

ｓｉｎ７５°−ｓｉｎ１５°


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■解答解説

いわゆる「和積の公式」を使った計算問題です。

導き方はここでは省略しますが、三角関数の加法定理を組み合わせることで、和積の公式は導くことができます。
単なる暗記だと、符号などを間違いやすいので、導けるようにしておきましょう！

角度の部分が７５°と１５°だから、Ａ＋Ｂ＝９０°、Ａ−Ｂ＝６０°ですね。
つまり、(Ａ＋Ｂ)／２＝４５°，(Ａ−Ｂ)／２＝３０°です。

ｓｉｎＡ−ｓｉｎＢ＝２ｃｏｓＡ＋Ｂ２・ｓｉｎＡ−Ｂ２
にこれらを代入すると、

　ｓｉｎ７５°−ｓｉｎ１５°
＝２ｃｏｓ４５°・ｓｉｎ３０°
＝２・(√２／２)・(１／２)
＝√２／２


◆関連項目
三角関数の加法定理
三角関数まとめ


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高校数学「三角関数」和積の公式�A

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■問題

次の等式を証明せよ。

ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝２ｃｏｓＡ＋Ｂ２・ｃｏｓＡ−Ｂ２


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■解答解説

いわゆる「和積の公式」を導く問題です。
積和・和積は全て三角関数の加法定理の公式を組み合わせることで求めることができます。

右辺に着目すると、コサインの加法定理を使えば良さそうかな？と推定できると思います。

ｃｏｓ(α＋β)＝ｃｏｓαｃｏｓβ−ｓｉｎαｓｉｎβ
ｃｏｓ(α−β)＝ｃｏｓαｃｏｓβ＋ｓｉｎαｓｉｎβ

これらの式をそのまま足すと、

ｃｏｓ(α＋β)＋ｃｏｓ(α−β)＝２ｃｏｓαｃｏｓβ

となります。
ここで、α＋β＝Ａ，α−β＝Ｂとすると、２α＝Ａ＋Ｂよりα＝(Ａ＋Ｂ)／２，２β＝Ａ−Ｂよりβ＝(Ａ−Ｂ)／２です。
つまり

ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢ＝２ｃｏｓＡ＋Ｂ２・ｃｏｓＡ−Ｂ２

というわけで、目的の式を導くことができました！


◆関連項目
三角関数の加法定理
三角関数まとめ


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高校数学「三角関数」和積の公式�@

高校数学「三角関数」ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎＡ＋Ｂ２・ｃｏｓＡ−Ｂ２

■問題

次の等式を証明せよ。

ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎＡ＋Ｂ２・ｃｏｓＡ−Ｂ２


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■解答解説

いわゆる「和積の公式」を導く問題です。
積和・和積は全て三角関数の加法定理の公式を組み合わせることで求めることができます。

この和積の公式は、最初から導く場合はサインの加法定理を使います。
今回は、前回の問題の続きと考えて、

ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)＝２ｓｉｎαｃｏｓβ

ここから変形することとします。

α＋β＝Ａ，α−β＝Ｂとすると、

２α＝Ａ＋Ｂより、α＝Ａ＋Ｂ２
２β＝Ａ−Ｂより、β＝Ａ−Ｂ２

です。
これらを先ほどの式に代入すると、

ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎＡ＋Ｂ２・ｃｏｓＡ−Ｂ２

ですね！


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高校数学「三角関数」ｓｉｎαｃｏｓβ＝(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)を導く

高校数学「三角関数」ｓｉｎαｃｏｓβ＝(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)を導く

■問題

次の等式を証明せよ。

ｓｉｎαｃｏｓβ＝(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)


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■解答解説

いわゆる「積和の公式」を導く問題です。

積和・和積は全て三角関数の加法定理の公式を組み合わせることで求めることができます。

今回の式は、サインの加法定理の公式を使えばＯＫです。

ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ
ｓｉｎ(α−β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ−ｃｏｓαｓｉｎβ

これらの式をそのまま足すと、

ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ＋ｓｉｎαｃｏｓβ−ｃｏｓαｓｉｎβ
ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)＝２ｓｉｎαｃｏｓβ

ですね。この両辺を２で割れば

(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)}＝ｓｉｎαｃｏｓβ

問題の指示は、左辺にｓｉｎαｃｏｓβだったので、両辺を入れ替えて、

ｓｉｎαｃｏｓβ＝(１／２){ｓｉｎ(α＋β)＋ｓｉｎ(α−β)


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高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �B

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◆問題
確率変数Ｘの確率密度関数が、ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) 　(０≦ｘ≦１)で与えられるとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。

(2) Ｘの期待値を求めよ。

(3) Ｘの分散を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

Ｘが確率密度関数の場合でも、普通の分散の公式が成り立ちます。つまり

Ｖ(Ｘ)＝Ｅ(Ｘ²)−{Ｅ(Ｘ)}²

です。

Ｅ(Ｘ²)＝\( \int_0^1 x^2・f(x)\, dx \)だから、これを計算していきます。

Ｅ(Ｘ²)＝\( \int_0^1 x^2・｛ -6x(x-1) ｝ \, dx \)
　　＝−６ \( \int_0^1 x^2・x(x-1) \, dx \)
　　＝−６ \( \int_0^1 ( x^4 - x^3 ) \, dx \)
　　＝−６ \( \left[ \frac{1}{5}x^5 - \frac{1}{4}x^4 \right]_0^1 \)
　　＝−６・( \( \frac{1}{5} - \frac{1}{4} \) )−０
　　＝−６・(− \( \frac{1}{20} \) )
　　＝\( \frac{6}{20} \)

Ｖ(Ｘ)＝Ｅ(Ｘ²)−{Ｅ(Ｘ)}²にこれと、Ｅ(Ｘ)＝ \( \frac{1}{2} \)を代入すると、

Ｖ(Ｘ)＝\( \frac{6}{20} - \frac{1}{4} \)
　　＝\( \frac{1}{20} \)

というわけで、分散Ｖ(Ｘ)を求めることができました。


(1)に戻る→ａの値


確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」確率密度関数ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) �A

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◆問題
確率変数Ｘの確率密度関数が、ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) 　(０≦ｘ≦１)で与えられるとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。

(2) Ｘの期待値を求めよ。


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◆解答解説

(1)で、ａ＝−６であることがわかりました。
続いて(2)では、この確率密度関数の期待値を求めます。

「期待値はそれぞれの結果にその確率をかけた総和」で計算します。
だから、

Ｅ(Ｘ)＝\( \int_0^1 x・f(x)\, dx \)

で求めることができます。
というわけで、普通に定積分の計算ですね。

Ｅ(Ｘ)＝\( \int_0^1 x・｛ -6x(x-1) ｝ \, dx \)
　　＝−６ \( \int_0^1 ( x^3 - x^2 ) \, dx \)
　　＝−６ \( \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 \)
　　＝−６( \( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \) ) −０
　　＝−６・( −\( \frac{1}{12} \) )
　　＝\( \frac{1}{2} \)


次の問題→Ｘの分散


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◆問題
確率変数Ｘの確率密度関数が、ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１) 　(０≦ｘ≦１)で与えられるとき、次の問いに答えよ。

(1) ａの値を求めよ。


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◆解答解説

確率密度関数ｆ(ｘ)が、０≦ｘ≦１で与えられているということは、確率分布を示すｘの範囲が０から１の範囲である。ということで、
その範囲の確率を合計すると１(＝１００％)になります。

０から１の範囲の値を合計する計算をするので、つまりは０から１の区間での定積分を計算すると１になる。と考えます。
つまり、

\( \int_0^1 f(x)\, dx = 1 \)

です。

今回の問題では、ｆ(ｘ)＝ａｘ(ｘ−１)だから、これを普通に定積分すれば良いです。

　\( \int_0^1 ax(x-1)\, dx \)
＝ａ \( \int_0^1 (x^2-x)\, dx \)
＝ａ \( \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 \)
＝ａ( \( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \) −０)
＝ａ・(− \( \frac{1}{6} \) )

これがイコール１だから、

−ａ／６＝１より、ａ＝−６


次の問題→Ｘの期待値


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高校数学「確率統計」表の出る確率がｐの硬貨をｎ回投げるとき�A

高校数学「確率統計」表の出る確率がｐの硬貨をｎ回投げるとき�A

◆問題
表の出る確率がｐである硬貨をｎ回投げ、表が出た回数をＸとする。Ｅ(Ｘ)＝６，Ｖ(Ｘ)＝２として、次の問いに答えよ。

(1) ｎ，ｐの値を求めよ。

(2) Ｐ(Ｘ≧７)を求めよ。


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◆解答解説

ｐ(Ｘ≧７)とはすなわち、Ｘが７以上の確率です。

(1)よりｎ＝９だから、７〜９回の場合の確率。というわけです。

反復試行の考え方を用いて、それぞれの確率を求めて合計してみましょう！

Ｐ(Ｘ＝７)＝₉Ｃ₇(２／３)⁷(１／３)²
　　　　＝₉Ｃ₂(２⁷／３⁹)
　　　　＝{(９・８)／(２・１)}(４／３⁹)
　　　　＝３６・２⁷／３⁹

Ｐ(Ｘ＝８)，Ｐ(Ｘ＝９)も同様にして、

Ｐ(Ｘ＝８)＝１８・２⁷／３⁹，Ｐ(Ｘ＝９)＝４・２⁷／３⁹

これらの合計が求める確率になります。

Ｐ(Ｘ≧７)＝３６・２⁷／３⁹＋１８・２⁷／３⁹＋４・２⁷／３⁹
　　　　＝(３６＋１８＋４)２⁷／３⁹
　　　　＝５８・２⁷／３⁹

この記事では計算はここまでとしておきます。
あとは問題の指示に従って、必要に応じて計算すると良いと思います。


(1)に戻る→ｎ，ｐの値


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高校数学「確率統計」表の出る確率がｐの硬貨をｎ回投げるとき�@

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◆問題
表の出る確率がｐである硬貨をｎ回投げ、表が出た回数をＸとする。Ｅ(Ｘ)＝６，Ｖ(Ｘ)＝２として、次の問いに答えよ。

(1) ｎ，ｐの値を求めよ。


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◆解答解説

Ｅ(Ｘ)＝６は、この硬貨をｎ回投げたときの表の回数の平均(期待値)が６回を、
Ｖ(Ｘ)＝２は、この表の回数の分散が２であることを意味しています。

さらに、硬貨なので、表か裏しかないと考えられるので、Ｘは二項分布Ｂ(ｎ，ｐ)に従うとみなすことができます。
つまり、

Ｅ(Ｘ)＝ｎｐ，Ｖ(Ｘ)＝ｎｐ(１−ｐ)

です。
与えられた条件より、

ｎｐ＝６，ｎｐ(１−ｐ)＝２

ですね。
これらを連立して解けば、ｎ，ｐがわかる。というわけです。

６(１−ｐ)＝２
　　１−ｐ＝１／３
　　　−ｐ＝−２／３
　　　　ｐ＝２／３

ｎ(２／３)＝６
　　　ｎ＝６・(３／２)
　　　　＝９

よって、ｎ＝９，ｐ＝２／３


次の問題→Ｐ(Ｘ≧７)


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高校数学「確率統計」袋Ａ，Ｂ，Ｃの問題�D

高校数学「確率統計」袋Ａ，Ｂ，Ｃの問題�D

◆問題
赤玉４個と白玉１個が入った袋Ａ，赤玉３個と白玉２個が入った袋Ｂ，赤玉２個と白玉３個が入った袋Ｃがある。それぞれの袋から玉を２個ずつ取り出したとき、袋Ａ，Ｂ，Ｃそれぞれの赤玉の個数をＸ個，Ｙ個，Ｚ個とする。

(1) Ｅ(Ｘ)，Ｅ(Ｙ)，Ｅ(Ｚ)を求めよ。

(2) Ｅ(Ｘ＋Ｙ＋Ｚ)を求めよ。

(3) Ｅ(ＸＹＺ)を求めよ。

(4) Ｖ(Ｘ)，Ｖ(Ｙ)，Ｖ(Ｚ)を求めよ。

(5) Ｖ(Ｘ＋Ｙ＋Ｚ)を求めよ。


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◆解答解説

ここまででも考えたように、Ｘ，Ｙ，Ｚは独立なので、

Ｖ(Ｘ＋Ｙ＋Ｚ)＝Ｖ(Ｘ)＋Ｖ(Ｙ)＋Ｖ(Ｚ)

となります。

それぞれの値は(4)ですでに出しているので、それらをそのまま使って、

Ｖ(Ｘ＋Ｙ＋Ｚ)＝６／２５＋９／２５＋９／２５
　　　　　　＝２４／２５


この問題の最初に戻る→Ｅ(Ｘ)，Ｅ(Ｙ)，Ｅ(Ｚ)


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