高校数学「平面上の曲線」楕円の焦点など

高校数学「平面上の曲線」楕円の焦点など

◆問題
次の楕円の焦点、２焦点からの距離の和、および長軸と短軸の長さをそれぞれ求めよ。

ｘ²／２５＋ｙ²／１６＝１


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

楕円とｘ軸との交点は(ａ，０)，(−ａ，０)，楕円とｙ軸との交点は(０，ｂ)，(０，−ｂ)として、楕円の方程式は、以下のように表されます。

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１

今回の問題の式は、ｘ²／２５＋ｙ²／１６＝１なので、

ａ²＝２５，ｂ²＝１６だから、

ａ＝５，ｂ＝４

２焦点からの距離の和は２ａだから、２ａ＝２×５＝１０となります。

さらに、ａ＞ｂなので、長軸の長さは２ａ＝１０，短軸の長さは２ｂ＝８です。


焦点はｃ＝√(ａ²−ｂ²)なので、

ｃ＝√(２５−１６)
　＝√９
　＝３

よって、焦点の座標は(±３，０)です。


素早く解くには、公式として上記の内容を覚えている必要がありますが、混乱した場合は、楕円は２つの焦点からの距離の和が一定である点の軌跡であることを思い出して、図を描いて一つ一つ距離を表してみると公式が導けるはずです。
特に、普段の勉強では、多少時間がかかったとしても、一度やってみると理解が深まります！


◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
図形と方程式まとめ


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高校数学(用語)「楕円」「焦点」

高校数学(用語)「楕円」「焦点」

★楕円(ellipse)

２点Ｆ，Ｆ'からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円という。

★焦点(focus)

これらの２点Ｆ，Ｆ'を焦点という。


直線ＦＦ'をｘ軸上直線とし、ＦＦ'の中点を原点とすると、楕円とｘ軸との交点は(ａ，０)，(−ａ，０)，楕円とｙ軸との交点は(０，ｂ)，(０，−ｂ)となります。
これらのａ，ｂを用いて、楕円の方程式の標準形は、

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１

と表すことができます。

そして、焦点(±ｃ，０)とすると、ｃ＝√(ａ²−ｂ²)という関係が成り立ち、２焦点からの距離の和は２ａとなります。


ちなみに、ａ＝ｂのとき、ｘ²＋ｙ²＝ａ²となるので、円は楕円の特殊な場合である。と見ることもできます。


◆関連項目
円の方程式


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高校数学「数と式」カッコの３乗の展開

高校数学「数と式」カッコの３乗の展開

カッコの３乗の展開は、ひたすらがんばればできることは間違いありませんが、とても面倒なので、公式をマスターするのがおすすめです。

まずはａ＋ｂの３乗の場合。ａとｂが順序よく並んでいることに注目してください。

★(ａ＋ｂ)³＝ａ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²＋ｂ³


続いて、ａ−ｂの３乗の場合。
この式のｂの部分の符号がマイナスになるので、ｂの指数が奇数の項のみマイナスがつきます。

★(ａ−ｂ)³＝ａ³−３ａ²ｂ＋３ａｂ²−ｂ³


念のため、「ひたすらがんばる」方式でやってみます。

　(ａ＋ｂ)³
＝(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)²
＝(ａ＋ｂ)(ａ²＋２ａｂ＋ｂ²)
＝ａ³＋２ａ²ｂ＋ａｂ²＋ａ²ｂ＋２ａｂ²＋ｂ³
＝ａ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²＋ｂ³

当然ですが、公式と同じ形の式を導くことができました。


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数と式まとめ


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高校数学「数と式」ユークリッドの互除法

高校数学「数と式」ユークリッドの互除法

★ユークリッドの互除法(Euclidean Algorithm)

ａ＞ｂとして、ａ÷ｂの余りを出す。その余りでｂを割る。さらにその余りで…
このように、余りがゼロになるまで次々と割り算をしていきます。
余りがゼロになったときの割る数がａ，ｂの最大公約数になる。
という方法です。

例：
(i) ８と６の場合

８÷６＝１・・・２
６÷２＝３

これで余りがゼロになったので、８と６の最大公約数は２と求められました。


(ii) ７００と３１５の場合

７００÷３１５＝２・・・７０
３１５÷７０＝４・・・３５
７０÷３５＝２

よって、最大公約数は３５


◆関連項目
一次不定方程式の解き方
高校数学数と式まとめ


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高校数学「図形と方程式」不等式の表す領域

高校数学「図形と方程式」不等式の表す領域

座標平面上に領域を表す場合はまず、境界線となるグラフを描きます。
そして不等号に従って、その境界線の上や下、中や外を領域として示します。
主なパターンを以下に示します。


・直線のグラフと領域

ｙ＞ａｘ＋ｂ・・・境界線よりｙが大きいので、境界線の上側
ｙ＜ａｘ＋ｂ・・・境界線よりｙが小さいので、境界線の下側


・放物線のグラフと領域

ｙ＞ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ・・・境界線よりｙが大きいので、境界線の上側
ｙ＜ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ・・・境界線よりｙが小さいので、境界線の下側


・円のグラフと領域

(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＞ｒ²・・・左辺の式の値がｒの２乗より大きいので、境界線の外側
(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＜ｒ²・・・左辺の式の値がｒの２乗より小さいので、境界線の内側


不等号にイコールが入っている場合は、「境界線を含む」とします。


◆関連項目
直線の方程式、２次関数(放物線)、円の方程式
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」数直線上と座標平面の内分・外分

高校数学「図形と方程式」数直線上と座標平面の内分・外分

★　内分(internal division)

ある線分を、その線分上の点で分けることを内分、その線分の延長線上の点で分けることを外分という。


まず、数直線上に線分ＡＢがあり、線分ＡＢをｍ：ｎに内分する点をＰとします。
Ａ，Ｂ，Ｐの座標をそれぞれａ，ｂ，ｐとすると、

ｐ＝(ｎａ＋ｍｂ)／(ｍ＋ｎ)

数直線上の内分点Ｐの座標はこのように表されます。

　　　　　　　Ｐ
Ａ―――――――――――Ｂ
　　　ｍ　　　：　ｎ

分子はｍとｎを反対側にかける。というイメージで覚えると使いやすいと思います。


通常の座標平面の場合は、ｘ，ｙそれぞれにこの式を当てはめることになります。
Ａ(ｘa，ｙa)，Ｂ(ｘb，ｙb)，Ｐ(ｘp，ｙp)とすると、

ｘp＝(ｎｘa＋ｍｘb)／(ｍ＋ｎ)，ｙp＝(ｎｙa＋ｍｙb)／(ｍ＋ｎ)


★　外分(external division)

そして、線分の延長線上に点Ｐがくるのが外分です。
「いったん外側に出てから戻ってくる」とイメージするとわかりやすいと思います。

公式は内分とほとんど同じですが、少し符号が変わります。
外分の場合は、ｍ：ｎの数値のうち、ｎの符号だけがマイナスになります。

内分・外分の基本問題です→線分ＡＢの内分点と外分点の問題


◆関連項目
図形と方程式まとめ
ベクトルまとめ


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高校数学「平行条件」

高校数学「平行条件」


平行線の間では、平行条件が成り立ちます。

図形と方程式の単元の直線の式に関しては、「傾きが等しい直線は平行である」ということができます。
つまり

ｍ＝ｍ'

です。
ｍがもとの直線の傾き、ｍ'が平行線の傾きですね。


ちなみに、平行条件をベクトルを使って表すと、

→ａ＝ｍ・→ｂ

です。
「片方のベクトルを何倍かすると、もう片方と一致する」という意味ですね。


◆関連項目
直線の公式ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)、ベクトルの平行条件・垂直条件
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」円の方程式

高校数学「図形と方程式」円の方程式

中心(ａ，ｂ)，半径ｒの円の方程式は、

★　(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²

の形で表されます。

ｘ，ｙがともに２乗で、右辺にはｒの２乗がある。と考えると覚えやすいと思います。

(ｘ−ａ)²と(ｙ−ｂ)²のどちらにも係数がない(係数は１になる)ことも理解しておきましょう。

例えば、(ｘ−３)²＋(ｙ＋１)²＝４という方程式で表される図形は、「中心(３，−１)，半径２の円」となります。


もともとカッコの２乗になっていないときは、２次関数の頂点を出す場合と同じく平方完成をして、この形に直します。

例えば、ｘ²−２ｘ＋ｙ²＋４ｙ＝０という方程式が与えられた場合、ｘ，ｙをそれぞれ平方完成すると、中心と半径を求めることができます。

ｘ²−２ｘ＋１−１＋ｙ²＋４ｙ＋４−４＝０
(ｘ−１)²−１＋(ｙ＋２)²−４＝０
(ｘ−１)²＋(ｙ＋２)²＝５

というわけで、この方程式で表される図形は、「中心(１，−２)，半径√５の円」であることがわかりました。


◆関連項目
平方完成のやり方
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」まとめ

高校数学「図形と方程式」まとめ

高校数学２Ｂの図形と方程式(直線、円など)に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆　公式・解き方・考え方

内分・外分

直線の式ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)
平行条件、垂線条件

円の方程式と中心、半径

点と直線の距離ｄ＝|ａｘ1＋ｂｙ1＋ｃ|／√(ａ^2＋ｂ^2)

軌跡の問題の立式の仕方

不等式の表す領域


◆　問題

線分ＡＢの内分点、外分点

円ｘ^2＋ｙ^2＝１５と直線ｙ＝２ｘ＋ｋが接するとき、定数ｋの値と接点の座標を求めよ。
２点を通る直線、円、内分点

２点Ｏ(０，０)，Ａ(６，０)からの距離の比が２：１である点Ｐの軌跡


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高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A解答(10)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A解答(10)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題�A」の(10)の解答を掲載します。


◆解答

これは少し応用問題ですが、たすきがけのやり方も参考にしてみてください。

(10) ２ｘ²−ｘｙ−ｙ²−７ｘ＋ｙ＋６

このように、ｘ，ｙの様々な項が含まれる２次式の因数分解をするときは、まずは一つの文字について整理します。

(i)ｘについて整理する

　２ｘ²−ｘｙ−ｙ²−７ｘ＋ｙ＋６
＝２ｘ²−ｘｙ−７ｘ−ｙ²＋ｙ＋６
＝２ｘ²−(ｙ＋７)ｘ−ｙ²＋ｙ＋６

(ii)ａｘ²＋ｂｘ＋ｃと見たときの、ａ，ｂ，ｃの値を確認する

ａ＝２，ｂ＝−(ｙ＋７)，ｃ＝−ｙ²＋ｙ＋６となります。

ｃが２次式なので、まずはｃを因数分解します。

−ｙ²＋ｙ＋６＝−(ｙ²−ｙ−６)＝−(ｙ＋２)(ｙ−３)

つまりもとの２次式は、

＝２ｘ²−(ｙ＋７)ｘ−(ｙ＋２)(ｙ−３)

と変形できます。
ここまでくれば、あとは初歩的なたすきがけと同じです。

�@ａ，ｃ，ｂの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にａｘ²＋ｂｘ＋ｃの係数をａ，ｃ，ｂの順に書きます。



――――――――――――――――――――
　２　　−(ｙ＋２)(ｙ−３)　　−(ｙ＋７)


ａ，ｃの因数をたすきに掛けて、合計ｂになれば完成！

線の上に並んだ４つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれｂの数の上に書きます。

　１　　　−(ｙ＋２)　＝　　−２ｙ−４
　　　×
　２　　　　ｙ−３　　＝　　　ｙ−３
――――――――――――――――――――
　２　　−(ｙ＋２)(ｙ−３)　　−(ｙ＋７)


よって、

＝{ｘ−(ｙ＋２)}(２ｘ＋ｙ−３)
＝(ｘ−ｙ−２)(２ｘ＋ｙ−３)


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高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A解答(9)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A解答(9)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題�A」の(9)の解答を掲載します。


◆解答

これは少し応用問題ですが、たすきがけのやり方も参考にしてみてください。

(9) ｘ²−ｘｙ−２ｙ²＋２ｘ−７ｙ−３

このように、ｘ，ｙの様々な項が含まれる２次式の因数分解をするときは、まずは一つの文字について整理します。

(i)ｘについて整理する

　ｘ²−ｘｙ−２ｙ²＋２ｘ−７ｙ−３
＝ｘ²−ｘｙ＋２ｘ−２ｙ²−７ｙ−３
＝ｘ²(−ｙ＋２)ｘ−２ｙ²−７ｙ−３

(ii)ａｘ²＋ｂｘ＋ｃと見たときの、ａ，ｂ，ｃの値を確認する

ａ＝１，ｂ＝−ｙ＋２，ｃ＝−２ｙ²−７ｙ−３となります。
ｃがｙの２次式なので、まずはこの２次式を「たすきがけ」します。

　１　　　３　＝−６
　　　×
−２　　−１　＝−１
―――――――――――
−２　　−３　　−７

このようになるので、

＝ｘ²(−ｙ＋２)ｘ＋(ｙ＋３)(−２ｙ−１)

と変形できます。
ここまでくれば、あとは初歩的なたすきがけと同じです。

�@ａ，ｃ，ｂの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にａｘ²＋ｂｘ＋ｃの係数をａ，ｃ，ｂの順に書きます。



――――――――――――――――――――
　１　　(ｙ＋３)(−２ｙ−１)　　−ｙ＋２


ａ，ｃの因数をたすきに掛けて、合計ｂになれば完成！

線の上に並んだ４つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれｂの数の上に書きます。

　１　　　　　ｙ＋３　　　＝　　ｙ＋３
　　　×
　１　　　　−２ｙ−１　　＝　−２ｙ−１
――――――――――――――――――――
　１　　(ｙ＋３)(−２ｙ−１)　　−ｙ＋２


よって、

＝(ｘ＋ｙ＋３)(ｘ−２ｙ−１)


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高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A解答(8)

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この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題�A」の(8)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(8) ２ａ²−１５ａｂ＋１８ｂ²

�@ａ，ｃ，ｂの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にａｘ²＋ｂｘ＋ｃの係数をａ，ｃ，ｂの順に書きます。



―――――――――――
　２　　１８　−１５


�Aａ，ｃの上に、それぞれの因数を書く

ａの上には「掛けたらａになる２つの数」を、ｃの上には「掛けたらｃになる２つの数」を書きます。
この場合、ｂの値がマイナスなので、ｃの上の数は両方マイナスになります。

　１　　−６
　　　×
　２　　−３
―――――――――――
　２　　１８　−１５


�Bたすきに掛けて合計ｂになれば完成！

線の上に並んだ４つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれｂの数の上に書きます。

　１　　−６＝　−１２
　　　×
　２　　−３＝　　−３
―――――――――――
　２　　１８　　−１５

かけ算して出てきたｂの上の数の合計がｂの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

２ａ²−１５ａｂ＋１８ｂ²＝(ａ−６ｂ)(２ａ−３ｂ)


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高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A解答(7)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A解答(7)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題�A」の(7)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(7) ４ｘ²＋３ｘｙ−２７ｙ²

�@ａ，ｃ，ｂの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にａｘ²＋ｂｘ＋ｃの係数をａ，ｃ，ｂの順に書きます。



――――――――――
　４　−２７　　３


�Aａ，ｃの上に、それぞれの因数を書く

ａの上には「掛けたらａになる２つの数」を、ｃの上には「掛けたらｃになる２つの数」を書きます。
この場合、ｃの値がマイナスなので、片方プラス、片方マイナスになる数をいろいろ考えて・・・

　１　　　３
　　　×
　４　　−９
――――――――――
　４　−２７　　３


�Bたすきに掛けて合計ｂになれば完成！

線の上に並んだ４つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれｂの数の上に書きます。

　１　　　３　＝１２
　　　×
　４　　−９　＝−９
――――――――――
　４　−２７　　　３

かけ算して出てきたｂの上の数の合計がｂの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

４ｘ²＋３ｘｙ−２７ｙ²＝(ｘ＋３ｙ)(４ｘ−９ｙ)


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高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A解答(6)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A解答(6)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題�A」の(6)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(6) ６ｘ²−ｘ−１２

�@ａ，ｃ，ｂの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にａｘ²＋ｂｘ＋ｃの係数をａ，ｃ，ｂの順に書きます。



――――――――――
　６　−１２　　−１


�Aａ，ｃの上に、それぞれの因数を書く

ａの上には「掛けたらａになる２つの数」を、ｃの上には「掛けたらｃになる２つの数」を書きます。
この場合、ｃの値がマイナスなので、片方プラス、片方マイナスになる数をいろいろ考えて・・・

　２　　−３
　　　×
　３　　　４
――――――――――
　６　−１２　　−１


�Bたすきに掛けて合計ｂになれば完成！

線の上に並んだ４つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれｂの数の上に書きます。

　２　　−３　＝−９
　　　×
　３　　　４　＝　８
――――――――――
　６　−１２　　−１

かけ算して出てきたｂの上の数の合計がｂの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

６ｘ²−ｘ−１２＝(２ｘ−３)(３ｘ＋４)


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高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�A


この記事では、たすきがけを使った因数分解の練習問題を掲載します。
私立高校の入学前授業では、高校の内容の予習として、この内容を指導したところもあるそうです。
その授業だけでは練習量が不足すると思います。ぜひ、このページの問題もやってみてください。


◆問題

(6) ６ｘ²−ｘ−１２
(6)の解答はこちら

(7) ４ｘ²＋３ｘｙ−２７ｙ²
(7)の解答はこちら

(8) ２ａ²−１５ａｂ＋１８ｂ²
(8)の解答はこちら

(9) ｘ²−ｘｙ−２ｙ²＋２ｘ−７ｙ−３
(9)の解答はこちら

(10) ２ｘ²−ｘｙ−ｙ²−７ｘ＋ｙ＋６
(10)の解答はこちら


(1)〜(5)はこちら


「たすきがけ」のやり方がわからない人は、まずはこちらをごらんください。


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高校数学「数と式」連立不等式

高校数学「数と式」連立不等式

◆連立不等式(simultaneous inequality)

複数の不等式を組み合わせた式を連立不等式という。


普通は２つの不等式を同時に満たす範囲を求める問題になります。

同時に満たすので、「それぞれ解いて、それらの共通範囲を求める」だけです。

共通範囲が一見してわかりにくい場合は、数直線を描いたり、グラフを利用すると良いです。

共通範囲がないときは、「解なし」となります。

２つの不等式の解が、「ｘ≧ａ，ｘ≦ａ」となる場合など、ある特定の値のみの場合は、共通範囲は「ｘ＝ａ」なので、「連立普通式の解」なのに不等式ではなく等式になる場合もあります。


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高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�@解答(5)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�@解答(5)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題�@」の(5)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(5) ８ｘ²ｙ²−１０ｘｙ−４２


�@ａ，ｃ，ｂの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にａｘ²＋ｂｘ＋ｃの係数をａ，ｃ，ｂの順に書きます。



――――――――――――
　８　　−４２　　−１０


�Aａ，ｃの上に、それぞれの因数を書く

ａの上には「掛けたらａになる２つの数」を、ｃの上には「掛けたらｃになる２つの数」を書きます。
この場合、ｃの値がマイナスなので、ｃの因数どちらかにマイナスがつきます。

　２　　　−６
　　　×
　４　　　　７
――――――――――――
　８　　−４２　　−１０


�Bたすきに掛けて合計ｂになれば完成！

線の上に並んだ４つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれｂの数の上に書きます。

　２　　　−６　＝−２４
　　　×
　４　　　　７　＝　１４
――――――――――――
　８　　−４２　　−１０

かけ算して出てきたｂの上の数の合計がｂの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

(5) ８ｘ²ｙ²−１０ｘｙ−４２＝(２ｘｙ−６)(４ｘｙ＋７)

この場合は、１個目のカッコの中身がどちらも２で割れるので、さらに２でくくって、

＝２(ｘｙ−３)(４ｘｙ＋７)

ここまでやります。
(または、最初に２でくくってからたすきがけでもＯＫ！)


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高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�@解答(4)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�@解答(4)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題�@」の(4)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(4) ５ａ²−７ａｂ−６ｂ²


�@ａ，ｃ，ｂの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にａｘ²＋ｂｘ＋ｃの係数をａ，ｃ，ｂの順に書きます。



―――――――――――
　５　　−６　　−７


�Aａ，ｃの上に、それぞれの因数を書く

ａの上には「掛けたらａになる２つの数」を、ｃの上には「掛けたらｃになる２つの数」を書きます。
この場合、ｃの値がマイナスなので、ｃの因数どちらかにマイナスがつきます。

　１　　−２
　　　×
　５　　　３
―――――――――――
　５　　−６　　−７


�Bたすきに掛けて合計ｂになれば完成！

線の上に並んだ４つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれｂの数の上に書きます。

　１　　−２　＝−１０
　　　×
　５　　　３　＝　３
―――――――――――
　５　　−６　　−７

かけ算して出てきたｂの上の数の合計がｂの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

５ａ²−７ａｂ−６ｂ²＝(ａ−２ｂ)(５ａ＋３ｂ)


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高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�@解答(3)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�@解答(3)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題�@」の(3)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(3) １１ａ−４＋２０ａ²

この問題の場合は、ａｘ²＋ｂｘ＋ｃの形になっていないので、まずは順番を変えます。

１１ａ−４＋２０ａ²＝２０ａ²＋１１ａ−４

これでノーマルな形になりました。ａ＝２０，ｂ＝１１，ｃ＝−４ですね。では、たすきがけをやっていきましょう！


�@ａ，ｃ，ｂの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にａｘ²＋ｂｘ＋ｃの係数をａ，ｃ，ｂの順に書きます。



―――――――――――
　２０　　−４　　１１


�Aａ，ｃの上に、それぞれの因数を書く

ａの上には「掛けたらａになる２つの数」を、ｃの上には「掛けたらｃになる２つの数」を書きます。
この場合、ｃの値がマイナスなので、ｃの因数どちらかにマイナスがつきますね。

　４　　　−１
　　　×
　５　　　　４
―――――――――――
　２０　　−４　　１１


�Bたすきに掛けて合計ｂになれば完成！

線の上に並んだ４つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれｂの数の上に書きます。

　４　　　−１　＝−５
　　　×
　５　　　　４　＝１６
―――――――――――
　２０　　−４　　１１

かけ算して出てきたｂの上の数の合計がｂの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

１１ａ−４＋２０ａ²＝(４ａ−１)(５ａ＋４)


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高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題�@解答(2)

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この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題�@」の(2)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(2) １２ｘ²−１６ｘ＋５

�@ａ，ｃ，ｂの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にａｘ²＋ｂｘ＋ｃの係数をａ，ｃ，ｂの順に書きます。



―――――――――――
　１２　　５　　−１６


�Aａ，ｃの上に、それぞれの因数を書く

ａの上には「掛けたらａになる２つの数」を、ｃの上には「掛けたらｃになる２つの数」を書きます。
この場合、ｂの値がマイナスなので、マイナスを含む値を考えて・・・

　２　　−１
　　×
　６　　−５
―――――――――――
　１２　　５　　−１６


�Bたすきに掛けて合計ｂになれば完成！

線の上に並んだ４つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれｂの数の上に書きます。

　２　　−１　＝　−６
　　×
　６　　−５　＝−１０
―――――――――――
　１２　　５　　−１６

かけ算して出てきたｂの上の数の合計がｂの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

１２ｘ²−１６ｘ＋５＝(２ｘ−１)(６ｘ−５)


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