2020年10月24日

高校数学「位置ベクトル」「内分」2・→PA+3・→PB+→PC=→0

高校数学「位置ベクトル」「内分」2・→PA+3・→PB+→PC=→0

■ 問題

△ABCと点Pに関して、次の式が成り立っているとき、点Pはどのような位置にあるか求めよ。
2・→PA+3・→PB+→PC=→0



解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

「どのような位置にあるか」と言われても、最初は何をしたらいいかわからないと思います。
そんなときは、「とりあえずできることをやる」ことで、何とかなる場合もあります。

今回は、→APをメインに考えて、問題で与えられたその他のベクトルを→APを使って表してみます。
一つのベクトルで表すことができれば、足したり引いたり、連立方程式として計算して消去したりすることができます。
また、全てのベクトルの始点を一致させると、ベクトルの計算法則が使えます。

ベクトルの計算法則より、

→PA=−→AP,→PB=→AB−→AP,→PC=→AC−→AP

ですね。
これらを与式に代入してみると、

2・→PA+3・→PB+→PC=→0
−2・→AP+3(→AB−→AP)+(→AC−→AP)=→0

展開してまとめると、

3・→AB+→AC−6・→AP=→0

移項して、

6・→AP=3・→AB+→AC
  →AP=(3・→AB+→AC)/6

内分と似た形の式ができました。
これを内分の公式と同じ形にすれば、点Pがどんな位置なのかわかりそうですね!

分子は3・→AB+→ACなので、内分の公式のm,nは1,3と考えられます。
(n・→a+m・→b)/(m+n)の形にするためには、分母は4にならないといけないので、分母の6を4にするために、(1/6)=(2/3)・(1/4)と書き換えると、

→AP=(2/3)(1/4)(3・→AB+→AC)
   =(2/3)(3・→AB+→AC)/4

つまり、→APは、(3・→AB+→AC)/4を2/3倍したベクトルです。

さらに、(3・→AB+→AC)/4は、△ABCの辺BCを1:3に内分する点ですね。

よって、「点Pは、点Aと△ABCの辺BCを1:3に内分する点を結んだ線分を1:2に内分する点である」ということがわかりました!


◆関連問題
2点A(→a),B(→b)を結ぶ線分ABを、1:2に内分t:1−tとおくとき


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2020年10月21日

高校数学「ベクトル」「内積」(2,−1)とのなす角が45°で、大きさが√10のベクトル

高校数学「ベクトル」「内積」(2,−1)とのなす角が45°で、大きさが√10のベクトル

■ 問題

→a=(2,−1)とのなす角が45°で、大きさが√10のベクトル→bを求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

未知のベクトル→bを求める問題です。
→bは今のところわかっていないので、文字でおいてみる。と考えます。

→b=(x,y)として、問題の設定の通りの式を作ってみましょう!

「→a=(2,−1)とのなす角が45°」とあるので、まずは内積の公式を使います。

→a・→b=2x−y

ですね。

→a・→b=|→a||→b|cosθだから、|→a|と|→b|を求めます。

|→a|=√{2^2+(−1)^2}=√(4+1)=√5
|→b|=√(x^2+y^2)=√10

これらの値とθ=45°を代入して、

2x−y=√5・√10・cos45°
2x−y=5√2・1/√2
2x−y=5 ・・・@

|→b|=√(x^2+y^2)=√10なので、両辺を2乗して、

x^2+y^2=10 ・・・A

これでx,yの式が2つできたので、@,Aを連立して解けばOK!

@より、−y=−2x+5すなわちy=2x−5・・・B

BをAに代入して、

    x^2+(2x−5)^2=10
x^2+4x^2−20x+25=10
5x^2−20x+25−10=0
      x^2−4x+3=0
      (x−1)(x−3)=0
よって、x=1,3

x=1をBに代入すると、y=2−5=−3
x=3をBに代入すると、y=6−5=1

求めるベクトルは、→b=(1,−3),(3,1)


◆関連問題
「内積」|→a|=2,|→b|=6,θ=45°
→c=s・→a+t・→b


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2020年10月19日

高校数学「ベクトル」「平行条件」「垂直条件」

高校数学「ベクトル」「平行条件」「垂直条件」

ベクトルに関する図形の問題では、ベクトルの平行、垂直という条件を利用することが多いです。
「多い」というよりむしろ、「必ず使う」と言ってもいいです。

★ベクトルの平行条件

二つのベクトル→a,→bが平行のとき、定数kを用いて、

→a=k・→bまたは→b=k・→a

という式が成り立ちます。
要するに「片方のベクトルをk倍すると、もう片方のベクトルと一致する」というわけです。

ちなみに、「3点が一直線上にある」ときは、その3点を使って2つのベクトルを作ると必ず平行になります。


★ベクトルの垂直条件

二つのベクトル→a,→bが垂直のとき、

→a・→b=0

という式が成り立ちます。

内積の式は→a・→b=|→a||→b|cosθだから、θ=90°のときcosθ=0より、内積がゼロになる。というわけです。


◆関連項目
ベクトルの内積


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2020年10月15日

高校数学「指数・対数まとめ」

高校数学「指数・対数まとめ」

指数と対数は次のような関係があります。

a^b=c ←→ log[a]c=b

つまり、指数の表し方を変えたものが対数であり、指数と対数は表裏一体です。
数多くの問題を解いて、イメージを掴んでいきましょう!

このブログに掲載した指数対数に関する問題や解説の一覧です。

◆指数
分数の指数の解説
例えば、2^(1/2)を指数を使わず表すとどうなるでしょうか?

16^(3/4)
16^(3/4)は、「16の4分の3乗」です。では・・・

81^(-5/4)
マイナスの指数は逆数を表すので・・・

{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}
「3のマイナス2/3乗×3の5/3乗」です。

{7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}
指数が分数になろうが、小数になろうが、マイナスになろうが、基本的な計算法則は変わりません。

y=2^xにおいて、x=5/2のときのyの値
x=5/2と言っているのだから、代入して計算すれば・・・

y=2^xのグラフ
とにかくいくつか座標を求めて・・・

7の6乗根
「7の6乗根」とは「6乗したら7になる数」のことです。だから・・・

(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)
累乗根で表された数の計算は、分数の指数に書き直して・・・

9の3乗根、81の5乗根、243の7乗根を小さい順に並べ替えよ。
比較しやすくするためには、分数の指数で表すのが・・・

指数方程式4^x−3・2^(x+1)−16=0
指数方程式としては標準的な問題です。

指数不等式(1/9)^x−(1/3)^x−6<0
t=(1/3)^xとすれば・・・


◆対数
指数と対数の関係
対数は「aをcにするには何乗すればいいか」を表しています。

対数の計算方法・公式
指数と対数は相互に変換しながら計算することも多いです!

log[4](y+3)を底が2の対数に変換せよ。
底の変換公式を使います。

次の式の値を求めよ。3^(2log[3]4)
指数と対数の関係に従って変形してみましょう!

log[2]8+log[2]4
念のため言っておきますが、答えはlog[2]12ではありません。

log[2]12+log[2](1/3)
まず最初にできるだけ簡単な形に直すようにします。


◆対数方程式
対数方程式log[5]x=2
対数方程式log[2](x+1)=3
指数と対数の関係に従って式を変形します。

対数方程式log[2](x+3)+log[2]x=2
左辺の対数を1個に・・・

対数方程式(log[2]x)^2+log[2]x−6=0
対数方程式(log[9]x)^2−2log[3]x+4=0
2次方程式になっているな〜


◆対数不等式
対数不等式log[2]x>3
このように単純な対数不等式の場合は、とにかく両辺を同じ形にして・・・

対数不等式log[1/3]x>2
底が1より小さい場合は、大小関係に注意が必要です。


◆対数関数
y=log[2](1/x)のグラフ
与式を変形してからグラフを描くと、わかりやすくなる場合があります。

y=(log[2]x)^2−log[2](x^4)+6
t=log[2]xとして・・・


◆常用対数
3^50は何桁の数か
底が10の対数を「常用対数」と言います。常用対数の値がわかれば、その数字の桁数がわかります。

(1/5)^10を小数で表した場合、小数第何位にはじめて0でない数が現れるか
この場合も、まずは常用対数の値を求めます。

log[10]2=0.3010とするとき、log[10]5の値
log[10]5の真数の5を、2を用いて表せば・・・


◆数学3の範囲
対数微分法次の関数を微分せよ。y=x^(sinx)
変数部分がまた別の関数になっている場合は、「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。

対数の極限lim[x→1]{logx/(x−1)}
微分係数の定義を利用して極限値を求める問題です。


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2020年10月14日

高校数学「三角関数の微分」y=(tan3x)^2

高校数学「三角関数の微分」y=(tan3x)^2

■ 問題

y=(tan3x)^2を微分せよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

三角関数の微分は、合成関数の微分との複合になることが多いです。

この場合も、まずはt=tan3xとおくと、

y=t^2ですね。これを微分すると、

dy/dt=2t

y'=dy/dx=(dy/dt)・(dt/dx)だから、dt/dxが必要なので求めます。

t=tan3xなので、dt/dx=(3x)'・1/(cos3x)^2=3/(cos3x)^2です。

y'=(dy/dt)・(dt/dx)
 =2t・3/(cos3x)^2

ここで、t=tan3xに戻して、

 =2・tan3x・3/(cos3x)^2
 =6tan3x/(cos3x)^2

これで終了でもかまいませんが、tanθ=sinθ/cosθを使うと、さらに、

 =6sin3x/(cos3x)^3

と直すことができます。


◆関連問題
y=(sinx)^3を微分y=sin5xを微分y=x^(sinx)対数微分法


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高校数学「対数の計算」log[10]5

高校数学「対数の計算」log[10]5

■ 問題
log[10]2=0.3010とするとき、log[10]5の値を求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

log[10]5が与えられていればいいのですが、もちろんこの問題ではlog[10]2=0.3010だけしか与えられていないので、これで何とかするしかありません。

どうすればいいかというと、log[10]5の真数の5を、2を用いて表せばいい。ということができます。
当然ですが、

5=10/2

ですね。
真数の5を10/2に書き換えると、

log[10]5=log[10](10/2)

とすることができます。
真数の割り算は対数の引き算に変換できるので、

log[10](10/2)=log[10]10−log[10]2

このように直すことができます。
log[10]10=1,log[10]2=0.3010なので、

log[10]5=1−0.3010=0.6990


◆関連問題
対数の引き算、常用対数3^50


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2020年10月13日

高校数学(用語)「ベクトルの内積」

高校数学(用語)「ベクトルの内積」

★内積(inner product)

ベクトルのかけ算のこと。

→a・→b=|→a||→b|cosθ

で表される。

この内積の公式は、片方のベクトルをもう片方のベクトルと同じ直線上に投影して、かけ算をした形の式になっています。
「内積=それぞれの絶対値の積×コサイン」というイメージです。
ここから、内積とそれぞれの絶対値がわかっていれば、コサインの値がわかり、2つのベクトルのなす角もわかる。という使い方をすることもできます。

ちなみに、内積を求めるにはコサインをかけるので、θ=90°つまり直角のときは、内積の値がゼロになります。

このことから、→a・→b=0はベクトルの垂直条件である。ということもできます。


◆関連項目
ベクトルの絶対値,ベクトルの垂直条件、ベクトルの平行条件


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高校数学「微分」「極値」y=x^3−12x−1

高校数学「微分」「極値」y=x^3−12x−1

■ 問題

関数y=x^3−12x−1の極値を求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

極値ではy'=0となるので、まずはy'の式を求めます。

y'=3x^2−12

これを=0で解きます。

 3x^2−12=0
   x^2−4=0
(x+2)(x−2)=0

よって、x=±2

つまり、x=2,−2のときが極値になります。

x=2のとき、y=2^3−12×2−1=8−24−1=−17
x=−2のとき、y=(−2)^3−12×(−2)−1=−8+24−1=15

よって、x=2のとき極小値−17,x=−2のとき極大値15


◆関連問題
y=x^3−3xの極値f(x)=x^3−3a^2・x


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高校数学(用語)「位置ベクトル」

高校数学(用語)「位置ベクトル」

★位置ベクトル(position vector)

原点を始点としたベクトルのことで、座標をベクトルの形で表したもの。

例えば座標平面上の(2,1)という点Aは、原点Oから横に2,縦に1進んだ点なので、原点を始点とするベクトルOAの成分表示は(2,1)となります。
位置(=座標)をベクトルで表すと、例えば内分や外分を求めるときに、座標ならx座標,y座標を別々に計算しなければいけませんが、ベクトルならそれらをひとまとめに計算することができるので、簡便に計算したり表したりすることができます。

今まで「図形と方程式」の単元などで登場した公式は、基本的に全て位置ベクトルでも成り立つので、ベクトルをしっかりマスターした人はベクトルの考え方で解き直してみるのも良い練習になると思います。


◆関連問題
1:2に内分t:1−tとおくとき三角形内部の点


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2020年10月07日

高校数学「位置ベクトル」ABを1:4に外分

高校数学「位置ベクトル」ABを1:4に外分

■ 問題

2点A(→a),B(→b)を結ぶ線分ABを、1:4に外分する位置ベクトル→qを求めよ。


解答解説はこのページ下


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。平日昼間に授業可能な既卒生・社会人を若干名募集しています。今年度の受験生はもちろん、来年度の受験の準備もそろそろ始めると良いですね!
従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 解答解説

位置ベクトルとは、座標をベクトルの形で表したものです。

実質的に座標と同じなので、座標で扱った外分の公式を、位置ベクトルでもそのまま使うことができます。

まずは内分の公式が

→p=(n・→a+m・→b)/(m+n)

ですね。
この式のnの符号を変えたものが外分の公式です。つまり、

→q=(−n・→a+m・→b)/(m−n)

今回の問題では、ABを1:4に外分するので、

→q=(−4・→a+1・→b)/(1−4)
  =(−4・→a+→b)/(−3)
  =(4・→a−→b)/3

内分の場合と同様に、さらに変形して、

  =(4/3)→a−(1/3)→b

このように直すことも多いです。


◆関連問題
1:2に内分t:1−tとおくとき三角形内部の点


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高校数学(用語)「商の微分法」

高校数学(用語)「商の微分法」

★商の微分法(quotient rule)

「y=f(x)/g(x)」の形で表される関数を微分すると、

y'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

という式が得られます。

これはy=f(x)・g(x)の微分、つまり積の微分法「y'=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)」のg(x)を1/g(x)に置き換えただけです。

置き換えてみると、y'=f'(x)・1/g(x)+f(x)・{1/g(x)}'ですね。

{1/g(x)}'=−1/{g(x)}^2なので、y'=f'(x)・1/g(x)+f(x)・[−1/{g(x)}^2]となります。あとは通分すると、

y'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

が得られる。というわけです。


◆関連項目
積の微分法


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高校数学「2次方程式」x^2+ax+b=0の解が3,−2のとき

高校数学「2次方程式」x^2+ax+b=0の解が3,−2のとき

■ 問題

x^2+ax+b=0の解が3,−2のとき、a,bの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。平日昼間に授業可能な既卒生・社会人を若干名募集しています。今年度の受験生はもちろん、来年度の受験の準備もそろそろ始めると良いですね!
従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 解答解説

方程式の解はxの値なので、「解が3,−2」ならば、x=3またはx=−2である。というわけです。

xの値がわかっているので、その値を代入することができますね。

x=3を代入すると、9+3a+b=0 ・・・@
x=−2を代入すると、4−2a+b=0 ・・・A

式ができたので、これらを連立して解けばOK!

@−Aより
9+3a+b−(4−2a+b)=0
9+3a+b−4+2a−b=0

同類項をまとめると、

5+5a=0
  5a=−5
   a=−1 ・・・B

Bを@に代入すると、

9−3+b=0
    b=−6

よって、a=−1,b=−6


◆関連問題
2次方程式x^2−8x+k=0の解の1つが4−√3であるとき


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2020年10月06日

高校数学「位置ベクトル」ABを1:2に内分

高校数学「位置ベクトル」ABを1:2に内分

■ 問題

2点A(→a),B(→b)を結ぶ線分ABを、1:2に内分するの位置ベクトル→pを求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

位置ベクトルとは、座標をベクトルの形で表したものです。

実質的に座標と同じなので、座標で扱った内分の公式を、位置ベクトルでもそのまま使うことができます。
つまり、

→p=(n・→a+m・→b)/(m+n)

ですね。

今回の問題では、ABを1:2に内分するので、

→p=(2・→a+1・→b)/(1+2)
  =(2・→a+→b)/3

これで終わりで特に問題ありませんが、さらにばらばらの分数に分けて、

  =(2/3)→a+(1/3)→b

このように直すことも多いです。


◆関連問題
1:4に外分、t:1−tとおくとき三角形内部の点


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2020年10月04日

高校数学「平面のベクトル」「大きさの最小値」→a=(4,−3),→b=(−1,2),|→a+t・→b|

高校数学「平面のベクトル」「大きさの最小値」→a=(4,−3),→b=(−1,2),|→a+t・→b|

■ 問題

→a=(4,−3),→b=(−1,2),tは実数のとき、|→a+t・→b|の最小値とそのときのtの値を求めよ。


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■ 解答解説

|→a+t・→b|について考えるので、まずは→a+t・→bを求めます。

→a=(4,−3),→b=(−1,2)なので、

→a+t・→b=(4,−3)+t(−1,2)
      =(4−t,−3+2t)

これの絶対値について考えるので、このベクトルの大きさを表します。

|→a+t・→b|=√{(4−t)^2+(−3+2t)^2}
       =√(16−8t+t^2+9−12t+4t^2)
       =√(5t^2−20t+25)

この式の値が最小になるのは、ルートの中身が最小になるときだから、2次関数の最小のときと同様に平方完成して、

 5t^2−20t+25
=5(t^2−4)+25
=5{(t−2)^2−4}+25
=5(t−2)^2−20+25
=5(t−2)^2+5

最小になるのはt=2で、|→a+t・→b|=√(5t^2−20t+25)だから、そのとき最小値は√5


◆関連問題
→a=(10,5),→b=(1,2)のとき


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2020年10月02日

高校数学「平面のベクトル」「内積」|→a|=2,|→b|=6,θ=45°

高校数学「平面のベクトル」「内積」|→a|=2,|→b|=6,θ=45°

■ 問題

|→a|=2,|→b|=6,→aと→bのなす角θ=45°のとき、内積→a・→bを求めよ。


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■ 解答解説

ベクトルの大きさがわかっているときのベクトルの内積

→a・→b=|→a||→b|cosθ

で表されます。

今回の問題では、|→a|=2,|→b|=6,θ=45°と与えられているので、代入して、

→a・→b=2×6×cos45°
    =12×1/√2
    =6√2


◆関連問題
ひし形と内積|→a|=√3,|→b|=2で、→aと→bのなす角が30°のとき


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2020年10月01日

高校数学「平面のベクトル」3・→a+→x=2・→b

高校数学「平面のベクトル」3・→a+→x=2・→b

■ 問題

→a=(5,−3),→b=(3,4)のとき、等式3・→a+→x=2・→bを満たす→xを求めよ。


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■ 解答解説

ベクトルでも、「わからないものは文字でおく」と考えるとよいです。

→xがわからないので、→x=(x,y)とおくと、

3(5,−3)+(x,y)=2(3,4)

ですね。
あとはこれを計算してみると、

(15,−9)+(x,y)=(6,8)
(15+x,−9+y)=(6,8)

両辺が等しいのだから、x成分同士、y成分同士をイコールで結んで、

15+x=6よりx=−9,−9+y=8よりy=17

よって、求めるベクトルは→x=(−9,17)


◆関連問題
→c=s・→a+t・→b座標とベクトルの成分表示


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2020年09月30日

高校数学「平面のベクトル」「平行条件」→a=(2,−3),→b=(x,−12)

高校数学「平面のベクトル」「平行条件」

■ 問題

→a=(2,−3),→b=(x,−12)が平行になるように、xの値を定めよ。


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■ 解答解説

平行なベクトルの間には次のような関係があります。

→a=k・→b

つまり、片方のベクトルを何倍かするともう片方のベクトルに一致する。というわけです。

→b=k・→a

というように、k倍する方を変えてもかまいません。

問題の条件に合わせて、やりやすい方をk倍して方程式を作る。と考えると良いでしょう!

今回の問題では、→bの成分に文字xが含まれているので、→bではなく、→aをk倍してみます。

k(2,−3)=(x,−12)
(2k,−3k)=(x,−12)

x成分同士、y成分同士をそれぞれイコールで結ぶと、

2k=x,−3k=−12

という式が得られます。
−3k=−12よりk=4
これを2k=xに代入して、x=8

よって、求める値はx=8


◆関連問題
→c=s・→a+t・→b座標とベクトルの成分表示空間のベクトルの平行


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2020年09月29日

高校数学「平面のベクトル」→c=s・→a+t・→b

高校数学「平面のベクトル」→c=s・→a+t・→b

■ 問題

→a=(−2,3),→b=(1,−2),→c=(1,−4)とする。
→cを→a,→bを用いて表せ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

「→cを→a,→bで表す」ことは、「→c=s・→a+t・→b」の形で表す。ということです。

平面上の2つのベクトルがあれば、その2つのベクトルを用いて、同一平面上のあらゆるベクトルを表すことができます。
それを実数s,tを用いて表せば、「→c=s・→a+t・→b」となります。
今回の問題の成分を使って表してみると、

(1,−4)=s(−2,3)+t(1,−2)
(1,−4)=(−2s+t,3s−2t)

このように書き換えることができます。
この式が成り立つためには、x成分同士、y成分同士がそれぞれ等しくなければいけないので、

−2s+t=1 ・・・@
3s−2t=−4 ・・・A

これらの式ができます。文字が2つ式が2つなので、もちろん連立方程式で解くことができますね!

@×2+Aより、−4s+2t+3s−2t=2−4
−s=−2
 s=2 ・・・B

Bを@に代入すると、−2×2+t=1
−4+t=1
   t=1+4=5

よって、→c=2・→a+5・→b


◆関連問題
座標とベクトルの成分表示


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2020年09月23日

高校数学「平面のベクトル」→EFの絶対値

高校数学「平面のベクトル」→EFの絶対値

■ 問題

1辺の長さが2、対角線ACの長さが√10のひし形ABCDについて考える。→AB=→a,→AD=→bとし、辺BC,辺CDをそれぞれ3:1に内分する点をE,Fとするとき、次の問いに答えよ。

(1) →EFを→a,→bで表せ。

(2) →a・→bを求めよ。

(3) |→EF|を求めよ。


このページでは(3)を解説します。


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■ 解答解説

「→EF=(1/4)・→b−(3/4)・→a」であることは、(1)で求めてあるので、あとはこの式を用いて絶対値を求めればOK!ですね!

ベクトルの絶対値を求めるときは、2乗するのがノーマルです。

|→EF|^2=|(1/4)・→b−(3/4)・→a|^2
    =(1/16)|→b|^2−2(1/4)(3/4)・(→a・→b)+(9/16)|→a|^2

ひし形の各辺の長さは2なので|→a|=|→b|=2で、(2)より→a・→b=1だから、これらを代入すると、

    =(1/16)・4−2(3/16)+(9/16)・4
    =1/4−3/8+9/4
    =(2−3+18)/4
    =17/4

よって、|→EF|=√17/√4=√17/2


(1)に戻る


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2020年09月22日

高校数学「平面のベクトル」ひし形、内積

高校数学「平面のベクトル」ひし形、内積

■ 問題

1辺の長さが2、対角線ACの長さが√10のひし形ABCDについて考える。→AB=→a,→AD=→bとし、辺BC,辺CDをそれぞれ3:1に内分する点をE,Fとするとき、次の問いに答えよ。

(1) →EFを→a,→bで表せ。

(2) →a・→bを求めよ。


このページでは(2)を解説します。


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■ 解答解説

ベクトルの内積は基本的には次の公式で求めることができます。

→a・→b=|→a||→b|cosθ

「内積はベクトルの長さを掛けてなす角のコサインを掛ける。」という計算で求められます。

この問題でももちろんこの公式を使うことは可能ですが、cosθを求めるのがちょっと大変なので、別の方法を考えた方が良いです。

→a,→bは、ひし形の隣り合う2辺なので、「→a+→b=→AC」です。

問題文に「対角線ACの長さは√10」とあるので、この式の両辺を2乗してみると・・・

|→a+→b|^2=|→AC|^2
|→a|^2+2(→a・→b)+|→b|^2=|→AC|^2

|→a|と|→b|はひし形の1辺なので大きさは2,|→AC|は対角線なので大きさは√10だから、これらを代入すると、

2^2+2(→a・→b)+2^2=√10^2
  4+2(→a・→b)+4=10

→a・→b以外の文字は全て消えたので、あとは→a・→bについて解けば、内積の値がわかる。というわけですね!

2(→a・→b)=10−8
2(→a・→b)=2
 →a・→b=1


次の問題→|→EF|を求める。


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名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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