2023年03月21日

高校数学「平面上の曲線」楕円の焦点など

高校数学「平面上の曲線」楕円の焦点など

◆問題
次の楕円の焦点、2焦点からの距離の和、および長軸と短軸の長さをそれぞれ求めよ。

2/25+y2/16=1


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「AE個別学習室(えまじゅく)」生徒募集!★★★★★★★★★
★                                  ★
★   茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室        ★
★ 「AE個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。    ★
★ 対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します!    ★
★ オンライン授業も好評です!全国の生徒さんに対応可能です。     ★
★                                  ★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

 えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
 2人〜4人の同時指導も好評です!
 今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

 東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
 同時募集しています。卓球と勉強両方やる人には優待もあります!

 興味をお持ちの方は、まずはこちらからお問い合わせください。

 家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆解答・解説

楕円とx軸との交点は(a,0),(−a,0),楕円とy軸との交点は(0,b),(0,−b)として、楕円の方程式は、以下のように表されます。

2/a2+y2/b2=1

今回の問題の式は、x2/25+y2/16=1なので、

2=25,b2=16だから、

a=5,b=4

2焦点からの距離の和は2aだから、2a=2×5=10となります。

さらに、a>bなので、長軸の長さは2a=10,短軸の長さは2b=8です。


焦点はc=√(a2−b2)なので、

c=√(25−16)
 =√9
 =3

よって、焦点の座標は(±3,0)です。


素早く解くには、公式として上記の内容を覚えている必要がありますが、混乱した場合は、楕円は2つの焦点からの距離の和が一定である点の軌跡であることを思い出して、図を描いて一つ一つ距離を表してみると公式が導けるはずです。
特に、普段の勉強では、多少時間がかかったとしても、一度やってみると理解が深まります!


◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 20:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月20日

高校数学(用語)「楕円」「焦点」

高校数学(用語)「楕円」「焦点」

★楕円(ellipse)

2点F,F'からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円という。

★焦点(focus)

これらの2点F,F'を焦点という。


直線FF'をx軸上直線とし、FF'の中点を原点とすると、楕円とx軸との交点は(a,0),(−a,0),楕円とy軸との交点は(0,b),(0,−b)となります。
これらのa,bを用いて、楕円の方程式の標準形は、

2/a2+y2/b2=1

と表すことができます。

そして、焦点(±c,0)とすると、c=√(a2−b2)という関係が成り立ち、2焦点からの距離の和は2aとなります。


ちなみに、a=bのとき、x2+y2=a2となるので、円は楕円の特殊な場合である。と見ることもできます。


◆関連項目
円の方程式


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 22:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「数と式」カッコの3乗の展開

高校数学「数と式」カッコの3乗の展開

カッコの3乗の展開は、ひたすらがんばればできることは間違いありませんが、とても面倒なので、公式をマスターするのがおすすめです。

まずはa+bの3乗の場合。aとbが順序よく並んでいることに注目してください。

★(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3


続いて、a−bの3乗の場合。
この式のbの部分の符号がマイナスになるので、bの指数が奇数の項のみマイナスがつきます。

★(a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3


念のため、「ひたすらがんばる」方式でやってみます。

 (a+b)3
=(a+b)(a+b)2
=(a+b)(a2+2ab+b2)
=a3+2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3
=a3+3a2b+3ab2+b3

当然ですが、公式と同じ形の式を導くことができました。


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月15日

高校数学「数と式」ユークリッドの互除法

高校数学「数と式」ユークリッドの互除法

★ユークリッドの互除法(Euclidean Algorithm)

a>bとして、a÷bの余りを出す。その余りでbを割る。さらにその余りで…
このように、余りがゼロになるまで次々と割り算をしていきます。
余りがゼロになったときの割る数がa,bの最大公約数になる。
という方法です。

例:
(i) 8と6の場合

8÷6=1・・・
6÷=3

これで余りがゼロになったので、8と6の最大公約数は2と求められました。


(ii) 700と315の場合

700÷315=2・・・70
315÷70=4・・・35
70÷35=2

よって、最大公約数は35


◆関連項目
一次不定方程式の解き方
高校数学数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月12日

高校数学「図形と方程式」不等式の表す領域

高校数学「図形と方程式」不等式の表す領域

座標平面上に領域を表す場合はまず、境界線となるグラフを描きます。
そして不等号に従って、その境界線の上や下、中や外を領域として示します。
主なパターンを以下に示します。


・直線のグラフと領域

y>ax+b・・・境界線よりyが大きいので、境界線の上側
y<ax+b・・・境界線よりyが小さいので、境界線の下側


・放物線のグラフと領域

y>ax2+bx+c・・・境界線よりyが大きいので、境界線の上側
y<ax2+bx+c・・・境界線よりyが小さいので、境界線の下側


・円のグラフと領域

(x−a)2+(y−b)2>r2・・・左辺の式の値がrの2乗より大きいので、境界線の外側
(x−a)2+(y−b)2<r2・・・左辺の式の値がrの2乗より小さいので、境界線の内側


不等号にイコールが入っている場合は、「境界線を含む」とします。


◆関連項目
直線の方程式2次関数(放物線)円の方程式
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月11日

高校数学「図形と方程式」数直線上と座標平面の内分・外分

高校数学「図形と方程式」数直線上と座標平面の内分・外分

★ 内分(internal division)

ある線分を、その線分上の点で分けることを内分、その線分の延長線上の点で分けることを外分という。


まず、数直線上に線分ABがあり、線分ABをm:nに内分する点をPとします。
A,B,Pの座標をそれぞれa,b,pとすると、

p=(na+mb)/(m+n)

数直線上の内分点Pの座標はこのように表されます。

       P
A―――――――――――B
   m   : n

分子はmとnを反対側にかける。というイメージで覚えると使いやすいと思います。


通常の座標平面の場合は、x,yそれぞれにこの式を当てはめることになります。
A(xa,ya),B(xb,yb),P(xp,yp)とすると、

xp=(nxa+mxb)/(m+n),yp=(nya+myb)/(m+n)


★ 外分(external division)

そして、線分の延長線上に点Pがくるのが外分です。
「いったん外側に出てから戻ってくる」とイメージするとわかりやすいと思います。

公式は内分とほとんど同じですが、少し符号が変わります。
外分の場合は、m:nの数値のうち、nの符号だけがマイナスになります。

内分・外分の基本問題です→線分ABの内分点と外分点の問題


◆関連項目
図形と方程式まとめ
ベクトルまとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月10日

高校数学「平行条件」

高校数学「平行条件」


平行線の間では、平行条件が成り立ちます。

図形と方程式の単元の直線の式に関しては、「傾きが等しい直線は平行である」ということができます。
つまり

m=m'

です。
mがもとの直線の傾き、m'が平行線の傾きですね。


ちなみに、平行条件をベクトルを使って表すと、

→a=m・→b

です。
「片方のベクトルを何倍かすると、もう片方と一致する」という意味ですね。


◆関連項目
直線の公式y−y1=m(x−x1)ベクトルの平行条件・垂直条件
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月09日

高校数学「図形と方程式」円の方程式

高校数学「図形と方程式」円の方程式

中心(a,b),半径rの円の方程式は、

★ (x−a)2+(y−b)2=r2

の形で表されます。

x,yがともに2乗で、右辺にはrの2乗がある。と考えると覚えやすいと思います。

(x−a)2と(y−b)2のどちらにも係数がない(係数は1になる)ことも理解しておきましょう。

例えば、(x−3)2+(y+1)2=4という方程式で表される図形は、「中心(3,−1),半径2の円」となります。


もともとカッコの2乗になっていないときは、2次関数の頂点を出す場合と同じく平方完成をして、この形に直します。

例えば、x2−2x+y2+4y=0という方程式が与えられた場合、x,yをそれぞれ平方完成すると、中心と半径を求めることができます。

2−2x+1−1+y2+4y+4−4=0
(x−1)2−1+(y+2)2−4=0
(x−1)2+(y+2)2=5

というわけで、この方程式で表される図形は、「中心(1,−2),半径√5の円」であることがわかりました。


◆関連項目
平方完成のやり方
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月08日

高校数学「図形と方程式」まとめ

高校数学「図形と方程式」まとめ

高校数学2Bの図形と方程式(直線、円など)に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆ 公式・解き方・考え方

内分・外分

直線の式y−y1=m(x−x1)
平行条件垂線条件

円の方程式と中心、半径

点と直線の距離d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)

軌跡の問題の立式の仕方

不等式の表す領域


◆ 問題

線分ABの内分点、外分点

円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。
2点を通る直線、円、内分点

2点O(0,0),A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡


リクエストがあればお気軽にどうぞ!


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月05日

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A解答(10)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A解答(10)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題A」の(10)の解答を掲載します。


◆解答

これは少し応用問題ですが、たすきがけのやり方も参考にしてみてください。

(10) 2x2−xy−y2−7x+y+6

このように、x,yの様々な項が含まれる2次式の因数分解をするときは、まずは一つの文字について整理します。

(i)xについて整理する

 2x2−xy−y2−7x+y+6
=2x2−xy−7x−y2+y+6
=2x2−(y+7)x−y2+y+6

(ii)ax2+bx+cと見たときの、a,b,cの値を確認する

a=2,b=−(y+7),c=−y2+y+6となります。

cが2次式なので、まずはcを因数分解します。

−y2+y+6=−(y2−y−6)=−(y+2)(y−3)

つまりもとの2次式は、

=2x2−(y+7)x−(y+2)(y−3)

と変形できます。
ここまでくれば、あとは初歩的なたすきがけと同じです。

@a,c,bの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にax2+bx+cの係数をa,c,bの順に書きます。



――――――――――――――――――――
 2  −(y+2)(y−3)  −(y+7)


a,cの因数をたすきに掛けて、合計bになれば完成!

線の上に並んだ4つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれbの数の上に書きます。

 1   −(y+2) =  −2y−4
   ×
 2    y−3  =   y−3
――――――――――――――――――――
 2  −(y+2)(y−3)  −(y+7)


よって、

={x−(y+2)}(2x+y−3)
=(x−y−2)(2x+y−3)


問題ページに戻る


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



絶対値・有理化・n進数などの記事はここ→数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月04日

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A解答(9)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A解答(9)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題A」の(9)の解答を掲載します。


◆解答

これは少し応用問題ですが、たすきがけのやり方も参考にしてみてください。

(9) x2−xy−2y2+2x−7y−3

このように、x,yの様々な項が含まれる2次式の因数分解をするときは、まずは一つの文字について整理します。

(i)xについて整理する

 x2−xy−2y2+2x−7y−3
=x2−xy+2x−2y2−7y−3
=x2(−y+2)x−2y2−7y−3

(ii)ax2+bx+cと見たときの、a,b,cの値を確認する

a=1,b=−y+2,c=−2y2−7y−3となります。
cがyの2次式なので、まずはこの2次式を「たすきがけ」します。

 1   3 =−6
   ×
−2  −1 =−1
―――――――――――
−2  −3  −7

このようになるので、

=x2(−y+2)x+(y+3)(−2y−1)

と変形できます。
ここまでくれば、あとは初歩的なたすきがけと同じです。

@a,c,bの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にax2+bx+cの係数をa,c,bの順に書きます。



――――――――――――――――――――
 1  (y+3)(−2y−1)  −y+2


a,cの因数をたすきに掛けて、合計bになれば完成!

線の上に並んだ4つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれbの数の上に書きます。

 1     y+3   =  y+3
   ×
 1    −2y−1  = −2y−1
――――――――――――――――――――
 1  (y+3)(−2y−1)  −y+2


よって、

=(x+y+3)(x−2y−1)


問題ページに戻る


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



絶対値・有理化・n進数などの記事はここ→数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月03日

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A解答(8)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A解答(8)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題A」の(8)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(8) 2a2−15ab+18b2

@a,c,bの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にax2+bx+cの係数をa,c,bの順に書きます。



―――――――――――
 2  18 −15


Aa,cの上に、それぞれの因数を書く

aの上には「掛けたらaになる2つの数」を、cの上には「掛けたらcになる2つの数」を書きます。
この場合、bの値がマイナスなので、cの上の数は両方マイナスになります。

 1  −6
   ×
 2  −3
―――――――――――
 2  18 −15


Bたすきに掛けて合計bになれば完成!

線の上に並んだ4つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれbの数の上に書きます。

 1  −6= −12
   ×
 2  −3=  −3
―――――――――――
 2  18  −15

かけ算して出てきたbの上の数の合計がbの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

2a2−15ab+18b2=(a−6b)(2a−3b)


問題ページに戻る


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



絶対値・有理化・n進数などの記事はここ→数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 22:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A解答(7)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A解答(7)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題A」の(7)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(7) 4x2+3xy−27y2

@a,c,bの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にax2+bx+cの係数をa,c,bの順に書きます。



――――――――――
 4 −27  3


Aa,cの上に、それぞれの因数を書く

aの上には「掛けたらaになる2つの数」を、cの上には「掛けたらcになる2つの数」を書きます。
この場合、cの値がマイナスなので、片方プラス、片方マイナスになる数をいろいろ考えて・・・

 1   3
   ×
 4  −9
――――――――――
 4 −27  3


Bたすきに掛けて合計bになれば完成!

線の上に並んだ4つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれbの数の上に書きます。

 1   3 =12
   ×
 4  −9 =−9
――――――――――
 4 −27   3

かけ算して出てきたbの上の数の合計がbの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

4x2+3xy−27y2=(x+3y)(4x−9y)


問題ページに戻る


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



絶対値・有理化・n進数などの記事はここ→数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 20:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年03月02日

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A解答(6)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A解答(6)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題A」の(6)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(6) 6x2−x−12

@a,c,bの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にax2+bx+cの係数をa,c,bの順に書きます。



――――――――――
 6 −12  −1


Aa,cの上に、それぞれの因数を書く

aの上には「掛けたらaになる2つの数」を、cの上には「掛けたらcになる2つの数」を書きます。
この場合、cの値がマイナスなので、片方プラス、片方マイナスになる数をいろいろ考えて・・・

 2  −3
   ×
 3   4
――――――――――
 6 −12  −1


Bたすきに掛けて合計bになれば完成!

線の上に並んだ4つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれbの数の上に書きます。

 2  −3 =−9
   ×
 3   4 = 8
――――――――――
 6 −12  −1

かけ算して出てきたbの上の数の合計がbの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

6x2−x−12=(2x−3)(3x+4)


問題ページに戻る


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



絶対値・有理化・n進数などの記事はここ→数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 23:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題A


この記事では、たすきがけを使った因数分解の練習問題を掲載します。
私立高校の入学前授業では、高校の内容の予習として、この内容を指導したところもあるそうです。
その授業だけでは練習量が不足すると思います。ぜひ、このページの問題もやってみてください。


◆問題

(6) 6x2−x−12
(6)の解答はこちら

(7) 4x2+3xy−27y2
(7)の解答はこちら

(8) 2a2−15ab+18b2
(8)の解答はこちら

(9) x2−xy−2y2+2x−7y−3
(9)の解答はこちら

(10) 2x2−xy−y2−7x+y+6
(10)の解答はこちら


(1)〜(5)はこちら


「たすきがけ」のやり方がわからない人は、まずはこちらをごらんください。


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



絶対値・有理化・n進数などの記事はここ→数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ラベル:数学
posted by えま at 20:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年02月25日

高校数学「数と式」連立不等式

高校数学「数と式」連立不等式

◆連立不等式(simultaneous inequality)

複数の不等式を組み合わせた式を連立不等式という。


普通は2つの不等式を同時に満たす範囲を求める問題になります。

同時に満たすので、「それぞれ解いて、それらの共通範囲を求める」だけです。

共通範囲が一見してわかりにくい場合は、数直線を描いたり、グラフを利用すると良いです。

共通範囲がないときは、「解なし」となります。

2つの不等式の解が、「x≧a,x≦a」となる場合など、ある特定の値のみの場合は、共通範囲は「x=a」なので、「連立普通式の解」なのに不等式ではなく等式になる場合もあります。


高校数学数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年02月24日

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題@解答(5)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題@解答(5)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題@」の(5)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(5) 8x22−10xy−42


@a,c,bの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にax2+bx+cの係数をa,c,bの順に書きます。



――――――――――――
 8  −42  −10


Aa,cの上に、それぞれの因数を書く

aの上には「掛けたらaになる2つの数」を、cの上には「掛けたらcになる2つの数」を書きます。
この場合、cの値がマイナスなので、cの因数どちらかにマイナスがつきます。

 2   −6
   ×
 4    7
――――――――――――
 8  −42  −10


Bたすきに掛けて合計bになれば完成!

線の上に並んだ4つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれbの数の上に書きます。

 2   −6 =−24
   ×
 4    7 = 14
――――――――――――
 8  −42  −10

かけ算して出てきたbの上の数の合計がbの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

(5) 8x22−10xy−42=(2xy−6)(4xy+7)

この場合は、1個目のカッコの中身がどちらも2で割れるので、さらに2でくくって、

=2(xy−3)(4xy+7)

ここまでやります。
(または、最初に2でくくってからたすきがけでもOK!)


問題ページに戻る


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



絶対値・有理化・n進数などの記事はここ→数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題@解答(4)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題@解答(4)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題@」の(4)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(4) 5a2−7ab−6b2


@a,c,bの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にax2+bx+cの係数をa,c,bの順に書きます。



―――――――――――
 5  −6  −7


Aa,cの上に、それぞれの因数を書く

aの上には「掛けたらaになる2つの数」を、cの上には「掛けたらcになる2つの数」を書きます。
この場合、cの値がマイナスなので、cの因数どちらかにマイナスがつきます。

 1  −2
   ×
 5   3
―――――――――――
 5  −6  −7


Bたすきに掛けて合計bになれば完成!

線の上に並んだ4つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれbの数の上に書きます。

 1  −2 =−10
   ×
 5   3 = 3
―――――――――――
 5  −6  −7

かけ算して出てきたbの上の数の合計がbの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

5a2−7ab−6b2=(a−2b)(5a+3b)


問題ページに戻る


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



絶対値・有理化・n進数などの記事はここ→数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 09:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2023年02月23日

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題@解答(3)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題@解答(3)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題@」の(3)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(3) 11a−4+20a2

この問題の場合は、ax2+bx+cの形になっていないので、まずは順番を変えます。

11a−4+20a2=20a2+11a−4

これでノーマルな形になりました。a=20,b=11,c=−4ですね。では、たすきがけをやっていきましょう!


@a,c,bの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にax2+bx+cの係数をa,c,bの順に書きます。



―――――――――――
 20  −4  11


Aa,cの上に、それぞれの因数を書く

aの上には「掛けたらaになる2つの数」を、cの上には「掛けたらcになる2つの数」を書きます。
この場合、cの値がマイナスなので、cの因数どちらかにマイナスがつきますね。

 4   −1
   ×
 5    4
―――――――――――
 20  −4  11


Bたすきに掛けて合計bになれば完成!

線の上に並んだ4つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれbの数の上に書きます。

 4   −1 =−5
   ×
 5    4 =16
―――――――――――
 20  −4  11

かけ算して出てきたbの上の数の合計がbの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

11a−4+20a2=(4a−1)(5a+4)


問題ページに戻る


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



絶対値・有理化・n進数などの記事はここ→数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 23:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題@解答(2)

高校数学「数と式」たすきがけを使った因数分解練習問題@解答(2)


この記事では、「たすきがけを使った因数分解練習問題@」の(2)の解答を掲載します。


◆解答

たすきがけのやり方に掲載した方法で解答・解説を書いていきます。

(2) 12x2−16x+5

@a,c,bの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にax2+bx+cの係数をa,c,bの順に書きます。



―――――――――――
 12  5  −16


Aa,cの上に、それぞれの因数を書く

aの上には「掛けたらaになる2つの数」を、cの上には「掛けたらcになる2つの数」を書きます。
この場合、bの値がマイナスなので、マイナスを含む値を考えて・・・

 2  −1
  ×
 6  −5
―――――――――――
 12  5  −16


Bたすきに掛けて合計bになれば完成!

線の上に並んだ4つの数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれbの数の上に書きます。

 2  −1 = −6
  ×
 6  −5 =−10
―――――――――――
 12  5  −16

かけ算して出てきたbの上の数の合計がbの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。

よって、

12x2−16x+5=(2x−1)(6x−5)


問題ページに戻る


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



絶対値・有理化・n進数などの記事はここ→数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 22:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。アマゾンやGooglePlayで「江間淳」で検索!
江間淳の書籍一覧 → http://amzn.to/2m9LTvN