2021年09月08日

高校数学(用語)「箱ひげ図」

高校数学(用語)「箱ひげ図」

★箱ひげ図(box plot)

第1四分位数〜第3四分位数の部分を「箱」とし、最小値〜第1四分位数と第3四分位数〜最大値を「ひげ」として「箱」の両側に描いた図で、データのばらつき具合を表したものを箱ひげ図という。さらに、箱の中に「中央値(第2四分位数)」を|で示す。
平均値を+で書き足すことも多い。


最大値・最小値、四分位数を表した図なので、箱ひげ図を描いたり活用するためには、これらの用語の意味と求め方をしっかり理解しておく必要があります。
10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方などで練習しておきましょう!


データの分析の考え方・解き方の習得に活用してください。好評です!



◆関連項目
平均値四分位数
データの分析まとめ


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2021年09月07日

高校数学(用語)「偏差」

高校数学(用語)「偏差」

★偏差(deviation)

各データの平均との差を偏差という。


偏差だけを求める問題はほとんど出題されませんが、分散を求めるために偏差を使います。

平均→偏差→分散→標準偏差→相関係数

だいたいこんなかんじの流れですね。


データの分析の考え方・解き方の習得に活用してください。好評です!



◆関連項目
平均値分散
データの分析まとめ


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2021年09月05日

高校数学「データの分析」まとめ

高校数学「データの分析」まとめ

高校数学1Aのデータの分析に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆ 公式・解き方・考え方

平均値、中央値、最頻値
四分位数
範囲、四分位範囲
箱ひげ図
偏差
分散,標準偏差
共分散
相関係数


◆ 問題

10個のデータの中央値
6つのデータの平均と分散
40人のテスト結果の分散
分散から標準偏差を求める


リクエストがあればお気軽にどうぞ!


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2021年09月04日

高校数学「データの分析」6つのデータの平均と分散

高校数学「データの分析」6つのデータの平均と分散

■ 問題

6つの数からなるデータAを、

A={1,2,3,4,5,6}

とする。

データAの平均と分散を求めよ。


解答解説はこのページ下です。


データの分析の問題の解き方・考え方の習得にご利用ください。好評です!



■ 解答解説

データの分析の単元の基本です。

平均はもちろん

(1+2+3+4+5+6)÷6=21/6=7/2

ですね。

分散は「偏差の2乗の平均」です。

偏差は平均との差なので、

−5/2,−3/2,−1/2,1/2,3/2,5/2

ですね。これらの2乗の平均が分散です。

 {(−5/2)^2+(−3/2)^2+(−1/2)^2+(1/2)^2+(3/2)^2+(5/2)^2}/6
=(25/4+9/4+1/4+1/4+9/4+25/4)/6
=(70/4)/6
=35/12


ちなみに、分散の平方根が標準偏差です。
つまりこの場合の標準偏差は√(35/12)=√(35)/2√3=√(105)/6ですね!


データの分析まとめ


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2021年06月23日

高校数学「2次関数」「最大最小」y=x^2−2x+3(−1≦x≦3)

高校数学「2次関数」「最大最小」y=x−2x+3(−1≦x≦3)

■ 問題

次の2次関数の−1≦x≦3における最大値・最小値を求めよ。

y=x−2x+3


解答解説はこのページ下です。


2次関数の問題の解き方・考え方の習得にご利用ください。



■ 解答解説

基本的な最大最小の問題です。
まずはこのくらいの難易度の最大最小を素早く確実に答えられるよう練習しましょう!

2次関数の最大最小の問題を解くときは、まずは頂点を求めます。
頂点は増加と減少が切り替わる点なので、定義域内に頂点が含まれていれば、頂点が最大か最小になるからです。

頂点の座標を求めるには「平方完成」ですね!

y=x−2x−3
 =(x−2x+1−1)−3
 =(x−1)−1−3
 =(x−1)−4

よって、頂点の座標は(1,−4)となります。

定義域は−1≦x≦3なので、頂点は定義域に含まれます。
xの2乗の係数は正の数なので、下に凸のグラフだから、頂点は最小値になります。

そして、頂点から遠い方が最大値です。

この場合は定義域の両端が頂点からの距離は同じなので、x=−1,3どちらも最大値となります。
例えばx=3を代入すると、

y=3−2×3−3
 =9−6−3
 =0

最大値はゼロですね!

まとめると、

x=−1,3のとき最大値0
x=1のとき最小値−4


2次関数まとめ


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2021年06月03日

高校数学「データの分析」分散から標準偏差を求める

高校数学「データの分析」分散から標準偏差を求める

好評発売中の10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方から1問、ブログ用に再編集してご紹介します。


■ 問題

「40人の生徒に対して行われたあるテストの得点のデータの分散は2.94である。標準偏差を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 標準偏差は2.94

 A 2.94を2乗する

 B 2.94の平方根をとる

 C 2.94を逆数にする


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、各大学の入試対策も行っています。過去問を中心に、基礎からやり直す人から医学部を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 B 2.94の平方根をとる

 分散の平方根が標準偏差です。
 そして、分散は偏差(平均値との差)の2乗の平均値です。
分散は2乗の平均なので、それをルートすることによって、単位がもとの値と等しくなり、データの散らばり具合を比較しやすくなります。


■ 解答解説

 標準偏差を求めるためには、分散が必要。
 分散を求めるためには、偏差が必要。
 偏差は、平均との差。

 今回の問題では、分散が2.94とわかっているので、求める標準偏差は

√2.94=1.71…


この問題は次の書籍のP.29に掲載されています。書籍では、実際のデータの表や分散を求めるまでの計算式、間違いの選択肢のコメントや類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
分散と標準偏差中央値
データの分析まとめ


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2021年06月02日

高校数学「データの分析」10個のデータの中央値

高校数学「データの分析」中央値

好評発売中の10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方から1問ご紹介します。中学の「資料の整理」でも登場する「中央値」についての問題です。


■ 問題

「次のような10個のデータがある。
 13,21,17,16,25,20,12,18,16,19
 このデータの中央値を求めよ。」



このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 真ん中の数だから、平均値を求める

 A 真ん中の数だから、左から5番目の数を答える

 B 真ん中の数だから、右から5番目の数を数える

 C データの小さい順に並べて、順番が真ん中の数を答える


★★ お知らせ ★★

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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 C データの小さい順に並べて、順番が真ん中の数を答える

 「中央値」とは、大きさの順番がちょうど真ん中の値のことです。
 つまり、「中央値」を知りたいときは、データの値の順に並べ替えて、順番が真ん中の値を見つけます。
 ただし、データの個数が偶数のときは、ちょうど真ん中の数はないので、真ん中に近い2つの数の平均をとります。


■ 解答解説

 13,21,17,16,25,20,12,18,16,19

 これら10個のデータを小さい順に並べると、次のようになります。

 12,13,16,16,17,18,19,20,21,25

 データの個数が10個で偶数なので、中央値は5番目と6番目の平均です。
小さい順に5番目と6番目は17,18ですね。この2つの平均は、

(17+18)÷2=17.5

よって、このデータの中央値は、17.5です。


この問題は次の書籍のP.17に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
中央値
データの分析まとめ


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2021年06月01日

高校数学「命題と集合」『x=0,y=0ならばxy=0である』の真偽

高校数学「命題と集合」『x=0,y=0ならばxy=0である』の真偽

好評発売中の10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方から1問ご紹介します。


■ 問題

「『x=0,y=0ならばxy=0である』という命題について 真偽の判断をすると?」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ x=0のときy=0となるか考える

 A x=0,y=0のときxy=0となるか考える

 B xy=0となるようなx,yがあるか考える

 C xy=0のときx=0,y=0となるか考える



★★ お知らせ ★★

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■ 選択肢の解答

 A x=0,y=0のときxy=0となるか考える

 「pならばqである」という命題の真偽を判断したいときは、pの条件を満たしているならばqの条件を満たすかどうかを考えます。
 具体的には反例(成り立たない例)を探します。


■ 解答解説

 命題の真偽の判断をするときは、反例があるかどうかを考えます。
反例が一つでもあれば「偽」、反例が一つもなければ「真」ですね。

 今回の問題の「x=0,y=0ならばxy=0である」について考えてみましょう。

 「x=0,y=0」と言っているのだから、xとyはともにゼロにしかなりません。
 ゼロとゼロを掛けたらゼロなので、このときは「xy=0」となるに決まっています。反例は存在しません。つまり、この命題は「真」です。

 このように、反例(成り立たない例)が存在しない場合に、その命題は真である。ということができます。


この問題は次の書籍のP.9に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
真偽の判断
必要条件・十分条件


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2021年05月27日

高校数学「平方根」「整数部分と小数部分」1/(2−√3)

高校数学「平方根」「整数部分と小数部分」1/(2−√3)

先日発売した10秒でわかる高校数学1A「数と式」の考え方から1問ご紹介します。


■ 問題

「1/(2−√3)の整数部分aと小数部分bを求めよ。」


この問題での「整数部分」「小数部分」とは何でしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 整数は1と2。小数は√3

 A 1/(2−√3)の式の値のうち、小数点以上の部分が整数部分、
小数点以下の部分が小数部分

 B 小数になるのは√3なので、整数部分は1,小数部分は√3−1

 C 小数になるのは2−√3なので、整数部分は2,小数部分は−√3


★★ お知らせ ★★

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マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 A 1/(2−√3)の式の値のうち、小数点以上の部分が整数部分、
小数点以下の部分が小数部分

 一般に、小数を用いて表される数の、
  ・小数点以上の部分が「整数部分」
  ・小数点以下の部分が「小数部分」
です。つまり、小数部分は、もとの数から整数部分を引いたものになります。
 例えば、√2=1.414…なので、√2の整数部分は1,小数部分は√2−1です。


■ 解答解説

 まずは、値を調べやすい形に変形します。つまり有理化します。

1/(2−√3)=(2+√3)/{(2−√3)(2+√3)}
      =(2+√3)/(4−3)
      =2+√3

1<√3<2なので、3<2+√3<4ですね。
つまり、2+√3=3.……という小数になります。
ならば、整数部分a=3ですね。

そして、整数部分を引いた残りが小数部分なので、
b=2+√3−3
 =√3−1


この問題は次の書籍のP.53に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
絶対値を含む方程式(基本)
絶対値を含む方程式(やや難しい)


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2021年05月26日

高校数学「平方根」「分母の有理化」2/(√5+1)

高校数学「平方根」「分母の有理化」2/(√5+1)

先日発売した10秒でわかる高校数学1A「数と式」の考え方から1問ご紹介します。


■ 問題

「 次の分数の分母を有理化せよ。
2/(√5+1)」



この場合も、有理化なので分子と分母に何かをかけますが、
何をかければでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ √5 をかける

 A  √5+1をかける

 B  √5−1をかける

 C  分子と分母を2乗する


★★ お知らせ ★★

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■ 選択肢の解答

 B  √5−1をかける

 分母に複数の項があるときの有理化は、展開の公式を使います。
 「(a+b)(a−b)=a^2−b^2」が使えるようにかければ、2乗の項だけが残るので、ルートが消える。というわけです。


■ 解答解説

 この分数の分母を有理化するには、分子と分母に√5−1をかけます。やってみましょう!

 {2/(√5+1)}・{(√5−1)/(√5−1)}
=2(√5−1)/(√5^2−1^2)
=2(√5−1)/(5−1)
=2(√5−1)/4
=(√5−1)/2


この問題は次の書籍のP.49に掲載されています。書籍では、場合分けした場合の解き方、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
1/(√2+√3)


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2021年05月25日

高校数学「不等式」「絶対値」|x+2|≦5

高校数学「不等式」「絶対値」|x+2|≦5

先日発売した10秒でわかる高校数学1A「数と式」の考え方から1問ご紹介します。


■ 問題

「次の不等式を解け。
 |x+2|≦5」



このときは、絶対値の中身がプラスの場合とマイナスの場合で分けることもできますが、他の考え方もできます。それはどういう方法でしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 絶対値が5以下だから、x+2≦5

 A 絶対値が5以下だから、x+2≦−5

 B 絶対値が5以下だから、−5≦x+2≦5

 C 絶対値が5以下だから、x≦5


★★ お知らせ ★★

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■ 選択肢の解答

 B 絶対値が5以下だから、−5≦x+2≦5

 絶対値が5以下ということは、原点からの距離が5以下です。原点からの距離が5の点は5と−5なので、それらよりも原点に近い範囲ということで、
「−5から5」となります。


■ 解答解説

 絶対値が5以下だから、「−5から5」という考えて解いてみましょう!

−5≦x+2≦5

真ん中をxだけにするために、それぞれ−2します。

−5−2≦x+2−2≦5−2

それぞれ計算すれば、

−7≦x≦3



この問題は次の書籍のP.37に掲載されています。書籍では、場合分けした場合の解き方、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
絶対値を含む方程式(基本)
絶対値を含む方程式(やや難しい)


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2021年05月23日

高校数学「連立不等式」3x+2<x+4,8x+1>6x−5

高校数学「連立不等式」3x+2<x+4,8x+1>6x−5

先日発売した10秒でわかる高校数学1A「数と式」の考え方から1問ご紹介します。


■ 問題

「次の連立不等式を解け。
  3x+2<x+4
  8x+1>6x−5」



このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ それぞれ解く。ただ、それだけ

 A それぞれ解いて、共通範囲を求める

 B 不等号をイコールに変えて方程式にしてしまう

 C 右辺をゼロにする


★★ お知らせ ★★

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■ 選択肢の解答

 A それぞれ解いて、共通範囲を求める

 連立不等式を解くときは、
★「まずそれぞれ解く」→「2つの解の共通範囲を求める」
という手順で考えます。共通範囲を求めるときは、数直線を使うとわかりやすいですね。


■ 解答解説

 まずはそれぞれ解きます。
3x+2<x+4  8x+1>6x−5
3x−x<4−2 8x−6x>−5−1
  2x<2 2x>−6
   x<1 x>−3

共通しているところが解なので、求める解は、
−3<x<1


この問題は次の書籍のP.29に掲載されています。書籍では、数直線、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
連立2次不等式


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2021年05月21日

高校数学「因数分解」2x^2−xy−y^2−7x+y+6

高校数学「因数分解」2x^2−xy−y^2−7x+y+6

昨日発売した10秒でわかる高校数学1A「数と式」の考え方から1問ご紹介します。


■ 問題

「次の式を因数分解せよ。
2x^2−xy−y^2−7x+y+6」



このときはまず最初に何をすればいいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!



■ 選択肢

 @ 2x^2−xy−y^2の部分を因数分解する

 A xについて降べきの順に整理する

 B xでくくる

 C yでくくる



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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 A xについて降べきの順に整理する

 このように、xもyも様々な種類の項を含む、いわば「フルコース」の2次式の場合、xについて降べきの順に整理し、まずは定数項(yなどを含む項)を因数分解してみると上手くいくことがあります。
 とにかく全ての項をかっこの中に入れるのが因数分解なので、共通する部分ができるようにしたり、公式を適用しやすく変形する。という方針です。



■ 解答解説

 まずは与式を降べきの順に整理すると、
 2x^2−xy−y^2−7x+y+6
=2x^2+(−y−7)x+(−y^2+y+6)
=2x^2−(y+7)x−(y^2−y−6)   ←マイナスでくくった
=2x^2−(y+7)x−(y+2)(y−3)  ←定数項を因数分解した

ここでこの式全体をxの2次式と捉えて、たすきがけをします。
難しく見えると思いますが、掛けて(y+2)(y−3)になるのは、
(y+2)と(y−3)なので、意外とパターンが限られています。

 1   −(y+2) = −2y−4
   ×
 2     y−3 =  y−3
―――――――――――――――――――
 2  −(y+2)(y−3) −(y+7)

={x−(y+2)}(2x+y−3)
=(x−y−2)(2x+y−3)


この問題は次の書籍のP.17に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
3x^2+y^2−4xy−x+3y−4の因数分解


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2021年05月18日

高校数学「二項定理」nC0+nC1+nC2+……+nCr+……+nCn=2^n

高校数学「二項定理」nC0+nC1+nC2+……+nCr+……+nCn=2


■ 問題

(1+x)の展開式を利用して、次の式を証明せよ。
nC0+nC1+nC2+……+nCr+……+nCn=2



いわゆる二項定理を利用して考えます。


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■ 解答解説

(1+x)を展開することを考えます。

xについての整式と捉えると、展開したら、定数項、1次の項、2次の項、…と並ぶはずですね。

二項定理を使って、それぞれの項の係数を考えれば、

定数項・・・nC0
1次の項・・・nC1
2次の項・・・nC2

このようになっていきます。
ここから、証明したい式の左辺は、(1+x)の全ての項の係数であると推定できると思います。

係数を全て足したものだから、「(1+x)にx=1を代入したもの」と言っても同じです。

(1+x)に、x=1を代入すると、

(1+1)=2

よって、nC0+nC1+nC2+……+nCr+……+nCn=2


解説記事のリクエストも受け付けています。
「この問題わからない。誰か教えて!」という人は、お気軽にご連絡ください。


江間淳の書籍はこちら
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2021年05月16日

高校数学「絶対値」「方程式」|x−2|=3

高校数学「絶対値」「方程式」|x−2|=3


■ 問題

次の方程式を解け。
|x−2|=3



解き方・考え方は一つではありませんが、個人的には、しっかり場合分けをして解くことをオススメしています。


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■ 解答解説

絶対値は「数字の符号を取ったもの」「原点からの距離」などと理解できます。

与式の|x−2|=3は、「x−2の値は+3と−3の場合がある」「x−2の値は原点から3だけ離れた位置にある」ことを意味します。

絶対値の扱いとしては、

・中身がプラスならそのまま外す
・中身がマイナスなら符号を変えて外す

と考えればOKです。

場合分けをしてみると、

(i) 絶対値の中身がプラスのとき

x−2≧0すなわちx≧2のとき

x−2=3
  x=3+2
  x=5

これはx≧2を満たす。

(ii) 絶対値の中身がマイナスのとき

x−2<0すなわちx<2のとき

−(x−2)=3
−x+2=3
  −x=3−2
  −x=1
   x=−1

これはx<2を満たす。

(i),(ii)より、x=5,−1


このように、絶対値を含む方程式の場合、1次方程式なのに解が複数出ることがあります。


ちなみに、このような単純な方程式では必ず満たす範囲の値が出てきますが、式によっては不適となる値が出てくることもあるので、その都度、出た解が場合分けの範囲を満たしているか確認しなければいけません。


◆関連問題
2|x|+|2x+3|=7


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2021年05月04日

高校数学「数列」「数学的帰納法」1+4+7+……+(3n−2)

高校数学「数列」「数学的帰納法」

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

「数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。ただし、nは自然数とする。
1+4+7+……+(3n−2)=(1/2)n(3n−1)」



このときはまずn=1の場合に等式が成り立つことを確認し、次に、
n=kで成り立つと仮定すると、n=k+1でも成り立つことを示します。
n=k+1でも成り立つことを示すには、まず何をすればいいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 両辺に(k+1)を足す

 A 両辺に第(k+1)項を足す

 B 「1個ずらして引く」をやる

 C an=a1+Σ[k=1〜n-1]bkをやる


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■ 選択肢の解答

 A 両辺に第(k+1)項を足す

 数学的帰納法を用いて式の証明をするときは、

[1]n=1のとき成り立つ。
[2]n=kのとき成り立つと仮定するとn=k+1のときも成り立つ。

これら2つのことを言っていきます。これら2つの事が言えば、「n=1が成り立つならばn=2も成り立つ。n=2が成り立つならn=3も成り立つ。n=3が成り立つならn=4も…」のように、次々と次の項が成り立つことが言えるので、全ての自然数について証明したことになります。

 そのための代表的な方法が、第(k+1)項を両辺に足す。です。

・左辺には初項から第k項までが書かれているので、第(k+1)項を足せば、初項から第(k+1)項までの和になります。
・右辺は第k項までの和なので、第(k+1)項の値を加えて変形した結果、第(k+1) 項までの和の式が得られるはずです。

これらが言えれば、「n=kのとき成り立つと仮定すると、n=k+1のときも成り立つ」ということができます。


■ 解答解説

[1] n=1のとき

(左辺)=1,(右辺)=(1/2)1・(3−1)=1

よって成り立つ。


[2] n=kのとき成り立つと仮定すると、

1+4+7+……+(3k−2)=(1/2)k(3k−1)

この式の両辺にに第(k+1)項すなわち、(3k+1)を加えると、

1+4+7+……+(3k−2)+(3k+1)=(1/2)k(3k−1)+(3k+1)

この式の右辺を計算すると、

(右辺)=(3/2)k^2−(1/2)k+3k+1

   =(3/2)k^2+(5/2)k+1

   =(1/2)(3k^2+5k+2) ←(1/2)でくくった

   =(1/2)(3k+2)(k+1) ←因数分解した

これはn=k+1の場合の右辺なので、与式はn=k+1のときも成り立つ。
よって、与式は全ての自然数について成り立つ。


この問題は次の書籍のP.69に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
数列まとめ


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2021年04月22日

高校数学「数列」「漸化式」1/an=bnのおきかえを利用する場合

高校数学「数列」「漸化式」1/an=bnのおきかえを利用する場合

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

「a1=1,an+1=an/3an+4で定められる数列{an}の一般項を1/an=bnのおきかえを利用して求めよ。」


おきかえを利用するためには、まずは与式を変形する必要があります。
どのような方針で変形すればいいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 分数だとわかりにくいので、まずは両辺に(3an+4)を掛ける

 A1/anの形にしなければいけないのだから、両辺を逆数にする

 Ban/(3an+4)を約分して、1/(3+4)とする

 C1/an=bnをanについて解いて、与式に代入する


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■ 選択肢の解答

 A1/anの形にしなければいけないのだから、両辺を逆数にする

 この問題では、おきかえの形が指定されているので、それが活用できるように与式を変形します。
1/an=bnにn=n+1を代入すれば、an+1=1/bn+1となります。さらに、
分子が定数なので、分子からanが消えるようにする必要があります。与式を逆数にすれば、右辺の分母がanだけになるので、約分しやすくなる点に注目してください。


■ 解答解説

まずは与式の両辺を逆数にします。

1/an+1=(3an+4)/anとなるので、右辺を約分すると、(右辺)=3+(4/an)

ここで、1/an=bnなので、1/an+1=bn+1です。両辺それぞれ置き換えれば、

bn+1=3+4bnが得られます。

これはP.61でも取り上げた、「等差と等比の複合の漸化式」の形です。同様にやってみましょう!

bn+1+1=4(bn+1)と変形して、bn+1=cnとすると、
cn+1=4cnが得られます。

さらに、c1=b1+1=1/a1+1=1+1=2だから、

cnは初項が2,公比が4の等比数列です。よって一般項は、cn=2・4^(n-1)
bn+1=cnだから、bn=2・4^(n-1)−1

そして、1/an=bnだからan=1/bnなので、求める一般項は、

an=1/{2・4^(n-1)−1}


この問題は次の書籍のP.65に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差と等比の複合の漸化式
数列まとめ


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2021年04月13日

高校数学「数列」「漸化式」「階差数列」a1=−1,an+1=an+3n

高校数学「数列」「漸化式」「階差数列」a1=−1,an+1=an+3n

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「 次のように定められた数列の一般項anを求めよ。
 a1=−1,an+1=an+3n (n=1,2,3,…)」



このときは、第n群までの最初の項を取り出して数列とみなして解くことも
できますが、他にはどんな方法が可能でしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 初項が−1,公差が3の等差数列

 A 初項が−1,公差が3nの等差数列

 B 初項が−1,公比が3nの等比数列

 C 初項が−1,階差数列が3n


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■ 選択肢の解答

 C 初項が−1,階差数列が3n

 an+1=an+3nは、第n項に3nを足すと第n+1項になる。ことを意味します。次の項に行く度に3nを足し続ける。というわけです。足し続ける数は3nだから、項数によって段階的に変化します。つまり、これは階差数列を用いた数列を漸化式で表したものです。



■ 解答解説

 この数列anは階差数列をbn=3nと考えて計算すればOKですね!

P.33にも掲載したように、an=a1+Σ[k=1〜n-1]bkだから、

an=−1+Σ[k=1〜n-1]3k
  =−1+3・(1/2)・(n−1)・(n−1+1)
  =−1+(3/2)n(n−1)
  =(3/2)n^2−(3/2)n−1


この問題は次の書籍のP.57に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
群数列
数列まとめ


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2021年04月10日

高校数学「数列」群数列1|2,3|4,5,6|…

高校数学「数列」群数列1|2,3|4,5,6|…

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「  自然数の列を次のように、第n群にはn個の数が入るようにする。
 1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|11,……
 このとき、第n群の最初の項を求めよ。」



このときは、第n群までの最初の項を取り出して数列とみなして解くことも
できますが、他にはどんな方法が可能でしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 第1群から第(n−1)群までに何個の数があるか求める

 A 自然数の列を区切ると等比数列になるので、等比数列の公式を使う

 B 自然数の列は等差数列なので、普通に等差数列の公式を使う

 C どれでもない


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■ 選択肢の解答

 @ 第1群から第(n−1)群までに何個の数があるか求める

 第n群の最初の項は、第(n−1)群の最後の項の次の項ですね。だから、第(n−1)群までに何個の数(項)があるかわかれば、それに1を足せばOK!というわけです。


■ 解答解説

 第n群の最初の項を求めるには、第(n−1)群までの項数を求める必要があります。「第n群にはn個の数が入る」ので、第1群には1個の数が入り、第2群には2個の数が入り、第3群には3個、第4群には4個……となっていくので、第(n−1)群までの項数は、1からn−1までの和になります。
つまり、第(n−1)群までには、

 Σ[k=1〜n-1]k=(1/2)n(n−1)

だけの数があり、第(n−1)群の最後の項は(1/2)n(n−1)であることがわかります。これに1を足したのが第n群の最初の項なので、求める数は、

(1/2)n(n−1)+1=n^2/2−n/2+1

これで終わりでも構いませんが、さらに(1/2)でくくると模範的です。

          =(1/2)(n^2−n+2)


この問題は次の書籍のP.45に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
群数列
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2021年04月06日

高校数学「数列」等差と等比の複合an=n・2^(n-1)

高校数学「数列」等差と等比の複合an=n・2^(n-1)

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「 一般項がan=n・2^(n-1)で表される数列の初項から第n項までの和Snを求めよ。」


このときは最初にどうすれば良いでしょうか?
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■ 選択肢

 @ 等差数列と等比数列の積だから、等差数列の和の式と
  等比数列の和の式を掛ける

 A 一般項がわかっているからΣで書いて、当てはまる公式を探す

 B 初項からいくつかの項を並べて書いてみる

 C こんな問題見たことないので、パス!


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■ 選択肢の解答

 B 初項からいくつかの項を並べて書いてみる

 n・2^(n-1)を分解してみると、nは等差数列、2^(n-1)は等比数列です。このような、等差数列等比数列の積の形の数列はΣの公式を適用できません。そんなときは、初心に戻って、まずは具体的に項を並べて書いてみると良いです。

1・1+2・2+3・2^2+4・2^3+……+(n−1)・2^(n-2)+n・2^(n-1)

具体的に書いてみると、当然この通りになりますね。まずはこのテの問題の場合は、このように書いてみることから始める。と覚えておくと良いです。


■ 解答解説

 まず、それぞれの項を書いたら、次は「等比数列の公比を掛けて、1個ずらして引く」と考えます。

   Sn=1・1+2・2+3・2^2+……+(n−1)・2^(n-2)+n・2^(n-1)
−)2Sn=    1・2+2・2^2+3・2^3+……+(n−1)・2^(n-1)+n・2^n
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
  −Sn= 1 + 2 + 2^2 + 2^3+……+2^(n-2)+2^(n-1)−n・2^n

こうすると、右辺の−n・2^n以外の部分が等比数列となるので、普通の公式を使うことができますね!等比数列の部分は初項1,公比2なので、

−Sn=1・(2^n−1)/(2−1)−n・2^n
   =2^n−1−n・2^n

Sn=n・2^n−2^n+1 ←両辺の符号を変えて順番を変えた
 =2^n・(n−1)+1       ←2^nでくくった



この問題は次の書籍のP.41に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差数列
等比数列
数列まとめ


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こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
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