2019年11月12日

高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」A

高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」A

点A(2,3)を通り、ベクトル→d=(4,1)に平行な直線の媒介変数表示を求め、直線の式を求めよ。ただし、媒介変数をtとする。


媒介変数表示を求めるところまではこちらで解説しています。
直線の式はtを消去した形です。


解説はこのページ下


センター過去問もチェックしておきましょう!



前回の解説で、求めるベクトルの媒介変数表示は、x=2+4t,y=3+tであることがわかりました。

ここからtを消去すれば直線の式になります。
消去するには、どちらかの式をtについて解いて、もう片方に代入すればOKですね。

 y=3+t
−t=3−y
 t=y−3

これをx=2+4tに代入して、

x=2+4(y−3)
x=2+4y−12
x=4y−10

ここで終わりでもダメではありませんが、直線の式の一般形の形に直しておいた方がよいです。つまり、移項して

x−4y+10=0


関連問題
→a=(1,2),→b=(2,−3)


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posted by えま at 12:03| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」@

高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」@

点A(2,3)を通り、ベクトル→d=(4,1)に平行な直線の媒介変数表示を求めよ。ただし、媒介変数をtとする。


Aからスタートして、→dの向きに進む。というイメージで考えるとわかりやすいです。


解説はこのページ下


センター過去問もチェックしておきましょう!




Aを出発点にして、→dに平行に移動するので、

A+t・→d

というイメージで求めることができます。

A(2,3),→d=(4,1)なので、

(x,y)=(2,3)+(4t,t)=(2+4t,3+t)

よって、x=2+4t,y=3+t


つづく→tを消去した式


関連問題
→a=(1,2),→b=(2,−3)


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posted by えま at 11:22| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年11月08日

高校数学「微分」「接線の方程式」

高校数学「微分」「接線の方程式」

y=x^3の接線のうち、(1,0)を通るものの方程式を求めよ。


接線といえば微分です。


解説はこのページ下


今回の問題は、この書籍のP.29にも掲載されています。



微分すると、接線の傾きが出てきます。
だから、接線の方程式を求めたければ、与式を微分します。

y=x^3だから、y'=3x^2

これがy=x^3の接線の傾きを表す式だ。というわけです。

(1,0)はこの関数上の点ではないので、接点のx座標をtとおくと、接線の傾きはy'=3t^2、接点の座標は(t,t^3)となります。

あとはこれらの情報を直線の式y−y1=m(x−x1)に代入して、

y−t^3=(3t^2)(x−t)

この点が(1,0)を通るので、x,yに代入して、

0−t^3=(3t^2)(1−t)
−t^3=3t^2−3t^3
2t^3−3t^2=0
t^2(2t−3)=0
よって、t=0,3/2

t=0のとき、
y−0=0×(x−0)
  y=0

t=3/2のとき
y−(3/2)^3={3(3/2)^2}(x−3/2)
y−27/8=(27/4)(x−3/2)
     y=(27/4)x−81/8+27/8
     y=(27/4)x−54/8
     y=(27/4)x−27/4


関連問題
y=x^3+x^2−2上の点(−1,−2)における接線の方程式


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2019年10月30日

高校数学「確率」「〜以上」

高校数学「確率」「〜以上」

男子3人と女子3人の合計6人から3人の委員を選ぶとき、女子が2人以上選ばれる確率を求めよ。


確率は「そのときの場合の数/全体の場合の数」です。
2人以上とは、もちろん、2人または3人ですね。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



まずは、全体の場合の数を求めましょう!
「6人から3人を選ぶ」なので、6C3=(6×5×4)/(3×2×1)=5・4ですね。

「女子が2人以上」はつまり「女子が2人または3人」なので、それぞれの場合を求めて合計します。

(i)女子が2人のとき
男子1人、女子2人なので、
3C1×3C2=3・(3×2)/(2×1)=3・3

(ii)女子が3人のとき
3C3=1


よって求める確率は

 (3・3+1)/(5・4)
=10/20
=1/2


関連問題
球を取り出す確率
6人が一列に並ぶ確率


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2019年10月29日

高校数学「確率」「交互に並ぶとき」

高校数学「確率」「交互に並ぶとき」

男子3人と女子3人の合計6人が一列に並ぶとき、男子と女子が交互に並ぶ確率を求めよ。


確率は「そのときの場合の数/全体の場合の数」です。
まずはそれぞれの場合の数を求めます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



まずは、全体の場合の数を求めましょう!
「6人が並ぶ場合の数」なので、6!=6×5×4×3×2×1ですね。

「男女が交互に並ぶ場合の数」はいくつか考え方がありますが、例えば、

「男子3人を並べる」→「間に女子3人を並べる」というイメージで求めることができます。

男子3人の並べ方は、3!=3×2×1

間に並べる女子3人の並び方は、3!=3×2×1

男子が先の場合と女子が先の場合があるので、2倍して、

3×2×1×3×2×1×2です。これが「そのときの場合の数」なので、求める確率は、

 (3×2×1×3×2×1×2)/6×5×4×3×2×1
=1/5×2
=1/10


関連問題
一列に並ぶ場合の数
交互に並ぶ円順列


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高校数学「確率」「球を同時に取り出すとき」A

高校数学「確率」「球を同時に取り出すとき」A

袋の中に7個の白球と3個の黒球が入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出した球の2個が白球,1個が黒球である確率を求めよ。


確率は「そのときの場合の数/全体の場合の数」です。
「同時に取り出す」などの場合はnCrを使って計算するとやりやすいです。
確率の場合でも、同時に起こること、連続して起こることはかけ算をします。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



前回の記事と同様に、まずは全体の場合の数を求めてみましょう。

「袋の中に7個の白球と3個の黒球が入っている」ので、合計10個の球が入っていることになります。
ここから3個取り出すので、

10C3=(10・9・8)/(3・2・1)=10・3・4

続いて、「2個が白球,1個が黒球」の場合の数を求めます。これらは同時に起こることなので、それぞれの場合の数をかけ算します。

7C2×3C1={(7・6)/(2・1)}×(3/1)
     =7・3・3

「確率=そのときの場合の数/全体の場合の数」なので、

 (7・3・3)/(10・3・4)
=7・3/(10・4)
=21/40


関連問題
赤球5個と白球4個のとき


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posted by えま at 10:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「確率」「球を同時に取り出すとき」@

高校数学「確率」「球を同時に取り出すとき」

袋の中に7個の白球と3個の黒球が入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出した球が3個とも白球である確率を求めよ。


確率は「そのときの場合の数/全体の場合の数」です。
「同時に取り出す」などの場合はnCrを使って計算するとやりやすいです。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



まずは全体の場合の数を求めてみましょう。

「袋の中に7個の白球と3個の黒球が入っている」ので、合計10個の球が入っていることになります。
ここから3個取り出すので、

10C3=(10・9・8)/(3・2・1)=10・3・4

確率の場合は、後から分数にして約分するので、あえてかけ算はせずに、この状態でストップしておく方が計算が簡単になることが多いです。

「3個とも白球」の確率を聞いているので、「白球の場合の数」を求めます。
7個から3個取り出すので、

7C3=(7・6・5)/(3・2・1)=7・5

「確率=そのときの場合の数/全体の場合の数」なので、

 (7・5)/(10・3・4)
=7/(2・3・4)
=7/24


次の問題→確率同時に取り出すときA


関連問題
赤球5個と白球4個のとき


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2019年10月25日

高校数学「2次方程式」「解の範囲が限定される場合」

高校数学「2次方程式」「解の範囲が限定される場合」

■問題
2次方程式3x^2−12x+12−k^2=0が正の解と負の解を一つずつ持つような定数kの値の範囲を求めよ。


■考え方
「正の解と負の解を一つずつもつ」ということは、まずは「異なる2つの実数解」を持つ必要があります。
さらに、解の範囲を限定するためにその他の条件を満たす必要があります。その条件とは・・・?


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは解を2つ持たないと話にならないので、D>0を満たすk値を求めます。

3x^2−12x+12−k^2=0なので、D=b^2−4acにa=3,b=−12,c=12−k^2を代入して、

D=(−12)^2−4×3×(12−k^2)
 =144−144+12k^2
 =12k^2>0
    k^2>0
よって、k=0以外の全ての実数で解を2つ持つことがわかります。

y=3x^2−12x+12−kの2次関数のグラフは、下に凸なので、正の解と負の解を一つずつもつときは、グラフが原点の下側を通ります。
原点は(0,0)なので、原点の下側はx=0のときy<0ですね。
だから与式にx=0を代入して、

12−k^2<0
k^2−12>0
(k+2√3)(k−2√3)>0

よって、k<−2√3,k>2√3

これはD>0の範囲に含まれるので、そのままこの問題の解となります。


ちなみに、下に凸のグラフが原点よりも下を通れば、自動的に異なる2つの実数解を持つので、このような条件の場合は、D>0をやらなくても大丈夫です。


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高校数学「2次不等式」「連立」B

高校数学「2次不等式」「連立」B

■問題
不等式−20≦2x^2−13x<15を解け。


■考え方
一つながりの不等式になっていますが、前半と後半に分ければ、ただの連立2次不等式です。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

連立2次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。
今回の問題は一続きの不等式になっているので、前半と後半の2つの式に分けてから解きます。

まず前半は、−20≦2x^2−13xですね。これを解いていきます。

   2x^2−13x≧−20
2x^2−13x+20≧0

 2   −5 = −5
   × 
 1   −4 = −8
―――――――――――――
 2   20  −13

(2x−5)(x−4)≧0
よって、x≦5/2,x≧4・・・@


次に後半の式を解きます。

   2x^2−13x<15
2x^2−13x−15<0

 2  −15 = −15
   × 
 1    1 =   2
―――――――――――――
 2  −15   −13

(2x−15)(x+1)<0
よって、−1<x<15/2・・・A

@とAの共通範囲は、−1<x≦5/2,4≦x<15/2


次の問題→正の解と負の解を一つずつ持つ2次方程式


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2019年10月24日

高校数学「2次不等式」「連立」A

高校数学「2次不等式」「連立」A

■問題
連立2次不等式x^2+x−2<0,3x^2−10x+3≦0を解け。


■考え方
連立だからといって特別なことはありません。まずはそれぞれ解きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

連立2次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。
まずはそれぞれ解いてみましょう!

一つめの式を計算すると、

 x^2+x−2<0
(x+2)(x−1)<0
よって、−2<x<1・・・@


次に2つめの式を計算すると、

3x^2−10x+3≦0

 3   −1 = −1
   ×
 1   −3 = −9
――――――――――――
 3   3   −10

(3x−1)(x−3)≦0
よって、1/3≦x≦3・・・A

あとは@とAの共通範囲を求めると・・・

1/3≦x<1

ですね!

ここでは書きませんでしたが、共通範囲を探すときは、数直線を使ってみるとわかりやすいですよ!


次の問題→連立2次不等式B


関連項目
2016年センター数学1A第1問[3]


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高校数学「2次不等式」「連立」@

高校数学「2次不等式」「連立」@

■問題
連立2次不等式x^2−9x+18>0,x^2−8x+7<0を解け。


■考え方
連立だからといって特別なことはありません。まずはそれぞれ解きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

連立2次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。
まずはそれぞれ解いてみましょう!

x^2−9x+18>0
 (x−3)(x−6)>0
よって、x<3,x>6・・・@

x^2−8x+7<0
(x−1)(x−7)<0
よって、1<x<7・・・A

あとは@とAの共通範囲を求めると・・・

1<x<3,6<x<7

ですね!

ここでは書きませんでしたが、共通範囲を探すときは、数直線を使ってみるとわかりやすいですよ!


次の問題→連立2次不等式A


関連項目
2016年センター数学1A第1問[3]


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高校数学「2次不等式」「全ての実数」A

高校数学「2次不等式」「全ての実数」「判別式」A

■問題
2次不等式x^2−(k+3)x+4k≧0の解が全ての実数であるような定数kの値の範囲を求めよ。


■考え方
(2次式)≧0の解が全ての実数というのはつまり、2次関数とx軸の共有点が0個または1個です。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

今回の問題の2次式は、x2乗の係数がプラスだから下に凸の2次関数になるので、
(2次式)≧0の解が全ての実数となるためには、2次関数とx軸が共有点を持たないか接する必要があります。
つまり、D≦0です。

x^2−(k+3)x+4k≧0なので、D=b^2−4acに、a=1,b=−(k+3),c=4kを代入して、

D={−(k+3)}^2−4×1×4k
 =(k+3)^2−16k
 =k^2+6k+9−16k
 =k^2−10k+9≦0
   (k−1)(k−9)≦0

この2次不等式の解は横軸の下側なので、求めるkの値の範囲は、

1≦k≦9


連立2次不等式@


関連項目
判別式
xの値にかかわらず常に成り立つ2次不等式


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高校数学「2次不等式」「全ての実数」@

高校数学「2次不等式」「全ての実数」「判別式」@

■問題
2次不等式2x^2−kx+k+1>0の解が全ての実数であるような定数kの値の範囲を求めよ。


■考え方
不等式の解が全ての実数であるならば、2次関数のグラフと横軸との共有点がないので・・・


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

今回の問題の2次式は、x2乗の係数がプラスだから下に凸の2次関数になるので、
「不等式の解が全ての実数」というのは、「2次関数とx軸の共有点がない」と同じ意味を表します。

2次関数とx軸の位置関係は判別式D=b^2−4acで調べることができます。

共有点を持たないときは、D<0です。

2x^2−kx+k+1>0なので、D=b^2−4acに、a=2,b=−k,c=k+1を代入して、

D=(−k)^2−4×2×(k+1)
 =k^2−8k−8<0

解の公式に代入して、

k=[−(−8)±√{(−8)^2−4×1×(−8)}]/2×1
 ={8±√(64+32)}/2
 =(8±√96)/2
 =(8±4√6)/2
 =4±2√6

D<0なので、これら2つの解の間が求める範囲だから、

4−2√6<k<4+2√6


次の問題→解が全ての実数の2次不等式A


関連項目
判別式
xの値にかかわらず常に成り立つ2次不等式


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高校数学「2次方程式」「実数解」「判別式」

高校数学「2次方程式」「実数解」「判別式」

■問題
2次方程式x^2+(k+1)x+k+2=0が、実数解を持たないような定数kの値の範囲を求めよ。


■考え方
実数解を持たないならば、判別式D<0ですね!


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

2次方程式の解の個数は判別式D=b^2−4acで調べることができます。

実数解を持たないときは、D<0です。

D=b^2−4acに、a=1,b=k+1,c=k+2を代入して、

D=(k+1)^2−4×1×(k+2)
 =k^2+2k+1−4k−8
 =k^2−2k−7

この式の値がマイナスのとき解を持たないので、普通に2次不等式を解きます。
まずはイコールゼロで解くと、

k=[−(−2)±√{(−2)^2−4×1×(−7)}]/2×1
 ={2±√(4+28)}/2
 =(2±√32)/2
 =(2±4√2)/2
 =1±2√2

2乗の係数はプラスだから、放物線のグラフは下に凸なので、マイナスになるのは2つの解の間です。
すなわち、求めるkの値の範囲は、

1−2√2<k<1+2√2


次の問題→解が全ての実数の2次不等式@


関連項目
判別式


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高校数学「2次方程式」「判別式」「重解」

高校数学「2次方程式」「判別式」「重解」

■問題
2次方程式x^2+(k+1)x+k+2=0が、重解を持つような定数kの値を求めよ。


■考え方
重解ならば、判別式D=0ですね!


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

2次方程式の解の個数は判別式D=b^2−4acで調べることができます。

解が1個すなわち重解のときは、D=0です。

D=b^2−4acに、a=1,b=k+1,c=k+2を代入して、

D=(k+1)^2−4×1×(k+2)
 =k^2+2k+1−4k−8
 =k^2−2k−7

この式の値がゼロのときが重解なので、普通に2次方程式を解きます。
因数分解はできなさそうなので、解の公式に代入して、

k=[−(−2)±√{(−2)^2−4×1×(−7)}]/2×1
 ={2±√(4+28)}/2
 =(2±√32)/2
 =(2±4√2)/2
 =1±2√2


次の問題→実数解を持たないとき


関連項目
判別式


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高校数学「2次不等式」C

高校数学「2次不等式」C

■問題
2次不等式3x^2−6x+1<2x^2−17を解け。


■考え方
2次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。
もともと右辺がゼロになってないときは、最初に式の変形をします。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは右辺がゼロになるように式の変形をします。

3x^2−6x+1<2x^2−17
x^2−6x+18<0

そしてイコールゼロにして解きます。

x^2−6x+18=0

x=[−(−6)±√{(−6)^2−4×1×18}]/2×1
 ={6±√(36−72)}/2

2次不等式Aの問題と同じように、ルートの中身がマイナスになってしまいました。
ということは、2次関数のグラフがx軸との共有点を持ちません。

x^2−6x+18は、x^2の係数が正の数なので、放物線のグラフは下に凸です。
下に凸のグラフがx軸との共有点を持たないならば、式の値は常にプラスである。ということがわかります。

x^2−6x+18<0の範囲を求めたいですが、そんなときはないので、求める解は

解なし

となります。


ちなみに、今回の問題も、Aの問題も、判別式を使えば、マジメに解の公式に代入しなくても、放物線がx軸と共有点を持たないことがわかりますが、一目でそういう場合なのかどうかを判断するのは難しいと思いますし、「まずは因数分解をする。できなければ解の公式」という考え方で全て解決できるので、このブログではこの解き方で統一しています。
今後場合によっては、先に判別式を考える方法を解説することもあるかも知れません。


次の問題→重解を持つとき


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posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次不等式」B

高校数学「2次不等式」B

■問題
2次不等式x^2−12x+36≦0を解け。


■考え方
2次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

x^2−12x+36≦0の場合も、まずはイコールゼロにして解いてみます。

x^2−12x+36=0
    (x−6)^2=0
よって、x=6

つまり、2次関数のグラフを考えた場合のx軸との共有点はx=6の1点である。というわけです。
これはx軸と接する。場合ですね。

x^2−12x+36≦0なので、x軸から下側の範囲を聞いています。
x=6の1点のみがこの範囲を満たしているので、求める解は

x=6


次の問題→2次不等式C


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posted by えま at 09:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次不等式」A

高校数学「2次不等式」A

■問題
2次不等式3x−2x^2<6を解け。


■考え方
2次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。
イコールゼロになってないときは、式の変形をしてから2次方程式にすると良いです。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは式の変形をします。

   3x−2x^2<6
−2x^2+3x−6<0
 2x^2−3x+6>0

x^2の係数はプラスにしておいた方がわかりやすいと思います。
その際には、不等号の向きを直すことも忘れずに!

あとは前回の問題と同様に、イコールゼロで解いて・・・ということで、解の公式に代入してみると、

x=[−(−3)±√{(−3)^2−4×2×6}]/2×2
 ={3±√(9−48)}/4

この辺で、気になる点がありますね?
√の中身がマイナスになってしまいます。
ということは、この方程式は実数解を持ちません。
つまり、2次関数のグラフを描いた場合、x軸と共有点を持たないことになります。

下に凸のグラフが共有点を持たないならば、その2次式の値は常に正の数である。ということができます。

変形した2次不等式は2x^2−3x+6>0で、つまりは式の値が正の数になる場合を聞いているので、

解は「すべての実数」ですね!


次の問題→2次不等式B


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posted by えま at 06:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次不等式」@

高校数学「2次不等式」@

■問題
2次不等式x^2+4x−7≧0を解け。


■考え方
2次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

イコールゼロにして解いた値は、グラフのx軸との交点になります。

x^2+4x−7=0を解の公式に代入して、

x=[−4±√{4^2−4×1×(−7)}]/2×1
 ={−4±√(16+28)}/2
 =(−4±√44)/2
 =(−4±2√11)/2
 =−2±√11

2次関数のグラフを描いた場合のx軸との交点が、x=−2+√11と−2−√11というわけです。

もとの不等式はx^2+4x−7≧0なので、グラフのうちx軸よりも上側の部分を考えます。

x^2の係数はプラスなので下に凸のグラフだから、「小さい方より左、大きい方より右」が求める範囲です。

よって、x≦−2−√11,x≧−2+√11


次の問題→2次不等式A


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posted by えま at 01:45| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年10月23日

高校数学「2次関数」「異なる2点で交わるとき」

高校数学「2次関数」「異なる2点で交わるとき」

■問題
2次関数y=x^2−6x+2k+1のグラフとx軸が異なる2点で交わるような定数kの値の範囲を求めよ。


■考え方
「異なる2点で交わる」ということは、判別式ですね!


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

2次関数とx軸との位置関係は、2次方程式の解の判別式で調べることができます。

D=b^2−4acとすると、

D>0ならば、2次関数のグラフとx軸は異なる2点で交わります。

与式はy=x^2−6x+2k+1なので、a=1,b=−6,c=2k+1を代入して

D=(−6)^2−4×1×(2k+1)
 =36−8k−4
 =−8k+32>0
     −8k>−32
       k<4


関連項目
判別式の基本


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