2020年02月25日

高校数学「指数対数」「指数と対数の関係」

高校数学「指数対数」「指数と対数の関係」

この記事では、指数と対数の関係について解説します。

対数は「aをcにするには何乗すればいいか」を表していて、指数と対数は次のような関係があります。

★ a^b=cならばlog[a]c=b

aを底、cを真数、bを指数(または対数の値)と呼びます。

「aをb乗したらcになる」ならば「aをcにするならb乗する」と言っても
変わらないですね。指数と対数はこのような言い換えの関係になっていると
言えます。

例えば、2^3=8を対数で表せば、log[2]8=3というわけです。

これを少し応用すると、次のようなことも言えます。

★ log[a]a=1       ←aをaにするには1乗
★ log[a]1=0       ←aを1にするには0乗

これらは、公式のように扱う事も多いです。
できるだけ覚えておきましょう!


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2020年02月18日

高校数学「2次方程式の解と係数の関係」A

高校数学「2次方程式の解と係数の関係」A

■ 問題

x^2−x+3=0の解をα,βとするとき、α+β,αβの値を求めよ。


前回の解説では、ノーマルに「解と係数の関係」を用いましたが、ここでは普通に2次方程式を解いてみたいと思います。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■ 解答解説

解と係数の関係を使わなくても、α+β,αβなどの値を求めることができます。

普通に解の公式で解いてみましょう!

x^2−x+3=0なので、a=1,b=−1,c=3を代入すると、

x=[−(−1)±√{(−1)^2−4×1×3}]/2×1
 ={1±√(1−12)}/2
 =(1±√11i)/2

虚数になりましたが、解が二つ出ました。
これらがα,βです。
あとは、普通に足したり掛けたりすれば、α+β,αβが出ます。
すごく大変に見えると思いますが、やってみると意外とそれほどでもありません。

α+β=(1+√11i)/2+(1−√11i)/2
  =(2/2)
  =1

αβ={(1+√11i)/2}{(1−√11i)/2}
 =(1+√11i)(1−√11i)/4
 ={1^2−(√11i)^2}/4
 ={1−(−11)}/4
 =(1+11)/4
 =12/4
 =3

αβが少し大変だったかも知れませんが、ただ単に、2次方程式の解を出して、計算しただけで求めることができました。
「解と係数の関係の公式がわからないと不可能」というわけではないことがわかってもらえましたか?
模範解答の通りでなくても、「がんばれば何とかなる」場合もある。ことは、頭に入れておくと良いと思います。


関連問題
解と係数の関係の公式を使った場合


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2020年02月17日

高校数学「2次方程式の解と係数の関係」@

高校数学「2次方程式の解と係数の関係」

■ 問題

x^2−x+3=0の解をα,βとするとき、α+β,αβの値を求めよ。


■ 選択肢

このときはどうすればいいでしょうか?

@普通に因数分解をして解を求める
A普通に解の公式に代入して解を求める
B解と係数の関係の公式を使う
C平方完成をする


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■ 選択肢の解答

B解と係数の関係の公式を使う

普通に解を求める、つまり、@やAでもいいのですが、B解と係数の関係の公式を使う方が簡単です。


■ 解答解説

2次方程式ax^2+bx+c=0の解と係数の関係は、2つの解をα,βとすると、次の式で表されます。

α+β=−b/a,αβ=c/a

今回の問題では2次方程式はx^2−x+3=0なので、a=1,b=−1,c=3です。
これらを代入すると、

α+β=−(−1)/1=1
αβ=3/1=3


次の解説→解を出しちゃって求める場合


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2020年02月14日

高校数学「三角関数の合成」

高校数学「三角関数の合成」

三角関数の合成は、サインとコサインがともに1次式の場合に一つにまとめることができる方法です。

公式としては次のようになります。

★ a・sinx+b・cosx={√(a^2+b^2)}sin(x+α)

これは、サインの加法定理の公式を左右逆にして、分数にならないように係数を調整したものだと理解することができます。


三角関数の解き方・考え方を習得することができると好評の電子書籍です。



サインの加法定理は

★ sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

で、α=x,β=αと置き換えれば、

sin(x+α)=sinxcosα+cosxsinα

となります。
ここで、動径がαのときの直角三角形の横をa,縦をbとすれば、三平方の定理により、斜辺は√(a^2+b^2)なので、

cosα=a/√(a^2+b^2),sinα=b/(√a^2+b^2)

となります。

これらの値をsin(x+α)=sinxcosα+cosxsinαに代入すると、

sin(x+α)=sinx・{a/√(a^2+b^2)}+cos・{b/(√a^2+b^2)}

この式の両辺を√(a^2+b^2)倍すれば、

{√(a^2+b^2)}sin(x+α)=a・sinx+b・cosx

両辺を入れ替えると、

a・sinx+b・cosx={√(a^2+b^2)}sin(x+α)

これで三角関数の合成の公式が導けました!

慣れれば導かなくても確実にわかると思いますが、万が一のため、計算練習のため
数学的な考え方の練習のため、導けるようにしておくと良いですよ!


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高校数学「三角関数」「コサインの加法定理」

高校数学「三角関数」「コサインの加法定理」

この記事では、三角関数のコサインの加法定理を用いてcos105°出す場合について解説します。


「30°60°90°」「45°45°90°」に当てはまらない場合に、加法定理を使うと解決できる場合があります。
加法定理を使えば、sin75°やcos105°なども求めることができます。


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前回の記事ではサインの加法定理について解説しました

cos105°を出したい場合も、cos105°=cos45°+cos60°などとやってはいけません
コサインの場合も同様に、加法定理の公式を使います。

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

です。
cos105°=cos(45°+60°)なので、α=45°,β=60°として、

 cos105°
=cos45°cos60°−sin45°sin60°
=(1/√2)(1/2)−(1/√2)(√3/2)
=1/2√2−√3/2√2
=√2/4−√6/4
=(√2−√6)/4


ちなみに今回は、有理化を先にやってみました。
もちろん、有理化はこのタイミングでも、最後でも、自分の好きなタイミングで大丈夫です!


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2020年02月11日

高校数学「三角関数」「サインの加法定理」

高校数学「三角関数」「サインの加法定理」

この記事では、三角関数のサインの加法定理について解説します。


「30°60°90°」「45°45°90°」に当てはまらない場合に、加法定理を使うと解決できる場合があります。
加法定理を使えば、sin75°やcos105°なども求めることができます。


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三角関数に慣れていない人はsin75°を出そうとすると、

sin75°=sin30°+sin45°

などとやってしまいがちです。もちろんこれは間違いです。
sin75°は「75°のときのy/r」、sin30°は「30°のときのy/r」、sin45°は「45°のときのy/r」を意味しているので、sin75°とsin30°+sin45°は等しくありません。

これが等しくならないから、どうしたらいいかというと、「加法定理」を使う必要があるのです。

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

これがサインの「加法定理」の公式です。
sin75°ならば、α=30°,β=45°として計算します。

sin75°=sin30°cos45°+cos30°sin45°
     =(1/2)(1/√2)+(√3/2)(1/√2)
     =1/2√2+√3/2√2
     =(1+√3)/2√2
     =(√2+√6)/4

ちなみに、ここでは有理化は最後にしましたが、最初に1/√2=√2/2としてから計算してもOKです!


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2020年02月10日

高校数学「三角関数」「弧度法」

高校数学「三角関数」「弧度法」

この記事では、数学2以上の三角関数を扱う際に必ず必要になる、「ラジアン」について解説します。


まず、「角度をπで表したものがラジアン」というイメージですね。
数学2以上の三角関数では、基本的に角度はラジアンで表します。物理でもラジアンを使うことが多いです。


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ところでみなさんは、円周の求め方は知っていますか?
もちろん、知っていますね?そう。l=2πrですね。
ならば、半径1の円の円周は2πです。

円周は円を1周したとき、つまり360°回転したときの移動距離です。
だから、半径が1の円では2πが360°に相当するということができます。
つまり、360°=2πラジアンというわけです。

180°=π(ラジアン)
30°=π/6(ラジアン)
45°=π/4(ラジアン)
60°=π/3(ラジアン)

これらを覚えておくと、240°とか、315°などの場合に、簡単に角度→ラジアンをやることができます。
覚えてしまうくらい練習するようにしましょう!


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2020年02月09日

高校数学「2次関数」「y軸との交点」

高校数学「2次関数」「y軸との交点」

■ 問題

2次関数y=x^2−2(3+√3)x+(1+√3)(5+√3)とy軸との交点を求めよ。


y軸は原点を通る縦の線なので、x=0です。


解答解説はこのページ下です。


2次関数の問題の解き方・考え方の習得にご利用ください。



■ 解答解説

y軸上はx=0なので、関数とy軸との交点は、関数の式にx=0を代入することで求められます。
1次関数でも2次関数でも、3次関数でも三角関数でも指数対数関数でも、考え方は同じです。

今回の問題はy=x^2−2(3+√3)x+(1+√3)(5+√3)なので、これにx=0を代入します。

y=(1+√3)(5+√3)

x=0を入れると、xを含む項がゼロになって定数項だけが残る。というわけですね!

さらにこれを展開して計算すれば、

y=5+√3+5√3+3
 =8+6√3


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2020年02月08日

高校数学「極限」「三角関数」

高校数学「極限」「三角関数」

■ 問題

lim[x→0]{(sin3x)/x}の極限を調べよ。


サインの極限を求めるときは、lim[x→0](sinx/x)=1を使えるようにします。


解答解説はこのページ下です。


数学3はまずは、教科書+基本問題集で練習するとよいです。
たとえばこんなのがおすすめです。



■ 解答解説

lim[x→0](sinx/x)=1が使えるようにするためには、変数xの部分を分子と分母で同じにしなければいけません。
つまり、

xに2xを代入すれば、

lim[x→0](sin2x/2x)=1

ということができるし、3xにすれば

lim[x→0](sin3x/3x)=1

ですね。

こうなれば公式が使えるので、こうすればいい。というわけです。

もちろん勝手に数字を書き換えるのではなく、計算法則に則ってこの形にします。

今回の問題はlim[x→0](sin3x/x)だから、分母を3xにすることを考えます。

分母を3xにして、式の値が変わらないようにするには、「3/3を掛ける」と良いですね。

 lim[x→0](sin3x/x)
=lim[x→0]{(3sin3x/3x)
=lim[x→0]3(sin3x/3x)
=3

lim[x→0](sin3x/3x)=1だから、最後、極限の部分が丸ごと1に変わりました。
よって、この式の極限値は3です。


関連項目
サインの極限
コサインの極限


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2020年02月04日

高校数学「積分」「部分積分法」

高校数学「積分」「部分積分法」

この記事では、部分積分法の式の導き方を解説します。

部分積分法の式は、積の微分法から導くことができます。

まず積の微分法は

{f(x)・g(x)}'=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)

ですね。

ここからf'(x)・g(x)を移項すると、

{f(x)・g(x)}'−f'(x)・g(x)=f(x)・g'(x)

さらに両辺を入れ替えれば

f(x)・g'(x)={f(x)・g(x)}'−f'(x)・g(x)

こんな式が得られます。
ここまでは、積の微分法の式を移項しただけです。

そして、この式の両辺を積分してみると、部分積分法の式になってしまいます。

∫f(x)・g'(x)dx=∫{f(x)・g(x)}'dx−∫f'(x)・g(x)dx

微分したものを積分するともとに戻るので、

∫f(x)・g'(x)dx=f(x)・g(x)−∫f'(x)・g(x)dx

これで、教科書等に載っている部分積分法の公式になりました。


関連項目→積の微分法


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2020年02月01日

高校数学「複素数」「2次方程式」「極形式」A

高校数学「複素数」「2次方程式」「極形式」A

■ 問題

2次方程式x^2+2x+2=0の解のうち、虚部が正であるものをx1とするとき、(x1)^2を求めよ。


■ 選択肢

2次方程式を解いて極形式に直すと、x1=√2{cos(3/4)π+isin(3/4π)}となります。この式をどうすれば(x1)^2になるでしょうか?

@とにかく2乗の計算をすればいい
Aド・モルガンの法則を使う
Bド・モアブルの定理を使う
Cドルアーガの塔を思い出す


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■ 選択肢の解答

Bド・モアブルの定理を使う

(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)という関係式が成り立ちます。


■ 解答解説

ド・モアブルの定理より、
 {cos(3/4)π+isin(3/4)π}^2
=cos(6/4)π+isin(6/4)π
=cos(3/2)π+isin(3/2)π

だから、

(x1)^2=(√2)^2・{cos(3/2)π+isin(3/2)π}
   =2{cos(3/2)π+isin(3/2)π}
   =2×{0+i(−1)}
   =−2i

ちなみに、「@とにかく2乗の計算」でもやることができます。


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2020年01月31日

高校数学「複素数」「2次方程式」「極形式」

高校数学「複素数」「2次方程式」「極形式」

■ 問題

2次方程式x^2+2x+2=0の解のうち、虚部が正であるものを極形式で表せ。


■ 選択肢

まず普通に解の公式で2次方程式を解くと、x=−1+iとなります。
極形式はx=r(cosθ+isinθ)の形です。この形にするにはどうすればいいでしょうか?(複数選択)

@複素数平面において、横が−1,縦が1なので、cosθ=−1,sinθ=1
A複素数平面において、横が−1,縦が1なので、これらを合計して、r=0
B複素数平面において、横が−1,縦が1なので、rは斜辺でr=√2
C複素数平面において、横が−1,縦が1なので、θ=(3/4)π


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■ 選択肢の解答

B複素数平面において、横が−1,縦が1なので、rは斜辺でr=√2
C複素数平面において、横が−1,縦が1なので、θ=(3/4)π

複素数平面において実部が横、虚部が縦ですね。


■ 解答解説

−1+iという複素数を複素数平面に表すと、座標としては(−1,1)となります。
この座標の原点からの距離がrとなり、x軸の正の部分を0度として左回りに回転した角がθです。
ということは、

r=√(1^2+1^2)=√2
θ=135°=(3/4)π

よって、x=√2{cos(3/4)π+isin(3/4)π}


次の問題→x^2を表す
前の問題→2次方程式を解く


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高校数学「複素数」「2次方程式」

高校数学「複素数」「2次方程式」

■ 問題

2次方程式x^2+2x+2=0を解け。


■ 選択肢

このときはどうすればいいでしょうか?

@因数分解してみる
A解の公式に代入してみる
Bx^2=●●の形にしてみる


解答解説はこのページ下


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■ 選択肢の解答

A解の公式に代入してみる

2次方程式は「まずは因数分解する」「できなければ解の公式」と考えればOKです!


■ 解答解説

ax^2+bx+c=0において、a=1,b=2,c=2なので、「かけて2,足して2」となる整数の組み合わせはないから、因数分解できない。と考えて、解の公式を使います。

x^2+2x+2=0だから、

x={−2±√(2^2−4×2×2)}/2×1
 ={−2±√(4−8)}/2
 =(−2±√4i)/2
 =(−2±2i)/2
 =−1±i


次の問題→極形式


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2020年01月28日

高校数学「等比数列」D「第5項から第10項までの和」

高校数学「等比数列」D「第5項から第10項までの和」

■ 問題

初項が5,公比が2である等比数列の、第5項から第10項までの和を求めよ。


■ 選択肢

このときはどうすればいいでしょうか?

@第10項までだからS10を求めればいい
A第5項から第10項だから、S10−S5をする
B第5項から第10項だから、S10−S4をする
C第5項から第10項だから、a5+a6+a7+a8+a9+a10を計算する


解答解説はこのページ下


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■ 選択肢の解答

B第5項から第10項だから、S10−S4をする

S10は初項から第10項目までの和だから、S10から、第4項目までの和を引けば、第5項から第10項の和になる。というわけです。

ちなみに、Cは出ることは出ますし、もちろん正しい値を求めることはできますが、面倒だし時間がかかるので、ここでは「正解の選択肢」にはしませんでした。


■ 解答解説

等比数列の和Sn=a(r^n−1)/(r−1)を用います。
a=5,r=2ですね。まずはS10とS5を求めてみましょう!

S10=5(2^10−1)/(2−1)
  =5(1024−1)
  =5×1023

S4=5(2^4−1)/(2−1)
 =5(16−1)
 =5×15

これらを差し引けば、求める「第5項から第10項の和」になります。

S10−S5=5×1023−5×15
    =5(1023−15)
    =5×1008
    =5040


前の問題→第n項が与えられたとき


関連項目
等差数列・等比数列


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2020年01月27日

高校数学「等比数列」C「第n項が与えられたとき」

高校数学「等比数列」C「第n項が与えられたとき」

■ 問題

第3項が27,第6項が−729である等比数列の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。


■ 選択肢

このときはどうすればいいでしょうか?(複数選択)

@よくわからないけど、a=27,d=−729かな?
A等比数列の一般項an=ar^(n-1)において、a3=27の式を作る
B等比数列の一般項an=ar^(n-1)において、a6=−729の式を作る
C等比数列の一般項an=ar^(n-1)において、a=3,d=6を代入する



解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■ 選択肢の解答

A等比数列の一般項an=ar^(n-1)において、a3=27の式を作る
B等比数列の一般項an=ar^(n-1)において、a6=−729の式を作る

第3項目と第6項目がわかっているので、その情報から2つの式を作り、連立方程式という流れです。


■ 解答解説

等比数列の一般項を求めるためには、初項と公比が必要です。
そのためには、一般項の公式an=ar^(n-1)に代入して計算する。というイメージです。

a3=27より、
a3=a・r^(3-1)
 =a・r^2=27

a6=−729より、
a6=a・r^(6-1)
 =a・r^5=−729

これらを連立して、

a・r^5=a・r^2・r^3
    =27・r^3

これがa6=−729なので、

27・r^3=−729
   r^3=−729/27
   r^3=−27
    r=−3

a・r^2=27にr=−3を代入すると、
9a=27
 a=3

よって、求める一般項はan=3・(−3)^(n-1)


次の問題→第5項から第10項の和
前の問題→等比数列の和S5


関連項目
等差数列・等比数列


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2020年01月26日

高校数学「等比数列」B「数列の和S5」

高校数学「等比数列」B「数列の和S5」

■ 問題

初項が2,公比が3の等比数列の初項から第5項目までの和を求めよ。


■ 選択肢

和なので、Snの式を用いますが、具体的にはどうすればいいでしょうか?

@Sn=(n/2){2a+(n−1)d}に、a=2,d=3,n=5を代入する
ASn=a(r^n−1)/(r−1)に、a=2,r=3,n=5を代入する
BΣ[k=1〜n]k=(n/2)(n+1)に、n=5を代入する
CΣ[k=1〜n]k^2=(n/6)(n+1)(n+2)に、n=5を代入する


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■ 選択肢の解答

ASn=a(r^n−1)/(r−1)に、a=2,r=3,n=5を代入する

等比数列の和は、Sn=a(r^n−1)/(r−1)=a(1−r^n)/(1−r)で表されます。
この問題では、第5項目までの和なので、a,rに代入するだけでなく、nにも値を代入します。


■ 解答解説

Sn=a(r^n−1)/(r−1)において、aは初項、rは公比なので、a=2,r=3を代入します。
第5項目までの和なので、さらに、n=5を代入します。

S5=2(3^5−1)/(3−1)
 =2(3^5−1)/2
 =3^5−1
 =243−1
 =242

これで完成です!


前回の問題→等比数列の和Sn


関連項目
等比数列の和の公式
等差数列・等比数列


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2020年01月25日

高校数学「等比数列」A「数列の和Sn」

高校数学「等比数列」A「数列の和Sn」

■ 問題

初項が2,公比が3の等比数列の和Snを求めよ。


■ 選択肢

このときはどうすればいいでしょうか?

@an=a+(n−1)dにa=2,d=3を代入する
Aan=ar^(n-1)にa=2,r=3を代入する
BSn=(n/2){2a+(n−1)d}に、a=2,d=3を代入する
CSn=a(r^n−1)/(r−1)に、a=2,r=3を代入する


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■ 選択肢の解答

CSn=a(r^n−1)/(r−1)に、a=2,r=3を代入する

等比数列の和は、Sn=a(r^n−1)/(r−1)=a(1−r^n)/(1−r)で表されます。


■ 解答解説

Sn=a(r^n−1)/(r−1)において、aは初項、rは公比なので、a=2,r=3を代入します。

Sn=2(3^n−1)/(3−1)
 =2(3^n−1)/2
 =3^n−1

これで完成です!

ちなみに、nは等差数列のときと同じく、項数ですね。
Snは、第n項目までの和を表しています。


次の問題→第5項目までの和
前の問題→等比数列の一般項


関連項目
等比数列の和
等差数列・等比数列


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2020年01月24日

高校数学「等比数列」@「一般項」

高校数学「等比数列」@「一般項」

■ 問題

初項が2,公比が3の等比数列の一般項を求めよ。


■ 選択肢

このときはどうすればいいでしょうか?

@an=a+(n−1)dにa=2,d=3を代入する
Aan=ar^(n-1)にa=2,r=3を代入する
BSn=(n/2){2a+(n−1)d}に、a=2,d=3を代入する
CSn=a(r^n−1)/(r−1)に、a=2,r=3を代入する


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■ 選択肢の解答

Aan=ar^(n-1)にa=2,r=3を代入する

等比数列の一般項は、an=ar^(n-1)で表されます。


■ 解答解説

an=ar^(n-1)において、aは初項、rは公比なので、a=2,r=3を代入します。

an=2・3^(n-1)

これで完成です!

ちなみに、nは等差数列のときと同じく、項数ですね。
anは、第n項目を表しています。


次の問題→等比数列の和


関連項目
等差数列の一般項
等差数列・等比数列


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2020年01月20日

高校数学「等差数列」F「a=−29,d=3の和が正の数になるとき」

高校数学「等差数列」F「a=−29,d=3の和が正の数になるとき」

■ 問題

初項が−29,公差が3の等差数列{an}について次の問いに答えよ。
(1) 一般項を求めよ。
(2)第n項目までの和Snを求めよ。

(3)Snが初めて正の数になるnの値を求めよ。


この記事では、(3)を解説します。
等差数列の和なので、もちろん、Sn=(n/2){2a+(n−1)d}を使います。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

Sn=(n/2){2a+(n−1)d}に、a=−29,d=3を代入します。

Sn=(n/2){−29×2+(n−1)×3}
 =(n/2)(−58+3n−3)
 =(n/2)(3n−61)

ここまでは前回の問題で求めました。

これがSnを表していて、問題ではSnが正の数になるときを聞いているので、Sn>0で解きます。

(n/2)(3n−61)>0

n≧1なので、n/2>0だから、3n−61>0ならばSn>0になります。

3n−61>0
   3n>61
    n>61/3

よって、はじめてSn>0となるのは第21項目


前の問題→a=−29,d=3の和


関連項目
等差数列・等比数列


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2020年01月19日

高校数学「等差数列」E「a=−29,d=3の第n項目までの和」

高校数学「等差数列」E「a=−29,d=3の第n項目までの和」

■ 問題

初項が−29,公差が3の等差数列{an}について次の問いに答えよ。
(1) 一般項を求めよ。

(2)第n項目までの和Snを求めよ。


この記事では、(2)を解説します。
等差数列の和なので、もちろん、Sn=(n/2){2a+(n−1)d}を使います。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

Sn=(n/2){2a+(n−1)d}に、a=−29,d=3を代入します。

Sn=(n/2){−29×2+(n−1)×3}
 =(n/2)(−58+3n−3)
 =(n/2)(3n−61)


次の問題→初めて正の数になるとき

前の問題→a=−29,d=3の一般項


関連項目
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