高校数学「微分」放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に原点から引いた接線

高校数学「微分」放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に原点から引いた接線

■　問題

放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に、原点から引いた接線の方程式を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に、原点から引いた接線の方程式を求めよ。

接線なのでまずは微分します。

ｙ'＝２ｘ−３

接点の座標はわかっていないので、接点のｘ座標を例えばａとします。
すると、接点の座標は(ａ，ａ²−３ａ＋４)で、接線の傾きは２ａ−３ですね。

そのような直線の方程式は、

ｙ−(ａ²−３ａ＋４)＝(２ａ−３)(ｘ−ａ)

となります。
原点から引いた接線を考えるので、この式のｘ，ｙには０，０を入れることができます。

０−(ａ²−３ａ＋４)＝(２ａ−３)(０−ａ)
−(ａ²−３ａ＋４)＝−ａ(２ａ−３)
−ａ²＋３ａ−４＝−２ａ²＋３ａ
ａ²−４＝０
(ａ＋２)(ａ−２)＝０
よって、ａ＝−２，２

つまり、接点のｘ座標は−２の場合と２の場合がある。ということになります。

それぞれｙ−(ａ²−３ａ＋４)＝(２ａ−３)(ｘ−ａ)に代入してみれば、接線の方程式が出るはずですね。

ａ＝−２のとき
ｙ−((−２)²−３×(−２)＋４}＝{２×(−２)−３}(ｘ−(−２)}
ｙ−(４＋６＋４)＝−７(ｘ＋２)
ｙ−１４＝−７ｘ−１４
ｙ＝−７ｘ

ａ＝２のとき
ｙ−(２²−３×２＋４)＝(２×２−３)(ｘ−２)
ｙ−(４−６＋４)＝ｘ−２
ｙ−２＝ｘ−２
　　ｙ＝ｘ

よって、求める接線はｙ＝−７ｘ，ｙ＝ｘ


◆関連項目
直線の式、接線の方程式の求め方
微分積分(数学２)まとめ
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学「微分」ｙ＝−ｘ^3＋４ｘの(０，０)における接線

高校数学「微分」ｙ＝−ｘ³＋４ｘの(０，０)における接線

■　問題

３次関数ｙ＝−ｘ³＋４ｘの(０，０)における接線の方程式を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

接線に関する基本的な問題です。
微分すると接線の傾きが出るので、まずは微分します。

ｙ'＝−３ｘ²＋４

(０，０)における接線なので、ｘ＝０を代入して、

ｙ'＝４

つまり、(０，０)における接線の傾きは４です。

求める直線は、原点を通り、傾きが４の直線ですね。
ということは、

ｙ＝４ｘ


◆関連項目
微分積分(数学２)まとめ
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学「積分」∫[a〜x]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ｘ^2−５ｘ−６を満たす関数ｆ(ｘ)と定数ａの値

高校数学「積分」∫[a〜x]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ｘ²−５ｘ−６を満たす関数ｆ(ｘ)と定数ａの値

■　問題

∫[a〜x]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ｘ²−５ｘ−６を満たす関数ｆ(ｘ)と定数ａの値を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

∫[a〜x]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ｘ²−５ｘ−６を満たす関数ｆ(ｘ)と定数ａの値を求めよ。

要するに、「積分したらｘ²−５ｘ−６になる」ので、ｘ²−５ｘ−６を微分すればもとの関数ｆ(ｘ)を求められるはずですね。

ｆ(ｘ)＝(ｘ²−５ｘ−６)'
　　＝２ｘ−５

ということは、

∫[a〜x](２ｔ−５)ｄｔ＝ｘ²−５ｘ−６

となるはずです。
左辺を計算してみましょう。

　∫[a〜x](２ｔ−５)ｄｔ
＝[ｔ²−５ｔ][a〜x]
＝ｘ²−５ｘ−(ａ²−５ａ)
＝ｘ²−５ｘ−ａ²＋５ａ

これがｘ²−５ｘ−６と等しくなるので、

−ａ²＋５ａ＝−６

という式が成り立ちます。
あとはこれを解きます。

ａ²−５ａ＝６
ａ²−５ａ−６＝０
(ａ＋１)(ａ−６)＝０
よって、ａ＝−１，６

つまり、求める関数ｆ(ｘ)とａの値は、

ｆ(ｘ)＝２ｘ−５，ａ＝−１，６


◆関連項目
基本的な定積分の計算
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「積分」ｙ＝ｘ^2−ａｘとｘ軸で囲まれた図形の面積が９／２になるとき

高校数学「積分」ｙ＝ｘ²−ａｘとｘ軸で囲まれた図形の面積が９／２になるとき

■　問題

放物線ｙ＝ｘ²−ａｘとｘ軸で囲まれた図形の面積が９／２になるときのａの値を求めよ。ただし、ａ＞０とする。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

面積を考えるので、係数が数字だけの場合と同様に、ａを含む式で面積を表していきましょう！

まずはｘ軸との交点の座標を求めます。

ｘ²−ａｘ＝０
ｘ(ｘ−ａ)＝０
よって、ｘ＝０，ａ

この曲線は下に凸の放物線なので、０からａの区間ではｘ軸の下側にあるはずです。
だから面積は、マイナスをつけて定積分です。

Ｓ＝−∫[0〜a](ｘ²−ａｘ]ｄｘ
　＝[−(１／３)ｘ³＋(ａ／２)ｘ²][0〜a]
　＝−(１／３)ａ³＋(ａ／２)・ａ²−０
　＝−(１／３)ａ³＋(１／２)ａ³
　＝(１／６)ａ³

つまり、この放物線とｘ軸で囲まれた図形の面積は(１／６)ａ³です。

面積が９／２になるときのａの値を求めたいので、そのままイコールで結びます。

(１／６)ａ³＝９／２
ａ³−２７＝０
(ａ−３)(ａ²＋ａ＋３)＝０

ａはａ＞０の実数だから、ａ＝３


◆関連項目
３次関数とｘ軸で囲まれた図形の面積
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「積分」ｙ＝ｘ3−ｘ2−１２ｘと接線で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」ｙ＝ｘ³−ｘ²−１２ｘと接線で囲まれた図形の面積

■　問題

３次関数ｙ＝ｘ³−ｘ²−１２ｘと、その曲線上の点(−１，１０)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

まずは接線の方程式を求めてみましょう！

ｙ'＝３ｘ²−２ｘ−１２

(−１，１０)における接線なので、ｘ＝−１を代入して、

ｙ'＝３×(−１)²−２×(−１)−１２
　＝３＋２−１２
　＝−７

これが接線の傾きだから、

ｙ−１０＝(−７){ｘ−(−１)}
　　　ｙ＝−７ｘ−７＋１０
　　　ｙ＝−７ｘ＋３

３次関数と接線で囲まれた図形の面積を考えるので、これらの共有点を求めます。

ｘ³−ｘ²−１２ｘ＝−７ｘ＋３
ｘ³−ｘ²−５ｘ−３＝０

ｘ＝−１で接するので、この整式は(ｘ＋１)で割りきれます。

(ｘ＋１)(ｘ²−２ｘ−３)＝０
(ｘ＋１)(ｘ＋１)(ｘ−３)＝０
よって、３次関数と接線の共有点は、ｘ＝−１，３

ｘ³の係数が正の数なので、３次関数は全体として右上がりの曲線になります。
ということは、接点と交点の間の区間では接線が上、曲線が下となります。
だから、求める面積は「接線−曲線」で定積分です。

　∫[-1〜3]{−７ｘ＋３−(ｘ³−ｘ²−１２ｘ)}ｄｘ
＝∫[-1〜3](−ｘ³＋ｘ²＋５ｘ＋３)ｄｘ
＝[(−１／４)ｘ⁴＋(１／３)ｘ³＋(５／２)ｘ²＋３ｘ][-1〜3]
＝(−１／４)×３⁴＋(１／３)×３³＋(５／２)×３²＋３×３−{(−１／４)(−１)⁴＋(１／３)(−１)³＋(５／２)(−１)²＋３・(−１)
＝−８１／４＋９＋４５／２＋９−(−１／４−１／３＋５／２−３)
＝−８１／４＋４５／２＋１８＋１／４＋１／３−５／２＋３
＝−８０／４＋４０／２＋１／３＋２１
＝１／３＋２１
＝６４／３


◆関連項目
等式ｆ(ｘ)＝ｘ・∫[0〜1] ｆ(ｘ)ｄｘ＋１を満たすｆ(ｘ)を求めよ
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「積分」定積分を含む方程式ｆ(ｘ)＝ｘ＋(１／２)・∫[0〜1]ｆ(ｔ)ｄｔ

高校数学「積分」定積分を含む方程式ｆ(ｘ)＝ｘ＋(１／２)・∫[0〜1]ｆ(ｔ)ｄｔ

■　問題

等式ｆ(ｘ)＝ｘ＋(１／２)・∫[0〜1]ｆ(ｔ)ｄｔを満たすｆ(ｘ)を求めよ。



解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

∫[0〜1]ｆ(ｔ)ｄｔは定積分なので、計算すれば何らかの定数になります。
だから、∫[0〜1]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ａなどとおいて、等式を書き換えることができます。

ｆ(ｘ)＝ｘ＋(１／２)ａ

ですね。
ならば、

ｆ(ｔ)＝ｔ＋(１／２)ａ

です。
ということは、

∫[0〜1]ｆ(ｔ)ｄｔ
＝∫[0〜1]{ｔ＋(１／２)ａ}ｄｔ
＝[(１／２)ｔ²＋(１／２)ａｔ][0〜1]
＝１／２＋ａ／２

となります。
普通に定積分を計算すればこうなりますね。

∫[0〜1]ｆ(ｔ)ｄｔ＝１／２＋ａ／２

であることがわかりました。

そもそも最初の方で、∫[0〜1]ｆ(ｔ)ｄｔ＝ａとおきましたね。

ということは、これらは等しいので、

ａ＝１／２＋ａ／２

このようにイコールで結ぶことができます。
これを解けば、

ａ／２＝１／２
　　ａ＝１

だから、求めるｆ(ｘ)は、

ｆ(ｘ)＝ｘ＋１／２


◆関連項目
等式ｆ(ｘ)＝ｘ・∫[0〜1] ｆ(ｘ)ｄｘ＋１を満たすｆ(ｘ)を求めよ
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「積分」基本的な定積分の計算

高校数学「積分」基本的な定積分の計算

■　問題

次の定積分を求めよ。

(1) ∫[1〜3]ｘ²ｄｘ

(2) ∫[-1〜2](５ｔ−ｔ²)ｄｔ


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

ｆ(ｘ)の定積分の計算は、

不定積分と同様に式Ｆ(ｘ)を求める→Ｆ(ｂ)−Ｆ(ａ)を計算する

という流れです。

(1) ∫[1〜3]ｘ²ｄｘ
＝[(１／３)ｘ³][1〜3]
＝(１／３)・３³−(１／３)・１³
＝９−１／３
＝２６／３

(2) ∫[-1〜2](５ｔ−ｔ²)ｄｔ
＝[(５／２)ｔ²−(１／３)ｔ³][-1〜2]
＝(５／２)・２²−(１／３)・２³−{(５／２)・(−１)²−(１／３)・(−１)³}
＝１０−８／３−(５／２＋１／３)
＝１０−８／３−５／２−１／３
＝１０−５／２−３　　←−８／３と−１／３をまとめた
＝７−５／２
＝９／２

計算の途中経過はもちろんこの通りである必要はありません。
例えば、一気に全部通分してまとめてしまってもＯＫです。
自分の慣れている方法で、できるだけ素早くミスなく計算できるようにしておきましょう！


◆関連項目
ｆ(ｘ)＝ｘ²の不定積分
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「積分」３次関数ｙ＝ｘ3＋ｘ2−２ｘとｘ軸の間の面積

高校数学「積分」３次関数ｙ＝ｘ³＋ｘ²−２ｘとｘ軸の間の面積

■　問題

３次関数ｙ＝ｘ³＋ｘ²−２ｘとｘ軸で囲まれた２つの図形の面積の和を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

この曲線とｘ軸とで囲まれた図形の面積を求めるので、まずはｘ軸との交点を求めます。

ｙ＝ｘ³＋ｘ²−２ｘ
　＝ｘ(ｘ²＋ｘ−２)
　＝ｘ(ｘ＋２)(ｘ−１)＝０
よって、ｘ＝０，−２，１

この３次関数は、これら３箇所でｘ軸と交わります。

また、ｘの３乗の係数が正の数なので、この３次関数は全体として右上がりです。
ということは、−２〜０の区間がｘ軸の上側、０〜１の区間がｘ軸の下側となります。

ｘ軸の下側の区間では、定積分の値はマイナスで出てくるので、符号を変えます。
つまり、求める面積は、

∫[-2〜0](ｘ³＋ｘ²−２ｘ)ｄｘ＋∫[0〜1](−ｘ³−ｘ²＋２ｘ)ｄｘ

これを計算することで得られます。
ここでは計算は省略しますが、計算すると、

３７／１２

となります。


◆関連項目
２次関数と１次関数の間の面積
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「微分」ｆ(ｘ)＝−４ｘ^3＋９ｘ^2＋１２ｘ−１の最大最小

続きを読む

高校数学「不定積分」∫{４／(ｘ2−４)}ｄｘ

高校数学「不定積分」∫{４／(ｘ²−４)}ｄｘ

■　問題

次の不定積分を求めよ。

∫{４／(ｘ²−４)}ｄｘ


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

積分の計算をする際は、できるだけ１次式に近づけることを考えるとよいです。
そのためにまず、４／(ｘ²−４)を因数分解してみます。

４／(ｘ²−４)＝４／{(ｘ＋２)(ｘ−２)}

こうすると、部分分数分解ができますね。
ｘ＋２とｘ−２の差が４で、分子が４なので、単純に２つの分数に分けることができます。

４／{(ｘ＋２)(ｘ−２)}＝１／(ｘ−２)−１／(ｘ＋２)

というわけで、

　∫{４／(ｘ²−４)}ｄｘ
＝∫{１／(ｘ−２)−１／(ｘ＋２)}ｄｘ
＝ｌｏｇ|ｘ−２|−ｌｏｇ|ｘ＋２|＋Ｃ
＝ｌｏｇ|(ｘ−２)／(ｘ＋２)|＋Ｃ


◆関連項目
部分分数分解
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学「積分」接線の傾きが３ｘ2−４ｘの関数の式

高校数学「積分」接線の傾きが３ｘ²−４ｘの関数の式

関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフは点Ａ(１，５)を通り、このグラフの任意の点での接線の傾きは３ｘ²−４ｘである。ｆ(ｘ)を求めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

関数ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフは点Ａ(１，５)を通り、このグラフの任意の点での接線の傾きは３ｘ²−４ｘである。ｆ(ｘ)を求めよ。

「接線の傾きは３ｘ²−４ｘ」ということは、もとの関数を微分したら３ｘ²−４ｘです。
つまり、ｆ'(ｘ)＝３ｘ²−４ｘですね。

ということは、コレを積分すればｆ(ｘ)がわかる。というわけです。
積分定数Ｃを忘れずに！

　∫ｆ'(ｘ)ｄｘ
＝３・(１／３)ｘ³−４・(１／２)ｘ²＋Ｃ
＝ｘ³−２ｘ²＋Ｃ

この関数が点Ａを通るので、その座標を代入すると、

５＝１³−２・１²＋Ｃ
５＝１−２＋Ｃ
Ｃ＝５＋１
Ｃ＝６

よって、ｆ(ｘ)＝ｘ³−２ｘ²＋６


◆関連問題
ｆ(ｘ)＝ｘ^2の不定積分Ｆ(ｘ)を求めよ
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」ｙ＝−３ｘ^4−２ｘ^3＋３ｘ^2の最大最小

高校数学「微分」ｙ＝−３ｘ⁴−２ｘ³＋３ｘ²の最大最小

ｙ＝−３ｘ⁴−２ｘ³＋３ｘ²の−２≦ｘ≦２における最大値・最小値を求めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

ｙ＝−３ｘ⁴−２ｘ³＋３ｘ²の−２≦ｘ≦２における最大値・最小値を求めよ。

最大最小なので、微分して極値を求め、定義域の両端も考慮して、最大値・最小値を探していきます。

まずは微分すると、

ｙ'＝−１２ｘ³−６ｘ²＋６ｘ

導関数の値がゼロのときが極値だから、イコールゼロで解きます。

−１２ｘ³−６ｘ²＋６ｘ＝０
２ｘ³＋ｘ²−ｘ＝０
ｘ(２ｘ²＋ｘ−１)＝０
ｘ(２ｘ−１)(ｘ＋１)＝０
よって、ｘ＝０，１／２，−１

ｘがこれらの値のとき、この４次関数は極値をとります。
定義域は−２≦ｘ≦２だから、これらの極値は全て定義域内にありますね。
ｙ＝ｆ(ｘ)として、それぞれのｙ座標を求めていきます。

ｆ(−２)＝−３(−２)⁴−２(−２)³＋３(−２)²
　　　＝−４８＋１６＋１２＝−２２

ｆ(−１)＝−３(−１)⁴−２(−１)³＋３(−１)²
　　　＝−３＋２＋３＝２

ｆ(０)＝０

ｆ(１／２)＝−３(１／２)⁴−２(１／２)³＋３(１／２)²
　　　　＝−３／１６−３／８＋３／４
　　　　＝−３／１６−６／１６＋１２／１６＝３／１６

ｆ(２)＝−３・２⁴−２・２³＋３・２²
　　＝−４８−１６＋１２＝−５２

ここでは省略しますが、これらの値をもとに増減表を描いて、ｙ座標を比較すると・・・

ｘ＝−１のとき最大値２
ｘ＝２のとき最小値−５２


◆関連問題
３次関数ｙ＝−２ｘ^3＋３ｘ^2＋１２ｘ−３の最大最小
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」ｌｏｇｘ＝ａｘの実数解の個数

高校数学「微分」ｌｏｇｘ＝ａｘの実数解の個数

■　問題

方程式ｌｏｇｘ＝ａｘの実数解の個数を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

ｙ＝ｌｏｇｘとｙ＝ａｘの２つのグラフを使って求めることもできますが、ここでは与式を変形して解いてみます。

真数条件よりｘ＞０だから、両辺をｘで割ると

(ｌｏｇｘ)／ｘ＝ａ

ｆ(ｘ)＝(ｌｏｇｘ)／ｘとすると、
ｆ'(ｘ)＝{(ｌｏｇｘ)'・ｘ−(ｌｏｇｘ)・ｘ'}／ｘ²
　　＝{(１／ｘ)ｘ−ｌｏｇｘ}／ｘ²
　　＝(１−ｌｏｇｘ)／ｘ²

ｌｉｍ[x→0]＝−∞，ｌｉｍ[x→∞]＝０だから、ｆ(ｘ)はｙ軸に近づくと限りなく小さくなり、ｘの値が増えれば増えるほどｘ軸に近づきます。

また、１−ｌｏｇｅ＝１−１＝０だから、ｆ'(ｅ)＝０で、
ｆ(ｅ)＝(ｌｏｇｅ)／ｅ＝１／ｅです。

これらの情報をもとに増減表を描くと、

　　ｘ｜０｜…｜　ｅ　｜…｜
ｆ'(ｘ)｜／｜＋｜　０　｜−｜
ｆ(ｘ)｜／｜↗｜１／ｅ｜↘｜

これとｙ＝ａとの交点の個数が、与式の実数解の個数だから、

０＜ａ＜１／ｅのとき、２個
ａ＝１／ｅ，ａ≦０のとき、１個
ａ＞１／ｅのとき、０個


◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学「微分」３次不等式ｘ3＋ａ＞３ｘ2＋９ｘが成り立つとき

高校数学「微分」３次不等式ｘ³＋ａ＞３ｘ²＋９ｘが成り立つとき

３次不等式ｘ³＋ａ＞３ｘ²＋９ｘが、ｘ≧０において成り立つようなａの値の範囲を求めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

「３次不等式ｘ³＋ａ＞３ｘ²＋９ｘが成り立つ」ということは、「整式＞０」の形に変形して、その整式の最小値がゼロ以上になればいいですね。

まずは移項すると、

ｘ³＋ａ−３ｘ²−９ｘ＞０
ｘ³−３ｘ²−９ｘ＋ａ＞０

この３次式の最小値を考えるので、微分して極値を求めます。

左辺＝ｆ(ｘ)とすると、

ｆ'(ｘ)＝３ｘ²−６ｘ−９

極値はｆ'(ｘ)＝０だから、

３ｘ²−６ｘ−９＝０
ｘ²−２ｘ−３＝０
(ｘ＋１)(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝−１，３

ｘの３乗の係数がプラスなので、全体として右上がりだから、ｘ＝−１で極大、ｘ＝３で極小です。

ｘ＞０で不等式が成り立つ。つまり、ｘ＞０のとき最小値がゼロより大きくななればＯＫです。
ならば、極小値がゼロより大きくなるようａの値を定めればＯＫですね。

ｆ(３)＝３³−３・３²−９・３＋ａ
　　＝２７−２７−２７＋ａ
　　＝−２７＋ａ＞０
　　　　　　　ａ＞２７


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」３次方程式ｘ^3＋４ｘ^2−３ｘ＋ａ＝０の異なる実数解の個数

高校数学「微分」３次方程式ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋ａ＝０の異なる実数解の個数

３次方程式ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋ａ＝０の異なる実数解の個数は、定数ａの値によってどのように変わるか？


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

３次方程式の解の個数を考えるときは、３次関数の極値を考えます。
方程式の解は、ｙ＝０のときのｘの値だから、つまり、ｘ軸との共有点の個数が３次関数の解の個数になります。

極値を求めるなら、微分して増減表！ということで、まずは微分してイコールゼロで解いていきます。

ｆ(ｘ)＝ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋ａとすると、

ｆ'(ｘ)＝３ｘ²＋８ｘ−３＝０
　　　(３ｘ−１)(ｘ＋３)＝０
よって、ｘ＝１／３，−３

つまり、ｘ＝１／３，−３のときに極値をとることがわかります。

ｆ(１／３)＝(１／３)³＋４(１／３)²−３・１／３＋ａ
　　　　＝１／２７＋４／９−１＋ａ
　　　　＝(１＋１２−２７)／２７＋ａ
　　　　＝−１４／２７＋ａ

ｆ(−３)＝(−３)³＋４(−３)²−３×(−３)＋ａ
　　　＝−２７＋３６＋９＋ａ
　　　＝１８＋ａ

というわけで極値は、ｘ＝−３のとき極大値１８＋ａ，ｘ＝１／３のとき極小値−１４／２７＋ａとなります。

●ｘ軸がこの２つの極値の間を通れば３次方程式の解は３つ
●どちらかの極値上にｘ軸があれば解は２つ
●極大値より上か、極小値より下ならば解は１つ

となります。
つまり、今回の３次方程式の解は、

−１８＜ａ＜１４／２７のとき、３つ
ａ＝−１８，１４／２７のとき、２つ
ａ＜−１８，ａ＞１４／２７のとき、１つ

となります。


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」ｙ＝−２ｘ^3＋３ｘ^2＋１２ｘ−３の最大値・最小値

高校数学「微分」ｙ＝−２ｘ³＋３ｘ²＋１２ｘ−３の最大値・最小値

３次関数ｙ＝−２ｘ³＋３ｘ²＋１２ｘ−３の−２≦ｘ≦１における最大値・最小値を求めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

３次関数の最大値・最小値を考えるときは、増減表を書くのが定番となっています。
増減表に極値と定義域の両端を示して、それらの値を比べれば、最大値・最小値がわかる。というわけです。

まずは微分します。

ｙ'＝−６ｘ²＋６ｘ＋１２

導関数の値がゼロのときが極値だから、イコールゼロで解きます。

−６ｘ²＋６ｘ＋１２＝０
　　　　ｘ²−ｘ−２＝０
(ｘ＋１)(ｘ−２)＝０
よって、ｘ＝−１，２

つまり、極値をとるのはｘ＝−１，２の場合です。
それぞれのｙの値もここで求めておきましょう！

ｘ＝−１のとき
ｙ＝−２(−１)³＋３(−１)²＋１２・(−１)−３
　＝２＋３−１２−３
　＝−１０

ｘ＝２のとき
ｙ＝−２・２³＋３・２²＋１２・２−３
　＝−１６＋１２＋２４−３
　＝１７


定義域の範囲内だけの増減表を書くのが標準となっていますが、まずは実数全体で増減表を書いた方がわかりやすいと思います。

ｘ　｜…｜−１｜…｜２｜…
ｙ' ｜　｜ ０ ｜　｜０｜
ｙ　｜　｜−１０｜　｜１７｜

まずはこのように、極値の部分を埋めます。
続いて、ｙ'とｙの増減にかかわる部分を埋めます。

ｘ　｜…｜−１｜…｜２｜…
ｙ' ｜−｜ ０ ｜＋｜０｜−
ｙ　｜↘｜−１０｜↗｜１７｜↘

これで増減と極値がわかりました。
ここで定義域を確認して、定義域の両端と極値の位置関係を把握します。
−２≦ｘ≦１なので、極大値は定義域に含まれていません。
グラフの形を考えれば、極小値が最小値になるとわかると思います。

あとは、最大値が定義域の両端のどちらなのかを考えます。それぞれｙ座標を出して比べればＯＫですね！

ｘ＝−２のとき
ｙ＝−２(−２)³＋３(−２)²＋１２・(−２)−３
　＝１６＋１２−２４−３
　＝１

ｘ＝１のとき
ｙ＝−２・１³＋３・１²＋１２・１−３
　＝−２＋３＋１２−３
　＝１０

ｘ＝１のときの方が大きいですね。

というわけで、

ｘ＝１のとき最大値１０，ｘ＝−１のとき最小値−１０


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ^3＋ａｘ^2<＋１２ｘ＋３が常に増加するとき

高校数学「微分」３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ³＋ａｘ²＋１２ｘ＋３が常に増加するとき

３次関数ｆ(ｘ)＝ｘ³＋ａｘ²＋１２ｘ＋３が常に増加するように、定数ａの値を定めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

「常に増加」ということは、「接線の傾きが常にプラス」です。

導関数の値が接線の傾きを表すので、導関数の式の値が常にプラスになる場合の条件を考えていきます。

まずは与式を微分しましょう！

ｆ'(ｘ)＝３ｘ²＋２ａｘ＋１２

この式の値が常にプラスになるならば・・・
ｆ'(ｘ)は下に凸の２次関数だから・・・

判別式Ｄ＜０ですね！

Ｄ＜０ならば横軸と共有点を持たない、すなわち、最小値がゼロより大きいので、ｆ'(ｘ)＞０ということができます。
代入して計算してみましょう！

Ｄ＝(２ａ)²−４×３×１２
　＝４ａ²−１４４＜０
　　　ａ²−３６＜０
(ａ＋６)(ａ−６)＜０

よって、−６＜ａ＜６


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」基本的な計算

高校数学「微分」基本的な計算

次の関数を微分せよ。

(1) ｙ＝−６

(2) ｙ＝ｘ³−５ｘ²−４

(3) ｙ＝２ｘ⁴−３ｘ²＋１


公式に従って素早く確実に計算できるようにしておきましょう！
基本的な方法がわからないよ！という人は、この記事などを参考にしてみてください。


解答はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


微分するときは、それぞれの項の次数を１下げて、もとの次数と同じ数を係数にかけます。
定数項を微分するとゼロになります。


(1) ｙ＝−６
ｙ'＝０


(2) ｙ＝ｘ³−５ｘ²−４
ｙ'＝３ｘ²−１０ｘ


(3) ｙ＝２ｘ⁴−３ｘ²＋１
ｙ'＝８ｘ³−６ｘ


◆関連問題
ｘ^2＋３ｘ＋２の微分と考え方

微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」傾きが−３の接線

高校数学「微分」傾きが−３の接線

ｙ＝ｘ³−５ｘ²の接線のうち、傾きが−３であるものを求めよ。


接線といえば微分です。


解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。



微分すると、接線の傾きが出てきます。
だから、接線の方程式を求めたければ、与式を微分します。

ｙ＝ｘ³−５ｘ²より、

ｙ'＝３ｘ²−１０ｘ

これが接線の傾きを表すので、イコール−３で解きます。

　　３ｘ²−１０ｘ＝−３
３ｘ²−１０ｘ＋３＝０

たすきがけで因数分解すると、

(３ｘ−１)(ｘ−３)＝０
よって、ｘ＝１／３，３

つまり、ｘが１／３のときと３のときに、接線の傾きが−３になる。というわけです。

それぞれのｙ座標を求めて、直線の式に代入すれば、求める接線の方程式が出ますね！

ｘ＝１／３のとき、
ｙ＝(１／３)³−５(１／３)²
　＝１／２７−５／９
　＝１／２７−１５／９
　＝−１４／２７

つまり、このときの接点の座標は(１／３，−１４／２７)です。傾きは−３だから、ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)に代入して、

ｙ−(−１４／２７)＝−３(ｘ−１／３)
ｙ＝−３ｘ＋１−１４／２７
　＝−３ｘ＋１３／２７

ｘ＝３のとき、
ｙ＝３³−５×３²
　＝２７−４５
　＝−１８

先ほどと同様に直線の式に代入して、

ｙ−(−１８)＝−３(ｘ−３)
ｙ＝−３ｘ＋９−１８
　＝−３ｘ−９

というわけで、求める接線の方程式は、

ｙ＝−３ｘ＋１３／２７，ｙ＝−３ｘ−９


◆関連問題
ｙ＝ｘ^3＋ｘ^2−２上の点(−１，−２)における接線の方程式

微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「対数関数」対数関数ｙ＝ｌｏｇ[2](−ｘ^2＋３ｘ−２)の最大値

高校数学「対数関数」対数関数ｙ＝ｌｏｇ₂(−ｘ²＋３ｘ−２)の最大値

対数関数ｙ＝ｌｏｇ₂(−ｘ²＋３ｘ−２)の最大値を求めよ。また、そのときのｘの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


対数関数ｙ＝ｌｏｇ₂(−ｘ²＋３ｘ−２)の最大値

真数部分がｘの式で表されているということは、ｘの値によって対数の値が決まり、範囲も決まるということになります。
まずは真数部分の値域を求めてみます。

　−ｘ²＋３ｘ−２
＝−(ｘ²−３ｘ)−２
＝−{(ｘ−３／２)²−９／４}−２
＝−(ｘ−３／２)²＋９／４−２
＝−(ｘ−３／２)²＋１／４

つまり、この２次式は、ｘ＝３／２で最大値１／４をとることがわかります。

対数の底は２で１より大きいので、真数が大きければ対数も大きい。ということができます。

つまり、求める対数関数の最大値は、−ｘ²＋３ｘ−２＝１／４のときの値になると判断できます。
このとき、ｙ＝ｌｏｇ₂１／４＝−２です。

よって求める解は、ｘ＝３／２のとき最大値−２


◆関連項目
ｙ＝(ｌｏｇ[2]ｘ)^2−ｌｏｇ[2](ｘ^4)＋６の最大最小
指数・対数まとめ


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