2021年12月04日

高校数学(用語)「置換積分法」

高校数学(用語)「置換積分法」

★置換積分法(integration by substitution)

変数や関数を置き換えて積分する方法を置換積分法という。

∫f(x)dxにおいて、x=g(t)とおくと、
∫f(x)dx=f(g(t))g'(t)dt


公式としては以上のようになりますが、コレを単に「公式」として覚えるより、この式の導き方を理解して導けるようにした方が良いです。

x=g(t)の両辺を微分すると、

dx/dt=g'(t)

ですね。
この両辺にdtをかければ、

dx=g'(t)dt

となります。
これを∫f(x)dxのdxに置き換えると、

∫f(x)g'(t)dt

さらに、x=g(t)だから、

∫f(g(t))g'(t)dt

となります。


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◆関連項目
∫(3x+2)5dxの積分
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月30日

高校数学「微分」y=sinxの第n次導関数

高校数学「微分」y=sinxの第n次導関数

■ 問題

y=sinxの第n次導関数を求めよ。


第n次導関数とは、n回微分した関数ですね。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

y=sinxを1回微分すると、y'=cosxですね。
つまり、第1次導関数はy'=cosxです。

さらにもう1回微分すると、y''=−sinxです。

これをさらに微分すると、y'''=−cosx

もう一回微分して第4次導関数を求めると、y(4)=sinxとなります。

もとのy=sinxと同じになりましたね。

このように、周期的に同じ式が表れる場合は、nの値によって場合分けして答えてもOKです。

でもこの場合は、三角関数の公式を使うともっとシンプルに第n次導関数を表せます。

cosx=sin(x+π/2)という公式がありましたね。
数学1で登場したものです。または数学2の加法定理から導いても良いです。

これを使うと、

y'=cosx=sin(x+π/2)

と表すことができます。
さらにこれを微分すれば、

y''=cos(x+π/2)=sin(x+π/2+π/2)

ですね。
つまり、y=sinxは、「微分すると角度の部分にπ/2を足す」と見ることもできます。
1回微分する度にπ/2を足していくのだから、n回微分すればn×π/2を足す。というわけです。
だから、

(n)=sin(x+nπ/2)


◆関連項目
第n次導関数90°−θの公式加法定理
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月28日

高校数学(用語)「第n次導関数」

高校数学(用語)「第n次導関数」

★第n次導関数(nth derivative)

ある関数をn回微分して得られた関数を第n次導関数という。


1回微分した関数は「第1次導関数」または単に「導関数」といいますね。
その第1次導関数をさらにもう一度微分したものが「第2次導関数」です。

ちなみに、第2次導関数をさらにもう一回微分すれば第3次導関数で、第3次導関数をさらに微分すれば第4次…

どんどん微分していって、n回微分した関数が「第n次導関数」です。


「n回微分する」のは何回なのかはわからないので、第2次、第3次くらいまでは普通に微分して、どのようなパターンになるかを推定するのが基本的な考え方です。
その結果、数列や階乗を使ったり、パスカルの三角形やライプニッツの公式を使うこともあります。
最終的にはなるべく1パターンの式で表しますが、それができない(難しい)場合は、nの値によって場合分けして答えてもよい場合もあります。


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◆関連項目
導関数第2次導関数
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月27日

高校数学(用語)「第2次導関数」

高校数学(用語)「第2次導関数」

★第2次導関数(second derivative)

ある関数を2回微分して得られた関数を第2次導関数という。


1回微分した関数は「第1次導関数」または単に「導関数」といいますね。
その第1次導関数をさらにもう一度微分したものが「第2次導関数」です。

ちなみに、第2次導関数をさらにもう一回微分すれば第3次導関数で、第3次導関数をさらに微分すれば第4次…
ですね!

第2次導関数は、グラフの概形を描くため、グラフの凹凸や変曲点を調べるときに使います。
y''=0の点が変曲点で、y''>0ならば上に曲がり(下に凸)、y''<0ならば下に曲がる(上に凸)。ですね。


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◆関連項目
導関数第n次導関数
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月26日

高校数学「積分」「置換積分法」∫{(3x+2)^5}dxの積分

高校数学「積分」「置換積分法」∫(3x+2)5dxの積分

■ 問題

∫(3x+2)5dxの不定積分を求めよ。


5乗の展開をして積分することもできなくはないですが、それはとても面倒なので、置換積分法を使うとよいです。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

カッコの中身を例えばtとおきます。
3x+2=tとすると、

(与式)=∫t5dx

ですね。
tについての式になったので、dxをdtにする必要があります。

3x+2=tよりdt/dx=(3x+2)'=3
さらにこれを変形して、dt=3dxよりdx=(1/3)dt

つまり与式は∫t5・(1/3)dtと書き換えることができます。
これを普通に積分すると、

 ∫t5・(1/3)dt
=(1/3)・(1/6)・t6+C

あとはtを元に戻して計算します。

=(1/18)(3x+2)6+C


◆関連項目
置換積分法
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月25日

高校数学「微分」y=1/(1−sinx)の微分

高校数学「微分」y=1/(1−sinx)の微分

■ 問題

y=1/(1−sinx)を微分せよ。


分数なので、基本的には「商の微分法」を使います。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

商の微分法に従って「y=f(x)/g(x)」の形で表される関数を微分すると、

y'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

となります。

この場合は分子が1なので特に、「{1/g(x)}'=−g'(x)/{g(x)}^2」と考えてもよいです。

g(x)=1−sinxとすると、

y'=−(1−sinx)'/(1−sinx)^2
 =−(−cosx)/(1−sinx)^2
 =cosx/(1−sinx)^2


◆関連項目
商の微分法合成関数の微分法
微分積分(数学3)まとめ


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高校数学(公式)「1/(ax+b)の不定積分」

高校数学(公式)「1/(ax+b)の不定積分」

∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)・log|ax+b|+C


これはlog|ax+b|の微分から簡単に導くことができます。

 (log|ax+b|)'
=(ax+b)'・1/(ax+b)
=a・1/(ax+b)
=a/(ax+b)

ですね。

積分はこれの逆なので、

∫{a/(ax+b)}dx=log|ax+b|+C

です。
この両辺に1/aを掛ければ、

∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)・log|ax+b|+C

が得られます。


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◆関連項目
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2021年11月24日

高校数学(用語と公式)「指数関数の不定積分」

高校数学(用語と公式)「指数関数の不定積分」

★指数関数の不定積分(indefinite integrals of exponential functions)

∫exdx=ex+C
∫axdx=ax/loga+C

積分は微分の逆なので、まずは微分の公式をしっかり理解していることが重要です。
これらの公式の右辺を微分したら、左辺の∫f(x)dxのf(x)になりますね。

そこが怪しい人は

指数関数の微分

を確認したり、微分に戻って計算練習をすることをおすすめします!


数学3微分の復習に活用してください。好評です!



◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月21日

高校数学(用語と公式)「三角関数の不定積分」

高校数学(用語と公式)「三角関数の不定積分」

★三角関数の不定積分(indefinite integrals of trigonometric function)

∫cosxdx=sinx+C
∫sinxdx=−cosx+C
∫(1/cos2x)dx=tanx+C

積分は微分の逆なので、まずは微分の公式をしっかり理解していることが重要です。
これらの公式の右辺を微分したら、左辺の∫f(x)dxのf(x)になりますね。

そこが怪しい人は

三角関数の微分

を確認したり、微分に戻って計算練習をすることをおすすめします!


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◆関連項目
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2021年11月17日

高校数学「三角比」a=5,b=12,c=13の直角三角形ABCのsinA

高校数学「三角比」a=5,b=12,c=13の直角三角形ABCのsinA

■ 問題

 「a=5,b=12,c=13の直角三角形ABCがある。sinAの値を求めよ。」

このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 角度が書いてないので、サインの値は求められない

 A 5,12,13ということは直角三角形だから、5+122=132

 B 5,12,13ということは直角三角形だから、縦÷斜辺をやる

 C 5,12,13ということは直角三角形ではないから、まずは余弦定理でcosAを求める


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、基礎から医学部など満点を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 B 5,12,13ということは直角三角形だから、縦÷斜辺をやる

 5+12=13 なので、△ABCは直角三角形です。そして、三角比とは、「直角三角形の斜辺が1のときの特定の辺の比」を表します。
 サインは「縦/斜辺」、コサインは「横/斜辺」、タンジェントは「縦/横」です。
 ∠Aの三角比を求めたければ、左下にA,右下に直角となるように三角形をおきます。この場合の「縦/斜辺」がsinAです。


■ 解答解説

 いちばん長い辺が必ず斜辺になるので斜辺がc=13,∠Aの対辺がa=5となり、右の図のようになります。

よって、sinA=5/13


図は電子書籍「10秒でわかる高校数学1A三角比」でご覧ください。


この問題は次の書籍のP.5に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



三角比まとめ


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2021年11月16日

高校数学「2次不等式」x^2−6x+k<0の整数解

高校数学「2次不等式」x2−6x+k<0の整数解

■ 問題

2−6x+k<0の整数解が3だけであるようなkの値の範囲を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

この問題に限らず、2次不等式の問題は、グラフを使って考えます。

2−6x+k<0の解は、y=x2−6x+kのグラフがx軸より下を通る範囲を表します。

「整数解が3だけ」になるためには、この「x軸より下」の範囲に3だけが入ればOKというわけです。

そして、y=x2−6x+kのグラフは下に凸なので、「x軸より下」の範囲に3だけが入るためには、2と3の間と3と4の間でx軸と交わればいい。ということができます。


f(x)=x2−6x+kとすると、

2と3の間でx軸と交わるならば、f(2)>0,f(3)<0ですね。
さらに、3と4の間でx軸と交わるならば、f(3)<0,f(4)>0です。

これらを全て満たす範囲が求めるkの範囲です。
計算してみましょう!

f(2)=22−6×2+k
  =4−12+k
  =−8+K>0
      k>8

f(3)=32−6×3+k
  =9−18+k
  =−9+k<0
      k<9

f(4)=42−6×4+k
  =16−24+k
  =−8+k>0
      k>8

これらの共通範囲は、8<k<9


◆関連項目
2次不等式3x−2x^2<6
2次関数まとめ


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2021年11月11日

高校数学(用語と公式)「指数関数の微分」

高校数学(用語と公式)「指数関数の微分」

★指数関数の微分(differentiation of exponential function)

底をe(自然対数の底)とする指数関数の微分は

(ex)'=ex

このようになります。
つまり、微分しても変わらない。というわけです。

底がeでないときは、

(ax)'=ax・loga

です。

logax=xloga
であり、
logexloga=xloga・loge=xloga
なので、ax=elogaですね。

だから、
 (ax)'
=(exloga)'
=exloga・(xloga)'  ←合成関数の微分法
=exloga・loga
=ax・loga

というわけです。


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◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月09日

高校数学「微分」y=x^3−x^2の接線

高校数学「微分」y=x^3−x^2の接線

■ 問題

y=x^3−x^2の接線のうち、傾きが1のものをすべて求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

接線の傾きは導関数です。
曲線のグラフの接線を考えると、場所によって傾きが変わります。その傾きを式で表すと導関数になる。ということができます。

今回の問題では、y=x^3−x^2の接線について考えるので、まずはy=x^3−x^2の導関数を求めます。

y'=3x^2−2x

ですね。
これが接線の傾きを表します。
「傾きが1」のものを求めるので、y'=1です。

3x^2−2x=1

2次方程式になったので、普通に解いてみると、

3x^2−2x−1=0
(3x+1)(x−1)=0
∴x=−1/3,1

つまり、傾きが1になるのは、x=−1/3とx=1における接線です。

というわけで、これらの式を求めます。
傾きは1とわかっているので、あとは座標が必要です。

x=−1/3のとき、y=(−1/3)^3−(−1/3)^2=−1/27−1/9=−4/27
求める直線は、y−(−4/27)=1{x−(−1/3)}より、y=x+5/27

x=1のとき、y=1−1=0
求める直線は、y−0=1(x−1)よりy=x−1


◆関連項目
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2021年11月08日

高校数学(用語と公式)「対数関数の微分」

高校数学(用語と公式)「対数関数の微分」

★対数関数の微分(differentiation of logarithmic function)

まず、底が自然対数の底eのとき、

(log|x|)'=1/x
(log|f(x)|)'=f'(x)/f(x)

つまり、「微分した式/そのまま」です。

(x)'=1なので、(logx)'=1/xも「微分した式/そのまま」になっていますね。


次に、底がeでないとき

(logx)'=1/xloga

底の変換公式より、logx=logx/logaです。
logaは定数つまりxの係数なので、微分しても変わりません。
だから、

(logx)'=1/xloga

です。


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2021年11月07日

高校数学(用語と公式)「三角関数の微分」

高校数学(用語と公式)「三角関数の微分」

★三角関数の微分(differentiation of trigonometric function)

いろいろな問題を解くためには、基本的な公式は理屈抜きでわかる必要があります。

(sinx)'=cosx
(cosx)'=−sinx
(tanx)'=1/cos2

これらの導き方を覚えている必要性はそれほどありませんが、
タンジェントの微分は、サインの微分とコサインの微分、商の微分を用いて導けるようにしておいた方が良いです。

tanx=sinx/cosxだから、(tanx)'=(sinx/cosx)'

商の微分法より、(tanx)'={(sinx)'・cosx−sinx・(cosx)'}/cos2

(sinx)'=cosx,(cosx)'=−sinxだから、

{(sinx)'・cosx−sinx・(cosx)'}/(cos2x)=(cos2x+sin2x)/cos2

三角比の相互関係より、sin2x+cos2x=1なので、分子は1になります。
よって、

(tanx)'=1/cos2


ちなみに、サインとコサインの微分の公式は(タンジェントも)、三角関数の合成と極限を用いるなどの方法で導くことができます。


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2021年11月05日

高校数学(用語)「合成関数の微分」

高校数学(用語)「合成関数の微分」

★合成関数の微分法(chain rule of differentiation)

詳しい説明は、お手元の教科書や参考書を見てもらうとして、ここでは「y=(ax+b)の微分」を例に、実際にやってみたいと思います。

y=(ax+b)はそのままではちょっとややこしいので、ax+b=tとおいてみます。
すると、y=tと書き換えることができます。

これを微分すると、y'=ntn−1ですね。

あとはtをax+bに戻して完成!・・・ではありません。

この時点ではtの式を微分したので、dy/dt=ntn−1です。dy/dxではありません。

y=(ax+b)の微分は、dy/dxですね。

dy/dtを使うと、dy/dx=(dy/dt)・(dt/dx)と表すこともできます。

つまり、dy/dxは、dy/dtとdt/dxの積になります。

dt/dx=(ax+b)'=aなので、

dy/dx=ntn−1・a

ここでt=ax+bに戻せば、

dy/dt=an(ax+b)n−1

というわけで、y=(ax+b)の微分が完成しました。


数学3微分の習得に活用してください。好評です!



◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月04日

高校数学「微分」y=2x/√(5x+1)の微分

高校数学「微分」y=2x/√(5x+1)の微分

■ 問題

y=2x/√(5x+1)を微分せよ。


分数なので、基本的には「商の微分法」を使います。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

商の微分法に従って「y=f(x)/g(x)」の形で表される関数を微分すると、

y'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

となります。

y=2x/√(5x+1)の場合、f(x)=2x,g(x)=√(5x+1)とみなすことができますね。
やってみましょう!

y'={(2x)'・√(5x+1)−2x・√(5x+1)'}/{√(5x+1)}^2

ここで、√(5x+1)'について少し解説しておきます。
ちゃんとやるためには合成関数の微分法が必要ですが、多くの人は、「次数を係数にして、中身の微分をかけて、次数を1下げる」と考えて計算します。つまり、

√(5x+1)=(5x+1)^(1/2)だから、√(5x+1)'=(1/2)(5x+1)'・(5x+1)^(-1/2)=(1/2)・5・(5x+1)^(-1/2)です。

これをもとの式に戻すと、

 ={2√(5x+1)−2x・(1/2)・5・(5x+1)^(-1/2)}/(5x+1)

あとは計算してなるべく簡単にします。

 ={2√(5x+1)−5x/√(5x+1)}/(5x+1)
 ={2・(5x+1)−5x}/(5x+1)√(5x+1)
 =(10x+2−5x)/(5x+1)√(5x+1)
 =(5x+2)/(5x+1)√(5x+1)


◆関連項目
商の微分法、合成関数の微分法
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月03日

高校数学3「微分積分まとめ」

高校数学3「微分積分まとめ」

高校数学3の微分積分に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

数学2の微分積分はこちら


◆ 公式・用語・解き方

公式に従った微分
微分係数
導関数第2次導関数第n次導関数
平均変化率
増減表の書き方
関数の増減
極値
接線の方程式の求め方

関数の連続

積の微分法商の微分法
合成関数の微分
三角関数の微分
指数関数の微分
対数関数の微分
対数微分法

積分の計算方法
不定積分
 三角関数の不定積分
 指数関数の不定積分

定積分

x軸と曲線の間の面積の求め方

置換積分法
部分積分法


◆ 問題

●微分
定義に従った微分f(x)=1/x^2
微分係数の定義を利用してlim[x→1]{logx/(x−1)}の極限値を求めよ。

f(x)/g(x)の導関数
f(x)=x^2/(x−1)の微分
y=2x/√(5x+1)の微分

(2x−1)^5の微分
y=sin5xの微分
y=sinx・cosxの微分
y=(sinx)^3の微分
y=(tan3x)^2の微分

y=sinxの第n次導関数

y=x^3−x^2の接線


●積分


まだまだ追加していきます!


数学3微分の練習に活用してください。好評です!



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2021年11月02日

高校数学「極限」「三角関数」lim[x→0]{(1−cosx)/x^2}

高校数学「極限」「三角関数」lim[x→0]{(1−cosx)/x}

■ 問題

lim[x→0]{(1−cosx)/x}の極限を調べよ。


三角関数の極限を求めるときは、lim[x→0](sinx/x)=1を使えるようにします。


解答解説はこのページ下です。


数学3はまずは、教科書+基本問題集で練習するとよいです。
たとえばこんなのがおすすめです。



■ 解答解説

コサインの極限は、そのままx=0を入れてしまって大丈夫な場合もありますが、今回の問題では0/0になってしまうので、不適です。

やはり、「lim[x→0](sinx/x)=1」が使えるようにしなければならない。と考えます。

lim[x→0]{(1−cosx)/x}

この式を変形してサインが出てくるようにするには、三角関数の相互関係より「1−(cosx)^2=(sinx)^2」が使えるようにすればOKですね!
そのためには(1+cosx)をかけます。
もちろん、単に(1+cosx)をかけるのではなく、式の値が変わらないようにするために(1+cosx)/(1+cosx)をかけます。

 (1−cosx)/x
={(1−cosx)/x}・(1+cosx)/(1+cosx)
={(1−cosx)/x}・1/(1+cosx)
=(sinx/x)・1/(1+cosx)

このように変形できます。だから、

lim[x→0]{(1−cosx)/x}=lim[x→0](sinx/x)・1/(1+cosx)

ですね。

lim[x→0](sinx/x)=1,lim[x→0]cosx=1だから、極限値は1・1/2=1/2


関連項目
サインの極限
コサインの極限


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2021年10月25日

高校数学(用語)「四分位偏差」

高校数学(用語)「四分位偏差」

★四分位偏差(quartile deviation)

四分位範囲の半分の値のこと。


四分位範囲は、第3四分位数と第1四分位数の差であり、箱ひげ図の「箱」のサイズだから、「箱」の真ん中が四分位偏差。ということができます。

四分位範囲を問う問題はそれほど出ませんが、一応覚えておきましょう!


データの分析の考え方・解き方の習得に活用してください。好評です!



◆関連項目
四分位数範囲、四分位範囲
データの分析まとめ


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こんなヤツです
名前:江間淳
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職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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