2020年08月05日

高校数学「微分」「3次方程式の解の個数」

高校数学「微分」「3次方程式の解の個数」

■ 問題

 「3次方程式x^3−3x^2−9x+10=0の解の個数を求めよ」


このときは何をすればいいでしょうか?
あまり悩みすぎず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 方程式の解の個数だから、判別式D=b2−4acに代入する!

 A 個数を知りたいなら、解いて解を求めてしまえばよい!

 B 微分の単元だし、微分すればいいんじゃない?

 C 3次関数とみなしてグラフや増減表を描けば解決する!


解答解説はこのページ下に


★★ お知らせ ★★

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従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答・解説

 C 3次関数とみなしてグラフを描けば解決する!

 3次方程式でも4次方程式でもどんな方程式でも、xの式で表されているなら、イコールゼロで解いた値が方程式の解です。そして「イコールゼロ」ということは、y=0なので、★x軸との交点が方程式の解です。つまり、x軸との共有点の個数を求めれば、それが解の個数となる。というわけです。
 今回の式のように、正直に解くと解きにくい場合でも、解の個数を求めるだけならば、3次関数のグラフや増減表を描けば簡単に解決することがあります。


■ 計算式

 3次方程式の解の個数を求めたいときは、増減表を書き、極値の符号を調べるのが簡単です。
 極値を求めるには、微分してイコールゼロですね!

f(x)=x^3−3x^2−9x+10とおいて、
f'(x)=3x^2−6x−9=0
    x^2−2x−3=0
    (x−3)(x+1)=0     ∴x=3,−1

f(3)=27−3×9−9×3+10=−17
f(−1)=−1−3+9+10=15

増減表は
│ x│ …│−1│ …│ 3│ …│
│ y'│ +│ 0│ −│ 0│ +│
│ y│ ↗ │15│ ↘ │-17│ ↗ │

極大値は正の数、極小値は負の数なので、極大値よりも左側でx軸と交わり、極大値と極小値の間でもx軸と交わり、極小値の右側でもx軸と交わることがわかります。
x軸との共有点が3つあるので、「もとの3次方程式の解も3つ」ということがわかります。


今回の問題は、この書籍のP45にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



◆関連問題
y=x^3−3xの増減
y=x^3−3xの極値


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2020年08月02日

高校数学「微分」「極値」y=x^3−3x

高校数学「微分」「極値」y=x^3−3x

■ 問題

 「y=x^3−3xの極値を求めよ」


このときは与式を微分しますが、他には何をすればいいでしょうか?
あまり悩みすぎず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ y=0で解く

 A y'=0で解く

 B x=0で解く

 C y'の式を平方完成する


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 A y'=0で解く

 極値とは、曲線のグラフの山や谷の部分の先端の値のことです。山や谷の先端では、関数の増減が切り替わるので、接線の傾きはゼロになります。つまり、y'=0となるのです。y'=0で解けば、極値のときのxの値がわかる。というわけです。


■ 計算式

 極値はy'=0のときのyの値のことです。だから、y'=0で解いて、求めたx座標からy座標を求めます。まず、微分するとy'=3x^2−3ですね。このy'がゼロのときが極値なので、y'=0で解きます。

  3x^2−3=0
   x^2−1=0
(x+1)(x−1)=0
∴x=−1,1

xがこれらの値のときのyの値が極値になります。

x=−1のとき、y=(−1)^3−3×(−1)=−1+3=2
x=1のとき、y=1^3−3×1=1−3=−2

増減表は
│ x│ …│−1│ …│ 1│ …│
│ y'│ +│ 0│ −│ 0│ +│
│ y│ ↗ │ 2│ ↘ │−2│ ↗ │

となります。極値のうち、大きい方が「極大値」、小さい方が「極小値」です。
よって、x=−1のとき極大値2,x=1のとき極小値2


今回の問題は、この書籍のP37にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



◆関連問題
y=x^3−xの、x=3における微分係数
y=x^3−3xの増減


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2020年07月27日

高校数学(用語)「増減」

高校数学(用語)「増減」

★増減(increase and decrease)

xy平面上の関数において、

グラフが右上がり、すなわち接線の傾きがプラスなら「増加」
グラフが右下がり、すなわち接線の傾きがマイナスなら「減少」

と考えます。
どの区間で「増加」し、どの区間で「減少」するかが、「増減」です。

関数を微分すると接線の傾きがわかるので、関数の増減や最大最小を考えるときは、何はともあれ微分して導関数y'を求める。という方法が必要になることが多いです。

また、関数の増減が切り替わる点が「極値」です。
接線の傾きがゼロのとき、関数の増加・減少が切り替わるので、y'=0のときが極値です。


★増減表

関数の増減を表す表を「増減表」といいます。
基本的に、数学2以上の微分積分の単元で使用します。

x,yの関数ならば、一番上の段にx,真ん中の段にy',下の段にyの値を示します。

増減表の書き方は、別のページで解説します。


◆関連問題
y=x^3−3xの増減


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posted by えま at 15:09| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「微分」「関数の増減」y=x^3−3xの増減

高校数学「微分」「関数の増減」y=x^3−3xの増減

■ 問題

 「y=x^3−3xの増減を調べよ」


このときやるべき事は何でしょうか?(複数選択)



■ 選択肢

 @ 参考書で調べる

 A ネットで調べる

 B 詳しい人に聞いて調べる

 C 与式を微分して、増減表を書き、導関数の符号の変化を調べる


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 C 与式を微分して、増減表を書き、導関数の符号の変化を調べる

 「関数の増減を調べる」というのは、グラフが右上がりか右下がりかを調べることです。つまりは、接線の傾きの符号によって増加か減少かわかります。
 このブログでも何度か触れたことがありますが、接線の傾きは導関数の式の値つまり微分係数の値です。
 そして、増減を調べるときは(極値を求めたり、最大最小を考えたりのときも)、増減表を書くのが標準的です。


■ 計算式

 関数の増加減少は接線の傾きによって、つまり、y'の値によってわかります。だから、まずは微分ですね!微分すると「y'=3x^2−3」です。

この式の値がゼロのときが、増減が切り替わるところなので、y'=0で解きます。
   3x^2−3=0
    x^2−1=0
(x+1)(x−1)=0
∴x=−1,1
xの3乗の係数がプラスなので、全体として右上がりだから、増減表は次のようになります。x=−1,1のときのy座標を先に出して、比較しても良いと思います。

│ x│ …│−1│ …│ 1│ …│
│ y'│ +│ 0│ −│ 0│ +│
│ y│ ↗ │ 2│ ↘ │−2│ ↗ │

よって、x<−1,x>1で増加、−1<x<1で減少


今回の問題は、この書籍のP33にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



◆関連問題
y=x^3−xの、x=3における微分係数


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2020年07月25日

高校数学「直線の式」y−y1=m(x−x1)

高校数学「直線の式」y−y1=m(x−x1)

直線の式は、中学数学ではy=ax+bのみを使いました。
高校数学でも、もちろんそれでもかまわないのですが、もう少し便利な公式が登場します。

直線が通る点の座標を(x1,y1),傾きをmとすると、
y=mxという比例の式を、(x1,y1)だけ平行移動したと考えて、

y−y1=m(x−x1)

この形で表すことができます。

この式を使うと、連立方程式にしなくても、代入して整理するだけで直線の式が完成します。
y=ax+bよりも、少しだけ手間が少なくなるので、できるだけ覚えて使えるようにした方がいいです!


◆関連項目
変化の割合1次関数2点を通る直線の式(中学)


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高校数学「微分」「接線」y=x^3−2xのx=2における接線の方程式

高校数学「微分」「接線」y=x^3−2xのx=2における接線の方程式

■ 問題

 「y=x^3−2xのx=2における接線の方程式を求めよ」


このときやるべき事は何でしょうか?(複数選択)



■ 選択肢

 @ y=0で解く

 A 与式にx=2を代入する

 B y'=0で解く

 C y'の式にx=2を代入する



解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 A 与式にx=2を代入する
 C y'の式にx=2を代入する

 接線の方程式を求めるためには、接点の座標と、その場合の接線の傾きが必要です。
 x=2における接線を求めたいので、まず「A与式にx=2を代入」して、接点のy座標を求めます。
 次に、与式を微分して導関数を求め、x=2を代入します。これがx=2における微分係数であり、x=2における接線の傾きです。
 接点の座標と接線の傾きがわかれば、★直線の公式y−y1=m(x−x1)に代入し、まとめれば接線の方程式の完成!というわけです。


■ 計算式

まずはx=2を代入してy座標を求めます。

y=2^2−2×2
 =8−4=4
よって、接点の座標は(2,4)

次にx=2における微分係数を求めます。

y'=3x^2−2
 =3×2^2−2
 =12−2=10
よって、接線の傾きは10

あとはy−y1=m(x−x1)に、(2,4)とm=10を代入して、
y−4=10(x−2)
  y=10x−20+4
  y=10x−16


今回の問題は、この書籍のP25にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



◆関連問題
y=x^3−xの、x=3における微分係数


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2020年07月21日

高校数学(用語)「平均変化率」

高校数学(用語)「平均変化率」

★平均変化率(average rate of change)

xの値に応じて変化するyの値の平均値のこと。
平均変化率を考える2点の座標を(x1,y1),(x2,y2)とすると、(y2−y1)/(x2−x1)で表される。


「平均変化率」という言葉は現行の数学2の微分の単元で初登場します。
見た目で「難しそう」と思ってしまう人も多いと思いますが、つまりは、中学で習った「変化の割合」のことです。

y2−y1はyの増加量
x2−x1はxの増加量

ですね。

変化の割合=yの増加量/xの増加量

なので、平均変化率と変化の割合は結局同じになってしまう。というわけです。


◆関連項目
変化の割合公式に従った微分微分係数と導関数


平均変化率で検索したら、こんな商品がおすすめされました。なめらかに高さが変化しているから、関連があると判断されたのでしょうか?



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高校数学「微分」x^2+3x+2を定義に従って微分

高校数学「微分」x^2+3x+2を定義に従って微分

■ 問題

 「x^2+3x+2を定義に従って微分せよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?


■ 選択肢

 @ 定義などに従っていられるか!公式で微分してしまえ!

 A たしか、分母はhだったから、(x^2+3x+2)/hとか?

 B 微分とは、限りなく近い2点間の平均変化率だから・・・なに?

 C 微分とは、限りなく近い2点間の平均変化率だから、hが限りなく0に近いときの、xからx+hまでの変化の割合を求める



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■ 選択肢の解答・解説

 C 微分とは、限りなく近い2点間の平均変化率だから、hが限りなく0に  近いときの、xからx+hまでの変化の割合を求める

 曲線上の2点を通る直線の変化の割合を考えて、それを「平均変化率」と呼びます。この2点がある程度離れているときは、中学で習った「直線の傾き」の考えで全く問題ありません。
 この2点が限りなく近くなったとき、分母がほぼゼロになってしまうので、中学で習った方法では値がわからなくなってしまいます。
 そこで極限を用いて、その値(式)を求めるのが「微分」というわけです。


■ 計算式

「定義に従った微分」のときは、h→0でxからx+hの平均変化率を計算します。すなわち、(yの増加量)/(xの増加量)を求めます。

 lim[h→0][{(x+h)^2+3(x+h)+2−(x^2+3x+2)}/(x+h−x)]

=lim[h→0]{(x^2+2hx+h^2+3x+3h+2−x^2−3x−2)/h}

=lim[h→0]{(2hx+h^2+3h)/h}

=lim[h→0](2x+h+3)    ←hで約分した

=2x+3           ←hに0を代入した

ということで、当然ですが、公式に従った微分の場合と同じ式を求めることができました。


◆関連問題
公式に従った微分の場合


今回の問題は、この書籍のP17にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



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2020年07月19日

高校数学「微分」y=x^3−xの、x=3における微分係数

高校数学「微分」y=x^3−xの、x=3における微分係数

■ 問題

 「y=x^3−xの、x=3における微分係数を求めよ」


このときは何をすれば良いでしょうか?


■ 選択肢

 @ y=x^3−xにx=3を代入する

 A y=x^3−xにy=3を代入する

 B y'を求めてx=3を代入する

 C y'=3で解く


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 B y'を求めてx=3を代入する

 微分係数とは、微分してできた関数(=導関数)の式の値です。普通にxについて微分して、y'を求め、そのy'の式のxに与えられた値を代入すれば求めることができます。
 つまり、★導関数の式にxの値を代入したのが微分係数です。


■ 計算式

 まずは普通に微分します。

y'=(x^3−x)'
  =3x^2−1

x=3における微分係数だから、このy'の式にx=3を代入します。

y'=3×3^2−1
  =27−1
  =26


今回の問題は、この書籍のP13にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



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2020年07月18日

高校数学「微分」x^2+3x+2

高校数学「微分」x^2+3x+2

■ 問題

 「x^2+3x+2を微分せよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?


■ 選択肢

 @ x^2+3x+2を因数分解する

 A x^2+3x+2を平方完成する

 B それぞれの項の指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける

 C それぞれの項の指数を1上げて、新しい指数で係数を割る


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 B それぞれの項の指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける

 公式に従った微分をするときは、
「それぞれの項の指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける」をやります。

例えば、x^2を微分すると(x^2)'=2xです。x^3を微分すると(x^3)'=3x^2になります。
定数項は微分するとゼロになります。



■ 計算式

ここまで解説した計算方法を使うと、

(x^2+3x+2)'=2x+3


今回の問題は、この書籍のP5にも掲載されています。書籍には、間違いの選択肢に関するコメントを含むさらに詳しい解説や、関連問題も掲載しています。



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2020年07月16日

高校数学「平面図形の性質」主なポイント

高校数学「平面図形の性質」主なポイント

今までのセンター試験数学1A第5問では平面図形の性質について問われました。
具体的には、主に以下の内容です。

・メネラウスの定理
・方べきの定理

これらに関連して、中学で習った内容を含む以下のような内容もよく出題されて
います。

・相似な図形
・円と接線
・円に内接する四角形
・三角形の重心、内心、外心
・正弦定理・余弦定理
・チェバの定理
・二等辺三角形、正三角形
・平行線の性質

などなど。

2021年からの大学入試共通テストでも、範囲そのものは変わらないので、出題される項目はあまり変わらないはずです。

皆さんは、これらの用語を見て、「アレだな!」と思い出すことができましたか?
もし怪しい場合は、教科書や参考書などを見て、再確認しておくことをおすすめします!


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2020年07月12日

高校数学(用語)「初項」「末項」「公差」「公比」

高校数学(用語)「初項」「末項」「公差」「公比」

★初項(first term)

数列の最初の項のこと。通常はaで表す。


★末項(last term)

数列の最後の項のこと。通常はlで表す。
さらに、末項は第n項目であることが多く、その場合l=anとなる。


★公差(common difference)

等差数列の2項間の差のこと。通常はdで表す。
次の項にいくたびに、dの値を足す。


★公比(common ratio)

等比数列の2項間の比のこと。通常はrで表す。
次の項にいくたびに、rの値を掛ける。


数列が苦手な人は読んでみてもいいですね!



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2020年07月11日

高校数学「等比数列」「一般項」初項が2,公比が3の等比数列

高校数学「等比数列」「一般項」初項が2,公比が3の等比数列

■ 問題

初項が2,公比が3の等比数列の一般項anを求めよ。


このときは何をすれば良いでしょうか?


■ 選択肢

 @ 一般項だからan=a+(n−1)dに代入する

 A 一般項だからan=ar^(n-1)に代入する

 B 一般項だからy=ax+bに代入する

 C 一般項だから Σ[K=1〜n]k=(n/2)(n+1)に代入する


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 A 一般項だからan=ar^(n-1)に代入する

 等比数列一般項の公式は、★an=ar^(n-1)です。初項がaで、公比がrだから、次の項に行く度にrを掛けます。初項はaのみでrは掛けていないので、第n項目ではrはn−1回掛けていることになります。


■ 計算式

等比数列一般項なので、an=ar^(n-1)にa=2,r=3を代入して、

an=2・3^(n-1)


関連項目
初項が3,公差が2の等差数列


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2020年07月09日

高校数学(用語)「数列の和」

高校数学(用語)「数列の和」

★数列の和(sum of progression)

数列において、全ての項を足した値のこと。普通は初項から第n項までの和Snで表す。

等差数列の和はSn=(n/2){2a+(n−1)d}
等比数列の和はSn=a(r^n−1)/(r−1)=a(1−r^n)/(1−r)

で表される。

数列の種類によって、和の求め方は異なります。
これら以外にも、Σの公式を使ったり、部分分数分解を使ったり、数列の和同士の差を用いたりと、いくつかの方法があります。
数列の単元は、その種類によって別々の解き方が必要になるところが難しいポイントの一つだと思います。


この本、本屋さんでよく見かけますね。評価は微妙・・・



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2020年07月08日

高校数学(用語)「一般項」

高校数学(用語)「一般項」

★一般項(general term)

数列において、全ての項を表す式のこと。普通は第n項anを一般項とする。

等差数列の一般項はan=a+(n−1)d
等比数列の一般項はan=ar^(n-1)

で表される。

一般項を求めることができれば、nに数字を代入することで、特定の項の値を求めることができます。


この本、本屋さんでよく見かけますね。評価は微妙・・・



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2020年07月06日

高校数学(用語)「等比数列」

高校数学(用語)「等比数列」

★等差数列(arithmetical progression)

隣り合う項のが一定の数である数列のこと。
数列の最初の項を「初項a」、次の項に行く度に掛ける数を「公比r」と表す。

主な公式は

一般項an=ar^(n-1)
和Sn=a(r^n−1)/(r−1)=a(1−r^n)/(1−r)

これら2つ。
他の数列と同様に、nは項数なので、例えば「第100項目」ならばn=100を代入する。


関連項目
初項、公差、公比


いらないけど欲しい(笑)



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2020年07月05日

高校数学(用語)「等差数列」

高校数学(用語)「等差数列」

★等差数列(arithmetical progression)

隣り合う項の差が一定の数である数列のこと。
数列の最初の項を「初項a」、次の項に行く度に加える数を「公差d」と表す。

主な公式は

一般項an=a+(n−1)d
和Sn=(n/2){2a+(n−1)d}

これら2つ。
nは項数なので、例えば「第100項目」ならばn=100を代入する。


関連項目
初項、公差、公比


いらないけど欲しい(笑)



関連問題
初項が3,公差が2の場合



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2020年07月04日

高校数学「等差数列」「和」1,4,7,10,13,・・・

高校数学「等差数列」「和」1,4,7,10,13,・・・

■ 問題

次の数列の和Snを求めよ。
1,4,7,10,13,・・・


このときは何をすれば良いでしょうか?


■ 選択肢

 @ 等差数列だからan=a+(n−1)dに代入する

 A 等比数列だからan=ar^(n-1)に代入する

 B 等差数列だからSn=(n/2){2a+(n−1)d}に代入する

 C 等比数列だからSn=a(r^n−1)/(r−1)に代入する


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 B 等差数列だからSn=(n/2){2a+(n−1)d}に代入する

 次の項に行く度に一定の数を足しているので、等差数列です。等差数列の和は、「初項と末項を足して2で割りn倍する」ことから表されています。


■ 計算式

等差数列の和の公式Sn=(n/2){2a+(n−1)d}に、a=1,d=3を代入して、

Sn=(n/2){2×1+(n−1)×3}
 =(n/2)(2+3n−3)
 =(n/2)(3n−1)

基本的にはここで終わりで大丈夫ですが、マークなどの解答の形式次第では、さらに括弧を外して、

 =(3n^2−n)/2

などとする必要があるかも知れません。


関連問題
等差数列の一般項1,4,7,…
初項が3,公差が2の場合


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2020年07月02日

高校数学「等差数列」「一般項」1,4,7,10,13,・・・

高校数学「等差数列」「一般項」1,4,7,10,13,・・・

■ 問題

次の数列の一般項anを求めよ。
1,4,7,10,13,・・・


このときは何をすれば良いでしょうか?(複数選択)


■ 選択肢

 @ 最初は1だから初項a=1

 A 第2項は4だから公差d=4

 B 初項は1,第2項は4だから4倍になっているので公比r=4

 C 次の項に進む度に3ずつ増えてるから公差は3


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の解答・解説

 @ 最初は1だから初項a=1
 C 次の項に進む度に3ずつ増えてるから公差は3

 高校数学の数列の最も基本的なタイプの問題です。実際に並べられた数字の列を見て、最初の項と増減の仕方を見抜くことが大切です。2つの項の間だけで判断すると、等差なのか等比なのかあるいはそれ以外なのかを勘違いしてしまう可能性があるので、少なくとも3つの項の関係を考えることが大切です。


■ 計算式

初項a=1,公差d=3を等差数列一般項an=a+(n−1)dに代入して、

an=1+(n−1)×3
=1+3n−3
 =3n−2


関連項目
初項が3,公差が2の場合


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2020年06月28日

高校数学「整式の積分の計算方法」

高校数学「整式の積分の計算方法」

積分は微分の逆なので、微分したらもとに戻るように式を変形するのが積分です。

微分のときは「次数を1下げて、もとの次数を係数に掛ける」ので、

(数学2までの普通の式の)積分では、

「次数を1上げて新しい次数で割る」

という計算をします。

不定積分の場合は、積分定数Cを足すのを忘れずに!


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関連項目
定積分の計算方法


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職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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