2021年04月13日

高校数学「数列」「漸化式」「階差数列」a1=−1,an+1=an+3n

高校数学「数列」「漸化式」「階差数列」a1=−1,an+1=an+3n

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「   次のように定められた数列の一般項anを求めよ。
 a1=−1,an+1=an+3n (n=1,2,3,…)」



このときは、第n群までの最初の項を取り出して数列とみなして解くことも
できますが、他にはどんな方法が可能でしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 初項が−1,公差が3の等差数列

 A 初項が−1,公差が3nの等差数列

 B 初項が−1,公比が3nの等比数列

 C 初項が−1,階差数列が3n


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■ 選択肢の解答

 C 初項が−1,階差数列が3n

 an+1=an+3nは、第n項に3nを足すと第n+1項になる。ことを意味します。次の項に行く度に3nを足し続ける。というわけです。足し続ける数は3nだから、項数によって段階的に変化します。つまり、これは階差数列を用いた数列を漸化式で表したものです。



■ 解答解説

 この数列anは階差数列をbn=3nと考えて計算すればOKですね!

P.33にも掲載したように、an=a1+Σ[k=1〜n-1]bkだから、

an=−1+Σ[k=1〜n-1]3k
  =−1+3・(1/2)・(n−1)・(n−1+1)
  =−1+(3/2)n(n−1)
  =(3/2)n^2−(3/2)n−1


この問題は次の書籍のP.57に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
群数列
数列まとめ


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2021年04月10日

高校数学「数列」群数列1|2,3|4,5,6|…

高校数学「数列」群数列1|2,3|4,5,6|…

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「  自然数の列を次のように、第n群にはn個の数が入るようにする。
 1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|11,……
 このとき、第n群の最初の項を求めよ。」



このときは、第n群までの最初の項を取り出して数列とみなして解くことも
できますが、他にはどんな方法が可能でしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 第1群から第(n−1)群までに何個の数があるか求める

 A 自然数の列を区切ると等比数列になるので、等比数列の公式を使う

 B 自然数の列は等差数列なので、普通に等差数列の公式を使う

 C どれでもない


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■ 選択肢の解答

 @ 第1群から第(n−1)群までに何個の数があるか求める

 第n群の最初の項は、第(n−1)群の最後の項の次の項ですね。だから、第(n−1)群までに何個の数(項)があるかわかれば、それに1を足せばOK!というわけです。


■ 解答解説

 第n群の最初の項を求めるには、第(n−1)群までの項数を求める必要があります。「第n群にはn個の数が入る」ので、第1群には1個の数が入り、第2群には2個の数が入り、第3群には3個、第4群には4個……となっていくので、第(n−1)群までの項数は、1からn−1までの和になります。
つまり、第(n−1)群までには、

 Σ[k=1〜n-1]k=(1/2)n(n−1)

だけの数があり、第(n−1)群の最後の項は(1/2)n(n−1)であることがわかります。これに1を足したのが第n群の最初の項なので、求める数は、

(1/2)n(n−1)+1=n^2/2−n/2+1

これで終わりでも構いませんが、さらに(1/2)でくくると模範的です。

          =(1/2)(n^2−n+2)


この問題は次の書籍のP.45に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
群数列
数列まとめ


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2021年04月06日

高校数学「数列」等差と等比の複合an=n・2^(n-1)

高校数学「数列」等差と等比の複合an=n・2^(n-1)

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「 一般項がan=n・2^(n-1)で表される数列の初項から第n項までの和Snを求めよ。」


このときは最初にどうすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 等差数列と等比数列の積だから、等差数列の和の式と
  等比数列の和の式を掛ける

 A 一般項がわかっているからΣで書いて、当てはまる公式を探す

 B 初項からいくつかの項を並べて書いてみる

 C こんな問題見たことないので、パス!


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■ 選択肢の解答

 B 初項からいくつかの項を並べて書いてみる

 n・2^(n-1)を分解してみると、nは等差数列、2^(n-1)は等比数列です。このような、等差数列等比数列の積の形の数列はΣの公式を適用できません。そんなときは、初心に戻って、まずは具体的に項を並べて書いてみると良いです。

1・1+2・2+3・2^2+4・2^3+……+(n−1)・2^(n-2)+n・2^(n-1)

具体的に書いてみると、当然この通りになりますね。まずはこのテの問題の場合は、このように書いてみることから始める。と覚えておくと良いです。


■ 解答解説

 まず、それぞれの項を書いたら、次は「等比数列の公比を掛けて、1個ずらして引く」と考えます。

   Sn=1・1+2・2+3・2^2+……+(n−1)・2^(n-2)+n・2^(n-1)
−)2Sn=    1・2+2・2^2+3・2^3+……+(n−1)・2^(n-1)+n・2^n
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
  −Sn= 1 + 2 + 2^2 + 2^3+……+2^(n-2)+2^(n-1)−n・2^n

こうすると、右辺の−n・2^n以外の部分が等比数列となるので、普通の公式を使うことができますね!等比数列の部分は初項1,公比2なので、

−Sn=1・(2^n−1)/(2−1)−n・2^n
   =2^n−1−n・2^n

Sn=n・2^n−2^n+1 ←両辺の符号を変えて順番を変えた
 =2^n・(n−1)+1       ←2^nでくくった



この問題は次の書籍のP.41に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差数列
等比数列
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2021年03月20日

高校数学「数列」階差数列を使うとき

高校数学「数列」階差数列を使うとき

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「 1,3,6,10,15,……
 この数列{an}の一般項を求めよ。」



このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 最初の2項を見ると2増加しているから、d=2の等差数列

 A 第2項と第3項を比べると2倍だから、r=2の等比数列

 B 初項が1,第5項が15で、15倍だから・・・?あれ?

 C 2項間の差も比も一定でないので、それぞれの差を求めて式で表す


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■ 選択肢の解答

 C 2項間の差も比も一定でないので、それぞれの差を求めて式で表す

 2項間の差が一定ならば等差数列です。2項間の比が一定ならば等比数列です。どちらも一定でないならば他の方法を採る必要があります。
 そんなときはまず、それぞれの2項間の差を求めてみましょう!
  a1 a2 a3 a4 a5
an:1,3,6,10,15,…
   v v v  v
bn: 2 3 4  5
b1 b2 b3 b4
2項間の差を表す数列を階差数列といいます。この場合、2,3,4,5となっています。これはa=1,d=1の等差数列で、bn=n+1となります。
 そして、anとbnの関係を確認していくと、a2=a1+b1,a3=a2+b2=a1+b1+b2,a4=a3+b3=a1+b1+b2+b3,…となっているので、
要するに、anの一般項はa1にbnの和を足したものになる。そしてbnの方はanよりも必ず項数が1少なくなるので、

★ an=a1+Σ[k=1〜n-1]bk

となるのですね!


■ 解答解説

a1=1,階差数列の一般項はbn=n+1なので、

an=a1+Σ[k=1〜n-1]bkにそれぞれ代入すると、

an=1+Σ[k=1〜n-1](n+1)
  =1+(n−1)(n−1+1)/2+(n−1)・1  ←nにn−1を代入
  =1+(n^2−n)/2+n−1
  =(n^2+n)/2    ←通分して足した


この問題は次の書籍のP.33に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



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一般項
数列まとめ


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2021年03月16日

高校数学「数列」anが負になるとき

高校数学「数列」anが負になるとき

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「 a1=200,d=−7の等差数列がある。anが負になる最小のnの値を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
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■ 選択肢

 @ 一般項anを求める

 A 数列の和Snを求める

 B 平方完成をする

 C 微分して極値を求める


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■ 選択肢の解答

 @ 一般項anを求める

 聞いているのは「最小のnの値」ですが、等差数列anについて考えるので、まずは一般項anを求めるのが良いです。
 等差数列の一般項は、P9でも登場したように★an=a+(n−1)dです。



■ 解答解説

 まずは一般項を求めます。等差数列なので、an=a+(n−1)dに代入して、

an=200+(n−1)×(−7)
  =200−7n+7
  =−7n+207

この数列の値が負になるときを考えるので、−7n+207<0を解きます。

−7n+207<0
    −7n<−207
      n>207/7=29.4・・・.

この範囲で最も小さい整数は30なので、求めるnの値は30


この問題は次の書籍のP.25に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差数列
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2021年03月12日

高校数学「数列」初項が2,公比が3の等比数列

高校数学「数列」初項が2,公比が3の等比数列

数日前に数列の書籍を発売した。ということで、その中から1問ご紹介します。


■ 問題

  「初項が2,公比が3の等比数列の一般項anを求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
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■ 選択肢

 @ 一般項だからan=a+(n−1)dに代入する

 A 一般項だからan=ar^(n-1)に代入する

 B 一般項だからy=ax+bに代入する

 C 一般項だから Σ[k=1〜n]k=(1/2)(n+1)に代入する


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■ 選択肢の解答

 A 一般項だからan=ar^(n-1)に代入する

 等比数列の一般項の公式は、★an=arn−1です。初項がaで、公比がrだから、次の項に行く度にrを掛けます。初項はaのみでrは掛けていないので、第n項目ではrはn−1回掛けていることになります。だからan=arn−1となることを理解しておくといいでしょう!



■ 解答解説

 等比数列なので、an=ar^(n-1)にa=2,r=3を代入して、

an=2・3^(n-1)

この数字の組み合わせの場合は、これ以上計算できないので、これで完成です!


この問題は次の書籍のP.17に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
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2021年03月10日

高校数学「数列」1,4,7,10,13,・・・

高校数学「数列」1,4,7,10,13,・・・

昨日数列の書籍を発売した。ということで、その中から1問ご紹介します。


■ 問題

  「次の数列の一般項anを求めよ。
  1,4,7,10,13,・・・」



このときは何をすれば良いでしょうか?(複数選択)
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 最初は1だから初項a=1

 A 第2項は4だから公差d=4

 B 初項は1,第2項は4だから4倍になっているので公比r=4

 C 次の項に進む度に3ずつ増えてるから公差は3


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■ 選択肢の解答

 @ 最初は1だから初項a=1
 C 次の項に進む度に3ずつ増えてるから公差は3

 高校数学の数列の最も基本的なタイプの問題です。実際に並べられた数字の列を見て、最初の項と増減の仕方を見抜くことが大切です。2つの項の間だけで判断すると、等差なのか等比なのかあるいはそれ以外なのかを勘違いしてしまう可能性があるので、少なくとも3つの項の関係を考えることが大切です。


■ 解答解説

初項a=1,公差d=3を等差数列の一般項an=a+(n−1)dに代入して、

an=1+(n−1)×3
 =1+3n−3
 =3n−2


この問題は次の書籍のP.9に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差数列
一般項
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2021年03月09日

高校数学(用語)「群数列」

高校数学(用語)「群数列」

★群数列(group sequence)

ある数列の一部を一定の法則に従って区切った数列を群数列という。


1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…

これを

1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|11,12,…

このように区切ったものが代表例です。

n個目の区切った部分を「第n群」と呼び、「第n群の初項」や「第n群の数列の和」を求めるのがノーマルな問いとなっています。


もとの数列は等差数列の場合が多いですが、等比数列など、その他の数列の場合もあります。


◆関連項目
等差数列等比数列
数列まとめ


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2021年03月07日

高校数学「微分」「三角関数」y=sinx・cosxの微分

高校数学「微分」「三角関数」y=sinx・cosxの微分

■ 問題

  「(sinx)'=cosx,(cosx)'=−sinxである。y=sinx・cosxを微分せよ」



このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか?
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■ 選択肢

 @ (sinx)'=cosx,(cosx)'=−sinxなんだから、
  そのままかければ良いに決まってる

 A sinx・cosxは、2つの関数の積だから、積の微分法に従って
  計算するに違いない

 B sinx・cosxは、合成関数だから、合成関数の微分法で計算する

 C sinx・cosxを変形して単純な形に直してから微分する


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■ 選択肢の解答

 A sinx・cosxは、2つの関数の積だから、積の微分法に従って
  計算するに違いない
または
 C sinx・cosxを変形して単純な形に直してから微分する

 Aの場合:sinxとcosxは、それぞれが「式」で、sinx・cosxはそれらの積だと考えられます。だから、「積の微分法」に従って計算することができます。

 Cの場合:積の微分法は計算が面倒になりがちなので、三角関数の公式を使って単純な式に変形してから微分した方がよい場合も多いです。この場合は、サインの2倍角の公式を使って変形して、「合成関数の微分法」で計算できますね!



■ 解答解説

 では、実際にAの場合の「積の微分法」を使って計算してみましょう!

y=sinx・cosx
y'=(sinx)'・cosx+sinx・(cosx)'
  =(cosx)^2−(sinx)^2

これで終わりでも間違いではないのですが、三角関数の場合は、更に簡単にできる場合が多いです。この場合は、2倍角の公式を使って、

  =cos2x

とするのがノーマルです。



この問題は次の書籍のP.45に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
y=sin5xの微分y=(sinx)^3の微分f(x)・g(x)の微分


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2021年02月25日

高校数学(用語)「階差数列」

高校数学(用語)「階差数列」

★階差数列(progression of differences)

隣り合う項の差が一定の法則に従って式で表されるとき、その差の数列を階差数列という。

もとの数列をan,階差数列をbnとすると、

a1,a2,a3,a4,…
 v  v  v  v
 b1 b2  b3 b4 …

このような関係になります。
つまり、

a2=a1+b1
a3=a2+b2=a1+b1+b2
a4=a3+b3=a1+b1+b2+b3

となるので、一般項anは、

an=a1+Σ[1〜n-1]bk

で表すことができます。

また、階差数列bnは、等差数列等比数列の場合もありますし、その他の数列の場合もあります。


◆関連項目
等差数列等比数列
数列まとめ


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2021年02月22日

高校数学「微分」「合成関数」(2x−1)^5の微分

高校数学「微分」「合成関数」(2x−1)^5の微分

■ 問題

 「(2x−1)^5を微分せよ」


このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢


 @ (2x−1)^5を必死に展開して、必死に微分する

 A (2x−1)^5を華麗に展開して、涼しい顔で微分する

 B 「指数を1下げてもとの指数を掛ける」から、5(2x−1)^4になる

 C かっこの中が式になっているので、合成関数の微分をして、
  5(2x−1)'・(2x−1)^4とする


★★ お知らせ ★★

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マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 C かっこの中が式になっているので、合成関数の微分をして、
  5(2x−1)'・(2x−1)^4とする

 「カッコのn乗」などの形になっている場合は、合成関数とみなして「合成関数の微分法」を行うのが模範的です。
 この場合は、(ax+b)nの微分と考えて公式を適用しても構いません。
「指数を1下げてもとの指数を掛けて、カッコの中身を微分したやつを掛ける」
と理解しておくと使いやすいと思います。


■ 解答解説

 ここでは「ちゃんと」合成関数の微分法をやってみます。

 y=(2x−1)^5,t=2x−1とすると、y=t^5
まずはこの式を微分します。「yをtの式で表した関数をtについて微分する」・・・


このブログでは途中の計算式は省略します。


t=2x−1なので、10t^4=10(2x−1)^4となります。


 基本に忠実にちゃんとやると以上のようになりますが、今回の問題のような(ax+b)^nの形の式の場合は、公式に従って微分すると捉えて、
y'=5(2x−1)'・(2x−1)^4=10(2x−1)^4と考えるのが普通ですし、ちゃんとやっても、この式がすぐにイメージできるようにしておきたいですね。


この問題は次の書籍のP.37に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
y=sin5xの微分y=(sinx)^3の微分f(x)・g(x)の微分関数f(x)=x^2/(x−1)の微分


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2021年02月15日

高校数学「微分」f(x)/g(x)の導関数

高校数学「微分」f(x)/g(x)の導関数

■ 問題

 「f(x)=2x−1,g(x)=x^3−1のとき、f(x)/g(x)の導関数を求めよ」


このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ f'(x)をg'(x)で割る

 A 分子と分母をそれぞれ微分してから分数にする

 B 分母はg(x)の2乗、分子はf'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)

 C 分母はg(x)の2乗、分子はf'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)


このときは何をすればよいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


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■ 選択肢の解答

 C 分母はg(x)の2乗、分子はf'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)

 分数の微分は、「分母を2乗、分子は積の微分法の式の間の符号を変える」
と理解しておくと使いやすいと思います。
 間の符号がマイナスになるのは、分母は逆数=マイナス1乗を表し、それを積の微分法に従って微分したためです。この理屈を理解し、自分で説明できるようにしておくと、自信を持って計算することができますよ!


■ 解答解説

 では早速、商の微分法の計算をしてみましょう!

f(x)=2x−1,g(x)=x^3−1なので、

{f(x)/g(x)}'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

このブログでは途中の計算式は省略します。

=(−6x^4+x^3−2)/(x^3−1)^2


この問題は次の書籍のP.33に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
f(x)・g(x)の微分関数f(x)=x^2/(x−1)の微分


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高校数学(用語)「積の微分法」

高校数学(用語)「積の微分法」

★積の微分法(product rule)

「y=f(x)・g(x)」の形で表される関数を微分すると、

y'=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)

という式が得られます。

複数の整式の積を微分するときは、「一つずつ微分して合計する」というイメージです。


数学3の微分では、商の微分法や合成関数の微分法も登場します。
あわせてチェックしておきましょう!


◆関連項目
商の微分法、合成関数の微分法


江間淳の書籍はこちら
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2021年02月11日

高校数学「微分」f(x)・g(x)の導関数

高校数学「微分」f(x)・g(x)の導関数

■ 問題

 「f(x)=2x−1,g(x)=x^3−1のとき、f(x)・g(x)の導関数を求めよ」



このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか?
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■ 選択肢

 @ f'(x)とg'(x)をかける

 A f'(x)とg'(x)を足す

 B (2x−1)(x^3−1)を展開してから微分する

 C f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)を計算する


このときは何をすればよいでしょうか?
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■ 選択肢の解答

 C f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)を計算する

 2つの整式の積を微分するときは、「1個ずつ微分して足す」と考えます。
 商や分数の微分でも同様の考えで計算できますし、今後の様々な関数の微分・積分でも、同様の考えを使う場合があります。しっかり理解して、迷わず確実に計算できるようにしておきましょう!


■ 解答解説

 では早速、積の微分法の計算をしてみましょう!

f(x)=2x−1,g(x)=x^3−1なので、

 {f(x)・g(x)}'
=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)
=(2x−1)'・(x^3−1)+(2x−1)・(x^3−1)'
=2(x^3−1)+(2x−1)・3x^2
=2x^3−2+6x3−3x^2
=8x^3−3x^2−2


この問題は次の書籍のP.29に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
関数f(x)=x^2/(x−1)の微分


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2021年02月08日

高校数学「微分」定義に従った微分f(x)=1/x^2

高校数学「微分」定義に従った微分f(x)=1/x^2

■ 問題

「定義に従って次の関数を微分せよ。f(x)=1/x^2」


このときは何をすれば良いでしょうか?
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■ 選択肢

 @ 定義に従わずに解いちゃう

 A (x+凾)−xを計算する

 B f(x+凾)−f(x)を計算する

 C lim{f(x+Δx)−f(x)}/Δxを計算する


このときは何をすればよいでしょうか?
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■ 選択肢の解答

 C lim{f(x+Δx)−f(x)}/Δxを計算する

 実は「定義に従った微分」自体は数学2の範囲です(笑)
 「2点間の距離が限りなく近い」つまり「凾→0」のときの「平均変化率(=接線の傾き)」を求めるのが「微分」です。
 平均変化率は変化の割合なので、yの増加量/xの増加量で求めることができます。
xはxからx+凾まで増加するので、xの増加量は(x+凾)−x=凾、yはf(x)からf(x+凾)まで増加するので、yの増加量はf(x+凾)−f(x)となります。これらを単純に分母と分子においた場合の極限が微分。というわけです。


■ 解答解説

f(x)=1/x^2をlim[Δx→0][{f(x+凾)−f(x)}/凾肋に当てはめてみると

 lim[Δx→0][{1/(x+凾)^2−1/x^2}/Δx]

このブログでは計算の途中経過は省略します。

=−2/x^3


この問題は次の書籍のP.21に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
x^2+3x+2を定義に従って微分せよ。


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2021年01月31日

高校数学「場合の数・確率」基本的な条件つき確率

高校数学「場合の数・確率」基本的な条件つき確率

■ 問題

 「3本の当たりくじが入っている15本のくじがある。AさんとBさんが順に1本ずつこのくじを引くとき、Aさんが当たりを引いたときの、Bさんが当たりを引く条件付き確率を求めよ」


このときは何をすればよいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢


@ 15本中3本が当たりだから、3/15の2乗

A 15本中2本が当たりだから、3C2/15C2

B Aさんが当たりを引く確率とBさんが当たりを引く確率を掛ける

C Aさんが当たりを引いたなら、当たりが1本減っていて、全体の本数も1本減っているので、残りの本数で当たる確率を求める


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■ 選択肢の解答

C Aさんが当たりを引いたなら、当たりが1本減っていて、全体の本数も1本減っているので、残りの本数で当たる確率を求める

 基本的な条件付き確率では、ある事柄が起こったその時点をスタートラインと考えて、確率を考えれば大丈夫です。
 この場合なら、「Aさんが当たりを引く」という事象が終わった後に、「Bさんが当たりを引く」確率を聞いています。Bさんが引く時点では、当たりは14本中2本になっています。この「残りの本数」で求めた確率が、「Aさんが当たりだったときにBさんが当たりを引く条件付き確率」です。


■ 解答解説

Aさんが当たりを引いているので、Bさんが引く時点で、当たりは残り2本、全体は14本だから、求める条件付き確率は、

2/14=1/7


この問題は次の書籍のP.53に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
順列・組み合わせ反復試行
場合の数・確率まとめ


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2021年01月24日

高校数学「数列」「等差と等比の積」(2n−1)・3^(n-1)

高校数学「数列」「等差と等比の積」(2n−1)・3^(n-1)

◆問題
次の数列の和Snを求めよ。
Sn=1・1+3・3+5・3^2+7・3^3+……+(2n−1)・3^(n-1)


解答解説はこのページ下へ!


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◆解答解説
このような等差数列等比数列の積の形の数列の和を求めるときは、「公比を掛けて1個ずらして引く」ことをします。

Sn=1・1+3・3+5・3^2+7・3^3+……+(2n−1)・3^(n-1)

は、全ての項が(等差数列)×(等比数列)の形になっています。
等差数列の部分は、1,3,5,7,…
等比数列の部分は、1,3,3^2,3^3,…
となっていますね。
これらのうち、等比数列の方の公比は3なので、Snに3をかけると、

3Sn=1・3+3・3^2+5・3^3+7・3^4+……+(2n−3)・3^(n-1)+(2n−1)・3^n

このように書くことができますね。
両辺に3を掛けたので、等比数列の部分の指数が1ずつ増えています。
これをSnから引くと、式の大部分が等比数列になってしまいます。

   Sn=1・1+3・3+5・3^2+7・3^3+……+(2n−1)・3^(n-1)
−)3Sn=    1・3+3・3^2+5・3^3+7・3^4+……+(2n−3)・3^(n-1)+(2n−1)・3^n
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
 −2Sn=1・1+2・3+2・3^2+2・3^3+2・3^4+……+2・3^(n-1)−(2n−1)・3^n

こうすると、赤色の部分は、初項が6,公比が3、項数がn−1の等比数列の和になっていますね。
だから、赤色の部分には等比数列の和の公式を普通に使って、

−2Sn=1+6{3^(n-1)−1}/(3−1)−(2n−1)・3^n
−2Sn=1+3・{3^(n-1)−1}−(2n−1)・3^n
−2Sn=1+3^n−3−2n・3^n+3^n

あとはまとめて両辺を−2で割ります。

−2Sn=2・3^n−2n・3^n−2
  Sn=−3^n+n・3^n+1
  Sn=3^n・(n−1)+1


◆関連問題
数列1・3,2・4,3・5,・・・の初項から第n項までの数列の和Snを求めよ。


江間淳の書籍
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2021年01月23日

高校数学「場合の数・確率」1枚のコインを10回連続で投げるとき

高校数学「場合の数・確率」1枚のコインを10回連続で投げるとき

■ 問題

   「1枚のコインを10回連続で投げるとき、表が2回だけ出る確率を求めよ」


このときは何をすればよいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢


 @ 表が出る確率は1/2,裏が出る確率も1/2なので、1/2の10乗

 A 表が2回、裏が8回だから、1/2の10乗。
  更に、表が出るのは10回中2回だから、10C2を掛ける

 B 表が2回、裏が8回だから、1/2の10乗。
  更に、表が出るのは10回中2回だから、2/10を掛ける

 C 10回中2回が表だから、2/10


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■ 選択肢の解答

 A 表が2回、裏が8回だから、1/2の10乗。
  更に、表が出るのは10回中2回だから、10C2を掛ける

 まず、コインは(特に何も条件がなければ)表が出る確率も裏が出る確率も1/2です。
 表が2回出るのは1/2の2乗です。裏が8回出るのは1/2の8乗です。これらは同時に起こるので掛けて、1/2の10乗。と考えるのが基本です。
 ただし、これだけでは、「1回目と2回目が表、残りの8回が裏」などの、ある一つの特定の出方の確率を求めただけになってしまいます。
 2回の表の出方は、もちろん「1回目と2回目」の場合もありますが、「1回目と3回目」とか「2回目と5回目」とか、「9回目と10回目」かも知れませんね。これらの場合どれでも「10回中2回表」には違いありません。
 これらの表の出方が、「10回中2回」なので、10C2通りある。のです。


■ 解答解説

 いわゆる「反復試行」の問題ですね。前ページの解説では、1/2の10乗と
表と裏をまとめてしまいましたが、最初に立てる式としては、2乗と8乗に分けて書くのが普通です。

 (1/2)^2・(1/2)^8・10C2
=(1/2)^10・(10・9)/(2・1)
=(5・9)/2^10
=45/1024


この問題は次の書籍のP.45に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
順列・組み合わせ反復試行
場合の数・確率まとめ


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2021年01月22日

高校数学(用語)「部分分数分解」

高校数学(用語)「部分分数分解」

★部分分数分解(partial fraction decomposition)

分数式の積を分数式の差に分解すること。

例えば、

1/(2・3)=1/2−1/3
1/x(x+1)=1/x−1/(x+1)
1/(2・5)=(1/3)(1/2−1/5)

など。
最初はこんなことができるのが不思議に思うはずです。まずは上記のような例を実際に計算して、本当にイコールになることを確認してみると良いと思います。

主に、分数式の数列の和を求めるときに、この部分分数分解をします。
部分分数分解をすると、隣り合う項同士が相殺し合って、最初と最後だけが残ることがあります。
そうなれば、数列の和は分解された分数の最初と最後を足したものになる。というわけで、とても簡単に計算することができるのですね。


◆関連項目
数列の和
数列まとめ


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2021年01月21日

高校数学「場合の数・確率」4人でじゃんけんをするとき

高校数学「場合の数・確率」4人でじゃんけんをするとき

■ 問題

  「4人でじゃんけんを1回するとき、2人が勝つ確率を求めよ」


このときは何をすればよいでしょうか?(複数選択)
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 4人中2人が勝つから、2/4

 A 4人中2人が勝つから、その2人の選び方は4C2

 B 4人中2人が負けるから、その2人の選び方は4C2

 C 勝った人の手の出し方は、3通り

 D 4人とも3通りの手の出し方があるから、3の4乗


★★ お知らせ ★★

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■ 選択肢の解答

 A 4人中2人が勝つから、その2人の選び方は4C2
 C 勝った人の手の出し方は、3通り
 D 4人とも3通りの手の出し方があるから、3の4乗

 確率の分母は「全体の場合の数」なので、特に条件なく、4人の手のパターン全てを考えます。4人とも、グー、チョキ、パーの3通りずつの出し方があるので、4の3乗通りの出し方があります。
 分子は、「そのときの場合の数」なので、「2人が勝つ」場合を考えます。
まず、「4人のうち誰が勝つか」を考えます。4人中2人を選ぶので、4C2通りです。
 次に、その勝った人はグー、チョキ、パーのうちどれで勝ったかを考えます。3通りの勝ち方があります。
 そして「そのときの場合の数」/「全体の場合の数」とすればいいですね!


■ 解答解説

 まず、分母は「全ての場合の数」なので、3の4乗です。
 分子は「そのときの場合の数」で、誰が勝つかの選び方が4C2,勝った人の手の出し方はグー、チョキ、パーのうちのどれかなので3通り。これらは同時の事柄なので掛ける。と考えて・・・

 (4C2・3)/3^4
=[{(4・3)/(2・1)}・3]/3^4
=(2・3^2)/3^4
=2/9   ←約分した


この問題は次の書籍のP.41に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
順列・組み合わせ場合の数・確率まとめ


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posted by えま at 16:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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