2020年01月11日

高校数学「微分」「平均変化率」A

高校数学「微分」「平均変化率」A

■ 問題

関数f(x)=−x^2において、xが−1から−1+hまで増加するときの平均変化率を求めよ。


■ ひとこと

前回の問題と同様にやればOKですが、座標がマイナスなので計算に注意してください。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。




■ 解答解説

前回の問題と同様に、

「(平均変化率)=(yの増加量)/(xの増加量)」を計算すればOKですね!

今回の問題では、xは−1から−1+hまで増加するので、xの増加量は(−1+h)−(−1)=hです。

yの増加量は、このxに対応するyの座標の差です。つまり、f(−1+h)−f(−1)です。

ということで、

(平均変化率)={f(−1+h)−f(−1)}/{(−1+h)−(−1)}
     =[−(−1+h)^2−{−(−1)^2}]/h
     ={−(1−2h+h^2)+1}/h
     =(−1+2h−h^2+1)/h
     =(2h−h^2)/h
     =2−h      ←hで約分した


前の問題→1から1+hのとき

関連項目
公式に従った微分
接線の方程式


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2020年01月10日

高校数学「微分」「平均変化率」@

高校数学「微分」「平均変化率」@

■ 問題

関数f(x)=−x^2において、xが1から1+hまで増加するときの平均変化率を求めよ。


■ ひとこと

平均変化率は、要するに変化の割合ですね。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。




■ 解答解説

平均変化率は「xの1増加に対するyの増加の割合」です。つまり、「変化の割合」です。

「(変化の割合)=(yの増加量)/(xの増加量)」だから「(平均変化率)=(yの増加量)/(xの増加量)」です。

今回の問題では、xは1から1+hまで増加するので、xの増加量は(1+h)−1です。

yの増加量は、このxに対応するyの座標の差です。つまり、f(1+h)−f(1)です。

ということで、

(平均変化率)={f(1+h)−f(1)}/{(1+h)−1}
     ={−(1+h)^2−(−1^2)}/h
     ={−(1+2h+h^2)+1}/h
     =(−1−2h−h^2+1)/h
     =(−2h−h^2)/h
     =−2−h      ←hで約分した


次の問題→−1から−1+hのとき

関連項目
公式に従った微分
接線の方程式


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2020年01月09日

高校数学「ベクトル」「内分」「t:1−tとおくとき」

高校数学「ベクトル」「内分」「t:1−tとおくとき」

■ 問題

△ABCにおいて、辺ABを2:1に内分する点をD,辺BCの中点をMとし、線分DCと線分AMの交点をEとする。→AB=→b,→AC=→cとするとき、→AEを→b,→cを用いて表せ。


■ 選択肢

このとき普通は何をすればいいでしょうか?(複数選択)

@EはAM上にあるので、→AE=k・→AMとおく
AEはCDをt:1−tに内分すると考えて、CE:ED=t:1−tとおく
BEはCDの真ん中なので、→AE=(→AD+→AC)/2とする
C→AEを2通りの方法で表して、イコールで結ぶ


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

@EはAM上にあるので、→AE=k・→AMとおく
AEはCDをt:1−tに内分すると考えて、CE:ED=t:1−tとおく
C→AEを2通りの方法で表して、イコールで結ぶ

三角形の頂点から対辺に直線を引き、交点を考える場合は、このように考えると解けることが多いです。


■ 解答解説

まずは、点EはAM上にあることから、→AE=k・→AMと表すことができます。(選択肢@)
さらに、点MはBCの中点なので、中点の公式(1:1に内分する場合)より、→AM=(→b+→c)/2と表すことができます。
これらを組み合わせると、

→AE=k(→b+→c)/2


次に、点EはCD上にあることから、CDをt:1−tに内分すると考えて、内分の式を作ります。(選択肢A)

→AE={(1−t)・→AC+t・→AD}/(t+1−t)

DはABを1:2に内分するので、→AD=(2/3)・→AB=(2/3)・→bとして、整理すると、

→AE=(1−t)・→c+(2/3)t・→b


→AEを2通りの方法で表しました。同じベクトルなので、イコールで結ぶことができます。(選択肢C)

     k(→b+→c)/2=(1−t)・→c+(2/3)t・→b
(k/2)・→b+(k/2)・→c=(2/3)t・→b+(1−t)・→c

両辺の係数を比較すると、

k/2=(2/3)t,k/2=1−t

よって、(2/3)t=1−tより、t=3/5

t=3/5を代入して、k/2=(2/3)・(3/5)より、k=4/5が得られます。


→AE=k(→b+→c)/2にk=4/5を代入して、

→AE=(4/5)(→b+→c)/2
   =(2/5)・→b+(2/5)・→c


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高校数学「対数」「底の変換」

高校数学「対数」「底の変換」

■ 問題

log[4](y+3)を底が2の対数に変換せよ。


■ 選択肢

このときはどうすればいいでしょうか?

@底を半分にするので、真数も半分にする
A底から2を引くので、真数からも2を引く
B底は自由に変えてよいから、底を2に変えるだけ
Cどれでもない


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

Cどれでもない

底を変えたい場合は、底の変換公式を使います。
log[a]b=log[c]b/log[c]a
この公式を使えば、cの値は自由に変えることができます。


■ 解答解説

底の変換公式を使えば、底を自由な値にすることができます。
今回の問題では、底を2にしたいので、log[a]b=log[c]b/log[c]aにおいて、c=2とします。

 log[4](y+3)
=log[2](y+3)/log[2]4
=log[2](y+3)/2


ちなみにこれは2019年センター数学2B第1問[2]の冒頭の問題です。


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2020年01月08日

高校数学「数列」「Snがわかっているとき」B

高校数学「数列」「Snがわかっているとき」B

■ 問題

数列{an}の初項から第n項までの和Snと一般項anの関係式がan=2Sn+2n−3で表されるとき、次の問いに答えよ。
(1) a1を求めよ。

(2) an+1とanの関係式を求めよ。

このページでは、次の問題について解説します。

anを求めよ。


■ 選択肢

(1)でa1=1,(2)でan+1=−an−2がわかっているとき、ここからどうすればいいでしょうか?


@この漸化式は等差数列なので、等差数列の一般項の公式を使う
Aこの漸化式は等比数列なので、等比数列の一般項の公式を使う
Bこの漸化式は群数列なので、群数列の一般項の公式を使う
Cこの漸化式は等差数列と等比数列が複合しているので、an+1−α=p(an−α)の形にする


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

Cこの漸化式は等差数列と等比数列が複合しているので、an+1−α=p(an−α)の形にする

an+1=−an−2は、n項目からn+1項目にいくときに、−1をかけて2を引くので、一度に等比と等差両方の操作をします。これを解決するには、an+1−α=p(an−α)の形にするのがノーマルな解き方です。


■ 解答解説

このタイプの漸化式の問題を解くときは、いくつかの方法が可能ですが、個人的にはan+1−α=p(an−α)を与式と同じ形に変形することをおすすめしています。

an+1−α=p(an−α)
 an+1=p・an−pα+α

この式と、an+1=−an−2を比較すると、

p=−1,−pα+α=−2

が得られます。これらを連立して解くと、

−(−1)α+α=−2
    2α=−2
     α=−1

よって、an+1−(−1)=−1{an−(−1)}すなわちan+1+1=−(an+1)が得られます。

ここでan+1=bnとおくと、an+1+1=bn+1なので、an+1+1=−(an+1)に左右それぞれ置き換えると、

bn+1=−bn

となります。
これは「次の項にいくたびに−1を掛ける」ことを意味するので、bnは公比が−1の等比数列です。

an+1=bnより、n=1のときa1+1=b1だから、b1=1+1=2です。

つまりbnは、初項2,公比−1の等比数列です。等比数列の一般項の公式に代入すると、

bn=2・(−1)^(n-1)

an+1=bnより、an=bn−1だから、

an=2・(−1)^(n-1)−1

となります。


前の問題→(2) an+1とanの関係式を求めよ。

最初に戻る→(1) a1を求めよ。


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2020年01月07日

高校数学「数列」「Snがわかっているとき」A

高校数学「数列」「Snがわかっているとき」A

■ 問題

数列{an}の初項から第n項までの和Snと一般項anの関係式がan=2Sn+2n−3で表されるとき、次の問いに答えよ。
(1) a1を求めよ。


このページでは、次の問題について解説します。

(2) an+1とanの関係式を求めよ。


■ 選択肢

このときまず最初にnにn+1を代入すると、an+1=2Sn+1+2(n+1)−3となります。
このあとはどうすればはいいでしょうか?(複数選択)

@両辺から1をひく
ASn+1=Sn+an+1と置き換える
Ban+1の式とanの式を差し引く
C野となれ山となれ


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

ASn+1=Sn+an+1と置き換える
Ban+1の式とanの式を差し引く

「an+1とanの関係式を求める」ということは、つまり「Snを消去する」と考えます。


■ 解答解説

an+1とanの関係式を求めるので、何はともあれan+1が登場しないことには始まりません。
まずは与式にn=n+1を代入してみます。

an+1=2Sn+1+2(n+1)−3

問題の指示に合わせるためには、Sn+1(やSn)を消去する必要があります。
Sn+1は「数列anの初項からn+1項目までの和」なので、

Sn+1=a1+a2+a3+・・・+an+an+1

ですね。
Snも同様に考えると、Sn=a1+a2+a3+・・・+anなので、

Sn+1=Sn+an+1

ということができます。(選択肢A)
これを用いて置き換えれば、

an+1=2(Sn+an+1)+2(n+1)−3
an+1=2Sn+2an+1+2(n+1)−3

とすることができます。
これから与式anを差し引けば、うまいことSnが消えますね!(選択肢B)

  an+1=2Sn+2an+1+2(n+1)−3
−) an=2Sn+      2n −3
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
an+1−an=2an+1+2

あとは移項して整理すれば、an+1とanの関係式が得られます。

an+1−2an+1=an+2
   −an+1=an+2
    an+1=−an−2


次の問題→anの一般項

前の問題→(1) a1を求めよ。


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2020年01月06日

高校数学「数列」「Snがわかっているとき」@

高校数学「数列」「Snがわかっているとき」@

■ 問題

数列{an}の初項から第n項までの和Snと一般項anの関係式がan=2Sn+2n−3で表されるとき、次の問いに答えよ。
(1) a1を求めよ。



■ 選択肢

このときはどうすればはいいでしょうか?

@a1は書いてないから出せない
Aa1は初項で、数列は1から始まるからa1=1
Bnに1を代入する。S1は・・・書いてないので無視する
Cnに1を代入する。さらにS1=a1に置き換える


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

Cnに1を代入する。さらにS1=a1に置き換える

初項a1は、n=1のときなので、与式のnに1を代入してみればOKです!


■ 解答解説

与式an=2Sn+2n−3にn=1を代入すると、

a1=2S1+2−3

ここで、S1とは「第1項目までの和」だからすなわちa1です。
S1に含まれる項はa1しかありませんね。
だから、S1=a1です。

a1=2a1+2−3
−a1=−1
 a1=1


ちなみに、「Aa1は初項で、数列は1から始まるからa1=1」の選択肢が、a1の値としては正しくなってしまったのは偶然です(笑)
初項だからといって、必ずしも1になるとは限りません。


次の問題→an+1とanの関係式


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2019年12月26日

高校数学「対数不等式」A

高校数学「対数不等式」A

■ 問題

対数不等式log[1/3]x>2を解け。


■ 選択肢

この問題はどうやって解けばいいでしょうか?

@(1/3)x>2とする
A(1/3)x<2とする
B2=log[1/3](1/9)だからx>1/9
C2=log[1/3](1/9)だからx<1/9


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

C2=log[1/3](1/9)だからx<1/9

前回の問題と同じように、このように単純な対数不等式の場合は、とにかく両辺を同じ形にして、比較すればOKです。
・・・が、底が1より小さい場合は、大小関係が逆になることに注意が必要です。


■ 解答解説

1/3を2乗すると1/9なので、

log[1/3](1/9)=2

です。

右辺をこれに置き換えれば、与式は

log[1/3]x>log[1/3](1/9)

となります。
底が1より小さいときは、対数の値(指数の値)が増えると、真数は小さくなります。
つまり、対数と真数の大小はちょうど逆の関係になる。というわけです。
だから、

x<1/9

と考えることができます。

さらに、底が正の数のとき真数は必ず正の数になるので、x>0です。

これらの共通範囲

0<x<1/9

が、この不等式の解となります。


前の問題→底が1より大きいとき


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高校数学「対数不等式」@

高校数学「対数不等式」@

■ 問題

対数不等式log[2]x>3を解け。


■ 選択肢

この問題はどうやって解けばいいでしょうか?

@2x>3とする
Ax>3とする
B3=log[2]8だからx>8
C3=log[2]8だからx<8


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

B3=log[2]8だからx>8

このように単純な対数不等式の場合は、とにかく両辺を同じ形にして、比較すればOKです。


■ 解答解説

3=log[2]8なので、与式は

log[2]x>log[2]8

と書き換える事ができます。
底が2で1より大きいので、真数を比較するときも大小関係はそのままです。
つまり、

x>8

となります。


次の問題→底が1より小さいとき


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2019年12月25日

高校数学「積分」「直線と放物線の間の面積」

高校数学「積分」「直線と放物線の間の面積」

■ 問題

y=x^2+x−4とy=3x−1で囲まれた図形の面積求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

曲線が境界線となっている図形の面積を求めるときは、積分を使うと計算しやすい場合が多いです。

基本的に、「上引く下で定積分」です。

今回の問題では、2次関数は下に凸なので、囲まれた部分については、直線が上、放物線が下ですね。

そして求める図形は、これらの線で囲まれた部分なので、積分の区間は2つの交点の間となります。

ということで、まずは交点を出してみましょう!
交点は、2つの関数の式の連立方程式ですね。

 x^2+x−4=3x−1
x^2−2x−3=0
(x+1)(x−3)=0
よって、x=−1,3

−1から3の区間で「直線−放物線」の式を定積分します。

 ∫[-1〜3]{3x−1−(x^2+x−4)}dx
=∫[-1〜3](3x−1−x^2−x+4)dx
=∫[-1〜3](−x^2+2x+3)dx
=[−(1/3)x^3+x^2+3x][-1〜3]
=−(1/3)3^3+3^2+3・3−{−(1/3)(−1)^3+(−1)^2+3(−1)}
=−9+9+9−(1/3+1−3)
=11−1/3
=32/3


関連項目
定積分と面積


こちらの書籍も参考にしてみてください。


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2019年12月21日

高校数学「微分」「3次関数」A

高校数学「微分」「3次関数」A

■ 問題

f(x)=x^3−3a^2・xについて次の問いに答えよ。ただし、a>0とする。
(1) f'(x)を求めよ。
(2) 極大値、極小値を求めよ。



解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

前回の解説で、f'(x)=3x^2−3a^2であることを求めました。

今回は極値を求めます。

極値はその周辺で一番大きいまたは一番小さいところのことです。
つまり、グラフを描いたら、山や谷になっているところの先端が極値です。

極値では、増加と減少が切り替わるので、接線の傾きすなわちf'(x)がゼロになります。

ということで、f'(x)=0で解いてみましょう!

f'(x)=3x^2−3a^2=0

xについての2次方程式とみることができるので、式を簡単にして因数分解を試みます。

3x^2−3a^2=0
  x^2−a^2=0
(x+a)(x−a)=0
よって、x=−a,a

f(−a)=(−a)^3−3a^2・(−a)
   =−a^3+3a^3
   =2a^3

f(a)=a^3−3a^2・a
  =a^3−3a^3
  =−2a^3

よって、x=−aのとき極大値2a^3,x=aのとき極小値2a^3


関連問題
「10秒でわかる高校数学」≪数学2B「微分積分」P.41 3次関数の最大最小≫


こちらの書籍も参考にしてみてください。


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高校数学「微分」「3次関数」@

高校数学「微分」「3次関数」@

■ 問題

f(x)=x^3−3a^2・xについて次の問いに答えよ。
(1) f'(x)を求めよ。



解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

f'(x)は、f(x)の微分です。
普通に微分すればOKです!
微分は、指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける。という操作をします。

f(x)=x^3−3a^2・xだから、

f'(x)=3x^2−3a^2


次の問題→極値を求める


関連問題
「10秒でわかる高校数学」≪数学2B「微分積分」P.41 3次関数の最大最小≫


こちらの書籍も参考にしてみてください。


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posted by えま at 01:30| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年12月20日

高校数学「対数方程式」D

高校数学「対数方程式」D

■ 問題

対数方程式(log[9]x)^2−2log[3]x+4=0を解け。


■ 選択肢

この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか?

@log[3]x=tとおく
A4を右辺に移項する
B対数の足し算だから、真数同士をかけ算する
C底の変換公式を使う


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

C底の変換公式を使う

前回の問題と同じなので、まず最初に対数をtで置いて・・・といきたいところですが、そのままでは全てをtで表すことができません。今回は底が異なっています。その場合は、底を統一する必要があります。
底を統一するには、「底の変換公式」を使います。log[a]b=(log[c]b)/(log[c]a)ですね。
分数の通分と似たイメージで、このcの値は分子と分母で等しければ何にしてもOKです。普通は2か3にするとうまくいきます。


■ 解答解説

底の変換公式を使うと、

log[9]x=(log[3]x)/(log[3]9)=(log[3]x)/2

なので、与式は、

{(log[3]x)/2}^2−2log[3]x+4=0

と書き換えることができます。ここからは前回の問題とだいたい同じです。
log[3]x=tとおくと、

 (t/2)^2−2t+4=0
(1/4)t^2−2t+4=0
  t^2−8t+16=0
      (t−4)^2=0
よって、t=4

log[3]x=tより、log[3]x=4すなわち、x=3^4=81

ということで、求めるxの値は81ですね。


前の問題→対数の2次方程式


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posted by えま at 08:53| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年12月19日

高校数学「対数方程式」C

高校数学「対数方程式」C

■ 問題

対数方程式(log[2]x)^2+log[2]x−6=0を解け。


■ 選択肢

この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか?

@log[2]x=tとおく
A−6を右辺に移項する
B対数の足し算だから、真数同士をかけ算する
C底の変換公式を使う


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

@log[2]x=tとおく

与式はlog[2]xについての2次式となっているので、log[2]xをtなどの文字で置き換えると、式が見慣れた形になり解きやすくなります。
慣れている人は、置き換えずにやってもOKです。


■ 解答解説

log[2]xをtに置き換えると、

t^2+t−6=0

となります。
ごく普通の2次方程式ですね。
因数分解すれば、

(t+3)(t−2)=0

です。よって、tの値は、

t=−3,2

これで終わり!・・・ではありません。
tは自分で置いた文字なので、この値を出しただけでは、問いで聞いている「解」を求めたことになりません。
これらのときのxの値を求める必要があります。

t=log[2]xなので、

t=−3のとき、log[2]x=−3すなわちx=2^(-3)=1/8
t=2のとき、log[2]x=2すなわちx=2^2=4

よって、求める解はx=1/8,4


次の問題→底がそろってない場合
前の問題→対数の足し算を含む方程式


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posted by えま at 23:44| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数方程式」B

高校数学「対数方程式」B

■ 問題

対数方程式log[2](x+3)+log[2]x=2を解け。


■ 選択肢

この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか?

@左辺は足し算なので、log[2](x+3+x)=2よりlog[2](2x+3)とする
A左辺は足し算なので、log[2]{(x+3)x}よりlog[2](x^2+3x)とする
Blogは無視して、2(x+3)+2x=2とする
Cとりあえず両辺を2乗する


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

A左辺は足し算なので、log[2]{(x+3)x}よりlog[2](x^2+3x)とする

log[a]b+log[a]c=log[a]bc
つまり、「対数の足し算は真数のかけ算」です。


■ 解答解説

方程式を解くときは、まずはじめに、できるだけ簡単な形にするのが大原則です。

対数は2個以上あると、指数と対数の関係式a^b=cならばlog[a]c=bを使うのが難しいので、できるだけ1個にすることを考えます。
そのために、log[a]b+log[a]c=log[a]bcが使える。というわけです。

log[2](x+3)+log[2]x=2
    log[2](x^2+3x)=2

ここで、指数と対数の関係より、x^2+3x=2^2です。あとはこれを解いて、

  x^2+3x=4
x^2+3x−4=0
(x+4)(x−1)=0
よって、x=−4,1

ここで注意が必要です。
対数方程式の場合、「真数条件」を考えなければいけない場合があります。
「真数条件」とは、「底が正の数ならば真数も正の数」ということです。
「底が2ならば、2を何乗してもマイナスにはならない」ですよね?2乗したら4,3乗したら8,−1乗は1/2,−2乗は1/4などなど。

今回の問題では、与式の真数は、x+3とxなので、これらがともに正の数でなければいけません。
つまり、x+3>0,x>0です。これらの共通範囲はx>−3なので、x=−4,1のうちx=−4は不適です。

よって、この方程式の解はx=1ですね!

log[2](x+1)=3は、2^3=x+1と書き直すことができますね。
あとはこれを普通に解けばOKです。

2^3=x+1
 8=x+1
 x=8−1
 x=7


次の問題→対数の2次方程式
前の問題→log[2](x+1)=3


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posted by えま at 18:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数方程式」A

高校数学「対数方程式」A

対数方程式log[2](x+1)=3を解け。


前回の問題より少し難しいですが、やはり、対数と指数の関係がわかっていれば簡単な問題です。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


指数と対数の間には、

a^b=cならばlog[a]c=b
(aのb乗はc) (底がa,真数がcの対数はb)

という関係が成り立ちます。

log[2](x+1)=3は、2^3=x+1と書き直すことができますね。
あとはこれを普通に解けばOKです。

2^3=x+1
 8=x+1
 x=8−1
 x=7


次の問題→対数の足し算を含む方程式
前の問題→log[5]x


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posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数方程式」@

高校数学「対数方程式」@

対数方程式log[5]x=2を解け。


対数と指数の関係がわかっていれば簡単な問題です。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


指数と対数の間には、

a^b=cならばlog[a]c=b
(aのb乗はc) (底がa,真数がcの対数はb)

という関係が成り立ちます。

log[a]cはすなわち、「aをcにするには何乗か?」を意味します。

今回の問題の「log[5]x=2」は、「5をxにするには2乗する」を意味します。

だから、x=25ですね。

または、指数と対数の関係より、

x=5^2=25

と考えることもできます。


次の問題→log[2](x+1)=3


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posted by えま at 09:10| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数関数」A

高校数学「対数関数」A

関数y=(log[2]x)^2−log[2](x^4)+6について、次の問いに答えよ。
(1) t=log[2]xとして、与式をtで表せ。
(2) 1≦x≦8のとき、yの最大値・最小値を求めよ。



1≦x≦8のとき、tの範囲がどうなるかに気をつけて、普通に最大最小をやればOKです。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


(1)から、t=log[2]xとすると、y=t^2−4t+6であることがわかっています。
この関数の最大最小を求めたい。という問題です。

y=t^2−4t+6は、tの2次関数になっているので、2次関数の最大最小を普通にやればOK!というわけです。
すなわち、まずは平方完成ですね!

y=t^2−4t+6
 =(t−2)^2−4+6
 =(t−2)^2+2

よって、t=2のときy=2が頂点です。

1≦x≦8なので、0≦log[2]x≦3すなわち0≦t≦3です。
t=2はこの範囲に入っていて、t^2の係数はプラスなので、下に凸の放物線だから、頂点が最小値です。

さらに、t=log[2]xより、log[2]x=2すなわち、x=4のとき最小値2

定義域の両端のうち、頂点から遠い方が最大値なので、t=0すなわち、x=1のとき、最大値6

となります。


前の問題→log[2]xをtで表す


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posted by えま at 00:26| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年12月18日

高校数学「対数関数」@

高校数学「対数関数」@

関数y=(log[2]x)^2−log[2](x^4)+6について、次の問いに答えよ。
(1) t=log[2]xとして、与式をtで表せ。


単純に置き換えるだけ・・・ですが、計算法則をちゃんと考えないと危ないかも知れません。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


y=(log[2]x)^2−log[2](x^4)+6を、t=log[2]xとしてtで表すだけの設問です。
特に難しいことはありませんが、log[2](x^4)はt^4ではないことに注意してください。

真数の指数は対数の係数なので、

log[2](x^4)=4・log[2]x=4t

です。
ということで、

y=t^2−4t+6


次の問題→yの最大最小


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posted by えま at 16:50| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年12月14日

高校数学「常用対数」「桁数」A

高校数学「常用対数」「桁数」A

(1/5)^10を小数で表した場合、小数第何位にはじめて0でない数が現れるか求めよ。ただし、log[10]2=0.3010とする。


前回の問題は底が1より大きかったので掛ければ掛けるほど値が大きくなるから「何桁の数か?」でした。今回の問題は底が1より小さいので、掛ければ掛けるほど値が小さくなっていきます。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



「何桁の数か?」でも「小数第何位に初めて0でない数が現れるか?」でも、やることは基本的に同じです。
まずは常用対数の値を求めます。

 log[10]{(1/5)^10}
=10・log[10](1/5)

問題文にはlog[10]2の値しか書いてないので、1/5を2で表すことを考えます。
底は10なので、10と2を使って表せば、最終的にlogを消すことができます。
ならば・・・1/5=2/10としてみると良さそうですね!

=10・log[10](2/10)
=10(log[10]2−log[10]10) ←真数の割り算は対数の引き算
=10(0.3010−1)
=10×(−0.6990)
=−6.99

前回の問題と同様に、ここで基本的な値から確認してみましょう。

10^(-1)=0.1
10^(-2)=0.01

これらの間の値を考えてみると、10^(-1.5)は、0.1と0.01の間の値なので、小数第2位に初めて0でない数が現れます。

今回の問題でも同様に考えてみると、

−7<−6.99<−6

なので、小数第7位に初めて0でない数が現れる。ということがわかります。


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