高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算�A

高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算�A

■　問題

次の計算をせよ。

(1) ２^5/3−２^2/3

(2) (３^1/3＋３^-2/3)³


(2)の解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

(2) (３^1/3＋３^-2/3)³

指数・対数の計算では、通常の文字式と同様に、全く同じものは足したり引いたりすることができます。
「２ＡＢ＋ＡＢ＝３ＡＢ」みたいなかんじですね。
逆に、全く同じでないならば足したり引いたりすることはできません。

そして、普通の式と同様に展開や因数分解の公式を使うことができます。
今回は３乗なので、３乗の公式で普通に展開します。

　(３^1/3＋３^-2/3)³
＝(３^1/3)³＋３(３^1/3)²３^-2/3＋３・３^1/3(３^-2/3)²＋(３^-2/3)³
＝３＋３・１＋３・３^-1＋３^-2
＝３＋３＋１＋１／９
＝(２７＋２７＋９＋１)／９
＝６４／９


(1)に戻る→２^5/3−２^2/3


◆関連項目
指数・対数まとめ


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高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算�@

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■　問題

次の計算をせよ。

(1) ２^5/3−２^2/3

(2) (３^1/3＋３^-2/3)³


(1)の解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

(1) ２^5/3−２^2/3

指数・対数の計算では、通常の文字式と同様に、全く同じものは足したり引いたりすることができます。
「２ＡＢ＋ＡＢ＝３ＡＢ」みたいなかんじですね。
逆に、全く同じでないならば足したり引いたりすることはできません。

今回の問題では、２^5/3と２^2/3は、底の２は同じですが、指数の部分は違うので、そのままでは加減できません。
だからまずは、２^2/3でくくります。

＝２^2/3(２^3/3−１)

カッコを外したらもとに戻るようにする。と考えると、カッコの中身を正しく作りやすいはずです。

＝２^2/3(２−１)
＝２^2/3

特に指示がなければこれで終わりでＯＫです！
分数の指数は、累乗根の形に直すことができます。
累乗根の形に直したければ、

＝³√２²　←２の２乗の３乗根

このようになります。


次の問題→(３^1/3＋３^-2/3)³


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高校数学「指数・対数」０．２，√５，3√０．０４，4√０．００８を小さい順に

高校数学「指数・対数」０．２，√５，³√０．０４，⁴√０．００８を小さい順に

■　問題

次の４つの数を小さい順に並べよ。

０．２，√５，³√０．０４，⁴√０．００８


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

そのままでは大小を比較しにくいので、４つの数を同じパターンで表すことを考えます。
いろいろな方法がありますが、基本的には、底をそろえて指数で表すのがやりやすいと思います。

０．２，√５，³√０．０４，⁴√０．００８

これらの４つの数なので、０．２を使って全て表す。という方針でいきます。


０．２＝０．２¹


５は０．２でどう表すかというと、分数にすればＯＫです。
５＝５／１＝１／０．２＝０．２^-1だから、√５＝０．２^-1/2


あとの２つは累乗根なので、指数と√の関係を普通に使って表します。

³√０．０４＝³√(０．２)²＝０．２<sup>2/3


4</sup>√０．００８＝⁴√(０．２)³＝０．２^3/4


全て０．２の累乗の形で表したので、大小を比較しやすくなりました。
あとは指数の大小の順に・・・といきたいところですが、底が０．２で１より小さいので、大小関係は逆になります。
つまり、指数の値が小さい数が大きく、指数の値が大きい数は小さいことになります。

１＞３／４＞２／３＞−１／２だから、

０．２＜⁴√０．００８＜³√０．０４＜√５

これで完成です！


◆関連項目
指数・対数まとめ


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高校数学「微分積分」「接線」ｙ＝６ｘ2−３ｘとｙ＝(３／２)ｘ2＋ａが共有点を…

高校数学「微分積分」「接線」ｙ＝６ｘ²−３ｘとｙ＝(３／２)ｘ²＋ａが共有点を…

■　問題

ｙ＝６ｘ²−３ｘとｙ＝(３／２)ｘ²＋ａが共有点を持ち、さらにその点においてそれぞれの曲線の接線が等しくなるようなａの値と接線の方程式を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■　解答解説

ｙ＝６ｘ²−３ｘとｙ＝(３／２)ｘ²＋ａが共有点を持ち、さらにその点においてそれぞれの曲線の接線が等しくなるようなａの値を全て求めよ。


条件に従って一つ一つわかることを表していきましょう！

共有点における接線が等しくなるので、まずはそれぞれ微分してみます。

ｙ'＝１２ｘ−３
ｙ'＝３ｘ

ですね。
接線が等しいということはもちろん傾きも等しいです。
つまり、ｙ'も等しいはずです。だから、

　１２ｘ−３＝３ｘ
１２ｘ−３ｘ＝３
　　　　９ｘ＝３
　　　　　ｘ＝１／３

というわけで、接点のｘ座標は１／３であることがわかりました。
このときｙ'は、ｙ'＝３・１／３＝１だから、接線の傾きは１です。

さらに、ｙ＝６ｘ²−３ｘにｘ＝１／３を代入すると、

ｙ＝６・１／９−３・１／３
　＝２／３−１
　＝１／３

つまり、接点の座標は(１／３，１／３)です。

これで接線の方程式がわかります。直線の式の公式に傾きと座標を代入すると、

ｙ−１／３＝１(ｘ−１／３)
　　　　ｙ＝ｘ−１／３＋１／３
　　　　ｙ＝ｘ

接点の座標をｙ＝(３／２)ｘ²＋ａに代入すると、

１／３＝(３／２)・１／９＋ａ
１／３＝１／６＋ａ
　　ａ＝１／３−１／６
　　ａ＝１／６

というわけで、接線の方程式はｙ＝ｘ，ａの値は１／６です。


◆関連項目
曲線ｙ＝ｘ³＋３ｘ²の接線のうち(０，ａ)を通るもの
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「複素数平面」まとめ

高校数学「複素数平面」まとめ

高校数学３→数学Ｃの「複素数平面」に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

平面上の曲線はこちら


◆　公式・解き方・考え方

共役な複素数
複素数の絶対値
極形式
ド・モアブルの定理
極座標と極方程式


◆　問題

ｚ＝√３＋ｉを極形式で表せ。
ｚ1＝ｒ1(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)，ｚ2＝ｒ2(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)とするとき、ｚ1ｚ2を計算せよ。
ｚ1＝ｒ1(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)，ｚ2＝ｒ2(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)とするとき、ｚ1／ｚ2を計算せよ。

２次方程式ｘ²＋２ｘ＋２＝０の解のうち、虚部が正であるものを極形式で表せ。

{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8
{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}⁶

|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？



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高校数学「複素数平面」|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？

高校数学「複素数平面」|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？

■　問題

複素数平面上の点をｚとするとき、|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？


解答解説はこのページ下


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■　解答解説

|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|

イコールで結ばれているので、もちろん左辺と右辺が等しいことを意味しています。
絶対値の式は、プラスとマイナスの場合があって、そのままでは扱いにくいので２乗してみます。

|ｚ＋２ｉ|²＝(２|ｚ−４ｉ|)²

(ｚ＋２ｉ)(ｚ＋２ｉ)＝４(ｚ−４ｉ)(ｚ−４ｉ)
(ｚ＋２ｉ)(ｚ−２ｉ)＝４(ｚ−４ｉ)(ｚ＋４ｉ)
ｚｚ−２ｉｚ＋２ｉｚ＋４＝４(ｚｚ＋４ｉｚ−４ｉｚ＋１６)
ｚｚ−２ｉｚ＋２ｉｚ＋４＝４ｚｚ＋１６ｉｚ−１６ｉｚ＋６４
−３ｚｚ−１８ｉｚ＋１８ｉｚ−６０＝０
ｚｚ＋６ｉｚ−６ｉｚ＋２０＝０
ｚ(ｚ＋６ｉ)−６ｉ(ｚ＋６ｉ)＋２０−３６＝０
(ｚ−６ｉ)(ｚ＋６ｉ)＝１６
(ｚ−６ｉ)(ｚ−６ｉ)＝１６
よって、|ｚ−６ｉ|²＝１６

|ｚ−６ｉ|≧０だから、|ｚ−６ｉ|＝４

これは、点６ｉからの距離が４を意味しています。
ということは、表す図形は、

「点６ｉを中心とする半径４の円」

ですね！


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高校数学「複素数平面」{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}6

高校数学「複素数平面」{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}⁶

■　問題

次の計算をせよ。

{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}⁶


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■　解答解説

これもド・モアブルの定理を活用して計算します。

複素数の商

ｚ₁／ｚ₂＝(ｒ₁／ｒ₂){ｃｏｓ(θ₁−θ₂)＋ｉｓｉｎ(θ₁−θ₂)}

この公式を活用する方向でやっていきます。

分子は１＋√３ｉです。まずはこれを極形式で表します。

１＋√３ｉ＝２{１／２＋(√３／２)ｉ}
　　　　＝２{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}

１−ｉも同様にやります。

１−ｉ＝√２(１／√２−ｉ／√２)
　　　＝√２{ｃｏｓ(−π／４)＋ｉｓｉｎ(−π／４)}

というわけで、

(与式)＝[(２／√２){ｃｏｓ(π／３＋π／４)＋ｉｓｉｎ(π／３＋π／４)}]⁶
　　＝[√２{ｃｏｓ(７／１２)π＋ｉｓｉｎ(７／１２)π}]⁶

ここで、ド・モアブルの定理(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)ⁿ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθを使えば、

　　＝８(ｃｏｓ(７／２)π＋ｉｓｉｎ(７／２)π}
　　＝８×(−ｉ)
　　＝−８ｉ


前の問題に戻る→{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8


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高校数学「複素数平面」{−１／√２−(１／√２)ｉ}-8

高校数学「複素数平面」{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8

■　問題

次の計算をせよ。

{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8


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■　解答解説

８乗となると正直に計算してられないので、ド・モアブルの定理を活用して計算します。

(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)ⁿ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

ですね！

この公式を使うために、まずはカッコの中身を極形式で表します。

−１／√２−(１／√２)ｉ＝ｃｏｓ(−３／４)π＋ｉｓｉｎ(−３／４)π

ですね。ということは、与式は、

{ｃｏｓ(−３／４)π＋ｉｓｉｎ(−３／４)π}^-8

このように書き換えられます。
これでド・モアブルの定理が使えます。

＝ｃｏｓ{−８・(−３／４)}π＋ｉｓｉｎ{−８・(−３／４)}π
＝ｃｏｓ６π＋ｉｓｉｎ６π
＝１


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高校数学「確率統計」確率密度関数の計算�A

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◆問題

確率変数Ｘのとり得る値の範囲が０≦Ｘ≦１で、確率密度関数がｆ(ｘ)＝２ｘのとき、次の確率を求めよ。

(1) Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)

(2) Ｐ(０≦Ｘ≦１)

(3) Ｐ(１／２≦Ｘ≦１)


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◆解答解説

(2) Ｐ(０≦Ｘ≦１)

これは要するに、底辺１，高さ２の直角三角形なので、

Ｐ(０≦Ｘ≦１)＝(１／２)×１×２＝１


(3) Ｐ(１／２≦Ｘ≦１)

このように両端がゼロでない場合は、大きい図形から小さい図形を引くと求めやすい場合があります。
つまり、

Ｐ(１／２≦Ｘ≦１)＝Ｐ(０≦Ｘ≦１)−Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)

ですね。
それぞれの値は、(1)と(2)で求めているのでそのまま使います。

Ｐ(１／２≦Ｘ≦１)＝１−１／４＝３／４


(1)に戻る→Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」確率密度関数の計算�@

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◆問題

確率変数Ｘのとり得る値の範囲が０≦Ｘ≦１で、確率密度関数がｆ(ｘ)＝２ｘのとき、次の確率を求めよ。

(1) Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)


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◆解答解説

確率密度関数とは、確率変数Ｘが連続的な値をとり、その値が関数ｆ(ｘ)とｘ軸との間の面積で表されるときの、ｆ(ｘ)のことです。
つまりは、ｙ＝ｆ(ｘ)の定積分になります。

今回の問題のように、単純な関数の場合は、グラフと図形から面積を計算してもよいです。

今回の問題ではｆ(ｘ)＝２ｘだから、Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)を表す図形は、
底辺１／２，高さ１の直角三角形になります。
つまり、

Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)＝１／２×１×１／２＝１／４


次の問題→Ｐ(０≦Ｘ≦１)など


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」母平均ｍを信頼度９５％で推定する

高校数学「確率統計」母平均ｍを信頼度９５％で推定する

◆問題

母集団から大きさ２５００の標本を抽出し、変量ｘの値を調べたところ、標本平均は５０．５，標本標準偏差は５．０だった。ｘの母平均ｍを信頼度９５％で推定せよ。


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◆解答解説

標本の大きさ２５００は充分に大きいとみなして、「標本標準偏差＝母標準偏差」と考えられます。
標本平均をＸ＿とすると、Ｘ＿は正規分布Ｎ(ｍ，５．０²／２５００)に近似的に従うということができます。

ということは、Ｚ＝(Ｘ＿−ｍ)／σが標準正規分布Ｎ(０，１)に従うことになり、求める信頼区間を正規分布表を用いて計算することができます。

信頼度９５％ということは、正規分布の−０．４７５から０．４７５の範囲なので、Ｐ(|Ｚ|≦１．９６)＝０．９５です。
つまり、|Ｘ＿−ｍ|＝１．９６×(σ／√ｎ)です。
さらに変形して、ｍの式にすると、

Ｘ＿−１．９６×(σ／√ｎ)≦ｍ≦Ｘ＿＋１．９６×(σ／√ｎ)

このように表すことができますね。
あとは代入して計算です。
Ｘ＿＝５０．５

σ／√ｎ＝√(５．０²／２５００)
　　　＝５／５０
　　　＝１／１０

だから、

５０．５−１．９６×１／１０＝５０．５−０．１９６＝５０．３０４
５０．５＋１．９６×１／１０＝５０．５＋０．１９６＝５０．６９６

小数第３位を四捨五入すると、信頼度９５％の信頼区間は

５０．３０≦ｍ≦５０．７０


正規分布表はこちら


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」正規分布Ｎ(１５，４2)に従うとき

高校数学「確率統計」正規分布Ｎ(１５，４²)に従うとき

◆問題

確率変数Ｘが正規分布Ｎ(１５，４²)に従うとき、Ｐ(１３≦Ｘ≦１５)を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

確率変数Ｘが正規分布(ｍ，σ²)に従うとき、Ｘに関する確率はＸを標準化して標準正規分布Ｎ(０，１)における確率に直して求めることができます。

Ｚ＝(Ｘ−ｍ)／σ

とすると、ＺはＮ(０，１)に従うことが知られていて、このＺを、Ｘを標準化した確率変数といいます。

今回の問題では、ｍ＝１５，σ＝４だから、Ｚ＝(Ｘ−１５)／４となります。これを用いてＰ(１３≦Ｘ≦１５)を書き換えてみます。

　Ｐ(１３≦Ｘ≦１５)
＝Ｐ((１３−１５)／４≦Ｚ≦(１５−１５)／４)
＝Ｐ(−２／４≦Ｚ≦０)
＝Ｐ(−０．５≦Ｚ≦０)

このように書き換えることができました。

Ｐ(−０．５≦Ｚ≦０)＝Ｐ(０≦Ｚ≦０．５)だから、あとは世紀分布表を用いて値を調べると、

Ｐ(０≦Ｚ≦０．５)＝０．１９１５

このようになります。


正規分布表はこちら


◆確率統計まとめ


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高校数学「積分」ｙ＝ｘ2−４ｘ＋１とｘ軸で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」ｙ＝ｘ²−４ｘ＋１とｘ軸で囲まれた図形の面積

■　問題

放物線ｙ＝ｘ²−４ｘ＋１とｘ軸で囲まれた図形の面積Ｓを求めよ。


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■　解答解説

ｘ軸と関数に囲まれた図形の面積を求めるには、ｘ軸との交点の間の区間で定積分ですね！
まずは交点を求めてみましょう！

ｘ軸上はｙ＝０だから、

ｘ²−４ｘ＋１＝０

因数分解できないので、解の公式を使います。

ｘ＝[−(−４)±√{(−４)²−４×１×１}]／(２×１)
　＝{４±√(１６−４)}／２
　＝(４±√１２)／２
　＝(４±２√３)／２
　＝２±√３

だから、２−√３から２＋√３の区間で定積分ですね！
・・・ですが、普通に定積分をやると計算がかなり大変になってしまいます。
２次式を積分すると３次式になり、それに２−√３を代入したり・・・となってしまいます。
もちろんこの程度ならやればできますが、もっと簡単に計算できる公式があることも知っておくと良いでしょう。
いわゆる、「１／６の公式」です。
２次関数とｘ軸または直線との間の面積を求めるために使うことができます。

２つの交点をα，βとすると、

Ｓ＝(１／６)(β−α)³

こんなシンプルな式で面積を求めることができます。
どこかにマイナスがついたりつかなかったり、公式の表し方はいくつかありますが、「大きい方から小さい方を引いて、３乗して、１／６」と覚えておくのが実用的だと思います。

今回はα＝２−√３，β＝２＋√３なので、

Ｓ＝(１／６)(２＋√３−２＋√３)³
　＝(１／６)(２√３)³
　＝(１／６)×２４√３
　＝４√３


◆関連項目
ｙ＝ｘ²＋ｘとｙ＝２ｘ＋６に囲まれた図形の面積
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算�A

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■　問題

次の定積分を求めよ。

∫[1〜3]|ｘ²−４|ｄｘ


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■　解答解説

絶対値を含む定積分を考えるときは、場合分けが必要になる場合があります。
絶対値なので、値がマイナスなら符号を変えるという操作が必要になります。

どこで符号が変わるかを調べるため、まずはイコールゼロで解いてみます。

ｘ²−４＝０
(ｘ＋２)(ｘ−２)＝０
ｘ＝−２，２

今回の積分の区間は１から３だから、１〜２と２〜３の２ヶ所に分けて考えます。
２より左はマイナス、２より右はプラスだから、

　∫[1〜3]|ｘ²−４|ｄｘ
＝−∫[1〜2](ｘ²−４)ｄｘ＋∫[2〜3](ｘ²−４)ｄｘ

このように分けることができます。
あとは計算ですね！

＝−[(１／３)ｘ³−４ｘ][1〜2]＋[(１／３)(ｘ³−４ｘ][2〜3]
＝−{８／３−８−(１／３−４)}＋２７／３−１２−(８／３−８)
＝−(８／３−８−１／３＋４)＋２７／３−１２−８／３＋８
＝−(７／３−４)＋１９／３−４
＝−７／３＋４＋１９／３−４
＝１２／３
＝４


◆関連項目
基本的な定積分の計算
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算�@

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■　問題

次の定積分を求めよ。

∫[1〜3]|ｘ−２|ｄｘ


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■　解答解説

絶対値を含む定積分を考えるときは、場合分けが必要になる場合があります。

絶対値なので、値がマイナスなら符号を変えるという操作が必要になります。

ｘ−２＝０を解くと、ｘ＝２だから、ｘ＝２を境に式の値の符号が変わります。

ｘ＜２ならマイナス、ｘ＞２ならプラスですね。
マイナスのところは符号を変えて積分。プラスのところはそのまま積分です。
つまり、

　∫[1〜3]|ｘ−２|ｄｘ
＝−∫[1〜2](ｘ−２)ｄｘ＋∫[2〜3]|ｘ−２|ｄｘ

これを計算すればよい。というわけです。
やってみましょう！

＝−[(１／２)ｘ²−２ｘ][1〜2]＋[(１／２)ｘ−２ｘ][2〜3]
＝−{(１／２)・４−２・２−(１／２−２)}＋(１／２)・９−２・３−{(１／２)・４−２・２}
＝−(２−４−１／２＋２)＋９／２−６−(２−４)
＝１／２＋９／２−４
＝５−４
＝１


この問題は単純な図形なので、他の方法もできますが、こういった単純な問題で、原則通りにやる練習をするのも良いと思います！


◆関連項目
基本的な定積分の計算
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「図形と方程式」線分ＡＱを１：２に内分する点Ｐの軌跡

高校数学「図形と方程式」線分ＡＱを１：２に内分する点Ｐの軌跡

◆問題
点Ｑが直線ｘ−２ｙ＋２＝０上を動くとき、点Ａ(２，−３)と点Ｑを結ぶ線分ＡＱを１：２に内分する点Ｐの軌跡を求めよ。


軌跡に関する少し難しい問題です。
定期テストレベルなら、このくらいが解ければだいたいＯＫだと思います。


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◆解答解説

軌跡の問題では、基本的には点Ｐを(ｘ，ｙ)とおきます。
そして点Ｐ以外に移動する点があれば、それも文字で置きます。
例えば、Ｑ(ｓ，ｔ)とするのが標準的だと思います。

今回の問題も、この置き方でやっていきます。

Ｑはｘ−２ｙ＋２＝０上の点なので、この直線の式に代入することができますね。
つまり、ｓ−２ｔ＋２＝０です。

点ＰはＡＱを１：２に内分する点だから、内分の公式を使って式を立てます。

ｘ＝(２×２＋１×ｓ)／(１＋２)＝(４＋ｓ)／３
ｙ＝{２×(−３)＋１×ｔ)／(１＋２)＝(−６＋ｔ)／３

求めるのはＰの軌跡、つまり、ｘとｙの関係式です。
だから、ｓ，ｔを消去するために、それぞれｓ，ｔについて解きます。

　ｘ＝(４＋ｓ)／３
３ｘ＝４＋ｓ
　ｓ＝３ｘ−４

　ｙ＝(−６＋ｔ)／３
３ｙ＝−６＋ｔ
　ｔ＝３ｙ＋６

これらをｓ−２ｔ＋２＝０に代入すれば、ｘ，ｙの式ができますね！

３ｘ−４−２(３ｙ＋６)＋２＝０
３ｘ−４−６ｙ−１２＋２＝０
３ｘ−６ｙ−１４＝０

よって、求める軌跡は、「３ｘ−６ｙ−１４＝０の直線」です。


◆関連項目
２点Ｏ(０，０)，Ａ(６，０)からの距離の比が２：１である点Ｐの軌跡
軌跡の立式の仕方
図形と方程式まとめ


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高校数学「微分」ｙ＝ｘ4−８ｘ3＋１８ｘ2−１１のグラフ

高校数学「微分」ｙ＝ｘ⁴−８ｘ³＋１８ｘ²−１１のグラフ


◆問題

ｙ＝ｘ⁴−８ｘ³＋１８ｘ²−１１のグラフを描け。


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◆解答解説

ｙ＝ｘ⁴−８ｘ³＋１８ｘ²−１１のグラフを描け。

３次関数や４次関数のグラフを描くときは、増減表を作るのが標準的です。

そのためには、ｙ'＝０になるときのｘの値が必要ですね。
まずは微分して計算してみましょう！

ｙ'＝４ｘ³−２４ｘ²＋３６ｘ＝０
ｘ³−６ｘ²＋９ｘ＝０
ｘ(ｘ²−６ｘ＋９)＝０
ｘ(ｘ−３)²＝０
よって、ｘ＝０，３

ｘ＝３のところは重解なので、ｘ＝３のところでｙ'はゼロになりますが、その前後どちらもｙ'の符号は同じになります。
というわけで、増減表は以下のようになります。

ｘ	…	０	…	３	…
ｙ'	−	０	＋	０	＋
ｙ	↘	極小	↗		↗

そしてグラフは以下のようになります。




◆関連項目
４次関数の最大最小
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」ｙ＝(ｘ−２)3の微分

高校数学「微分」ｙ＝(ｘ−２)³の微分

◆問題

ｙ＝(ｘ−２)³を微分せよ。


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◆解答解説

数学２の微分としては発展的な内容、数学３の微分としては基本的な内容となります。

この記事では主に数学３の微分で登場する公式を使って解説します。

ｙ＝(ａｘ＋ｂ)ⁿのとき、
ｙ'＝ｎ(ａｘ＋ｂ)'(ａｘ＋ｂ)^n-1
　＝ａｎ(ａｘ＋ｂ)^n-1

このように微分することができます。

これを使えば、与式は、

ｙ'＝３(ｘ−２)'(ｘ−２)²
　＝３(ｘ−２)²

このように微分することができます。

もちろん、いったん展開してから微分(数学２の普通のやり方)しても、全く同じ式を求めることができます。


◆関連項目
微分積分(数学２)まとめ
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学「逆関数」ｆ(ｘ)＝４xの逆関数

高校数学「逆関数」ｆ(ｘ)＝４^xの逆関数

◆問題

次の関数の逆関数を求めよ。

ｆ(ｘ)＝４^x


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◆解答・解説

前回の問題と同様に、ｘの整式で表される関数の逆関数を求めるときは、ｘについて解いて、ｘとｙを入れ替える。という操作をします。

ｙ＝４^xとしてやってみましょう！

対数に書き直せば、

ｘ＝ｌｏｇ₄ｙ＝ｘ

ですね。

ｘとｙを入れ替えると、

ｙ＝ｌｏｇ₄ｘ

というわけで、

ｆ^-1(ｘ)＝ｌｏｇ₄ｘ


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高校数学「逆関数」ｆ(ｘ)＝ｘ／(ｘ＋３)の逆関数

高校数学「逆関数」ｆ(ｘ)＝ｘ／(ｘ＋３)の逆関数

◆問題

次の関数の逆関数を求めよ。

ｆ(ｘ)＝ｘ／(ｘ＋３)


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◆解答・解説

ｘの整式で表される関数の逆関数を求めるときは、ｘについて解いて、ｘとｙを入れ替える。という操作をします。

ｙ＝ｘ／(ｘ＋３)として、計算してみましょう！

ｙ(ｘ＋３)＝ｘ
ｙｘ＋３ｙ−ｘ＝０
ｘ(ｙ−１)＝−３ｙ
ｘ＝−３ｙ／(ｙ−１)

ｘとｙを入れ替えて、

ｙ＝−３ｘ／(ｘ−１)

というわけで、求める逆関数は、

ｆ^-1(ｘ)＝−３ｘ／(ｘ−１)


次の問題→ｆ(ｘ)＝４^x


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