2022年10月28日

高校数学「積分」x2・cosxdxの定積分

高校数学「積分」x2・cosxdxの定積分

■ 問題

∫[0〜π/2]x2・cosxdxの定積分を求めよ。


関数の積の積分なので、部分積分法を使います。


不定積分の問題はこちら


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

不定積分の部分積分は、∫f(x)・g'(x)dx=f(x)・g(x)−∫f'(x)・g(x)dxです。
定積分の場合は、

∫[a〜b]f(x)・g'(x)dx=[f(x)・g(x)][a〜b]−∫[a〜b]f'(x)・g(x)dx

となります。
不定積分の部分積分に区間[a〜b]がついただけ。と考えられますね。


f(x)=x2,g'(x)=cosx,a=0,b=π/2とすると、

 ∫[0〜π/2]x2・cosxdx
=[x2・sinx][0〜π/2]−∫[0〜π/2]2x・sinxdx

∫2x・sinxdxにもう一度部分積分法を用いると、

=[x2・sinx][0〜π/2]−{[2x・(−cosx)][0〜π/2]−∫[0〜π/2]2・(−cosx)dx}

あとは普通に計算してなるべく簡単にします。

=(π/2)2・sin(π/2)−2{−(π/2)・cos(π/2)+∫[0〜π/2]cosxdx}
=(π/2)2−2[sinx][0〜π/2]
=(π/2)2−2sin(π/2)
=π2/4−2


◆関連項目
不定積分の場合
微分積分(数学3)まとめ


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2022年10月23日

高校数学「ベクトル」三角形・内分点などに関する問題C

高校数学「ベクトル」三角形・内分点などに関する問題C

◆問題

△OABにおいて、→OA=→a,→OB=→bとし、OBの中点をDとする。

(1) →ADを→a,→bで表せ。

(2) ABを3:1に内分する点をEとするとき、→OEを→a,→bで表せ。

(3) ADを6:1に内分する点をFとするとき、→OFを→a,→bで表せ。

(4) 3点O,E,Fが一直線上にあることを示せ。


この記事では(4)を解説します。
↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

「3点が一直線上にある」ときは「それらの点を始点・終点とするベクトルを2つ作ると平行になる」
ということができます。

そして、ベクトルの平行は、「片方を何倍かするともう片方に一致する」ですね。

今回の問題では、例えば→OEと→OFを比べればOKです。

(2)より、→OE=(→a+3・→b)/4
(3)より、→OF=(→a+3・→b)/7

で、

(4/7)・→OE=(4/7)・(→a+3・→b)/4
       =(→a+3・→b)/7

だから→OFと一致します。

つまり、→OE‖→OFですね。

ならば、3点O,E,Fは一直線上にある。ということができます。


この問題の最初に戻る→→ADを→a,→bで


◆関連問題
線分ABの内分・外分、長さ△ABCと点Pに関する位置ベクトル

ベクトルまとめ


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2022年10月22日

高校数学「ベクトル」三角形・内分点などに関する問題B

高校数学「ベクトル」三角形・内分点などに関する問題B

◆問題

△OABにおいて、→OA=→a,→OB=→bとし、OBの中点をDとする。

(1) →ADを→a,→bで表せ。

(2) ABを3:1に内分する点をEとするとき、→OEを→a,→bで表せ。

(3) ADを6:1に内分する点をFとするとき、→OFを→a,→bで表せ。


この記事では(3)を解説します。
↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

(2)と同様に「内分」とあるので、素直に内分の公式を使うとよいです。

ABをm:nに内分する点をPとすると、一般的には

→OP=(n・→a+m・→b)/(m+n)

ですね。

この問題では、→a=→OA,→b=→OD,内分点はF,m:n=6:1だから、

→OF=(1・→OA+6・→OD)/(6+1)

DはOBの中点なので、→OD=→OB/2=→b/2です。そしてもちろん→OA=→aですね。
これらを置き換えて、

   =(→a+6・→b/2)/7
   =(→a+3・→b)/7


次の問題→O,E,Fが一直線上にあることを示す


◆関連問題
線分ABの内分・外分、長さ△ABCと点Pに関する位置ベクトル

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2022年10月21日

高校数学「ベクトル」三角形・内分点などに関する問題A

高校数学「ベクトル」三角形・内分点などに関する問題A

◆問題

△OABにおいて、→OA=→a,→OB=→bとし、OBの中点をDとする。

(1) →ADを→a,→bで表せ。

(2) ABを3:1に内分する点をEとするとき、→OEを→a,→bで表せ。


この記事では(2)を解説します。
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◆解説

「内分」とあるので、素直に内分の公式を使うとよいです。

ABをm:nに内分する点をPとすると、一般的には

→OP=(n・→a+m・→b)/(m+n)

ですね。

この問題では、内分点はE,m:n=3:1だから、

→OE=(1・→a+3・→b)/(3+1)
   =(→a+3・→b)/4

さらに2つの分数に分けると、

   =(1/4)・→a+(3/4)・→a

解答の形式や続きの問題次第では、このように直した方が良い場合もあります。


次の問題→ADの内分点に関する問題


◆関連問題
線分ABの内分・外分、長さ△ABCと点Pに関する位置ベクトル

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2022年10月19日

高校数学「ベクトル」三角形・内分点などに関する問題@

高校数学「ベクトル」三角形・内分点などに関する問題@

◆問題

△OABにおいて、→OA=→a,→OB=→bとし、OBの中点をDとする。

(1) →ADを→a,→bで表せ。


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◆解説

→ADは、「Aから出発してDまでいくベクトル」と考えることができます。
Aから直接Dにいっても、途中にどこかを経由しても最初と最後が同じなら同じベクトルです。
だから、→ADを表すならば、「Aから出発して、どこかほかのわかりやすい点を経由してDまで行く」経路を考えればよいです。

例えば、「A→O→D」でもOKですね。
これをベクトルで表すと、

 →AO+→OD
=−→OA+(1/2)・→OB
=−→a+→b/2

となります。

またはベクトルの引き算と考えても良いです。

ベクトルの引き算は「終点−始点」だから、

→AD=→OD−→OA
   =→b/2−→a

もちろんどちらでも同じ結果ですね!


次の問題→AB上の点Eに関する問題


◆関連問題
線分ABの内分・外分、長さ△ABCと点Pに関する位置ベクトル

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2022年10月08日

高校数学「微分積分」速度と道のりB

高校数学「微分積分」速度と道のりB

■ 問題

x軸上を加速度2で運動する物体がある。時刻t=0における速度を−2,そのときの座標をx=0とするとき、次の問いに答えよ。

(1) t1秒後の速度v(t1)を求めよ。

(2) t1秒後の位置x(t1)を求めよ。

(3) t=0からt=4までに物体が移動した道のりsを求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

一定の加速度で運動する物体の位置や道のりも、物理の公式を使って式を表すこともできますが、ここでは数学の微分積分の単元の問題として解いてみましょう。

加速度、速度、道のりは、微分積分の関係になっています。
「速度を積分すると道のり(位置)になる」ということができます。

時刻t=aからt=bの物体の運動について、速さをv,道のりをsとすると、

s=∫[a〜b]|v(t)|dt

と表すことができます。

t=0からt=4までの道のりならば、0から4で定積分ですね!

v(t1)=2t1−2だから、

s=∫[0〜4]|2t1−2|dt

2t1−2=0を解くとt1=1だから、0〜1の区間と1〜4の区間に分けます。

 =−∫[0〜1](2t1−2)dt+∫[1〜4](2t1−2)dt
 =−[t12−2t][0〜1]+[t12−2t][1〜4]
 =−(1−2)+(42−2×4)−(12−2)
 =1+(16−8)−(1−2)
 =1+8+1
 =10


この問題の最初に戻る→(1) t1秒後の速度v(t1)を求めよ。


◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ
物理…速度、速さ加速度


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2022年10月06日

高校数学「微分積分」速度と道のりA

高校数学「微分積分」速度と道のりA

■ 問題

x軸上を加速度2で運動する物体がある。時刻t=0における速度を−2,そのときの座標をx=0とするとき、次の問いに答えよ。

(1) t1秒後の速度v(t1)を求めよ。

(2) t1秒後の位置x(t1)を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

一定の加速度で運動する物体の位置も、物理の公式を使って式を表すこともできますが、ここでは数学の微分積分の単元の問題として解いてみましょう。

加速度、速度、道のりは、微分積分の関係になっています。
「速度を積分すると道のり(位置)になる」ということができます。

時刻t=aからt=bの物体の運動について、速さをv,道のりをsとすると、

s=∫[a〜b]|v(t)|dt

と表すことができます。

今回の問題では、時間はt=0からt=t1で、s=x(t1)を求めます。

(1)よりv(t1)=2t−2だから、

x(t1)=∫[0〜t1](2t−2)dt
   =[t2−2t][0〜t1]
   =t12−2t1


次の問題→t=0からt=4までの道のり


◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ
物理…速度、速さ加速度


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2022年10月04日

高校数学「微分積分」速度と道のり@

高校数学「微分積分」速度と道のり@

■ 問題

x軸上を加速度2で運動する物体がある。時刻t=0における速度を−2,そのときの座標をx=0とするとき、次の問いに答えよ。

(1) t1秒後の速度v(t1)を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

物理の公式を使って式を表すこともできますが、数学の微分積分の単元の問題として解いてみましょう。

加速度、速度、道のりは、微分積分の関係になっています。
「加速度を積分すると速度になる」と理解しておくと、この問題で使われる公式を無理矢理暗記しなくても解けるようになります。

時刻t=aからt=bの物体の運動について、速さをv,加速度をαとすると、

v(b)−v(a)=∫[a〜b]α(t)dt

つまり、「時刻aからbまでの速度の変化量は、加速度の定積分」という意味です。

今回の問題では、t=0からt=t1の運動について考えます。
t=0のときの速度は−2,加速度は2だから、

v(t1)−(−2)=∫[0〜t1]2dt

このような式が成り立ちます。
あとはこれをv(t1)について解いていきます。

v(t1)=[2t][0〜t1]−2
   =2t1−0−2
   =2t1−2


次の問題→t1秒後の位置


◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ
物理…速度、速さ加速度


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2022年09月18日

高校数学「積分」媒介変数で表された曲線の長さ

高校数学「積分」媒介変数で表された曲線の長さ

■ 問題

次の曲線の長さLを求めよ。ただし、a>0,0≦θ≦2πとする。

{x=a(θ−sinθ)
{y=a(1−cosθ)


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

媒介変数で表された曲線の長さLは、次の式で表されます。

L=∫[a〜b]√{(dx/dt)2+(dy/dt)2}dt

「x座標とy座標それぞれの式を微分して2乗したものを足してルートして定積分」というイメージです。

今回の問題では、

{x=a(θ−sinθ)
{y=a(1−cosθ)

なので、まずはこれらをそれぞれ微分します。

dx/dθ=a(1−cosθ)
dy/dθ=asinθ

ですね。
このままルートの中に入れると計算式を書くのが大変なので、ここではまず「2乗したものを足す」だけを先にやってみます。

 (dx/dθ)2+(dy/dθ)2
={a(1−cosθ)}2+(asinθ)2
=a2(1−2cosθ+cos2θ)+a2sin2θ
=a2−2a2cosθ+a2cos2θ+a2sin2θ
=a2−2a2cosθ+a2
=2a2−2a2cosθ
=2a2(1−cosθ)

普通の計算ならこれで終わりでいいのですが、このあとこの式をルートするので、2乗が出てきた方が都合が良いです。
半角の公式より、sin2(θ/2)=(1−cosθ)/2だから、2sin2(θ/2)=1−cosθです。これを代入して、

=2a2・2sin2(θ/2)
=4a2sin2(θ/2)
={2asin(θ/2)}2

これで2乗になったので、ルートをしたいところですが、その前にサインの値の範囲を確認します。
0≦θ≦2πだから、sin(θ/2)>0なので、そのままルートをつけることができます。
つまり、

 √{(dx/dθ)2+(dy/dθ)2}
=√[{2asin(θ/2)}2]
=2asin(θ/2)

よって、

L=∫[0〜2π]2asin(θ/2)dθ
 =2a[−2cos(θ/2)][0〜2π]
 =2a[{−2・(−1)}−(−2・1)]
 =2a(2+2)
 =8a


◆関連項目
曲線の長さの求め方
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2022年09月11日

高校数学「積分」円をx軸を中心として回転した立体の体積

高校数学「積分」x2+(y−b)2=r2をx軸のまわりに回転してできる回転体

■ 問題

円x2+(y−b)2=r2をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

円の外部を回転の中心とした回転体は、ドーナツ状の形になります。
x軸を中心に回転するので、yについて解いてxについて積分する。という方針です。

まず与式をyについて解きます。

2+(y−b)2=r2
  (y−b)2=r2−x2
  y−b=±√(r2−x2)
    y=b±√(r2−x2)

プラスマイナスの2つの解が出ました。
プラスの方はy=bより上側の半円、マイナスの方はy=bより下側の半円を表します。
だから、この体積を求めるには、「上側の半円−下側の半円」を積分。ですね。
そして求める回転体は上下対称の形なので、半分の体積を求めて2倍すると良いです。

求める体積をVとすると、

V=2・π∫[0〜r]√[{b+√(r2−x2)}2−{b−√(r2−x2)}2]dx
 =2π∫[0〜r]{b2+2b√(r2−x2)+(r2−x2)−{b2−2b√(r2−x2)+(r2−x2)}dx
 =2π∫[0〜r]4b√(r2−x2)dx
 =8πb∫[0〜r]√(r2−x2)dx

ここで、x=rsinθとおくと、dx/dθ=rcosθで、dx=rcosθ・dθです。
そしてxが0→rのときθは0→π/2だから、Vの式は次のように書き換えられます。

V=8πb∫[0〜π/2]√{r2−(rsinθ)2}・rcosθ・dθ

あとはこれを計算して、

 =8πb∫[0〜π/2]√{r2(1−sin2θ)}・rcosθ・dθ
 =8πb∫[0〜π/2]r√(cos2θ)・rcosθ・dθ
 =8πbr2∫[0〜π/2]√cos2θdθ

半角の公式より、cos2θ=(1+cos2θ)/2だから、

 =8πbr2∫[0〜π/2]√{(1+cos2θ)/2}dθ
 =4πbr2∫[0〜π/2]√(1+cos2θ)dθ
 =4πbr2[θ+(1/2)sin2θ][0〜π/2]
 =4πbr2[π/2+(1/2)sinπ−{0+(1/2)sin0}]
 =4πbr2・π/2
 =2π2br2


類題→y軸を中心に回転した円


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学3)まとめ


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2022年09月08日

高校数学「積分」円をy軸のまわりに回転してできる回転体

高校数学「積分」(x−3)2+y2=4をy軸のまわりに回転してできる回転体

■ 問題

円(x−3)2+y2=4をy軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

y軸のまわりの回転体の体積Vは、「y軸のまわりだから、yについて積分」という考え方で求めることができます。
y軸を中心に回転するので、x座標を使って積分する。というイメージです。

まずは与式をxについて解きます。

(x−3)2=4−y2
x−3=±√(4−y2)
  x=3±√(4−y2)

y軸を中心に回転した回転体は、上下対称なので、半分の体積を出して2倍すると考えると、計算が楽になりますね。
求める体積をVとすると、

(1/2)V=π∫[0〜2]{3+√(4−y2)}2dy−π∫[0〜2](3−√{4−y2)}2dy

計算式が長くなるので、ここではまず、{3+√(4−y2)}2をとり出して計算してみます。

 {3+√(4−y2)}2
=9+6√(4−y2)+4−y2
=13−y2+6√(4−y2)

{3+√(4−y2)}2も同様にして、

 {3+√(4−y2)}2
=13−y2−6√(4−y2)

これらを差し引くと、

 13−y2+6√(4−y2)−{13−y2−6√(4−y2)}
=13−y2+6√(4−y2)−13+y2+6√(4−y2)
=12√(4−y2)

つまり、

(1/2)V=12π∫[0〜2]√(4−y2)dy
よって、V=24π∫[0〜2]√(4−y2)dy

ルートの中身がa2−b2の形なので、y=2sinθとおいて、

dy/dθ=2cosθで、yが0→2のときθは0→π/2だから、

V=24π∫[0〜π/2](4−4sin2θ)dθ
 =24π∫[0〜π/2]4cos2θdθ

2倍角の公式(半角の公式)より、cos2θ=(1+cos2θ)/2だから、

 =24π∫[0〜π/2]2(1+cos2θ)dθ
 =48π[θ+(1/2)sin2θ][0〜π/2]
 =48π[π/2+(1/2)sinπ−{0−(1/2)sin0}]
 =48π(π/2+0−0)
 =24π2


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学3)まとめ


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2022年08月16日

高校数学「微分」f(x)=(x^2−8)e^xの最大最小

高校数学「微分」f(x)=(x2−8)exの最大最小

■ 問題

関数f(x)=(x2−8)exの、区間[−4,4]における最大値と最小値を求めよ。


区間の両端と極値を比較します。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

まずは極値を求めるために、関数を微分します。

f(x)=(x2−8)ex

(x2−8)とexが掛けてあるので、積の微分法ですね。

f'(x)=(x2−8)'ex+(x2−8)(ex)'
  =2xex+(x2−8)ex
  =ex(x2+2x−8)
  =ex(x+4)(x−2)

これが導関数の値で、f'(x)=0が極値です。
x>0なのでこれは解なし。x+4=0よりx=−4,x−2=0よりx=2

というわけで、極値はx=−4,2のところです。

f(−4)=(16−8)e-4
   =8/e4

f(2)=(4−8)e2
  =−4e2

あとは区間の右端のx=4の場合を計算してみます。

f(4)=(16−8)e4
  =8e4

というわけで、

最小はx=2のとき−4e2
最大はx=4のとき8e4

ですね!


◆関連項目
商の微分法合成関数の微分法
微分積分(数学3)まとめ


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2022年08月11日

高校数学「定積分を使った体積の求め方」

高校数学「定積分を使った体積の求め方」

面積は2次式で、体積は3次式になります。
だから、「面積を積分すると体積になる」というのが基本的な方針です。

面積を表す式S(x)と区間[a〜b]がわかっていれば、体積Vは

★V=∫[a〜b]S(x)dx

です。
式や区間がわかっていなくても、問題の設定から求めることができる場合もあります。

回転体の場合は、その断面の面積がS=πr2で求められ、r=yとなるから、

★V=π・∫[a〜b]y2dx

で求めることができます。
普通の式では、y=f(x)なので、さらに、以下のように書き換えることができます。

★V=π・∫[a〜b]{f(x)}2dx

つまり、

「関数の式を2乗したやつを定積分して、πをかける」

というわけです。


数学3微分の解き方の習得に活用してください。好評です!



◆関連項目
y=x,y=−x2+4xで囲まれた図形の回転体2/a2+y2/b2=1の回転体y=x2をy軸のまわりに回転した回転体
微分積分(数学3)まとめ


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2022年08月07日

高校数学「積分」x=sinyとy軸の間の面積

高校数学「積分」x=sinyとy軸の間の面積

■ 問題

曲線x=sinyの0≦y≦πの部分とy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

x=g(y)とy軸との間の面積は、yについて定積分と考えればOKです。
y=f(x)の場合の普通の面積の問題とやることは同じです。つまり、

S=∫[0〜π]xdy
 =∫[0〜π]sinydy
 =[−cosx][0〜π]
 =−(cosπ−cos0)
 =−(−1−1)
 =2


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学3)まとめ


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2022年07月29日

高校数学「積分」y=x2をy軸のまわりに回転した回転体

高校数学「積分」y=x2をy軸のまわりに回転した回転体

■ 問題

y=x2とy=2て囲まれる図形をy軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

y軸のまわりの回転体の体積Vは、区間を[a〜b]とすると、次の式で表されます。

V=π∫[a〜b]x2dy
 =π∫[a〜b]{f(x)}2dy

「y軸のまわりだから、yについて積分」という考えですね。

y=x2は原点を頂点とする放物線で、y=2との間で囲まれた図形だから、積分の区間は[0〜2]です。
よって、

V=π∫[0〜2]x2dy

yについて積分するから、xをyで置き換えます。
y=x2だから、

 =π∫[0〜2]ydy
 =π[(1/2)y2][0〜2]
 =π・(1/2)・22
 =2π


◆関連項目
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2022年07月18日

高校数学「積分」x^2/a^2+y^2/b^2=1の回転体

高校数学「積分」x2/a2+y2/b2=1の回転体

■ 問題

2/a2+y2/b2=1で表される楕円を、x軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

楕円x2/a2+y2/b2=1は、上下対称かつ左右対称なので、第1象限の図形を回転して2倍する。と考えればOKです。
つまり、

V=2×π∫[0〜a]y2dx

を計算すれば良い。と考えられます。

楕円の式を変形して、

2/a2+y2/b2=1
    y2/b2=1−x2/a2
      y2=b2−b22/a2
      y2=b2(1−x2/a2)

これを代入すると、

V=2π∫[0〜a]{b2(1−x2/a2)}dx

あとはひたすら計算です。

 =2πb2[x−x3/3a2][0〜a]
 =2πb2(a−a3/3a2]
 =2πb2(a−a/3)
 =2πb2・2a/3
 =4πab2/3


◆関連項目
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2022年07月16日

高校数学「積分」y=x,y=−x^2+4xで囲まれた図形の回転体の体積

高校数学「積分」y=x,y=−x2+4xで囲まれた図形の回転体の体積

■ 問題

次の直線と曲線とで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積Vを求めよ。

y=x,y=−x2+4x


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

まずは2つの関数の交点を求めます。

−x2+4x=x
−x2+3x=0
x(x−3)=0
よって、x=0,3

2次関数と直線で囲まれた図形の回転体なので、それらの間となるためには、「上の関数の回転体」から「下の関数の回転体」を差し引く。というイメージです。
つまり、求める体積Vは、

V=π∫[0〜3](−x2+4x)2dx−π∫[0〜3]x2dx

これを計算することで求められます。
積分の区間が共通なので、ひとつにまとめて、

 =π∫[0〜3]{(−x2+4x)2−x2}dx
 =π∫[0〜3](x4−8x3+16x2−x2)dx
 =π∫[0〜3](x4−8x3+15x2)dx

あとは普通に定積分を計算します。

 =π[(1/5)x5−2x4+5x3][0〜3]
 =π(1/5)・35−2・34+5・33)
 =27π(9/5−6+5)
 =27π×(9−30+25)/5
 =27π×4/5
 =(108/5)π


◆関連項目
体積の求め方
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2022年07月06日

高校数学「積分」y=2−x2の回転体の体積

高校数学「積分」y=2−x2の回転体の体積

■ 問題

次の曲線とx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積Vを求めよ。

y=2−x2


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

まずは、y=2−x2とx軸との交点を求めます。
x軸上はy=0なので、0=2−x2より、x2−2=0を因数分解して、(x−√2)(x+√2)=0だから、x=±√2

曲線y=f(x)とx軸との間の図形の回転体の体積Vは

V=π・∫[a〜b]y2dx

で求められます。a,bは、積分の区間でこの場合はx軸との交点ですね。
だから、

V=π・∫[-√2〜√2](2−x2)2dx
 =π・∫[-√2〜√2](4−4x2+x4)dx

この図形はy軸に対して対称なので、第1象限の部分を2倍すると考えると良いです。

 =2π・∫[0〜√2](4−4x2+x4)dx
 =2π[4x−(4/3)x3+(1/5)x5][0〜√2]
 =2π{4√2−(4/3)(√2)3+(1/5)(√2)5}
 =2π{4√2−(4/3)・2√2+(1/5)・4√2}
 =2π(60−40+12)√2/15
 =(64/15)√2・π


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学3)まとめ


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2022年06月29日

高校数学「積分」y=xex,x=−1,x=1,x軸で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」y=xex,x=−1,x=1,x軸で囲まれた図形の面積

■ 問題

次の直線や曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

y=xex,x=−1,x=1,x軸


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

y=xe-x,y=x/e,y=x/e2で囲まれた図形の面積より少し簡単な問題です。

面積ならとにかく、「交点を求めて定積分」です。
とはいっても、この問題の場合は、y=xexは原点を通るし、それ以外はx=−1,x=1とx軸なので、積分の区間も簡単にわかります。

詳しくは増減表を書くなどして、確認するべきですが、原点より左ではx軸より下側、原点より右ではx軸より上側だから、

S=−∫[-1〜0]xexdx+∫[0〜1]xexdx

ですね。
部分積分法を用いて普通に計算します。

 =−[xex][-1〜0]−(−∫[-1〜0]exdx)+[xex][0〜1]−∫[0〜1]exdx
 =−{0−(−1・1/e)}+[ex][-1〜0]+e−0−[ex][0〜1]
 =−1/e+1−1/e+e−(e−1)
 =2−2/e
 =2(1−1/e)


◆関連項目
部分積分法面積の求め方
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2022年06月27日

高校数学「積分」y=xe^(-x),y=x/e,y=x/e^2で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」y=xe-x,y=x/e,y=x/e2で囲まれた図形の面積

■ 問題

次の直線や曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

y=xe-x,y=x/e,y=x/e2


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

式が少し難しく見えますが、面積ならとにかく、「交点を求めて定積分」です。

y=x/eとy=x/e2はともに1次関数というか比例なので、これらは原点を通ります。
だから交点は(0,0)ですね。

その他の交点は普通に連立方程式を解きます。

y=xe-x,y=x/eより、
xe-x=x/e
xe-x−x/e=0
x(e-x−1/e)=0
よって、x=0,e-x−1/e=0すなわちx=1

y=xe-x,y=x/e2より、
x(e-x−1/e2)=0
よって、x=0,e-x−1/e2=0すなわちx=2

グラフはここでは省略しますが、0〜1の区間はy=x/eとy=x/e2の間、1〜2の区間はy=xe-2とy=x/e2の間の面積を計算すればOKです。
これはつまり、∫[0〜1](x/e)dx+∫[1〜2](xe-x)dx−∫[0〜2](x/e2)dxとなります。

∫[0〜1](x/e)dxと∫[0〜2](x/e2)dxの部分は三角形なので、普通に頂点の座標から面積を出します。

∫[0〜1](x/e)dx=(1/2)×1×1/e=1/2e
∫[0〜2](x/e2)dx=(1/2)×2×2/e2=2/e2

∫[1〜2](xe-x)dxの部分は曲線なので、定積分の計算をちゃんとやります。
xとe-xの積の積分なので、部分積分法を使って、

 ∫[1〜2](xe-x)dx
=[−xe-x][1〜2]+∫[1〜2]e-xdx
=−2e-2−(−e-1)+[−(e-x][1〜2]
=−2/e2+1/e+(−1/e2+1/e)
=−3/e2+2/e

というわけで、求める面積は、

 1/2e+(−3/e2)+2/e−2/e2
=5/2e−5/e2
=(5e−10)/2e2
=5(e−2)/2e2


◆関連項目
部分積分法面積の求め方
微分積分(数学3)まとめ


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こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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