2024年05月16日

高校数学「確率統計」信頼度95%の信頼区間を求める

高校数学「確率統計」信頼度95%の信頼区間を求める

◆問題

ある工場で生産された製品400個を抽出して検品したところ、40個の不良品が見つかったという。
この工場でつくられる製品の不良率pに対する信頼度95%の信頼区間を求めよ。



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◆解答解説

標本の不良率を用いて、母集団の不良率を推定することができます。

今回の問題では、標本は400個でそのうち40個が不良だから、10%の不良があることになります。
つまり、標本の不良率p0は、0.1です。

95%の信頼区間だから、この0.1を中心として前後1.96の正規分布を考えればよいというわけです。
つまり、求める信頼区間は

0.1−1.96√{(0.1・0.9)/400}≦p≦0.1+1.96√{(0.1・0.9)/400}

と表すことができます。
あとは計算ですね。

 √{(0.1・0.9)/400}
=√(0.09/400)
=0.3/20

だから、

0.1−1.96・0.3/20≦p≦0.1+1.96・0.3/20
0.1−0.588/20≦p≦0.1+0.588/20
0.1−0.0294≦p≦0.1+0.0294
0.0706≦p≦0.1294

小数第3位で四捨五入すると、

0.07≦p≦0.13


正規分布表はこちら


◆関連問題
平均身長mに対する信頼度95%の信頼区間
確率統計まとめ

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2024年05月15日

高校数学「確率統計」信頼度95%になる標本の大きさを求める

高校数学「確率統計」信頼度95%になる標本の大きさを求める

◆問題

ある工場で生産された製品1個あたりの重さの平均mを、信頼区間の幅を0.4g以下、信頼度95%で推定したい。製品1個あたりの重さの母標準偏差をσ=5gとするとき、標本の大きさnを少なくともいくつにすれば良いか求めよ。


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◆解答解説

信頼度95%の信頼区間は、正規分布表の−1.96から1.96の範囲になるので、
母平均mに対する信頼度95%の信頼区間の幅は、1.96・σ/√nの2倍となります。

そして、今回の問題では、σ=5で、この幅が0.4以下になる場合を考えます。つまり、

2・1.96・5/√n≦0.4

です。
あとはコレを計算すると、

19.6≦0.4・√n
  √n≧19.6/0.4
  √n≧49
  n≧492=2401

というわけで、標本の大きさを2401以上にすればよい。ことがわかりました。


正規分布表はこちら


◆関連問題
平均身長mに対する信頼度95%の信頼区間
確率統計まとめ

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2024年05月14日

高校数学「確率統計」平均身長mに対する信頼度95%の信頼区間

高校数学「確率統計」平均身長mに対する信頼度95%の信頼区間

◆問題

ある県の高校1年生男子200人を無作為に選んで調べたところ、身長の平均が168.0cmだった。母標準偏差を6.5cmとして、この県の高校1年生男子の平均身長mに対する信頼度95%の信頼区間を求めよ。


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◆解答解説

信頼度95%の信頼区間は、正規分布表の−1.96から1.96の範囲になるので、

_−1.96・σ/√n≦m≦_+1.96・σ/√n

で求めることができます。

今回の問題では、σ=6.5,n=200,_=168だから、

168−1.96・6.5/√200≦m≦168+1.96・6.5/√200

を計算すればOKです。

 1.96・6.5/√200
=1.96・6.5/(10√2)
=(1.96・6.5√2)/20
=(0.98・6.5√2)/10

√2=1.414とすれば、

=9.00718/10
≒0.90

よって、167.1≦m≦168.9

求める信頼区間は、167.1cm以上168.9cm以下


正規分布表はこちら


◆関連問題
標準正規分布に従うとき正規分布N(50,102)に従うとき
確率統計まとめ

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2024年05月13日

高校数学「確率統計」標本平均の確率

高校数学「確率統計」標本平均の確率

◆問題

母平均50,母標準偏差10の母集団から、大きさ25の標本を抽出するとき、標本平均_が52より大きくなる確率を求めよ。


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◆解答解説

標本平均E(_)は母平均と同じ、標準偏差はσ/√nとすることができます。

つまり、今回の問題では、標本平均の分布はN(50,102/25)とみなすことができる。というわけです。

102/25=100/25=4だから、Z=(_−50)/2とすれば、標準正規分布に当てはめて正規分布表を使うことができます。
というわけで、

 P(_>52)
=P(Z>(52−50)/2)
=P(Z>2/2)
=P(Z>1)
=0.5−P(0≦Z≦1)
=0.5−0.34134
=0.15866

パーセントに直せば、約16%となります。


◆関連事項
場合の数・確率まとめ
確率統計まとめ

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2024年05月12日

高校数学「確率統計」標本の抽出の仕方

高校数学「確率統計」標本の抽出の仕方

◆問題

1,2,3,4の数字が1つずつ書かれた4個の球を母集団とし、そこから大きさ2の標本を抽出する。このときの標本の選び方が何通りあるか求めよ。

(1) 復元抽出

(2) 非復元抽出


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◆解答解説

復元抽出とは、1つの標本を選び出し、その標本を母集団に戻してまた次の標本を選ぶ。という抽出方法です。
非復元抽出とは、選び出した標本を母集団に戻さずそのまま次の標本を選ぶ。という抽出方法です。

「大きさ2の標本」ということは、つまり、球を合計2つ取り出します。

(1)
復元抽出で取り出す場合は、つまり、「球を1個取り出し、戻して、もう一度球を1個取り出す」という操作をすることになります。
だから、1回目は4通り、2回目も4通り。ということで、

4×4=16通り

(2)
非復元抽出の場合はさらに、連続して取り出す場合と、同時に2個取り出す場合の2パターンに分けられます。

連続して取り出す場合は、例えば「1,2」と「2,1」は別々の場合と考えられるので、

4×3=12通り

同時に2個取り出す場合は、「1,2」と「2,1」は区別できないので、

4C2=(4×3)/(2×1)=6通り


このようになります。


◆関連事項
場合の数・確率まとめ
確率統計まとめ

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2024年05月09日

高校数学「確率統計」まとめ

高校数学「確率統計」まとめ

高校数学2Bの確率統計に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


正規分布表


◆ 問題

●期待値(平均)、分散、標準偏差
確率変数X2の平均
サイコロの出目をXとするときの期待値、分散、標準偏差
E(X+Y),E(XY),V(X+Y)
2個のサイコロの出目の積の期待値

●二項分布
確率変数Xが二項分布B(5,1/6)に従うとき
赤球3個と白球1個を100回の場合

●正規分布
標準正規分布N(0,1)に従うとき
正規分布N(50,102)に従うとき
平均167cm、標準偏差7cmの正規分布
1個のサイコロを360回投げて1の目が55回以上出る確率

●統計的な推測
標本の抽出の仕方
母平均50,母標準偏差10の母集団から、大きさ25の標本を抽出するとき、標本平均X_が52より大きくなる確率
平均身長mに対する信頼度95%の信頼区間
信頼度95%になる標本の大きさを求める
信頼度95%の信頼区間を求める


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2024年05月07日

高校数学「確率統計」1個のサイコロを360回投げて1の目が55回以上出る確率

高校数学「確率統計」1個のサイコロを360回投げて1の目が55回以上出る確率

◆問題

1個のサイコロを360回投げるとき、1の目が55回以上出る確率を求めよ。


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◆解答解説

サイコロを何回も振った場合の出目の問題では、二項分布を使う。と考えられます。
今回の問題では、1の目が出る回数をXとすれば、Xは二項分布B(360,1/6)に従う。ということができますね。

まずはXの平均mと標準偏差σを求めます。

m=npより、m=360・1/6=60

σ=√(npq)より、σ=√{360・(1/6)・(5/6)}=√50=5√2

そして、nが充分に大きいときは、二項分布は正規分布によって近似できます。

ということは、今回の問題の場合では、Z=(X−60)/5√2として、

 P(X≧55)
=P(Z≧(55−60)/5√2)
=P(Z≧−5/5√2)
=P(Z≧−1/√2)
=P(Z≧−√2/2)
=P(Z≧−0.707…)
≒P(Z≧−0.71)
=P(−0.71≦Z≦0)+P(Z≧0)
=u(0.71)+0.5
=0.26115+0.5
=0.76115

よって、求める確率は0.76115となります。
パーセントに直せば、約76%ですね。

正規分布表はこちら


◆関連問題
標準正規分布に従うとき正規分布N(50,102)に従うとき
確率統計まとめ

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2024年05月06日

高校数学「確率統計」平均167cm、標準偏差7cmの正規分布

高校数学「確率統計」平均167cm、標準偏差7cmの正規分布

◆問題

ある高校の1年生男子200人の身長の平均は167cmで、標準偏差7cmの正規分布とみなせるという。この高校1年生のうち、身長が160cm以上172cm以下の生徒はおよそ何%いるか求めよ。


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◆解答解説

問題文の記述から、この高校1年生の身長は、平均167,標準偏差7の正規分布と考えて計算すればよいとわかります。

つまり、「Z=(X−m)/σ」において、m=167,σ=7です。

求める割合をP(160≦X≦172)とすると、

 P(160≦X≦172)
=P((160−167)/7≦Z≦(172−167)/7)
=P(−1≦Z≦5/7)

5/7=0.714…だから、5/7≒0.71とすると、

=P(−1≦Z≦0.71)

以前の問題と同様にプラスとマイナスにまたがる範囲の場合は、マイナス側とプラス側に分けて考えて、

=u(1)+u(0.71)
=0.34134+0.26115
=0.60249

これは160cm以上172cm以下の割合です。
問題では%で聞いているので、最後に%に直して、解答は

約60%

となります。


正規分布表はこちら


ちなみに、今回の設問では人数の「200人」は使いません。
パーセントだけでなく、人数も聞いているなら、「200人の60%=120人」などと計算します。


◆関連問題
標準正規分布に従うとき正規分布N(50,102)に従うとき
確率統計まとめ

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2024年05月05日

高校数学「確率統計」正規分布N(50,102)に従うとき

高校数学「確率統計」正規分布N(50,102)に従うとき

◆問題

確率変数Zが正規分布N(50,102)に従うとき、P(45≦X≦60)を求めよ。


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◆解答解説

確率変数Xが正規分布(m,σ2)に従うとき、Xに関する確率はXを標準化して標準正規分布N(0,1)における確率に直して求めることができます。

Z=(X−m)/σ

とすると、ZはN(0,1)に従うことが知られていて、このZを、Xを標準化した確率変数といいます。

今回の問題では、m=50,σ=10だから、Z=(X−50)/10となります。これを用いてP(45≦X≦65)を書き換えてみます。

 P(45≦X≦65)
=P((45−50)/10≦Z≦(65−50)/10)
=P(−5/10≦Z≦15/10)
=P(−0.5≦Z≦1.5)

このように書き換えることができました。
マイナスからプラスまで続く範囲になっているならば、左右に分けて、

=P(−0.5≦Z≦0)+P(0≦Z≦1.5)

このようにすれば、正規分布表の値をそのまま利用できます。

=u(0.5)+u(1.5)
=0.19146+0.43319
=0.62465


正規分布表はこちら


確率統計まとめ


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2024年05月03日

高校数学「確率統計」標準正規分布N(0,1)に従うとき

高校数学「確率統計」標準正規分布N(0,1)に従うとき

◆問題

確率変数Zが標準正規分布N(0,1)に従うとき、正規分布表を用いて、次の確率を求めよ。

(1) P(0≦Z≦1.5)

(2) P(Z≧1.5)

(3) P(Z≦2)


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◆解答解説

確率変数が正規分布に従うとき、正規分布表の値を利用して確率を求めることができます。
正規分布曲線は左右対称なので、左右半分ずつに分けて表の値を読み取っていきます。

(1) P(0≦Z≦1.5)
これはもともと右側だけだから、表からu(1.5)を読み取ればOKです。

u(1.5)=0.43319


(2) P(Z≧1.5)
1.5以上の部分を全て含めるためには逆に、右半分のうち、1.5より小さい部分を引く。と考えます。
右半分は0.5だから、

0.5−u(1.5)=0.5−0.43319=0.06681


(3) P(Z≦2)
2以下の部分には、まず右側の0〜2の範囲が含まれます。そして左半分はまるごと含まれます。
というわけで、

0.5+u(2)=0.5+0.47725=0.97725


正規分布表はこちら

◆関連問題
正規分布N(50,102>)に従うとき
確率統計まとめ

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正規分布表

教科書の巻末などにも載っている「正規分布表」です。












































z0123456789
0.0.000000.003989.007978.011966.015953.019939.023922.027903.031881.035856
0.1.039828.043795.047758.051717.055670.059618.063559.067495.071424.075345
0.2.079260.083166.087064.090954.094835.098706.102568.106420.110261.114092
0.3.117911.121720.125516.129300.133072.136831.140576.144309.148027.151732
0.4.155422.159097.162757.166402.170031.173645.177242.180822.184386.187933
0.5.191462.194974.198468.201944.205401.208840.212260.215661.219043.222405
0.6.225747.229069.232371.235653.238914.242154.245373.248571.251748.254903
0.7.258036.261148.264238.267305.270350.273373.276373.279350.282305.285236
0.8.288145.291030.293892.296731.299546.302337.305105.307850.310570.313267
0.9.315940.318589.321214.323814.326391.328944.331472.333977.336457.338913
1.0.341345.343752.346136.348495.350830.353141.355428.357690.359929.362143
1.1.364334.366500.368643.370762.372857.374928.376976.379000.381000.382977
1.2.384930.386861.388768.390651.392512.394350.396165.397958.399727.401475
1.3.403200.404902.406582.408241.409877.411492.413085.414657.416207.417736
1.4.419243.420730.422196.423641.425066.426471.427855.429219.430563.431888
1.5.433193.434478.435745.436992.438220.439429.440620.441792.442947.444083
1.6.445201.446301.447384.448449.449497.450529.451543.452540.453521.454486
1.7.455435.456367.457284.458185.459070.459941.460796.461636.462462.463273
1.8.464070.464852.465620.466375.467116.467843.468557.469258.469946.470621
1.9.471283.471933.472571.473197.473810.474412.475002.475581.476148.476705
2.0.477250.477784.478308.478822.479325.479818.480301.480774.481237.481691
2.1.482136.482571.482997.483414.483823.484222.484614.484997.485371.485738
2.2.486097.486447.486791.487126.487455.487776.488089.488396.488696.488989
2.3.489276.489556.489830.490097.490358.490613.490863.491106.491344.491576
2.4.491802.492024.492240.492451.492656.492857.493053.493244.493431.493613
2.5.493790.493963.494132.494297.494457.494614.494766.494915.495060.495201
2.6.495339.495473.495604.495731.495855.495975.496093.496207.496319.496427
2.7.496533.496636.496736.496833.496928.497020.497110.497197.497282.497365
2.8.497445.497523.497599.497673.497744.497814.497882.497948.498012.498074
2.9.498134.498193.498250.498305.498359.498411.498462.498511.498559.498605
3.0.498650.498694.498736.498777.498817.498856.498893.498930.498965.498999
3.1.499032.499065.499096.499126.499155.499184.499211.499238.499264.499289
3.2.499313.499336.499359.499381.499402.499423.499443.499462.499481.499499
3.3.499517.499534.499550.499566.499581.499596.499610.499624.499638.499651
3.4.499663.499675.499687.499698.499709.499720.499730.499740.499749.499758
3.5.499767.499776.499784.499792.499800.499807.499815.499822.499828.499835
3.6.499841.499847.499853.499858.499864.499869.499874.499879.499883.499888
3.7.499892.499896.499900.499904.499908.499912.499915.499918.499922.499925
3.8.499928.499931.499933.499936.499938.499941.499943.499946.499948.499950
3.9.499952.499954.499956.499958.499959.499961.499963.499964.499966.499967
4.0.499968.499970.499971.499972.499973.499974.499975.499976.499977.499978



確率統計まとめ


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2024年05月02日

高校数学「確率統計」E(X+Y),E(XY),V(X+Y)

高校数学「確率統計」E(X+Y),E(XY),V(X+Y)

◆問題

赤球4個と白球2個が入った袋がある。この袋から球を2個取り出し色を調べて袋に戻すことを2回行うとする。1回目に取り出した赤球の個数をX個、2回目に取り出した赤球の個数をY個とするとき、E(X+Y),E(XY),V(X+Y)をそれぞれ求めよ。


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◆解答解説

赤球4個と白球2個が入った袋がある。この袋から球を2個取り出し色を調べて袋に戻すことを2回行うとする。1回目に取り出した赤球の個数をX個、2回目に取り出した赤球の個数をY個とするとき、E(X+Y),E(XY),V(X+Y)をそれぞれ求めよ。

「袋に戻す」ので、1回目と2回目の赤球の数は独立しています。
ということは、E(X),E(Y),V(X),V(Y)をそれぞれ求めて後で組み合わせればよい。という方針です。


まずはXの確率を考えます。
2個取り出すから、Xは0,1,2のどれかになります。

P(0)=2C2/6C2=1/{(6・5)/(2・1)}=1/15
P(1)=(2・4)/6C2=8/15
P(2)=4C2/6C2={(4・3)/(2・1)}/15=6/15

ということは、E(X)=0×1/15+1×8/15+2×6/15=20/15=4/3

となります。
球は袋に戻すので2回目も袋の中の球の数は同じだから、E(X)=E(Y)=4/3となります。

続いてV(X)とV(Y)を求めておきます。

V(X)=E(X2)−{E(X)}2

だから、ここまで求めたものを利用すると、

V(X)=02×1/15+12×8/15+22×6/15−(4/3)2
  =0+8/15+24/15−16/9
  =32/15−16/9
  =96/45−80/45
  =16/45

分散についても、確率分布が同じだから、V(X)=V(Y)ですね。
あとは聞いているものをそれぞれ求めます。

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=4/3+4/3=8/3

E(XY)=E(X)・E(Y)=(4/3)・(4/3)=16/9

V(X+Y)=V(X)+V(Y)=16/45+16/45=32/45


確率統計まとめ


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2024年05月01日

高校数学「確率統計」2個のサイコロの出目の積の期待値

高校数学「確率統計」2個のサイコロの出目の積の期待値

◆問題

2個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積の期待値を求めよ。


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◆解答解説

2個のさいころを同時に投げるとき、出る目の数の積の期待値を求めよ。

片方のサイコロの出目はもう片方のサイコロに影響しないので、これらの事象は独立している。ということができます。

2つのサイコロの出目をX,Yとすると、この確率変数X,Yは独立している。ということもできます。

そして、独立ならば、E(XY)=E(X)・E(Y)です。

E(X)=(1/6)(1+2+3+4+5+6)=7/2

ですね。Yの方も同じく、E(Y)=7/2です。

ということは、E(XY)=(7/2)・(7/2)=49/4


確率統計まとめ


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2024年04月30日

高校数学「二項定理」11^11を100で割ったときのあまり

高校数学「二項定理」1111を100で割ったときのあまり

◆問題

1111を100で割ったときのあまりを求めよ。


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◆解答解説

まともに1111を計算すれば出なくはないですが、とんでもなく大きな数になってしまい、現実的ではないと思います。
そこでどうするかというと、「二項定理」を使います。

例えば、(a+b)5を展開したときの、a23の係数を求める場合に使うアレです。

11=(10+1)と考えると、

1111=(10+1)11

ですね。
これを展開すれば、最初の項は

11C11・1011・10

と表すことができます。
同様にして展開した式を表していくと・・・

=11C11・1011・10+11C10・1010・11+11C9・109・12+・・・

このようになります。

例えば最初の項に注目すると、10の11乗が含まれているから、100で割ってもあまりは出ません。
2つめの項は10の10乗が含まれているので、やはり100で割りきれます。
3つめの項は10の9乗が・・・

このように、10が2回以上かけてある項は必ず100で割りきれますね。
今回の問題では、100で割ったあまりを聞いているので、100で割りきれる項については、無視してしまって構わないことになります。

ということは、この展開式の最後の2つの項のみ考えればよい。とわかります。
やってみると、

 11C1・101・110+11C0・100・111
=11・10・1+1・1・1
=110+1
=111

ですね。
これを割ったときのあまりは11だから、求める余りは11となります。


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2024年04月29日

高校数学「確率統計」赤球3個と白球1個を100回の場合

高校数学「確率統計」赤球3個と白球1個を100回の場合

◆問題

ある袋に、赤球3個と白球1個を入れる。この袋から1個の球を取りだし、色を確認してから袋に戻すという試行を100回繰り返す。
このとき、赤球を取り出す回数Xの平均と標準偏差を求めよ。


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◆解答解説

普通に数学1Aの確率とデータの分析の内容を使えば、出すことはできますが、二項分布の考えを使うと簡単に計算できます。

1回の試行で赤球を取り出す確率は3/4(白球を取り出す確率は1/4)です。
試行回数は100回なので、

Xは二項分布B(100,3/4)に従う。ということができます。
つまり、

E(X)=100・3/4=75

V(X)=100・(3/4)・(1/4)=75/4

σ(X)=√(75/4)=(5√3)/2

となります。


確率統計まとめ


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2024年04月28日

高校数学「確率統計」確率変数Xが二項分布B(5,1/6)に従うとき

高校数学「確率統計」確率変数Xが二項分布B(5,1/6)に従うとき

◆問題

確率変数Xが二項分布B(5,1/6)に従うとき、Xの平均、分散、標準偏差を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

「確率変数Xが二項分布B(n,p)に従う」というのはつまり、確率pの事象をn回行う。ということです。

このとき、E(X)=np,V(X)=npqとなります。ただし、q=1−pです。
さらに、σ(X)=√(V(X))ですね。

さて、今回の問題に戻ります。

二項分布(5,1/6)に従うので、n=5,p=1/6です。ということは、q=1−1/6=5/6ですね。
これらをそれぞれ代入して計算していきます!

E(X)=5・(1/6)=5/6

V(X)=5・(1/6)(5/6)=25/36

σ(X)=√(25/36)=5/6


意味がわかれば簡単ですね!


確率統計まとめ


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2024年04月26日

高校数学「確率統計」サイコロの出目をXとするときの分散と標準偏差

高校数学「確率統計」サイコロの出目をXとするときの分散と標準偏差

◆問題

1個のサイコロを投げるときに出る目の数をXとするとき、

(1) 確率変数X2の平均を求めよ。

(2) Xの分散と標準偏差を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

分散V(X)は、

V(X)=E(x2)−m2

で求めることができます。

さらに、m=E(X)だから、

V(X)=E(X2)−{E(X)}2

と表すこともできます。

今回の問題では、E(X2)=91/6がわかっていて、サイコロだからm=(1+2+3+4+5+6)/6=7/2なので、
V(X)=E(x2)−m2にそれぞれ代入してみます。

V(X)=91/6−(7/2)2
  =91/6−49/4
  =182/12−147/12
  =35/12

標準偏差σ(X)は分散V(X)の正の平方根だから、

σ(X)=√(35/12)
  =(√35)/2√3
  =(√105)/6


(1)に戻る→確率変数X2の平均


確率統計まとめ


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2024年04月25日

高校数学「確率統計」確率変数X2の平均

高校数学「確率統計」確率変数X2の平均

◆問題

1個のサイコロを投げるときに出る目の数をXとするとき、確率変数X2の平均を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

サイコロの出目はもちろん1〜6で、X2の平均を聞いているので要するに、

E(X2)=Σ[i=1〜6](i2・1/6)

これを計算することで求めることができます。

 =(1/6)(12+22+32+42+52+62)
 =(1/6)(1+4+9+16+25+36)
 =(1/6)×91
 =91/6


次の問題→分散と標準偏差


確率統計まとめ


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2024年04月22日

高校数学「空間のベクトル」yz平面に接する球

高校数学「空間のベクトル」yz平面に接する球

◆問題

3点A(2,3,1),B(3,−2,2),C(−2,5,3)について次の問いに答えよ。

(1) △ABCの重心Gの座標を求めよ。

(2) Gを中心とする半径3の球の方程式を求めよ。

(3) Aを中心としてyz平面に接する球の方程式を求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

球の方程式は、

★ (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2

です。
中心はAと決まっているので、あとは半径を求めます。

A(2,3,1)からyz平面までの距離は、x座標に等しく2ですね。
つまり、r=2です。

というわけで、

(x−2)2+(y−3)2+(z−1)2=22
(x−2)2+(y−3)2+(z−1)2=4

ですね!


最初に戻る→(1) △ABCの重心Gの座標


◆関連問題
平面上の円の場合
ベクトルまとめ


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2024年04月21日

高校数学「空間のベクトル」△ABCの重心を中心とする球

高校数学「空間のベクトル」△ABCの重心を中心とする球

◆問題

3点A(2,3,1),B(3,−2,2),C(−2,5,3)について次の問いに答えよ。

(1) △ABCの重心Gの座標を求めよ。

(2) Gを中心とする半径3の球の方程式を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(1)より、重心Gの座標は、(1,2,2)であることがわかりました。

球の方程式は、座標平面上の円の方程式と似た形で求めることができます。
中心を(a,b,c)とすれば、

★ (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=r2

です。
これにGの座標と、半径3を代入すれば、求める方程式は、

(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2=32
(x−1)2+(y−2)2+(z−2)2=9

ですね!


次の問題→Aを中心として、yz平面に接する球面


◆関連問題
平面上の円の場合
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こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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