高校数学「確率」「条件付き確率」当たりくじが４本入った９本のくじがある。Ａ，Ｂの２人がこの順にくじを引くとき…

高校数学「確率」「条件付き確率」当たりくじが４本入った９本のくじがある。Ａ，Ｂの２人がこの順にくじを引くとき…

■　問題

当たりくじが４本入った９本のくじがある。Ａ，Ｂの２人がこの順にくじを引くとき、次の確率を求めよ。ただし、引いたくじはもとに戻さないものとする。

Ａが当たったとき、Ｂが当たる確率


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■　解答解説

Ａがすでに当たっているので、残りのくじの全体の本数は８本、当たりは３本になっています。

だから、Ｂが当たりを引く確率は３／８です。

もちろんこれで正解ですが、この記事では、条件付き確率の公式を使って求めることもやってみます。

Ａが当たったときＢが当たる確率はＰ_A(Ｂ)と表すことができて、

Ｐ_A(Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)／Ｐ(Ａ)

です。

Ｐ(Ａ∩Ｂ)は「ＡとＢが両方当たる確率」で、Ｐ(Ａ)は「Ａが当たる確率」です。
これらを求めて割ればＰ_A(Ｂ)を求めることができますね。

Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝₄Ｃ₂／₉Ｃ₂
　　　　＝{(４・３)／(２・１)}／{(９・８)／(２・１)}
　　　　＝(２・３)／(９・４)
　　　　＝１／６

Ｐ(Ａ)＝４／９

だから、

Ｐ_A(Ｂ)＝(１／６)／(４／９)
　　　＝３／８

もちろん全く同じ値が出ました。
この設定の場合は、条件付き確率は気にせず、分かっている条件から中学数学の確率のイメージで解いた方が簡単ですが、ややこしくなればなるほどしっかり公式を使わないと混乱する可能性が高くなります。
まずは単純な問題で、適切に使えるよう練習しておくのが良いと思います！


◆関連項目
３本の当たりくじが入っている１５本のくじがある。ＡさんとＢさんが順に１本ずつこのくじを引くとき…
場合の数・確率まとめ


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高校数学「確率」「条件付き確率」ＰA(Ｂ)＝０．４，Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝０．２のとき

高校数学「確率」「条件付き確率」Ｐ_A(Ｂ)＝０．４，Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝０．２のとき

■　問題

ある試行における事象Ａ，Ｂについて、次の確率を求めよ。

(1) Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝０．２，Ｐ(Ａ)＝０．４，Ｐ(Ｂ)＝０．５のとき、Ｐ_A(Ｂ)，Ｐ_B(Ａ)

(2) Ｐ_A(Ｂ)＝０．４，Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝０．２のとき、Ｐ(Ａ)


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■　解答解説

Ｐ_A(Ｂ)はつまり、Ａが起こったときのＢの確率です。
Ａが起こったことが決まっているので、Ａの確率を除外する。と考えられます。
だから、

Ｐ_A(Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)／Ｐ(Ａ)

です。

今回の問題では、条件付き確率がわかっていて、Ｐ(Ａ)を求めます。
とは言っても、Ｐ_A(Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)／Ｐ(Ａ)に分かっている値を代入して計算すればいいという点は(1)と同じです。
まずは代入してみると、

０．４＝０．２／Ｐ(Ａ)

これをＰ(Ａ)について解けば、Ｐ(Ａ)の値が出そうですね！やってみましょう！

０．４・Ｐ(Ａ)＝０．２
　　　　Ｐ(Ａ)＝０．２／０．４＝１／２

これで完成です！意外と簡単ですね！


(1)に戻る→Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝０．２，Ｐ(Ａ)＝０．４，Ｐ(Ｂ)＝０．５のとき、Ｐ_A(Ｂ)，Ｐ_B(Ａ)


◆関連項目
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高校数学「確率」「条件付き確率」Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝０．２，Ｐ(Ａ)＝０．４，Ｐ(Ｂ)＝０．５のとき

高校数学「確率」「条件付き確率」Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝０．２，Ｐ(Ａ)＝０．４，Ｐ(Ｂ)＝０．５のとき

■　問題

ある試行における事象Ａ，Ｂについて、次の確率を求めよ。

(1) Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝０．２，Ｐ(Ａ)＝０．４，Ｐ(Ｂ)＝０．５のとき、Ｐ_A(Ｂ)，Ｐ_B(Ａ)


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■　解答解説

Ｐ_A(Ｂ)はつまり、Ａが起こったときのＢの確率です。
Ａが起こったことが決まっているので、Ａの確率を除外する。と考えられます。
だから、

Ｐ_A(Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)／Ｐ(Ａ)

です。
与えられた値を代入して計算してみましょう！

Ｐ_A(Ｂ)＝０．２／０．４＝１／２


Ｐ_B(Ａ)も同様にして、

Ｐ_B(Ａ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)／Ｐ(Ｂ)＝０．２／０．５＝２／５


次の問題→条件付き確率がわかっているとき


◆関連項目
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場合の数・確率まとめ


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高校数学「確率」「反復試行」１個のさいころをなげて、出目が４以下のときは１点…�A

高校数学「確率」「反復試行」１個のさいころをなげて、出目が４以下のときは１点…�A

■　問題

１個のサイコロをなげて、出目が４以下のときは１点、出目が５以上のときは２点得点するものとする。

(1) サイコロを６回なげて、全て４以下になるときの得点と確率を求めよ。

(2) サイコロを６回なげて、得点が９点になる場合の確率を求めよ。


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■　解答解説

サイコロをなげてルールに従って得点を決める問題はよく見ますね。
様々な問題への応用の入り口にもなりますので、このタイプならば素早く確実に解けるようにしておきましょう！

今回は「６回投げる」「得点は９点」です。

１点と２点を合計６回で９点になるには・・・

１点が３回、２点が３回ですね。
つまり、４以下が３回、５以上が３回です。

１回なげて４以下の確率は２／３，５以上の確率は１／３です。

「６回中３回」だから反復試行の考え方を使います。
というわけで、

₆Ｃ₃(２／３)³・(１／３)³

ですね。
あとは計算です。

＝(６・５・４)／(３・２・１)}・(８／２７)・(１／２７)
＝２０・(８／２７)・(１／２７)
＝１６０／７２９


確率は、６回とも同じ事象だから、１回の確率の６乗ですね。

４以下の確率は４／６＝２／３なので、求める確率は、

(２／３)⁶＝６４／７２９


(1)に戻る→全て４以下になるときの得点と確率


◆関連項目
コイン４回の場合、５回中２回が奇数の場合
場合の数・確率まとめ


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高校数学「確率」「反復試行」１個のさいころをなげて、出目が４以下のときは１点…�@

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■　問題

１個のさいころをなげて、出目が４以下のときは１点、出目が５以上のときは２点得点するものとする。

(1) サイコロを６回なげて、全て４以下になるときの得点と確率を求めよ。


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■　解答解説

サイコロをなげてルールに従って得点を決める問題はよく見ますね。
様々な問題への応用の入り口にもなりますので、このタイプならば素早く確実に解けるようにしておきましょう！

今回は「６回投げる」「全て４以下」だから、得点はもちろん６点です。

確率は、６回とも同じ事象だから、１回の確率の６乗ですね。

４以下の確率は４／６＝２／３なので、求める確率は、

(２／３)⁶＝６４／７２９


次の問題→９点のとき


◆関連項目
コイン４回の場合、５回中２回が奇数の場合

場合の数・確率まとめ


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高校数学「指数の計算」「累乗根」∜８１の値

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■　問題

次の値を求めよ。

∜８１


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■　解答解説

与えられた数は、「８１の４乗根(のうち正の数)」を意味しています。

根号を使って累乗根で表された数の計算は、分数の指数に書き直して計算すると、やりやすい場合が多いです。

√は分数の指数で表せます。

与式を指数を用いて書き直すと、

８１^1/4

です。

さらに、８１＝３⁴だから、

　８１^1/4
＝(３⁴)^1/4
＝３

となります。


ちなみに、８１の４乗根は±３ですが、∜８１は正の数のみを、−∜８１なら負の数のみを表す。ということができます。
中学の平方根の計算で考えたものと同じですね！


◆関連問題
７の６乗根


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高校数学「指数の計算」「累乗根」∛(√２７)

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■　問題

次の計算をせよ。

∛(√２７)


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■　解答解説

与えられた数式は、「ルート２７の３乗根」を意味しています。

根号を使って累乗根で表された数の計算は、分数の指数に書き直して計算すると、やりやすい場合が多いです。

√は分数の指数で表せます。

与式を指数を用いて書き直すと、

(２７^1/2)^1/3

となります。
２７＝３³だから、さらに、

{(３³)^1/2}^1/3

とすることができます。

指数の計算法則に従ってさらに書き直すと、

　３^{3×(1/2)×(1/3)}
＝３^1/2
＝√３

となります。


◆関連問題
{７^(1/2)}÷{７^(-1/6)}×{７^(2/3)}


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高校数学「確率」「反復試行」４回目に２個目の赤が出て…

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■　問題

赤球６個、白球３個が入っている袋から、球を１個取り出して色を確認してから袋に戻すという操作を７回繰り返す。次の確率を求めよ。

(1) ７回目に３個目の赤球が出る。

(2) ４回目の２個目の赤球が出て、７回目の４個目の赤球が出る。


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓


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■　解答解説

このように、出るのが何回目か決まっているときは、「その直前まで」「その回」に区切って考えます。

「４回目に２個目の赤」ということは、３回目までに１個赤が出ている必要があります。

そして「７回目の４個目の赤」となるためには、５回目か６回目に１個赤が出ていなければいけません。

というわけで、式は次のようになります。

　{₃Ｃ₁(２／３)・(１／３)²}・(２／３)・{₂Ｃ₁(２／３)・(１／３)}・(２／３)

最初の中括弧の中身が「３回目までに１個赤」、次の(２／３)が「４回目が赤」、次の中括弧が「５回目か６回目に赤」、最後の(２／３)が「７回目に赤」を表しています。

あとは計算してみましょう！
赤は合計４回、白は合計３回だから、

＝３・２・(２／３)⁴・(１／３)³
＝３２／７２９


(1)に戻る→７回目に３個目の赤



◆関連項目
コイン４回の場合


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高校数学「確率」「反復試行」７回目に３個目の赤球が出る確率

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■　問題

赤球６個、白球３個が入っている袋から、球を１個取り出して色を確認してから袋に戻すという操作を７回繰り返す。次の確率を求めよ。

(1) ７回目に３個目の赤球が出る。


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■　解答解説

「７回中３回」ではなく「７回目に３個目の赤」です。
つまり、

「６回目までに２回出ていて、７回目に最後の１回が出る」

場合を考える必要があります。
これらの事象は続けて起こるので、それぞれ出してかけ算ですね！

「６回目までに２回の赤」の確率と「最後の１回は赤」の確率を掛ければＯＫです。

まず、６回目までの２回の赤の確率は、普通に反復試行で求められます。
(反復試行の基本的なやり方がわからない。という人はまずはこちらをご覧ください)

　₆Ｃ₂×(６／９)²×(３／９)4
＝{(６・５)／(２・１)}×{(２／３)²}×{(１／３)⁴}
＝１５{(２／３)²}×{(１／３)⁴}

これに最後の１回は赤の確率(２／３)をかけて、できるだけ簡単にします。

　１５{(２／３)²}×{(１／３)⁴}×(２／３)
＝５{(２／３)³}×{(１／３)³}
＝４０／７２９


次の問題→４回目の２個目の赤が出て…



◆関連項目
コイン４回の場合、５回中２回が奇数の場合
場合の数・確率まとめ


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高校数学「場合の数」「どの女子も隣り合わない」

高校数学「場合の数」「どの女子も隣り合わない」

男子４人、女子３人が１列に並ぶとき、どの女子も隣り合わない並び方は何通りあるか求めよ。



解説はこのページ下



この書籍も参考にしてください。
１０秒でわかる！高校数学１Ａ「場合の数・確率」の考え方 (江間淳)


◆解答解説

「女子が隣り合わない」ということは「女子の間に必ず男子が入る」と考えられますね。

これを効率的に数えるためには、「まずは男子を並べて、その間に女子を入れる」という流れでやると良いです。

男子は４人いるので、その並べ方は４！通りあります。

女子が隣り合わないためには、その４人の男子の間または、４人の男子の前後に女子が入ればよいです。

女子が入る場所のイメージは以下のようになります。

　男　男　男　男
＾　＾　＾　＾　＾

女子が入ることができる場所の候補は５ヶ所あることがわかりますね
その５ヶ所のうち３ヶ所に女子が入ればいいので、女子３人の場合の数は

₅Ｐ₃

これです。

これらは同時に(連続して)おこるので、かけ算をして、

　４！・₅Ｐ₃
＝４・３・２・１・５・４・３
＝２４・６０
＝１４４０[通り]


前の問題→連続するとき


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高校数学「確率」「反復試行」２択問題８問を７問以上正解する確率

高校数学「確率」「反復試行」２択問題８問を７問以上正解する確率

■　問題

○×の２択問題を８問解くことを考える。ランダムに解答を選んだとき、７問以上正解する確率を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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■　解答解説

「７問以上」だから、７問の場合と８問の場合をそれぞれ求めて合計します。

まず８問正解の場合。
ランダムに○か×かを選ぶということで、１問の正解の確率は１／２です。
８問全て正解するのは、この１／２が８回連続で起こった場合となります。
つまり、

(１／２)⁸

です。

続いて７問正解の場合。
７問正解ということは、１問間違えることになります。
この間違いの１問が８問のうちどれか１問だから、それが何問目になるかというパターンが８通りあります。
つまり、

８×(１／２)×(１／２)⁷

です。

これらを合計したものが求める確率ですね！

　(１／２)⁸＋８×(１／２)×(１／２)⁷
＝(１／２)⁸＋８×(１／２)⁸
＝９(１／２)⁸
＝９／２５６


関連項目
コイン４回の場合


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高校数学「場合の数・確率」正七角形の頂点を結んでできる三角形の個数�A

高校数学「場合の数・確率」正七角形の頂点を結んでできる三角形の個数�A

■　問題

正七角形の３個の頂点を結んで三角形をつくるとき、次の個数を求めよ。

(1) 正七角形と１辺だけを共有する三角形

(2) 正七角形と辺を共有しない三角形


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■　解答解説

今度は正七角形と辺を共有しない三角形です。

方針としては、「全ての三角形から、１辺を共有する三角形と２辺を共有する三角形を引く」ことでやっていきます。

全ての三角形は、７個の頂点から３個を選ぶので、

₇Ｃ₃＝(７・６・５)／(３・２・１)＝３５個

１辺を共有する三角形は、(1)で求めたように、２１個

です。
あとは、２辺を共有する三角形の数を求めて引けばＯＫですね！

２辺を共有する三角形は、七角形の頂点をはさむ２辺を使った三角形になるので、頂点の個数と同じく７個あります。

ということで、

３５−２１−７＝７

正七角形と辺を共有しない三角形は７個となります。


(1)に戻る→１辺だけを共有する三角形


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高校数学「場合の数・確率」正七角形の頂点を結んでできる三角形の個数�@

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■　問題

正七角形の３個の頂点を結んで三角形をつくるとき、次の個数を求めよ。

(1) 正七角形と１辺だけを共有する三角形


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■　解答解説

正七角形と１辺を共有するということは、その「共有する辺」の選び方は７通りありますね。

そして、１辺だけと共有するので、残り１個の頂点の選び方はそれぞれ３通りずつです。

仮に「共有する辺」の隣の頂点を選んでしまうと、２辺を共有する三角形になってしまうので、不適です。
共有する辺の２つの頂点と、その両隣の頂点の合わせて４つが使えないので、残り１個の頂点の選び方は３通り。というわけです。

「共有する辺」は７通り、それぞれに３通りの頂点の選び方があるので、

７×３＝２１

というわけで、正七角形と１辺だけを共有する三角形は２１個あります。


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高校数学「場合の数・確率」ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄの４桁の整数

高校数学「場合の数・確率」ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄの４桁の整数

■　問題

４桁の自然数の千の位、百の位、十の位、一の位の数字を、それぞれａ，ｂ，ｃ，ｄとする。次の条件を満たす自然数は何個あるか求めよ。

(1) ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ

(2) ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄ


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓


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■　解答解説

(1)の場合とは、各位の数の大小関係が逆になっています。
「でも、４つの数を選んでそれぞれの位に当てはめるのは同じだから、(1)と同じく２１０通り！」
・・・ではありません。

今回は千の位が一番小さい数だから、４つの数にゼロを含んでしまうと必ず千の位がゼロになってしまい、４桁の数になりません。
そうならないためには、

「０を除く１〜９の数字から４つを選ぶ」

と考えます。
つまり、₉Ｃ₄です。

　₉Ｃ₄
＝(９・８・７・６)／(４・３・２・１)
＝３・７・６
＝１２６

よって、ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄとなるような４桁の整数は１２６個あります。


(1)に戻る→ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄのとき


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高校数学「場合の数・確率」ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄの４桁の整数

高校数学「場合の数・確率」ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄの４桁の整数

■　問題

４桁の自然数の千の位、百の位、十の位、一の位の数字を、それぞれａ，ｂ，ｃ，ｄとする。次の条件を満たす自然数は何個あるか求めよ。

(1) ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄ


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■　解答解説

４桁の整数をつくるには、当然４つの数字が必要です。

ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄの順になる場合を一つ一つ数えていけば、一応解決可能ですが、かなり大変ですね。

ではどうすれば良いかというと・・・

４つの数字をランダムに選んで、ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄの順に並べる。と考えると良いです。

０〜９までの１０個の数字のうち４つを選び出す。ということで、

　₁₀Ｃ₄
＝(１０・９・８・７)／(４・３・２・１)
＝１０・３・７
＝２１０

つまり、ａ＞ｂ＞ｃ＞ｄとなるような４桁の整数は２１０個あります。


次の問題→ａ＜ｂ＜ｃ＜ｄのとき


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高校数学「三角関数」三角方程式ｃｏｓ(２θ＋π／３)＝√３／２

高校数学「三角関数」三角方程式ｃｏｓ(２θ＋π／３)＝√３／２

■問題

三角方程式ｃｏｓ(２θ＋π／３)＝√３／２を解け。ただし、０≦θ＜２πとする。


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■解答解説

以前の問題似ていますね。
でも、角度のθに係数２がついているところに注意が必要です。
こういった場合は、まず角度の部分の範囲を求めておくとよいです。

０≦θ＜２πだから、２倍すると０≦２θ＜４πです。
さらにπ／３を足すと、

π／３≦(２θ＋π／３)＜(１３／３)π

となります。

２θ＋π／３＝ｘとおくと、ｃｏｓｘ＝√３／２です。
コサインの値が√３／２になる場合はどんな場合か？を単位円を描いて考えると、３０°と３３０°の位置ですね。

まずこの場合のｘの値をラジアンで表すと、１周目はπ／６，(１１／６)πです。
π／６はｘの範囲内に入っていないので除外します。

２周目は(１３／６)π，(２３／６)πです。
これらはどちらも範囲内の値です。

３周目は(２５／６)π，(３５／６)πです。
(３５／６)πは範囲外になってしまいました。

ということで、ｘ＝(１１／６)π，(１３／６)π，(２３／６)π，(２５／６)πです。

さらに、ｘをもとに戻せば、

２θ＋π／３＝(１１／６)π，(１３／６)π，(２３／６)π，(２５／６)πです。

あとはθ＝●●の形になるように計算していきます。

２θ＝(９／６)π，(１１／６)π，(２１／６)π，(２３／６)π
　θ＝(９／１２)π，(１１／１２)π，(２１／１２)π，(２３／１２)π
　θ＝(３／４)π，(１１／１２)π，(７／４)π，(２３／１２)π


◆関連項目
三角関数まとめ


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高校数学「積分」接線の傾きが６ｘ2＋２ｘ＋３の関数

高校数学「積分」接線の傾きが６ｘ²＋２ｘ＋３の関数

■　問題

曲線ｙ＝ｆ(ｘ)は、点(−２，３)通る。また、この曲線の接線の傾きは６ｘ²＋２ｘ＋３で表される。このようなｆ(ｘ)を求めよ。


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

接線の傾きは６ｘ²＋２ｘ＋３ということは、ｆ'(ｘ)＝６ｘ²＋２ｘ＋３ですね。
微分したものがコレだから、積分すればｆ(ｘ)の式になる。と考えられます。

ｆ(ｘ)＝∫(６ｘ²＋２ｘ＋３)ｄｘ
　　＝２ｘ³＋ｘ²＋３ｘ＋Ｃ

ｙ＝ｆ(ｘ)は(−２，３)通るので、代入します。

　２(−２)³＋(−２)²＋３・(−２)＋Ｃ
＝−１６＋４−６＋Ｃ
＝−１８＋Ｃ＝３
　　　　　Ｃ＝２１

というわけで、

ｆ(ｘ)＝２ｘ³＋ｘ²＋３ｘ＋２１


◆関連問題
接線の傾きが３ｘ²−４ｘの関数の式
微分積分まとめ


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高校数学「三角関数」ｙ＝ｓｉｎｘ−ｃｏｓｘの最大最小

高校数学「三角関数」ｙ＝ｓｉｎｘ−ｃｏｓｘの最大最小

■問題

ｙ＝ｓｉｎｘ−ｃｏｓｘの最大値・最小値を求めよ。ただし、０≦ｘ＜２πとする。


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■解答解説

今回の式のように、サインもコサインも１次式の場合は三角関数の合成をやります。

ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθの形とみなせば、ａ＝１，ｂ＝−１だから、

ｒ＝√{１²＋(−１)²}＝√２

そして、横がａ，縦がｂ，斜辺がｒの直角三角形を考えると、この場合は１：１：√２の直角三角形です。
右に１，下に１だからα＝−４５°となります。つまり、α＝−π／４

というわけで、与式は

ｙ＝√２・ｓｉｎ(ｘ−π／４)

と書き換えることができます。
あとはこれの最大値・最小値を考えます。

サインの値自体の最大は９０°＝π／２のとき１，最小は２７０°＝(３／２)πのとき−１ですね。
今回の問題の式では、角度の部分がｘ−π／４

ということは今回の問題では、最大になるのは、ｘ−π／４＝π／２すなわちｘ＝(３／４)πです。
このときサインの値は１ですが、√２がかけてあるので、

ｘ＝(３／４)πのとき最大値√２

です。
同様に最小値も考えてみると、

ｘ−π／４＝(３／２)πすなわちｘ＝(７／４)πのときに最小になるはずですね。つまり、

ｘ＝(７／４)πのとき最小値−√２


◆関連項目
ｙ＝ｓｉｎｘ−３ｃｏｓｘの最大最小
三角関数の合成
三角関数まとめ


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高校数学「三角関数」三角関数の合成�A

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■問題

次の式を、ｒｓｉｎ(θ＋α)の形に表せ。ただし、ｒ＞０，−π＜α＜πとする。

(2) −ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ


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■解答解説

三角関数の合成をやります。

ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθの形とみなせば、ａ＝−１，ｂ＝１だから、

ｒ＝√(１＋１)＝√２

そして、横がａ，縦がｂ，斜辺がｒの直角三角形を考えると、この場合は１：１：√２の直角三角形です。
左に−１，上に１だからα＝１３５°となります。
つまり、α＝(３／４)π

というわけで、求める式は、

−ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝√２ｓｉｎ{θ＋(３／４)π}


◆関連項目
ｃｏｓ(ｘ＋π／６)＝１／２
三角関数の合成
三角関数まとめ


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高校数学「三角関数」三角関数の合成�@

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■問題

次の式を、ｒｓｉｎ(θ＋α)の形に表せ。ただし、ｒ＞０，−π＜α＜πとする。

(1) ｓｉｎθ＋√３・ｃｏｓθ


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■解答解説

三角関数の合成をやります。

ａｓｉｎθ＋ｂｃｏｓθの形とみなせば、ａ＝１，ｂ＝√３だから、

ｒ＝√(１²＋√３²)＝√(１＋３)＝√４＝２

そして、横がａ，縦がｂ，斜辺がｒの直角三角形を考えると、この場合は１：２：√３の直角三角形だから、α＝６０°です。
つまり、α＝π／３

というわけで、求める式は、

ｓｉｎθ＋√３・ｃｏｓθ＝２ｓｉｎ(θ＋π／３)


◆関連項目
ｃｏｓ(ｘ＋π／６)＝１／２
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