2025年05月16日

高校数学「空間のベクトル」対称な点

高校数学「空間のベクトル」対称な点

◆問題

座標空間上の点A(2,7,−1)に関して、次の座標を求めよ。

(1)〜(3)平面との交点はこちら
(4)〜(6)軸との交点はこちら

(7) xy平面に関して対称な点
(8) x軸に関して対称な点
(9) 原点に関して対称な点


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

座標空間上の点A(2,7,−1)に関して、次の座標を求めよ。

軸などに関して対称な点は、どれかの座標の符号が変わると考えれば良いです。

(7) xy平面に関して対称な点
xy平面に関して対称な点は、xy平面のちょうど反対側に移動するので、z座標のみが変わります。
つまり、求める座標は(2,7,1)

(8) x軸に対して対称な点
x軸に関して対称な点は、x軸のちょうど反対側に移動するので、y座標、z座標が変わります。
つまり、求める座標は(2,−7,1)

(9) 原点に対して対称な点
原点のちょうど反対側に移動すると、x座標、y座標、z座標全てが変わります。
つまり、求める座標は(−2,−7,1)


この問題の最初に戻る→(1)〜(3)平面との交点


◆関連項目
ベクトルまとめ


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2025年05月15日

高校数学「空間のベクトル」点Aから引いた垂線A

高校数学「空間のベクトル」点Aから引いた垂線A

◆問題

座標空間上の点A(2,7,−1)に関して、次の座標を求めよ。

(1)〜(3)平面との交点はこちら

(4) x軸に引いた垂線とx軸との交点
(5) y軸に引いた垂線とy軸との交点
(6) z軸に引いた垂線とz軸との交点


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◆解答解説

座標空間上の点A(2,7,−1)に関して、次の座標を求めよ。

垂線を引くと、その点から「まっすぐ下」とか「まっすぐ横」とかになるので、一部の座標はそのまま、一部の座標はゼロになります。
空間では、「直線に対して垂直」は、その直線の周囲360°どの方向からも成り立つことに注意してください。

(4) x軸に引いた垂線とx軸との交点
x軸上は、x座標がいろいろな値をとり、y,zはゼロになります。
だから、求める座標は(2,0,0)

(5) y軸に引いた垂線とy軸との交点
y軸上は、y座標がいろいろな値をとり、x,zはゼロになります。
だから、求める座標は(0,7,0)

(6) z軸に引いた垂線とz軸との交点
z軸上は、z座標がいろいろな値をとり、x,yはゼロになります。
だから、求める座標は(0,0,−1)


次の問題→対称な点


◆関連項目
ベクトルまとめ


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高校数学「空間のベクトル」点Aから引いた垂線@

高校数学「空間のベクトル」点Aから引いた垂線@

◆問題

座標空間上の点A(2,7,−1)に関して、次の座標を求めよ。

(1) xy平面に引いた垂線とxy平面との交点
(2) yz平面に引いた垂線とyz平面との交点
(3) zx平面に引いた垂線とzx平面との交点


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◆解答解説

座標空間上の点A(2,7,−1)に関して、次の座標を求めよ。

垂線を引くと、その点から「まっすぐ下」とか「まっすぐ横」とかになるので、一部の座標はそのまま、一部の座標はゼロになります。

(1) xy平面に引いた垂線とxy平面との交点
xy平面上は、x,yがいろいろな値をとり、z=0です。
点Aはxy平面の「下側」にあるので、点Aの真上の点が求める点です。
つまり、(2,7,0)

(2) yz平面に引いた垂線とyz平面との交点
yz平面上は、y,zがいろいろな値をとり、x=0です。
点Aはyz平面の「右側」にあるので、点Aの真横の点が求める点です。
つまり、(0,7,−1)

(3) zx平面に引いた垂線とzx平面との交点
zx平面上は、z,xがいろいろな値をとり、y=0です。
だから、求める点の座標は(2,0,−1)です。


次の問題→x軸、y軸、z軸との交点


◆関連項目
ベクトルまとめ


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2025年05月11日

高校数学「微分」x=sin2θ,y=cosθの導関数

高校数学「微分」x=sin2θ,y=cosθの導関数

■ 問題

xの関数yが次のように媒介変数で与えられているとき、導関数dy/dxをそれぞれの媒介変数を用いて表せ。
x=sin2θ,y=cosθ




xの関数yが、tを媒介変数としてx=f(t),y=g(t)と表されるとき、導関数dy/dxは

dydxdydt
dxdt
g'(t)f'(t)
で求めることができる。

という方針です。




■ 解答解説

まずはxの式とyの式それぞれを微分します。

dx/dt=2(sinθ)'・sinθ=2sinθcosθ
dy/dt=−sinθ

ですね。
だから、

dydxdydt
dxdt
−sinθ2sinθcosθ

約分して、

=−2cosθ

これで完成です!






■ 関連項目
数学3微分積分まとめ

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高校数学「微分」x=t3+2t,y=t3−tの導関数

高校数学「微分」x=t3+2t,y=t3−tの導関数

■ 問題

xの関数yが次のように媒介変数で与えられているとき、dy/dxをそれぞれの媒介変数を用いて表せ。
x=t3+2t,y=t3−t




xの関数yが、tを媒介変数としてx=f(t),y=g(t)と表されるとき、導関数dy/dxは

dydxdydt
dxdt
g'(t)f'(t)
で求めることができる。

という方針です。




■ 解答解説

まずはxの式とyの式それぞれを微分します。

dx/dt=3t2+2
dy/dt=3t2−1

ですね。
だから、

dydxdydt
dxdt
3t2−13t2+2

これで完成です!






■ 関連項目
数学3微分積分まとめ

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2025年05月09日

高校数学「微分」f(x)=x1/xの微分

高校数学「微分」f(x)=x1/xの微分

■ 問題

次の関数を微分せよ。
f(x)=x1/x




対数微分法を使う問題です。
この問題では数学2の対数の計算法則、数学3の対数関数の微分積の微分法を使います。
「そんなの知らないよ!」という人は、まずは公式等を確認してみましょう!




■ 解答解説

まずは両辺の自然対数をとります。

logf(x)=logx1/x
     =(1/x)・logx
     =x-1・logx

両辺をxで微分します。
左辺は対数の微分、右辺は積の微分ですね。

f'(x)/f(x)=(x-1)'・logx+x-1・(logx)'
      =−(1/x2)・logx+(1/x)(1/x)
      =−(1/x2)・logx+1/x2
      =(1−logx)/x2

両辺にf(x)をかけて、

f'(x)=f(x)(1−logx)/x2
  ={(1−logx)/x2}・x1/x

ここで終わりでも大きな問題はありませんが、さらに次のように変形することもできます。

  =(1−logx)・x1/x-2





■ 関連項目
積の微分法対数関数の微分数学3微分積分まとめ
対数の計算法則指数・対数まとめ

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高校数学「微分」y=log\( \sqrt{1+x^2} \)の微分

高校数学「微分」y=log\( \sqrt{1+x^2} \)の微分

■ 問題

次の関数を微分せよ。
y=log\( \sqrt{1+x^2} \)




対数の微分のちょっとだけ応用問題ですね。
この問題では数学2の対数の計算法則、数学3の対数関数の微分を使います。
「そんなの知らないよ!」という人は、まずは公式等を確認してみましょう!




■ 解答解説

まずは対数の計算法則logxa=alogxを使って変形します。

y=(1/2)log(1+x2)

続いて、対数の微分の公式を使います。{log|f(x)|}'=f'(x)/f(x)ですね!

y'=(1/2)・(1+x2)'1+x2
 =(1/2)・2x1+x2
 =1+x2

これで完成です!





■ 関連項目
対数関数の微分数学3微分積分まとめ
対数の計算法則指数・対数まとめ

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2025年05月05日

高校数学「平面上の曲線」θ=π/4の表す線など

高校数学「平面上の曲線」θ=π/4の表す線など

◆問題

次の極方程式で表されるのは、どのような直線または曲線であるか答えよ。

(1) θ=π/4

(2) r=1


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓



こちらに共通テストの解説を順次掲載していきます。
このブログとあわせてご利用ください。




◆解答・解説

極座標(r,θ)は、始線となるOXからθだけ回転して、Oからrの距離の点を表します。

(1) θ=π/4

rは特に決まっていない。つまり、何でもよい。θはπ/4と角度だけ決まっている。

ということは、始線OXからπ/4だけ回転した直線上の点の集合を表している。と考えられます。

つまり、「極Oを通り、始線OXとのなす角がπ/4の直線」を表します。


(2) r=1

今度は半径だけが決まっていて、角度が決まっていません。つまり、角度はあらゆる値をとることができる。というわけです。

一般に、中心が極Oで、半径がaの円の極方程式は「r=a」で表されます。

この場合はr=1なので、「中心が極Oで、半径が1の円」を表します。


◆関連項目
平面上の曲線まとめ


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2025年05月04日

高校数学「平面上の曲線」直交座標が(1,−√3)である点Pの極座標

高校数学「平面上の曲線」直交座標が(1,−\( \sqrt{3} \)である点Pの極座標

◆問題

直交座標が(1,−\( \sqrt{3} \)である点Pの極座標(r,θ)を求めよ。


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◆解答・解説

極座標(r,θ)は、始線となるOXからθだけ回転して、Oからrの距離の点を表します。
だから、直交座標(x,y)と以下の関係が成り立ちます。

x=rcosθ,y=rsinθ,r=\( \sqrt{x^2 + y^2} \)


今回は直交座標が(1,−√3)だから、x=1,y=−√3を代入して計算していきます。
まずはrを求めます。

r=\( \sqrt{1^2 +( − \sqrt{3} )^2} \)
 =\( \sqrt{1+3} \)
 =√4
 =2

x=rcosθに、x=1,r=2を代入すると、
1=2cosθより、cosθ=1/2

y=rcosθに、y=−√3,r=2を代入すると、
−√3=2sinθつまり、sinθ=−√3/2

このようなコサインとサインの値の組合せになるのは、θ=πですね!

よって、求める点Pの極座標は、(2,π)


◆関連項目
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高校数学「平面上の曲線」極座標が(2,π/6)である点Pの直交座標

高校数学「平面上の曲線」極座標が(2,π/6)である点Pの直交座標

◆問題

極座標が(2,π/6)である点Pの直交座標を求めよ。


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◆解答・解説

極座標(r,θ)は、始線となるOXからθだけ回転して、Oからrの距離の点を表します。
だから、直交座標(x,y)と以下の関係が成り立ちます。

x=rcosθ,y=rsinθ,r=\( \sqrt{x^2 + y^2} \)


今回は極座標が(2,π/6)だから、r=2,θ=π/6を代入すると、

x=2cos(π/6)
 =2×√3/2
 =√3

y=2sin(π/6)
 =2×1/2
 =1

よって、求める点Pの直交座標は(√3,1)


◆関連項目
平面上の曲線まとめ


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2025年05月03日

高校数学「複素数平面」複素数w=i(z+1)で表される点w

高校数学「複素数平面」複素数w=i(z+1)で表される点w

■問題

点zが原点を中心とする半径1の円周上を動くとき、複素数w=i(z+1)で表される点wは、どのような図形を描くか求めよ。




この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ




■解説

この問題でzは「原点を中心とする半径1の円」を表しています。
これを式で表すと、

|z|=1

ですね。

与式はw=i(z+1)だから、これをzについて解けば、|z|=1で式を作ることができる。という方針です。

 w=iz+i
iz=w−i
 z=(w−i)/i

|z|=1だから、|(w−i)/i|=1です。つまり、|w−i|/|i|=1です。
|i|=1だから結局、|w−i|=1です。

この形の式は円ですね!

「wは、中心が点iで半径1の円」である。ことがわかります。


関連問題→等式|z−(2+i)|=1を満たす点zの表す図形






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2025年05月02日

高校数学「確率統計」正規分布

高校数学「確率統計」正規分布

正規分布について、次のことが知られています。

正規分布の平均と標準偏差確率変数Xが正規分布N(m,σ2に従うとき
E(X)=m,σ(X)=σ


また、確率変数Xが正規分布N(m,σ2)に従うとき、

  Z=X−mσ

とすると、Zは平均0,標準偏差1の正規分布N(0,1)に従い、このZを「標準化した確率変数」といいます。

そして、Zは正規分布表によって確率を求めることができる。というわけです。


◆関連事項
正規分布表
確率統計まとめ




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2025年05月01日

高校数学「微分」「対数微分法」分数式の3乗根の微分

高校数学「微分」「対数微分法」分数式の3乗根の微分

次の関数を微分せよ。
y={x(x−3)2x+2}1/3

つまり、「x(x−3)2x+2の3乗根」です。
このように、式が複雑なときは「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。

対数微分法とは、まず両辺の自然対数をとり、その対数を微分するという方法です。

今回の問題では、まず、

log|y|=(1/3)log|x(x−3)2x+2|

とします。
全体の1/3乗は係数に移動しています。
さらに、分数全体についている絶対値は、分子と分母それぞれに分けても同じなので、分解していきます。

log|y|=(1/3)log|x||x−3|2|x+2|
    =(1/3)(log|x|+2log|x−3|−log|x+2|)

これで、右辺が全て対数の1次式になったので、微分できそうですね。

y'/y=(1/3){1/x+2/(x−3)−1/(x+2)}
   =(1/3){(x−3)(x+2)+2x(x+2)−x(x−3)}/{x(x−3)(x−2)}
   =(1/3)(x2−x−6+2x2+4x−x2+3x)/{x(x−3)(x+2)}
   =(2x2+6x−6)/{3x(x−3)(x+2)}

求めるのはy'だから、左辺がy'だけになるように、両辺にyをかけます。

y'=y(2x2+6x−6)/{3x(x−3)(x+2)}

y={x(x−3)2x+2}1/3だから、

y'={x(x−3)2x+2}1/32x2+6x−63x(x−3)(x+2)

あとは、(x−3)の3乗根で少し約分できたりもしますが、とりあえずここまでできるようになっていれば、それほど問題ないと思います。


数学3微分積分まとめ


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2025年04月30日

高校数学「極限」「三角関数」(π−2x)/cosxの極限

高校数学「極限」「三角関数」(π−2x)/cosxの極限

■ 問題

次の極限を調べよ。

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - 2\pi}{\cos x} \]


こういったちょっと複雑な式でも、サインの極限を求めるときは、lim[x→0](sinx/x)=1を使えるようにします。

公式はコレです→サインの極限.png

解答解説はこのページ下です。



良かったらこの書籍もご利用ください。
10秒でわかる高校数学3「微分」基本問題の考え方





■ 解答解説

sinx/xの形を使うには、x→0でなければいけません。
今回はx→π/2なので、まずはこの点を変更します。

π−2x=θとおくと、x=π/2のときθ=0ですね。
だからこれに従って、xをθに置き換えます。

π−2x=θ
−2x=θ−π
  x=π/2−θ/2

というわけで、

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - 2\pi}{\cos x} \]
は、
\[
\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\right)}
\]
に変換することができます。

cos(π/2−θ/2)=sin(θ/2)だから、

θ/{cos(π/2−θ/2)}=θ/{sin(θ/2)}=2・(θ/2)/{sin(θ/2)}

このようになります。

よって、求める極限値は2





◆関連項目
サインの極限
コサインの極限
極限・微分まとめ(数学3)


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高校数学「複素数平面」等式|z−(2+i)|=1を満たす点zの表す図形

高校数学「複素数平面」等式|z−(2+i)|=1を満たす点zの表す図形

■問題

等式|z−(2+i)|=1を満たす点zは、どのような図形を表すか?




この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ




■解説

|z−(2+i)|=1

この等式は、「点(2+i)からの距離が1である」ことを意味しています。

ある特定の点からの距離が一定の点の集合は・・・

円ですね!

つまり、この等式は「点(2+i)を中心とする半径1の円」を表しています。


なお、一般に、

複素数α,正の数rに対して

  |z−α|=r

を満たす点zの全体は、中心α,半径rの円を表す。


ということができます。






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2025年04月29日

高校数学「極限」「三角関数」(sinx)/(x+tanx)の極限

高校数学「極限」「三角関数」(sinx)/(x+tanx)の極限

■ 問題

lim[x→0]{(sinx)/(x+tanx)}の極限を調べよ。


こういったちょっと複雑な式でも、サインの極限を求めるときは、lim[x→0](sinx/x)=1を使えるようにします。

公式はコレです→サインの極限.png

解答解説はこのページ下です。



良かったらこの書籍もご利用ください。
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■ 解答解説

lim[x→0](sinx/x)=1が使えるようにするためには、sin3x/xの極限と同様のことをするのが基本的な方針です。

今回の問題では、その問題よりも、もう少し式が複雑なので、まずはtanx=sinx/cosxを使って変形していきます。

 sinx/(x+tanx)
=sinx/(x+sinx/cosx)
=sinx/(x+sinx・1/cosx)

sinx/xの形をつくるために、分子と分母をxで割ります。

=(sinx/x)/{1+(sinx/x)・(1/cosx)}

これでサインのところは全てsinx/xの形になりました。
あとは公式と、cos0=1を使って、

 lim[x→0][(sinx/x)/{1+(sinx/x)・(1/cosx)}]
=1/(1+1・1/1)
=1/2

よって、求める極限値は1/2です!





◆関連項目
サインの極限
コサインの極限
極限・微分まとめ(数学3)


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高校数学「複素数平面」等式|z−2|=|z−i|を満たす点zの表す図形

高校数学「複素数平面」等式|z−2|=|z−i|を満たす点zの表す図形

■問題

等式|z−2|=|z−i|を満たす点zは、どのような図形を表すか?




この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ




■解説

|z−2|=|z−i|

A(2),B(i)とすると、
この式のzは、2点A,Bからの距離が等しい点を表しています。

A,Bからの距離が等しい点の集合は何か?といえば、

線分ABの垂直二等分線ですね!






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2025年04月28日

高校数学「複素数平面」3点A,B,Cの位置関係A

高校数学「複素数平面」3点A,B,Cの位置関係A

■問題

α=1+i,β=3+2i,δ=2−iの表す点をそれぞれA,B,Dとするとき、直線ABとADはどのような位置関係にあるか求めよ。




この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ




■解説

3点の位置関係を調べるならば、それらを結ぶ直線によってできる角を調べるのが有力な方法です。
つまり、
δ−αβ−α
を調べればよい。というわけです。
やってみましょう!

 δ−αβ−α
2−i−(1+i)3+2i−(1+i)
1−2i2+i
−i(2+i)2+i
=−i

計算した結果、この複素数は純虚数になってしまいました。
ということは、ABとADのなす角は90°であり、「ABとADは垂直である」ということができます。


前の問題→実数の場合






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高校数学「複素数平面」3点A,B,Cの位置関係@

高校数学「複素数平面」3点A,B,Cの位置関係@

■問題

α=1+i,β=3+2i,γ=5+3iの表す点をそれぞれA,B,Cとするとき、3点A,B,Cはどのような位置関係にあるか求めよ。




この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ




■解説

3点の位置関係を調べるならば、それらを結ぶ直線によってできる角を調べるのが有力な方法です。
つまり、
γ−αβ−α
を調べればよい。というわけです。
やってみましょう!

 γ−αβ−α
5+3i−(1+i)3+2i−(1+i)
4+2i2+i
2(2+i)2+i
=2

計算した結果、この複素数は実数になってしまいました。
ということは、ABとACのなす角は0°であり、「3点A,B,Cは一直線上にある」ということができます。


次の問題→純虚数の場合






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2025年04月27日

高校数学「因数定理」x3+2x2−2x+3はx+3を因数にもつか?

高校数学「因数定理」x3+2x2−2x+3はx+3を因数にもつか?

◆問題

P(x)=x3+2x2−2x+3が、x+3を因数にもつかどうか調べよ。因数にもつ場合は因数分解せよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

1次式を因数にもつかどうかは、因数定理で簡単に調べることができますね。

P(a)=0のとき、x−aを因数にもつ


今回はx+3を因数にもつかどうかを調べたいので、P(−3)を計算します。

P(−3)=(−3)3+2(−3)2−2×(−3)+3
   =−27+18+6+3
   =0

ゼロになったので、x+3は因数です。

そしてその場合は「因数分解せよ。」と言っているので、因数分解します。3次式の因数分解をするときは、まずはその因数でP(x)を割ります。

もちろん普通に割り算で良いですが、ここでは組み立て除法で記載してみます。

まずはx+3で割るので、左に−3,あとは係数を並べて書きます。

−3|1 2 −2 3


続いて、一番上のくらいの係数をそのまま下ろして、「隣の位に掛けて足す」ことを次々とやっていきます。


−3|1 2 −2 3
    −3  3−3
―――――――――――
   1−1  1 0

というわけで、割った結果は、x2−x+1、余りゼロです。
だから因数分解した結果は、

P(x)=(x+3)(x2−x+1)

カッコの中は2次式ですが、「複素数の範囲で因数分解せよ」などと言われていなければ、コレで終わりです。






◆関連項目
3次方程式x3+ax2−x−6=0の解の1つが2のとき
因数定理・高次方程式まとめ


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こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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