2020年05月14日

高校数学「指数」「累乗根」「大小の比較」

高校数学「指数」「累乗根」「大小の比較」

■ 問題

9の3乗根、81の5乗根、243の7乗根を小さい順に並べ替えよ。


解答解説はこのページ下に


みんなが使っているチャート式


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■ 解答解説

累乗根で表された数の大小は、そのままでは比較しにくいです。
比較しやすくするためには、分数の指数で表すのが代表的な方法の一つです。

9の3乗根=9^(1/3)
     =(3^2)^(1/3)
     =3^(2/3)

81の5乗根=81^(1/5)
      =(3^4)^(1/5)
      =3^(4/5)

243の7乗根=243^(1/7)
       =(3^5)^(1/7)
       =3^(5/7)

これで比較したい3つの数を全て3の累乗の形で表すことができました。
指数が大きい方が大きいので、あとは指数同士を比較すればOkです。

指数を取り出すと、2/3,4/5,5/7

通分すると、70/105,84/105,75/105

大小を比較すると、70/105<75/105<84/105

ですね。

ということは、「9の3乗根<243の7乗根<81の5乗根」となります。


動画での解説はこちら



関連問題
7の6乗根


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2020年05月13日

高校数学「ベクトル」「垂直条件」「2(→a)+3(→b)と→a−5(→b)」

高校数学「ベクトル」「垂直条件」「2(→a)+3(→b)と→a−5(→b)」

■ 問題

|→a|=4,|→b|=2のとき、2(→a)+3(→b)と→a−5(→b)が垂直であるとする。このとき→aと→bのなす角θを求めよ。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

「垂直」と言っているので、ベクトルの垂直条件を考えます。
ベクトルの垂直条件は、「内積がゼロ」です。

→a・→b=|→a||→b|cosθ

なので、θ=90のときcosθ=0だから、内積もゼロになる。というわけです。

今回の問題では、2(→a)+3(→b)と→a−5(→b)が垂直なので、これらのベクトルの内積を表してみます。

 {2(→a)+3(→b)}・{→a−5(→b)}
=2|→a|^2−10(→a・→b)+3(→a・→b)−15|→b|^2
=2・4^2−7(→a・→b)−15・2^2
=32−7(→a・→b)−60
=−7(→a・→b)−28

垂直条件より、この式の値がゼロなので、

−7(→a・→b)−28=0
    7(→a・→b)=−28
     →a・→b=−4

内積の公式より、→a・→b=|→a||→b|cosθだから、これに→a・→b=−4,|→a|=4,|→b|=2を代入すると、

 −4=4・2・cosθ
cosθ=−1/2
よって、θ=120°=(2/3)π


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2020年05月12日

高校数学「指数の計算」「累乗根」「7の6乗根」

高校数学「指数の計算」「累乗根」「7の6乗根」

■ 問題

7の6乗根を指数を使って表しなさい。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

「7の6乗根」とは「6乗したら7になる数」のことです。

だから、「7の6乗根」を6乗すれば7になります。

もう一度言います(笑)

「7の6乗根を6乗すれば7になる」

のです。だから、

(7の6乗根)^6=7

という関係式が成り立ちます。

これを満たすように指数の式を作ってみると、

7=7^1
 =7^{(1/6)×6}
 =(7^(1/6)}^6

ですね。

「7^(1/6)を6乗したら7」なので、7^(1/6)と7の6乗根は等しい!

ということができます。


ちなみに、√7は「2乗したら7になる数」なので、√7=7^(1/2)であることも理解しておきましょう!


関連問題
大小の比較
(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)
{7^(1/2)}÷{7^(-1/6)}×{7^(2/3)}


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posted by えま at 19:21| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「指数の計算」「累乗根」「(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)」

高校数学「指数の計算」「累乗根」「(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)」

■ 問題

次の計算をせよ。

(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

根号を使って累乗根で表された数の計算は、分数の指数に書き直して計算すると、やりやすい場合が多いです。

与式の

(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)

を分数の指数を用いて表すと、

{7^(1/2)}÷{7^(1/3)}×{7^(1/6)}

となります。

こうなればあとは、指数の計算のときと同じですね。

(a^b)×(a^c)=a^(b+c)

を用いて計算していくだけです。

={7^(1/2)}×{7^(1/3)}×{7^(1/6)}
=7^(1/2+1/3+1/6)
=7^(6/6)
=7

よって、

(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)=7

です。


動画はこちら



関連問題
{7^(1/2)}÷{7^(-1/6)}×{7^(2/3)}


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2020年05月09日

高校数学「指数関数」「y=2^xのグラフ」

高校数学「指数関数」「y=2^xのグラフ」

■ 問題

指数関数y=2^xのグラフを描け。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

指数関数のグラフは、曲線になるので、手書きで描くときは、とにかくいくつかの点を取ってなめらかな曲線で結びます。

例えばx=1なら、y=2^1=2
x=2なら、y=2^2=4
x=3なら、y=2^3=8

ですね。
左にいけば、x=0ならy=2^0=1
x=−1ならy=2^(-1)=1/2
x=−2ならy=2^(-2)=1/4

などなど。
このようにして求めた点を座標平面上に示し、なめらかな曲線で結べば完成!というわけです。


動画による解説はこちら



関連問題
y=2^xについて、x=5/2のとき


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2020年05月07日

高校数学「指数の計算」「y=2^x」「x=5/2のとき」

高校数学「指数の計算」「y=2^x」「x=5/2のとき」

■ 問題

指数関数y=2^xにおいて、x=5/2のときのyの値を求めよ。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

x=5/2と言っているのだから、代入して計算すればyの値を求めることができます。

y=2^(5/2)

「2分の5乗」は「5乗してルート」と同じです。
つまり、

y=(√2)^5

あとは普通に中学でも習った√の計算法則に従って計算すると、

y=2×2×√2=4√2

よって、求めるy座標はy=4√2


関連問題
16^(3/4)
81^(-5/4)


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2020年05月06日

高校数学「指数の計算」「{7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}」

高校数学「指数の計算」「{7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}」

■ 問題

次の計算をせよ。

{7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

指数が分数になろうが、小数になろうが、マイナスになろうが、基本的な計算法則は変わりません。

(a^b)×(a^c)=a^(b+c)

ですね。

さらに、割り算は逆数のかけ算に直すことができます。
逆数は指数の符号を変えればよいですね。

 {7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}
={7^(1/2)}×{7^(-1/6)}×{7^(2/3)}
=7^(1/2-1/6+2/3)
=7^(6/6)
=7

よって、

{7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}=7

です。


動画での解説はこちら



関連問題
(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)
81^(-5/4)


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2020年05月05日

高校数学「指数の計算」「{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}」

高校数学「指数の計算」「{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}」

■ 問題

次の計算をせよ。

{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

指数が分数になろうが、小数になろうが、マイナスになろうが、基本的な計算法則は変わりません。

(a^b)×(a^c)=a^(b+c)

ですね。
この通りにやってみましょう!

{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}=3^(-2/3+5/3)
         =3^(3/3)
         =3^1
         =3

ということで、

{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}=3

です。


関連問題
16^(3/4)
81^(-5/4)


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高校数学「指数の計算」「81^(-5/4)」

高校数学「指数の計算」「81^(-5/4)」

■ 問題

次の値を求めよ。

81^(-5/4)


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

16^(3/4)でも述べたように、分数の指数の計算をするときは、底をなるべく小さい数にすると良いです。

今回は81^(-5/4)なので、81をまずはできるだけ小さい数の累乗で表します。

81=3^4ですね。これを代入すると、

81^(-5/4)=(3^4)^(-5/4)
     =3^{4×(-5/4)}
     =3^(-5)

マイナスの指数は逆数を表すので、

3^(-5)=(1/3)^5
   =1/243

ということで、81^(-5/4)=1/243です。






関連問題
「16^(3/4)」
「{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}」


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高校数学「指数の計算」「16^(3/4)」

高校数学「指数の計算」「16^(3/4)」

■ 問題

次の値を求めよ。

16^(3/4)


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

分数の指数は累乗根を表します。

16^(3/4)は、「16の4分の3乗」です。

言い換えれば、「16の3乗の4乗根」です。


累乗根の計算をする場合は、16のところをなるべく小さい数にすると上手くいく場合が多いです。

16=2^4ですね。これを代入して書き換えると、

16^(3/4)=(2^4)^(3/4)

となります。
あとは、普通に指数の計算法則に従って計算すると、

(2^4)^(3/4)=2^(4×3/4)
     =2^3
     =8

ということで、16^(3/4)=8です。


動画も作ってみました。



関連問題
「81^(-5/4)」
「{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}」


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2020年04月30日

高校数学「積分」「2つの放物線の間の面積」

高校数学「積分」「2つの放物線の間の面積」

■ 問題

2つの放物線y=x^2−2x,y=−x^2+4で囲まれた図形の面積Sを求めよ。


解答解説はこのページ下


直線と放物線の場合と基本的に同じです。


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

曲線が境界線となっている図形の面積を求めるときは、積分を使うと計算しやすい場合が多いです。

基本的に、「上引く下で定積分」です。

今回の問題では、2つの放物線に囲まれた図形の面積なので、積分の区間は2つの交点の間となります。

ということで、まずは交点を出してみましょう!
交点は、2つの関数の式の連立方程式ですね。

y=x^2−2x,y=−x^2+4

両方ともy=●●の形なので、右辺同士をイコールで結ぶことができますね。

     x^2−2x=−x^2+4
x^2−2x+x^2−4=0
  2x^2−2x−4=0
    x^2−x−2=0
   (x+1)(x−2)=0
よって、x=−1,2

つまり、−1から2の区間で積分します。
この範囲では、上に凸のy=−x^2+4が上側、下に凸のy=x^2−2xが下側になるので、「上引く下で定積分」をすると、

 ∫[-1〜2]{(−x^2+4)−(x^2−2x)}dx
=∫[-1〜2](−2x^2+2x+4)dx
=[(−2/3)x^3+x^2+4x][-1〜2]
=(−2/3)・2^3+2^2+4・2−{(−2/3)・(−1)^3+(−1)^2+4・(−1)}
=−16/3+4+8−(2/3+1−4)
=−16/3+12−2/3+3
=−18/3+15
=−6+15
=9


関連項目
定積分と面積
直線と放物線の間の面積


こちらの書籍も参考にしてみてください。


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2020年04月21日

高校数学「複素数平面」「極形式」「商の極形式」

高校数学「複素数平面」「極形式」「商の極形式」

■問題
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)とするとき、z1/z2を計算せよ。


「積の極形式」の場合と同様に、「商の極形式」として、意味不明のまま公式として暗記してしまう人も多いと思いますが、ちゃんと計算して導けるようにしておいた方が良いです。


数学3の勉強でも、みんなが使っているチャート式


個人的には、このシリーズもおすすめです。



■解説

「導く」と言っても、これはただ単に計算するだけです。やってみましょう!

z1/z2={r1(cosθ1+isinθ1)}/{r2(cosθ2+isinθ2)}
   =(r1/r2){(cosθ1+isinθ1)/(cosθ2+isinθ2)}

ここで、いわゆる「有理化」をするため、(cosθ2−isinθ2)/(cosθ2−isinθ2)を掛けると、

   =(r1/r2){(cosθ1+isinθ1)/(cosθ2+isinθ2)}{(cosθ2−isinθ2)/(cosθ2−isinθ2)}
   =(r1/r2)(cosθ1・cosθ2−cosθ1・isinθ2+isinθ1・cosθ2−isinθ1・isinθ2)/{(cosθ2)^2−i^2・(sinθ2)^2}
   =(r1/r2)(cosθ1・cosθ2−(i^2)sinθ1・sinθ2+isinθ1・cosθ2−icosθ1・sinθ2)/{(cosθ2)^2+(sinθ2)^2}
   =(r1/r2){cosθ1・cosθ2+sinθ1・sinθ2+i(sinθ1・cosθ2−cosθ1・sinθ2)}
   =(r1/r2){cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)}


ちなみに、三角関数の加法定理より、

cosθ1・cosθ2+sinθ1・sinθ2=cos(θ1−θ2)
sinθ1・cosθ2−cosθ1・sinθ2=sin(θ1−θ2)

ですね。


関連問題
「積の極形式」
「極形式」「z=√3+i」
サインの加法定理
コサインの加法定理


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2020年04月15日

高校数学「複素数平面」「極形式」「積の極形式」

高校数学「複素数平面」「極形式」「積の極形式」

■問題
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)とするとき、z1z2を計算せよ。


「積の極形式」として、意味不明のまま公式として暗記してしまう人も多いと思いますが、ちゃんと計算して導けるようにしておいた方が良いです。


数学3の勉強でも、みんなが使っているチャート式


個人的には、このシリーズもおすすめです。



■解説

「導く」と言っても、これはただ単に計算するだけです。やってみましょう!

z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)・r2(cosθ2+isinθ2)
   =r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
   =r1r2(cosθ1・cosθ2+cosθ1・isinθ2+isinθ1・cosθ2+isinθ1・isinθ2)
   =r1r2(cosθ1・cosθ2+(i^2)sinθ1・sinθ2+isinθ1・cosθ2+icosθ1・sinθ2)
   =r1r2{cosθ1・cosθ2−sinθ1・sinθ2+i(sinθ1・cosθ2+cosθ1・sinθ2)}
   =r1r2{cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)}


ちなみに、三角関数の加法定理より、

cosθ1・cosθ2−sinθ1・sinθ2=cos(θ1+θ2)
sinθ1・cosθ2+cosθ1・sinθ2=sin(θ1+θ2)

ですね。


関連問題
「極形式」「z=√3+i」
商の極形式
サインの加法定理
コサインの加法定理


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高校数学「複素数平面」「極形式」「z=√3+i」

高校数学「複素数平面」「極形式」「z=√3+i」

■問題
z=√3+iを極形式で表せ。


つまり、z=r(cosθ+isinθ)の形に直す問題です。


数学3の勉強でも、みんなが使っているチャート式


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■解説

z=√3+iは、複素数平面において、原点から横に√3,縦に1進んだ点を表します。
だから、その絶対値は、

|z|=√(√3^2+1^2)
 =√(3+1)
 =√4
 =2

極形式のz=r(cosθ+isinθ)のrは、zの絶対値|z|と等しいので、r=2です。
r=2なので、√3+1を2でくくって、

z=2(√3/2+i/2)

あとは、括弧の中をそれぞれコサインとサインで表せば、

z=2{cos(π/6)+isin(π/6)}


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2020年04月14日

高校数学「三角関数」「tan22.5°」

高校数学「三角関数」「tan22.5°」

■ 問題

tan22.5°の値を求めよ。


タンジェントの場合も、サインやコサインの場合ど同様に、もちろん半角の公式を使います。


↓三角関数の解き方・考え方の練習ができるテキストです↓


■ 解答解説

サインの半角の公式は

{sin(θ/2)}^2=(1−cosθ)/2

コサインの半角の公式は

{cos(θ/2)}^2=(1+cosθ)/2

でしたね。

これらと相互関係tanθ=sinθ/cosθを組み合わせると、簡単にタンジェントの半角の公式を導く事ができます。

tanθ=sinθ/cosθの両辺を2乗すると、

(tanθ)^2=(sinθ)^2/(cosθ)^2

ここでθにθ/2を代入すると、

{tan(θ/2)}^2={sin(θ/2)}^2/{cos(θ/2)}^2

右辺の分子と分母それぞれに半角の公式を代入すれば、

{tan(θ/2)}^2={(1−cosθ)/2}/{(1+cosθ)/2}

右辺の分子と分母それぞれに2を掛けると、

{tan(θ/2)}^2=(1−cosθ)/(1+cosθ)

このように、タンジェントの半角の公式を導くことができました。

θ/2=22.5°とするとθ=45°なので、

(tan22.5°)^2=(1−cos45°)/(1+cos45°)
         =(1−√2/2)/(1+√2/2)
         =(2−√2)/(2+√2)
         =(2−√2)^2/(4−2)  ←有理化した
         =(4−4√2+2)/2
         =(6−4√2)/2
         =3−2√2

よって、tan22.5°=√(3−2√2)


関連問題
sin22.5°の場合
cos22.5°の場合


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posted by えま at 14:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「三角関数」「cos22.5°」

高校数学「三角関数」「cos22.5°」

■ 問題

cos22.5°の値を求めよ。


半角の公式を使う最も基本的な問題ですね。


↓三角関数の解き方・考え方の練習ができるテキストです↓


■ 解答解説

sin22.5°の場合と同じく、cos22.5°でも半角の公式を使うのがよいです。

まずはコサインの2倍角より、cos2θ=(cosθ)^2−(sinθ)^2

相互関係より(sinθ)^2=1−(cosθ)^2を代入すると、

cos2θ=(cosθ)^2−{1−(cosθ)^2}
    =(cosθ)^2−1+(cosθ)^2
    =2(cosθ)^2−1

2(cosθ)^2=1+cos2θ
(cosθ)^2=(1+cos2θ)/2

ここで、θにθ/2を代入すれば、

{cos(θ/2)}^2=(1+cosθ)/2

これでコサインの半角の公式完成です。
このように、サインでもコサインでも半角の公式はコサインの2倍角から求めることができます。

θ/2=22.5°とするとθ=45°なので、

(cos22.5°)^2=(1+cos45°)/2
         =(1+√2/2)/2
         =(2+√2)/4
cos22.5°=√{(2+√2)/4}   ←cos22.5°>0
       =√(2+√2)/2    ←分子は二重根号


関連問題
sin22.5°の場合
tan22.5°の場合


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2020年04月10日

高校数学「微分」「導関数」「微分係数」

高校数学「微分」「導関数」「微分係数」

この記事では、微分についての基本的な用語と公式について解説します。

微分してできた関数のことを導関数といいます。
微分は「指数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける」というイメージで計算
できます。また、微分した関数には、’(ダッシュ)をつけます。

★ y=x^nならば、y'=nx^(n-1)

この微分してできた関数y'が導関数ですね。

また、★定数を微分すると0になります。

そして、この導関数は、接線の傾きを表します。
高校数学でよく出てくる2次関数や3次関数などは、曲線です。
曲線は接線を引いてみると、場所によってその傾きが異なります。
この傾きの変化を表した式が「導関数」です。

つまり、ある特定の場所の接線の傾きを求めたかったら、導関数にその点の
x座標を代入すればよいのです。
そして、そのy'の値を「微分係数」といいます。

さらに、導関数は接線の傾きを表すので、接線について考えるときはまず微分!
とイメージしておくとよいです。


↓微分積分の解き方・考え方が理解しやすいと好評です!↓



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2020年04月02日

高校数学「三角関数」「三角不等式」「3(tanθ)^2≦1」

高校数学「三角関数」「三角不等式」「3(tanθ)^2≦1」

■問題

3(tanθ)^2≦1を解け。ただし、0≦θ<2πとする。


前回に続いて三角不等式のちょっとだけ難しい問題です。
タンジェントは苦手という人も多いですが、皆さんはどうでしょうか?


↓三角不等式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

タンジェントの2次不等式になっているので、まずはtanθの範囲を求めます。

3(tanθ)^2≦1

だから、

√3・tanθ≦±1

というのはよくある間違いです。

0≦θ<2πの範囲では、tanθはプラスの場合もあり、マイナスの場合もあり、符号によって大小関係が変わるからです。
2次不等式は基本的に、因数分解をした方がよいです。
つまり、

3(tanθ)^2−1≦0
(√3・tanθ+1)(√3・tanθ−1)≦0

よって、−1/√3≦tanθ≦1/√3

tanθ≧−1/√3より、0≦θ<π/2,(5/6)π≦θ<(3/2)π,(11/6)≦θ<2π
tanθ≦1/√3より、0≦θ<π/6,π/2<θ≦(7/6)π,(3/2)π<θ<2π

これらの共通範囲が求める解です。
つまり、

0≦θ<π/6,(5/6)π≦θ≦(7/6)π,(11/6)π≦θ<2π


関連問題
2次不等式


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posted by えま at 12:16| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2020年03月30日

高校数学「三角関数」「三角不等式」「4(sinθ)^2−1>0」

高校数学「三角関数」「三角不等式」「4(sinθ)^2−1>0」

■問題

4(sinθ)^2−1>0を解け。ただし、0≦θ<2πとする。


三角不等式のちょっとだけ難しい問題です。このくらいが解ければ、定期テストでもそこそこ解けると思います。


↓三角不等式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

まずはsinθの2次式ととらえて、sinθの範囲を出すことを考えます。
t=sinθとおくと解きやすいですね。
(慣れている人はそのままでもOKです)

t=sinθとすると、

4t^2−1>0

これはただの2次不等式ですね。普通に解いてみましょう!

(2t+1)(2t−1)>0

よって、t<−1/2,t>1/2

t=sinθより、sinθ<−1/2,sinθ>1/2

これらの式を満たすθの範囲が求める範囲となります。つまり、

sinθ=−1/2のときθ=(7/6)π,(11/6)πだから、(7/6)π<θ<(11/6)π
sinθ=1/2のときθ=π/6,(5/6)πだから、π/6<θ<(5/6)π


関連問題
2次不等式


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2020年03月25日

高校数学「三角関数」「sin22.5°」

高校数学「三角関数」「sin22.5°」

■ 問題

sin22.5°の値を求めよ。


半角の公式を使う最も基本的な問題ですね。


↓三角関数の解き方・考え方の練習ができるテキストです↓


■ 解答解説

普通に値を求められる場合の角度は、0°,30°,45°,60°,90°などですね。

22.5°は、これらに当てはまらないので、普通に単位円を描いて考える方法では求めることができません。

22.5°=45°÷2なので、半角の公式を使うのがよいです。

半角の公式ももちろん覚えるに越したことはありませんが、2倍角の公式から導けるようにもしておくべきです。
半角の公式は全て、コサインの2倍角から導きます。

cos2θ=(cosθ)^2−(sinθ)^2

これを三角関数の相互関係を用いてコサインを消してみると、

cos2θ=1−(sinθ)^2−(sinθ)^2
    =1−2(sinθ)^2

さらに、(sinθ)^2について解いてみると、

2(sinθ)^2=1−cos2θ
 (sinθ)^2=(1−cos2θ)/2

この式のθをθ/2に置き換えたものが半角の公式になります。

{sin(θ/2)}^2=(1−cos2・θ/2)/2
        =(1−cosθ)/2

θ/2=22.5°とするとθ=45°なので、

(sin22.5°)^2=(1−cos45°)/2
         =(1−√2/2)/2
         =(2−√2)/4
sin22.5°=√{(2−√2)/4}   ←sin22.5°>0
       =√(2−√2)/2    ←分子は二重根号


関連問題
cos22.5°の場合
tan22.5°の場合


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こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。アマゾンやGooglePlayで「江間淳」で検索!
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