2023年12月03日

高校数学「微分」放物線y=x^2−3x+4に原点から引いた接線

高校数学「微分」放物線y=x^2−3x+4に原点から引いた接線

■ 問題

放物線y=x^2−3x+4に、原点から引いた接線の方程式を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

放物線y=x^2−3x+4に、原点から引いた接線の方程式を求めよ。

接線なのでまずは微分します。

y'=2x−3

接点の座標はわかっていないので、接点のx座標を例えばaとします。
すると、接点の座標は(a,a2−3a+4)で、接線の傾きは2a−3ですね。

そのような直線の方程式は、

y−(a2−3a+4)=(2a−3)(x−a)

となります。
原点から引いた接線を考えるので、この式のx,yには0,0を入れることができます。

0−(a2−3a+4)=(2a−3)(0−a)
−(a2−3a+4)=−a(2a−3)
−a2+3a−4=−2a2+3a
2−4=0
(a+2)(a−2)=0
よって、a=−2,2

つまり、接点のx座標は−2の場合と2の場合がある。ということになります。

それぞれy−(a2−3a+4)=(2a−3)(x−a)に代入してみれば、接線の方程式が出るはずですね。

a=−2のとき
y−((−2)2−3×(−2)+4}={2×(−2)−3}(x−(−2)}
y−(4+6+4)=−7(x+2)
y−14=−7x−14
y=−7x

a=2のとき
y−(22−3×2+4)=(2×2−3)(x−2)
y−(4−6+4)=x−2
y−2=x−2
  y=x

よって、求める接線はy=−7x,y=x


◆関連項目
直線の式接線の方程式の求め方
微分積分(数学2)まとめ
微分積分(数学3)まとめ


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2023年12月02日

高校数学「微分」y=−x^3+4xの(0,0)における接線

高校数学「微分」y=−x3+4xの(0,0)における接線

■ 問題

3次関数y=−x3+4xの(0,0)における接線の方程式を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

接線に関する基本的な問題です。
微分すると接線の傾きが出るので、まずは微分します。

y'=−3x2+4

(0,0)における接線なので、x=0を代入して、

y'=4

つまり、(0,0)における接線の傾きは4です。

求める直線は、原点を通り、傾きが4の直線ですね。
ということは、

y=4x


◆関連項目
微分積分(数学2)まとめ
微分積分(数学3)まとめ


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2023年11月30日

高校数学「積分」∫[a〜x]f(t)dt=x^2−5x−6を満たす関数f(x)と定数aの値

高校数学「積分」∫[a〜x]f(t)dt=x2−5x−6を満たす関数f(x)と定数aの値

■ 問題

∫[a〜x]f(t)dt=x2−5x−6を満たす関数f(x)と定数aの値を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

∫[a〜x]f(t)dt=x2−5x−6を満たす関数f(x)と定数aの値を求めよ。

要するに、「積分したらx2−5x−6になる」ので、x2−5x−6を微分すればもとの関数f(x)を求められるはずですね。

f(x)=(x2−5x−6)'
  =2x−5

ということは、

∫[a〜x](2t−5)dt=x2−5x−6

となるはずです。
左辺を計算してみましょう。

 ∫[a〜x](2t−5)dt
=[t2−5t][a〜x]
=x2−5x−(a2−5a)
=x2−5x−a2+5a

これがx2−5x−6と等しくなるので、

−a2+5a=−6

という式が成り立ちます。
あとはこれを解きます。

2−5a=6
2−5a−6=0
(a+1)(a−6)=0
よって、a=−1,6

つまり、求める関数f(x)とaの値は、

f(x)=2x−5,a=−1,6


◆関連項目
基本的な定積分の計算
微分積分(数学2)まとめ

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2023年11月26日

高校数学「積分」y=x^2−axとx軸で囲まれた図形の面積が9/2になるとき

高校数学「積分」y=x2−axとx軸で囲まれた図形の面積が9/2になるとき

■ 問題

放物線y=x2−axとx軸で囲まれた図形の面積が9/2になるときのaの値を求めよ。ただし、a>0とする。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

面積を考えるので、係数が数字だけの場合と同様に、aを含む式で面積を表していきましょう!

まずはx軸との交点の座標を求めます。

2−ax=0
x(x−a)=0
よって、x=0,a

この曲線は下に凸の放物線なので、0からaの区間ではx軸の下側にあるはずです。
だから面積は、マイナスをつけて定積分です。

S=−∫[0〜a](x2−ax]dx
 =[−(1/3)x3+(a/2)x2][0〜a]
 =−(1/3)a3+(a/2)・a2−0
 =−(1/3)a3+(1/2)a3
 =(1/6)a3

つまり、この放物線とx軸で囲まれた図形の面積は(1/6)a3です。

面積が9/2になるときのaの値を求めたいので、そのままイコールで結びます。

(1/6)a3=9/2
3−27=0
(a−3)(a2+a+3)=0

aはa>0の実数だから、a=3


◆関連項目
3次関数とx軸で囲まれた図形の面積
微分積分(数学2)まとめ

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2023年11月22日

高校数学「積分」y=x3−x2−12xと接線で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」y=x3−x2−12xと接線で囲まれた図形の面積

■ 問題

3次関数y=x3−x2−12xと、その曲線上の点(−1,10)における接線で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

まずは接線の方程式を求めてみましょう!

y'=3x2−2x−12

(−1,10)における接線なので、x=−1を代入して、

y'=3×(−1)2−2×(−1)−12
 =3+2−12
 =−7

これが接線の傾きだから、

y−10=(−7){x−(−1)}
   y=−7x−7+10
   y=−7x+3

3次関数と接線で囲まれた図形の面積を考えるので、これらの共有点を求めます。

3−x2−12x=−7x+3
3−x2−5x−3=0

x=−1で接するので、この整式は(x+1)で割りきれます。

(x+1)(x2−2x−3)=0
(x+1)(x+1)(x−3)=0
よって、3次関数と接線の共有点は、x=−1,3

3の係数が正の数なので、3次関数は全体として右上がりの曲線になります。
ということは、接点と交点の間の区間では接線が上、曲線が下となります。
だから、求める面積は「接線−曲線」で定積分です。

 ∫[-1〜3]{−7x+3−(x3−x2−12x)}dx
=∫[-1〜3](−x3+x2+5x+3)dx
=[(−1/4)x4+(1/3)x3+(5/2)x2+3x][-1〜3]
=(−1/4)×34+(1/3)×33+(5/2)×32+3×3−{(−1/4)(−1)4+(1/3)(−1)3+(5/2)(−1)2+3・(−1)
=−81/4+9+45/2+9−(−1/4−1/3+5/2−3)
=−81/4+45/2+18+1/4+1/3−5/2+3
=−80/4+40/2+1/3+21
=1/3+21
=64/3


◆関連項目
等式f(x)=x・∫[0〜1] f(x)dx+1を満たすf(x)を求めよ
微分積分(数学2)まとめ

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2023年11月21日

高校数学「積分」定積分を含む方程式f(x)=x+(1/2)・∫[0〜1]f(t)dt

高校数学「積分」定積分を含む方程式f(x)=x+(1/2)・∫[0〜1]f(t)dt

■ 問題

等式f(x)=x+(1/2)・∫[0〜1]f(t)dtを満たすf(x)を求めよ。



解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

∫[0〜1]f(t)dtは定積分なので、計算すれば何らかの定数になります。
だから、∫[0〜1]f(t)dt=aなどとおいて、等式を書き換えることができます。

f(x)=x+(1/2)a

ですね。
ならば、

f(t)=t+(1/2)a

です。
ということは、

∫[0〜1]f(t)dt
=∫[0〜1]{t+(1/2)a}dt
=[(1/2)t2+(1/2)at][0〜1]
=1/2+a/2

となります。
普通に定積分を計算すればこうなりますね。

∫[0〜1]f(t)dt=1/2+a/2

であることがわかりました。

そもそも最初の方で、∫[0〜1]f(t)dt=aとおきましたね。

ということは、これらは等しいので、

a=1/2+a/2

このようにイコールで結ぶことができます。
これを解けば、

a/2=1/2
  a=1

だから、求めるf(x)は、

f(x)=x+1/2


◆関連項目
等式f(x)=x・∫[0〜1] f(x)dx+1を満たすf(x)を求めよ
微分積分(数学2)まとめ

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2023年11月20日

高校数学「積分」基本的な定積分の計算

高校数学「積分」基本的な定積分の計算

■ 問題

次の定積分を求めよ。

(1) ∫[1〜3]x2dx

(2) ∫[-1〜2](5t−t2)dt


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

f(x)の定積分の計算は、

不定積分と同様に式F(x)を求める→F(b)−F(a)を計算する

という流れです。

(1) ∫[1〜3]x2dx
=[(1/3)x3][1〜3]
=(1/3)・33−(1/3)・13
=9−1/3
=26/3

(2) ∫[-1〜2](5t−t2)dt
=[(5/2)t2−(1/3)t3][-1〜2]
=(5/2)・22−(1/3)・23−{(5/2)・(−1)2−(1/3)・(−1)3}
=10−8/3−(5/2+1/3)
=10−8/3−5/2−1/3
=10−5/2−3  ←−8/3と−1/3をまとめた
=7−5/2
=9/2

計算の途中経過はもちろんこの通りである必要はありません。
例えば、一気に全部通分してまとめてしまってもOKです。
自分の慣れている方法で、できるだけ素早くミスなく計算できるようにしておきましょう!


◆関連項目
f(x)=x2の不定積分
微分積分(数学2)まとめ

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2023年11月18日

高校数学「積分」3次関数y=x3+x2−2xとx軸の間の面積

高校数学「積分」3次関数y=x3+x2−2xとx軸の間の面積

■ 問題

3次関数y=x3+x2−2xとx軸で囲まれた2つの図形の面積の和を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

この曲線とx軸とで囲まれた図形の面積を求めるので、まずはx軸との交点を求めます。

y=x3+x2−2x
 =x(x2+x−2)
 =x(x+2)(x−1)=0
よって、x=0,−2,1

この3次関数は、これら3箇所でx軸と交わります。

また、xの3乗の係数が正の数なので、この3次関数は全体として右上がりです。
ということは、−2〜0の区間がx軸の上側、0〜1の区間がx軸の下側となります。

x軸の下側の区間では、定積分の値はマイナスで出てくるので、符号を変えます。
つまり、求める面積は、

∫[-2〜0](x3+x2−2x)dx+∫[0〜1](−x3−x2+2x)dx

これを計算することで得られます。
ここでは計算は省略しますが、計算すると、

37/12

となります。


◆関連項目
2次関数と1次関数の間の面積
微分積分(数学2)まとめ

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2023年11月12日

高校数学「不定積分」∫{4/(x2−4)}dx

高校数学「不定積分」∫{4/(x2−4)}dx

■ 問題

次の不定積分を求めよ。

∫{4/(x2−4)}dx


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

積分の計算をする際は、できるだけ1次式に近づけることを考えるとよいです。
そのためにまず、4/(x2−4)を因数分解してみます。

4/(x2−4)=4/{(x+2)(x−2)}

こうすると、部分分数分解ができますね。
x+2とx−2の差が4で、分子が4なので、単純に2つの分数に分けることができます。

4/{(x+2)(x−2)}=1/(x−2)−1/(x+2)

というわけで、

 ∫{4/(x2−4)}dx
=∫{1/(x−2)−1/(x+2)}dx
=log|x−2|−log|x+2|+C
=log|(x−2)/(x+2)|+C


◆関連項目
部分分数分解
微分積分(数学3)まとめ


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2023年11月11日

高校数学「積分」接線の傾きが3x2−4xの関数の式

高校数学「積分」接線の傾きが3x2−4xの関数の式

関数y=f(x)のグラフは点A(1,5)を通り、このグラフの任意の点での接線の傾きは3x2−4xである。f(x)を求めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

関数y=f(x)のグラフは点A(1,5)を通り、このグラフの任意の点での接線の傾きは3x2−4xである。f(x)を求めよ。

「接線の傾きは3x2−4x」ということは、もとの関数を微分したら3x2−4xです。
つまり、f'(x)=3x2−4xですね。

ということは、コレを積分すればf(x)がわかる。というわけです。
積分定数Cを忘れずに!

 ∫f'(x)dx
=3・(1/3)x3−4・(1/2)x2+C
=x3−2x2+C

この関数が点Aを通るので、その座標を代入すると、

5=13−2・12+C
5=1−2+C
C=5+1
C=6

よって、f(x)=x3−2x2+6


◆関連問題
f(x)=x^2の不定積分F(x)を求めよ
微分積分(数学2)まとめ


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2023年11月10日

高校数学「微分」y=−3x^4−2x^3+3x^2の最大最小

高校数学「微分」y=−3x4−2x3+3x2の最大最小

y=−3x4−2x3+3x2の−2≦x≦2における最大値・最小値を求めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

y=−3x4−2x3+3x2の−2≦x≦2における最大値・最小値を求めよ。

最大最小なので、微分して極値を求め、定義域の両端も考慮して、最大値・最小値を探していきます。

まずは微分すると、

y'=−12x3−6x2+6x

導関数の値がゼロのときが極値だから、イコールゼロで解きます。

−12x3−6x2+6x=0
2x3+x2−x=0
x(2x2+x−1)=0
x(2x−1)(x+1)=0
よって、x=0,1/2,−1

xがこれらの値のとき、この4次関数は極値をとります。
定義域は−2≦x≦2だから、これらの極値は全て定義域内にありますね。
y=f(x)として、それぞれのy座標を求めていきます。

f(−2)=−3(−2)4−2(−2)3+3(−2)2
   =−48+16+12=−22

f(−1)=−3(−1)4−2(−1)3+3(−1)2
   =−3+2+3=2

f(0)=0

f(1/2)=−3(1/2)4−2(1/2)3+3(1/2)2
    =−3/16−3/8+3/4
    =−3/16−6/16+12/16=3/16

f(2)=−3・24−2・23+3・22
  =−48−16+12=−52

ここでは省略しますが、これらの値をもとに増減表を描いて、y座標を比較すると・・・

x=−1のとき最大値2
x=2のとき最小値−52


◆関連問題
3次関数y=−2x^3+3x^2+12x−3の最大最小
微分積分(数学2)まとめ


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2023年11月05日

高校数学「微分」logx=axの実数解の個数

高校数学「微分」logx=axの実数解の個数

■ 問題

方程式logx=axの実数解の個数を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

y=logxとy=axの2つのグラフを使って求めることもできますが、ここでは与式を変形して解いてみます。

真数条件よりx>0だから、両辺をxで割ると

(logx)/x=a

f(x)=(logx)/xとすると、
f'(x)={(logx)'・x−(logx)・x'}/x2
  ={(1/x)x−logx}/x2
  =(1−logx)/x2

lim[x→0]=−∞,lim[x→∞]=0だから、f(x)はy軸に近づくと限りなく小さくなり、xの値が増えれば増えるほどx軸に近づきます。

また、1−loge=1−1=0だから、f'(e)=0で、
f(e)=(loge)/e=1/eです。

これらの情報をもとに増減表を描くと、

  x|0|…| e |…|
f'(x)|/|+| 0 |−|
f(x)|/|↗|1/e|↘|

これとy=aとの交点の個数が、与式の実数解の個数だから、

0<a<1/eのとき、2個
a=1/e,a≦0のとき、1個
a>1/eのとき、0個


◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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2023年11月04日

高校数学「微分」3次不等式x3+a>3x2+9xが成り立つとき

高校数学「微分」3次不等式x3+a>3x2+9xが成り立つとき

3次不等式x3+a>3x2+9xが、x≧0において成り立つようなaの値の範囲を求めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

「3次不等式x3+a>3x2+9xが成り立つ」ということは、「整式>0」の形に変形して、その整式の最小値がゼロ以上になればいいですね。

まずは移項すると、

3+a−3x2−9x>0
3−3x2−9x+a>0

この3次式の最小値を考えるので、微分して極値を求めます。

左辺=f(x)とすると、

f'(x)=3x2−6x−9

極値はf'(x)=0だから、

3x2−6x−9=0
2−2x−3=0
(x+1)(x−3)=0
よって、x=−1,3

xの3乗の係数がプラスなので、全体として右上がりだから、x=−1で極大、x=3で極小です。

x>0で不等式が成り立つ。つまり、x>0のとき最小値がゼロより大きくななればOKです。
ならば、極小値がゼロより大きくなるようaの値を定めればOKですね。

f(3)=33−3・32−9・3+a
  =27−27−27+a
  =−27+a>0
       a>27


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学2)まとめ


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2023年11月01日

高校数学「微分」3次方程式x^3+4x^2−3x+a=0の異なる実数解の個数

高校数学「微分」3次方程式x3+4x2−3x+a=0の異なる実数解の個数

3次方程式x3+4x2−3x+a=0の異なる実数解の個数は、定数aの値によってどのように変わるか?


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

3次方程式の解の個数を考えるときは、3次関数の極値を考えます。
方程式の解は、y=0のときのxの値だから、つまり、x軸との共有点の個数が3次関数の解の個数になります。

極値を求めるなら、微分して増減表!ということで、まずは微分してイコールゼロで解いていきます。

f(x)=x3+4x2−3x+aとすると、

f'(x)=3x2+8x−3=0
   (3x−1)(x+3)=0
よって、x=1/3,−3

つまり、x=1/3,−3のときに極値をとることがわかります。

f(1/3)=(1/3)3+4(1/3)2−3・1/3+a
    =1/27+4/9−1+a
    =(1+12−27)/27+a
    =−14/27+a

f(−3)=(−3)3+4(−3)2−3×(−3)+a
   =−27+36+9+a
   =18+a

というわけで極値は、x=−3のとき極大値18+a,x=1/3のとき極小値−14/27+aとなります。

●x軸がこの2つの極値の間を通れば3次方程式の解は3つ
●どちらかの極値上にx軸があれば解は2つ
●極大値より上か、極小値より下ならば解は1つ

となります。
つまり、今回の3次方程式の解は、

−18<a<14/27のとき、3つ
a=−18,14/27のとき、2つ
a<−18,a>14/27のとき、1つ


となります。


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学2)まとめ


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2023年10月29日

高校数学「微分」y=−2x^3+3x^2+12x−3の最大値・最小値

高校数学「微分」y=−2x3+3x2+12x−3の最大値・最小値

3次関数y=−2x3+3x2+12x−3の−2≦x≦1における最大値・最小値を求めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

3次関数の最大値・最小値を考えるときは、増減表を書くのが定番となっています。
増減表に極値と定義域の両端を示して、それらの値を比べれば、最大値・最小値がわかる。というわけです。

まずは微分します。

y'=−6x2+6x+12

導関数の値がゼロのときが極値だから、イコールゼロで解きます。

−6x2+6x+12=0
    x2−x−2=0
(x+1)(x−2)=0
よって、x=−1,2

つまり、極値をとるのはx=−1,2の場合です。
それぞれのyの値もここで求めておきましょう!

x=−1のとき
y=−2(−1)3+3(−1)2+12・(−1)−3
 =2+3−12−3
 =−10

x=2のとき
y=−2・23+3・22+12・2−3
 =−16+12+24−3
 =17


定義域の範囲内だけの増減表を書くのが標準となっていますが、まずは実数全体で増減表を書いた方がわかりやすいと思います。

x |…|−1|…|2|…
y' | | 0 | |0|
y | |−10| |17|

まずはこのように、極値の部分を埋めます。
続いて、y'とyの増減にかかわる部分を埋めます。

x |…|−1|…|2|…
y' |−| 0 |+|0|−
y |↘|−10|↗|17|↘

これで増減と極値がわかりました。
ここで定義域を確認して、定義域の両端と極値の位置関係を把握します。
−2≦x≦1なので、極大値は定義域に含まれていません。
グラフの形を考えれば、極小値が最小値になるとわかると思います。

あとは、最大値が定義域の両端のどちらなのかを考えます。それぞれy座標を出して比べればOKですね!

x=−2のとき
y=−2(−2)3+3(−2)2+12・(−2)−3
 =16+12−24−3
 =1

x=1のとき
y=−2・13+3・12+12・1−3
 =−2+3+12−3
 =10

x=1のときの方が大きいですね。

というわけで、

x=1のとき最大値10,x=−1のとき最小値−10


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学2)まとめ


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2023年10月26日

高校数学「微分」3次関数f(x)=x^3+ax^2<+12x+3が常に増加するとき

高校数学「微分」3次関数f(x)=x3+ax2+12x+3が常に増加するとき

3次関数f(x)=x3+ax2+12x+3が常に増加するように、定数aの値を定めよ。


解答解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


◆解答解説

「常に増加」ということは、「接線の傾きが常にプラス」です。

導関数の値が接線の傾きを表すので、導関数の式の値が常にプラスになる場合の条件を考えていきます。

まずは与式を微分しましょう!

f'(x)=3x2+2ax+12

この式の値が常にプラスになるならば・・・
f'(x)は下に凸の2次関数だから・・・

判別式D<0ですね!

D<0ならば横軸と共有点を持たない、すなわち、最小値がゼロより大きいので、f'(x)>0ということができます。
代入して計算してみましょう!

D=(2a)2−4×3×12
 =4a2−144<0
   a2−36<0
(a+6)(a−6)<0

よって、−6<a<6


◆関連問題
極値を求める問題
微分積分(数学2)まとめ


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2023年10月19日

高校数学「微分」基本的な計算

高校数学「微分」基本的な計算

次の関数を微分せよ。

(1) y=−6

(2) y=x3−5x2−4

(3) y=2x4−3x2+1


公式に従って素早く確実に計算できるようにしておきましょう!
基本的な方法がわからないよ!という人は、この記事などを参考にしてみてください。


解答はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。


微分するときは、それぞれの項の次数を1下げて、もとの次数と同じ数を係数にかけます。
定数項を微分するとゼロになります。


(1) y=−6
y'=0


(2) y=x3−5x2−4
y'=3x2−10x


(3) y=2x4−3x2+1
y'=8x3−6x


◆関連問題
x^2+3x+2の微分と考え方

微分積分(数学2)まとめ


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2023年10月18日

高校数学「微分」傾きが−3の接線

高校数学「微分」傾きが−3の接線

y=x3−5x2の接線のうち、傾きが−3であるものを求めよ。


接線といえば微分です。


解説はこのページ下


微分積分の問題の解き方の練習には、この書籍も参考にしてみてください。



微分すると、接線の傾きが出てきます。
だから、接線の方程式を求めたければ、与式を微分します。

y=x3−5x2より、

y'=3x2−10x

これが接線の傾きを表すので、イコール−3で解きます。

  3x2−10x=−3
3x2−10x+3=0

たすきがけで因数分解すると、

(3x−1)(x−3)=0
よって、x=1/3,3

つまり、xが1/3のときと3のときに、接線の傾きが−3になる。というわけです。

それぞれのy座標を求めて、直線の式に代入すれば、求める接線の方程式が出ますね!

x=1/3のとき、
y=(1/3)3−5(1/3)2
 =1/27−5/9
 =1/27−15/9
 =−14/27

つまり、このときの接点の座標は(1/3,−14/27)です。傾きは−3だから、y−y1=m(x−x1)に代入して、

y−(−14/27)=−3(x−1/3)
y=−3x+1−14/27
 =−3x+13/27

x=3のとき、
y=33−5×32
 =27−45
 =−18

先ほどと同様に直線の式に代入して、

y−(−18)=−3(x−3)
y=−3x+9−18
 =−3x−9

というわけで、求める接線の方程式は、

y=−3x+13/27,y=−3x−9


◆関連問題
y=x^3+x^2−2上の点(−1,−2)における接線の方程式

微分積分(数学2)まとめ


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2023年10月08日

高校数学「対数関数」対数関数y=log[2](−x^2+3x−2)の最大値

高校数学「対数関数」対数関数y=log2(−x2+3x−2)の最大値

対数関数y=log2(−x2+3x−2)の最大値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


対数関数y=log2(−x2+3x−2)の最大値

真数部分がxの式で表されているということは、xの値によって対数の値が決まり、範囲も決まるということになります。
まずは真数部分の値域を求めてみます。

 −x2+3x−2
=−(x2−3x)−2
=−{(x−3/2)2−9/4}−2
=−(x−3/2)2+9/4−2
=−(x−3/2)2+1/4

つまり、この2次式は、x=3/2で最大値1/4をとることがわかります。

対数の底は2で1より大きいので、真数が大きければ対数も大きい。ということができます。

つまり、求める対数関数の最大値は、−x2+3x−2=1/4のときの値になると判断できます。
このとき、y=log21/4=−2です。

よって求める解は、x=3/2のとき最大値−2


◆関連項目
y=(log[2]x)^2−log[2](x^4)+6の最大最小
指数・対数まとめ


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