2022年08月07日

高校数学「積分」x=sinyとy軸の間の面積

高校数学「積分」x=sinyとy軸の間の面積

■ 問題

曲線x=sinyの0≦y≦πの部分とy軸で囲まれた図形の面積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

x=g(y)とy軸との間の面積は、yについて定積分と考えればOKです。
y=f(x)の場合の普通の面積の問題とやることは同じです。つまり、

S=∫[0〜π]xdy
 =∫[0〜π]sinydy
 =[−cosx][0〜π]
 =−(cosπ−cos0)
 =−(−1−1)
 =2


◆関連項目
体積の求め方
微分積分(数学3)まとめ


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2022年07月29日

高校数学「積分」y=x2をy軸のまわりに回転した回転体

高校数学「積分」y=x2をy軸のまわりに回転した回転体

■ 問題

y=x2とy=2て囲まれる図形をy軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

y軸のまわりの回転体の体積Vは、区間を[a〜b]とすると、次の式で表されます。

V=π∫[a〜b]x2dy
 =π∫[a〜b]{f(x)}2dy

「y軸のまわりだから、yについて積分」という考えですね。

y=x2は原点を頂点とする放物線で、y=2との間で囲まれた図形だから、積分の区間は[0〜2]です。
よって、

V=π∫[0〜2]x2dy

yについて積分するから、xをyで置き換えます。
y=x2だから、

 =π∫[0〜2]ydy
 =π[(1/2)y2][0〜2]
 =π・(1/2)・22
 =2π


◆関連項目
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2022年07月18日

高校数学「積分」x^2/a^2+y^2/b^2=1の回転体

高校数学「積分」x2/a2+y2/b2=1の回転体

■ 問題

2/a2+y2/b2=1で表される楕円を、x軸の周りに回転してできる立体の体積を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

楕円x2/a2+y2/b2=1は、上下対称かつ左右対称なので、第1象限の図形を回転して2倍する。と考えればOKです。
つまり、

V=2×π∫[0〜a]y2dx

を計算すれば良い。と考えられます。

楕円の式を変形して、

2/a2+y2/b2=1
    y2/b2=1−x2/a2
      y2=b2−b22/a2
      y2=b2(1−x2/a2)

これを代入すると、

V=2π∫[0〜a]{b2(1−x2/a2)}dx

あとはひたすら計算です。

 =2πb2[x−x3/3a2][0〜a]
 =2πb2(a−a3/3a2]
 =2πb2(a−a/3)
 =2πb2・2a/3
 =4πab2/3


◆関連項目
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2022年07月16日

高校数学「積分」y=x,y=−x^2+4xで囲まれた図形の回転体の体積

高校数学「積分」y=x,y=−x2+4xで囲まれた図形の回転体の体積

■ 問題

次の直線と曲線とで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積Vを求めよ。

y=x,y=−x2+4x


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

まずは2つの関数の交点を求めます。

−x2+4x=x
−x2+3x=0
x(x−3)=0
よって、x=0,3

2次関数と直線で囲まれた図形の回転体なので、それらの間となるためには、「上の関数の回転体」から「下の関数の回転体」を差し引く。というイメージです。
つまり、求める体積Vは、

V=π∫[0〜3](−x2+4x)2dx−π∫[0〜3]x2dx

これを計算することで求められます。
積分の区間が共通なので、ひとつにまとめて、

 =π∫[0〜3]{(−x2+4x)2−x2}dx
 =π∫[0〜3](x4−8x3+16x2−x2)dx
 =π∫[0〜3](x4−8x3+15x2)dx

あとは普通に定積分を計算します。

 =π[(1/5)x5−2x4+5x3][0〜3]
 =π(1/5)・35−2・34+5・33)
 =27π(9/5−6+5)
 =27π×(9−30+25)/5
 =27π×4/5
 =(108/5)π


◆関連項目
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2022年07月06日

高校数学「積分」y=2−x2の回転体の体積

高校数学「積分」y=2−x2の回転体の体積

■ 問題

次の曲線とx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積Vを求めよ。

y=2−x2


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

まずは、y=2−x2とx軸との交点を求めます。
x軸上はy=0なので、0=2−x2より、x2−2=0を因数分解して、(x−√2)(x+√2)=0だから、x=±√2

曲線y=f(x)とx軸との間の図形の回転体の体積Vは

V=π・∫[a〜b]y2dx

で求められます。a,bは、積分の区間でこの場合はx軸との交点ですね。
だから、

V=π・∫[-√2〜√2](2−x2)2dx
 =π・∫[-√2〜√2](4−4x2+x4)dx

この図形はy軸に対して対称なので、第1象限の部分を2倍すると考えると良いです。

 =2π・∫[0〜√2](4−4x2+x4)dx
 =2π[4x−(4/3)x3+(1/5)x5][0〜√2]
 =2π{4√2−(4/3)(√2)3+(1/5)(√2)5}
 =2π{4√2−(4/3)・2√2+(1/5)・4√2}
 =2π(60−40+12)√2/15
 =(64/15)√2・π


◆関連項目
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2022年06月29日

高校数学「積分」y=xex,x=−1,x=1,x軸で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」y=xex,x=−1,x=1,x軸で囲まれた図形の面積

■ 問題

次の直線や曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

y=xex,x=−1,x=1,x軸


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

y=xe-x,y=x/e,y=x/e2で囲まれた図形の面積より少し簡単な問題です。

面積ならとにかく、「交点を求めて定積分」です。
とはいっても、この問題の場合は、y=xexは原点を通るし、それ以外はx=−1,x=1とx軸なので、積分の区間も簡単にわかります。

詳しくは増減表を書くなどして、確認するべきですが、原点より左ではx軸より下側、原点より右ではx軸より上側だから、

S=−∫[-1〜0]xexdx+∫[0〜1]xexdx

ですね。
部分積分法を用いて普通に計算します。

 =−[xex][-1〜0]−(−∫[-1〜0]exdx)+[xex][0〜1]−∫[0〜1]exdx
 =−{0−(−1・1/e)}+[ex][-1〜0]+e−0−[ex][0〜1]
 =−1/e+1−1/e+e−(e−1)
 =2−2/e
 =2(1−1/e)


◆関連項目
部分積分法面積の求め方
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2022年06月27日

高校数学「積分」y=xe^(-x),y=x/e,y=x/e^2で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」y=xe-x,y=x/e,y=x/e2で囲まれた図形の面積

■ 問題

次の直線や曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

y=xe-x,y=x/e,y=x/e2


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

式が少し難しく見えますが、面積ならとにかく、「交点を求めて定積分」です。

y=x/eとy=x/e2はともに1次関数というか比例なので、これらは原点を通ります。
だから交点は(0,0)ですね。

その他の交点は普通に連立方程式を解きます。

y=xe-x,y=x/eより、
xe-x=x/e
xe-x−x/e=0
x(e-x−1/e)=0
よって、x=0,e-x−1/e=0すなわちx=1

y=xe-x,y=x/e2より、
x(e-x−1/e2)=0
よって、x=0,e-x−1/e2=0すなわちx=2

グラフはここでは省略しますが、0〜1の区間はy=x/eとy=x/e2の間、1〜2の区間はy=xe-2とy=x/e2の間の面積を計算すればOKです。
これはつまり、∫[0〜1](x/e)dx+∫[1〜2](xe-x)dx−∫[0〜2](x/e2)dxとなります。

∫[0〜1](x/e)dxと∫[0〜2](x/e2)dxの部分は三角形なので、普通に頂点の座標から面積を出します。

∫[0〜1](x/e)dx=(1/2)×1×1/e=1/2e
∫[0〜2](x/e2)dx=(1/2)×2×2/e2=2/e2

∫[1〜2](xe-x)dxの部分は曲線なので、定積分の計算をちゃんとやります。
xとe-xの積の積分なので、部分積分法を使って、

 ∫[1〜2](xe-x)dx
=[−xe-x][1〜2]+∫[1〜2]e-xdx
=−2e-2−(−e-1)+[−(e-x][1〜2]
=−2/e2+1/e+(−1/e2+1/e)
=−3/e2+2/e

というわけで、求める面積は、

 1/2e+(−3/e2)+2/e−2/e2
=5/2e−5/e2
=(5e−10)/2e2
=5(e−2)/2e2


◆関連項目
部分積分法面積の求め方
微分積分(数学3)まとめ


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2022年06月03日

高校数学「積分」∫x^2・cosxdxの不定積分

高校数学「積分」∫x2・cosxdxの不定積分

■ 問題

∫x2・cosxdxの不定積分を求めよ。


関数の積の積分なので、部分積分法を使います。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

∫f(x)・g'(x)dx=f(x)・g(x)−∫f'(x)・g(x)dxにおいて、f(x)=x2,g'(x)=cosxとすると、

 ∫x2・cosxdx
=x2・sinx−∫2x・sinxdx

∫2x・sinxdxにもう一度部分積分法を用いると、

=x2・sinx−{2x・(−cosx)−∫2・(−cosx)dx}

あとは普通に計算してなるべく簡単にします。

=x2・sinx−2(−x・cosx+∫cosxdx)
=x2・sinx+2x・cosx−2sinx+C
=(x2−2)sinx+2xcosx+C


◆関連項目
不定積分
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2022年05月31日

高校数学「積分」∫(sinx)^5・(cosx)^2dxの不定積分

高校数学「積分」∫sin5x・cos2xdxの不定積分

■ 問題

∫sin5x・cos2xdxの不定積分を求めよ。


三角関数の積分をするときは、まずは式の変形をすることが多いです。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

三角関数の相互関係の公式を使うと、サインはコサインに、コサインはサインに変えることができますね。

sin2x+cos2x=1だから、
sin2x=1−cos2
cos2x=1−sin2

ですね。
これを使って、サインかコサインに統一すると計算しやすくなります。

そして、t=cosxとすると、dt/dx=−sinxだから、dt=−sinx・dxです。
つまり、置換積分法を使うときに、−sinx・dxというかたまりをdtに置き換える。という前提で式の変形を考えていくとよいです。

sin5x・cos2
=sin4x・sinx・cos2
=(1−cos2x)2・sinx・cos2

ここでcosx=tとすると、

=(1−t2)2・t2・sinx

だから与式は次のように変形できます。

∫(1−t2)2・t2・sinxdx

−sinxdx=dtだから、

=−∫(1−t2)2・t2dt
=−∫(1−2t2+t4)t2dt
=−∫(t2−2t4+t6)dt

あとは普通に定積分して、tを戻すと、

=−(1/3)t3+(2/5)t5−(1/7)t7+C
=−(1/3)cos3x+(2/5)cos5−(1/7)cos7x+C


◆関連項目
不定積分
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2022年05月28日

高校数学「積分」∫sin2xdxの不定積分

高校数学「積分」∫sin2xdxの不定積分

■ 問題

∫sin2xdxの不定積分を求めよ。


三角関数の積分をするときは、まず式の変形をする場合が多いです。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

三角関数の積分をするときは、可能な限り次数を低くするという方針が基本です。

sin2xは、半角の公式を使って1次式に直すことができます。
そして半角の公式はコサインの2倍角の公式から導くことができます。

cos2x=cos2x−sin2
     =1−2sin2

今回の問題では与式を変形するため、sin2xについて解きます。

2sin2x=1−cos2x
 sin2x=(1−cos2x)/2

だから、

 ∫sin2xdx
=∫{(1−cos2x)/2}dx

これで1次式の積分なので、慣れている人なら簡単に最後まで計算できますね!

=(1/2){x−(1/2)sin2x}+C
=(1/4)(2x−sin2x)+C


◆関連項目
不定積分三角関数の不定積分
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2022年05月25日

高校数学「積分」∫e^x・sinxdxの不定積分

高校数学「積分」∫ex・sinxdxの不定積分

■ 問題

∫ex・sinxdxの不定積分を求めよ。

関数の積を積分するときは部分積分法を使います。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

部分積分法の基本的なやり方はこちらをごらんください
2つの関数の積を積分する主な方法が部分積分法です。
積の微分法の逆から式を作ることができると理解しておくと、公式として覚えていなくても解くことができます。

f(x)=sinx,g'(x)=exとすると、f'(x)=cosx,g(x)=exです。
(ex)'=exだから、sinxではなくexをg'(x)とした方が良いです。

 ∫ex・sinxdx
=sinx・ex−∫cosx・exdx

ここで、∫cosx・exdxの部分もまた積なので、もう一度部分積分法を使います。

=sinx・ex−{cosx・ex−∫(−sinx)・exdx}
=sinx・ex−(cosx・ex+∫sinx・exdx)

またsinxとexの積が出てきたので、もう一度部分積分法を・・・としても間違いとは言えませんが、当然また同じことの繰り返しになってしまいます。

積分した結果出てきたコレ→∫sinx・exdxは、最初の∫ex・sinxdxと全く同じです。
だから、∫ex・sinxdx=Iとおけば、Iについて方程式ができる!と考える事ができますね!

 I=sinx・ex−(cosx・ex+I)
 I=sinx・ex−cosx・ex−I
2I=sinx・ex−cosx・ex

∴ I=(1/2)ex(sinx−cosx)+C

さらに、三角関数の合成を使ってサインとコサインをひとつにまとめても良いです。


◆関連項目
不定積分部分積分法
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2022年03月11日

高校数学「定積分」「置換積分法」∫[1〜2]√(4−x2)dxの積分

高校数学「定積分」「置換積分法」∫[1〜2]√(4−x2)dxの積分

■ 問題

次の定積分を求めよ。

∫[1〜2]√(4−x2)dx


4−x2の1/2乗と考えることも可能ですが、この形のときは三角関数を使うと式が簡単になり、積分の計算も楽です。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

x=2sinθとおくと、dx/dθ=2cosθだから、dx=2cosθ・dθですね。
これを使って与式を置き換えるという方向です。
ただし、このように変数を変えると、積分の区間も変わることに注意が必要です。

x=1のとき
  1=2sinθ
sinθ=1/2
   θ=π/6

x=2のとき
  2=2sinθ
sinθ=1
   θ=π/2

だから、積分の区間は[π/6〜π/2]となります。
つまり、

∫[π/6〜π/2]√{4−(2sinθ)2}・2cosθdθ

この時点では、もとの式より大幅にややこしくなってしまったように見えますが、三角関数の公式をうまく使って変形すると、積分しやすい次数の低い式になります。
まずは√の中身を4でくくって、

=∫[π/6〜π/2]√[4{1−(sinθ)2}]・2cosθdθ

三角比の相互関係より1−sin2θ=cos2θだから、

=∫[π/6〜π/2]√(4cos2θ)・2cosθdθ
=∫[π/6〜π/2]2cosθ・2cosθdθ
=∫[π/6〜π/2]4cos2θdθ

2倍角の公式よりcos2θ=cos2θ−sin2θ=2cos2θ−1すなわち、cos2θ=cos2θ+1だから、

=∫[π/6〜π/2]2(cos2θ+1)dθ

これで1次式の三角関数になりました。積分の公式が使いやすくなりましたね。

=[(1/2)・2sin2θ+2θ][π/6〜π/2]
=[sin2θ+2θ][π/6〜π/2]
=(0+π)−(√3/2+π/3)
=(2/3)π−√3/2


◆関連項目
置換積分法
微分積分(数学3)まとめ


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2021年12月31日

高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題B

高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題B

■ 問題

f(x)=√3・cos{(5/4)x−π/2},g(x)=−sin{(5/4)x−π/2}について、次の問いに答えよ。

(1) f(x)をサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。

(2) g(x)をコサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。

(3) f(x)・g(x)をサインのみを使ってできるだけ簡単な形で表せ。


この記事では(3)を解説します。


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■ 解答解説

(1)よりf(x)=√3・sin(5/4)x
(2)よりg(x)=cos(5/4)x

であることがわかりました。

今回はこれらの積を求めます。
もちろん

f(x)・g(x)=√3・sin(5/4)x・cos(5/4)x

ですが、これをサインだけで表すことを考えます。

角度の部分は同じで、サインとコサインがかけてあるので・・・

サインの2倍角の公式を使うことができます。

sin2α=2sinαcosα

ですね。
これを使えるように式を変形してみます。

 √3・sin(5/4)x・cos(5/4)x
=(√3/2)・2sin(5/4)x・cos(5/4)x

こうすれば係数に2が出てきたので、2倍角の公式を使うことができます。

=(√3/2)・sin(2・5/4)x
=(√3/2)sin(5/2)x

これでサインのみを使ってf(x)・g(x)を表すことができました。


この問題の最初に戻る→(1) f(x)をサインで表す


↓三角関数の解き方の練習に活用してください。↓



三角関数まとめ


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高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題A

高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題A

■ 問題

f(x)=√3・cos{(5/4)x−π/2},g(x)=−sin{(5/4)x−π/2}について、次の問いに答えよ。

(1) f(x)をサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。

(2) g(x)をコサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。


この記事では(2)を解説します。


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■ 解答解説

θ−π/2の公式を使えば一発ですが、加法定理でも解決できます。
加法定理に慣れておけば、いくつかの公式は覚える必要がなくなるので便利です。

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

だから、

 −sin{(5/4)x−π/2}
=−{sin(5/4)x・cos(π/2)−cos(5/4)x・sin(π/2)}
=cos(5/4)x


次の問題→f(x)・g(x)をサインで表す


↓三角関数の解き方の練習に活用してください。↓



三角関数まとめ


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2021年12月30日

高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題@

高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題@

■ 問題

f(x)=√3・cos{(5/4)x−π/2},g(x)=−sin{(5/4)x−π/2}について、次の問いに答えよ。

(1) f(x)をサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。


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■ 解答解説

θ−π/2の公式を使えば一発ですが、加法定理でも解決できます。
加法定理に慣れておけば、いくつかの公式は覚える必要がなくなるので便利です。

cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

だから、

 √3・cos{(5/4)x−π/2}
=√3{cos(5/4)x・cos(π/2)+sin(5/4)x・sin(π/2)}
=√3・sin(5/4)x


次の問題→g(x)をコサインで表す


↓三角関数の解き方の練習に活用してください。↓



三角関数まとめ


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2021年12月25日

高校数学「三角比」「三角方程式」2sinθ=√3

高校数学「三角比」「三角方程式」2sinθ=√3

■ 問題

2sinθ=√3を満たすθの値を求めよ。ただし、0°≦θ≦180°とする。


まずはsinθについて解きます。


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■ 解答解説

三角方程式では三角比を含む式のθの値を求めます。
三角比の項に係数があるときはまずは式を変形して、単純な形にします。

2sinθ=√3
 sinθ=√3/2

sinθの値が√3/2になるときのθの値がこの方程式の解です。

三角比の値を考えるときは単位円を描いて考えると良いです。

sinθ=y/rだから、y=√3,r=2なので、半径2の円を描いて、円周上の点のうちy=√3の場所を考えます。
第1象限と第2象限に1箇所ずつこのような点がありますね。
円周上の点からx軸に垂線を下ろすと、30°60°90°の三角形ができます。
θは第1象限のx軸の部分からの回転した角度を表すので、求める解は、

θ=60°,120°


↓三角比の解き方の練習に活用してください。↓



三角比まとめ


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2021年12月21日

高校数学「積分」∫(x^2・e^x)dxの不定積分

高校数学「積分」∫x2xdxの不定積分

■ 問題

∫x2xdxの不定積分を求めよ。

関数の積を積分するときは部分積分法を使います。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

部分積分法の基本的なやり方はこちらをごらんください
2つの関数の積を積分する方法が部分積分法です。
積の微分法の逆から式を作ることができると理解しておくと、公式として覚えていなくても解くことができます。

f(x)=x2,g'(x)=exとすると、f'(x)=2x,g(x)=exです。

 ∫x2xdx
=x2・ex−∫2x・exdx
=x2・ex−2∫x・exdx

ここで、∫x・exdxの部分もまた積なので、もう一度部分積分法を使います。

=x2・ex−2(x・ex−∫1・exdx)
=x2・ex−2(x・ex−ex)+C

これで終わりでも間違いとは言えませんが、exが共通しているので、くくっておいた方が良いでしょう!

=ex(x2−2x+2)+C


◆関連項目
不定積分部分積分法
対数関数の微分
微分積分(数学3)まとめ


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2021年12月19日

高校数学「積分」∫logxdxの不定積分

高校数学「積分」∫logxdxの不定積分

■ 問題

∫logxdxの不定積分を求めよ。

対数の積分は部分積分法を使います。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

部分積分法の基本的なやり方はこちらをごらんください
2つの関数の積を積分する方法が部分積分法です。
積の微分法の逆から式を作ることができると理解しておくと、公式として覚えていなくても解くことができます。

logx=1・logxとみなします。

 ∫logxdx
=∫1・logxdx

f'(x)=1,g(x)=logxとすると、f(x)=x,g'(x)=1/xとなるので、計算することができます。

=x・logx−∫x・(logx)'dx
=x・logx−∫x・(1/x)dx
=x・logx−∫1dx
=x・logx−x+C

さらにxでくくって、x(logx−1)+Cとしてもよいです。


◆関連項目
不定積分部分積分法
対数関数の微分
微分積分(数学3)まとめ


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2021年12月15日

高校数学「数列」1/1・2,1/2・3,1/3・4,1/4・5,……の和

高校数学「数列」1/1・2,1/2・3,1/3・4,1/4・5,……の和

■ 問題

次の数列{an}の初項から第n項までの和を求めよ。

1/1・2,1/2・3,1/3・4,1/4・5,……,1/n(n+1)


■ 選択肢

 @ 分母は1,2,3,4,…となる数列と2,3,4,5,…となる数列の積だから、2つの等差数列の和を掛ける

 A 分母の一般項はn(n+1)=n2+nだから、Σ[k=1〜n](n2+n)の逆数を求める

 B それぞれ計算すると、1/2,1/6,1/12,1/20である!

 C 部分分数分解をする


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、各大学の入試対策も行っています。過去問を中心に、基礎からやり直す人から医学部を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
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■ 選択肢の解答

 C 部分分数分解をする

 今回の数列のように、分母が等差数列の積の形になっているときは、いわゆる「部分分数分解」をします。
 部分分数分解をすると、積を差の形で表すことができて、次々と相殺できる項が現れて、最初と最後だけが残る場合があります。


■ 計算式

 まず、求める数列の和は、次のように表すことができます。

1/1・2+1/2・3+1/3・4+1/4・5+……+1/n(n+1)

これを部分分数分解してみると、

(1/1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+(1/4−1/5)+……+{1/n−1/(n+1)}

このようになります。最初と最後をのぞいて、それぞれの括弧内の後ろの項と次の括弧内の前の項が相殺してプラマイゼロになります。すると、最初と最後だけが残ります。

 1/1−1/(n+1)
=(n+1−1)/(n+1)
=n/(n+1)


この問題は次の書籍のP.37に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
数列まとめ


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2021年12月13日

高校数学「積分」∫(1/sinx)dxの不定積分

高校数学「積分」∫(1/sinx)dxの不定積分

■ 問題

∫(1/sinx)dxの不定積分を求めよ。


三角関数の積分は、やりやすい形になるよう変形が必要な場合が多いです。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

∫tanxdxの不定積分と同様に、分子と分母にサインとコサインが出てくる形を目指します。

そうなれば、置換積分法や対数関数の微分の逆の、∫{f'(x)/f(x)}dx=log|f(x)|+Cを使うことができる。というイメージです。


1/sinx=sinx/sin2xとすれば、三角関数の相互関係より、

sinx/(1−cos2x)

このように直すことができます。

例えばcosx=tとおくと、t'=−sinxすなわちdt/dx=−sinxだから、dt=−sinxdxです。
さらに符号を変えて、−dt=sinxdxとしておくと扱いやすいです。

与式にここまでの式を当てはめると、

 ∫(1/sinx)dx
=∫(sinx/sin2x)dx
=∫{sinx/(1−cos2x)}dx
=−∫{1/(1−t2)}dt  ←sinxdx=−dtで置き換えた
=∫{1/(t2−1)}dt

とりあえずここまできました。
積分では、次数が低くないと計算が大変なので、なるべく1次式になることを目指します。
分母が因数分解できるのでやってみると、

=∫{1/(t−1)(t+1)}dt

1/(t−1)−1/(t+1)={t+1−(t−1)}/{(t−1)(t+1)}=2/(t−1)(t+1)だから、
1/(t−1)(t+1)=(1/2){1/(t−1)−1/(t+1)}
つまり、

=(1/2)∫{1/(t−1)−1/(t+1)}dt

このように変形できます。部分分数分解の手法ですね。
(t−1)'=1,(t+1)'=1だから、∫{f'(x)/f(x)}dx=log|f(x)|+Cを使って、

=(1/2)(log|t−1|−log|t+1|)+C
=(1/2)log|(t−1)/(t+1)|+C

最後はtをcosxに戻して、

=(1/2)・log|(cosx−1)/(cosx+1)|+C


◆関連項目
三角関数の相互関係不定積分合成関数の微分対数関数の微分
微分積分(数学3)まとめ


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こんなヤツです
名前:江間淳
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職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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