高校数学「空間のベクトル」対称な点

高校数学「空間のベクトル」対称な点

◆問題

座標空間上の点Ａ(２，７，−１)に関して、次の座標を求めよ。

(1)〜(3)平面との交点はこちら
(4)〜(6)軸との交点はこちら

(7) ｘｙ平面に関して対称な点
(8) ｘ軸に関して対称な点
(9) 原点に関して対称な点


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◆解答解説

座標空間上の点Ａ(２，７，−１)に関して、次の座標を求めよ。

軸などに関して対称な点は、どれかの座標の符号が変わると考えれば良いです。

(7) ｘｙ平面に関して対称な点
ｘｙ平面に関して対称な点は、ｘｙ平面のちょうど反対側に移動するので、ｚ座標のみが変わります。
つまり、求める座標は(２，７，１)

(8) ｘ軸に対して対称な点
ｘ軸に関して対称な点は、ｘ軸のちょうど反対側に移動するので、ｙ座標、ｚ座標が変わります。
つまり、求める座標は(２，−７，１)

(9) 原点に対して対称な点
原点のちょうど反対側に移動すると、ｘ座標、ｙ座標、ｚ座標全てが変わります。
つまり、求める座標は(−２，−７，１)


この問題の最初に戻る→(1)〜(3)平面との交点


◆関連項目
ベクトルまとめ


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高校数学「空間のベクトル」点Ａから引いた垂線�A

高校数学「空間のベクトル」点Ａから引いた垂線�A

◆問題

座標空間上の点Ａ(２，７，−１)に関して、次の座標を求めよ。

(1)〜(3)平面との交点はこちら

(4) ｘ軸に引いた垂線とｘ軸との交点
(5) ｙ軸に引いた垂線とｙ軸との交点
(6) ｚ軸に引いた垂線とｚ軸との交点


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◆解答解説

座標空間上の点Ａ(２，７，−１)に関して、次の座標を求めよ。

垂線を引くと、その点から「まっすぐ下」とか「まっすぐ横」とかになるので、一部の座標はそのまま、一部の座標はゼロになります。
空間では、「直線に対して垂直」は、その直線の周囲３６０°どの方向からも成り立つことに注意してください。

(4) ｘ軸に引いた垂線とｘ軸との交点
ｘ軸上は、ｘ座標がいろいろな値をとり、ｙ，ｚはゼロになります。
だから、求める座標は(２，０，０)

(5) ｙ軸に引いた垂線とｙ軸との交点
ｙ軸上は、ｙ座標がいろいろな値をとり、ｘ，ｚはゼロになります。
だから、求める座標は(０，７，０)

(6) ｚ軸に引いた垂線とｚ軸との交点
ｚ軸上は、ｚ座標がいろいろな値をとり、ｘ，ｙはゼロになります。
だから、求める座標は(０，０，−１)


次の問題→対称な点


◆関連項目
ベクトルまとめ


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高校数学「空間のベクトル」点Ａから引いた垂線�@

高校数学「空間のベクトル」点Ａから引いた垂線�@

◆問題

座標空間上の点Ａ(２，７，−１)に関して、次の座標を求めよ。

(1) ｘｙ平面に引いた垂線とｘｙ平面との交点
(2) ｙｚ平面に引いた垂線とｙｚ平面との交点
(3) ｚｘ平面に引いた垂線とｚｘ平面との交点


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◆解答解説

座標空間上の点Ａ(２，７，−１)に関して、次の座標を求めよ。

垂線を引くと、その点から「まっすぐ下」とか「まっすぐ横」とかになるので、一部の座標はそのまま、一部の座標はゼロになります。

(1) ｘｙ平面に引いた垂線とｘｙ平面との交点
ｘｙ平面上は、ｘ，ｙがいろいろな値をとり、ｚ＝０です。
点Ａはｘｙ平面の「下側」にあるので、点Ａの真上の点が求める点です。
つまり、(２，７，０)

(2) ｙｚ平面に引いた垂線とｙｚ平面との交点
ｙｚ平面上は、ｙ，ｚがいろいろな値をとり、ｘ＝０です。
点Ａはｙｚ平面の「右側」にあるので、点Ａの真横の点が求める点です。
つまり、(０，７，−１)

(3) ｚｘ平面に引いた垂線とｚｘ平面との交点
ｚｘ平面上は、ｚ，ｘがいろいろな値をとり、ｙ＝０です。
だから、求める点の座標は(２，０，−１)です。


次の問題→ｘ軸、ｙ軸、ｚ軸との交点


◆関連項目
ベクトルまとめ


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高校数学「微分」ｘ＝ｓｉｎ2θ，ｙ＝ｃｏｓθの導関数

高校数学「微分」ｘ＝ｓｉｎ²θ，ｙ＝ｃｏｓθの導関数

■　問題

ｘの関数ｙが次のように媒介変数で与えられているとき、導関数ｄｙ／ｄｘをそれぞれの媒介変数を用いて表せ。
ｘ＝ｓｉｎ²θ，ｙ＝ｃｏｓθ

---

ｘの関数ｙが、ｔを媒介変数としてｘ＝ｆ(ｔ)，ｙ＝ｇ(ｔ)と表されるとき、導関数ｄｙ／ｄｘは

ｄｙｄｘ＝ｄｙｄｔ
ｄｘｄｔ
＝ｇ'(ｔ)ｆ'(ｔ)
で求めることができる。

という方針です。

---

■　解答解説

まずはｘの式とｙの式それぞれを微分します。

ｄｘ／ｄｔ＝２(ｓｉｎθ)'・ｓｉｎθ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ
ｄｙ／ｄｔ＝−ｓｉｎθ

ですね。
だから、

ｄｙｄｘ＝ｄｙｄｔ
ｄｘｄｔ
＝−ｓｉｎθ２ｓｉｎθｃｏｓθ

約分して、

＝−１２ｃｏｓθ

これで完成です！

■　関連項目
数学３微分積分まとめ

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高校数学「微分」ｘ＝ｔ3＋２ｔ，ｙ＝ｔ3−ｔの導関数

高校数学「微分」ｘ＝ｔ³＋２ｔ，ｙ＝ｔ³−ｔの導関数

■　問題

ｘの関数ｙが次のように媒介変数で与えられているとき、ｄｙ／ｄｘをそれぞれの媒介変数を用いて表せ。
ｘ＝ｔ³＋２ｔ，ｙ＝ｔ³−ｔ

---

ｘの関数ｙが、ｔを媒介変数としてｘ＝ｆ(ｔ)，ｙ＝ｇ(ｔ)と表されるとき、導関数ｄｙ／ｄｘは

ｄｙｄｘ＝ｄｙｄｔ
ｄｘｄｔ
＝ｇ'(ｔ)ｆ'(ｔ)
で求めることができる。

という方針です。

---

■　解答解説

まずはｘの式とｙの式それぞれを微分します。

ｄｘ／ｄｔ＝３ｔ²＋２
ｄｙ／ｄｔ＝３ｔ²−１

ですね。
だから、

ｄｙｄｘ＝ｄｙｄｔ
ｄｘｄｔ
＝３ｔ²−１３ｔ²＋２

これで完成です！

■　関連項目
数学３微分積分まとめ

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高校数学「微分」ｆ(ｘ)＝ｘ1/xの微分

高校数学「微分」ｆ(ｘ)＝ｘ^1/xの微分

■　問題

次の関数を微分せよ。
ｆ(ｘ)＝ｘ^1/x

---

対数微分法を使う問題です。
この問題では数学２の対数の計算法則、数学３の対数関数の微分と積の微分法を使います。
「そんなの知らないよ！」という人は、まずは公式等を確認してみましょう！

---

■　解答解説

まずは両辺の自然対数をとります。

ｌｏｇｆ(ｘ)＝ｌｏｇｘ^1/x
　　　　　＝(１／ｘ)・ｌｏｇｘ
　　　　　＝ｘ^-1・ｌｏｇｘ

両辺をｘで微分します。
左辺は対数の微分、右辺は積の微分ですね。

ｆ'(ｘ)／ｆ(ｘ)＝(ｘ^-1)'・ｌｏｇｘ＋ｘ^-1・(ｌｏｇｘ)'
　　　　　　＝−(１／ｘ²)・ｌｏｇｘ＋(１／ｘ)(１／ｘ)
　　　　　　＝−(１／ｘ²)・ｌｏｇｘ＋１／ｘ²
　　　　　　＝(１−ｌｏｇｘ)／ｘ²

両辺にｆ(ｘ)をかけて、

ｆ'(ｘ)＝ｆ(ｘ)(１−ｌｏｇｘ)／ｘ²
　　＝{(１−ｌｏｇｘ)／ｘ²}・ｘ^1/x

ここで終わりでも大きな問題はありませんが、さらに次のように変形することもできます。

　　＝(１−ｌｏｇｘ)・ｘ^1/x-2

■　関連項目
積の微分法、対数関数の微分、数学３微分積分まとめ
対数の計算法則、指数・対数まとめ

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高校数学「微分」ｙ＝ｌｏｇ\( \sqrt{1+x^2} \)の微分

高校数学「微分」ｙ＝ｌｏｇ\( \sqrt{1+x^2} \)の微分

■　問題

次の関数を微分せよ。
ｙ＝ｌｏｇ\( \sqrt{1+x^2} \)

---

対数の微分のちょっとだけ応用問題ですね。
この問題では数学２の対数の計算法則、数学３の対数関数の微分を使います。
「そんなの知らないよ！」という人は、まずは公式等を確認してみましょう！

---

■　解答解説

まずは対数の計算法則ｌｏｇｘ^a＝ａｌｏｇｘを使って変形します。

ｙ＝(１／２)ｌｏｇ(１＋ｘ²)

続いて、対数の微分の公式を使います。{ｌｏｇ|ｆ(ｘ)|}'＝ｆ'(ｘ)／ｆ(ｘ)ですね！

ｙ'＝(１／２)・(１＋ｘ²)'１＋ｘ²
　＝(１／２)・２ｘ１＋ｘ²
　＝ｘ１＋ｘ²

これで完成です！

■　関連項目
対数関数の微分、数学３微分積分まとめ
対数の計算法則、指数・対数まとめ

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高校数学「平面上の曲線」θ＝π／４の表す線など

高校数学「平面上の曲線」θ＝π／４の表す線など

◆問題

次の極方程式で表されるのは、どのような直線または曲線であるか答えよ。

(1) θ＝π／４

(2) ｒ＝１


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

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こちらに共通テストの解説を順次掲載していきます。
このブログとあわせてご利用ください。

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◆解答・解説

極座標(ｒ，θ)は、始線となるＯＸからθだけ回転して、Ｏからｒの距離の点を表します。

(1) θ＝π／４

ｒは特に決まっていない。つまり、何でもよい。θはπ／４と角度だけ決まっている。

ということは、始線ＯＸからπ／４だけ回転した直線上の点の集合を表している。と考えられます。

つまり、「極Ｏを通り、始線ＯＸとのなす角がπ／４の直線」を表します。


(2) ｒ＝１

今度は半径だけが決まっていて、角度が決まっていません。つまり、角度はあらゆる値をとることができる。というわけです。

一般に、中心が極Ｏで、半径がａの円の極方程式は「ｒ＝ａ」で表されます。

この場合はｒ＝１なので、「中心が極Ｏで、半径が１の円」を表します。


◆関連項目
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」直交座標が(１，−√３)である点Ｐの極座標

高校数学「平面上の曲線」直交座標が(１，−\( \sqrt{３} \)である点Ｐの極座標

◆問題

直交座標が(１，−\( \sqrt{３} \)である点Ｐの極座標(ｒ，θ)を求めよ。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

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こちらに共通テストの解説を順次掲載していきます。
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◆解答・解説

極座標(ｒ，θ)は、始線となるＯＸからθだけ回転して、Ｏからｒの距離の点を表します。
だから、直交座標(ｘ，ｙ)と以下の関係が成り立ちます。

ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，ｒ＝\( \sqrt{x^2 + y^2} \)

今回は直交座標が(１，−√３)だから、ｘ＝１，ｙ＝−√３を代入して計算していきます。
まずはｒを求めます。

ｒ＝\( \sqrt{1^2 +( − \sqrt{3} )^2} \)
　＝\( \sqrt{１＋３} \)
　＝√４
　＝２

ｘ＝ｒｃｏｓθに、ｘ＝１，ｒ＝２を代入すると、
１＝２ｃｏｓθより、ｃｏｓθ＝１／２

ｙ＝ｒｃｏｓθに、ｙ＝−√３，ｒ＝２を代入すると、
−√３＝２ｓｉｎθつまり、ｓｉｎθ＝−√３／２

このようなコサインとサインの値の組合せになるのは、θ＝５３πですね！

よって、求める点Ｐの極座標は、(２，５３π)


◆関連項目
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」極座標が(２，π／６)である点Ｐの直交座標

高校数学「平面上の曲線」極座標が(２，π／６)である点Ｐの直交座標

◆問題

極座標が(２，π／６)である点Ｐの直交座標を求めよ。


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こちらに共通テストの解説を順次掲載していきます。
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◆解答・解説

極座標(ｒ，θ)は、始線となるＯＸからθだけ回転して、Ｏからｒの距離の点を表します。
だから、直交座標(ｘ，ｙ)と以下の関係が成り立ちます。

ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，ｒ＝\( \sqrt{x^2 + y^2} \)

今回は極座標が(２，π／６)だから、ｒ＝２，θ＝π／６を代入すると、

ｘ＝２ｃｏｓ(π／６)
　＝２×√３／２
　＝√３

ｙ＝２ｓｉｎ(π／６)
　＝２×１／２
　＝１

よって、求める点Ｐの直交座標は(√３，１)


◆関連項目
平面上の曲線まとめ


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高校数学「複素数平面」複素数ｗ＝ｉ(ｚ＋１)で表される点ｗ

高校数学「複素数平面」複素数ｗ＝ｉ(ｚ＋１)で表される点ｗ

■問題

点ｚが原点を中心とする半径１の円周上を動くとき、複素数ｗ＝ｉ(ｚ＋１)で表される点ｗは、どのような図形を描くか求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

この問題でｚは「原点を中心とする半径１の円」を表しています。
これを式で表すと、

|ｚ|＝１

ですね。

与式はｗ＝ｉ(ｚ＋１)だから、これをｚについて解けば、|ｚ|＝１で式を作ることができる。という方針です。

　ｗ＝ｉｚ＋ｉ
ｉｚ＝ｗ−ｉ
　ｚ＝(ｗ−ｉ)／ｉ

|ｚ|＝１だから、|(ｗ−ｉ)／ｉ|＝１です。つまり、|ｗ−ｉ|／|ｉ|＝１です。
|ｉ|＝１だから結局、|ｗ−ｉ|＝１です。

この形の式は円ですね！

「ｗは、中心が点ｉで半径１の円」である。ことがわかります。


関連問題→等式|ｚ−(２＋ｉ)|＝１を満たす点ｚの表す図形

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高校数学「確率統計」正規分布

高校数学「確率統計」正規分布

正規分布について、次のことが知られています。

正規分布の平均と標準偏差

確率変数Ｘが正規分布Ｎ(ｍ，σ²に従うとき
Ｅ(Ｘ)＝ｍ，σ(Ｘ)＝σ

また、確率変数Ｘが正規分布Ｎ(ｍ，σ²)に従うとき、

　　Ｚ＝Ｘ−ｍσ

とすると、Ｚは平均０，標準偏差１の正規分布Ｎ(０，１)に従い、このＺを「標準化した確率変数」といいます。

そして、Ｚは正規分布表によって確率を求めることができる。というわけです。


◆関連事項
正規分布表
確率統計まとめ

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高校数学「微分」「対数微分法」分数式の３乗根の微分

高校数学「微分」「対数微分法」分数式の３乗根の微分

次の関数を微分せよ。
ｙ＝{ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２}^1/3

つまり、「ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２の３乗根」です。
このように、式が複雑なときは「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。

対数微分法とは、まず両辺の自然対数をとり、その対数を微分するという方法です。

今回の問題では、まず、

ｌｏｇ|ｙ|＝(１／３)ｌｏｇ|ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２|

とします。
全体の１／３乗は係数に移動しています。
さらに、分数全体についている絶対値は、分子と分母それぞれに分けても同じなので、分解していきます。

ｌｏｇ|ｙ|＝(１／３)ｌｏｇ|ｘ||ｘ−３|²|ｘ＋２|
　　　　＝(１／３)(ｌｏｇ|ｘ|＋２ｌｏｇ|ｘ−３|−ｌｏｇ|ｘ＋２|)

これで、右辺が全て対数の１次式になったので、微分できそうですね。

ｙ'／ｙ＝(１／３){１／ｘ＋２／(ｘ−３)−１／(ｘ＋２)}
　　　＝(１／３){(ｘ−３)(ｘ＋２)＋２ｘ(ｘ＋２)−ｘ(ｘ−３)}／{ｘ(ｘ−３)(ｘ−２)}
　　　＝(１／３)(ｘ²−ｘ−６＋２ｘ²＋４ｘ−ｘ²＋３ｘ)／{ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)}
　　　＝(２ｘ²＋６ｘ−６)／{３ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)}

求めるのはｙ'だから、左辺がｙ'だけになるように、両辺にｙをかけます。

ｙ'＝ｙ(２ｘ²＋６ｘ−６)／{３ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)}

ｙ＝{ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２}^1/3だから、

ｙ'＝{ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２}^1/3・２ｘ²＋６ｘ−６３ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)

あとは、(ｘ−３)の３乗根で少し約分できたりもしますが、とりあえずここまでできるようになっていれば、それほど問題ないと思います。


数学３微分積分まとめ


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高校数学「極限」「三角関数」(π−２ｘ)／ｃｏｓｘの極限

高校数学「極限」「三角関数」(π−２ｘ)／ｃｏｓｘの極限

■　問題

次の極限を調べよ。

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - 2\pi}{\cos x} \]


こういったちょっと複雑な式でも、サインの極限を求めるときは、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を使えるようにします。

公式はコレです→

解答解説はこのページ下です。

---

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１０秒でわかる高校数学３「微分」基本問題の考え方

---

■　解答解説

ｓｉｎｘ／ｘの形を使うには、ｘ→０でなければいけません。
今回はｘ→π／２なので、まずはこの点を変更します。

π−２ｘ＝θとおくと、ｘ＝π／２のときθ＝０ですね。
だからこれに従って、ｘをθに置き換えます。

π−２ｘ＝θ
−２ｘ＝θ−π
　　ｘ＝π／２−θ／２

というわけで、

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - 2\pi}{\cos x} \]
は、
\[
\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\right)}
\]
に変換することができます。

ｃｏｓ(π／２−θ／２)＝ｓｉｎ(θ／２)だから、

θ／{ｃｏｓ(π／２−θ／２)}＝θ／{ｓｉｎ(θ／２)}＝２・(θ／２)／{ｓｉｎ(θ／２)}

このようになります。

よって、求める極限値は２

◆関連項目
サインの極限
コサインの極限
極限・微分まとめ(数学３)


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高校数学「複素数平面」等式|ｚ−(２＋ｉ)|＝１を満たす点ｚの表す図形

高校数学「複素数平面」等式|ｚ−(２＋ｉ)|＝１を満たす点ｚの表す図形

■問題

等式|ｚ−(２＋ｉ)|＝１を満たす点ｚは、どのような図形を表すか？

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

|ｚ−(２＋ｉ)|＝１

この等式は、「点(２＋ｉ)からの距離が１である」ことを意味しています。

ある特定の点からの距離が一定の点の集合は・・・

円ですね！

つまり、この等式は「点(２＋ｉ)を中心とする半径１の円」を表しています。


なお、一般に、

複素数α，正の数ｒに対して 　　|ｚ−α|＝ｒ を満たす点ｚの全体は、中心α，半径ｒの円を表す。

ということができます。

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高校数学「極限」「三角関数」(ｓｉｎｘ)／(ｘ＋ｔａｎｘ)の極限

高校数学「極限」「三角関数」(ｓｉｎｘ)／(ｘ＋ｔａｎｘ)の極限

■　問題

ｌｉｍ[x→0]{(ｓｉｎｘ)／(ｘ＋ｔａｎｘ)}の極限を調べよ。


こういったちょっと複雑な式でも、サインの極限を求めるときは、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を使えるようにします。

公式はコレです→

解答解説はこのページ下です。

---

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１０秒でわかる高校数学３「微分」基本問題の考え方

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■　解答解説

ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１が使えるようにするためには、ｓｉｎ３ｘ／ｘの極限と同様のことをするのが基本的な方針です。

今回の問題では、その問題よりも、もう少し式が複雑なので、まずはｔａｎｘ＝ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘを使って変形していきます。

　ｓｉｎｘ／(ｘ＋ｔａｎｘ)
＝ｓｉｎｘ／(ｘ＋ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘ)
＝ｓｉｎｘ／(ｘ＋ｓｉｎｘ・１／ｃｏｓｘ)

ｓｉｎｘ／ｘの形をつくるために、分子と分母をｘで割ります。

＝(ｓｉｎｘ／ｘ)／{１＋(ｓｉｎｘ／ｘ)・(１／ｃｏｓｘ)}

これでサインのところは全てｓｉｎｘ／ｘの形になりました。
あとは公式と、ｃｏｓ０＝１を使って、

　ｌｉｍ[x→0][(ｓｉｎｘ／ｘ)／{１＋(ｓｉｎｘ／ｘ)・(１／ｃｏｓｘ)}]
＝１／(１＋１・１／１)
＝１／２

よって、求める極限値は１／２です！

◆関連項目
サインの極限
コサインの極限
極限・微分まとめ(数学３)


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高校数学「複素数平面」等式|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|を満たす点ｚの表す図形

高校数学「複素数平面」等式|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|を満たす点ｚの表す図形

■問題

等式|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|を満たす点ｚは、どのような図形を表すか？

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|

Ａ(２)，Ｂ(ｉ)とすると、
この式のｚは、２点Ａ，Ｂからの距離が等しい点を表しています。

Ａ，Ｂからの距離が等しい点の集合は何か？といえば、

線分ＡＢの垂直二等分線ですね！

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高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�A

高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�A

■問題

α＝１＋ｉ，β＝３＋２ｉ，δ＝２−ｉの表す点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｄとするとき、直線ＡＢとＡＤはどのような位置関係にあるか求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

３点の位置関係を調べるならば、それらを結ぶ直線によってできる角を調べるのが有力な方法です。
つまり、
δ−αβ−α
を調べればよい。というわけです。
やってみましょう！

　δ−αβ−α
＝２−ｉ−(１＋ｉ)３＋２ｉ−(１＋ｉ)
＝１−２ｉ２＋ｉ
＝−ｉ(２＋ｉ)２＋ｉ
＝−ｉ

計算した結果、この複素数は純虚数になってしまいました。
ということは、ＡＢとＡＤのなす角は９０°であり、「ＡＢとＡＤは垂直である」ということができます。


前の問題→実数の場合

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高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�@

高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�@

■問題

α＝１＋ｉ，β＝３＋２ｉ，γ＝５＋３ｉの表す点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、３点Ａ，Ｂ，Ｃはどのような位置関係にあるか求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

３点の位置関係を調べるならば、それらを結ぶ直線によってできる角を調べるのが有力な方法です。
つまり、
γ−αβ−α
を調べればよい。というわけです。
やってみましょう！

　γ−αβ−α
＝５＋３ｉ−(１＋ｉ)３＋２ｉ−(１＋ｉ)
＝４＋２ｉ２＋ｉ
＝２(２＋ｉ)２＋ｉ
＝２

計算した結果、この複素数は実数になってしまいました。
ということは、ＡＢとＡＣのなす角は０°であり、「３点Ａ，Ｂ，Ｃは一直線上にある」ということができます。


次の問題→純虚数の場合

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高校数学「因数定理」ｘ3＋２ｘ2−２ｘ＋３はｘ＋３を因数にもつか？

高校数学「因数定理」ｘ³＋２ｘ²−２ｘ＋３はｘ＋３を因数にもつか？

◆問題

Ｐ(ｘ)＝ｘ³＋２ｘ²−２ｘ＋３が、ｘ＋３を因数にもつかどうか調べよ。因数にもつ場合は因数分解せよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

１次式を因数にもつかどうかは、因数定理で簡単に調べることができますね。

Ｐ(ａ)＝０のとき、ｘ−ａを因数にもつ

今回はｘ＋３を因数にもつかどうかを調べたいので、Ｐ(−３)を計算します。

Ｐ(−３)＝(−３)³＋２(−３)²−２×(−３)＋３
　　　＝−２７＋１８＋６＋３
　　　＝０

ゼロになったので、ｘ＋３は因数です。

そしてその場合は「因数分解せよ。」と言っているので、因数分解します。３次式の因数分解をするときは、まずはその因数でＰ(ｘ)を割ります。

もちろん普通に割り算で良いですが、ここでは組み立て除法で記載してみます。

まずはｘ＋３で割るので、左に−３，あとは係数を並べて書きます。

−３｜１　２　−２　３


続いて、一番上のくらいの係数をそのまま下ろして、「隣の位に掛けて足す」ことを次々とやっていきます。


−３｜１　２　−２　３
　　　　−３　　３−３
―――――――――――
　　　１−１　　１　０

というわけで、割った結果は、ｘ²−ｘ＋１、余りゼロです。
だから因数分解した結果は、

Ｐ(ｘ)＝(ｘ＋３)(ｘ²−ｘ＋１)

カッコの中は２次式ですが、「複素数の範囲で因数分解せよ」などと言われていなければ、コレで終わりです。

◆関連項目
３次方程式ｘ³＋ａｘ²−ｘ−６＝０の解の１つが２のとき
因数定理・高次方程式まとめ


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