2019年08月08日

解答★意外と解けない高校数学「2次関数」「切り取る線分」

解答★意外と解けない高校数学「2次関数」「切り取る線分」

問題ページはこちら

2次関数y=x^2−2axがx軸から切り取る線分の長さをaを使って表しなさい。

「切り取る線分」とは、「x軸と放物線の2つの交点の間の線分」のことです。

2次関数はx軸と2つの交点を持つ場合があり、そのときの線分が「切り取る線分」です。

つまり、「交点間の距離」=「切り取る線分の長さ」です。

だから、まずは2つの交点のx座標を求めます。

y=x^2−2ax=0
  x(x−2a)=0

よって、x=0,2a

つまり、0と2aの間の距離、すなわち、2a−0=2aが「切り取る線分の長さ」です。


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意外と解けない高校数学「2次関数」「切り取る線分」

高校数学「2次関数」「切り取る線分」

2次関数y=x^2−2axがx軸から切り取る線分の長さをaを使って表しなさい。

2次関数は最大最小が最も代表的な論点ですが、このようなことが問われる場合もあります。

「切り取る線分」とは、つまり何なのか?

がわかれば、特に難しくありませんが、どうでしょうか?


解答解説は後ほど掲載します。


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2019年08月06日

高校数学「微分」「商の微分法」「極値」

高校数学「微分」「商の微分法」「極値」

関数f(x)=x^2/(x−1)について、次の問いに答えよ。
(1) 第1次導関数f'(x)を求めよ。

(2) 第2次導関数f''(x)を求めよ。

(3) 極値を求めよ。

数学2でもやっているように、極値とは「極大値」「極小値」であり、極値は増減が切り替わる点であり、接線の傾きがゼロです。
f'(x)は接線の傾きを表すので、f'(x)=0解けば極値のx座標がわかります。

(1) 第1次導関数f'(x)より、f'(x)=x(x−2)/{(x−1)^2}なので、

x(x−2)/{(x−1)^2}=0

両辺に(x−1)^2を掛けて、

x(x−2)=0

よって、x=0,2

これが極値でのxの値です。これらのときのy座標が「極値」です。

f(0)=0/(0−1)=0

f(2)=2^2/(x−1)=4

よって、x=0のとき極小値0,x=2のとき極大値4


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2019年07月29日

高校数学「微分」「商の微分法」「第2次導関数」

高校数学「微分」「商の微分法」「第2次導関数」

関数f(x)=x^2/(x−1)について、次の問いに答えよ。
(1) 第1次導関数f'(x)を求めよ。

(2) 第2次導関数f''(x)を求めよ。

前回の記事で、第1次導関数を求めました。
今回は第2次導関数を求めます。

特に変わったことはなく、単にもう一回微分するだけです。
少し計算が大変ですが、がんばっていきましょう!

f'(x)=x(x−2)/{(x−1)^2}をさらにもう一回微分します。
分数なので、やはり「商の微分法」をやります。

商の微分法の公式は、

{f(x)/g(x)}'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

でしたね。

この問題にこの公式を当てはめてみましょう!
公式のf(x)はx(x−2)=x^2−2x,g(x)は(x−1)^2だから、

 f''(x)
=[(x^2−2x)'・(x−1)^2−(x^2−2x)・{(x−1)^2}']/{(x−1)^2}^2
=(2x−2)・(x−1)^2−(x^2−2x)・2(x−1)'・(x−1)}/{(x−1)^4}
={2(x−1)・(x−1)^2−x(x−2)・2(x−1)}/{(x−1)^4}
={2(x−1)^3−2x(x−2)(x−1)/{(x−1)^4}
={2(x−1)^2−2x(x−2)}/{(x−1)^3}

これをさらに計算して、

={2(x^2−2x+1)−2x^2+4x)}/{(x−1)^3}
=(2x^2−4x+2−2x^2+4x)/{(x−1)^3}
=2/{(x−1)^3}


ちなみに、第2次導関数は、変曲点などに活用します。


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2019年07月27日

高校数学「微分」「商の微分法」

高校数学「微分」「商の微分法」

関数f(x)=x^2/(x−1)について、次の問いに答えよ。
(1) 第1次導関数f'(x)を求めよ。

f'(x)は、つまりは微分した関数です。

与式はf(x)=x^2/(x−1)で、分数なので、「商の微分法」をやるのが標準的です。

商の微分法の公式は、

{f(x)/g(x)}'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

でしたね。

この問題にこの公式を当てはめてみましょう!
公式のf(x)はx^2,g(x)はx−1だから、

f'(x)={(x^2)'・(x−1)−x^2・(x−1)'}/{(x−1)^2}
   ={2x(x−1)−x^2}/{(x−1)^2}
   =(2x^2−2x−x^2)/{(x−1)^2}
   =(x^2−2x)/{(x−1)^2}
   =x(x−2)/{(x−1)^2}


ということでまずは第1次導関数は完成です。


次の記事→(2)第2次導関数


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2019年07月18日

解答★高校数学基本問題「2次関数」「2点間の距離」「ベクトル」

解答★高校数学基本問題「2次関数」「2点間の距離」「ベクトル」


問題ページはこちら


2点A(−3,−9),B(1,7)について次の問いに答えよ。

(1) 点Aを頂点とし、点Bを通る放物線の式を求めよ。

頂点がわかっている2次関数は次の式を使います。

y=a(x−p)^2+q

(p,q)が頂点の座標、(x,y)は関数上の点の座標ですね。

今回の問題では、(p,q)=(−3,−9),(x,y)=(1,7)なので、

   7=a{1−(−3)}^2−9
   7=a(1+3)^2−9
   7=16a−9
−16a=−9−7
 16a=16
   a=1

よって、求める2次関数は、y=(x+3)^2−9


(2) 線分ABの長さを求めよ。

2点間の距離は、三平方の定理の応用です。

d=√{(x2−x1)^2+(y2−y1)^2}

ですね。
つまり、座標平面上で直角三角形を使って、三平方の定理の式を表しただけです。

2点A,Bの座標を代入すると、

d=√[{1−(−3)}^2+(7−(−9)}^2]
 =√{(1+3)^2+(7+9)^2}
 =√(16+256)
 =√272
 =4√17


(3) →ABの成分と、→ABに平行で大きさが3のベクトルを求めよ。

→ABは、AからBまでいくのにx方向にいくつ、y方向にいくつ進むか?を表すと考えればOKです。
つまり、Bの座標からAの座標を引けばOK!

→AB=(1−(−3),7−(−9))
   =(4,16)

|→AB|は結局ABの2点間の距離なので、(2)で求めた4√17です。
大きさが3のベクトルを求めたいならば、大きさが3になるように→ABに何らかの値を掛ければ良いですね。
4√17を3にするには・・・

3/(4√17)倍をすればいいですね!

 (→AB)×3/(4√17)
=(4,16)×3/(4√17)
=(4×3/(4√17),16×3/(4√17))
=(3/√17,12/√17)

有理化すると、

=((3/17)√17,(12/17)√17)

逆方向でも平行なので、それぞれプラスマイナスをつけて、求めるベクトルは、

(±(3/17)√17,±(12/17)√17)


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2019年07月16日

高校数学基本問題「2次関数」「2点間の距離」「ベクトル」

高校数学基本問題「2次関数」「2点間の距離」「ベクトル」

2点A(−3,−9),B(1,7)について次の問いに答えよ。

(1) 点Aを頂点とし、点Bを通る放物線の式を求めよ。
(2) 線分ABの長さを求めよ。
(3) →ABの成分と、→ABに平行で大きさが3のベクトルを求めよ。


2点A,Bについて異なる分野の問題を配置してみました。
どれも基本問題です。
3問合計で5分くらいで解けるようにしたいですね。


解答解説はこちら


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2019年07月12日

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」「平行条件」「最小値」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」「平行条件」「最小値」

→a=(1,2),→b=(2,−3)とするとき次の問いに答えよ。

(1) →a−→bと→a−t(→b)が平行になるときのtの値を求めよ。
(2) t(→a)+→bの大きさを求めよ。またその最小値を求めよ。


係数部分にtなどの文字が入ってくると、途端にわからない人が多くなります。
皆さんはどうですか?


解答解説は後ほど掲載します。


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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2019年07月10日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「接線」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「接線」


問題ページはこちら


y=x^3+x^2−2上の点(−1,−2)における接線の方程式を求めよ。

「接線といえば微分」と結びついたでしょうか?

微分してできた関数を導関数といい、その導関数にx座標を代入した値を微分係数といいます。
微分係数はその点における接線の傾きと等しくなります。
だから、「接線といえば微分」となるわけです。

与式を微分すると、

y'=3x^2+2x

ですね。
接点の座標は(−1,−2)なので、x=−1を代入して、

y'=3(−1)^2+2(−1)
 =3−2
 =1

つまり、接線の傾きは1です。

求める接線は、傾きが1で、(−1,−2)を通る直線というわけですね!

y−y1=m(x−x1)に、m=1,x1=−1,y1=−2を代入して、

y−(−2)=1・{x−(−1)}
 y+2=x+1
   y=x+1−2
   y=x−1


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高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「接線」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「接線」

y=x^3+x^2−2上の点(−1,−2)における接線の方程式を求めよ。


数学2でも数学3でも、「接線の方程式を求めよ」と言われたら、基本的に同じことをします。
「接線」といえば・・・?


解答解説はこちら


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2019年07月09日

高校数学「円の方程式」「平方完成」

高校数学「円の方程式」「平方完成」

方程式x^2+y^2−6x−4y−12=0はどのような図形を表すか。

xも2乗、yも2乗の場合は、円を表します。
円の場合は、中心と半径を求めて、「中心(a,b),半径rの円」のように答えます。

式は、(x−a)^2+(y−b)^2=r^2の形になります。
この形のとき、中心(a,b),半径rですね。

今回の問題では、中心と半径はそのままではわからないので、この「わかる形」にします。
かっこの2乗なので、いわゆる「平方完成」をすればOKですね!

        (x^2−6x)+(y^2−4y)−12=0
(x^2−6x+9)−9+(y^2−4y+4)−4−12=0
             (x−3)^2+(y−2)^2=25
             (x−3)^2+(y−2)^2=5^2

よって、中心(3,2),半径5の円


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解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

|→a|=√3,|→b|=2で、→aと→bのなす角が30°であるとき、次の問いに答えよ。

(1) →a・→bを求めよ。

ベクトルの内積は次の公式で計算することができます。

→a・→b=|→a||→b|・cosθ

これに、|→a|=√3,|→b|=2、θ=30°を代入して

→a・→b
=√3×2・cos30°
=2√3×√3/2
=3

ちなみに、ベクトルの内積はスカラーになることを覚えておくと良いと思います。


(2) |3(→a)−(→b)|を求めよ。

合成されたベクトルの値を求めるためには、まずは2乗するとうまくいくことが多いです。
ベクトルは2乗するとスカラーになり、内積もスカラーになるからです。
計算は基本的に普通の文字式と同じやり方でできます。すなわち、普通に2乗の展開などをやることができますね!
やってみましょう!

|3(→a)−(→b)|^2
=9|→a|^2ー6(→a・→b)+|→b|^2
=9・(√3)^2−6・3+2^2
=27ー18+4
=13

2乗した値が13なので、求める値は√13


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2019年07月08日

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

|→a|=√3,|→b|=2で、→aと→bのなす角が30°であるとき、次の問いに答えよ。

(1) →a・→bを求めよ。
(2) |3(→a)−(→b)|を求めよ。


定期テストでもよく出題されるレベルの問題です。
当然必ず解けるようになっていなければいけませんが、これも質問されることが多いです。
皆さんはどうでしょうか?


解答解説はこちら


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2019年07月04日

解答(3)★高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の2点A(2,1),B(−4,3)について次の問いに答えよ。

問題ページはこちら

(1) 2点A,Bを通る直線の式を求めよ。
(2) 2点A,Bを直径とする円の方程式を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


(3) 2点A,Bを1:2に内分する点の座標を求めよ。

2点A,Bをm:nに内分する点の座標は、

((nx1+mx2)/(m+n),(ny1+my2)/(m+n))

で表すことができます。

この式に、A(2,1),B(−4,3),m:n=1:2を代入すると、

 ({2・2+1・(−4)}/(1+2),(2・1+1・3)/(1+2))
=((4−4)/3,(2+3)/3)
=(0,5/3)

これだけで完成ですね!

ちなみに、外分ならば、nのところがマイナスになります。


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解答(2)★高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の2点A(2,1),B(−4,3)について次の問いに答えよ。

問題ページはこちら

(1) 2点A,Bを通る直線の式を求めよ。

この記事では(2)を解説します。

(2) 2点A,Bを直径とする円の方程式を求めよ。

中心(p,q),半径rの円の方程式は

(x−p)^2+(y−q)^2=r^2

です。

2点A,Bを直径とするので、中心はA,Bの中点です。中点は2点の座標の平均でしたね。つまり、

(p,q)=((2−4)/2,(1+3)/2)
   =(−1,2)

半径は、中心と円周上の点との距離に等しいので、2点間の距離の公式を使って求めることができます。

d=√{(x2−x1)^2+(y2−y1)^2}に、d=r,(2,1),(−1,2)を代入して、

r=√{(−1−2)^2+(2−1)^2}
 =√(9+1)
 =√10

これで中心(−1,2),半径√10がわかりました。

よって、求める円の方程式は、

(x+1)^2+(y−2)^2=10


つづく


(3) 2点A,Bを1:2に内分する点の座標を求めよ。


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posted by えま at 08:13| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

解答(1)★高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の2点A(2,1),B(−4,3)について次の問いに答えよ。

問題ページはこちら

(1) 2点A,Bを通る直線の式を求めよ。

2点を通る直線の式は、y=ax+bでももちろん構いませんが、高校生向けの問題としては、

y−y1=m(x−x1)

を使えるようにしておいた方が良いです。

さらに、mは傾きであり変化の割合なので、

m=(y2−y1)/(x2−x1)

ですね。
これらを組み合わせると、

y−y1={(y2−y1)/(x2−x1)}(x−x1)

という式が得られます。
これに今回の2点の座標、A(2,1),B(−4,3)を代入してみましょう!

y−1={(3−1)/(−4−2)}(x−2)

代入だけをすると、こうなります。
あとは計算して、なるべく簡単な形にすれば完成です!

y−1=−(2/6)(x−2)
y−1=−(1/3)(x−2)
  y=−(1/3)x+2/3+1
  y=−(1/3)x+5/3


つづく

(2) 2点A,Bを直径とする円の方程式を求めよ。
(3) 2点A,Bを1:2に内分する点の座標を求めよ。


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posted by えま at 08:03| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年07月03日

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の2点A(2,1),B(−4,3)について次の問いに答えよ。

(1) 2点A,Bを通る直線の式を求めよ。
(2) 2点A,Bを直径とする円の方程式を求めよ。
(3) 2点A,Bを1:2に内分する点の座標を求めよ。


どれも基本事項です。
素早く正確に解けるようにしておきたいですね!


解答解説はこちら


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posted by えま at 16:44| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

2点O(0,0),A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めよ。
問題ページはこちら

このように未知の点Pについて考える場合は、Pの座標を文字で置きます。
そして、条件に従って「その通りの式」を作ると考えると良いと思います。

P(x,y)とおくと、2点間の距離の公式より、

OP=√(x^2+y^2)
AP=√{(x−6)^2+y^2}

ですね。
O,Aからの距離の比が2:1だから、OP:AP=2:1です。
その通りに式にを作れば、

√(x^2+y^2):√{(x−6)+y^2}=2:1

このような式ができます。
あとは計算して、できるだけわかりやすい式にすればOKですね!

   2√(x^2+y^2)=√{(x−6)^2+y^2}
    4(x^2+y^2)=(x−6)^2+y^2
    4x^2+4y^2=x^2−12x+36+y^2
3x^2+12x+3y^2=36
   x^2+4x+y^2=12
 (x+2)^2−4+y^2=12
   (x+2)^2+y^2=16

よって、求める軌跡は、中心(−2,0),半径4の円


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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2019年07月02日

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

2点O(0,0),A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めよ。


軌跡も質問が多い単元です。
ちゃんと条件通りに式を作れば必ずできるはずですが、どうでしょうか?


解答解説はこちら


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posted by えま at 18:46| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年07月01日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」「公式」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」「公式」


10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方P.25より


 次の表は、40人の生徒のテストの結果である。
┌──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┐
│ 得点│0│1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│ 計│
├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┤
│ 人数│0│0│1│3│4│8│9│8│4│3│0│ 40│
└──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┘
 このデータの分散を求めよ。


前回の記事では、正直に「偏差の2乗の平均」を計算することにより、分散を求めました。

この記事では、公式を使った別解を解説します。


分散はデータの値をxとすると、次の式で求めることもできます。

(分散)=(xの2乗の平均)−(xの平均の2乗)

では、今回の問題にこの公式を当てはめてみましょう!
 (2^2×1+3^2×3+4^2×4+5^2×8+6^2×9+7^2×8+8^2×4+9^2×3)÷40
=(4×1+9×3+16×4+25×8+36×9+49×8+64×4+81×3)÷40
=(4+27+64+200+324+392+256+243)÷40
=1510÷40
=37.75

平均は前回の記事で求めたように5.9です。
よって、(xの平均の2乗)は、

5.9^2=34.81

(分散)=(xの2乗の平均)−(xの平均の2乗) なので、

(分散)=37.75−34.81=2.94


当然ですが、前回の記事で求めた値と一致しました。
こちらの方法の方が計算が簡単になることが多いので、できるだけ覚えておいた方が良いと思います。


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こんなヤツです
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