2017年09月14日

「10秒でわかる高校数学」≪数学3「微分」P.5 3次関数の導関数≫

メルマガ「数I+αの一日一問」では、
アマゾンにて好評発売中の、「10秒でわかる高校数学」シリーズの問題を毎回1問ご紹介いたします。

今回は、既刊の

■ 10秒でわかる!数学3「微分」基本問題の考え方
URL→ http://amzn.to/2qYtAsb

の問題を取り上げます。

■[問題]

 「y=x^3+2x^2−3xの導関数を求めよ」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■[選択肢]

 {1} y=0で解く

 {2} x=0で解く

 {3} 因数分解をしてみる

 {4} それぞれの項の次数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける


↓書籍はコレ↓


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まぐまぐ・・・http://www.mag2.com/m/0000265032.html
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実際の書籍では、[他の選択肢は?]の続きはもちろん、実際に解いた場合の
計算式や図表、関連問題とその解答なども掲載しています。

■ 10秒でわかる!数学3「微分」基本問題の考え方
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着目点や解き方、公式がどんどん身に付く!と好評です。
皆さんもぜひ使ってみてくださいね。

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    発行者:AE個別学習室代表/プロ家庭教師/翻訳者の江間淳
 mm@a-ema.com http://www.a-ema.com/k/ https://twitter.com/A_EMA_RYU
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2017年09月07日

「10秒でわかる高校数学」≪数学1A「三角比」P.21 三角形の辺や角を求めるとき2≫

メルマガ「数I+αの一日一問」では、
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今回は、既刊の

■ 10秒でわかる!数学1A「三角比」の考え方
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の問題を取り上げます。

■[問題]

 「∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCのaの値を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■[選択肢]

 {1} 正弦定理を使う

 {2} 余弦定理を使う

 {3} 三角比の相互関係を使う

 {4} 1:2:√3を使う


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2017年08月31日

「10秒でわかる高校数学」≪数学1A「三角比」P.5 三角比の値を求めるとき1≫

メルマガ「数I+αの一日一問」では、
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今回は、既刊の

■ 10秒でわかる!数学1A「三角比」の考え方
URL→ http://amzn.to/2m7Ya3P

の問題を取り上げます。

■[問題]

 「a=5,b=12,c=13の直角三角形ABCがある。
 sinAの値を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■[選択肢]

 {1} 角度が書いてないので、サインの値は求められない

 {2} 5,12,13ということは直角三角形だから、5^2+12^2=13^2

 {3} 5,12,13ということは直角三角形だから、縦÷斜辺をやる

 {4} 5,12,13ということは直角三角形ではないから、まずは余弦定理
  でcosAを求める


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2017年08月24日

「10秒でわかる高校数学」≪「命題と集合、データの分析」P.25 分散と標準偏差1≫

メルマガ「数I+αの一日一問」では、
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■ 10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方
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の問題を取り上げます。

■[問題]

 「次の表は、40人の生徒のテストの結果である。
┌──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┐
│得点│0│1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│ 計 │
├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┤
│人数│0│0│1│3│4│8│9│8│4│3│0│ 40 │
└──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┘
 このデータの分散を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
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■[選択肢]

 {1} 平均値との差を求める

 {2} 偏差(平均値との差)の平均値を求める

 {3} 偏差(平均値との差)の2乗の平均値を求める

 {4} 偏差(平均値との差)の2乗の平均値を求め、その平方根を求める


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2017年08月17日

「10秒でわかる高校数学」≪「命題と集合、データの分析」P.5 集合の表し方≫

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の問題を取り上げます。

■[問題]

 「1から12までの自然数の集合をUとする。
  Uに属する12の約数の集合をA,8の約数の集合をBとするとき、
  A∩Bを要素を書き並べて表せ。」

このときは何をすれば良いでしょうか?
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■[選択肢]

{1} ベン図を描いて、AとBの共通部分を答える

{2} ベン図を描いて、AとBの少なくとも片方に入っている部分を答える

{3} ベン図を描いて、AとBに含まれない部分を答える

{4} ベン図を描いて、Uの要素を答える


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2017年08月10日

「10秒でわかる高校数学」≪数学1A「場合の数・確率」P.49 反復試行2≫

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■[問題]

 「AさんとBさんが1:1でカードゲームをする。1試合をして
  Aさんが勝つ確率は2/3,Bさんが勝つ確率は1/3とする。
  先に3勝した方を優勝とするとき、Aさんが3勝2敗で優勝する
  確率を求めよ」

このときは何をすればよいでしょうか?
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■[選択肢]

{1} Aさんが3回勝って、Bさんが2回勝つ確率を求める

{2} Bさんがまず2連勝して、残りの3試合をAさんが勝つ確率を求める

{3} AさんとBさんが交互に勝つ確率を求める

{4} まず2勝2敗になって、最後にAさんが勝つ確率を求める


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2017年08月02日

「10秒でわかる高校数学」≪数学1A「場合の数・確率」P.37 基本的な確率2≫

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■[問題]

 「赤球5個と白球4個が入っている袋から、同時に3個の球を取り出す。
  という試行を行うとき、白球が1個だけ含まれる確率を求めよ。」

合計9個の球から3個取り出すので、このときの分母は9C3です。
分子はどうすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■[選択肢]

 {1} 白球4個のうち1個だから4C1

 {2} 合計9個のうち白球は4個だから9C4

 {3} 白球が1個ということは赤球は2個だから4C1+5C2

 {4} 白球が1個ならば赤球は2個だから4C1・5C2


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2017年07月27日

「10秒でわかる高校数学」≪数学1A「場合の数・確率」P.17 同じものを含む順列1≫

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■[問題]

 「1,1,1,2,3の5個の数字を全て使ってできる5桁の整数は
  何個あるか?」

このとき使うのは以下のどれでしょうか?(複数選択)
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■[選択肢]

 {1} 1が3つあるので、3の階乗

 {2} 数字が5個あるので、5の階乗

 {3} 間をとって、4の階乗

 {4} 5個の数字のうち3個が同じなので、5P3


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2017年07月20日

「10秒でわかる高校数学」≪数学1A「場合の数・確率」P.5 基本的な場合の数1≫

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■[問題]

 「9枚のカードに1〜9の異なる数字が一つずつ書かれている。
  これらのカードの中から無作為に3枚取りだして3桁の整数を作るとき、
  何通りの整数ができるか求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
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■[選択肢]

 {1} 9枚から3枚だから、9×3

 {2} 9枚から3枚だから、9C3

 {3} 9枚から3枚だから、9P3

 {4} 9枚のカードを並べるから9!


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2017年07月13日

「10秒でわかる高校数学」≪数学3「微分」P.73 変曲点≫

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■[問題]


 「曲線y=x/(x^2+1)の変曲点を求めよ」


このときはまず最初に何をすれば良いでしょうか?
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■[選択肢]

 {1} y=0で解く

 {2} y'=0で解く

 {3} y''=0で解く

 {4} x=0で解く


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2017年07月06日

「10秒でわかる高校数学」≪数学3「微分」P.57 対数微分法≫

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■[問題]

 「次の関数を微分せよ。y=x^sinx」


このときはまず最初に何をすれば良いでしょうか?
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■[選択肢]

 {1} (e^x)'=e^xだから、(x^sinx)'=x^sinx

 {2} 積の微分法を使う

 {3} 両辺の自然対数をとる

 {4} 両辺の常用対数をとる


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2017年06月29日

「10秒でわかる高校数学」≪数学3「微分」P.37 合成関数の微分法≫

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■[問題]

 「(2x−1)^5を微分せよ」


このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか?
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■[選択肢]

 {1} (2x−1)^5を必死に展開して、必死に微分する

 {2} (2x−1)^5を華麗に展開して、涼しい顔で微分する

 {3} 「指数を1下げてもとの指数を掛ける」から、5(2x−1)^4になる

 {4} かっこの中が式になっているので、合成関数の微分をして、
  5(2x−1)'・(2x−1)^4とする


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2017年06月22日

「10秒でわかる高校数学」≪数学3「微分」P.29 積の微分法≫

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■[問題]

 「f(x)=2x−1,g(x)=x^3−1のとき、f(x)・g(x)の導関数を
  求めよ」


このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか?
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■[選択肢]

 {1} f'(x)とg'(x)をかける

 {2} f'(x)とg'(x)を足す

 {3} (2x−1)(x^3−1)を展開してから微分する

 {4} f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)を計算する


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2017年06月15日

「10秒でわかる高校数学」≪数学3「微分」P.17 3次関数の極値≫

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■[問題]

 「y=x^3+x^2−2の極値を求めよ」


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■[選択肢]

 {1} x^3+x^2−2=0で解く

 {2} y=x^3+x^2−2を微分してx=0で解く

 {3} y=x^3+x^2−2を微分してy'=0で解く

 {4} 極値を忘れたので、数学2の教科書で調べる


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2017年06月09日

本日配信のメルマガ。2015年センター数学2B第2問 微分積分

本日配信のメルマガでは、2015年大学入試センター試験数学2B第2問を解説します。

■ 問題

第2問

(1) 関数f(x)=(1/2)x^2のx=aにおける微分係数f'(a)を求めよう。
hが0でないとき、xがaからa+hまで変化するときのf(x)の平均変化率は
[ア]+h/[イ]である。したがって、求める微分係数は

  f'(a)=lim[h→[ウ]]([ア]+h/[イ])=[エ]

である。

(2) 放物線y=(1/2)x^2をCとし、C上に点P(a,(1/2)a^2)をとる。
ただし、a>0とする。点PにおけるCの接線lの方程式は

  y=[オ]x−(1/[カ])a^2

である。直線lとx軸との交点Qの座標は([キ]/[ク],0)である。
点Qを通りlに垂直な直線をmとすると、mの方程式は

  y=([ケコ]/[サ])x+[シ]/[ス]

である。


 直線mとy軸との交点をAとする。三角形APQの面積をSとおくと

  S=a(a^2+[セ])/[ソ]

となる。
また、y軸と線分APおよび曲線Cによって囲まれた図形の面積をTとおくと

  T=a(a^2+[タ])/[チツ]

となる。

 a>0の範囲におけるS−Tの値について調べよう。

  S−T=a(a^2−[テ])/[トナ]

である。a>0であるから、S−T>0となるようなaのとり得る値の範囲は
a>√[ニ]である。またa>0のときのS−Tの増減を調べると、S−Tは
a=[ヌ]で最小値[ネノ]/[ハヒ]をとることがわかる。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記して
います。

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■ 解説目次

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値(=微分係数)が0
 ◆3 平均変化率=変化の割合


(以下略)


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■ 解説

(◆1,2は省略します)


 ◆3 平均変化率=変化の割合

さて、今回の問題では、最初に「平均変化率」が登場しています。
これは結局のところ中学の「変化の割合」と同じです。

★「変化の割合」=(yの増加量)/(xの増加量)

ですね。
微分の単元では「変化の割合」を「平均変化率」と呼ぶ。と考えれば大丈夫です。

「f(x)=(1/2)x^2」で、「xがaからa+hまで変化するときのf(x)の
平均変化率」を聞いています。

平均変化率と変化の割合は同じなのだから、f(x)=yとして、その通りに
やってみましょう!

xは、aからa+hまで変化するので、xの増加量は(a+h−a)

yは、それぞれのx座標を代入して、
yの増加量は{(1/2)(a+h)^2−(1/2)a^2}

ということで、

(平均変化率)={(1/2)(a+h)^2−(1/2)a^2}/(a+h−a)
      =(1/2)(a^2+2ah+h^2−a^2)/h
      =(1/2)(2ah+h^2)/h
      =(1/2)(2a+h)
      =a+(1/2)h

よって、[ア]=a,[イ]=2


(以下略)


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2017年06月08日

「10秒でわかる高校数学」≪数学3「微分」P.5 3次関数の導関数≫

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■[問題]

 「y=x^3+2x^2−3xの導関数を求めよ」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■[選択肢]

 {1} y=0で解く

 {2} x=0で解く

 {3} 因数分解をしてみる

 {4} それぞれの項の次数を1下げて、もとの指数を係数に掛ける


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2017年06月01日

「10秒でわかる高校数学」≪数学1A「2次関数」P.36 2次関数の最大最小1≫

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■[問題]

 「放物線y=−x^2+4x−1の最大値・最小値を求めよ。
 ただし、0≦x≦3とする。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■[選択肢](複数選択)

 {1} 与式=0で解く

 {2} 平方完成をする

 {3} 定義域の両端の座標を求める

 {4} 判別式を使う

 {5} ググる


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2017年05月25日

「10秒でわかる高校数学」≪数学1A「2次関数」P.28 放物線とx軸との位置関係1≫

メルマガ「数I+αの一日一問」では、
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■ 10秒でわかる!数学1A「2次関数」の考え方
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の問題を取り上げます。

■[問題]

「放物線y=−x^2+3x−1とx軸との共有点の個数を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■[選択肢]

 {1} x=0で解く

 {2} y=0で解く

 {3} D=b2−4acに代入する

 {4} 平方完成をする

 {5} こっそり先生にたずねちゃう


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2017年05月18日

「10秒でわかる高校数学」

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■[問題]

「3点(1,−6),(4,0),(−1,10)を通る2次関数の式を求めよ。」


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■[選択肢]

 {1} y=a(x−p)^2+qに代入する

 {2} y=ax^2+bx+cに代入する

 {3} D=b^2−4acに代入する

 {4} y=ax+bに代入する

 {5} x={−b±√(b^2−4ac)}/2aに代入する


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2017年05月11日

「10秒でわかる高校数学」≪数学1A「三角比」P.21 三角形の辺や角を求めるとき2≫

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■[問題]

 「∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCのaの値を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
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■[選択肢]

 {1} 正弦定理を使う

 {2} 余弦定理を使う

 {3} 三角比の相互関係を使う

 {4} 1:2:√3を使う


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名前:江間淳
年齢:40
職業:家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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