2021年01月17日

高校数学「場合の数・確率」5人の円順列

高校数学「場合の数・確率」5人の円順列

■ 問題

  「A,B,C,D,Eの5人が円卓を囲んで座るとき、全部で何通りの場合の数があるか求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 5人が全員並ぶから、5の階乗

 A 5人から5人全員選ぶから、5C5

 B 同じ並びで回転しただけの場合は同じ事象だから、5の階乗から
  それらを除外して5で割る

 C よくわからないけど(5−1)!


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■ 選択肢の解答

 B 同じ並びで回転しただけの場合は同じ事象だから、5の階乗から
  それらを除外して5で割る

 「円順列は(n−1)の階乗」と覚えている人も多いと思いますが、どうしてそうなるのかも理解しておいた方が良いです。
 まず、5人全員を並べるから、その場合の数は5の階乗です。
 5人の並びそのものは同じで、5人全員の位置が回転しただけのものが、それぞれ5通りずつあります。その5通りをそれぞれ除外するので、5で割ります。
 n個の円順列の場合は、回転して同じになる場合がn通りずつあるので、nの階乗をnで割るから(n−1)の階乗となるのです。



■ 解答解説

 では実際に計算してみましょう。

「5人の円順列」なので、(5−1)の階乗です。。

(5−1)!=4!
     =4×3×2×1
     =24通り


この問題は次の書籍のP.25に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
順列・組み合わせ円順列場合の数・確率まとめ


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2021年01月15日

高校数学(用語)「同じものを含む順列」

高校数学(用語)「同じものを含む順列」

★同じものを含む順列(permutation with repetition)

1,1,2,2の4つの数字を使って4桁の整数を作る場合など、同じものを含む順列を考える場合は、

(全部の階乗)/(それぞれの階乗の積)

場合の数を求めることができます。

1,1,2,2の例の場合ならば、全部で4文字なので、

全てを区別する場合の数は4!

1が2個、2が2個はそれぞれ区別しないので、それらを除外するために2!×2!で割る。

だから、

4!/(2!・2!)=(4・3・2・1)/(2・1・2・1)=6通りとなります。

「同じものを含む順列」の代表例としては他には、格子状の道の通り方、たくさんのもののグループ分けなどがあります。


◆関連項目
場合の数順列場合の数・確率まとめ


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2021年01月14日

高校数学(用語)「確率」

高校数学(用語)「確率」

★確率(probability)

ある事象が起こる度合いを確率といい、確率は

(確率)=(その事象の場合の数)/(全体の場合の数)

で求めることができる。


一応強調しておくと、「確立」ではなく「確率」です。

多くは変換ミスだと思いますが、「サイコロを1個降って1が出る確立は1/6」などと表記している人がいます。正しくは「サイコロを1個振って1が出る確率は1/6」ですね。


ちなみに、「サイコロ」というと普通は6面体のサイコロを指しますが、実は8面体や12面体などいろいろあります。



◆関連項目
場合の数場合の数・確率まとめ


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高校数学「数列」まとめ

高校数学「数列」まとめ

高校数学2Bの数列に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆ 公式・解き方・考え方

「初項」「末項」「公差」「公比」
一般項
数列の和
等差数列
等比数列
等比数列の和
等差数列と等比数列
Σの公式
階差数列
部分分数分解
群数列
漸化式で表された等差数列
漸化式で表された等比数列
等差と等比の複合の漸化式


◆ 問題

●等差数列
等差数列の一般項を求めよ。
等差数列の和を求めよ。
初項が3,公差が2である等差数列
a=−29,d=3の等差数列
等差数列{an}について、a3=10,a6=22のとき、一般項を求めよ。
11,a,−3がこの順に等差数列をなすとき、aの値を求めよ。

●等比数列
初項が2,公比が3の等比数列の一般項anを求めよ。
初項が2,公比が3の等比数列の和Snを求めよ。
初項が5,公比が2である等比数列の、第5項から第10項までの和を求めよ。
第3項が27,第6項が−729である等比数列の一般項を求めよ。
初項が2,公比が3の等比数列の初項から第5項目までの和を求めよ。

●Snに関する問題
数列anの和Snが、Sn=n^2+5nで表されるとき、anを求めよ。
Sn=3^n−1のとき、この数列の一般項anを求めよ。
数列{an}の初項から第n項までの和Snと一般項anの関係式がan=2Sn+2n−3で表されるとき

●いろいろな数列
数列1・3,2・4,3・5,・・・の初項から第n項までの数列の和Snを求めよ。

●漸化式
an+1=3an−2,a1=2で表される数列の一般項を求めよ。

まだまだ追加していきます!
リクエストがあればお気軽にどうぞ!


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2021年01月13日

高校数学「座標平面」「重心」

高校数学「座標平面」「重心」

★重心(center of gravity)

座標平面上の三角形の重心の求め方は、とにかく「座標の平均」です。
頂点の座標を用いて、それぞれの座標を平均して求めます。

座標平面において、重心をG,三角形の頂点の座標をA(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)とすると、

G=((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)

となります。

つまり、座標平面なら、x座標、y座標それぞれを平均すればOKです。

座標空間ならば、x座標、y座標だけでなくz座標も同様に平均すれば重心の座標になってしまいます。

さらに、座標だけでなくベクトルでも、同じ考え方で重心を求めることができると覚えておくといいでしょう!


◆関連項目
物理における「重心」


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2021年01月12日

高校数学(用語)「条件付き確率」

高校数学(用語)「条件付き確率」

★条件付き確率(conditional probability)

事象Aが成り立っているときの事象Bの確率PA(B)を条件付き確率という。

条件付き確率は「PA(B)=P(A∩B)/P(A)」という式で表される。


P(A∩B)は「AとBが両方起こる確率」、P(A)は「Aが起こる確率」なので、

PA(B)は「AとBが両方起こる確率」から「Aが起こる確率」を除外した。と考えることもできます。


意味を考えれば、公式は自ずと導かれますが、実際の問題では判断しにくいことも多いので、「PA(B)=P(A∩B)/P(A)」に代入する。という考え方をした方が実用的かも知れません。
ある程度問題練習をして、自分なりのとらえ方を身につけておくことをおすすめします!


◆関連項目
場合の数、確率、場合の数・確率まとめ


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2021年01月07日

高校数学(用語)「反復試行」

高校数学(用語)「反復試行」

★反復試行(repeated trials)

サイコロやコインを投げる場合など、毎回の場合の数や確率が変わらない試行を繰り返すことを反復試行という。


くじを連続で引く場合は、全体の枚数が減っていくので反復試行ではありませんが、「引いて確認して戻す」場合は、毎回全体の数が変わらないので反復試行になります。
「反復試行」に当てはまる事象は、サイコロやコインの場合だけとは限らないので、問題文の記述をしっかり読み取って、何が当てはまるかを常に考えるようにしていきましょう!


関連問題→1個のサイコロを5回投げるとき、奇数の目が2回出る確率を求めよ。


◆関連項目
場合の数、確率、場合の数・確率まとめ


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2021年01月06日

高校数学(用語)「垂線」

高校数学(用語)「垂線」

★垂線(vertical line)

ある直線に対して垂直に交わる線を垂線という。


垂線は垂直なので、当然垂直条件が成り立ちます。

直線の式の傾きを用いて垂直条件を表すと、

mm'=−1

です。
通常はmがもとの直線の傾き、m'が垂線の傾きですが、とにかく「傾きを掛けたら−1」です。

ベクトルを使った垂直条件は、

→a・→b=0

です。
つまり「内積がゼロ」です。

問題の設定に応じて、使いやすい方を使う。という意識を持っておくと、使えるときに気づくようになると思います。


◆関連項目
直線の公式y−y1=m(x−x1)ベクトルの平行条件・垂直条件


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2021年01月04日

高校数学「場合の数・確率」3桁の整数を作るとき

高校数学「場合の数・確率」3桁の整数を作るとき

■ 問題

  「9枚のカードに1〜9の異なる数字が一つずつ書かれている。
  これらのカードの中から無作為に3枚取りだして3桁の整数を作るとき、
  何通りの整数ができるか求めよ。」



このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 9枚から3枚だから、9×3

 A 9枚から3枚だから、9C3

 B 9枚から3枚だから、9P3

 C 9枚のカードを並べるから9!


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■ 選択肢の解答

 B 9枚から3枚だから、9P3

 「9枚から3枚取り出して、整数を作る」ということは「取り出して並べる」ことを意味します。
 例えば、123と132は別の整数ですね。このように「順番が違うと別の事象となる」場合は順列となり、Pの計算をする。というわけです。
 9P3は、「9から順に3個の数字を掛ける」計算をします。


■ 解答解説

 では実際に計算してみましょう。

「9枚から3枚取り出して並べる」ので、9P3です。

9P3=9×8×7
  =504通り



この問題は次の書籍のP.5に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
順列・組み合わせ


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2020年12月31日

高校数学「三角比」「面積」2辺とその挟む角がわかっているとき

高校数学「三角比」「面積」2辺とその挟む角がわかっているとき

■ 問題

  「∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCの面積を求めよ。」

このときはまず最初に何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 4×6÷2

 A 底辺をbとして高さを求める

 B 底辺をcとして高さを求める

 C どれでもない


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■ 選択肢の解答

 C どれでもない

 直角三角形でない三角形で面積を問われたら、三角比の単元で習う面積の公式S=(1/2)bc・sinAを使うのが標準的です。
 何らかの方法で底辺と高さがわかる場合は、もちろん「底辺×高さ÷2」でやってみてもよいです。


■ 解答解説

S=(1/2)bc・sinAに、b=4,c=6,A=60°を代入すると、

S=(1/2)×4×6×sin60°
S=12×√3/2
S=6√3


この問題は次の書籍のP.25に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連問題
三角比の値
サインかコサインがわかっているとき


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2020年12月26日

高校数学(用語)「余事象」

高校数学(用語)「余事象」

★余事象(complementary event)

ある事象について、その事象に当てはまらない事象のこと。


例えば、「サイコロ1個をふるとき、出目が1である」という事象の余事象は「1ではない目が出る」つまり「2〜6の目が出る」です。

要するに「〜ではない」が余事象と理解しておけば良いと思います。

「少なくとも〜」の場合の数・確率を求める場合は、そのまま求めるよりも、余事象の場合を計算して、全体から引いた方が簡単な場合が多いです。

関連問題→2個のさいころを同時に投げるとき、少なくとも1個は4以下の目が出る確率コイン1枚を4回連続で投げて、表が少なくとも1回出る確率


◆関連項目
場合の数、確率、場合の数・確率まとめ


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2020年12月24日

高校数学(用語)「点と直線の距離」

高校数学(用語)「点と直線の距離」

★点と直線の距離(distance from a point to a line)

点と直線の距離dは、直線ax+by+c=0,点(x1,y1)を用いて、次のように表すことができます。

d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)

要するに分子は「直線の式に座標を代入したもの」の絶対値、分母は「直角を挟む2辺がxの係数とyの係数となる直角三角形の斜辺」です。

注意点としては、直線はy=ax+bの形ではなくax+by+c=0の形にしなければいけない。というところだと思います。
(自分の生徒でもy=ax+bのまま代入して間違う人は多いです)


また、原点の座標は(0,0)なので、原点と直線の距離は

d=|c|/√(a^2+b^2)

となってしまうことも把握しておくと良いでしょう。


◆関連項目
直線の公式y−y1=m(x−x1)2点間の距離、垂直な直線


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2020年12月20日

高校数学「三角比」角と対辺がわかっているとき

高校数学「三角比」角と対辺がわかっているとき

■ 問題

 「∠A=30°,∠B=45°,a=6の三角形ABCのbの値を求めよ。」

このときはまず最初に何をすれば良いでしょうか?
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■ 選択肢

 @ 正弦定理を使う

 A 余弦定理を使う

 B 三角比の相互関係を使う

 C きっと1:2:√3


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■ 選択肢の解答

 @ 正弦定理を使う

 「∠A=30°」と「a=6」が、角とその対辺であることに注目します。
 角とその対辺がわかっているときは、正弦定理を使うことができます。
 △ABCにおける正弦定理の式は

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(Rは外接円の半径)

です。実際の計算では、この式のうちの一部を使うことが多いです。


■ 解答解説

∠A=30°,∠B=45°,a=6を、正弦定理の式に代入すると、

6/sin30°=b/sin45°
 bsin30°=6sin45°
  (1/2)b=6・√2/2
     b=6√2


この問題は次の書籍のP.17に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連問題
三角比の値
サインかコサインがわかっているとき


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2020年12月19日

高校数学(用語)「円順列」

高校数学(用語)「円順列」

★円順列(circular permutation)

並べ方が円形になる場合の順列のこと。
最初と最後がつながるので、回転して一致するものは同じ順列とみなす。


n個の円順列では、ある特定のパターンのうち回転して一致するものがn個あるので、それらを一つとみなすから、

n!/n=(n−1)!

で、n個の円順列の場合の数を求めることができます。


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◆関連項目
順列場合の数、確率


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2020年12月17日

高校数学(用語)「場合の数」

高校数学(用語)「場合の数」

★場合の数(number of cases)

ある事柄の場合の総数を場合の数という。
例えば、サイコロの出目、コインを投げたときの表裏、代表の選び方など。


場合の数はつまり、「何通りあるか?」です。

場合の数を求めるための方法が、

中学までは「とにかく数える」「樹形図」「図」ですね。
高校以上では、これらに加えて、「順列」「組み合わせ」「余事象」「反復試行」などを使います。


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◆関連項目
順列組み合わせ、確率


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2020年12月16日

高校数学(用語)「順列」「組み合わせ」

高校数学(用語)「順列」「組み合わせ」

★順列(permutation)

異なるn個のものからr個を選んで並べる順列の総数はnPrで表される。

★組み合わせ(combination)

異なるn個のものからr個を選ぶ組み合わせの総数はnCrで表される。


順列Pと組み合わせCの違いは要するに、取りだした順番が関係あるかどうか。です。

・順番が違ったら違うものとみなす場合は順列P
・順番が違っても同じものとみなす場合は組み合わせC

です。

たとえば、123と132を別のもの(別の3桁の数字)とみなすのが順列。
123と132を同じもの(どちらも1と2と3がある)とみなすのが組み合わせ。

です。


江間淳著の書籍。好評です!



◆関連項目
場合の数、確率


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高校数学「場合の数・確率」まとめ

高校数学「場合の数・確率」まとめ

高校数学1Aの場合の数・確率に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆ 公式・解き方・考え方

場合の数
確率
順列
組み合わせ
円順列
余事象
同じものを含む順列
反復試行
条件付き確率


江間淳著の書籍。「考え方がわかる!」と好評です!



◆ 問題

●場合の数
3桁の整数は何通りできるか?

男子4人、女子3人が1列に並ぶとき、女子3人が連続して並ぶ場合の数を求めよ。
男子4人、女子3人が1列に並ぶとき、一端に男子、もう一端に女子が並ぶ場合の数を求めよ。

9人の生徒を、4人、3人、2人の3組に分ける方法は何通りあるか求めよ。
9人の生徒を、5人,2人,2人の3組に分ける方法は何通りあるか求めよ。
9人の生徒を、3人,3人,3人の3組に分ける方法は何通りあるか求めよ。

A,B2つの部屋に5人を入れるとき、空き室があってもよいので全員を入れる方法は何通りあるか求めよ。
A,B2つの部屋に5人を入れるとき、空き室がないように全員を入れる方法は何通りあるか求めよ。

男子A,B,Cの3人,女子D,E,Fの3人の合計6人が円形のテーブルに向かって座るとき、男子と女子が交互になる座り方は何通りあるか求めよ。
男子A,B,Cの3人,女子D,E,Fの3人の合計6人が円形のテーブルに向かって座るとき、AとBが向かい合う座り方は何通りあるか求めよ。

●確率
袋の中に7個の白球と3個の黒球が入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出した球が3個とも白球である確率を求めよ。
袋の中に7個の白球と3個の黒球が入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、取り出した球の2個が白球,1個が黒球である確率を求めよ。

男子3人と女子3人の合計6人が一列に並ぶとき、男子と女子が交互に並ぶ確率を求めよ。
男子3人と女子3人の合計6人から3人の委員を選ぶとき、女子が2人以上選ばれる確率を求めよ。

2個のさいころを同時に投げるとき、少なくとも1個は4以下の目が出る確率を求めよ。
coffeeの6文字全てを並べてできる順列のうち、2つのfが隣り合わないものの総数を求めよ。

コイン1枚を4回連続で投げて、表が少なくとも1回出る確率を求めよ。
1個のサイコロを5回投げるとき、奇数の目が2回出る確率を求めよ。


まだまだ追加していきます!
リクエストがあればお気軽にどうぞ!


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2020年12月10日

高校数学「対数」log[10]15の値

高校数学「対数」log[10]15の値

■ 問題

 「log[10]2=a,log[10]3=bとするとき、log[10]15の値を求めよ。」


解答解説はこのページ下


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、基礎から医学部など満点を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 解答解説

対数の計算法則に従って与式を変形すると、

 log[10]15
=log[10](3×5)
=log[10]3+log[10]5

あとはこれらをa,bで置き換えて・・・といきたいところですが、log[10]5が与えられていません。

そんなときは、log[10]5を変形して、与えられた値を利用できるようにする必要があります。5=10/2だから、

log[10]5=log[10](10/2)

真数の割り算は対数の引き算に書き換えることができるので、
 log[10]5
=log[10](10/2)
=log[10]10−log[10]2
=1−a

これを先ほどの式に当てはめると、

 log[10]3+log[10]5
=b+1−a
=1−a+b

このように直すことができます。


◆関連問題
log[10]2=0.3010とするとき、log[10]5の値


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2020年12月06日

高校数学「三角比」「相互関係」sinA=1/2のとき

高校数学「三角比」「相互関係」sinA=1/2のとき

■ 問題

 「sinA=1/2のとき、cosA,tanAを求めよ。ただし、0°≦A≦180°とする。」

このときはまず最初に何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ (sinA)^2+(cosA)^2=1を使う

 A tanA=sinA/cosAを使う

 B (tanA)^2+1=1/(cosA)^2を使う

 C S=(1/2)bc・sinAを使う


★★ お知らせ ★★

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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 @ (sinA)^2+(cosA)^2=1を使う

「sinA=1/2」に注目してください。

 サインかコサインがわかっているときは、(sinθ)^2+(cosθ)^2=1に代入すれば、残りの片方がわかります。

サインとコサインがわかれば、tanA=sinA/cosAに代入して、tanAがわかります。


■ 解答解説

(sinA)^2+(cosA)^2=1にsinA=1/2を代入して、

(1/2)^2+(cosA)^2=1
 1/4+(cosA)^2=1
     (cosA)^2=1−1/4
     (cosA)^2=3/4
      cosA=±√3/2
 

この問題では0°≦A≦180°なので、コサインの値はプラスとマイナス両方あり得ます。

サインとコサインがわかったので、tanA=sinA/cosAに代入します。

tanA=(1/2)/(±√3/2)
    =±1/√3
    =±√3/3



この問題は次の書籍のP.13に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連問題
三角比の値
相互関係
サインかコサインがわかっているとき


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2020年12月03日

高校数学「三角比」sinAの値

高校数学「三角比」sinAの値

■ 問題

 「a=5,b=12,c=13の直角三角形ABCがある。sinAの値を求めよ。」

このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 角度が書いてないので、サインの値は求められない

 A 5,12,13ということは直角三角形だから、5^2+12^2=13^2

 B 5,12,13ということは直角三角形だから、縦÷斜辺をやる

 C 5,12,13ということは直角三角形ではないから、まずは余弦定理
  でcosAを求める


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■ 選択肢の解答

 B 5,12,13ということは直角三角形だから、縦÷斜辺をやる

 5^2+12^2=13^2 なので、△ABCは直角三角形です。そして、三角比とは、「直角三角形の斜辺が1のときの特定の辺の比」を表します。
 サインは「縦/斜辺」、コサインは「横/斜辺」、タンジェントは「縦/横」です。
 ∠Aの三角比を求めたければ、左下にA,右下に直角となるように三角形をおきます。この場合の「縦/斜辺」がsinAです。


■ 解答解説

 いちばん長い辺が必ず斜辺になるので斜辺がc=13,∠Aの対辺がa=5となり、右の図のようになります。(書籍では図も掲載されています)

よって、sinA=5/13


この問題は次の書籍のP.5に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連問題
三角比の値


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こんなヤツです
名前:江間淳
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職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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