2019年10月24日

高校数学「2次方程式」「実数解」「判別式」

高校数学「2次方程式」「実数解」「判別式」

■問題
2次方程式x^2+(k+1)x+k+2=0が、実数解を持たないような定数kの値の範囲を求めよ。


■考え方
実数解を持たないならば、判別式D<0ですね!


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

2次方程式の解の個数は判別式D=b^2−4acで調べることができます。

実数解を持たないときは、D<0です。

D=b^2−4acに、a=1,b=k+1,c=k+2を代入して、

D=(k+1)^2−4×1×(k+2)
 =k^2+2k+1−4k−8
 =k^2−2k−7

この式の値がマイナスのとき解を持たないので、普通に2次不等式を解きます。
まずはイコールゼロで解くと、

k=[−(−2)±√{(−2)^2−4×1×(−7)}]/2×1
 ={2±√(4+28)}/2
 =(2±√32)/2
 =(2±4√2)/2
 =1±2√2

2乗の係数はプラスだから、放物線のグラフは下に凸なので、マイナスになるのは2つの解の間です。
すなわち、求めるkの値の範囲は、

1−2√2<k<1+2√2


次の問題→解が全ての実数の2次不等式@


関連項目
判別式


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 15:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次方程式」「判別式」「重解」

高校数学「2次方程式」「判別式」「重解」

■問題
2次方程式x^2+(k+1)x+k+2=0が、重解を持つような定数kの値を求めよ。


■考え方
重解ならば、判別式D=0ですね!


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

2次方程式の解の個数は判別式D=b^2−4acで調べることができます。

解が1個すなわち重解のときは、D=0です。

D=b^2−4acに、a=1,b=k+1,c=k+2を代入して、

D=(k+1)^2−4×1×(k+2)
 =k^2+2k+1−4k−8
 =k^2−2k−7

この式の値がゼロのときが重解なので、普通に2次方程式を解きます。
因数分解はできなさそうなので、解の公式に代入して、

k=[−(−2)±√{(−2)^2−4×1×(−7)}]/2×1
 ={2±√(4+28)}/2
 =(2±√32)/2
 =(2±4√2)/2
 =1±2√2


次の問題→実数解を持たないとき


関連項目
判別式


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 13:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次不等式」C

高校数学「2次不等式」C

■問題
2次不等式3x^2−6x+1<2x^2−17を解け。


■考え方
2次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。
もともと右辺がゼロになってないときは、最初に式の変形をします。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは右辺がゼロになるように式の変形をします。

3x^2−6x+1<2x^2−17
x^2−6x+18<0

そしてイコールゼロにして解きます。

x^2−6x+18=0

x=[−(−6)±√{(−6)^2−4×1×18}]/2×1
 ={6±√(36−72)}/2

2次不等式Aの問題と同じように、ルートの中身がマイナスになってしまいました。
ということは、2次関数のグラフがx軸との共有点を持ちません。

x^2−6x+18は、x^2の係数が正の数なので、放物線のグラフは下に凸です。
下に凸のグラフがx軸との共有点を持たないならば、式の値は常にプラスである。ということがわかります。

x^2−6x+18<0の範囲を求めたいですが、そんなときはないので、求める解は

解なし

となります。


ちなみに、今回の問題も、Aの問題も、判別式を使えば、マジメに解の公式に代入しなくても、放物線がx軸と共有点を持たないことがわかりますが、一目でそういう場合なのかどうかを判断するのは難しいと思いますし、「まずは因数分解をする。できなければ解の公式」という考え方で全て解決できるので、このブログではこの解き方で統一しています。
今後場合によっては、先に判別式を考える方法を解説することもあるかも知れません。


次の問題→重解を持つとき


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次不等式」B

高校数学「2次不等式」B

■問題
2次不等式x^2−12x+36≦0を解け。


■考え方
2次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

x^2−12x+36≦0の場合も、まずはイコールゼロにして解いてみます。

x^2−12x+36=0
    (x−6)^2=0
よって、x=6

つまり、2次関数のグラフを考えた場合のx軸との共有点はx=6の1点である。というわけです。
これはx軸と接する。場合ですね。

x^2−12x+36≦0なので、x軸から下側の範囲を聞いています。
x=6の1点のみがこの範囲を満たしているので、求める解は

x=6


次の問題→2次不等式C


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 09:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次不等式」A

高校数学「2次不等式」A

■問題
2次不等式3x−2x^2<6を解け。


■考え方
2次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。
イコールゼロになってないときは、式の変形をしてから2次方程式にすると良いです。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは式の変形をします。

   3x−2x^2<6
−2x^2+3x−6<0
 2x^2−3x+6>0

x^2の係数はプラスにしておいた方がわかりやすいと思います。
その際には、不等号の向きを直すことも忘れずに!

あとは前回の問題と同様に、イコールゼロで解いて・・・ということで、解の公式に代入してみると、

x=[−(−3)±√{(−3)^2−4×2×6}]/2×2
 ={3±√(9−48)}/4

この辺で、気になる点がありますね?
√の中身がマイナスになってしまいます。
ということは、この方程式は実数解を持ちません。
つまり、2次関数のグラフを描いた場合、x軸と共有点を持たないことになります。

下に凸のグラフが共有点を持たないならば、その2次式の値は常に正の数である。ということができます。

変形した2次不等式は2x^2−3x+6>0で、つまりは式の値が正の数になる場合を聞いているので、

解は「すべての実数」ですね!


次の問題→2次不等式B


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 06:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次不等式」@

高校数学「2次不等式」@

■問題
2次不等式x^2+4x−7≧0を解け。


■考え方
2次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

イコールゼロにして解いた値は、グラフのx軸との交点になります。

x^2+4x−7=0を解の公式に代入して、

x=[−4±√{4^2−4×1×(−7)}]/2×1
 ={−4±√(16+28)}/2
 =(−4±√44)/2
 =(−4±2√11)/2
 =−2±√11

2次関数のグラフを描いた場合のx軸との交点が、x=−2+√11と−2−√11というわけです。

もとの不等式はx^2+4x−7≧0なので、グラフのうちx軸よりも上側の部分を考えます。

x^2の係数はプラスなので下に凸のグラフだから、「小さい方より左、大きい方より右」が求める範囲です。

よって、x≦−2−√11,x≧−2+√11


次の問題→2次不等式A


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 01:45| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年10月23日

高校数学「2次関数」「異なる2点で交わるとき」

高校数学「2次関数」「異なる2点で交わるとき」

■問題
2次関数y=x^2−6x+2k+1のグラフとx軸が異なる2点で交わるような定数kの値の範囲を求めよ。


■考え方
「異なる2点で交わる」ということは、判別式ですね!


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

2次関数とx軸との位置関係は、2次方程式の解の判別式で調べることができます。

D=b^2−4acとすると、

D>0ならば、2次関数のグラフとx軸は異なる2点で交わります。

与式はy=x^2−6x+2k+1なので、a=1,b=−6,c=2k+1を代入して

D=(−6)^2−4×1×(2k+1)
 =36−8k−4
 =−8k+32>0
     −8k>−32
       k<4


関連項目
判別式の基本


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 02:14| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年10月22日

高校数学「2次関数」「切り取る線分」

高校数学「2次関数」「切り取る線分」

■問題
2次関数y=x^2−6x+4のグラフがx軸から切り取る線分の長さを求めよ。


■考え方
「x軸から切り取る線分」とは「放物線とx軸との2つの交点の間の線分」のことです。
解き方は複数可能ですが、まずは放物線とx軸との交点を求めるのが基本です。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

x軸から切り取る線分は、放物線のスプーンでx軸をザクッとやっちゃったようなイメージです。

つまりは、まずはx軸との交点を求めます。

y=x^2−6x+4にy=0を代入して、x^2−6x+4=0の2次方程式を解きます。

x=[−(−6)±√{(−6)^2−4×1×4}]/2×1
 ={6±√(36−16)}/2
 =(6±√20)/2
 =(6±2√5)/2
 =3±√5

よって、y=x^2−6x+4は、x=3−√5とx=3+√5でx軸と交わります。

この2つの交点の間の線分が「切り取る線分」です。
だから、この線分の長さは、2点の座標の差になります。

3+√5−(3−√5)=2√5


関連問題
2次関数y=x^2−2axがx軸から切り取る線分の長さ


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 20:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次方程式」「解がわかっているとき」

高校数学「2次方程式」「解がわかっているとき」

■問題
2次方程式x^2−8x+k=0の解の1つが4−√3であるとき、定数kの値を求めよ。また他の解を求めよ。


■考え方
解はxの値なので、xに代入できます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

x^2−8x+k=0の解が4−√3なので、x=4−√3を代入して、

  (4−√3)^2−8(4−√3)+k=0
16−8√3+3−32+8√3+k=0

−8√3と8√3は相殺してゼロなので消して、

16+3−32+k=0
    −13+k=0
        k=13

kの値がわかったので、もとの式にk=13を代入して解けば、他の解がわかります。

x^2−8x+13=0

解の公式に、a=1,b=−8,c=13を代入すると、

x=[−(−8)±√{(−8)^2−4×1×13}]/2×1
 ={8±√(64−52)}/2
 =(8±√12)/2
 =(8±2√3)/2
 =4±√3

よって、他の解は4+√3


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 17:20| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次方程式」係数に√を含む場合

高校数学「2次方程式」A

■問題
2次方程式3x^2−7√2x+4=0を解け。


■考え方
係数に√が入っていますが、普通に因数分解や解の公式を使うこともできます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

3x^2−7√2x+4=0

2次方程式なので、普通にたすきがけをやってみましょう!

a=3,b=−7√2,c=4なので、いろいろ試してみると・・・

 3   −√2 =  −√2
   ×
 1  −2√2 = −6√2
――――――――――――――
 3    4    −7√2

こんな場合にうまくいきそうです。
よって、

(3x−√2)(x−2√2)=0

x=√2/3,2√2


次の問題→2次方程式解がわかっているとき


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 01:29| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年10月21日

高校数学「2次方程式」係数が分数の場合

高校数学「2次方程式」@

■問題
2次方程式(3/4)x^2−9x+6=0を解け。


■考え方
係数に分数があるとやりにくいので、分数がなくなるように変形してから解くと良いです。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは与式の両辺に4をかけて、分数がなくなるようにします。

(3/4)x^2−9x+6=0
3x^2−36x+24=0

係数は全て3で割れるので、割っておくと係数が小さくなって計算しやすくなります。

x^2−12x+8=0

あとは因数分解できればやる。できなければ解の公式。ですね!
掛けて8,足して−12の整数の組み合わせは存在しないので、解の公式に代入します。

x=[−(−12)±√{(−12)^2−4×1×8}]/2×1
 ={12±√(144−32)}/2
 =(12±√112)/2
 =(12±4√7)/2
 =6±2√7


次の問題→係数に√を含む2次方程式


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 17:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年10月19日

高校数学「2次関数」「最大値から式を求める」A

高校数学「2次関数」「最大値から式を求める」A

x=1のとき最大値5をとり、x=−1のときy=1となる2次関数の式を求めよ。


定義域が与えられていなくて「最大値5」ということは・・・?


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



定義域が与えられていないときの最大値は頂点になります。
言い換えれば、2次関数が上に凸のグラフになり、その頂点が最大になるわけです。

逆に、下に凸のグラフならば、頂点は最小です。

この問題では「x=1のとき最大値5」と言っているので、頂点は(1,5)です。

頂点がわかっているので、y=a(x−p)^2+qに代入して、

y=a(x−1)^2+5ですね。

このグラフが、x=−1のときy=1だから、この座標をx,yに代入すると、

 1=a(−1−1)^2+5
 1=4a+5
4a=1−5
4a=−4
 a=−1

よって、求める2次関数の式は、y=−(x−1)^2+5


関連問題
2次関数の式を求める。頂点がわかっているとき
最大値を求める


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 14:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次関数」「最大値から式を求める」@

高校数学「2次関数」「最大値から式を求める」@

2次関数y=x^2+2x+c(−2≦x≦2)の最大値が1のとき、cの値を求めよ。


与えられた2次関数はa>0なので、下に凸の2次関数てすね。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



グラフを描いてみるとわかると思いますが、

下に凸の2次関数の最大値は、定義域の両端のうち頂点から遠い方になります。

だから、「最大値が1」ならば、「定義域の両端のどちらかのy座標か1になる」ことを意味します。

まずは頂点を求めてみましょう!

y=x^2+2x+c
 =x^2+2x+1−1+c
 =(x+1)^2−1+c
よって、頂点は(−1,−1+c)です。

定義域は−2≦x≦2なので、両端のうち頂点から遠い方はx=2ですね。

ということは、x=2のときy=1である。ことがわかります。

だから与式にx=2,y=1を代入すればOKです。

1=4+4+c
c=1−8
c=−7


関連問題
最大値を求める


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次関数」「式を求める」D

高校数学「2次関数」「式を求める」D

x軸と点(−2,0),(3,0)で交わり、y軸と点(0,−12)で交わる。


x軸,y軸と交わるときは、グラフの位置や形がある程度決まります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



2次関数のグラフは左右対称なので、x軸との交点が2つともわかっていれば、それらのちょうと真ん中が軸になります。

今回の問題では、(−2,0),(3,0)なので、その真ん中の、x=1/2が軸になります。

軸は頂点のx座標と一致するので、頂点がわかる場合と同様に、y=a(x−p)^2+qに代入してみると、

y=a(x−1/2)^2+qとなります。

これが与えられた点を通るので、(3,0),(0,−12)をそれぞれ代入してみれば、

(3,0)を代入すると、0=a(3−1/2)^2+qすなわち、(25/4)a+q=0
さらに両辺を4倍して、25a+4q=0・・・@が得られます。

(0,12)を代入すると、12=a(0−1/2)^2+qすなわち(1/4)a+q=−12
さらに両辺を4倍して、a+4q=−48・・・Aが得られます。

これらを連立して解けば、a,qがわかって、2次関数の式も求められる。というわけですね。

@−Aより、24a=48すなわちa=2

a=2をAに代入して、2+4q=−48より、4q=−50すなわちq=−25/2

よって、求める2次関数は

y=2(x−1/2)^2−25/2


この記事では、軸を求めて計算してみましたが、3点がわかっているのでy=ax^2+bx+cに代入して解くこともできます。


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 10:43| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次関数」「式を求める」C

高校数学「2次関数」「式を求める」C

y=(1/2)x^2のグラフを平行移動したもので、頂点がx軸上にあり、点(3,8)を通る2次関数の式を求めよ。


頂点に関する情報がある場合は、y=a(x−p)^2+qに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点に関する情報がわかっているときは、y=a(x−p)^2+qに代入します。

頂点がx軸上にあることから、頂点のy座標はゼロであることがわかります。つまり、q=0です。

通る点の座標(3,8)はx,yに代入します。

そして、y=(1/2)x^2を平行移動したので、a=(1/2)です。

やってみると、

 8=(1/2)(3−p)^2+0
16=(3−p)^2
16=9−6p+p^2

移項してまとめると、

p^2−6p+9−16=0
  p^2−6p−7=0
  (p+1)(p−7)=0

よって、p=−1,7

p=−1のとき、y=(1/2)(x+1)^2
p=7のとき、y=(1/2)(x−7)^2


次の問題→x軸,y軸との交点がわかっているとき


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 06:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年10月18日

高校数学「2次関数」「式を求める」B

高校数学「2次関数」「式を求める」B

3点(−1,5),(−2,−3),(1,9)を通る2次関数の式を求めよ。

この問題の続きです。

3点がわかっているときは、y=ax^2+bx+cに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点や軸が与えられず、3点の座標がわかっているときは、y=ax^2+bx+cに3点の座標をそれぞれ代入し、
できた式を連立方程式にして解きます。

前回の記事で、3点の座標を代入して、

 5=a−b+c・・・@
−3=4a−2b+c・・・A
 9=a+b+c・・・B

という3つの式を作りました。
これらを連立して解いてみましょう!

まずは、@とBが共通する項があるので、取り出して差し引いてみると・・・

@・・・  a−b+c=5
B・・・−)a+b+c=9
   ―――――――――――
       −2b =−4
          b=2

b=2がわかったので、@とAに入れてみます。

@より、a−2+c=5すなわちa+c=7・・・C
Aより、4a−4+c=−3すなわち4a+c=1・・・D

これで残りはaとcの2つだけなので、中学レベルの連立方程式ですね。

C・・・   a+c=7
D・・・−)4a+c=1
   ――――――――――
     −3a  =6
         a=−2

a=−2をCに代入して、−2+c=7よって、c=9

a,b,cが全て出たので、y=ax^2+bx+cに代入して、

y=−2x^2+2x+9


次の記事→頂点がわかっているとき


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次関数」「式を求める」A

高校数学「2次関数」「式を求める」A

3点(−1,5),(−2,−3),(1,9)を通る2次関数の式を求めよ。


3点がわかっているときは、y=ax^2+bx+cに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点や軸が与えられず、3点の座標がわかっているときは、y=ax^2+bx+cに3点の座標をそれぞれ代入し、
できた式を連立方程式にして解きます。

今回の問題では、(−1,5),(−2,−3),(1,9)なので、それぞれ代入してみます。

(−1,5)を代入すると、5=a−b+c
(−2,−3)を代入すると、−3=4a−2b+c
(1,9)を代入すると、9=a+b+c

これで3つの式ができたので、あとは連立して解くだけです。


つづく→連立して解いた答え


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 10:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次関数」「式を求める」@

高校数学「2次関数」「式を求める」@

頂点が点(1,2)で、点(4,−7)を通る2次関数の式を求めよ。


頂点がわかっているときは、y=a(x−p)^2+qに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点が(p,q)の2次関数は、y=a(x−p)^2+qで表されます。

頂点の座標はp,qに、その他の通る点の座標はx,yに代入します。

今回の問題では、「頂点が点(1,2)で、点(4,−7)を通る」ので、p=1,q=2,x=4,y=−7を代入します。

 −7=a(4−1)^2+2
 −7=a×3^2+2
 −7=9a+2
−9a=2+7
−9a=9
  a=−1

よって、求める2次関数の式は、

y=−(x−1)^2+2


次の問題→3点(−1,5),(−2,−3),(1,9)を通る2次関数の式


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 08:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次関数」「最大値」A

高校数学「2次関数」「最大値」A

2次関数y=x^2−2ax+1(0≦x≦1)の最大値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。


前回の記事では、頂点が定義域の真ん中にある場合の最大値を求めました。
この記事では、頂点が真ん中ではないときを求め、解答を完成させます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



前回の記事で、まずは頂点が定義域の真ん中のときの最大値を求めました。

あとは、真ん中より左の場合と右の場合を求めれば完成です!


与式を平方完成して

y=x^2−2ax+1
 =x^2−2ax+a^2−a^2+1
 =(x−a)^2−a^2+1

よって、頂点は(a,−a^2+1)でしたね。

下に凸の2次関数の最大値は、定義域の両端のうち、頂点から遠い方になります。

真ん中はa=1/2のときなので、それより左はa<1/2です。
a<1/2のとき、定義域の右端x=1が最大値になります。
与式にx=1を代入すると、y=1−2a+1=−2a+2

真ん中より右の場合は、a>1/2ですね。
このときは、定義域の左端x=0が最大値になります。
つまり、y=1が最大値です。

前回の記事の頂点が真ん中にある場合とあわせてまとめると、

a<1/2のとき、x=1で最大値−2a+2
a=1/2のとき、x=0,1で最大値1
a>1/2のとき、x=0で最大値1


関連項目
最小値の場合
平方完成のやり方
2009年センター数1Aの2次関数


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 00:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年10月17日

高校数学「2次関数」「最大値」@

高校数学「2次関数」「最大値」@

2次関数y=x^2−2ax+1(0≦x≦1)の最大値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。


2次関数の最大最小を考えるときは、まずは頂点を求めます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


与式を平方完成して

y=x^2−2ax+1
 =x^2−2ax+a^2−a^2+1
 =(x−a)^2−a^2+1

よって、頂点は(a,−a^2+1)です。

下に凸の2次関数の最大値は、定義域の両端のうち、頂点から遠い方になります。
頂点がちょうど真ん中にある場合は、定義域の両端が同じ値になり、その場合が境目となります。

というわけで、まずは定義域の真ん中に頂点がある場合を求めてみましょう!

定義域は0≦x≦1なので、真ん中はx=1/2ですね。

頂点は(a,−a^2+1)なので、a=1/2のとき、最大値は定義域の両端になります。
与式にx=0を代入すると、y=1です。

よって、a=1/2のとき、x=0,1で最大値1


つづく


関連項目
最小値の場合
平方完成のやり方
2009年センター数1Aの2次関数


−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
 20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
  最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!

プロ家庭教師の江間です。    AE個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/     http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
posted by えま at 22:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。アマゾンやGooglePlayで「江間淳」で検索!
江間淳の書籍一覧 → http://amzn.to/2m9LTvN