2021年12月25日

高校数学「三角比」「三角方程式」2sinθ=√3

高校数学「三角比」「三角方程式」2sinθ=√3

■ 問題

2sinθ=√3を満たすθの値を求めよ。ただし、0°≦θ≦180°とする。


まずはsinθについて解きます。


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■ 解答解説

三角方程式では三角比を含む式のθの値を求めます。
三角比の項に係数があるときはまずは式を変形して、単純な形にします。

2sinθ=√3
 sinθ=√3/2

sinθの値が√3/2になるときのθの値がこの方程式の解です。

三角比の値を考えるときは単位円を描いて考えると良いです。

sinθ=y/rだから、y=√3,r=2なので、半径2の円を描いて、円周上の点のうちy=√3の場所を考えます。
第1象限と第2象限に1箇所ずつこのような点がありますね。
円周上の点からx軸に垂線を下ろすと、30°60°90°の三角形ができます。
θは第1象限のx軸の部分からの回転した角度を表すので、求める解は、

θ=60°,120°


↓三角比の解き方の練習に活用してください。↓



三角比まとめ


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2021年12月21日

高校数学「積分」∫(x^2・e^x)dxの不定積分

高校数学「積分」∫x2xdxの不定積分

■ 問題

∫x2xdxの不定積分を求めよ。

関数の積を積分するときは部分積分法を使います。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

部分積分法の基本的なやり方はこちらをごらんください
2つの関数の積を積分する方法が部分積分法です。
積の微分法の逆から式を作ることができると理解しておくと、公式として覚えていなくても解くことができます。

f(x)=x2,g'(x)=exとすると、f'(x)=2x,g(x)=exです。

 ∫x2xdx
=x2・ex−∫2x・exdx
=x2・ex−2∫x・exdx

ここで、∫x・exdxの部分もまた積なので、もう一度部分積分法を使います。

=x2・ex−2(x・ex−∫1・exdx)
=x2・ex−2(x・ex−ex)+C

これで終わりでも間違いとは言えませんが、exが共通しているので、くくっておいた方が良いでしょう!

=ex(x2−2x+2)+C


◆関連項目
不定積分部分積分法
対数関数の微分
微分積分(数学3)まとめ


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2021年12月19日

高校数学「積分」∫logxdxの不定積分

高校数学「積分」∫logxdxの不定積分

■ 問題

∫logxdxの不定積分を求めよ。

対数の積分は部分積分法を使います。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

部分積分法の基本的なやり方はこちらをごらんください
2つの関数の積を積分する方法が部分積分法です。
積の微分法の逆から式を作ることができると理解しておくと、公式として覚えていなくても解くことができます。

logx=1・logxとみなします。

 ∫logxdx
=∫1・logxdx

f'(x)=1,g(x)=logxとすると、f(x)=x,g'(x)=1/xとなるので、計算することができます。

=x・logx−∫x・(logx)'dx
=x・logx−∫x・(1/x)dx
=x・logx−∫1dx
=x・logx−x+C

さらにxでくくって、x(logx−1)+Cとしてもよいです。


◆関連項目
不定積分部分積分法
対数関数の微分
微分積分(数学3)まとめ


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2021年12月15日

高校数学「数列」1/1・2,1/2・3,1/3・4,1/4・5,……の和

高校数学「数列」1/1・2,1/2・3,1/3・4,1/4・5,……の和

■ 問題

次の数列{an}の初項から第n項までの和を求めよ。

1/1・2,1/2・3,1/3・4,1/4・5,……,1/n(n+1)


■ 選択肢

 @ 分母は1,2,3,4,…となる数列と2,3,4,5,…となる数列の積だから、2つの等差数列の和を掛ける

 A 分母の一般項はn(n+1)=n2+nだから、Σ[k=1〜n](n2+n)の逆数を求める

 B それぞれ計算すると、1/2,1/6,1/12,1/20である!

 C 部分分数分解をする


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■ 選択肢の解答

 C 部分分数分解をする

 今回の数列のように、分母が等差数列の積の形になっているときは、いわゆる「部分分数分解」をします。
 部分分数分解をすると、積を差の形で表すことができて、次々と相殺できる項が現れて、最初と最後だけが残る場合があります。


■ 計算式

 まず、求める数列の和は、次のように表すことができます。

1/1・2+1/2・3+1/3・4+1/4・5+……+1/n(n+1)

これを部分分数分解してみると、

(1/1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+(1/4−1/5)+……+{1/n−1/(n+1)}

このようになります。最初と最後をのぞいて、それぞれの括弧内の後ろの項と次の括弧内の前の項が相殺してプラマイゼロになります。すると、最初と最後だけが残ります。

 1/1−1/(n+1)
=(n+1−1)/(n+1)
=n/(n+1)


この問題は次の書籍のP.37に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
数列まとめ


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2021年12月13日

高校数学「積分」∫(1/sinx)dxの不定積分

高校数学「積分」∫(1/sinx)dxの不定積分

■ 問題

∫(1/sinx)dxの不定積分を求めよ。


三角関数の積分は、やりやすい形になるよう変形が必要な場合が多いです。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

∫tanxdxの不定積分と同様に、分子と分母にサインとコサインが出てくる形を目指します。

そうなれば、置換積分法や対数関数の微分の逆の、∫{f'(x)/f(x)}dx=log|f(x)|+Cを使うことができる。というイメージです。


1/sinx=sinx/sin2xとすれば、三角関数の相互関係より、

sinx/(1−cos2x)

このように直すことができます。

例えばcosx=tとおくと、t'=−sinxすなわちdt/dx=−sinxだから、dt=−sinxdxです。
さらに符号を変えて、−dt=sinxdxとしておくと扱いやすいです。

与式にここまでの式を当てはめると、

 ∫(1/sinx)dx
=∫(sinx/sin2x)dx
=∫{sinx/(1−cos2x)}dx
=−∫{1/(1−t2)}dt  ←sinxdx=−dtで置き換えた
=∫{1/(t2−1)}dt

とりあえずここまできました。
積分では、次数が低くないと計算が大変なので、なるべく1次式になることを目指します。
分母が因数分解できるのでやってみると、

=∫{1/(t−1)(t+1)}dt

1/(t−1)−1/(t+1)={t+1−(t−1)}/{(t−1)(t+1)}=2/(t−1)(t+1)だから、
1/(t−1)(t+1)=(1/2){1/(t−1)−1/(t+1)}
つまり、

=(1/2)∫{1/(t−1)−1/(t+1)}dt

このように変形できます。部分分数分解の手法ですね。
(t−1)'=1,(t+1)'=1だから、∫{f'(x)/f(x)}dx=log|f(x)|+Cを使って、

=(1/2)(log|t−1|−log|t+1|)+C
=(1/2)log|(t−1)/(t+1)|+C

最後はtをcosxに戻して、

=(1/2)・log|(cosx−1)/(cosx+1)|+C


◆関連項目
三角関数の相互関係不定積分合成関数の微分対数関数の微分
微分積分(数学3)まとめ


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2021年12月08日

高校数学「積分」∫tanxdxの不定積分

高校数学「積分」∫tanxdxの不定積分

■ 問題

∫tanxdxの不定積分を求めよ。


タンジェントの積分を公式として暗記する人もいると思いますが、∫{f'(x)/f(x)}dx=log|f(x)|+Cでできるようにしておいた方が良いですね。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

対数関数の微分の逆の、∫{f'(x)/f(x)}dx=log|f(x)|+Cを使う方針で考えていきます。

まず、三角関数の相互関係より、tanx=sinx/cosxですね。
(sinx)'=cosx,(cosx)'=−sinxだから、この式は「分子と分母が(だいたい)微分積分の関係になっている」というイメージを持っておくと、積分の計算への応用に気づきやすくなると思います。

ここで改めて、分母の微分をやってみると、(cosx)'=−sinxですね。
f(x)=cosxとするとf'(x)=−sinxです。

∫{f'(x)/f(x)}dx=log|f(x)|+Cに当てはめると、

∫(−sinx/cosx)dx=log|cosx|+C

です。
このままでは、tanx=sinx/cosxとは符号が合わないので調整して、

tanx=−(−sinx)/cosx

このようにします。すると、

∫tanxdx=−∫(−sinx/cosx)dx
      =−log|cosx|+C

これで完成です!


◆関連項目
三角関数の相互関係不定積分合成関数の微分対数関数の微分
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2021年12月04日

高校数学(用語)「置換積分法」

高校数学(用語)「置換積分法」

★置換積分法(integration by substitution)

変数や関数を置き換えて積分する方法を置換積分法という。

∫f(x)dxにおいて、x=g(t)とおくと、
∫f(x)dx=f(g(t))g'(t)dt


公式としては以上のようになりますが、コレを単に「公式」として覚えるより、この式の導き方を理解して導けるようにした方が良いです。

x=g(t)の両辺を微分すると、

dx/dt=g'(t)

ですね。
この両辺にdtをかければ、

dx=g'(t)dt

となります。
これを∫f(x)dxのdxに置き換えると、

∫f(x)g'(t)dt

さらに、x=g(t)だから、

∫f(g(t))g'(t)dt

となります。


数学3微分の解き方の習得に活用してください。好評です!



◆関連項目
∫(3x+2)5dxの積分
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月30日

高校数学「微分」y=sinxの第n次導関数

高校数学「微分」y=sinxの第n次導関数

■ 問題

y=sinxの第n次導関数を求めよ。


第n次導関数とは、n回微分した関数ですね。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

y=sinxを1回微分すると、y'=cosxですね。
つまり、第1次導関数はy'=cosxです。

さらにもう1回微分すると、y''=−sinxです。

これをさらに微分すると、y'''=−cosx

もう一回微分して第4次導関数を求めると、y(4)=sinxとなります。

もとのy=sinxと同じになりましたね。

このように、周期的に同じ式が表れる場合は、nの値によって場合分けして答えてもOKです。

でもこの場合は、三角関数の公式を使うともっとシンプルに第n次導関数を表せます。

cosx=sin(x+π/2)という公式がありましたね。
数学1で登場したものです。または数学2の加法定理から導いても良いです。

これを使うと、

y'=cosx=sin(x+π/2)

と表すことができます。
さらにこれを微分すれば、

y''=cos(x+π/2)=sin(x+π/2+π/2)

ですね。
つまり、y=sinxは、「微分すると角度の部分にπ/2を足す」と見ることもできます。
1回微分する度にπ/2を足していくのだから、n回微分すればn×π/2を足す。というわけです。
だから、

(n)=sin(x+nπ/2)


◆関連項目
第n次導関数90°−θの公式加法定理
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月28日

高校数学(用語)「第n次導関数」

高校数学(用語)「第n次導関数」

★第n次導関数(nth derivative)

ある関数をn回微分して得られた関数を第n次導関数という。


1回微分した関数は「第1次導関数」または単に「導関数」といいますね。
その第1次導関数をさらにもう一度微分したものが「第2次導関数」です。

ちなみに、第2次導関数をさらにもう一回微分すれば第3次導関数で、第3次導関数をさらに微分すれば第4次…

どんどん微分していって、n回微分した関数が「第n次導関数」です。


「n回微分する」のは何回なのかはわからないので、第2次、第3次くらいまでは普通に微分して、どのようなパターンになるかを推定するのが基本的な考え方です。
その結果、数列や階乗を使ったり、パスカルの三角形やライプニッツの公式を使うこともあります。
最終的にはなるべく1パターンの式で表しますが、それができない(難しい)場合は、nの値によって場合分けして答えてもよい場合もあります。


数学3微分の解き方の習得に活用してください。好評です!



◆関連項目
導関数第2次導関数
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2021年11月27日

高校数学(用語)「第2次導関数」

高校数学(用語)「第2次導関数」

★第2次導関数(second derivative)

ある関数を2回微分して得られた関数を第2次導関数という。


1回微分した関数は「第1次導関数」または単に「導関数」といいますね。
その第1次導関数をさらにもう一度微分したものが「第2次導関数」です。

ちなみに、第2次導関数をさらにもう一回微分すれば第3次導関数で、第3次導関数をさらに微分すれば第4次…
ですね!

第2次導関数は、グラフの概形を描くため、グラフの凹凸や変曲点を調べるときに使います。
y''=0の点が変曲点で、y''>0ならば上に曲がり(下に凸)、y''<0ならば下に曲がる(上に凸)。ですね。


数学3微分の解き方の習得に活用してください。好評です!



◆関連項目
導関数第n次導関数
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2021年11月26日

高校数学「積分」「置換積分法」∫{(3x+2)^5}dxの積分

高校数学「積分」「置換積分法」∫(3x+2)5dxの積分

■ 問題

∫(3x+2)5dxの不定積分を求めよ。


5乗の展開をして積分することもできなくはないですが、それはとても面倒なので、置換積分法を使うとよいです。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

カッコの中身を例えばtとおきます。
3x+2=tとすると、

(与式)=∫t5dx

ですね。
tについての式になったので、dxをdtにする必要があります。

3x+2=tよりdt/dx=(3x+2)'=3
さらにこれを変形して、dt=3dxよりdx=(1/3)dt

つまり与式は∫t5・(1/3)dtと書き換えることができます。
これを普通に積分すると、

 ∫t5・(1/3)dt
=(1/3)・(1/6)・t6+C

あとはtを元に戻して計算します。

=(1/18)(3x+2)6+C


◆関連項目
置換積分法
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2021年11月25日

高校数学「微分」y=1/(1−sinx)の微分

高校数学「微分」y=1/(1−sinx)の微分

■ 問題

y=1/(1−sinx)を微分せよ。


分数なので、基本的には「商の微分法」を使います。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

商の微分法に従って「y=f(x)/g(x)」の形で表される関数を微分すると、

y'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

となります。

この場合は分子が1なので特に、「{1/g(x)}'=−g'(x)/{g(x)}^2」と考えてもよいです。

g(x)=1−sinxとすると、

y'=−(1−sinx)'/(1−sinx)^2
 =−(−cosx)/(1−sinx)^2
 =cosx/(1−sinx)^2


◆関連項目
商の微分法合成関数の微分法
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高校数学(公式)「1/(ax+b)の不定積分」

高校数学(公式)「1/(ax+b)の不定積分」

∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)・log|ax+b|+C


これはlog|ax+b|の微分から簡単に導くことができます。

 (log|ax+b|)'
=(ax+b)'・1/(ax+b)
=a・1/(ax+b)
=a/(ax+b)

ですね。

積分はこれの逆なので、

∫{a/(ax+b)}dx=log|ax+b|+C

です。
この両辺に1/aを掛ければ、

∫{1/(ax+b)}dx=(1/a)・log|ax+b|+C

が得られます。


数学3微分の復習に活用してください。好評です!



◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月24日

高校数学(用語と公式)「指数関数の不定積分」

高校数学(用語と公式)「指数関数の不定積分」

★指数関数の不定積分(indefinite integrals of exponential functions)

∫exdx=ex+C
∫axdx=ax/loga+C

積分は微分の逆なので、まずは微分の公式をしっかり理解していることが重要です。
これらの公式の右辺を微分したら、左辺の∫f(x)dxのf(x)になりますね。

そこが怪しい人は

指数関数の微分

を確認したり、微分に戻って計算練習をすることをおすすめします!


数学3微分の復習に活用してください。好評です!



◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月21日

高校数学(用語と公式)「三角関数の不定積分」

高校数学(用語と公式)「三角関数の不定積分」

★三角関数の不定積分(indefinite integrals of trigonometric function)

∫cosxdx=sinx+C
∫sinxdx=−cosx+C
∫(1/cos2x)dx=tanx+C

積分は微分の逆なので、まずは微分の公式をしっかり理解していることが重要です。
これらの公式の右辺を微分したら、左辺の∫f(x)dxのf(x)になりますね。

そこが怪しい人は

三角関数の微分

を確認したり、微分に戻って計算練習をすることをおすすめします!


数学3微分の復習に活用してください。好評です!



◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月17日

高校数学「三角比」a=5,b=12,c=13の直角三角形ABCのsinA

高校数学「三角比」a=5,b=12,c=13の直角三角形ABCのsinA

■ 問題

 「a=5,b=12,c=13の直角三角形ABCがある。sinAの値を求めよ。」

このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 角度が書いてないので、サインの値は求められない

 A 5,12,13ということは直角三角形だから、5+122=132

 B 5,12,13ということは直角三角形だから、縦÷斜辺をやる

 C 5,12,13ということは直角三角形ではないから、まずは余弦定理でcosAを求める


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、基礎から医学部など満点を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 B 5,12,13ということは直角三角形だから、縦÷斜辺をやる

 5+12=13 なので、△ABCは直角三角形です。そして、三角比とは、「直角三角形の斜辺が1のときの特定の辺の比」を表します。
 サインは「縦/斜辺」、コサインは「横/斜辺」、タンジェントは「縦/横」です。
 ∠Aの三角比を求めたければ、左下にA,右下に直角となるように三角形をおきます。この場合の「縦/斜辺」がsinAです。


■ 解答解説

 いちばん長い辺が必ず斜辺になるので斜辺がc=13,∠Aの対辺がa=5となり、右の図のようになります。

よって、sinA=5/13


図は電子書籍「10秒でわかる高校数学1A三角比」でご覧ください。


この問題は次の書籍のP.5に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



三角比まとめ


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2021年11月16日

高校数学「2次不等式」x^2−6x+k<0の整数解

高校数学「2次不等式」x2−6x+k<0の整数解

■ 問題

2−6x+k<0の整数解が3だけであるようなkの値の範囲を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

この問題に限らず、2次不等式の問題は、グラフを使って考えます。

2−6x+k<0の解は、y=x2−6x+kのグラフがx軸より下を通る範囲を表します。

「整数解が3だけ」になるためには、この「x軸より下」の範囲に3だけが入ればOKというわけです。

そして、y=x2−6x+kのグラフは下に凸なので、「x軸より下」の範囲に3だけが入るためには、2と3の間と3と4の間でx軸と交わればいい。ということができます。


f(x)=x2−6x+kとすると、

2と3の間でx軸と交わるならば、f(2)>0,f(3)<0ですね。
さらに、3と4の間でx軸と交わるならば、f(3)<0,f(4)>0です。

これらを全て満たす範囲が求めるkの範囲です。
計算してみましょう!

f(2)=22−6×2+k
  =4−12+k
  =−8+K>0
      k>8

f(3)=32−6×3+k
  =9−18+k
  =−9+k<0
      k<9

f(4)=42−6×4+k
  =16−24+k
  =−8+k>0
      k>8

これらの共通範囲は、8<k<9


◆関連項目
2次不等式3x−2x^2<6
2次関数まとめ


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2021年11月11日

高校数学(用語と公式)「指数関数の微分」

高校数学(用語と公式)「指数関数の微分」

★指数関数の微分(differentiation of exponential function)

底をe(自然対数の底)とする指数関数の微分は

(ex)'=ex

このようになります。
つまり、微分しても変わらない。というわけです。

底がeでないときは、

(ax)'=ax・loga

です。

logax=xloga
であり、
logexloga=xloga・loge=xloga
なので、ax=elogaですね。

だから、
 (ax)'
=(exloga)'
=exloga・(xloga)'  ←合成関数の微分法
=exloga・loga
=ax・loga

というわけです。


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◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月09日

高校数学「微分」y=x^3−x^2の接線

高校数学「微分」y=x^3−x^2の接線

■ 問題

y=x^3−x^2の接線のうち、傾きが1のものをすべて求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

接線の傾きは導関数です。
曲線のグラフの接線を考えると、場所によって傾きが変わります。その傾きを式で表すと導関数になる。ということができます。

今回の問題では、y=x^3−x^2の接線について考えるので、まずはy=x^3−x^2の導関数を求めます。

y'=3x^2−2x

ですね。
これが接線の傾きを表します。
「傾きが1」のものを求めるので、y'=1です。

3x^2−2x=1

2次方程式になったので、普通に解いてみると、

3x^2−2x−1=0
(3x+1)(x−1)=0
∴x=−1/3,1

つまり、傾きが1になるのは、x=−1/3とx=1における接線です。

というわけで、これらの式を求めます。
傾きは1とわかっているので、あとは座標が必要です。

x=−1/3のとき、y=(−1/3)^3−(−1/3)^2=−1/27−1/9=−4/27
求める直線は、y−(−4/27)=1{x−(−1/3)}より、y=x+5/27

x=1のとき、y=1−1=0
求める直線は、y−0=1(x−1)よりy=x−1


◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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2021年11月08日

高校数学(用語と公式)「対数関数の微分」

高校数学(用語と公式)「対数関数の微分」

★対数関数の微分(differentiation of logarithmic function)

まず、底が自然対数の底eのとき、

(log|x|)'=1/x
(log|f(x)|)'=f'(x)/f(x)

つまり、「微分した式/そのまま」です。

(x)'=1なので、(logx)'=1/xも「微分した式/そのまま」になっていますね。


次に、底がeでないとき

(logx)'=1/xloga

底の変換公式より、logx=logx/logaです。
logaは定数つまりxの係数なので、微分しても変わりません。
だから、

(logx)'=1/xloga

です。


数学3微分の習得に活用してください。好評です!



◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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こんなヤツです
名前:江間淳
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