2025年01月15日

高校数学「複素数平面」{−1/√2−(1/√2)i}-8

高校数学「複素数平面」{−1/√2−(1/√2)i}-8

■ 問題

次の計算をせよ。

{−1/√2−(1/√2)i}-8


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

8乗となると正直に計算してられないので、ド・モアブルの定理を活用して計算します。

(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ

ですね!

この公式を使うために、まずはカッコの中身を極形式で表します。

−1/√2−(1/√2)i=cos(−3/4)π+isin(−3/4)π

ですね。ということは、与式は、

{cos(−3/4)π+isin(−3/4)π}-8

このように書き換えられます。
これでド・モアブルの定理が使えます。

=cos{−8・(−3/4)}π+isin{−8・(−3/4)}π
=cos6π+isin6π
=1


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2025年01月08日

高校数学「確率統計」確率密度関数の計算A

高校数学「確率統計」確率密度関数の計算A

◆問題

確率変数Xのとり得る値の範囲が0≦X≦1で、確率密度関数がf(x)=2xのとき、次の確率を求めよ。

(1) P(0≦X≦1/2)

(2) P(0≦X≦1)

(3) P(1/2≦X≦1)


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

(2) P(0≦X≦1)

これは要するに、底辺1,高さ2の直角三角形なので、

P(0≦X≦1)=(1/2)×1×2=1


(3) P(1/2≦X≦1)

このように両端がゼロでない場合は、大きい図形から小さい図形を引くと求めやすい場合があります。
つまり、

P(1/2≦X≦1)=P(0≦X≦1)−P(0≦X≦1/2)

ですね。
それぞれの値は、(1)と(2)で求めているのでそのまま使います。

P(1/2≦X≦1)=1−1/4=3/4


(1)に戻る→P(0≦X≦1/2)


確率統計まとめ


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2025年01月07日

高校数学「確率統計」確率密度関数の計算@

高校数学「確率統計」確率密度関数の計算@

◆問題

確率変数Xのとり得る値の範囲が0≦X≦1で、確率密度関数がf(x)=2xのとき、次の確率を求めよ。

(1) P(0≦X≦1/2)


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◆解答解説

確率密度関数とは、確率変数Xが連続的な値をとり、その値が関数f(x)とx軸との間の面積で表されるときの、f(x)のことです。
つまりは、y=f(x)の定積分になります。

今回の問題のように、単純な関数の場合は、グラフと図形から面積を計算してもよいです。

今回の問題ではf(x)=2xだから、P(0≦X≦1/2)を表す図形は、
底辺1/2,高さ1の直角三角形になります。
つまり、

P(0≦X≦1/2)=1/2×1×1/2=1/4


次の問題→P(0≦X≦1)など


確率統計まとめ


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2025年01月06日

高校数学「確率統計」母平均mを信頼度95%で推定する

高校数学「確率統計」母平均mを信頼度95%で推定する

◆問題

母集団から大きさ2500の標本を抽出し、変量xの値を調べたところ、標本平均は50.5,標本標準偏差は5.0だった。xの母平均mを信頼度95%で推定せよ。


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◆解答解説

標本の大きさ2500は充分に大きいとみなして、「標本標準偏差=母標準偏差」と考えられます。
標本平均を_とすると、_は正規分布N(m,5.02/2500)に近似的に従うということができます。

ということは、Z=(_−m)/σが標準正規分布N(0,1)に従うことになり、求める信頼区間を正規分布表を用いて計算することができます。

信頼度95%ということは、正規分布の−0.475から0.475の範囲なので、P(|Z|≦1.96)=0.95です。
つまり、|_−m|=1.96×(σ/√n)です。
さらに変形して、mの式にすると、

_−1.96×(σ/√n)≦m≦_+1.96×(σ/√n)

このように表すことができますね。
あとは代入して計算です。
_=50.5

σ/√n=√(5.02/2500)
   =5/50
   =1/10

だから、

50.5−1.96×1/10=50.5−0.196=50.304
50.5+1.96×1/10=50.5+0.196=50.696

小数第3位を四捨五入すると、信頼度95%の信頼区間は

50.30≦m≦50.70


正規分布表はこちら


確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」正規分布N(15,42)に従うとき

高校数学「確率統計」正規分布N(15,42)に従うとき

◆問題

確率変数Xが正規分布N(15,42)に従うとき、P(13≦X≦15)を求めよ。


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◆解答解説

確率変数Xが正規分布(m,σ2)に従うとき、Xに関する確率はXを標準化して標準正規分布N(0,1)における確率に直して求めることができます。

Z=(X−m)/σ

とすると、ZはN(0,1)に従うことが知られていて、このZを、Xを標準化した確率変数といいます。

今回の問題では、m=15,σ=4だから、Z=(X−15)/4となります。これを用いてP(13≦X≦15)を書き換えてみます。

 P(13≦X≦15)
=P((13−15)/4≦Z≦(15−15)/4)
=P(−2/4≦Z≦0)
=P(−0.5≦Z≦0)

このように書き換えることができました。

P(−0.5≦Z≦0)=P(0≦Z≦0.5)だから、あとは世紀分布表を用いて値を調べると、

P(0≦Z≦0.5)=0.1915

このようになります。


正規分布表はこちら


確率統計まとめ


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2025年01月05日

高校数学「積分」y=x2−4x+1とx軸で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」y=x2−4x+1とx軸で囲まれた図形の面積

■ 問題

放物線y=x2−4x+1とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ。


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■ 解答解説

x軸と関数に囲まれた図形の面積を求めるには、x軸との交点の間の区間で定積分ですね!
まずは交点を求めてみましょう!

x軸上はy=0だから、

2−4x+1=0

因数分解できないので、解の公式を使います。

x=[−(−4)±√{(−4)2−4×1×1}]/(2×1)
 ={4±√(16−4)}/2
 =(4±√12)/2
 =(4±2√3)/2
 =2±√3

だから、2−√3から2+√3の区間で定積分ですね!
・・・ですが、普通に定積分をやると計算がかなり大変になってしまいます。
2次式を積分すると3次式になり、それに2−√3を代入したり・・・となってしまいます。
もちろんこの程度ならやればできますが、もっと簡単に計算できる公式があることも知っておくと良いでしょう。
いわゆる、「1/6の公式」です。
2次関数とx軸または直線との間の面積を求めるために使うことができます。

2つの交点をα,βとすると、

S=(1/6)(β−α)3

こんなシンプルな式で面積を求めることができます。
どこかにマイナスがついたりつかなかったり、公式の表し方はいくつかありますが、「大きい方から小さい方を引いて、3乗して、1/6」と覚えておくのが実用的だと思います。

今回はα=2−√3,β=2+√3なので、

S=(1/6)(2+√3−2+√3)3
 =(1/6)(2√3)3
 =(1/6)×24√3
 =4√3


◆関連項目
y=x2+xとy=2x+6に囲まれた図形の面積
微分積分(数学2)まとめ

江間淳の書籍はこちら
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2025年01月03日

高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算A

高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算A

■ 問題

次の定積分を求めよ。

∫[1〜3]|x2−4|dx


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■ 解答解説

絶対値を含む定積分を考えるときは、場合分けが必要になる場合があります。
絶対値なので、値がマイナスなら符号を変えるという操作が必要になります。

どこで符号が変わるかを調べるため、まずはイコールゼロで解いてみます。

2−4=0
(x+2)(x−2)=0
x=−2,2

今回の積分の区間は1から3だから、1〜2と2〜3の2ヶ所に分けて考えます。
2より左はマイナス、2より右はプラスだから、

 ∫[1〜3]|x2−4|dx
=−∫[1〜2](x2−4)dx+∫[2〜3](x2−4)dx

このように分けることができます。
あとは計算ですね!

=−[(1/3)x3−4x][1〜2]+[(1/3)(x3−4x][2〜3]
=−{8/3−8−(1/3−4)}+27/3−12−(8/3−8)
=−(8/3−8−1/3+4)+27/3−12−8/3+8
=−(7/3−4)+19/3−4
=−7/3+4+19/3−4
=12/3
=4


◆関連項目
基本的な定積分の計算
微分積分(数学2)まとめ

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2025年01月02日

高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算@

高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算@

■ 問題

次の定積分を求めよ。

∫[1〜3]|x−2|dx


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■ 解答解説

絶対値を含む定積分を考えるときは、場合分けが必要になる場合があります。

絶対値なので、値がマイナスなら符号を変えるという操作が必要になります。

x−2=0を解くと、x=2だから、x=2を境に式の値の符号が変わります。

x<2ならマイナス、x>2ならプラスですね。
マイナスのところは符号を変えて積分。プラスのところはそのまま積分です。
つまり、

 ∫[1〜3]|x−2|dx
=−∫[1〜2](x−2)dx+∫[2〜3]|x−2|dx

これを計算すればよい。というわけです。
やってみましょう!

=−[(1/2)x2−2x][1〜2]+[(1/2)x−2x][2〜3]
=−{(1/2)・4−2・2−(1/2−2)}+(1/2)・9−2・3−{(1/2)・4−2・2}
=−(2−4−1/2+2)+9/2−6−(2−4)
=1/2+9/2−4
=5−4
=1


この問題は単純な図形なので、他の方法もできますが、こういった単純な問題で、原則通りにやる練習をするのも良いと思います!


◆関連項目
基本的な定積分の計算
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2024年12月29日

高校数学「図形と方程式」線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡

高校数学「図形と方程式」線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡

◆問題
点Qが直線x−2y+2=0上を動くとき、点A(2,−3)と点Qを結ぶ線分AQを1:2に内分する点Pの軌跡を求めよ。


軌跡に関する少し難しい問題です。
定期テストレベルなら、このくらいが解ければだいたいOKだと思います。


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◆解答解説

軌跡の問題では、基本的には点Pを(x,y)とおきます。
そして点P以外に移動する点があれば、それも文字で置きます。
例えば、Q(s,t)とするのが標準的だと思います。

今回の問題も、この置き方でやっていきます。

Qはx−2y+2=0上の点なので、この直線の式に代入することができますね。
つまり、s−2t+2=0です。

点PはAQを1:2に内分する点だから、内分の公式を使って式を立てます。

x=(2×2+1×s)/(1+2)=(4+s)/3
y={2×(−3)+1×t)/(1+2)=(−6+t)/3

求めるのはPの軌跡、つまり、xとyの関係式です。
だから、s,tを消去するために、それぞれs,tについて解きます。

 x=(4+s)/3
3x=4+s
 s=3x−4

 y=(−6+t)/3
3y=−6+t
 t=3y+6

これらをs−2t+2=0に代入すれば、x,yの式ができますね!

3x−4−2(3y+6)+2=0
3x−4−6y−12+2=0
3x−6y−14=0

よって、求める軌跡は、「3x−6y−14=0の直線」です。


◆関連項目
2点O(0,0),A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡
軌跡の立式の仕方
図形と方程式まとめ


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2024年12月28日

高校数学「微分」y=x4−8x3+18x2−11のグラフ

高校数学「微分」y=x4−8x3+18x2−11のグラフ


◆問題

y=x4−8x3+18x2−11のグラフを描け。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

y=x4−8x3+18x2−11のグラフを描け。

3次関数や4次関数のグラフを描くときは、増減表を作るのが標準的です。

そのためには、y'=0になるときのxの値が必要ですね。
まずは微分して計算してみましょう!

y'=4x3−24x2+36x=0
3−6x2+9x=0
x(x2−6x+9)=0
x(x−3)2=0
よって、x=0,3

x=3のところは重解なので、x=3のところでy'はゼロになりますが、その前後どちらもy'の符号は同じになります。
というわけで、増減表は以下のようになります。




y'
極小 


そしてグラフは以下のようになります。

yequalx48x318x211.png


◆関連項目
4次関数の最大最小
微分積分(数学2)まとめ


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2024年12月25日

高校数学「微分」y=(x−2)3の微分

高校数学「微分」y=(x−2)3の微分

◆問題

y=(x−2)3を微分せよ。


↓解答解説はお知らせの下↓

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◆解答解説

数学2の微分としては発展的な内容、数学3の微分としては基本的な内容となります。

この記事では主に数学3の微分で登場する公式を使って解説します。

y=(ax+b)nのとき、
y'=n(ax+b)'(ax+b)n-1
 =an(ax+b)n-1

このように微分することができます。

これを使えば、与式は、

y'=3(x−2)'(x−2)2
 =3(x−2)2

このように微分することができます。

もちろん、いったん展開してから微分(数学2の普通のやり方)しても、全く同じ式を求めることができます。


◆関連項目
微分積分(数学2)まとめ
微分積分(数学3)まとめ


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2024年12月23日

高校数学「逆関数」f(x)=4xの逆関数

高校数学「逆関数」f(x)=4xの逆関数

◆問題

次の関数の逆関数を求めよ。

f(x)=4x


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

前回の問題と同様に、xの整式で表される関数の逆関数を求めるときは、xについて解いて、xとyを入れ替える。という操作をします。

y=4xとしてやってみましょう!

対数に書き直せば、

x=log4

ですね。

xとyを入れ替えると、

y=log4

というわけで、

-1(x)=log4


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高校数学「逆関数」f(x)=x/(x+3)の逆関数

高校数学「逆関数」f(x)=x/(x+3)の逆関数

◆問題

次の関数の逆関数を求めよ。

f(x)=x/(x+3)


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◆解答・解説

xの整式で表される関数の逆関数を求めるときは、xについて解いて、xとyを入れ替える。という操作をします。

y=x/(x+3)として、計算してみましょう!

y(x+3)=x
yx+3y−x=0
x(y−1)=−3y
x=−3y/(y−1)

xとyを入れ替えて、

y=−3x/(x−1)

というわけで、求める逆関数は、

-1(x)=−3x/(x−1)


次の問題→f(x)=4x


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2024年12月20日

高校数学「無理関数」曲線y=√(x−1)とy=x+kの共有点が2個のとき

高校数学「無理関数」曲線y=√(x−1)とy=x+kの共有点が2個のとき

◆問題

曲線y=√(x−1)について次の問いに答えよ。

(1) 直線y=x−3との共有点の座標を求めよ。

(2) 直線y=x+kと接するときのkの値を求めよ。

(3) (2)のときの接点の座標を求めよ。

(4) 直線y=x+kと異なる2点で交わるようなkの値の範囲を求めよ。


↓↓(4)の解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

(2)より、接するときはk=−3/4です。
そして、グラフを考えると、この場合より上にいくと共有点がなくなってしまうことがわかると思います。

つまり、k=−3/4より下にいく必要があります。
いくらでも下に行って良いわけではありません。

無理関数のグラフはプラスの部分だけの範囲だから、(1,0)の点を通る場合が一番下になります。
このとき、0=1+kより、k=−1

一番上のときk=−3/4,一番下のときk=−1だから、これらの間が求める範囲になります。

よって、−1<k<−3/4


この問題の最初に戻る→直線y=x−3との共有点の座標


◆関連項目
無理関数のグラフの基本的な特徴
双曲線


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2024年12月19日

高校数学「無理関数」曲線y=√(x−1)とy=x+kの接点の座標

高校数学「無理関数」曲線y=√(x−1)とy=x+kの接点の座標

◆問題

曲線y=√(x−1)について次の問いに答えよ。

(1) 直線y=x−3との共有点の座標を求めよ。

(2) 直線y=x+kと接するときのkの値を求めよ。

(3) (2)のときの接点の座標を求めよ。


↓↓(3)の解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

k=−3/4がわかったので、あとは代入して計算していけばOKです。

2+(2k−1)x+k2+1=0にk=−3/4を代入して、

2+(−3/2−1)x+9/16+1=0
2−(5/2)x+25/16=0
(x−5/4)2=0
よって、x=5/4

接するので曲線と直線どちらに入れても良いのですが、今回は曲線の方に入れてみます。

y=√(5/4−1)
 =√(1/4)
 =1/2

というわけで、求める接点の座標は、(5/4,1/2)


次の問題→共有点が2個のとき


◆関連項目
無理関数のグラフの基本的な特徴
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高校数学「無理関数」曲線y=√(x−1)とy=x+kが接するとき

高校数学「無理関数」曲線y=√(x−1)とy=x+kが接するとき

◆問題

曲線y=√(x−1)について次の問いに答えよ。

(1) 直線y=x−3との共有点の座標を求めよ。

(2) 直線y=x+kと接するときのkの値を求めよ。


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◆解答・解説

y=√(x−1)は無理関数で、y=x+kは1次関数ですね。

接するときも共有点をもつので、まずは連立方程式の要領で計算します。

√(x−1)=x+k
x−1=(x+k)2
x−1=x2+2kx+k2

2次方程式になったので、●●=0の形にしてみます。

2+(2k−1)x+k2+1=0

接するということは、この式の解が1つと考えます。
判別式をD=b2−4acとすると、

D=(2k−1)2−4×1×(k2+1)
 =4k2−4k+1−4k2−4
 =−4k−3

解が1つなので、D=0です。つまり、

−4k−3=0
   4k=−3
    k=−3/4


次の問題→接点の座標


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2024年12月18日

高校数学「無理関数」曲線y=√(x−1)と直線y=x−3の共有点

高校数学「無理関数」曲線y=√(x−1)と直線y=x−3の共有点

◆問題

曲線y=√(x−1)について次の問いに答えよ。

(1) 直線y=x−3との共有点の座標を求めよ。


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◆解答・解説

y=√(x−1)は無理関数で、y=x−3は1次関数ですね。
こういった場合でも、関数の共有点や交点はとにかく連立方程式で求めることができます。
右辺同士をイコールで結んで解いていきましょう!

x−3=√(x−1)

まずは両辺を2乗して、

(x−3)2=x−1

2次方程式になったので、普通に解きます。

2−6x+9=x−1
2−7x+10=0
(x−2)(x−5)=0
よって、x=2,5

x=2のときx−3=−1<0だから、x−3=√(x−1)に適しません。
x=5のときは、x−3=2>0だから大丈夫です。

だから、この2つの関数の共有点のx座標はx=5のみが適切な値である。ということができます。

x=5のとき、y=5−3=2

よって、求める共有点の座標は(5,2)


次の問題→接するとき


◆関連項目
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高校数学「分数関数」不等式2/(x−1)>x

高校数学「分数関数」不等式2/(x−1)>x

◆問題

直角双曲線y=2/(x−1)について次の問いに答えよ。

(1) 漸近線の方程式を求めよ。

(2) 2つの関数y=2/(x−1)とy=xの交点の座標を求めよ。

(3) 不等式2/(x−1)>xを解け。


↓↓(3)の解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

場合分けして式を変形して解くこともできますが、グラフを考えることで不等式を解くこともできます。

2/(x−1)>x

これはつまり、y=2/(x−1)のグラフがy>xのグラフより上側にあることを意味しています。

math3c48ex1.png

交点と漸近線を考えると、そういう範囲は、

x<−1,1<x<2ですね!


この問題の最初に戻る→漸近線の方程式


◆関連項目
反比例(中学数学)
双曲線


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2024年12月16日

高校数学「分数関数」y=2/(x−1)とy=xの交点

高校数学「分数関数」y=2/(x−1)とy=xの交点

◆問題

直角双曲線y=2/(x−1)について次の問いに答えよ。

(1) 漸近線の方程式を求めよ。

(2) 2つの関数y=2/(x−1)とy=xの交点の座標を求めよ。


↓↓(2)の解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

関数の種類にかかわらず、関数の交点は連立方程式で求めることができます。

y=2/(x−1)とy=xを連立して解きます。

x=2/(x−1)
x(x−1)=2
2−x−2=0
(x+1)(x−2)=0
よって、x=−1,2

聞いているのは座標なので、y座標も求めます。

y=xにそれぞれのxの値を代入すると、y=−1,2

というわけで、求める交点の座標は、

(−1,−1),(2,2)


次の問題→不等式2/(x−1)>xの解


◆関連項目
反比例(中学数学)
双曲線


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2024年12月15日

高校数学「分数関数」y=2/(x−1)の漸近線

高校数学「分数関数」y=2/(x−1)の漸近線

◆問題

直角双曲線y=2/(x−1)について次の問いに答えよ。

(1) 漸近線の方程式を求めよ。


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◆解答・解説

直角双曲線は中学数学の反比例の応用です。
反比例のグラフを平行移動したもので、

y=k/(x−p)+q

この式で表されるグラフは、y=k/xをx軸方向にp,y軸方向にq移動したものになります。
漸近線は、x=p,y=qですね。

今回の問題では、y=2/(x−1)だから、

y=2/xをx軸方向に1だけ移動したものになります。

つまり、漸近線は、x=1,y=0です。


次の問題→直線との交点


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