2020年06月27日

高校数学「対数」「底の変換」「log[3]8・log[4]3」

高校数学「対数」「底の変換」「log[3]8・log[4]3」

■ 問題

log[3]8・log[4]3を計算せよ。


■ 選択肢

この問題を解くためには何をすればいいでしょうか?
どれか一つ選んで続きを読んでみてください。

@ かけ算だから[3]と[4]、8と3をそれぞれかけ算する
A かけ算をしても底は変わらないので、8と3をかけ算する
B 対数の足し算は真数のかけ算だから、逆に対数のかけ算は真数の足し算にする
C 対数は底が同じでないと計算できないので、底の変換公式を使う


解答解説はこのページ下に


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■ 選択肢の正解

C 対数は底が同じでないと計算できないので、底の変換公式を使う

対数の計算をするためには、まずは底をそろえます。
分数の計算のときにまずは通分するのと似たイメージです。


■ 解答解説

底の異なる対数の計算をするときは、

底の変換公式「log[a]b=log[c]b/log[c]a」

を使って、まずは底をそろえます。
cは何にしてもかまいませんが、たいていは2か3にするとよいです。
この場合は3にしてみましょう!

 log[3]8・log[4]3
=log[3]8・(log[3]3/log[3]4)
=log[3]2^3・1/log[3]2^2  ←log[3]3=1
=3log[3]2・1/2log[3]2  ←真数の指数は対数の係数
=3log[3]2/2log[3]2
=3/2          ←log[3]2どうしで約分した


関連項目
対数の計算法則
「log[4]9−log[2]12」


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2020年06月25日

高校数学「確率」「反復試行」「1個のサイコロを5回投げる」

高校数学「確率」「反復試行」「1個のサイコロを5回投げる」

■ 問題

1個のサイコロを5回投げるとき、奇数の目が2回出る確率を求めよ。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

念のため最初に断っておきますが、特に何も言及がなければ、サイコロは6面体で1〜6の目が一つずつあり、どの面が出る確率も等しいとします。

このような普通のサイコロを使う場合、奇数の出る確率は1/2ですね。

1/2の確率のことが2回起こり、その余事象が3回起こるのだから、(1/2)^2×(1/2)^3=1/32
で良いように思う人も多いと思いますが、これは可能性のある条件の一部しか表すことができていません。

もう少し詳しく考えてみましょう!

奇数が出るのが何番目の可能性があるかというと、1,2番目かも知れないし、1,3番目かも知れないし、4,5番目かも知れませんね。
どの場合でも「5回中2回が奇数」です。
正しい確率を出すためには、これらの場合全てを考慮した値にしなければいけないのです。

5回中2回が奇数だから、その出方は・・・5C2=(5・4)/(2・1)=10通りあることになります。

1/32の確率のことが10パターンの出方があるので、10×1/32=10/32=5/16が求める確率となります。

ちなみにこのような事象や求め方を一般的に「反復試行」といいます。


関連項目
コイン4回の場合


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高校数学「確率」「余事象」「サイコロ2個で少なくとも1個は4以下の確率」

高校数学「確率」「余事象」「サイコロ2個で少なくとも1個は4以下の確率」

■ 問題

2個のさいころを同時に投げるとき、少なくとも1個は4以下の目が出る確率を求めよ。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

「少なくとも1個」ということは「1個または2個」であり、

「4以下」ということは「1または2または3または4」です。

「少なくとも1個が4以下」には、これらのパターン全部が含まれます。

これらを全て出して合計・・・
でもいいのですが、面倒ですね。

こんなときは「余事象」の考えを使った方が楽に出すことができます。

「余事象」とは「当てはまらない場合」のことで「補集合」と同じです。

「少なくとも1個が4以下」に当てはまらない場合は・・・

「2個とも5以上(4より大きい)」ですね。

この余事象の確率を求めて、全体の確率1から引いてやればOK!というわけです。

2個とも5以上なのは、(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)の4通りなので、4/36=1/9

よって、求める確率は、

1−1/9=8/9


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2020年06月24日

高校数学「2次関数」「平方完成のやり方」(動画)

高校数学「2次関数」「平方完成のやり方」(動画)

2次式の平方完成は、簡単な式ならできるけど、xの2乗に係数がついたり、文字が含まれると、意外とできない人が多いです。

いつも生徒に教えていて、好評のやり方を動画にしてアップしてあります。

https://youtu.be/DXr5I15kCZw

少し複雑な式でも確実にできる方法ないかな〜?

と悩んでいる人は、ぜひご覧ください。


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2020年06月23日

高校数学「対数」「引き算」「6log[3]√2−log[3]24」

高校数学「対数」「引き算」「6log[3]√2−log[3]24」

■ 問題

6log[3]√2−log[3]24を計算せよ。


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■ 解答解説

対数の引き算は、真数の割り算になります。

log[a]b−log[a]c=log[a](b/c)

さらに、対数の指数は真数の指数になります。

c・log[a]b=log[a](b^c)

今回の問題では、これらを使います。
まずは6log[3]√2を直すと、

6log[3]√2=log[3](√2^6)
      =log[3]8

よって、

 6log[3]√2−log[3]24
=log[3]8−log[3]24
=log[3](8/24)
=log[3](1/3)
=−1


関連項目
対数の計算法則
「log[4]9−log[2]12」


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2020年06月22日

高校数学「対数」「底の変換」「log[4]9−log[2]12」

高校数学「対数」「底の変換」「log[4]9−log[2]12」

■ 問題

log[4]9−log[2]12を計算せよ。


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■ 解答解説

対数の計算をするときは(指数でも)、底が違っていると計算できません。
だから、底が違っているときは、底の変換公式を使って底をそろえます。

log[a]b=log[c]b/log[c]a

cは1以外の好きな値にすることができます。
2か3にするとうまくいく場合が多いので、何にしたらいいかわからないときは、まずは2か3にそろえてみると良いと思います。

今回の問題でも、底は2にそろえてみましょう!

 log[4]9−log[2]12
=log[2]9/log[2]4−log[2]12
=log[2]9/2−log[2]12

ここで、対数の係数は真数の指数になるので、

=log[2]9^(1/2)−log[2]12
=log[2]3−log[2]12

対数の引き算は真数の割り算だから、

=log[2](3/12)
=log[2](1/4)

1/4=2^(-2)なので、

=−2


とてもシンプルな問題のように見えますが、対数の公式をいくつも使っています。
それぞれの公式が確実に素早く使えるよう練習しましょう!


関連項目
対数の計算法則


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2020年05月14日

高校数学「指数」「累乗根」「大小の比較」

高校数学「指数」「累乗根」「大小の比較」

■ 問題

9の3乗根、81の5乗根、243の7乗根を小さい順に並べ替えよ。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

累乗根で表された数の大小は、そのままでは比較しにくいです。
比較しやすくするためには、分数の指数で表すのが代表的な方法の一つです。

9の3乗根=9^(1/3)
     =(3^2)^(1/3)
     =3^(2/3)

81の5乗根=81^(1/5)
      =(3^4)^(1/5)
      =3^(4/5)

243の7乗根=243^(1/7)
       =(3^5)^(1/7)
       =3^(5/7)

これで比較したい3つの数を全て3の累乗の形で表すことができました。
指数が大きい方が大きいので、あとは指数同士を比較すればOkです。

指数を取り出すと、2/3,4/5,5/7

通分すると、70/105,84/105,75/105

大小を比較すると、70/105<75/105<84/105

ですね。

ということは、「9の3乗根<243の7乗根<81の5乗根」となります。


動画での解説はこちら



関連問題
7の6乗根


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2020年05月13日

高校数学「ベクトル」「垂直条件」「2(→a)+3(→b)と→a−5(→b)」

高校数学「ベクトル」「垂直条件」「2(→a)+3(→b)と→a−5(→b)」

■ 問題

|→a|=4,|→b|=2のとき、2(→a)+3(→b)と→a−5(→b)が垂直であるとする。このとき→aと→bのなす角θを求めよ。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

「垂直」と言っているので、ベクトルの垂直条件を考えます。
ベクトルの垂直条件は、「内積がゼロ」です。

→a・→b=|→a||→b|cosθ

なので、θ=90のときcosθ=0だから、内積もゼロになる。というわけです。

今回の問題では、2(→a)+3(→b)と→a−5(→b)が垂直なので、これらのベクトルの内積を表してみます。

 {2(→a)+3(→b)}・{→a−5(→b)}
=2|→a|^2−10(→a・→b)+3(→a・→b)−15|→b|^2
=2・4^2−7(→a・→b)−15・2^2
=32−7(→a・→b)−60
=−7(→a・→b)−28

垂直条件より、この式の値がゼロなので、

−7(→a・→b)−28=0
    7(→a・→b)=−28
     →a・→b=−4

内積の公式より、→a・→b=|→a||→b|cosθだから、これに→a・→b=−4,|→a|=4,|→b|=2を代入すると、

 −4=4・2・cosθ
cosθ=−1/2
よって、θ=120°=(2/3)π


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2020年05月12日

高校数学「指数の計算」「累乗根」「7の6乗根」

高校数学「指数の計算」「累乗根」「7の6乗根」

■ 問題

7の6乗根を指数を使って表しなさい。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

「7の6乗根」とは「6乗したら7になる数」のことです。

だから、「7の6乗根」を6乗すれば7になります。

もう一度言います(笑)

「7の6乗根を6乗すれば7になる」

のです。だから、

(7の6乗根)^6=7

という関係式が成り立ちます。

これを満たすように指数の式を作ってみると、

7=7^1
 =7^{(1/6)×6}
 =(7^(1/6)}^6

ですね。

「7^(1/6)を6乗したら7」なので、7^(1/6)と7の6乗根は等しい!

ということができます。


ちなみに、√7は「2乗したら7になる数」なので、√7=7^(1/2)であることも理解しておきましょう!


関連問題
大小の比較
(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)
{7^(1/2)}÷{7^(-1/6)}×{7^(2/3)}


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高校数学「指数の計算」「累乗根」「(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)」

高校数学「指数の計算」「累乗根」「(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)」

■ 問題

次の計算をせよ。

(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

根号を使って累乗根で表された数の計算は、分数の指数に書き直して計算すると、やりやすい場合が多いです。

与式の

(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)

を分数の指数を用いて表すと、

{7^(1/2)}÷{7^(1/3)}×{7^(1/6)}

となります。

こうなればあとは、指数の計算のときと同じですね。

(a^b)×(a^c)=a^(b+c)

を用いて計算していくだけです。

={7^(1/2)}×{7^(1/3)}×{7^(1/6)}
=7^(1/2+1/3+1/6)
=7^(6/6)
=7

よって、

(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)=7

です。


動画はこちら



関連問題
{7^(1/2)}÷{7^(-1/6)}×{7^(2/3)}


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2020年05月09日

高校数学「指数関数」「y=2^xのグラフ」

高校数学「指数関数」「y=2^xのグラフ」

■ 問題

指数関数y=2^xのグラフを描け。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

指数関数のグラフは、曲線になるので、手書きで描くときは、とにかくいくつかの点を取ってなめらかな曲線で結びます。

例えばx=1なら、y=2^1=2
x=2なら、y=2^2=4
x=3なら、y=2^3=8

ですね。
左にいけば、x=0ならy=2^0=1
x=−1ならy=2^(-1)=1/2
x=−2ならy=2^(-2)=1/4

などなど。
このようにして求めた点を座標平面上に示し、なめらかな曲線で結べば完成!というわけです。


動画による解説はこちら



関連問題
y=2^xについて、x=5/2のとき


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2020年05月07日

高校数学「指数の計算」「y=2^x」「x=5/2のとき」

高校数学「指数の計算」「y=2^x」「x=5/2のとき」

■ 問題

指数関数y=2^xにおいて、x=5/2のときのyの値を求めよ。


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

x=5/2と言っているのだから、代入して計算すればyの値を求めることができます。

y=2^(5/2)

「2分の5乗」は「5乗してルート」と同じです。
つまり、

y=(√2)^5

あとは普通に中学でも習った√の計算法則に従って計算すると、

y=2×2×√2=4√2

よって、求めるy座標はy=4√2


関連問題
16^(3/4)
81^(-5/4)


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2020年05月06日

高校数学「指数の計算」「{7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}」

高校数学「指数の計算」「{7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}」

■ 問題

次の計算をせよ。

{7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

指数が分数になろうが、小数になろうが、マイナスになろうが、基本的な計算法則は変わりません。

(a^b)×(a^c)=a^(b+c)

ですね。

さらに、割り算は逆数のかけ算に直すことができます。
逆数は指数の符号を変えればよいですね。

 {7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}
={7^(1/2)}×{7^(-1/6)}×{7^(2/3)}
=7^(1/2-1/6+2/3)
=7^(6/6)
=7

よって、

{7^(1/2)}÷{7^(1/6)}×{7^(2/3)}=7

です。


動画での解説はこちら



関連問題
(√7)×(7の3乗根)×(7の6乗根)
81^(-5/4)


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2020年05月05日

高校数学「指数の計算」「{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}」

高校数学「指数の計算」「{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}」

■ 問題

次の計算をせよ。

{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}


解答解説はこのページ下に


みんなが使っているチャート式


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■ 解答解説

指数が分数になろうが、小数になろうが、マイナスになろうが、基本的な計算法則は変わりません。

(a^b)×(a^c)=a^(b+c)

ですね。
この通りにやってみましょう!

{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}=3^(-2/3+5/3)
         =3^(3/3)
         =3^1
         =3

ということで、

{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}=3

です。


関連問題
16^(3/4)
81^(-5/4)


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ラベル:数学
posted by えま at 19:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「指数の計算」「81^(-5/4)」

高校数学「指数の計算」「81^(-5/4)」

■ 問題

次の値を求めよ。

81^(-5/4)


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

16^(3/4)でも述べたように、分数の指数の計算をするときは、底をなるべく小さい数にすると良いです。

今回は81^(-5/4)なので、81をまずはできるだけ小さい数の累乗で表します。

81=3^4ですね。これを代入すると、

81^(-5/4)=(3^4)^(-5/4)
     =3^{4×(-5/4)}
     =3^(-5)

マイナスの指数は逆数を表すので、

3^(-5)=(1/3)^5
   =1/243

ということで、81^(-5/4)=1/243です。






関連問題
「16^(3/4)」
「{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}」


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ラベル:数学
posted by えま at 11:27| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「指数の計算」「16^(3/4)」

高校数学「指数の計算」「16^(3/4)」

■ 問題

次の値を求めよ。

16^(3/4)


解答解説はこのページ下に


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■ 解答解説

分数の指数は累乗根を表します。

16^(3/4)は、「16の4分の3乗」です。

言い換えれば、「16の3乗の4乗根」です。


累乗根の計算をする場合は、16のところをなるべく小さい数にすると上手くいく場合が多いです。

16=2^4ですね。これを代入して書き換えると、

16^(3/4)=(2^4)^(3/4)

となります。
あとは、普通に指数の計算法則に従って計算すると、

(2^4)^(3/4)=2^(4×3/4)
     =2^3
     =8

ということで、16^(3/4)=8です。


動画も作ってみました。



関連問題
「81^(-5/4)」
「{3^(-2/3)}×{3^(5/3)}」


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ラベル:数学
posted by えま at 11:13| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2020年04月30日

高校数学「積分」「2つの放物線の間の面積」

高校数学「積分」「2つの放物線の間の面積」

■ 問題

2つの放物線y=x^2−2x,y=−x^2+4で囲まれた図形の面積Sを求めよ。


解答解説はこのページ下


直線と放物線の場合と基本的に同じです。


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 解答解説

曲線が境界線となっている図形の面積を求めるときは、積分を使うと計算しやすい場合が多いです。

基本的に、「上引く下で定積分」です。

今回の問題では、2つの放物線に囲まれた図形の面積なので、積分の区間は2つの交点の間となります。

ということで、まずは交点を出してみましょう!
交点は、2つの関数の式の連立方程式ですね。

y=x^2−2x,y=−x^2+4

両方ともy=●●の形なので、右辺同士をイコールで結ぶことができますね。

     x^2−2x=−x^2+4
x^2−2x+x^2−4=0
  2x^2−2x−4=0
    x^2−x−2=0
   (x+1)(x−2)=0
よって、x=−1,2

つまり、−1から2の区間で積分します。
この範囲では、上に凸のy=−x^2+4が上側、下に凸のy=x^2−2xが下側になるので、「上引く下で定積分」をすると、

 ∫[-1〜2]{(−x^2+4)−(x^2−2x)}dx
=∫[-1〜2](−2x^2+2x+4)dx
=[(−2/3)x^3+x^2+4x][-1〜2]
=(−2/3)・2^3+2^2+4・2−{(−2/3)・(−1)^3+(−1)^2+4・(−1)}
=−16/3+4+8−(2/3+1−4)
=−16/3+12−2/3+3
=−18/3+15
=−6+15
=9


関連項目
定積分と面積
直線と放物線の間の面積


こちらの書籍も参考にしてみてください。


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posted by えま at 12:18| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2020年04月21日

高校数学「複素数平面」「極形式」「商の極形式」

高校数学「複素数平面」「極形式」「商の極形式」

■問題
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)とするとき、z1/z2を計算せよ。


「積の極形式」の場合と同様に、「商の極形式」として、意味不明のまま公式として暗記してしまう人も多いと思いますが、ちゃんと計算して導けるようにしておいた方が良いです。


数学3の勉強でも、みんなが使っているチャート式


個人的には、このシリーズもおすすめです。



■解説

「導く」と言っても、これはただ単に計算するだけです。やってみましょう!

z1/z2={r1(cosθ1+isinθ1)}/{r2(cosθ2+isinθ2)}
   =(r1/r2){(cosθ1+isinθ1)/(cosθ2+isinθ2)}

ここで、いわゆる「有理化」をするため、(cosθ2−isinθ2)/(cosθ2−isinθ2)を掛けると、

   =(r1/r2){(cosθ1+isinθ1)/(cosθ2+isinθ2)}{(cosθ2−isinθ2)/(cosθ2−isinθ2)}
   =(r1/r2)(cosθ1・cosθ2−cosθ1・isinθ2+isinθ1・cosθ2−isinθ1・isinθ2)/{(cosθ2)^2−i^2・(sinθ2)^2}
   =(r1/r2)(cosθ1・cosθ2−(i^2)sinθ1・sinθ2+isinθ1・cosθ2−icosθ1・sinθ2)/{(cosθ2)^2+(sinθ2)^2}
   =(r1/r2){cosθ1・cosθ2+sinθ1・sinθ2+i(sinθ1・cosθ2−cosθ1・sinθ2)}
   =(r1/r2){cos(θ1−θ2)+isin(θ1−θ2)}


ちなみに、三角関数の加法定理より、

cosθ1・cosθ2+sinθ1・sinθ2=cos(θ1−θ2)
sinθ1・cosθ2−cosθ1・sinθ2=sin(θ1−θ2)

ですね。


関連問題
「積の極形式」
「極形式」「z=√3+i」
サインの加法定理
コサインの加法定理


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2020年04月15日

高校数学「複素数平面」「極形式」「積の極形式」

高校数学「複素数平面」「極形式」「積の極形式」

■問題
z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2)とするとき、z1z2を計算せよ。


「積の極形式」として、意味不明のまま公式として暗記してしまう人も多いと思いますが、ちゃんと計算して導けるようにしておいた方が良いです。


数学3の勉強でも、みんなが使っているチャート式


個人的には、このシリーズもおすすめです。



■解説

「導く」と言っても、これはただ単に計算するだけです。やってみましょう!

z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)・r2(cosθ2+isinθ2)
   =r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
   =r1r2(cosθ1・cosθ2+cosθ1・isinθ2+isinθ1・cosθ2+isinθ1・isinθ2)
   =r1r2(cosθ1・cosθ2+(i^2)sinθ1・sinθ2+isinθ1・cosθ2+icosθ1・sinθ2)
   =r1r2{cosθ1・cosθ2−sinθ1・sinθ2+i(sinθ1・cosθ2+cosθ1・sinθ2)}
   =r1r2{cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)}


ちなみに、三角関数の加法定理より、

cosθ1・cosθ2−sinθ1・sinθ2=cos(θ1+θ2)
sinθ1・cosθ2+cosθ1・sinθ2=sin(θ1+θ2)

ですね。


関連問題
「極形式」「z=√3+i」
商の極形式
サインの加法定理
コサインの加法定理


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高校数学「複素数平面」「極形式」「z=√3+i」

高校数学「複素数平面」「極形式」「z=√3+i」

■問題
z=√3+iを極形式で表せ。


つまり、z=r(cosθ+isinθ)の形に直す問題です。


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■解説

z=√3+iは、複素数平面において、原点から横に√3,縦に1進んだ点を表します。
だから、その絶対値は、

|z|=√(√3^2+1^2)
 =√(3+1)
 =√4
 =2

極形式のz=r(cosθ+isinθ)のrは、zの絶対値|z|と等しいので、r=2です。
r=2なので、√3+1を2でくくって、

z=2(√3/2+i/2)

あとは、括弧の中をそれぞれコサインとサインで表せば、

z=2{cos(π/6)+isin(π/6)}


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posted by えま at 20:30| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
こんなヤツです
名前:江間淳
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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