2024年04月14日

高校数学「空間のベクトル」→a=(3,4,0),→b=(0,x,−√7)のなす角が45°

高校数学「空間のベクトル」→a=(3,4,0),→b=(0,x,−√7)のなす角が45°

◆問題

→a=(3,4,0),→b=(0,x,−√7)のなす角が45°になるようにxの値を定めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

→a=(3,4,0),→b=(0,x,−√7)のなす角が45°になるようなxの値を求めます。

なす角について考えるときは、内積ですね。

★ →a・→b=|→a||→b|cosθ

だからまずは、内積の値とそれぞれの絶対値を求めます。

→a・→b=3×0+4×x+0×(−√7)=4x

|→a|=√(32+42+02}
  =√(9+16)
  =√25
  =5

|→b|=√{02+x2+(−√7)2}
  =√(x2+7)

内積の式にそれぞれ代入すると、

4x=5×√(x2+7)×cos45°

cos45°=1/√2だから、xについての方程式になりました。
あとはこれを計算すればOKです!
なお、この式の値は正の数なので、x>0となります。

16x2=25(x2+7)×1/2
32x2=25x2+175
 7x2=175
  x2=25
  x=±5

x>0だから、x=5


◆関連問題
→a=(1,1,−1),→b=(1,−1,√6)の内積となす角
ベクトルまとめ


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2024年04月13日

高校数学「空間のベクトル」→a=(2,−5,−3),→b=(x−2,−4,3)が垂直

高校数学「空間のベクトル」→a=(2,−5,−3),→b=(x−2,−4,3)が垂直

◆問題

→a=(2,−5,−3),→b=(x−2,−4,3)が垂直になるようにxの値を定めよ。


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◆解答解説

→a=(2,−5,−3),→b=(x−2,−4,3)が垂直になるようなxの値を求めます。

空間のベクトルでも、平面のベクトルと同様に、「垂直=内積がゼロ」ですね!

→a・→b=2(x−2)−5×(−4)−3×3
    =2x−4+20−9
    =2x+7=0
       2x=−7
        x=−7/2


◆関連問題
→a=(1,1,−1),→b=(1,−1,√6)の内積となす角
ベクトルまとめ


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2024年04月11日

高校数学「空間のベクトル」→a=(−3,−9,6),→b=(1,3,−2)の内積となす角

高校数学「空間のベクトル」→a=(−3,−9,6),→b=(1,3,−2)の内積となす角

◆問題

→a=(−3,−9,6),→b=(1,3,−2)のとき、内積→a・→bとそのなす角θを求めよ。


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◆解答解説

前回と同様に、空間のベクトルの内積となす角を求める問題です。

★ →a・→b=|→a||→b|cosθ

ですね。
そして、空間でも成分を使って、それぞれの成分の積の合計で内積を表すことができます。

→a=(−3,−9,6),→b=(1,3,−2)だから、

→a・→b=−3×1−9×3+6×(−2)
    =−3−27−12
    =−42

続いて、それぞれのベクトルの絶対値を求めます。

|→a|=√{(−3)2+(−9)2+62}
  =√(9+81+36)
  =√126
  =3√14

|→b|=√{12+32+22}
  =√(1+9+4)
  =√14

内積の式にそれぞれ代入すると、

−42=3√14・√14・cosθ
−42=42cosθ
cosθ=−1

よって、θ=180°

まとめると、「→a・→b=−42,なす角θ=180°」ですね!


◆関連問題
→a=(1,1,−1),→b=(1,−1,√6)の場合
ベクトルまとめ


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2024年04月10日

高校数学「空間のベクトル」→a=(1,1,−1),→b=(1,−1,√6)の内積となす角

高校数学「空間のベクトル」→a=(1,1,−1),→b=(1,−1,√6)の内積となす角

◆問題

→a=(1,1,−1),→b=(1,−1,√6)のとき、内積→a・→bとそのなす角θを求めよ。


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◆解答解説

空間のベクトルの内積となす角を求める問題です。
内積の公式そのものは、平面の場合と同じです。

★ →a・→b=|→a||→b|cosθ

ですね。
そして、空間でも成分を使って、それぞれの成分の積の合計で内積を表すことができます。

→a=(1,1,−1),→b=(1,−1,√6)だから、

→a・→b=1×1+1×(−1)−1×√6
    =1−1−√6
    =−√6

それぞれのベクトルの絶対値がわかれば、cosθもわかりますね!

|→a|=√{12+12+(−1)2}
  =√(1+1+1)
  =√3

|→b|=√{12+(−1)2+(√6)2}
  =√(1+1+6)
  =√8
  =2√2

内積の式にそれぞれ代入すると、

−√6=√3・2√2・cosθ
−1=2cosθ
cosθ=−1/2

よって、θ=120°

まとめると、「→a・→b=−√6,なす角θ=120°」ですね!


◆関連問題
→a=(−3,−9,6),→b=(1,3,−2)のとき
ベクトルまとめ


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2024年04月08日

高校数学「空間のベクトル」|→a+t(→b)|の最小値

高校数学「空間のベクトル」|→a+t(→b)|の最小値

◆問題

→a=(1,2,3),→b=(2,−1,1)とする。|→a+t(→b)|の最小値とそのときのtの値を求めよ。ただし、tは実数とする。


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◆解答解説

→a=(1,2,3),→b=(2,−1,1)とする。|→a+t(→b)|の最小値

平面のベクトルのときと同じように、とにかく→a+t(→b)を表し、その絶対値を表せばOKです。

→a+t(→b)=(1,2,3)+t(2,−1,1)
      =(1+2t,2−t,3+t)

空間のベクトルの絶対値も、平面のときと同様に「2乗して合計して√」です。
絶対値の2乗で計算すると、√が消えるので、2乗した式でやっていきます。

 |→a+t(→b)|2
=(1+2t)2+(2−t)2+(3+t)2
=1+4t+4t2+4−4t+t2+9+6t+t2
=6t2+6t+14

2次式になったので、2次関数の最大最小と考えて、平方完成していきます。

=6(t2+t)+14
=6{(t+1/2)2−1/4}+14
=6(t+1/2)2−3/2+14
=6(t+1/2)2+25/2

この「2次関数の頂点」は、(−1/2,25/2)です。

2乗した式で計算してこうなったので、最小値は√(25/2)=5/√2=5√2/2となります。
このときのtの値はそのまま−1/2ですね。

よって、t=−1/2のとき最小値5√2/2


◆関連問題
平面のとき
ベクトルまとめ


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2024年04月07日

高校数学「空間のベクトル」s(→a)+t(→b)+u(→c)の形に表すA

高校数学「空間のベクトル」s(→a)+t(→b)+u(→c)の形に表すA

◆問題

→a=(0,1,1),→b=(−1,2,−3),→c=(3,4,−1)とする。次のベクトルをs(→a)+t(→b)+u(→c)の形に表せ。

(1) →p=(11,9,4)

(2) →q=(−6,7,−3)


↓(2)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

平面のベクトルのときと同じように方程式を作ればOKです。

→a=(0,1,1),→b=(−1,2,−3),→c=(3,4,−1)とする。次のベクトルをs(→a)+t(→b)+u(→c)の形に表せ。

(2) →q=(−6,7,−3)

(1)の場合と同様に解いていきましょう!

→q=s(→a)+t(→b)+u(→c)とするのだから、そのまま成分に置き換えてみましょう!

(−6,7,−3)=s(0,1,1)+t(−1,2,−3)+u(3,4,−1)
(−6,7,−3)=(−t+3u,s+2t+4u,s−3t−u)

ですね。
x,y,z成分それぞれイコールで結んで、

−t+3u=−6  …@
s+2t+4u=7 …A
s−3t−u=−3 …B

あとはこれらの連立方程式を解く。というわけです。

A−Bより、5t+5u=10すなわちt+u=2…C
@+Cより、4u=−4すなわちu=−1

u=−1をCに代入して、t−1=2よりt=3

t=3,u=−1をAに代入して、s+6−4=7よりs=5

よって、s=5,t=3,u=−1だから、

→q=5(→a)+3(→b)−1(→c)


(1)に戻る→→p=(11,9,4)のとき


◆関連問題
ベクトルまとめ


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2024年04月06日

高校数学「空間のベクトル」s(→a)+t(→b)+u(→c)の形に表す@

高校数学「空間のベクトル」s(→a)+t(→b)+u(→c)の形に表す@

◆問題

→a=(0,1,1),→b=(−1,2,−3),→c=(3,4,−1)とする。次のベクトルをs(→a)+t(→b)+u(→c)の形に表せ。

(1) →p=(11,9,4)


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◆解答解説

平面のベクトルのときと同じように方程式を作ればOKです。

→a=(0,1,1),→b=(−1,2,−3),→c=(3,4,−1)とする。次のベクトルをs(→a)+t(→b)+u(→c)の形に表せ。

(1) →p=(11,9,4)

→p=s(→a)+t(→b)+u(→c)とするのだから、そのまま成分に置き換えてみましょう!

(11,9,4)=s(0,1,1)+t(−1,2,−3)+u(3,4,−1)
(11,9,4)=(−t+3u,s+2t+4u,s−3t−u)

ですね。
x,y,z成分それぞれイコールで結んで、

−t+3u=11  …@
s+2t+4u=9 …A
s−3t−u=4  …B

あとはこれらの連立方程式を解く。というわけです。

A−Bより、5t+5u=5すなわちt+u=1…C
@+Cより、4u=12すなわちu=3

u=3を@に代入して、−t+9=11よりt=−2

t=−2,u=3をAに代入して、s−4+12=9よりs=1

よって、s=1,t=−2,u=3だから、

→p=→a−2(→b)+3(→c)


次の問題→→q=(−6,7,−3)のとき


◆関連問題
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2024年04月05日

高校数学「空間のベクトル」→a=(3,5,−6),→b=(x+2,3−y,2z−7)が等しくなるとき

高校数学「空間のベクトル」→a=(3,5,−6),→b=(x+2,3−y,2z−7)が等しくなるとき

◆問題

→a=(3,5,−6),→b=(x+2,3−y,2z−7)が等しくなるように、x,y,zの値を定めよ。


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◆解答解説

→aと→bが等しいのだから、x成分、y成分、z成分それぞれがイコールになるはずですね。

→a=(3,5,−6),→b=(x+2,3−y,2z−7)だから、

x+2=3
  x=3−2
  x=1

3−y=5
 −y=5−3
 −y=2
  y=2

2z−7=−6
  2z=−6+7
  2z=1
   z=1/2

というわけで、z=1,y=2,z=1/2です。


◆関連問題
2点の座標からベクトルを求める
ベクトルまとめ


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2024年04月04日

高校数学「数列」第10項までの和が6,第20項までの和が24の等比数列A

高校数学「数列」第10項までの和が6,第20項までの和が24の等比数列A

■ 問題

第10項までの和が6,第20項までの和が24の等比数列が{an}がある。ただし、初項、公比は実数とする。

(1) 数列{an}の第30項までの和を求めよ。

(2) 数列{an}の第31項から第40項までの和を求めよ。


(2)の解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。
10秒でわかる!高校数学2B数列の考え方


■ 解答解説

(1)で、r10=3,S30=78がわかりました。
これらの値と問題文にある値を利用して、計算していきましょう!

第31項から第40項までの和は、S40−S30で求めることができますね。

ならば、S40がわかれば解決!ということで、S40を求めていきます。

40=a(r40−1)/(r−1)

まずはもちろんこんな式ができます。
(1)のときと同様に因数分解していきましょう!

 =a(r20−1)(r20+1)/(r−1)
 ={a(r20−1)/(r−1)}(r20+1)

ここで中括弧の中身はS20と同じだから24に置き換えられます。
そしてr20=(r10)2=9ですね。
ということは、

 =24×(9+1)
 =24×10
 =240

これが初項から第40項までの和だから、求める値は

40−S30=240−78=162


(1)に戻る→第30項までの和


◆関連項目
第3項が27,第6項が−729である等比数列の一般項
等比数列の和
数列まとめ


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高校数学「命題と集合」逆・裏・対偶

高校数学「命題と集合」逆・裏・対偶

★逆(converse)

「AならばBである」というもとの命題に対して、前後を入れ替えたもの。
つまり、逆の命題は「BならばAである」

★裏(inverse)

「AならばBである」というもとの命題を否定したもの。
つまり、裏の命題は「AでないならばBでない」

★対偶(contraposition)

逆かつ裏のこと。
つまり、対偶の命題は「BでないならAでない」

もとの命題の真偽と対偶の真偽は一致する。ことを利用して、証明を行うことも多い。


ちなみに、逆と裏はもとの命題と真偽が一致しない場合もあります。


◆関連項目
真偽の判断
命題と集合まとめ


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2024年04月03日

高校数学「数列」an,bnを組み合わせた漸化式B

高校数学「数列」an,bnを組み合わせた漸化式B

◆問題

次の条件によって定められる数列{an},{bn}がある。

1=1,b1=3,an+1=3an+2bn,bn+1=2an+3bn

(1) 数列{an+bn}の一般項を求めよ。

(2) 数列{an−bn}の一般項を求めよ。

(3) 数列{an},{bn}をそれぞれ求めよ。


↓(3)の解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

(1)で、an+bn=4・5n-1
(2)で、an−bn=−2

を求めました。
これらを組み合わせれば、anとbnが求められそうですね!

まず、2式を足すと、

2an=4・5n-1−2
 an=2・5n-1−1

これでanが出ました。

続いてbnです。
2式を引いてみれば良いですね。

2bn=4・5n-1+2
 bn=2・5n-1+1

これだけで完成です!


この問題の最初に戻る→数列{an+bn}


◆関連項目
n+1=3an−2,a1=2で表される数列の一般項漸化式で表された等差数列漸化式で表された等比数列
数列まとめ


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高校数学「数列」第10項までの和が6,第20項までの和が24の等比数列@

高校数学「数列」第10項までの和が6,第20項までの和が24の等比数列@

■ 問題

第10項までの和が6,第20項までの和が24の等比数列が{an}がある。ただし、初項、公比は実数とする。

(1) 数列{an}の第30項までの和を求めよ。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。
10秒でわかる!高校数学2B数列の考え方


■ 解答解説

まずは問題の設定からわかることを式に表してみましょう!
初項と公比はわかっていないので、a,rとして式を立ててみます。

10=a(r10−1)/(r−1)=6
20=a(r20−1)/(r−1)=24

そのまんまですが、こんな式が立てられますね。
10次式、20次式などとなっているのを見て諦めたくなってしまう人もいると思いますが、ちょっと工夫すると意外と簡単(?)です。

(r10)2=r20であることを利用して、S20の式を因数分解してみましょう!

 a(r20−1)/(r−1)
=a(r10−1)(r10+1)/(r−1)

もちろんこのように変形することができます。
そして、この式の中にはS10と共通する部分がありますね!

={a(r10−1)/(r−1)}(r10+1)

このように書き換えてみると、中括弧の中がS10と全く同じです。
つまり、

=6(r10+1)

と置き換えることができます。
さらに、S20=24だから、

6(r10+1)=24
 r10+1=4
   r10=3

ここまでわかったことを活用すれば、S30も何とかなりそうですね!
まずはS30を表します。

30=a(r30−1)/(r−1)

もちろんこうなります。因数分解してみると、

 =a(r10−1)(r20+r10+1)/(r−1)

3乗の因数分解の公式を使ってみました。
S20のときと同様に、S10に置き換えられそうですね!

 ={a(r10−1)/(r−1)}(r20+r10+1)

これまた中括弧の中身はS10と同じです。
また、r10=3がわかっているので、それぞれ置き換えて計算してみましょう!

 =6(32+3+1)
 =6(9+4)
 =6×13
 =78


次の問題→第31項から第40項までの和


◆関連項目
第3項が27,第6項が−729である等比数列の一般項
等比数列の和
数列まとめ


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2024年04月02日

高校数学「数列」an,bnを組み合わせた漸化式A

高校数学「数列」an,bnを組み合わせた漸化式A

◆問題

次の条件によって定められる数列{an},{bn}がある。

1=1,b1=3,an+1=3an+2bn,bn+1=2an+3bn

(1) 数列{an+bn}の一般項を求めよ。

(2) 数列{an−bn}の一般項を求めよ。


↓(2)の解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

1=1,b1=3,an+1=3an+2bn,bn+1=2an+3bn

(1)では足しましたが、今度は引きます。

  an+1=3an+2bn
−)bn+1=2an+3bn
―――――――――――――――――
n+1−bn+1=an−bn

これはつまり、an−bnはan+1−bn+1と等しい。ことを意味します。

どの項に対しても次の項が等しいのだから、全ての項は初項に等しいということができます。

a1−b1=1−3=−2

つまり、an−bn=−2です。


次の問題→an,bnの一般項


◆関連項目
n+1=3an−2,a1=2で表される数列の一般項漸化式で表された等差数列漸化式で表された等比数列
数列まとめ


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2024年04月01日

高校数学「命題と集合」背理法

高校数学「命題と集合」背理法

★背理法(reductio ad absurdum)

ある命題が偽だと仮定すると矛盾が生じることを示し、その命題が真であることを証明する方法。


例えば「√2が無理数であることを背理法を使って証明せよ」という問題は、背理法の代表的な問題ですね。
詳しくは別記事に掲載しますが、基本的な方針としては、

√2が有理数であると仮定する
→有理数ならば分数で表すことができる
→√2が分数で表せるとすると、矛盾が生じる
→√2は有理数でない
→√2は無理数である

このようになります。


◆関連項目
真偽の判断
命題と集合まとめ


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2024年03月31日

高校数学「数列」an,bnを組み合わせた漸化式@

高校数学「数列」an,bnを組み合わせた漸化式@

◆問題

次の条件によって定められる数列{an},{bn}がある。

1=1,b1=3,an+1=3an+2bn,bn+1=2an+3bn

(1) 数列{an+bn}の一般項を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

1=1,b1=3,an+1=3an+2bn,bn+1=2an+3bn

n+1もbn+1も、ちょっとややこしい形になっています。
いきなり方針が見えている人はあまりいないと思うので、まずはできることをやってみましょう!

数列{an+bn}を求めたいので、なるべく近い形の式を作ります。

n+1とbn+1の式をそのまま足せば、それっぽい式になりそうですね。

  an+1=3an+2bn
+)bn+1=2an+3bn
―――――――――――――――――
n+1+bn+1=5an+5bn
n+1+bn+1=5(an+bn)

これはつまり、an+bnに5をかけたらan+1+bn+1になる。という意味の式ですね。
ということは、この数列は等比数列で、公比は5である。とわかります。

そして、a1+b1=1+3=4だから、初項は4です。

ということで、求める一般項は、

n+bn=4・5n-1


次の問題→n−bn


◆関連項目
n+1=3an−2,a1=2で表される数列の一般項漸化式で表された等差数列漸化式で表された等比数列
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2024年03月29日

高校数学「平面のベクトル」法線ベクトルを用いて、垂線の長さを求める

高校数学「平面のベクトル」法線ベクトルを用いて、垂線の長さを求める

■ 問題

点A(4,5)から直線x+2y=12に垂線を引き、その交点をHとする。
法線ベクトルを利用して、点Hの座標と線分AHの長さを求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

法線ベクトルとは、垂直なベクトルのことで、
直線ax+by+c=0の法線ベクトルは、→n=(a,b)となります。
つまり、今回の問題の直線x+2y=12の法線ベクトルは→n=(1,2)となります。
ということは、→AH=k・→n=(k,2k)です。

垂線は点AからHに引いたので、

→OH=(4,5)+k(1,2)=(4+k,5+2k)となります。

Hのx座標をhとすると、h+2y=12よりy=−h/2+6だから、H(h,−h/2+6)です。

つまり、→OH=(h,−h/2+6)です。

これで→OHを2通りの方法で表すことができました。同じベクトルだからイコールで結んで、

(4+k,5+2k)=(h,−h/2+6)

よって、

4+k=h …@
5+2k=−h/2+6 …A

これらの連立方程式を解きます。

@をAに代入して、

5+2k=−(4+k)/2+6
5+2k=−2−k/2+6
2k+k/2=4−5
(5/2)k=−1
   k=−2/5

どちらか片方が出れば解答は出ますが、ここではとりあえずhも出しておきます。

4−2/5=h
    h=18/5

→OH=(4+k,5+2k)に、k=−2/5を代入すると、(18/5,21/5)です。
これはつまり、Hの座標ですね。

さらに、→AH=(k,2k)だから、→AH=(−2/5,−4/5)です。
だから、

|→AH|=√{(−2/5)2+(−4/5)2}
   =√(4/25+16/25)
   =√(20/25)
   =√20/5
   =2√5/5


◆関連項目
ベクトルまとめ


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2024年03月28日

高校数学(用語)「法線ベクトル」

高校数学(用語)「法線ベクトル」

★法線ベクトル(normal vector)

法線とは接線に垂直な直線のことで、その直線の傾きを表すベクトルを法線ベクトルという。


直線の方程式は一般的に、

ax+by+c=0で、yについて解くと

by=−ax−c
 y=−(a/b)x−c/b

だから、傾きは−(a/b)です。

これに対して垂直な直線の傾きは、mm'=−1よりb/aです。
「傾きがb/a」というのは「横にa進んだとき縦にb進む」ことを意味するので、これをベクトルで表せば、

→n=(a,b)となるわけです。


◆関連項目
法線ベクトルを用いて2直線のなす角を求める問題
ベクトルまとめ


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2024年03月26日

高校数学「平面のベクトル」法線ベクトルを用いて2直線のなす角を求める

高校数学「平面のベクトル」法線ベクトルを用いて2直線のなす角を求める

■ 問題

法線ベクトルを利用して、2直線√3・x+y+2=0,−√3・x+y−5=0のなす角αを求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

法線ベクトルとは、垂直なベクトルのことで、

直線ax+by+c=0の法線ベクトルは、→n=(a,b)となります。
(法線ベクトルについて詳しくは別記事で解説したいと思います)

与えられたそれぞれの直線の法線ベクトルをそれぞれ→n1,→n2とすると、

→n1=(√3,1),→n2=(−√3,1)

となります。
直線のなす角と、法線すなわち垂線同士のなす角は同じ大きさになるので、これらのベクトルのなす角が求める角αになる。というわけです。

ベクトルに関して角を求めるなら内積ですね!

→n1・→n2=√3・(−√3)+1×1=−3+1=−2

|→n1|=√(3+1)=√4=2
|→n2|=√(3+1)=√4=2

内積の公式より、→n1・→n2=|→n1||→n2|cosαだから、

cosα=→n1・→n2/|→n1||→n2|
   =−2/(2・2)
   =−1/2
よって、α=120

ですが、「なす角」は2つの直線が交わってできる角のうち、小さい方の角で表すので、
α=180−120=60°


◆関連項目
ベクトルまとめ


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2024年03月24日

高校数学「平面のベクトル」ベクトルを利用して円の方程式を求める問題A

高校数学「平面のベクトル」ベクトルを利用して円の方程式を求める問題A

■ 問題

ベクトルを利用して、次の円の方程式を求めよ。

「2点A(1,4),B(3,0)を直径の両端とする円」


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

ベクトルを利用しなくてももちろん求めることができますが、問題の指示では「ベクトルを利用して」となっているので仕方がないから(?)ベクトルでやっていきます。

@の場合と同様に、円周上の点をP(x,y)とおいて、円の場合に成り立つ条件式を立てていきましょう!

ABを直径とするので、ABの中点が中心になります。
つまり、中心をCとすると、Cの座標は

((1+3)/2,(4+0)/2)=(2,2)

となります。

@と同様に式を立ててみましょう!

|→OP−→OC|=|→AC|

→OP=(x,y),→OC=(2,2),→AC=(2,2)−(1,4)=(1,−2)

だから、

→OP−→OC=(2−x,2−y)

ですね。
あとは絶対値の方程式の通りに計算すると、

(2−x)2+(2−y)2=12+(−2)2
(x−2)2+(y−2)2=1+4
(x−2)2+(y−2)2=5

というわけで、円の方程式が完成しました!

ちなみに、中心は(2,2),半径は√5ですね。


他の方法がお好みの人もいると思いますので、後日別記事を作成したいと思います。


(1)に戻る→中心がわかっているとき


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2024年03月21日

高校数学「平面のベクトル」ベクトルを利用して円の方程式を求める問題@

高校数学「平面のベクトル」ベクトルを利用して円の方程式を求める問題@

■ 問題

ベクトルを利用して、次の円の方程式を求めよ。

「点C(2,3)を中心とし、点A(5,7)を通る円」


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

ベクトルを利用しなくてももちろん求めることができますが、問題の指示では「ベクトルを利用して」となっているので仕方がないから(?)ベクトルでやっていきます。

軌跡の問題と同じイメージで、円周上の点をP(x,y)とおいて、円の場合に成り立つ条件式を立てていきましょう!

円は中心からの距離が一定の点の集合だから、Cからの距離がACである点を表せば良いですね。
つまり、

|→OP−→OC|=|→AC|

ということができます。
これを座標から成分を使って表します。

→OP=(x,y),→OC=(2,3),→AC=(2,3)−(5,7)=(−3,−4)

だから、

→OP−→OC=(2−x,3−y)

ですね。
あとは絶対値の方程式の通りに計算すると、

(2−x)2+(3−y)2=(−3)2+(−4)2
(x−2)2+(y−3)2=9+16
(x−2)2+(y−3)2=25

というわけで、円の方程式が完成しました!

ちなみに、中心は(2,3),半径は5ですね。


次の問題→直径の両端が与えられているとき


◆関連項目
ベクトルまとめ


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