高校数学「数列」初項が０ではない等差数列{ａ
n}が…④
■ 問題
初項が０ではない等差数列{ａ
n}が次の関係式を満たしている。
Ｓ
2n-1＝ａ
nａ
n+1 (ｎ＝１，２，３，……)
ただし、Ｓ
n＝ａ
1＋ａ
2＋…＋ａ
nである。
(1) ａ2を求めよ。(2) ａ1を求めよ。(3) ａnを求めよ。(4) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_{2k-1}} \)を求めよ。
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■ 解答解説
(4) \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_{2k-1}} \)を求めよ。
これも一見した段階では方針が見えにくいと思います。
そんなときには、式の意味の通りに式を書いてみると解決できる場合があります。
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_{2k-1}} \)は、数列の和を表しているので、そのまま書き直してみましょう！
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{S_{2k-1}} \)
＝\( \frac{1}{S_1}＋\frac{1}{S_3}＋\frac{1}{S_5}＋…＋\frac{1}{S_{2n-1}} \)
もちろんこうなります。さらに、Ｓ
2n-1＝ａ
nａ
n+1だから、
＝\( \frac{1}{a_1 a_2}＋\frac{1}{a_2 a_3}＋\frac{1}{a_3 a_4}＋…＋\frac{1}{a_n a_{n+1}} \)
となります。
ａ
n＝２ｎ－３をこれに当てはめると、
＝\( \frac{1}{-1・1}＋\frac{1}{1・3}＋\frac{1}{3・5}＋…＋\frac{1}{(2n-3)(2n-1)} \)
ですね！この形になれば見覚えがある人も多いのではないでしょうか？例のあの式になります。
それは・・・「
部分分数分解」ですね！
例えば、\( \frac{1}{1・3} = \frac{1}{2}(\frac{1}{1} - \frac{1}{3}) \)だから、
＝\( \frac{1}{2} \)｛ \( \frac{1}{-1} - \frac{1}{1}＋\frac{1}{1} - \frac{1}{3}＋\frac{1}{3} - \frac{1}{5}＋…＋\frac{1}{2n-3} - \frac{1}{2n-1} \) ｝
相殺して最初と最後が残って、
＝\( \frac{1}{2} \)・（ \( \frac{1}{-1} - \frac{1}{2n-1} \) ）
あとは通分するなどしてできるだけ簡単にします。
＝\( \frac{1}{2} \)・（ \( \frac{-2n+1}{2n-1} - \frac{1}{2n-1} \) ）
＝\( \frac{1}{2} \)・\( \frac{-2n}{2n-1} \)
＝－\( \frac{n}{2n-1} \)
これで完成です！
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