2019年10月16日

高校数学「2次関数」「最小値」A

高校数学「2次関数」「最小値」A

2次関数y=x^2−2ax+1(0≦x≦1)の最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。


まず@では、頂点を求めて、頂点が定義域内にある場合の最小値を求めました
この記事では、頂点が定義域内にない場合も考え、解答を導きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


与式を平方完成して

y=x^2−2ax+1
 =x^2−2ax+a^2−a^2+1
 =(x−a)^2−a^2+1

よって、頂点は(a,−a^2+1)であることがわかりました。

与式の2次関数は下に凸のグラフなので、頂点が定義域より左にあるときは、定義域の左端が最小値になります。
つまり、a<0ならば、x=0で最小値ですね。
与式にx=0を代入すると、y=1
よって、「a<0のとき、x=0で最小値1」となります。

続いて、頂点が定義域より右にあるときは、定義域の右端が最小値になります。
つまり、a>1ならば、x=1で最小値です。
与式にx=1を代入すると、1−2a+1=−2a+2
よって、「a>1のとき、x=1で最小値−2a+2」となります。

前回の頂点が定義域内にある場合とまとめると、

a<0のときx=0で最小値1
0≦a≦1のときx=aで最小値−a^2+1
a>1のときx=1で最小値−2a+2


関連項目
平方完成のやり方
2009年センター数1Aの2次関数


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高校数学「2次関数」「最小値」@

高校数学「2次関数」「最小値」@

2次関数y=x^2−2ax+1(0≦x≦1)の最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。


最大最小を考えるときは、グラフを考えた方がよいです。この2次関数はa>0なので下に凸ですね。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


下に凸の2次関数の最小値を考えるときは、まずは頂点が定義域に入っている場合を考えるとよいです。
ということで、与式を平方完成して

y=x^2−2ax+1
 =x^2−2ax+a^2−a^2+1
 =(x−a)^2−a^2+1

よって、頂点は(a,−a^2+1)であることがわかりました。
この頂点が定義域(0≦x≦1)に入っていれば、頂点が最小値です。
すなわち、

0≦a≦1のとき、x=aで最小値−a^2+1

ですね。

ここまでできれば、記述式の試験ならまずは部分点がもらえるし、2次関数の最低限のイメージは理解できていると言えます。
数学が苦手な人もまずはここまでできるようにしましょう!


つづく


関連項目
平方完成のやり方
2009年センター数1Aの2次関数


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2019年10月13日

高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」「余事象」

高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」「余事象」

coffeeの6文字全てを並べてできる順列のうち、2つのfが隣り合わないものの総数を求めよ。


「隣り合わない」場合は、余事象の考えを使うと簡単にできる場合があります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



「2つのfが隣り合わない場合の数」を求めたいなら、「全ての場合の数」から「2つのfが隣り合う場合の数」を引くのが簡単です。

まず、「全ての場合の数」を求めましょう!

coffeeの6文字には、同じ文字が含まれています。
いわゆる「同じものを含む順列」を考えます。

まず6文字全てを並べるので、6!です。
このうち、fとeは2文字ずつあるので、それぞれが、同じ2文字の並び方は無視することができます。だから、その2文字の階乗で割る。というわけです。
つまり、

 6!/(2!・2!)
=(6×5×4×3×2×1)/(2×1×2×1)
=6×5×3×2
=180通り

続いて、fの2文字が隣り合う場合も求めます。
「隣り合う」ときは、その2文字を1つとして考えて、

 5!/2!
=5×4×3×2×1/2×1
=5×4×3
=60通り

「全ての場合の数」から「fが隣り合うとき」を引いたのが、「2つのfが隣り合わない場合の数」なので、

180−60=120通り


関連問題
連続するとき
余事象


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高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」A

高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」A

9人の生徒を、5人,2人,2人の3組に分ける方法は何通りあるか求めよ。


人数が同じグループがある場合は、それらが入れ替わった場合のことも考えなければいけません。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



人数が同じ場合は、A,BとB,Aを区別することができないので、その同じ人数のグループの並び方を除外する必要があります。
この問題では、2人のグループが2つあるので、それらの並び方の2通りで割る必要があります。

まずは除外する前の9人の並び方を求めてみましょう!
ここだけに限っては、3組に分ける場合と同じ考え方です。
人数の少ない2人の組を先に考えると計算が簡単になります。

 9C2×7C2×5C5
=(9×8/2×1)×(7×6/2×1)×1
=(9×4)×(7×3)

これを2で割るので、

 (9×4×7×3)÷2
=9×2×7×3
=378通り


関連問題→人数が違う場合


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高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」@

高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」

9人の生徒を、3人,3人,3人の3組に分ける方法は何通りあるか求めよ。


人数が同じ場合は、3組が入れ替わった場合のことも考えなければいけません。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



人数が同じ場合は、A,BとB,Aを区別することができないので、その同じ人数のグループの並び方を除外する必要があります。
この問題では、3組の人数が全て同じなので、その3組の並べ方3!=3×2×1=6通りで割る必要があります。

まずは除外する前の3人×3組の並び方を求めてみましょう!
ここだけに限っては、前回の問題と同じ考え方です。つまり、

 9C3×6C3×3C3
=(9×8×7/3×2×1)×(6×5×4/3×2×1)×(3×2×1/3×2×1)
=(3×4×7)×(5×4)

これを6で割るので、

 (3×4×7×5×4)÷6
=2×7×5×4
=280通り


次の記事→人数が同じ場合A

関連問題→人数が違う場合


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高校数学「場合の数」「人数の異なるグループ分け」

高校数学「場合の数」「人数の異なるグループ分け」

9人の生徒を、4人、3人、2人の3組に分ける方法は何通りあるか求めよ。


人数が全て異なるときは、単純に考えればOKです!


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



3組の人数が全て異なるので、組が入れ替わることができません。だから、単純に順に場合の数を求めかけ算すればOKです。
まず4人の組から考えると、9人から4人を選ぶので9C4
次は残り5人から3人選んで5C3
最後は残り2人から2人選ぶので、2C2=1


 9C4×5C3×2C2
=(9×8×7×6/4×3×2×1)×(5×4×3/3×2×1)×1
=(9×2×7)×(5×2)
=1260通り


次の記事→人数が同じ場合@


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2019年10月11日

高校数学「場合の数」「空き部屋なしで2つにグループ分けするとき」

高校数学「場合の数」「空き部屋なしで2つにグループ分けするとき」

A,B2つの部屋に5人を入れるとき、空き室がないように全員を入れる方法は何通りあるか求めよ。


前回の問題と同様に、5人くらいなら、「樹形図でがんばる!」でも何とかなりますが、もちろん簡単に計算する方法があります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



空き部屋がないときも、前回の問題と同様に考えることができます。
つまり、「2つのグループに分ける」ときは、「5人それぞれがAかBを選択する」と考えれば良いです。

まずは、空き部屋があっても構わない条件で2つのグループに分けます。

それは2^5=32通りですね。

これには、「5人全員A」「5人全員B」の場合も含むので、これらの場合を引いて、

32−2=30通り

これで完成です!


前回の問題→空き部屋ありのとき


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高校数学「場合の数」「2つにグループ分けするとき」

高校数学「場合の数」「2つにグループ分けするとき」

A,B2つの部屋に5人を入れるとき、空き室があってもよいので全員を入れる方法は何通りあるか求めよ。


5人くらいなら、「樹形図でがんばる!」でも何とかなりますが、もちろん簡単に計算する方法があります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



「5人を2つの部屋に入れる」つまり、「2つのグループに分ける」ときは、「5人それぞれがAかBを選択する」と考えれば良いです。

まず最初の一人がAかBの2通りから選ぶ。→2通り
二人目もAかBの2通りから選ぶ。→2通り

これら最初の2人は連続して(同時に)選ぶので、かけ算をして、2×2=4通りの場合の数があります。

さらに、3人目も2通り、4人目も2通り、もちろん5人目も2通りの選び方があるので、
つまりは5人がそれぞれ2通りずつの選び方がある。ということになります。

これらは全て連続して(同時に)起こるので、かけ算をして、2の5乗ですね。

2^5=32通り


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2019年10月10日

高校数学「場合の数」「円順列」「向かい合う2人が決まっているとき」

高校数学「場合の数」「円順列」「向かい合う2人が決まっているとき」

男子A,B,Cの3人,女子D,E,Fの3人の合計6人が円形のテーブルに向かって座るとき、AとBが向かい合う座り方は何通りあるか求めよ。


AとBの位置が決まっているので、まずはそこから考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



AとBが向かい合うということは、まず2つの向かい合う席を決めてその2席にAとBを座らせます。
これはどの2席に置いても回転すれば同じなので、一通りと考えられます。

A,Bの2席は決まっていて、残りの4席に残りの4人を並べる。ということなので、残りの4人は回転すると異なる並び方になってしまいます。
だから、残りの4人は普通の順列として考えると、

4!=4×3×2×1=24通り


前の問題→男女が交互に並ぶとき


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高校数学「場合の数」「円順列」「交互に並ぶ」

高校数学「場合の数」「円順列」「交互に並ぶ」

男子A,B,Cの3人,女子D,E,Fの3人の合計6人が円形のテーブルに向かって座るとき、男子と女子が交互になる座り方は何通りあるか求めよ。


「交互になる」ときは、まずは男子3人を並べてみると良いです。円順列であることにも注意して・・・


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



まずは男子3人の円順列を考えます。

n個の円順列は、(n−1)!なので、(3−1)!=2!=2×1=2通り
ですね。
回転して一致するものは同じものとみなすので、3!を3で割るという意味です。

これで男子3人の並び方が決まりました。

この3人の間に女子が入ると考えればOKです。

男子の位置が決まっているので、女子の方は回転しても一致した並び方にはなりません。
つまり、女子の並び方は3!です。

男子と女子の並び方はかけ算をして、

 2×3!
=2×3×2×1
=12通り


次の問題→AとBが向かい合わせのとき


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高校数学「場合の数」「決まっている場所があるとき」

高校数学「場合の数」「決まっている場所があるとき」

男子4人、女子3人が1列に並ぶとき、一端に男子、もう一端に女子が並ぶ場合の数を求めよ。

並び方が限定される場合は、その限定されるところを先に決めるのが標準的です。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



「一端に男子」はもちろん、「左右のどちらかの端が男子」を意味します。

例えば左端が男子とします。
左端の男子は4人から1人選ぶので、4通りの選び方があります。

このとき「もう一端に女子」なので、右端は女子になります。
右端は3人から1人選ぶので3通りの選び方があります。

間5人の並び方は決まっていないので、「5人を全て並べる」と考えて5!の並び方があります。


ここまで左端が男子、右端が女子で考えてきました。
これらが逆でももちろん「一端に男子、もう一端に女子」の条件に合っています。
つまり、両端の置き方は2通りあります。

間は5!通りで、両端と間は同時に置くので、かけ算をして、

 2×4×3×5!
=24×5×4×3×2×1
=2880通り


前の問題→連続するとき


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高校数学「場合の数」「連続するとき」

高校数学「場合の数」「連続するとき」

男子4人、女子3人が1列に並ぶとき、女子3人が連続して並ぶ場合の数を求めよ。

「連続して」という場合は、その連続している部分を「1人」「1つ」として考えます。

解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


まずは、女子3人を1人とみなして、男子4人とあわせて合計5人を並べる場合の数を考えます。

5人を一列に並べるので、5!(5の階乗)ですね。


1人とみなした女子3人はもちろん本当は3人なので、その3人の並べ方も考慮しなければいけません。

3人の並べ方は3!です。


5!の並べ方のそれぞれの女子は3!の並べ方があるので、5!と3!は同時に起こることです。つまり、かけ算をします。
よって、求める場合の数は

 5!×3!
=5×4×3×2×1×3×2×1
=720通り


次の問題→両端が決まっているとき


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2019年10月07日

高校数学「因数分解」「3乗」

高校数学「因数分解」「3乗」

x^3+125を因数分解せよ。

x^3はもちろんxの3乗です。

125は・・・5の3乗ですね!

ということは、a^3+b^3の形になっています。

3乗の公式のページでも解説しているように、この形ならば、

a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2)

という公式で因数分解することができます。

x^3+125=x^3+5^3だから、a=x,b=5を代入して、

x^3+125=(x+5)(x^2−5x+25)


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ラベル:数学
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高校数学「因数分解」「複2次式」

高校数学「因数分解」「複2次式」

x^4+x^2+1を因数分解せよ。

xの4次式になっています。
そんなときはたいてい、xの2乗をひとかたまりと見なして、X=x^2とおけば解決!ですね!
置き換えてみると、

x^4+x^2+1=X^2+X+1

あとは普通に因数分解すれば・・・と考えてみても、この場合は、合う数字の組み合わせがありません。
掛けて1,足して1の数は、普通に思いつく数では存在しません。

「もしX^2+2X+1なら因数分解できるのにな〜」

と思った人もいると思います。
その通りです!

X^2+2X+1ならできるなら、そうしてしまえばいいのです(笑)
・・・とは言っても、もちろん、勝手に数を変えてしまってはいけません。
式の値が変化しないように、Xを2Xに変えたならば、その増えた分を差し引かないといけないのです。
つまり、

=X^2+2X+1−X

とします。
こうすれば、因数分解して

=(X+1)^2−X

となりますね。
ここでXをx^2に戻してみると、

=(x^2+1)^2−x^2

今度はかっこの中身をA=x^2+1とおけば、

=A^2−x^2

これは「2乗ひく2乗」の公式で因数分解できますね。

=(A+x)(A−x)

Aをもとに戻して、

=(x^2+1+x)(x^2+1−x)

一応これで完成です。
これで特に問題ありませんが、順番を直して、

=(x^2+x+1)(x^2−x+1)

このようにすれば、式の見た目的にもよいです。


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2019年10月05日

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」D

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」D

2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

ここまでの記事で、@判別式より、D>0のときk<−2,k>6であり、A軸よりk<0でありB境界線よりx>−3であることがわかりました。

あとはこれらの範囲の共通範囲を答えれば、それが正解です。

改めて整理すると、

@判別式より、k<−2,k>6
A軸よりk<0
B境界線よりk>−3

これらの共通範囲は・・・

−3<k<−2


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ラベル:数学
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高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」C

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」C

2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

ここまでの記事で、@判別式より、D>0のときk<−2,k>6であり、A軸よりk<0であることがわかりました。

この記事では3つめの条件、

境界線f(0)>0

について考えます。(なぜf(0)>0なのかはこちら)

f(0)=0−0+k+3
  =k+3>0
     k>−3

2次関数のグラフが原点の上を通るときはk>−3というわけですね。


次の記事→まとめ


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高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」B

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」B

2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

前回の記事で、D>0のときk<−2,k>6であることがわかりました。

続いて、

A軸x<0

について考えます。(なぜ軸<0なのかはこちら)

軸の方程式は、頂点を通るy軸に平行な直線です。

x=−b/2aで求めることができます。
a=1,b=−kを代入すると、x=−(−k)/2・1=k/2

軸x<0なので、k/2<0すなわち、k<0


次の記事→
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posted by えま at 15:41| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」A

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」A

2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

前回の記事で、「異なる2つの負の解」を持つためには、

@判別式D>0
A軸x<0
B境界線f(0)>0

の3つの条件を満たす必要があることがわかりました。


では実際にこの問題を解いていきましょう!

まずは判別式を用いて、「異なる2つの実数解をもつ」ときのkの値を調べます。

D=b^2−4acに、a=1,b=−k,c=k+3を代入して、

D=(−k)^2−4×1×(k+3)
 =k^2−4k−12
 =(k+2)(k−6)>0

よって、k<−2,k>6


次の記事→軸は負の値


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posted by えま at 15:34| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」

高校数学「2次関数」「判別式」「異なる2つの負の解」

2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

前回の記事では、「異なる2つの正の解」だったので、

@判別式D>0
A軸x>0
B境界線f(0)>0

でしたが、今回は「異なる2つの負の解」です。
負の解であることから、少し条件が変わります。

正だろうが負だろうが、「異なる2つの解」であることには変わりないので、まず@は変わらず、判別式D>0です。

負の解であるためには、グラフが全体としてマイナス側になければいけないので、軸x<0である必要があります。ここは変わりました。

2つの解が同符号であるためには、グラフが原点より上を通るので、f(0)>0です。これは変わりません。

つまり、今回の問題では

@判別式D>0
A軸x<0
B境界線f(0)>0

を満たすkの値の範囲を求めればOK!です。


次の記事→判別式の値は正の数


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2019年10月02日

高校数学「2次関数」「判別式」C

高校数学「2次関数」「判別式」C

2次方程式x^2+2kx+k+6=0が異なる2つの正の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。

@の記事で、判別式を用いて、異なる2つの解を持つときのkの値の範囲は「k<−2,k>3」であることを求めました。
そしてAの記事で、軸>0であるときのkの値の範囲が「k<0」であることを求めました。
さらに条件を限定するために、Bの記事で、原点より上を通る。という条件から、k>−6を求めました。

これら3つの範囲を全て満たしているとき、「異なる2つの正の解をもつ」ということができます。


k<−2,k>3
k<0
k>−6

これらの共通範囲は・・・

−6<k<−2

ですね!


まとめると、2次方程式が異なる2つの正の解をもつためには、

@判別式D>0
A軸x>0
B境界線f(0)>0

以上3つの条件を全て満たせばよい。ということができます。


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