高校数学「ｎ進法」ある自然数Ｎは５進法で表すと３桁の自然数ａｂｃ，７進法で表すと…

高校数学「ｎ進法」ある自然数Ｎは５進法で表すと３桁の自然数ａｂｃ，７進法で表すと…

■　問題

ある自然数Ｎは５進法で表すと３桁の自然数ａｂｃ，７進法で表すと３桁の自然数ｃｂａとなる。
Ｎを１０進法で表せ。


↓解答解説はお知らせの下に↓


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■　解答解説

まずは、５進法で表した場合と、７進法で表した場合をそれぞれ１０進法の数で表します。

５進法でａｂｃというのは、ａが５の２乗の位、ｂが５の１乗の位、ｃが５の０乗の位だから、

　ａ×５²＋ｂ×５¹＋ｃ×５⁰
＝２５ａ＋５ｂ＋ｃ

７進法でも同様にして、

　ｃ×７²＋ｂ×７＋ａ
＝４９ｃ＋７ｂ＋ａ

これらはどちらも同じ自然数Ｎだから、

２５ａ＋５ｂ＋ｃ＝４９ｃ＋７ｂ＋ａ

移項すると、

２４ａ−２ｂ−４８ｃ＝０
１２ａ−ｂ−２４ｃ＝０

ａ，ｂ，ｃは全て０〜４の整数で、別々の文字ということは、数値も別々の値になると推定できます。

式をよく見てみると・・・

ｂ＝０とすれば、ａがｃの２倍のとき、この等式が成り立つことがわかりますね。

０〜４の整数でこの関係が成り立つのは、

ａ＝２，ｂ＝０，ｃ＝１の場合と、ａ＝４，ｂ＝０，ｃ＝２の場合です。


ａ＝２，ｂ＝０，ｃ＝１のとき、２０１₍₅₎だから、
Ｎ＝２×５²＋０＋１＝５０＋１＝５１

ａ＝４，ｂ＝０，ｃ＝２のとき、４０２₍₅₎だから、
Ｎ＝４×５²＋０＋２＝１０２


◆関連項目
２進数→１０進数
ｎ進法



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高校数学「数列」第ｎ群の数の和 １｜２，３｜４，５，６，７｜８，…

高校数学「数列」第ｎ群の数の和　１｜２，３｜４，５，６，７｜８，…


■　問題

自然数の列を、次のような群に分ける。ただし、第ｎ群には２^n-1個の数が入るものとする。

１｜２，３｜４，５，６，７｜８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５｜１６，…

(1) 第ｎ群の最初の数をｎの式で表せ。

(2) 第ｎ群に入る全ての数の和Ｓを求めよ。


(2)の解答解説はこのページ下


↓この書籍も参考にしてみてください↓
１０秒でわかる！高校数学２Ｂ数列の考え方


■　解答解説

(1)より、第ｎ群の最初の数は、２^n-1であることがわかりました。

もとの数列は自然数の列だから、第ｎ群の数は、初項２^n-1、公差１の等差数列です。

この数列の和が、この問題のＳになります。
第ｎ群には、「２^n-1個の数が入る」ので、項数ｎ＝２^n-1も代入します。

普通に等差数列の公式に代入して計算していきましょう！

Ｓ＝(２^n-1／２){２・２^n-1＋(２^n-1−１)・１}
　＝２^n-2(２・２^n-1＋２^n-1−１)　・・・�@
　＝２^n-2(３・２^n-1−１)　・・・�A

数列の単元は特に、数式の解答は因数分解した形で答えるのが標準的なので、これで完成です！

計算がわかりにくいかも知れないので、少し補足説明をします。

�@のところは、２^n-1／２を２^n-2にしました。
２^n-1は、「２をｎ−１回掛けたもの」で、それを÷２しているので、２をかける回数が１回減ることになります。
つまり、「ｎ−２回掛ける」ので、２^n-2です。

�Aのところは、２・２^n-1＋２^n-1を３・２^n-1にしました。
２・２^n-1は、「２^n-1が２個」を意味しています。
そこにさらに、２^n-1を足したので、合計３個です。
だから、２^n-1が３個で、３・２^n-1です。


(1)に戻る→(1) 第ｎ群の最初の数をｎの式で表せ。


◆関連項目
１｜２，３｜４，５，６｜…の場合
群数列、等比数列
数列まとめ

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高校数学「数列」第ｎ群の最初の数 １｜２，３｜４，５，６，７｜８，…

高校数学「数列」第ｎ群の最初の数　１｜２，３｜４，５，６，７｜８，…


■　問題

自然数の列を、次のような群に分ける。ただし、第ｎ群には２^n-1個の数が入るものとする。

１｜２，３｜４，５，６，７｜８，９，１０，１１，１２，１３，１４，１５｜１６，…

(1) 第ｎ群の最初の数をｎの式で表せ。


解答解説はこのページ下


↓この書籍も参考にしてみてください↓
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■　解答解説

第ｎ群の最初の数を並べてみると、

１，２，４，８，１６，…

このようになっています。
これはつまり、初項１，公比２の等比数列ですね。
だから、ａ_n＝ａｒ^n-1に代入します。

ａ_n＝１・２^n-1
　＝２^n-1

というわけで、第ｎ群の最初の数は、２^n-1です。


次の問題→第ｎ群の数の和



◆関連項目
１｜２，３｜４，５，６｜…の場合
群数列、等比数列
数列まとめ

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高校数学「数列」「漸化式」ａnとｂnの置き換えについて

高校数学「数列」「漸化式」ａ_nとｂ_nの置き換えについて


この記事では、ａ_n+1＝３ａ_n−２，ａ₁＝２で表される数列の一般項を求めよ。この問題の、ａ_nをｂ_nに置き換える部分にフォーカスして解説します。


等差と等比の複合のタイプの漸化式の問題では、与えられた式を

ａ_n+1−α＝ｐ(ａ_n−α)

この形にして解くのが標準的です。

こうすれば、ａ_n−α＝ｂ_nとおいて、ｂ_nは等比数列になるので、一般項が表せる。というわけです。


この形にした結果、与式はａ_n+1−１＝３(ａ_n−１)と変形できたとします。

ここで括弧の中身つまり、ａ_n−１＝ｂ_nとおくと、ｂ_nだけの式が作れるし、初項も表せるので最終的には一般項が表せる。という方針です。

ｂ_n＝ａ_n−１とおけば、ｎのところにいろいろな値を入れて、いろいろな項を表すことができます。

例えば、ｎ＝１ならば、ｂ₁＝ａ₁−１ですね。
これでｂ₁すなわち初項がわかります。

この他にも、
ｎ＝２なら、ｂ₂＝ａ₂−１
ｎ＝３なら、ｂ₃＝ａ₃−１
ｎ＝４なら、ｂ₄＝ａ₄−１
　　・
　　・
　　・

といったかんじで、ｎにあらゆる自然数を入れることができます。
ということは、同様にして、自然数を表す文字を入れることもできます。

ｎ＝ｎ＋１ならば、ｂ_n+1＝ａ_n+1−１

ですね。
これは先ほどのａ_n+1−１＝３(ａ_n−１)の左辺なので、当然、左辺はｂ_n+1に置き換えることができます。
ａ_n+1−１とｂ_n+1が等しいから、−１まで含めて置き換えられるというわけです。

両辺をそれぞれｂ_nで置き換えれば、

ｂ_n+1＝３ｂ_n

となります。


もとの問題に戻る


◆関連項目
漸化式の基本的な方法
数列まとめ

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高校数学「指数方程式」２x−２４・２-x＝５(解答解説ページ)

高校数学「指数方程式」２^x−２４・２^-x＝５(解答解説ページ)

次の方程式を解け。
２^x−２４・２^-x＝５


問題ページはこちら


◆解答解説

２^x＝Ａなどとおくとわかりやすいと思います。
もちろん置き換えなくても解けますが、この記事では置き換えて解いていくこととします。

２^-x＝１／２²だから、２^-x＝１／Ａとなります。
つまり与式は、

Ａ−２４・１／Ａ＝５

このように書き換えることができます。
分母に文字があるので、それを消すために両辺にＡをかけると、

Ａ²−２４＝５Ａ
Ａ²−５Ａ−２４＝０
(Ａ＋３)(Ａ−８)＝０
よって、Ａ＝−３，８

Ａ＝２^x＞０だから、Ａ＝−３は不適。

ということで、Ａ＝２^x＝８です。
つまり、２^x＝２³より、ｘ＝３


他の問題→指数・対数まとめ


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ヒント：２^xについての２次方程式とみなして・・・？

高校数学「指数方程式」２x−２４・２-x＝５(問題ページ)

高校数学「指数方程式」２^x−２４・２^-x＝５(問題ページ)

次の方程式を解け。
２^x−２４・２^-x＝５


大学入試レベルとしては基本問題になりますが、この単元を習ったばかりの人にとっては難問だと思います。
数学２ＢＣを使う人は、入試までには、このくらいは楽勝で解けるようにしましょう！


解答解説はこちら


他の問題→指数・対数まとめ


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ヒント：２^xについての２次方程式とみなして・・・？

高校数学「分数関数」ｙ＝(ｘ＋１)／(ｘ−１)のグラフ

高校数学「分数関数」ｙ＝(ｘ＋１)／(ｘ−１)のグラフ

◆問題

次の関数のグラフを描け。

(1) ｙ＝(ｘ＋１)／(ｘ−１)


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◆解答・解説

分数関数は中学数学の反比例の応用です。
反比例のグラフを平行移動したもので、

ｙ＝ｋ／(ｘ−ｐ)＋ｑ

この式で表されるグラフは、ｙ＝ｋ／ｘをｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑ移動したものになります。
漸近線は、ｘ＝ｐ，ｙ＝ｑですね。

今回の問題では、ｙ＝(ｘ＋１)／(ｘ−１)だから、まずはこれをｙ＝ｋ／(ｘ−ｐ)＋ｑの形に直します。

分子は定数にするので、分子と分母が約分できる形に変形することを目指します。

ｙ＝(ｘ−１＋２)／(ｘ−１)

分子にもｘ−１が出てきました。こうなったら、２つの分数に分けて約分すればＯＫです！

　＝(ｘ−１)／(ｘ−１)＋２／(ｘ−１)
　＝１＋２／(ｘ−１)
　＝２／(ｘ−１)＋１

これで式の変形は終わりです。

つまり、漸近線はｘ＝１，ｙ＝１です。

グラフは以下のようになります。



次の問題→ｙ＝(２ｘ−３)／(ｘ−２)


◆関連項目
反比例(中学数学)
双曲線
分数関数等まとめ


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高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算�A

高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算�A

■　問題

次の計算をせよ。

(1) ２^5/3−２^2/3

(2) (３^1/3＋３^-2/3)³


(2)の解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

(2) (３^1/3＋３^-2/3)³

指数・対数の計算では、通常の文字式と同様に、全く同じものは足したり引いたりすることができます。
「２ＡＢ＋ＡＢ＝３ＡＢ」みたいなかんじですね。
逆に、全く同じでないならば足したり引いたりすることはできません。

そして、普通の式と同様に展開や因数分解の公式を使うことができます。
今回は３乗なので、３乗の公式で普通に展開します。

　(３^1/3＋３^-2/3)³
＝(３^1/3)³＋３(３^1/3)²３^-2/3＋３・３^1/3(３^-2/3)²＋(３^-2/3)³
＝３＋３・１＋３・３^-1＋３^-2
＝３＋３＋１＋１／９
＝(２７＋２７＋９＋１)／９
＝６４／９


(1)に戻る→２^5/3−２^2/3


◆関連項目
指数・対数まとめ


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高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算�@

高校数学「指数・対数」指数のちょっとだけ難しい計算�@

■　問題

次の計算をせよ。

(1) ２^5/3−２^2/3

(2) (３^1/3＋３^-2/3)³


(1)の解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

(1) ２^5/3−２^2/3

指数・対数の計算では、通常の文字式と同様に、全く同じものは足したり引いたりすることができます。
「２ＡＢ＋ＡＢ＝３ＡＢ」みたいなかんじですね。
逆に、全く同じでないならば足したり引いたりすることはできません。

今回の問題では、２^5/3と２^2/3は、底の２は同じですが、指数の部分は違うので、そのままでは加減できません。
だからまずは、２^2/3でくくります。

＝２^2/3(２^3/3−１)

カッコを外したらもとに戻るようにする。と考えると、カッコの中身を正しく作りやすいはずです。

＝２^2/3(２−１)
＝２^2/3

特に指示がなければこれで終わりでＯＫです！
分数の指数は、累乗根の形に直すことができます。
累乗根の形に直したければ、

＝³√２²　←２の２乗の３乗根

このようになります。


次の問題→(３^1/3＋３^-2/3)³


◆関連項目
指数・対数まとめ


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高校数学「指数・対数」０．２，√５，3√０．０４，4√０．００８を小さい順に

高校数学「指数・対数」０．２，√５，³√０．０４，⁴√０．００８を小さい順に

■　問題

次の４つの数を小さい順に並べよ。

０．２，√５，³√０．０４，⁴√０．００８


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

そのままでは大小を比較しにくいので、４つの数を同じパターンで表すことを考えます。
いろいろな方法がありますが、基本的には、底をそろえて指数で表すのがやりやすいと思います。

０．２，√５，³√０．０４，⁴√０．００８

これらの４つの数なので、０．２を使って全て表す。という方針でいきます。


０．２＝０．２¹


５は０．２でどう表すかというと、分数にすればＯＫです。
５＝５／１＝１／０．２＝０．２^-1だから、√５＝０．２^-1/2


あとの２つは累乗根なので、指数と√の関係を普通に使って表します。

³√０．０４＝³√(０．２)²＝０．２<sup>2/3


4</sup>√０．００８＝⁴√(０．２)³＝０．２^3/4


全て０．２の累乗の形で表したので、大小を比較しやすくなりました。
あとは指数の大小の順に・・・といきたいところですが、底が０．２で１より小さいので、大小関係は逆になります。
つまり、指数の値が小さい数が大きく、指数の値が大きい数は小さいことになります。

１＞３／４＞２／３＞−１／２だから、

０．２＜⁴√０．００８＜³√０．０４＜√５

これで完成です！


◆関連項目
指数・対数まとめ


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高校数学「微分積分」「接線」ｙ＝６ｘ2−３ｘとｙ＝(３／２)ｘ2＋ａが共有点を…

高校数学「微分積分」「接線」ｙ＝６ｘ²−３ｘとｙ＝(３／２)ｘ²＋ａが共有点を…

■　問題

ｙ＝６ｘ²−３ｘとｙ＝(３／２)ｘ²＋ａが共有点を持ち、さらにその点においてそれぞれの曲線の接線が等しくなるようなａの値と接線の方程式を求めよ。


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■　解答解説

ｙ＝６ｘ²−３ｘとｙ＝(３／２)ｘ²＋ａが共有点を持ち、さらにその点においてそれぞれの曲線の接線が等しくなるようなａの値を全て求めよ。


条件に従って一つ一つわかることを表していきましょう！

共有点における接線が等しくなるので、まずはそれぞれ微分してみます。

ｙ'＝１２ｘ−３
ｙ'＝３ｘ

ですね。
接線が等しいということはもちろん傾きも等しいです。
つまり、ｙ'も等しいはずです。だから、

　１２ｘ−３＝３ｘ
１２ｘ−３ｘ＝３
　　　　９ｘ＝３
　　　　　ｘ＝１／３

というわけで、接点のｘ座標は１／３であることがわかりました。
このときｙ'は、ｙ'＝３・１／３＝１だから、接線の傾きは１です。

さらに、ｙ＝６ｘ²−３ｘにｘ＝１／３を代入すると、

ｙ＝６・１／９−３・１／３
　＝２／３−１
　＝１／３

つまり、接点の座標は(１／３，１／３)です。

これで接線の方程式がわかります。直線の式の公式に傾きと座標を代入すると、

ｙ−１／３＝１(ｘ−１／３)
　　　　ｙ＝ｘ−１／３＋１／３
　　　　ｙ＝ｘ

接点の座標をｙ＝(３／２)ｘ²＋ａに代入すると、

１／３＝(３／２)・１／９＋ａ
１／３＝１／６＋ａ
　　ａ＝１／３−１／６
　　ａ＝１／６

というわけで、接線の方程式はｙ＝ｘ，ａの値は１／６です。


◆関連項目
曲線ｙ＝ｘ³＋３ｘ²の接線のうち(０，ａ)を通るもの
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「複素数平面」まとめ

高校数学「複素数平面」まとめ

高校数学３→数学Ｃの「複素数平面」に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

平面上の曲線はこちら


◆　公式・解き方・考え方

共役な複素数
複素数の絶対値
極形式
ド・モアブルの定理
極座標と極方程式


◆　問題

ｚ＝√３＋ｉを極形式で表せ。
ｚ1＝ｒ1(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)，ｚ2＝ｒ2(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)とするとき、ｚ1ｚ2を計算せよ。
ｚ1＝ｒ1(ｃｏｓθ1＋ｉｓｉｎθ1)，ｚ2＝ｒ2(ｃｏｓθ2＋ｉｓｉｎθ2)とするとき、ｚ1／ｚ2を計算せよ。

２次方程式ｘ²＋２ｘ＋２＝０の解のうち、虚部が正であるものを極形式で表せ。

{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8
{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}⁶

|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？



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高校数学「複素数平面」|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？

高校数学「複素数平面」|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？

■　問題

複素数平面上の点をｚとするとき、|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|を満たす点は、どのような図形を描くか？


解答解説はこのページ下


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■　解答解説

|ｚ＋２ｉ|＝２|ｚ−４ｉ|

イコールで結ばれているので、もちろん左辺と右辺が等しいことを意味しています。
絶対値の式は、プラスとマイナスの場合があって、そのままでは扱いにくいので２乗してみます。

|ｚ＋２ｉ|²＝(２|ｚ−４ｉ|)²

(ｚ＋２ｉ)(ｚ＋２ｉ)＝４(ｚ−４ｉ)(ｚ−４ｉ)
(ｚ＋２ｉ)(ｚ−２ｉ)＝４(ｚ−４ｉ)(ｚ＋４ｉ)
ｚｚ−２ｉｚ＋２ｉｚ＋４＝４(ｚｚ＋４ｉｚ−４ｉｚ＋１６)
ｚｚ−２ｉｚ＋２ｉｚ＋４＝４ｚｚ＋１６ｉｚ−１６ｉｚ＋６４
−３ｚｚ−１８ｉｚ＋１８ｉｚ−６０＝０
ｚｚ＋６ｉｚ−６ｉｚ＋２０＝０
ｚ(ｚ＋６ｉ)−６ｉ(ｚ＋６ｉ)＋２０−３６＝０
(ｚ−６ｉ)(ｚ＋６ｉ)＝１６
(ｚ−６ｉ)(ｚ−６ｉ)＝１６
よって、|ｚ−６ｉ|²＝１６

|ｚ−６ｉ|≧０だから、|ｚ−６ｉ|＝４

これは、点６ｉからの距離が４を意味しています。
ということは、表す図形は、

「点６ｉを中心とする半径４の円」

ですね！


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高校数学「複素数平面」{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}6

高校数学「複素数平面」{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}⁶

■　問題

次の計算をせよ。

{(１＋√３ｉ)／(１−ｉ)}⁶


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■　解答解説

これもド・モアブルの定理を活用して計算します。

複素数の商

ｚ₁／ｚ₂＝(ｒ₁／ｒ₂){ｃｏｓ(θ₁−θ₂)＋ｉｓｉｎ(θ₁−θ₂)}

この公式を活用する方向でやっていきます。

分子は１＋√３ｉです。まずはこれを極形式で表します。

１＋√３ｉ＝２{１／２＋(√３／２)ｉ}
　　　　＝２{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}

１−ｉも同様にやります。

１−ｉ＝√２(１／√２−ｉ／√２)
　　　＝√２{ｃｏｓ(−π／４)＋ｉｓｉｎ(−π／４)}

というわけで、

(与式)＝[(２／√２){ｃｏｓ(π／３＋π／４)＋ｉｓｉｎ(π／３＋π／４)}]⁶
　　＝[√２{ｃｏｓ(７／１２)π＋ｉｓｉｎ(７／１２)π}]⁶

ここで、ド・モアブルの定理(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)ⁿ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθを使えば、

　　＝８(ｃｏｓ(７／２)π＋ｉｓｉｎ(７／２)π}
　　＝８×(−ｉ)
　　＝−８ｉ


前の問題に戻る→{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8


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高校数学「複素数平面」{−１／√２−(１／√２)ｉ}-8

高校数学「複素数平面」{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8

■　問題

次の計算をせよ。

{−１／√２−(１／√２)ｉ}^-8


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■　解答解説

８乗となると正直に計算してられないので、ド・モアブルの定理を活用して計算します。

(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)ⁿ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

ですね！

この公式を使うために、まずはカッコの中身を極形式で表します。

−１／√２−(１／√２)ｉ＝ｃｏｓ(−３／４)π＋ｉｓｉｎ(−３／４)π

ですね。ということは、与式は、

{ｃｏｓ(−３／４)π＋ｉｓｉｎ(−３／４)π}^-8

このように書き換えられます。
これでド・モアブルの定理が使えます。

＝ｃｏｓ{−８・(−３／４)}π＋ｉｓｉｎ{−８・(−３／４)}π
＝ｃｏｓ６π＋ｉｓｉｎ６π
＝１


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高校数学「確率統計」確率密度関数の計算�A

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◆問題

確率変数Ｘのとり得る値の範囲が０≦Ｘ≦１で、確率密度関数がｆ(ｘ)＝２ｘのとき、次の確率を求めよ。

(1) Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)

(2) Ｐ(０≦Ｘ≦１)

(3) Ｐ(１／２≦Ｘ≦１)


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◆解答解説

(2) Ｐ(０≦Ｘ≦１)

これは要するに、底辺１，高さ２の直角三角形なので、

Ｐ(０≦Ｘ≦１)＝(１／２)×１×２＝１


(3) Ｐ(１／２≦Ｘ≦１)

このように両端がゼロでない場合は、大きい図形から小さい図形を引くと求めやすい場合があります。
つまり、

Ｐ(１／２≦Ｘ≦１)＝Ｐ(０≦Ｘ≦１)−Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)

ですね。
それぞれの値は、(1)と(2)で求めているのでそのまま使います。

Ｐ(１／２≦Ｘ≦１)＝１−１／４＝３／４


(1)に戻る→Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」確率密度関数の計算�@

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◆問題

確率変数Ｘのとり得る値の範囲が０≦Ｘ≦１で、確率密度関数がｆ(ｘ)＝２ｘのとき、次の確率を求めよ。

(1) Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)


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◆解答解説

確率密度関数とは、確率変数Ｘが連続的な値をとり、その値が関数ｆ(ｘ)とｘ軸との間の面積で表されるときの、ｆ(ｘ)のことです。
つまりは、ｙ＝ｆ(ｘ)の定積分になります。

今回の問題のように、単純な関数の場合は、グラフと図形から面積を計算してもよいです。

今回の問題ではｆ(ｘ)＝２ｘだから、Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)を表す図形は、
底辺１／２，高さ１の直角三角形になります。
つまり、

Ｐ(０≦Ｘ≦１／２)＝１／２×１×１／２＝１／４


次の問題→Ｐ(０≦Ｘ≦１)など


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」母平均ｍを信頼度９５％で推定する

高校数学「確率統計」母平均ｍを信頼度９５％で推定する

◆問題

母集団から大きさ２５００の標本を抽出し、変量ｘの値を調べたところ、標本平均は５０．５，標本標準偏差は５．０だった。ｘの母平均ｍを信頼度９５％で推定せよ。


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◆解答解説

標本の大きさ２５００は充分に大きいとみなして、「標本標準偏差＝母標準偏差」と考えられます。
標本平均をＸ＿とすると、Ｘ＿は正規分布Ｎ(ｍ，５．０²／２５００)に近似的に従うということができます。

ということは、Ｚ＝(Ｘ＿−ｍ)／σが標準正規分布Ｎ(０，１)に従うことになり、求める信頼区間を正規分布表を用いて計算することができます。

信頼度９５％ということは、正規分布の−０．４７５から０．４７５の範囲なので、Ｐ(|Ｚ|≦１．９６)＝０．９５です。
つまり、|Ｘ＿−ｍ|＝１．９６×(σ／√ｎ)です。
さらに変形して、ｍの式にすると、

Ｘ＿−１．９６×(σ／√ｎ)≦ｍ≦Ｘ＿＋１．９６×(σ／√ｎ)

このように表すことができますね。
あとは代入して計算です。
Ｘ＿＝５０．５

σ／√ｎ＝√(５．０²／２５００)
　　　＝５／５０
　　　＝１／１０

だから、

５０．５−１．９６×１／１０＝５０．５−０．１９６＝５０．３０４
５０．５＋１．９６×１／１０＝５０．５＋０．１９６＝５０．６９６

小数第３位を四捨五入すると、信頼度９５％の信頼区間は

５０．３０≦ｍ≦５０．７０


正規分布表はこちら


◆確率統計まとめ


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高校数学「確率統計」正規分布Ｎ(１５，４2)に従うとき

高校数学「確率統計」正規分布Ｎ(１５，４²)に従うとき

◆問題

確率変数Ｘが正規分布Ｎ(１５，４²)に従うとき、Ｐ(１３≦Ｘ≦１５)を求めよ。


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◆解答解説

確率変数Ｘが正規分布(ｍ，σ²)に従うとき、Ｘに関する確率はＸを標準化して標準正規分布Ｎ(０，１)における確率に直して求めることができます。

Ｚ＝(Ｘ−ｍ)／σ

とすると、ＺはＮ(０，１)に従うことが知られていて、このＺを、Ｘを標準化した確率変数といいます。

今回の問題では、ｍ＝１５，σ＝４だから、Ｚ＝(Ｘ−１５)／４となります。これを用いてＰ(１３≦Ｘ≦１５)を書き換えてみます。

　Ｐ(１３≦Ｘ≦１５)
＝Ｐ((１３−１５)／４≦Ｚ≦(１５−１５)／４)
＝Ｐ(−２／４≦Ｚ≦０)
＝Ｐ(−０．５≦Ｚ≦０)

このように書き換えることができました。

Ｐ(−０．５≦Ｚ≦０)＝Ｐ(０≦Ｚ≦０．５)だから、あとは世紀分布表を用いて値を調べると、

Ｐ(０≦Ｚ≦０．５)＝０．１９１５

このようになります。


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高校数学「積分」ｙ＝ｘ2−４ｘ＋１とｘ軸で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」ｙ＝ｘ²−４ｘ＋１とｘ軸で囲まれた図形の面積

■　問題

放物線ｙ＝ｘ²−４ｘ＋１とｘ軸で囲まれた図形の面積Ｓを求めよ。


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■　解答解説

ｘ軸と関数に囲まれた図形の面積を求めるには、ｘ軸との交点の間の区間で定積分ですね！
まずは交点を求めてみましょう！

ｘ軸上はｙ＝０だから、

ｘ²−４ｘ＋１＝０

因数分解できないので、解の公式を使います。

ｘ＝[−(−４)±√{(−４)²−４×１×１}]／(２×１)
　＝{４±√(１６−４)}／２
　＝(４±√１２)／２
　＝(４±２√３)／２
　＝２±√３

だから、２−√３から２＋√３の区間で定積分ですね！
・・・ですが、普通に定積分をやると計算がかなり大変になってしまいます。
２次式を積分すると３次式になり、それに２−√３を代入したり・・・となってしまいます。
もちろんこの程度ならやればできますが、もっと簡単に計算できる公式があることも知っておくと良いでしょう。
いわゆる、「１／６の公式」です。
２次関数とｘ軸または直線との間の面積を求めるために使うことができます。

２つの交点をα，βとすると、

Ｓ＝(１／６)(β−α)³

こんなシンプルな式で面積を求めることができます。
どこかにマイナスがついたりつかなかったり、公式の表し方はいくつかありますが、「大きい方から小さい方を引いて、３乗して、１／６」と覚えておくのが実用的だと思います。

今回はα＝２−√３，β＝２＋√３なので、

Ｓ＝(１／６)(２＋√３−２＋√３)³
　＝(１／６)(２√３)³
　＝(１／６)×２４√３
　＝４√３


◆関連項目
ｙ＝ｘ²＋ｘとｙ＝２ｘ＋６に囲まれた図形の面積
微分積分(数学２)まとめ

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