高校数学「２次関数」「最小値」�A

高校数学「２次関数」「最小値」�A

２次関数ｙ＝ｘ^2−２ａｘ＋１(０≦ｘ≦１)の最小値を求めよ。また、そのときのｘの値を求めよ。


まず�@では、頂点を求めて、頂点が定義域内にある場合の最小値を求めました。
この記事では、頂点が定義域内にない場合も考え、解答を導きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


与式を平方完成して

ｙ＝ｘ^2−２ａｘ＋１
　＝ｘ^2−２ａｘ＋ａ^2−ａ^2＋１
　＝(ｘ−ａ)^2−ａ^2＋１

よって、頂点は(ａ，−ａ^2＋１)であることがわかりました。

与式の２次関数は下に凸のグラフなので、頂点が定義域より左にあるときは、定義域の左端が最小値になります。
つまり、ａ＜０ならば、ｘ＝０で最小値ですね。
与式にｘ＝０を代入すると、ｙ＝１
よって、「ａ＜０のとき、ｘ＝０で最小値１」となります。

続いて、頂点が定義域より右にあるときは、定義域の右端が最小値になります。
つまり、ａ＞１ならば、ｘ＝１で最小値です。
与式にｘ＝１を代入すると、１−２ａ＋１＝−２ａ＋２
よって、「ａ＞１のとき、ｘ＝１で最小値−２ａ＋２」となります。

前回の頂点が定義域内にある場合とまとめると、

ａ＜０のときｘ＝０で最小値１
０≦ａ≦１のときｘ＝ａで最小値−ａ^2＋１
ａ＞１のときｘ＝１で最小値−２ａ＋２


関連項目
平方完成のやり方
2009年センター数１Ａの２次関数


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高校数学「２次関数」「最小値」�@

高校数学「２次関数」「最小値」�@

２次関数ｙ＝ｘ^2−２ａｘ＋１(０≦ｘ≦１)の最小値を求めよ。また、そのときのｘの値を求めよ。


最大最小を考えるときは、グラフを考えた方がよいです。この２次関数はａ＞０なので下に凸ですね。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


下に凸の２次関数の最小値を考えるときは、まずは頂点が定義域に入っている場合を考えるとよいです。
ということで、与式を平方完成して

ｙ＝ｘ^2−２ａｘ＋１
　＝ｘ^2−２ａｘ＋ａ^2−ａ^2＋１
　＝(ｘ−ａ)^2−ａ^2＋１

よって、頂点は(ａ，−ａ^2＋１)であることがわかりました。
この頂点が定義域(０≦ｘ≦１)に入っていれば、頂点が最小値です。
すなわち、

０≦ａ≦１のとき、ｘ＝ａで最小値−ａ^2＋１

ですね。

ここまでできれば、記述式の試験ならまずは部分点がもらえるし、２次関数の最低限のイメージは理解できていると言えます。
数学が苦手な人もまずはここまでできるようにしましょう！


つづく


関連項目
平方完成のやり方
2009年センター数１Ａの２次関数


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高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」「余事象」

高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」「余事象」

coffeeの６文字全てを並べてできる順列のうち、２つのｆが隣り合わないものの総数を求めよ。


「隣り合わない」場合は、余事象の考えを使うと簡単にできる場合があります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



「２つのｆが隣り合わない場合の数」を求めたいなら、「全ての場合の数」から「２つのｆが隣り合う場合の数」を引くのが簡単です。

まず、「全ての場合の数」を求めましょう！

coffeeの６文字には、同じ文字が含まれています。
いわゆる「同じものを含む順列」を考えます。

まず６文字全てを並べるので、６！です。
このうち、ｆとｅは２文字ずつあるので、それぞれが、同じ２文字の並び方は無視することができます。だから、その２文字の階乗で割る。というわけです。
つまり、

　６！／(２！・２！)
＝(６×５×４×３×２×１)／(２×１×２×１)
＝６×５×３×２
＝１８０通り

続いて、ｆの２文字が隣り合う場合も求めます。
「隣り合う」ときは、その２文字を１つとして考えて、

　５！／２！
＝５×４×３×２×１／２×１
＝５×４×３
＝６０通り

「全ての場合の数」から「ｆが隣り合うとき」を引いたのが、「２つのｆが隣り合わない場合の数」なので、

１８０−６０＝１２０通り


関連問題
連続するとき
余事象


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高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」�A

高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」�A

９人の生徒を、５人，２人，２人の３組に分ける方法は何通りあるか求めよ。


人数が同じグループがある場合は、それらが入れ替わった場合のことも考えなければいけません。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



人数が同じ場合は、Ａ，ＢとＢ，Ａを区別することができないので、その同じ人数のグループの並び方を除外する必要があります。
この問題では、２人のグループが２つあるので、それらの並び方の２通りで割る必要があります。

まずは除外する前の９人の並び方を求めてみましょう！
ここだけに限っては、３組に分ける場合と同じ考え方です。
人数の少ない２人の組を先に考えると計算が簡単になります。

　9Ｃ2×7Ｃ2×5Ｃ5
＝(９×８／２×１)×(７×６／２×１)×１
＝(９×４)×(７×３)

これを２で割るので、

　(９×４×７×３)÷２
＝９×２×７×３
＝３７８通り


関連問題→人数が違う場合


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高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」�@

高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」

９人の生徒を、３人，３人，３人の３組に分ける方法は何通りあるか求めよ。


人数が同じ場合は、３組が入れ替わった場合のことも考えなければいけません。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



人数が同じ場合は、Ａ，ＢとＢ，Ａを区別することができないので、その同じ人数のグループの並び方を除外する必要があります。
この問題では、３組の人数が全て同じなので、その３組の並べ方３！＝３×２×１＝６通りで割る必要があります。

まずは除外する前の３人×３組の並び方を求めてみましょう！
ここだけに限っては、前回の問題と同じ考え方です。つまり、

　9Ｃ3×6Ｃ3×3Ｃ3
＝(９×８×７／３×２×１)×(６×５×４／３×２×１)×(３×２×１／３×２×１)
＝(３×４×７)×(５×４)

これを６で割るので、

　(３×４×７×５×４)÷６
＝２×７×５×４
＝２８０通り


次の記事→人数が同じ場合�A

関連問題→人数が違う場合


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高校数学「場合の数」「人数の異なるグループ分け」

高校数学「場合の数」「人数の異なるグループ分け」

９人の生徒を、４人、３人、２人の３組に分ける方法は何通りあるか求めよ。


人数が全て異なるときは、単純に考えればＯＫです！


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



３組の人数が全て異なるので、組が入れ替わることができません。だから、単純に順に場合の数を求めかけ算すればＯＫです。
まず４人の組から考えると、９人から４人を選ぶので9Ｃ4
次は残り５人から３人選んで5Ｃ3
最後は残り２人から２人選ぶので、2Ｃ2＝１


　9Ｃ4×5Ｃ3×2Ｃ2
＝(９×８×７×６／４×３×２×１)×(５×４×３／３×２×１)×１
＝(９×２×７)×(５×２)
＝１２６０通り


次の記事→人数が同じ場合�@


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高校数学「場合の数」「空き部屋なしで２つにグループ分けするとき」

高校数学「場合の数」「空き部屋なしで２つにグループ分けするとき」

Ａ，Ｂ２つの部屋に５人を入れるとき、空き室がないように全員を入れる方法は何通りあるか求めよ。


前回の問題と同様に、５人くらいなら、「樹形図でがんばる！」でも何とかなりますが、もちろん簡単に計算する方法があります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



空き部屋がないときも、前回の問題と同様に考えることができます。
つまり、「２つのグループに分ける」ときは、「５人それぞれがＡかＢを選択する」と考えれば良いです。

まずは、空き部屋があっても構わない条件で２つのグループに分けます。

それは２^5＝３２通りですね。

これには、「５人全員Ａ」「５人全員Ｂ」の場合も含むので、これらの場合を引いて、

３２−２＝３０通り

これで完成です！


前回の問題→空き部屋ありのとき


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高校数学「場合の数」「２つにグループ分けするとき」

高校数学「場合の数」「２つにグループ分けするとき」

Ａ，Ｂ２つの部屋に５人を入れるとき、空き室があってもよいので全員を入れる方法は何通りあるか求めよ。


５人くらいなら、「樹形図でがんばる！」でも何とかなりますが、もちろん簡単に計算する方法があります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



「５人を２つの部屋に入れる」つまり、「２つのグループに分ける」ときは、「５人それぞれがＡかＢを選択する」と考えれば良いです。

まず最初の一人がＡかＢの２通りから選ぶ。→２通り
二人目もＡかＢの２通りから選ぶ。→２通り

これら最初の２人は連続して(同時に)選ぶので、かけ算をして、２×２＝４通りの場合の数があります。

さらに、３人目も２通り、４人目も２通り、もちろん５人目も２通りの選び方があるので、
つまりは５人がそれぞれ２通りずつの選び方がある。ということになります。

これらは全て連続して(同時に)起こるので、かけ算をして、２の５乗ですね。

２^5＝３２通り


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高校数学「場合の数」「円順列」「向かい合う２人が決まっているとき」

高校数学「場合の数」「円順列」「向かい合う２人が決まっているとき」

男子Ａ，Ｂ，Ｃの３人，女子Ｄ，Ｅ，Ｆの３人の合計６人が円形のテーブルに向かって座るとき、ＡとＢが向かい合う座り方は何通りあるか求めよ。


ＡとＢの位置が決まっているので、まずはそこから考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



ＡとＢが向かい合うということは、まず２つの向かい合う席を決めてその２席にＡとＢを座らせます。
これはどの２席に置いても回転すれば同じなので、一通りと考えられます。

Ａ，Ｂの２席は決まっていて、残りの４席に残りの４人を並べる。ということなので、残りの４人は回転すると異なる並び方になってしまいます。
だから、残りの４人は普通の順列として考えると、

４！＝４×３×２×１＝２４通り


前の問題→男女が交互に並ぶとき


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高校数学「場合の数」「円順列」「交互に並ぶ」

高校数学「場合の数」「円順列」「交互に並ぶ」

男子Ａ，Ｂ，Ｃの３人，女子Ｄ，Ｅ，Ｆの３人の合計６人が円形のテーブルに向かって座るとき、男子と女子が交互になる座り方は何通りあるか求めよ。


「交互になる」ときは、まずは男子３人を並べてみると良いです。円順列であることにも注意して・・・


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



まずは男子３人の円順列を考えます。

ｎ個の円順列は、(ｎ−１)！なので、(３−１)！＝２！＝２×１＝２通り
ですね。
回転して一致するものは同じものとみなすので、３！を３で割るという意味です。

これで男子３人の並び方が決まりました。

この３人の間に女子が入ると考えればＯＫです。

男子の位置が決まっているので、女子の方は回転しても一致した並び方にはなりません。
つまり、女子の並び方は３！です。

男子と女子の並び方はかけ算をして、

　２×３！
＝２×３×２×１
＝１２通り


次の問題→ＡとＢが向かい合わせのとき


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高校数学「場合の数」「決まっている場所があるとき」

高校数学「場合の数」「決まっている場所があるとき」

男子４人、女子３人が１列に並ぶとき、一端に男子、もう一端に女子が並ぶ場合の数を求めよ。

並び方が限定される場合は、その限定されるところを先に決めるのが標準的です。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



「一端に男子」はもちろん、「左右のどちらかの端が男子」を意味します。

例えば左端が男子とします。
左端の男子は４人から１人選ぶので、４通りの選び方があります。

このとき「もう一端に女子」なので、右端は女子になります。
右端は３人から１人選ぶので３通りの選び方があります。

間５人の並び方は決まっていないので、「５人を全て並べる」と考えて５！の並び方があります。


ここまで左端が男子、右端が女子で考えてきました。
これらが逆でももちろん「一端に男子、もう一端に女子」の条件に合っています。
つまり、両端の置き方は２通りあります。

間は５！通りで、両端と間は同時に置くので、かけ算をして、

　２×４×３×５！
＝２４×５×４×３×２×１
＝２８８０通り


前の問題→連続するとき


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高校数学「場合の数」「連続するとき」

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男子４人、女子３人が１列に並ぶとき、女子３人が連続して並ぶ場合の数を求めよ。

「連続して」という場合は、その連続している部分を「１人」「１つ」として考えます。

解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


まずは、女子３人を１人とみなして、男子４人とあわせて合計５人を並べる場合の数を考えます。

５人を一列に並べるので、５！(５の階乗)ですね。


１人とみなした女子３人はもちろん本当は３人なので、その３人の並べ方も考慮しなければいけません。

３人の並べ方は３！です。


５！の並べ方のそれぞれの女子は３！の並べ方があるので、５！と３！は同時に起こることです。つまり、かけ算をします。
よって、求める場合の数は

　５！×３！
＝５×４×３×２×１×３×２×１
＝７２０通り


次の問題→両端が決まっているとき


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高校数学「因数分解」「３乗」

高校数学「因数分解」「３乗」

ｘ^3＋１２５を因数分解せよ。

ｘ^3はもちろんｘの３乗です。

１２５は・・・５の３乗ですね！

ということは、ａ^3＋ｂ^3の形になっています。

３乗の公式のページでも解説しているように、この形ならば、

ａ^3＋ｂ^3＝(ａ＋ｂ)(ａ^2−ａｂ＋ｂ^2)

という公式で因数分解することができます。

ｘ^3＋１２５＝ｘ^3＋５^3だから、ａ＝ｘ，ｂ＝５を代入して、

ｘ^3＋１２５＝(ｘ＋５)(ｘ^2−５ｘ＋２５)


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高校数学「因数分解」「複２次式」

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ｘ^4＋ｘ^2＋１を因数分解せよ。

ｘの４次式になっています。
そんなときはたいてい、ｘの２乗をひとかたまりと見なして、Ｘ＝ｘ^2とおけば解決！ですね！
置き換えてみると、

ｘ^4＋ｘ^2＋１＝Ｘ^2＋Ｘ＋１

あとは普通に因数分解すれば・・・と考えてみても、この場合は、合う数字の組み合わせがありません。
掛けて１，足して１の数は、普通に思いつく数では存在しません。

「もしＸ^2＋２Ｘ＋１なら因数分解できるのにな〜」

と思った人もいると思います。
その通りです！

Ｘ^2＋２Ｘ＋１ならできるなら、そうしてしまえばいいのです(笑)
・・・とは言っても、もちろん、勝手に数を変えてしまってはいけません。
式の値が変化しないように、Ｘを２Ｘに変えたならば、その増えた分を差し引かないといけないのです。
つまり、

＝Ｘ^2＋２Ｘ＋１−Ｘ

とします。
こうすれば、因数分解して

＝(Ｘ＋１)^2−Ｘ

となりますね。
ここでＸをｘ^2に戻してみると、

＝(ｘ^2＋１)^2−ｘ^2

今度はかっこの中身をＡ＝ｘ^2＋１とおけば、

＝Ａ^2−ｘ^2

これは「２乗ひく２乗」の公式で因数分解できますね。

＝(Ａ＋ｘ)(Ａ−ｘ)

Ａをもとに戻して、

＝(ｘ^2＋１＋ｘ)(ｘ^2＋１−ｘ)

一応これで完成です。
これで特に問題ありませんが、順番を直して、

＝(ｘ^2＋ｘ＋１)(ｘ^2−ｘ＋１)

このようにすれば、式の見た目的にもよいです。


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高校数学「２次関数」「判別式」「異なる２つの負の解」�D

高校数学「２次関数」「判別式」「異なる２つの負の解」�D

２次方程式ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋３＝０が異なる２つの負の解をもつような定数ｋの値の範囲を求めよ。

ここまでの記事で、�@判別式より、Ｄ＞０のときｋ＜−２，ｋ＞６であり、�A軸よりｋ＜０であり、�B境界線よりｘ＞−３であることがわかりました。

あとはこれらの範囲の共通範囲を答えれば、それが正解です。

改めて整理すると、

�@判別式より、ｋ＜−２，ｋ＞６
�A軸よりｋ＜０
�B境界線よりｋ＞−３

これらの共通範囲は・・・

−３＜ｋ＜−２


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高校数学「２次関数」「判別式」「異なる２つの負の解」�C

高校数学「２次関数」「判別式」「異なる２つの負の解」�C

２次方程式ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋３＝０が異なる２つの負の解をもつような定数ｋの値の範囲を求めよ。

ここまでの記事で、�@判別式より、Ｄ＞０のときｋ＜−２，ｋ＞６であり、�A軸よりｋ＜０であることがわかりました。

この記事では３つめの条件、

境界線ｆ(０)＞０

について考えます。(なぜｆ(０)＞０なのかはこちら)

ｆ(０)＝０−０＋ｋ＋３
　　＝ｋ＋３＞０
　　　　　ｋ＞−３

２次関数のグラフが原点の上を通るときはｋ＞−３というわけですね。


次の記事→まとめ


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高校数学「２次関数」「判別式」「異なる２つの負の解」�B

高校数学「２次関数」「判別式」「異なる２つの負の解」�B

２次方程式ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋３＝０が異なる２つの負の解をもつような定数ｋの値の範囲を求めよ。

前回の記事で、Ｄ＞０のときｋ＜−２，ｋ＞６であることがわかりました。

続いて、

�A軸ｘ＜０

について考えます。(なぜ軸＜０なのかはこちら)

軸の方程式は、頂点を通るｙ軸に平行な直線です。

ｘ＝−ｂ／２ａで求めることができます。
ａ＝１，ｂ＝−ｋを代入すると、ｘ＝−(−ｋ)／２・１＝ｋ／２

軸ｘ＜０なので、ｋ／２＜０すなわち、ｋ＜０


次の記事→

高校数学「２次関数」「判別式」「異なる２つの負の解」�A

高校数学「２次関数」「判別式」「異なる２つの負の解」�A

２次方程式ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋３＝０が異なる２つの負の解をもつような定数ｋの値の範囲を求めよ。

前回の記事で、「異なる２つの負の解」を持つためには、

�@判別式Ｄ＞０
�A軸ｘ＜０
�B境界線ｆ(０)＞０

の３つの条件を満たす必要があることがわかりました。


では実際にこの問題を解いていきましょう！

まずは判別式を用いて、「異なる２つの実数解をもつ」ときのｋの値を調べます。

Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝１，ｂ＝−ｋ，ｃ＝ｋ＋３を代入して、

Ｄ＝(−ｋ)^2−４×１×(ｋ＋３)
　＝ｋ^2−４ｋ−１２
　＝(ｋ＋２)(ｋ−６)＞０

よって、ｋ＜−２，ｋ＞６


次の記事→軸は負の値


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高校数学「２次関数」「判別式」「異なる２つの負の解」

高校数学「２次関数」「判別式」「異なる２つの負の解」

２次方程式ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋３＝０が異なる２つの負の解をもつような定数ｋの値の範囲を求めよ。

前回の記事では、「異なる２つの正の解」だったので、

�@判別式Ｄ＞０
�A軸ｘ＞０
�B境界線ｆ(０)＞０

でしたが、今回は「異なる２つの負の解」です。
負の解であることから、少し条件が変わります。

正だろうが負だろうが、「異なる２つの解」であることには変わりないので、まず�@は変わらず、判別式Ｄ＞０です。

負の解であるためには、グラフが全体としてマイナス側になければいけないので、軸ｘ＜０である必要があります。ここは変わりました。

２つの解が同符号であるためには、グラフが原点より上を通るので、ｆ(０)＞０です。これは変わりません。

つまり、今回の問題では

�@判別式Ｄ＞０
�A軸ｘ＜０
�B境界線ｆ(０)＞０

を満たすｋの値の範囲を求めればＯＫ！です。


次の記事→判別式の値は正の数


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高校数学「２次関数」「判別式」�C

高校数学「２次関数」「判別式」�C

２次方程式ｘ^2＋２ｋｘ＋ｋ＋６＝０が異なる２つの正の解をもつような定数ｋの値の範囲を求めよ。

�@の記事で、判別式を用いて、異なる２つの解を持つときのｋの値の範囲は「ｋ＜−２，ｋ＞３」であることを求めました。
そして�Aの記事で、軸＞０であるときのｋの値の範囲が「ｋ＜０」であることを求めました。
さらに条件を限定するために、�Bの記事で、原点より上を通る。という条件から、ｋ＞−６を求めました。

これら３つの範囲を全て満たしているとき、「異なる２つの正の解をもつ」ということができます。


ｋ＜−２，ｋ＞３
ｋ＜０
ｋ＞−６

これらの共通範囲は・・・

−６＜ｋ＜−２

ですね！


まとめると、２次方程式が異なる２つの正の解をもつためには、

�@判別式Ｄ＞０
�A軸ｘ＞０
�B境界線ｆ(０)＞０

以上３つの条件を全て満たせばよい。ということができます。


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