高校数学「三角比」「三角比の値」

高校数学「三角比」「三角比の値」

この記事では、三角比の基本と公式について簡単に解説します。

まず、サイン、コサイン、タンジェントについて。

これらの値は、直角三角形の辺の比を表しています。
θを左下に、直角を右下にしたときの縦をｙ，横をｘ、斜辺をｒとすると、

★　ｓｉｎθ＝ｙ／ｒ，ｃｏｓθ＝ｘ／ｒ，ｔａｎθ＝ｙ／ｘ

となります。

例えばｓｉｎ３０°は、左下が３０°、右下が直角の直角三角形の斜辺に対する
縦の長さを表します。
この場合、辺の比は１：２：√３で、斜辺は２，縦は１だから、

ｓｉｎ３０°＝１／２

となります。


関連項目
相互関係
正弦定理・余弦定理


この書籍も参考にしてみてください。



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高校数学「因数分解」「３次式」

高校数学「因数分解」「３次式」

■　問題

次の式を因数分解せよ。

ｘ^3−８


■　解答解説

与式は、ａ^3−ｂ^3の形になっているので、

ａ^3−ｂ^3＝(ａ−ｂ)(ａ^2＋ａｂ＋ｂ^2)

を使います。

ａ＝ｘ，ｂ＝２と考えて、

　ｘ^3−８
＝ｘ^3−２^3
＝(ｘ−２)(ｘ^2＋２ｘ＋４)


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高校数学「指数対数」「分数の指数」

高校数学「指数対数」「分数の指数」

この記事では、指数のところに分数が入っている場合について解説します。

例えば、２^(1/2)を指数を使わず表すとどうなるでしょうか？

２^(1/2)＝２×１／２＝１でしょうか？
違います。１／２乗であって、×１／２ではありません。

２^(1/2)＝１／２でしょうか？
違います。１／２乗は逆数ではありません。

２^(1/2)を２乗するとどうなるでしょうか？
１／２乗を２乗するのだから・・・２の１乗になってしまいます。

つまり、２^(1/2)は、「２乗したら２になる数」です。
これは、√２ですね。


要するに、「２の１／２乗は√２」であり「２の２乗根」である。というわけです。


１／３乗なら３乗根、１／４乗なら４乗根というように、分数の指数は、
累乗根を表します。


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高校数学「数列」「Ｓn＝ｎ^2＋５ｎの一般項」

高校数学「数列」「Ｓn＝ｎ^2＋５ｎの一般項」

■　問題

数列ａnの和Ｓnが、Ｓn＝ｎ^2＋５ｎで表されるとき、ａnを求めよ。


■　解答解説

Ｓn＝ａ1＋ａ2＋ａ3＋……＋ａn-1＋ａn

なので、Ｓn−Ｓn-1＝ａnとなります。

Ｓnは初項から第ｎ項目までの和、Ｓn-1は初項から第ｎ−１項目までの和なので、その差がａnというわけですね。

ａn＝Ｓn−Ｓn-1
　＝ｎ^2＋５ｎ−{(ｎ−１)^2＋５(ｎ−１)}
　＝ｎ^2＋５ｎ−(ｎ^2−２ｎ＋１＋５ｎ−５)
　＝ｎ^2＋５ｎ−ｎ^2＋２ｎ−１−５ｎ＋５
　＝２ｎ＋４

基本的にこれで終了で大丈夫ですが、ａ1＝Ｓ1であることを確認しておくべきです。

ａ1＝２＋４＝６，Ｓ1＝１＋５＝６

よって、ａn＝２ｎ＋４

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高校数学「三角方程式」ｓｉｎ(ｘ＋π／３)＝０

高校数学「三角方程式」ｓｉｎ(ｘ＋π／３)＝０

■　問題

ｓｉｎ(ｘ＋π／３)＝０を解きなさい。ただし、０≦ｘ＜２πとする。


三角方程式の中では、比較的簡単な問題ですね。
ただし、角度の部分がｘ＋π／３となっているので、ちょっと注意が必要です。


解答解説はこのページ下


↓三角方程式、不等式、加法定理、合成など理解しやすいと好評です！↓



■　解答解説

今回の問題のように、角度の部分が式になっているときは、その部分を文字で置き換えるとわかりやすくなります。

Ａ＝ｘ＋π／３とすると、与式は

ｓｉｎＡ＝０

となります。

サインがゼロになるのは、どんなときかと考えると・・・

Ａ＝０，π

ですね。

Ａ＝ｘ＋π／３とおいたので、つまり、ｘ＋π／３＝０，πです。

ｘ＋π／３＝０のとき、

ｘ＋π／３＝０
　　　　ｘ＝−π／３

０≦ｘ＜２πなので、−π／３と同じ位置の動径を考えると、ｘ＝−π／３＋２π＝(５／３)π


ｘ＋π／３＝πのとき、

ｘ＋π／３＝π
　　　　ｘ＝π−π／３
　　　　ｘ＝(２／３)π

これはもともと０≦ｘ＜２πの範囲に入っているのでこのままでＯＫです。

よって、ｘ＝(２／３)π，(５／３)π


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高校数学「指数対数」「指数と対数の関係」

高校数学「指数対数」「指数と対数の関係」

この記事では、指数と対数の関係について解説します。

対数は「ａをｃにするには何乗すればいいか」を表していて、指数と対数は次のような関係があります。

★　ａ^b＝ｃならばｌｏｇ[a]ｃ＝ｂ

ａを底、ｃを真数、ｂを指数(または対数の値)と呼びます。

「ａをｂ乗したらｃになる」ならば「ａをｃにするならｂ乗する」と言っても
変わらないですね。指数と対数はこのような言い換えの関係になっていると
言えます。

例えば、２^3＝８を対数で表せば、ｌｏｇ[2]８＝３というわけです。

これを少し応用すると、次のようなことも言えます。

★　ｌｏｇ[a]ａ＝１　　　　　　　←ａをａにするには１乗
★　ｌｏｇ[a]１＝０　　　　　　　←ａを１にするには０乗

これらは、公式のように扱う事も多いです。
できるだけ覚えておきましょう！


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高校数学「２次方程式の解と係数の関係」�A

高校数学「２次方程式の解と係数の関係」�A

■　問題

ｘ^2−ｘ＋３＝０の解をα，βとするとき、α＋β，αβの値を求めよ。


前回の解説では、ノーマルに「解と係数の関係」を用いましたが、ここでは普通に２次方程式を解いてみたいと思います。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■　解答解説

解と係数の関係を使わなくても、α＋β，αβなどの値を求めることができます。

普通に解の公式で解いてみましょう！

ｘ^2−ｘ＋３＝０なので、ａ＝１，ｂ＝−１，ｃ＝３を代入すると、

ｘ＝[−(−１)±√{(−１)^2−４×１×３}]／２×１
　＝{１±√(１−１２)}／２
　＝(１±√１１ｉ)／２

虚数になりましたが、解が二つ出ました。
これらがα，βです。
あとは、普通に足したり掛けたりすれば、α＋β，αβが出ます。
すごく大変に見えると思いますが、やってみると意外とそれほどでもありません。

α＋β＝(１＋√１１ｉ)／２＋(１−√１１ｉ)／２
　　＝(２／２)
　　＝１

αβ＝{(１＋√１１ｉ)／２}{(１−√１１ｉ)／２}
　＝(１＋√１１ｉ)(１−√１１ｉ)／４
　＝{１^2−(√１１ｉ)^2}／４
　＝{１−(−１１)}／４
　＝(１＋１１)／４
　＝１２／４
　＝３

αβが少し大変だったかも知れませんが、ただ単に、２次方程式の解を出して、計算しただけで求めることができました。
「解と係数の関係の公式がわからないと不可能」というわけではないことがわかってもらえましたか？
模範解答の通りでなくても、「がんばれば何とかなる」場合もある。ことは、頭に入れておくと良いと思います。


関連問題
解と係数の関係の公式を使った場合


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高校数学「２次方程式の解と係数の関係」�@

高校数学「２次方程式の解と係数の関係」

■　問題

ｘ^2−ｘ＋３＝０の解をα，βとするとき、α＋β，αβの値を求めよ。


■　選択肢

このときはどうすればいいでしょうか？

�@普通に因数分解をして解を求める
�A普通に解の公式に代入して解を求める
�B解と係数の関係の公式を使う
�C平方完成をする


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■　選択肢の解答

�B解と係数の関係の公式を使う

普通に解を求める、つまり、�@や�Aでもいいのですが、�B解と係数の関係の公式を使う方が簡単です。


■　解答解説

２次方程式ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の解と係数の関係は、２つの解をα，βとすると、次の式で表されます。

α＋β＝−ｂ／ａ，αβ＝ｃ／ａ

今回の問題では２次方程式はｘ^2−ｘ＋３＝０なので、ａ＝１，ｂ＝−１，ｃ＝３です。
これらを代入すると、

α＋β＝−(−１)／１＝１
αβ＝３／１＝３


次の解説→解を出しちゃって求める場合


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高校数学「三角関数の合成」

高校数学「三角関数の合成」

三角関数の合成は、サインとコサインがともに１次式の場合に一つにまとめることができる方法です。

公式としては次のようになります。

★　ａ・ｓｉｎｘ＋ｂ・ｃｏｓｘ＝{√(ａ^2＋ｂ^2)}ｓｉｎ(ｘ＋α)

これは、サインの加法定理の公式を左右逆にして、分数にならないように係数を調整したものだと理解することができます。


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サインの加法定理は

★　ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ

で、α＝ｘ，β＝αと置き換えれば、

ｓｉｎ(ｘ＋α)＝ｓｉｎｘｃｏｓα＋ｃｏｓｘｓｉｎα

となります。
ここで、動径がαのときの直角三角形の横をａ，縦をｂとすれば、三平方の定理により、斜辺は√(ａ^2＋ｂ^2)なので、

ｃｏｓα＝ａ／√(ａ^2＋ｂ^2)，ｓｉｎα＝ｂ／(√ａ^2＋ｂ^2)

となります。

これらの値をｓｉｎ(ｘ＋α)＝ｓｉｎｘｃｏｓα＋ｃｏｓｘｓｉｎαに代入すると、

ｓｉｎ(ｘ＋α)＝ｓｉｎｘ・{ａ／√(ａ^2＋ｂ^2)}＋ｃｏｓ・{ｂ／(√ａ^2＋ｂ^2)}

この式の両辺を√(ａ^2＋ｂ^2)倍すれば、

{√(ａ^2＋ｂ^2)}ｓｉｎ(ｘ＋α)＝ａ・ｓｉｎｘ＋ｂ・ｃｏｓｘ

両辺を入れ替えると、

ａ・ｓｉｎｘ＋ｂ・ｃｏｓｘ＝{√(ａ^2＋ｂ^2)}ｓｉｎ(ｘ＋α)

これで三角関数の合成の公式が導けました！

慣れれば導かなくても確実にわかると思いますが、万が一のため、計算練習のため
数学的な考え方の練習のため、導けるようにしておくと良いですよ！


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高校数学「三角関数」「コサインの加法定理」

高校数学「三角関数」「コサインの加法定理」

この記事では、三角関数のコサインの加法定理を用いてｃｏｓ１０５°出す場合について解説します。


「３０°６０°９０°」「４５°４５°９０°」に当てはまらない場合に、加法定理を使うと解決できる場合があります。
加法定理を使えば、ｓｉｎ７５°やｃｏｓ１０５°なども求めることができます。


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前回の記事ではサインの加法定理について解説しました。

ｃｏｓ１０５°を出したい場合も、ｃｏｓ１０５°＝ｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ６０°などとやってはいけません！
コサインの場合も同様に、加法定理の公式を使います。

ｃｏｓ(α＋β)＝ｃｏｓαｃｏｓβ−ｓｉｎαｓｉｎβ

です。
ｃｏｓ１０５°＝ｃｏｓ(４５°＋６０°)なので、α＝４５°，β＝６０°として、

　ｃｏｓ１０５°
＝ｃｏｓ４５°ｃｏｓ６０°−ｓｉｎ４５°ｓｉｎ６０°
＝(１／√２)(１／２)−(１／√２)(√３／２)
＝１／２√２−√３／２√２
＝√２／４−√６／４
＝(√２−√６)／４


ちなみに今回は、有理化を先にやってみました。
もちろん、有理化はこのタイミングでも、最後でも、自分の好きなタイミングで大丈夫です！


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高校数学「三角関数」「サインの加法定理」

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この記事では、三角関数のサインの加法定理について解説します。


「３０°６０°９０°」「４５°４５°９０°」に当てはまらない場合に、加法定理を使うと解決できる場合があります。
加法定理を使えば、ｓｉｎ７５°やｃｏｓ１０５°なども求めることができます。


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三角関数に慣れていない人はｓｉｎ７５°を出そうとすると、

ｓｉｎ７５°＝ｓｉｎ３０°＋ｓｉｎ４５°

などとやってしまいがちです。もちろんこれは間違いです。
ｓｉｎ７５°は「７５°のときのｙ／ｒ」、ｓｉｎ３０°は「３０°のときのｙ／ｒ」、ｓｉｎ４５°は「４５°のときのｙ／ｒ」を意味しているので、ｓｉｎ７５°とｓｉｎ３０°＋ｓｉｎ４５°は等しくありません。

これが等しくならないから、どうしたらいいかというと、「加法定理」を使う必要があるのです。

ｓｉｎ(α＋β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ＋ｃｏｓαｓｉｎβ

これがサインの「加法定理」の公式です。
ｓｉｎ７５°ならば、α＝３０°，β＝４５°として計算します。

ｓｉｎ７５°＝ｓｉｎ３０°ｃｏｓ４５°＋ｃｏｓ３０°ｓｉｎ４５°
　　　　　＝(１／２)(１／√２)＋(√３／２)(１／√２)
　　　　　＝１／２√２＋√３／２√２
　　　　　＝(１＋√３)／２√２
　　　　　＝(√２＋√６)／４

ちなみに、ここでは有理化は最後にしましたが、最初に１／√２＝√２／２としてから計算してもＯＫです！


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高校数学「三角関数」「弧度法」

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この記事では、数学２以上の三角関数を扱う際に必ず必要になる、「ラジアン」について解説します。


まず、「角度をπで表したものがラジアン」というイメージですね。
数学２以上の三角関数では、基本的に角度はラジアンで表します。物理でもラジアンを使うことが多いです。


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ところでみなさんは、円周の求め方は知っていますか？
もちろん、知っていますね？そう。ｌ＝２πｒですね。
ならば、半径１の円の円周は２πです。

円周は円を１周したとき、つまり３６０°回転したときの移動距離です。
だから、半径が１の円では２πが３６０°に相当するということができます。
つまり、３６０°＝２πラジアンというわけです。

１８０°＝π(ラジアン)
３０°＝π／６(ラジアン)
４５°＝π／４(ラジアン)
６０°＝π／３(ラジアン)

これらを覚えておくと、２４０°とか、３１５°などの場合に、簡単に角度→ラジアンをやることができます。
覚えてしまうくらい練習するようにしましょう！


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高校数学「２次関数」「ｙ軸との交点」

高校数学「２次関数」「ｙ軸との交点」

■　問題

２次関数ｙ＝ｘ^2−２(３＋√３)ｘ＋(１＋√３)(５＋√３)とｙ軸との交点を求めよ。


ｙ軸は原点を通る縦の線なので、ｘ＝０です。


解答解説はこのページ下です。


２次関数の問題の解き方・考え方の習得にご利用ください。



■　解答解説

ｙ軸上はｘ＝０なので、関数とｙ軸との交点は、関数の式にｘ＝０を代入することで求められます。
１次関数でも２次関数でも、３次関数でも三角関数でも指数対数関数でも、考え方は同じです。

今回の問題はｙ＝ｘ^2−２(３＋√３)ｘ＋(１＋√３)(５＋√３)なので、これにｘ＝０を代入します。

ｙ＝(１＋√３)(５＋√３)

ｘ＝０を入れると、ｘを含む項がゼロになって定数項だけが残る。というわけですね！

さらにこれを展開して計算すれば、

ｙ＝５＋√３＋５√３＋３
　＝８＋６√３


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高校数学「極限」「三角関数」

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■　問題

ｌｉｍ[x→0]{(ｓｉｎ３ｘ)／ｘ}の極限を調べよ。


サインの極限を求めるときは、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を使えるようにします。


解答解説はこのページ下です。


数学３はまずは、教科書＋基本問題集で練習するとよいです。
たとえばこんなのがおすすめです。



■　解答解説

ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１が使えるようにするためには、変数ｘの部分を分子と分母で同じにしなければいけません。
つまり、

ｘに２ｘを代入すれば、

ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ２ｘ／２ｘ)＝１

ということができるし、３ｘにすれば

ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ３ｘ／３ｘ)＝１

ですね。

こうなれば公式が使えるので、こうすればいい。というわけです。

もちろん勝手に数字を書き換えるのではなく、計算法則に則ってこの形にします。

今回の問題はｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ３ｘ／ｘ)だから、分母を３ｘにすることを考えます。

分母を３ｘにして、式の値が変わらないようにするには、「３／３を掛ける」と良いですね。

　ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ３ｘ／ｘ)
＝ｌｉｍ[x→0]{(３ｓｉｎ３ｘ／３ｘ)
＝ｌｉｍ[x→0]３(ｓｉｎ３ｘ／３ｘ)
＝３

ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ３ｘ／３ｘ)＝１だから、最後、極限の部分が丸ごと１に変わりました。
よって、この式の極限値は３です。


関連項目
サインの極限
コサインの極限


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高校数学「積分」「部分積分法」

高校数学「積分」「部分積分法」

この記事では、部分積分法の式の導き方を解説します。

部分積分法の式は、積の微分法から導くことができます。

まず積の微分法は

{ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)}'＝ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)＋ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)

ですね。

ここからｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)を移項すると、

{ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)}'−ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)

さらに両辺を入れ替えれば

ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)＝{ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)}'−ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)

こんな式が得られます。
ここまでは、積の微分法の式を移項しただけです。

そして、この式の両辺を積分してみると、部分積分法の式になってしまいます。

∫ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)ｄｘ＝∫{ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)}'ｄｘ−∫ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)ｄｘ

微分したものを積分するともとに戻るので、

∫ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)ｄｘ＝ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)−∫ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)ｄｘ

これで、教科書等に載っている部分積分法の公式になりました。


関連項目→積の微分法


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高校数学「複素数」「２次方程式」「極形式」�A

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■　問題

２次方程式ｘ^2＋２ｘ＋２＝０の解のうち、虚部が正であるものをｘ1とするとき、(ｘ1)^2を求めよ。


■　選択肢

２次方程式を解いて極形式に直すと、ｘ1＝√２{ｃｏｓ(３／４)π＋ｉｓｉｎ(３／４π)}となります。この式をどうすれば(ｘ1)^2になるでしょうか？

�@とにかく２乗の計算をすればいい
�Aド・モルガンの法則を使う
�Bド・モアブルの定理を使う
�Cドルアーガの塔を思い出す


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■　選択肢の解答

�Bド・モアブルの定理を使う

(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)^n＝ｃｏｓ(ｎθ)＋ｉｓｉｎ(ｎθ)という関係式が成り立ちます。


■　解答解説

ド・モアブルの定理より、
　{ｃｏｓ(３／４)π＋ｉｓｉｎ(３／４)π}^2
＝ｃｏｓ(６／４)π＋ｉｓｉｎ(６／４)π
＝ｃｏｓ(３／２)π＋ｉｓｉｎ(３／２)π

だから、

(ｘ1)^2＝(√２)^2・{ｃｏｓ(３／２)π＋ｉｓｉｎ(３／２)π}
　　　＝２{ｃｏｓ(３／２)π＋ｉｓｉｎ(３／２)π}
　　　＝２×{０＋ｉ(−１)}
　　　＝−２ｉ

ちなみに、「�@とにかく２乗の計算」でもやることができます。


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高校数学「複素数」「２次方程式」「極形式」

高校数学「複素数」「２次方程式」「極形式」

■　問題

２次方程式ｘ^2＋２ｘ＋２＝０の解のうち、虚部が正であるものを極形式で表せ。


■　選択肢

まず普通に解の公式で２次方程式を解くと、ｘ＝−１＋ｉとなります。
極形式はｘ＝ｒ(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)の形です。この形にするにはどうすればいいでしょうか？(複数選択)

�@複素数平面において、横が−１，縦が１なので、ｃｏｓθ＝−１，ｓｉｎθ＝１
�A複素数平面において、横が−１，縦が１なので、これらを合計して、ｒ＝０
�B複素数平面において、横が−１，縦が１なので、ｒは斜辺でｒ＝√２
�C複素数平面において、横が−１，縦が１なので、θ＝(３／４)π


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■　選択肢の解答

�B複素数平面において、横が−１，縦が１なので、ｒは斜辺でｒ＝√２
�C複素数平面において、横が−１，縦が１なので、θ＝(３／４)π

複素数平面において実部が横、虚部が縦ですね。


■　解答解説

−１＋ｉという複素数を複素数平面に表すと、座標としては(−１，１)となります。
この座標の原点からの距離がｒとなり、ｘ軸の正の部分を０度として左回りに回転した角がθです。
ということは、

ｒ＝√(１^2＋１^2)＝√２
θ＝１３５°＝(３／４)π

よって、ｘ＝√２{ｃｏｓ(３／４)π＋ｉｓｉｎ(３／４)π}


次の問題→ｘ^2を表す
前の問題→２次方程式を解く


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高校数学「複素数」「２次方程式」

高校数学「複素数」「２次方程式」

■　問題

２次方程式ｘ^2＋２ｘ＋２＝０を解け。


■　選択肢

このときはどうすればいいでしょうか？

�@因数分解してみる
�A解の公式に代入してみる
�Bｘ^2＝●●の形にしてみる


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■　選択肢の解答

�A解の公式に代入してみる

２次方程式は「まずは因数分解する」「できなければ解の公式」と考えればＯＫです！


■　解答解説

ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０において、ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝２なので、「かけて２，足して２」となる整数の組み合わせはないから、因数分解できない。と考えて、解の公式を使います。

ｘ^2＋２ｘ＋２＝０だから、

ｘ＝{−２±√(２^2−４×２×２)}／２×１
　＝{−２±√(４−８)}／２
　＝(−２±√４ｉ)／２
　＝(−２±２ｉ)／２
　＝−１±ｉ


次の問題→極形式


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高校数学「等比数列」�D「第５項から第１０項までの和」

高校数学「等比数列」�D「第５項から第１０項までの和」

■　問題

初項が５，公比が２である等比数列の、第５項から第１０項までの和を求めよ。


■　選択肢

このときはどうすればいいでしょうか？

�@第１０項までだからＳ10を求めればいい
�A第５項から第１０項だから、Ｓ10−Ｓ5をする
�B第５項から第１０項だから、Ｓ10−Ｓ4をする
�C第５項から第１０項だから、ａ5＋ａ6＋ａ7＋ａ8＋ａ9＋ａ10を計算する


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■　選択肢の解答

�B第５項から第１０項だから、Ｓ10−Ｓ4をする

Ｓ10は初項から第１０項目までの和だから、Ｓ10から、第４項目までの和を引けば、第５項から第１０項の和になる。というわけです。

ちなみに、�Cは出ることは出ますし、もちろん正しい値を求めることはできますが、面倒だし時間がかかるので、ここでは「正解の選択肢」にはしませんでした。


■　解答解説

等比数列の和Ｓn＝ａ(ｒ^n−１)／(ｒ−１)を用います。
ａ＝５，ｒ＝２ですね。まずはＳ10とＳ5を求めてみましょう！

Ｓ10＝５(２^10−１)／(２−１)
　　＝５(１０２４−１)
　　＝５×１０２３

Ｓ4＝５(２^4−１)／(２−１)
　＝５(１６−１)
　＝５×１５

これらを差し引けば、求める「第５項から第１０項の和」になります。

Ｓ10−Ｓ5＝５×１０２３−５×１５
　　　　＝５(１０２３−１５)
　　　　＝５×１００８
　　　　＝５０４０


前の問題→第ｎ項が与えられたとき


関連項目
等差数列・等比数列


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高校数学「等比数列」�C「第ｎ項が与えられたとき」

高校数学「等比数列」�C「第ｎ項が与えられたとき」

■　問題

第３項が２７，第６項が−７２９である等比数列の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。


■　選択肢

このときはどうすればいいでしょうか？(複数選択)

�@よくわからないけど、ａ＝２７，ｄ＝−７２９かな？
�A等比数列の一般項ａn＝ａｒ^(n-1)において、ａ3＝２７の式を作る
�B等比数列の一般項ａn＝ａｒ^(n-1)において、ａ6＝−７２９の式を作る
�C等比数列の一般項ａn＝ａｒ^(n-1)において、ａ＝３，ｄ＝６を代入する



解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


■　選択肢の解答

�A等比数列の一般項ａn＝ａｒ^(n-1)において、ａ3＝２７の式を作る
�B等比数列の一般項ａn＝ａｒ^(n-1)において、ａ6＝−７２９の式を作る

第３項目と第６項目がわかっているので、その情報から２つの式を作り、連立方程式という流れです。


■　解答解説

等比数列の一般項を求めるためには、初項と公比が必要です。
そのためには、一般項の公式ａn＝ａｒ^(n-1)に代入して計算する。というイメージです。

ａ3＝２７より、
ａ3＝ａ・ｒ^(3-1)
　＝ａ・ｒ^2＝２７

ａ6＝−７２９より、
ａ6＝ａ・ｒ^(6-1)
　＝ａ・ｒ^5＝−７２９

これらを連立して、

ａ・ｒ^5＝ａ・ｒ^2・ｒ^3
　　　　＝２７・ｒ^3

これがａ6＝−７２９なので、

２７・ｒ^3＝−７２９
　　　ｒ^3＝−７２９／２７
　　　ｒ^3＝−２７
　　　　ｒ＝−３

ａ・ｒ^2＝２７にｒ＝−３を代入すると、
９ａ＝２７
　ａ＝３

よって、求める一般項はａn＝３・(−３)^(n-1)


次の問題→第５項から第１０項の和
前の問題→等比数列の和Ｓ5


関連項目
等差数列・等比数列


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