高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」�A

高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」�A

点Ａ(２，３)を通り、ベクトル→ｄ＝(４，１)に平行な直線の媒介変数表示を求め、直線の式を求めよ。ただし、媒介変数をｔとする。


媒介変数表示を求めるところまではこちらで解説しています。
直線の式はｔを消去した形です。


解説はこのページ下


センター過去問もチェックしておきましょう！



前回の解説で、求めるベクトルの媒介変数表示は、ｘ＝２＋４ｔ，ｙ＝３＋ｔであることがわかりました。

ここからｔを消去すれば直線の式になります。
消去するには、どちらかの式をｔについて解いて、もう片方に代入すればＯＫですね。

　ｙ＝３＋ｔ
−ｔ＝３−ｙ
　ｔ＝ｙ−３

これをｘ＝２＋４ｔに代入して、

ｘ＝２＋４(ｙ−３)
ｘ＝２＋４ｙ−１２
ｘ＝４ｙ−１０

ここで終わりでもダメではありませんが、直線の式の一般形の形に直しておいた方がよいです。つまり、移項して

ｘ−４ｙ＋１０＝０


関連問題
→ａ＝(１，２)，→ｂ＝(２，−３)


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高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」�@

高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」�@

点Ａ(２，３)を通り、ベクトル→ｄ＝(４，１)に平行な直線の媒介変数表示を求めよ。ただし、媒介変数をｔとする。


Ａからスタートして、→ｄの向きに進む。というイメージで考えるとわかりやすいです。


解説はこのページ下


センター過去問もチェックしておきましょう！




Ａを出発点にして、→ｄに平行に移動するので、

Ａ＋ｔ・→ｄ

というイメージで求めることができます。

Ａ(２，３)，→ｄ＝(４，１)なので、

(ｘ，ｙ)＝(２，３)＋(４ｔ，ｔ)＝(２＋４ｔ，３＋ｔ)

よって、ｘ＝２＋４ｔ，ｙ＝３＋ｔ


つづく→ｔを消去した式


関連問題
→ａ＝(１，２)，→ｂ＝(２，−３)


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高校数学「微分」「接線の方程式」

高校数学「微分」「接線の方程式」

ｙ＝ｘ^3の接線のうち、(１，０)を通るものの方程式を求めよ。


接線といえば微分です。


解説はこのページ下


今回の問題は、この書籍のP.29にも掲載されています。



微分すると、接線の傾きが出てきます。
だから、接線の方程式を求めたければ、与式を微分します。

ｙ＝ｘ^3だから、ｙ'＝３ｘ^2

これがｙ＝ｘ^3の接線の傾きを表す式だ。というわけです。

(１，０)はこの関数上の点ではないので、接点のｘ座標をｔとおくと、接線の傾きはｙ'＝３ｔ^2、接点の座標は(ｔ，ｔ^3)となります。

あとはこれらの情報を直線の式ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)に代入して、

ｙ−ｔ^3＝(３ｔ^2)(ｘ−ｔ)

この点が(１，０)を通るので、ｘ，ｙに代入して、

０−ｔ^3＝(３ｔ^2)(１−ｔ)
−ｔ^3＝３ｔ^2−３ｔ^3
２ｔ^3−３ｔ^2＝０
ｔ^2(２ｔ−３)＝０
よって、ｔ＝０，３／２

ｔ＝０のとき、
ｙ−０＝０×(ｘ−０)
　　ｙ＝０

ｔ＝３／２のとき
ｙ−(３／２)^3＝{３(３／２)^2}(ｘ−３／２)
ｙ−２７／８＝(２７／４)(ｘ−３／２)
　　　　　ｙ＝(２７／４)ｘ−８１／８＋２７／８
　　　　　ｙ＝(２７／４)ｘ−５４／８
　　　　　ｙ＝(２７／４)ｘ−２７／４


関連問題
ｙ＝ｘ^3＋ｘ^2−２上の点(−１，−２)における接線の方程式


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高校数学「確率」「〜以上」

高校数学「確率」「〜以上」

男子３人と女子３人の合計６人から３人の委員を選ぶとき、女子が２人以上選ばれる確率を求めよ。


確率は「そのときの場合の数／全体の場合の数」です。
２人以上とは、もちろん、２人または３人ですね。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



まずは、全体の場合の数を求めましょう！
「６人から３人を選ぶ」なので、6Ｃ3＝(６×５×４)／(３×２×１)＝５・４ですね。

「女子が２人以上」はつまり「女子が２人または３人」なので、それぞれの場合を求めて合計します。

(i)女子が２人のとき
男子１人、女子２人なので、
3Ｃ1×3Ｃ2＝３・(３×２)／(２×１)＝３・３

(ii)女子が３人のとき
3Ｃ3＝１


よって求める確率は

　(３・３＋１)／(５・４)
＝１０／２０
＝１／２


関連問題
球を取り出す確率
６人が一列に並ぶ確率


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高校数学「確率」「交互に並ぶとき」

高校数学「確率」「交互に並ぶとき」

男子３人と女子３人の合計６人が一列に並ぶとき、男子と女子が交互に並ぶ確率を求めよ。


確率は「そのときの場合の数／全体の場合の数」です。
まずはそれぞれの場合の数を求めます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



まずは、全体の場合の数を求めましょう！
「６人が並ぶ場合の数」なので、６！＝６×５×４×３×２×１ですね。

「男女が交互に並ぶ場合の数」はいくつか考え方がありますが、例えば、

「男子３人を並べる」→「間に女子３人を並べる」というイメージで求めることができます。

男子３人の並べ方は、３！＝３×２×１

間に並べる女子３人の並び方は、３！＝３×２×１

男子が先の場合と女子が先の場合があるので、２倍して、

３×２×１×３×２×１×２です。これが「そのときの場合の数」なので、求める確率は、

　(３×２×１×３×２×１×２)／６×５×４×３×２×１
＝１／５×２
＝１／１０


関連問題
一列に並ぶ場合の数
交互に並ぶ円順列


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高校数学「確率」「球を同時に取り出すとき」�A

高校数学「確率」「球を同時に取り出すとき」�A

袋の中に７個の白球と３個の黒球が入っている。この袋から同時に３個の球を取り出すとき、取り出した球の２個が白球，１個が黒球である確率を求めよ。


確率は「そのときの場合の数／全体の場合の数」です。
「同時に取り出す」などの場合はnＣrを使って計算するとやりやすいです。
確率の場合でも、同時に起こること、連続して起こることはかけ算をします。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



前回の記事と同様に、まずは全体の場合の数を求めてみましょう。

「袋の中に７個の白球と３個の黒球が入っている」ので、合計１０個の球が入っていることになります。
ここから３個取り出すので、

10Ｃ3＝(１０・９・８)／(３・２・１)＝１０・３・４

続いて、「２個が白球，１個が黒球」の場合の数を求めます。これらは同時に起こることなので、それぞれの場合の数をかけ算します。

7Ｃ2×3Ｃ1＝{(７・６)／(２・１)}×(３／１)
　　　　　＝７・３・３

「確率＝そのときの場合の数／全体の場合の数」なので、

　(７・３・３)／(１０・３・４)
＝７・３／(１０・４)
＝２１／４０


関連問題
赤球５個と白球４個のとき


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高校数学「確率」「球を同時に取り出すとき」�@

高校数学「確率」「球を同時に取り出すとき」

袋の中に７個の白球と３個の黒球が入っている。この袋から同時に３個の球を取り出すとき、取り出した球が３個とも白球である確率を求めよ。


確率は「そのときの場合の数／全体の場合の数」です。
「同時に取り出す」などの場合はnＣrを使って計算するとやりやすいです。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



まずは全体の場合の数を求めてみましょう。

「袋の中に７個の白球と３個の黒球が入っている」ので、合計１０個の球が入っていることになります。
ここから３個取り出すので、

10Ｃ3＝(１０・９・８)／(３・２・１)＝１０・３・４

確率の場合は、後から分数にして約分するので、あえてかけ算はせずに、この状態でストップしておく方が計算が簡単になることが多いです。

「３個とも白球」の確率を聞いているので、「白球の場合の数」を求めます。
７個から３個取り出すので、

7Ｃ3＝(７・６・５)／(３・２・１)＝７・５

「確率＝そのときの場合の数／全体の場合の数」なので、

　(７・５)／(１０・３・４)
＝７／(２・３・４)
＝７／２４


次の問題→確率同時に取り出すとき�A


関連問題
赤球５個と白球４個のとき


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高校数学「２次方程式」「解の範囲が限定される場合」

高校数学「２次方程式」「解の範囲が限定される場合」

■問題
２次方程式３ｘ^2−１２ｘ＋１２−ｋ^2＝０が正の解と負の解を一つずつ持つような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
「正の解と負の解を一つずつもつ」ということは、まずは「異なる２つの実数解」を持つ必要があります。
さらに、解の範囲を限定するためにその他の条件を満たす必要があります。その条件とは・・・？


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは解を２つ持たないと話にならないので、Ｄ＞０を満たすｋ値を求めます。

３ｘ^2−１２ｘ＋１２−ｋ^2＝０なので、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃにａ＝３，ｂ＝−１２，ｃ＝１２−ｋ^2を代入して、

Ｄ＝(−１２)^2−４×３×(１２−ｋ^2)
　＝１４４−１４４＋１２ｋ^2
　＝１２ｋ^2＞０
　　　　ｋ^2＞０
よって、ｋ＝０以外の全ての実数で解を２つ持つことがわかります。

ｙ＝３ｘ^2−１２ｘ＋１２−ｋの２次関数のグラフは、下に凸なので、正の解と負の解を一つずつもつときは、グラフが原点の下側を通ります。
原点は(０，０)なので、原点の下側はｘ＝０のときｙ＜０ですね。
だから与式にｘ＝０を代入して、

１２−ｋ^2＜０
ｋ^2−１２＞０
(ｋ＋２√３)(ｋ−２√３)＞０

よって、ｋ＜−２√３，ｋ＞２√３

これはＤ＞０の範囲に含まれるので、そのままこの問題の解となります。


ちなみに、下に凸のグラフが原点よりも下を通れば、自動的に異なる２つの実数解を持つので、このような条件の場合は、Ｄ＞０をやらなくても大丈夫です。


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高校数学「２次不等式」「連立」�B

高校数学「２次不等式」「連立」�B

■問題
不等式−２０≦２ｘ^2−１３ｘ＜１５を解け。


■考え方
一つながりの不等式になっていますが、前半と後半に分ければ、ただの連立２次不等式です。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

連立２次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。
今回の問題は一続きの不等式になっているので、前半と後半の２つの式に分けてから解きます。

まず前半は、−２０≦２ｘ^2−１３ｘですね。これを解いていきます。

　　　２ｘ^2−１３ｘ≧−２０
２ｘ^2−１３ｘ＋２０≧０

　２　　　−５　＝　−５
　　　×　
　１　　　−４　＝　−８
―――――――――――――
　２　　　２０　　−１３

(２ｘ−５)(ｘ−４)≧０
よって、ｘ≦５／２，ｘ≧４・・・�@


次に後半の式を解きます。

　　　２ｘ^2−１３ｘ＜１５
２ｘ^2−１３ｘ−１５＜０

　２　　−１５　＝　−１５
　　　×　
　１　　　　１　＝　　　２
―――――――――――――
　２　　−１５　　　−１３

(２ｘ−１５)(ｘ＋１)＜０
よって、−１＜ｘ＜１５／２・・・�A

�@と�Aの共通範囲は、−１＜ｘ≦５／２，４≦ｘ＜１５／２


次の問題→正の解と負の解を一つずつ持つ２次方程式


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高校数学「２次不等式」「連立」�A

高校数学「２次不等式」「連立」�A

■問題
連立２次不等式ｘ^2＋ｘ−２＜０，３ｘ^2−１０ｘ＋３≦０を解け。


■考え方
連立だからといって特別なことはありません。まずはそれぞれ解きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

連立２次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。
まずはそれぞれ解いてみましょう！

一つめの式を計算すると、

　ｘ^2＋ｘ−２＜０
(ｘ＋２)(ｘ−１)＜０
よって、−２＜ｘ＜１・・・�@


次に２つめの式を計算すると、

３ｘ^2−１０ｘ＋３≦０

　３　　　−１　＝　−１
　　　×
　１　　　−３　＝　−９
――――――――――――
　３　　　３　　　−１０

(３ｘ−１)(ｘ−３)≦０
よって、１／３≦ｘ≦３・・・�A

あとは�@と�Aの共通範囲を求めると・・・

１／３≦ｘ＜１

ですね！

ここでは書きませんでしたが、共通範囲を探すときは、数直線を使ってみるとわかりやすいですよ！


次の問題→連立２次不等式�B


関連項目
2016年センター数学１Ａ第１問[3]


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高校数学「２次不等式」「連立」�@

高校数学「２次不等式」「連立」�@

■問題
連立２次不等式ｘ^2−９ｘ＋１８＞０，ｘ^2−８ｘ＋７＜０を解け。


■考え方
連立だからといって特別なことはありません。まずはそれぞれ解きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

連立２次不等式は、それぞれ解いて共通範囲を求めれば完成です。
まずはそれぞれ解いてみましょう！

ｘ^2−９ｘ＋１８＞０
　(ｘ−３)(ｘ−６)＞０
よって、ｘ＜３，ｘ＞６・・・�@

ｘ^2−８ｘ＋７＜０
(ｘ−１)(ｘ−７)＜０
よって、１＜ｘ＜７・・・�A

あとは�@と�Aの共通範囲を求めると・・・

１＜ｘ＜３，６＜ｘ＜７

ですね！

ここでは書きませんでしたが、共通範囲を探すときは、数直線を使ってみるとわかりやすいですよ！


次の問題→連立２次不等式�A


関連項目
2016年センター数学１Ａ第１問[3]


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高校数学「２次不等式」「全ての実数」�A

高校数学「２次不等式」「全ての実数」「判別式」�A

■問題
２次不等式ｘ^2−(ｋ＋３)ｘ＋４ｋ≧０の解が全ての実数であるような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
(２次式)≧０の解が全ての実数というのはつまり、２次関数とｘ軸の共有点が０個または１個です。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

今回の問題の２次式は、ｘ２乗の係数がプラスだから下に凸の２次関数になるので、
(２次式)≧０の解が全ての実数となるためには、２次関数とｘ軸が共有点を持たないか接する必要があります。
つまり、Ｄ≦０です。

ｘ^2−(ｋ＋３)ｘ＋４ｋ≧０なので、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝１，ｂ＝−(ｋ＋３)，ｃ＝４ｋを代入して、

Ｄ＝{−(ｋ＋３)}^2−４×１×４ｋ
　＝(ｋ＋３)^2−１６ｋ
　＝ｋ^2＋６ｋ＋９−１６ｋ
　＝ｋ^2−１０ｋ＋９≦０
　　　(ｋ−１)(ｋ−９)≦０

この２次不等式の解は横軸の下側なので、求めるｋの値の範囲は、

１≦ｋ≦９


連立２次不等式�@


関連項目
判別式
ｘの値にかかわらず常に成り立つ２次不等式


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高校数学「２次不等式」「全ての実数」�@

高校数学「２次不等式」「全ての実数」「判別式」�@

■問題
２次不等式２ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋１＞０の解が全ての実数であるような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
不等式の解が全ての実数であるならば、２次関数のグラフと横軸との共有点がないので・・・


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

今回の問題の２次式は、ｘ２乗の係数がプラスだから下に凸の２次関数になるので、
「不等式の解が全ての実数」というのは、「２次関数とｘ軸の共有点がない」と同じ意味を表します。

２次関数とｘ軸の位置関係は判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃで調べることができます。

共有点を持たないときは、Ｄ＜０です。

２ｘ^2−ｋｘ＋ｋ＋１＞０なので、Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝２，ｂ＝−ｋ，ｃ＝ｋ＋１を代入して、

Ｄ＝(−ｋ)^2−４×２×(ｋ＋１)
　＝ｋ^2−８ｋ−８＜０

解の公式に代入して、

ｋ＝[−(−８)±√{(−８)^2−４×１×(−８)}]／２×１
　＝{８±√(６４＋３２)}／２
　＝(８±√９６)／２
　＝(８±４√６)／２
　＝４±２√６

Ｄ＜０なので、これら２つの解の間が求める範囲だから、

４−２√６＜ｋ＜４＋２√６


次の問題→解が全ての実数の２次不等式�A


関連項目
判別式
ｘの値にかかわらず常に成り立つ２次不等式


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高校数学「２次方程式」「実数解」「判別式」

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■問題
２次方程式ｘ^2＋(ｋ＋１)ｘ＋ｋ＋２＝０が、実数解を持たないような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
実数解を持たないならば、判別式Ｄ＜０ですね！


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

２次方程式の解の個数は判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃで調べることができます。

実数解を持たないときは、Ｄ＜０です。

Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝１，ｂ＝ｋ＋１，ｃ＝ｋ＋２を代入して、

Ｄ＝(ｋ＋１)^2−４×１×(ｋ＋２)
　＝ｋ^2＋２ｋ＋１−４ｋ−８
　＝ｋ^2−２ｋ−７

この式の値がマイナスのとき解を持たないので、普通に２次不等式を解きます。
まずはイコールゼロで解くと、

ｋ＝[−(−２)±√{(−２)^2−４×１×(−７)}]／２×１
　＝{２±√(４＋２８)}／２
　＝(２±√３２)／２
　＝(２±４√２)／２
　＝１±２√２

２乗の係数はプラスだから、放物線のグラフは下に凸なので、マイナスになるのは２つの解の間です。
すなわち、求めるｋの値の範囲は、

１−２√２＜ｋ＜１＋２√２


次の問題→解が全ての実数の２次不等式�@


関連項目
判別式


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高校数学「２次方程式」「判別式」「重解」

高校数学「２次方程式」「判別式」「重解」

■問題
２次方程式ｘ^2＋(ｋ＋１)ｘ＋ｋ＋２＝０が、重解を持つような定数ｋの値を求めよ。


■考え方
重解ならば、判別式Ｄ＝０ですね！


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

２次方程式の解の個数は判別式Ｄ＝ｂ^2−４ａｃで調べることができます。

解が１個すなわち重解のときは、Ｄ＝０です。

Ｄ＝ｂ^2−４ａｃに、ａ＝１，ｂ＝ｋ＋１，ｃ＝ｋ＋２を代入して、

Ｄ＝(ｋ＋１)^2−４×１×(ｋ＋２)
　＝ｋ^2＋２ｋ＋１−４ｋ−８
　＝ｋ^2−２ｋ−７

この式の値がゼロのときが重解なので、普通に２次方程式を解きます。
因数分解はできなさそうなので、解の公式に代入して、

ｋ＝[−(−２)±√{(−２)^2−４×１×(−７)}]／２×１
　＝{２±√(４＋２８)}／２
　＝(２±√３２)／２
　＝(２±４√２)／２
　＝１±２√２


次の問題→実数解を持たないとき


関連項目
判別式


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高校数学「２次不等式」�C

高校数学「２次不等式」�C

■問題
２次不等式３ｘ^2−６ｘ＋１＜２ｘ^2−１７を解け。


■考え方
２次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。
もともと右辺がゼロになってないときは、最初に式の変形をします。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは右辺がゼロになるように式の変形をします。

３ｘ^2−６ｘ＋１＜２ｘ^2−１７
ｘ^2−６ｘ＋１８＜０

そしてイコールゼロにして解きます。

ｘ^2−６ｘ＋１８＝０

ｘ＝[−(−６)±√{(−６)^2−４×１×１８}]／２×１
　＝{６±√(３６−７２)}／２

２次不等式�Aの問題と同じように、ルートの中身がマイナスになってしまいました。
ということは、２次関数のグラフがｘ軸との共有点を持ちません。

ｘ^2−６ｘ＋１８は、ｘ^2の係数が正の数なので、放物線のグラフは下に凸です。
下に凸のグラフがｘ軸との共有点を持たないならば、式の値は常にプラスである。ということがわかります。

ｘ^2−６ｘ＋１８＜０の範囲を求めたいですが、そんなときはないので、求める解は

解なし

となります。


ちなみに、今回の問題も、�Aの問題も、判別式を使えば、マジメに解の公式に代入しなくても、放物線がｘ軸と共有点を持たないことがわかりますが、一目でそういう場合なのかどうかを判断するのは難しいと思いますし、「まずは因数分解をする。できなければ解の公式」という考え方で全て解決できるので、このブログではこの解き方で統一しています。
今後場合によっては、先に判別式を考える方法を解説することもあるかも知れません。


次の問題→重解を持つとき


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高校数学「２次不等式」�B

高校数学「２次不等式」�B

■問題
２次不等式ｘ^2−１２ｘ＋３６≦０を解け。


■考え方
２次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

ｘ^2−１２ｘ＋３６≦０の場合も、まずはイコールゼロにして解いてみます。

ｘ^2−１２ｘ＋３６＝０
　　　　(ｘ−６)^2＝０
よって、ｘ＝６

つまり、２次関数のグラフを考えた場合のｘ軸との共有点はｘ＝６の１点である。というわけです。
これはｘ軸と接する。場合ですね。

ｘ^2−１２ｘ＋３６≦０なので、ｘ軸から下側の範囲を聞いています。
ｘ＝６の１点のみがこの範囲を満たしているので、求める解は

ｘ＝６


次の問題→２次不等式�C


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高校数学「２次不等式」�A

高校数学「２次不等式」�A

■問題
２次不等式３ｘ−２ｘ^2＜６を解け。


■考え方
２次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。
イコールゼロになってないときは、式の変形をしてから２次方程式にすると良いです。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは式の変形をします。

　　　３ｘ−２ｘ^2＜６
−２ｘ^2＋３ｘ−６＜０
　２ｘ^2−３ｘ＋６＞０

ｘ^2の係数はプラスにしておいた方がわかりやすいと思います。
その際には、不等号の向きを直すことも忘れずに！

あとは前回の問題と同様に、イコールゼロで解いて・・・ということで、解の公式に代入してみると、

ｘ＝[−(−３)±√{(−３)^2−４×２×６}]／２×２
　＝{３±√(９−４８)}／４

この辺で、気になる点がありますね？
√の中身がマイナスになってしまいます。
ということは、この方程式は実数解を持ちません。
つまり、２次関数のグラフを描いた場合、ｘ軸と共有点を持たないことになります。

下に凸のグラフが共有点を持たないならば、その２次式の値は常に正の数である。ということができます。

変形した２次不等式は２ｘ^2−３ｘ＋６＞０で、つまりは式の値が正の数になる場合を聞いているので、

解は「すべての実数」ですね！


次の問題→２次不等式�B


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高校数学「２次不等式」�@

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■問題
２次不等式ｘ^2＋４ｘ−７≧０を解け。


■考え方
２次不等式を解くときは、まずはイコールゼロで解いて、グラフを考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

イコールゼロにして解いた値は、グラフのｘ軸との交点になります。

ｘ^2＋４ｘ−７＝０を解の公式に代入して、

ｘ＝[−４±√{４^2−４×１×(−７)}]／２×１
　＝{−４±√(１６＋２８)}／２
　＝(−４±√４４)／２
　＝(−４±２√１１)／２
　＝−２±√１１

２次関数のグラフを描いた場合のｘ軸との交点が、ｘ＝−２＋√１１と−２−√１１というわけです。

もとの不等式はｘ^2＋４ｘ−７≧０なので、グラフのうちｘ軸よりも上側の部分を考えます。

ｘ^2の係数はプラスなので下に凸のグラフだから、「小さい方より左、大きい方より右」が求める範囲です。

よって、ｘ≦−２−√１１，ｘ≧−２＋√１１


次の問題→２次不等式�A


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高校数学「２次関数」「異なる２点で交わるとき」

高校数学「２次関数」「異なる２点で交わるとき」

■問題
２次関数ｙ＝ｘ^2−６ｘ＋２ｋ＋１のグラフとｘ軸が異なる２点で交わるような定数ｋの値の範囲を求めよ。


■考え方
「異なる２点で交わる」ということは、判別式ですね！


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

２次関数とｘ軸との位置関係は、２次方程式の解の判別式で調べることができます。

Ｄ＝ｂ^2−４ａｃとすると、

Ｄ＞０ならば、２次関数のグラフとｘ軸は異なる２点で交わります。

与式はｙ＝ｘ^2−６ｘ＋２ｋ＋１なので、ａ＝１，ｂ＝−６，ｃ＝２ｋ＋１を代入して

Ｄ＝(−６)^2−４×１×(２ｋ＋１)
　＝３６−８ｋ−４
　＝−８ｋ＋３２＞０
　　　　　−８ｋ＞−３２
　　　　　　　ｋ＜４


関連項目
判別式の基本


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