高校数学(用語と公式)「三角関数の微分」

高校数学(用語と公式)「三角関数の微分」

★三角関数の微分(differentiation of trigonometric function)

いろいろな問題を解くためには、基本的な公式は理屈抜きでわかる必要があります。

(ｓｉｎｘ)'＝ｃｏｓｘ
(ｃｏｓｘ)'＝−ｓｉｎｘ
(ｔａｎｘ)'＝１／ｃｏｓ²ｘ

これらの導き方を覚えている必要性はそれほどありませんが、
タンジェントの微分は、サインの微分とコサインの微分、商の微分を用いて導けるようにしておいた方が良いです。

ｔａｎｘ＝ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘだから、(ｔａｎｘ)'＝(ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘ)'

商の微分法より、(ｔａｎｘ)'＝{(ｓｉｎｘ)'・ｃｏｓｘ−ｓｉｎｘ・(ｃｏｓｘ)'}／ｃｏｓ²ｘ

(ｓｉｎｘ)'＝ｃｏｓｘ，(ｃｏｓｘ)'＝−ｓｉｎｘだから、

{(ｓｉｎｘ)'・ｃｏｓｘ−ｓｉｎｘ・(ｃｏｓｘ)'}／(ｃｏｓ²ｘ)＝(ｃｏｓ²ｘ＋ｓｉｎ²ｘ)／ｃｏｓ²ｘ

三角比の相互関係より、ｓｉｎ²ｘ＋ｃｏｓ²ｘ＝１なので、分子は１になります。
よって、

(ｔａｎｘ)'＝１／ｃｏｓ²ｘ


ちなみに、サインとコサインの微分の公式は(タンジェントも)、三角関数の合成と極限を用いるなどの方法で導くことができます。


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◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学(用語)「合成関数の微分」

高校数学(用語)「合成関数の微分」

★合成関数の微分法(chain rule of differentiation)

詳しい説明は、お手元の教科書や参考書を見てもらうとして、ここでは「ｙ＝(ａｘ＋ｂ)^ｎの微分」を例に、実際にやってみたいと思います。

ｙ＝(ａｘ＋ｂ)^ｎはそのままではちょっとややこしいので、ａｘ＋ｂ＝ｔとおいてみます。
すると、ｙ＝ｔ^ｎと書き換えることができます。

これを微分すると、ｙ'＝ｎｔ^ｎ−１ですね。

あとはｔをａｘ＋ｂに戻して完成！・・・ではありません。

この時点ではｔの式を微分したので、ｄｙ／ｄｔ＝ｎｔ^ｎ−１です。ｄｙ／ｄｘではありません。

ｙ＝(ａｘ＋ｂ)^ｎの微分は、ｄｙ／ｄｘですね。

ｄｙ／ｄｔを使うと、ｄｙ／ｄｘ＝(ｄｙ／ｄｔ)・(ｄｔ／ｄｘ)と表すこともできます。

つまり、ｄｙ／ｄｘは、ｄｙ／ｄｔとｄｔ／ｄｘの積になります。

ｄｔ／ｄｘ＝(ａｘ＋ｂ)'＝ａなので、

ｄｙ／ｄｘ＝ｎｔ^ｎ−１・ａ

ここでｔ＝ａｘ＋ｂに戻せば、

ｄｙ／ｄｔ＝ａｎ(ａｘ＋ｂ)^ｎ−１

というわけで、ｙ＝(ａｘ＋ｂ)^ｎの微分が完成しました。


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◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学「微分」ｙ＝２ｘ／√(５ｘ＋１)の微分

高校数学「微分」ｙ＝２ｘ／√(５ｘ＋１)の微分

■　問題

ｙ＝２ｘ／√(５ｘ＋１)を微分せよ。


分数なので、基本的には「商の微分法」を使います。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

商の微分法に従って「ｙ＝ｆ(ｘ)／ｇ(ｘ)」の形で表される関数を微分すると、

ｙ'＝{ｆ'(ｘ)・ｇ(ｘ)−ｆ(ｘ)・ｇ'(ｘ)}／{ｇ(ｘ)}^2

となります。

ｙ＝２ｘ／√(５ｘ＋１)の場合、ｆ(ｘ)＝２ｘ，ｇ(ｘ)＝√(５ｘ＋１)とみなすことができますね。
やってみましょう！

ｙ'＝{(２ｘ)'・√(５ｘ＋１)−２ｘ・√(５ｘ＋１)'}／{√(５ｘ＋１)}^2

ここで、√(５ｘ＋１)'について少し解説しておきます。
ちゃんとやるためには合成関数の微分法が必要ですが、多くの人は、「次数を係数にして、中身の微分をかけて、次数を１下げる」と考えて計算します。つまり、

√(５ｘ＋１)＝(５ｘ＋１)^(1/2)だから、√(５ｘ＋１)'＝(１／２)(５ｘ＋１)'・(５ｘ＋１)^(-1/2)＝(１／２)・５・(５ｘ＋１)^(-1/2)です。

これをもとの式に戻すと、

　＝{２√(５ｘ＋１)−２ｘ・(１／２)・５・(５ｘ＋１)^(-1/2)}／(５ｘ＋１)

あとは計算してなるべく簡単にします。

　＝{２√(５ｘ＋１)−５ｘ／√(５ｘ＋１)}／(５ｘ＋１)
　＝{２・(５ｘ＋１)−５ｘ}／(５ｘ＋１)√(５ｘ＋１)
　＝(１０ｘ＋２−５ｘ)／(５ｘ＋１)√(５ｘ＋１)
　＝(５ｘ＋２)／(５ｘ＋１)√(５ｘ＋１)


◆関連項目
商の微分法、合成関数の微分法
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学３「微分積分まとめ」

高校数学３「微分積分まとめ」

高校数学３の微分積分に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

数学２の微分積分はこちら


◆　公式・用語・解き方

公式に従った微分
微分係数
導関数、第２次導関数、第ｎ次導関数
平均変化率
増減表の書き方
関数の増減
極値
接線の方程式の求め方

関数の連続

積の微分法・商の微分法
合成関数の微分
三角関数の微分
指数関数の微分
対数関数の微分
対数微分法

積分の計算方法
不定積分
　三角関数の不定積分
　指数関数の不定積分

定積分

ｘ軸と曲線の間の面積の求め方
体積の求め方
曲線の長さ

置換積分法
部分積分法


◆　問題

●微分
定義に従った微分ｆ(ｘ)＝１／ｘ^2
微分係数の定義を利用してｌｉｍ[x→1]{ｌｏｇｘ／(ｘ−１)}の極限値を求めよ。

ｆ(ｘ)／ｇ(ｘ)の導関数
ｆ(ｘ)＝ｘ^2／(ｘ−１)の微分
ｙ＝２ｘ／√(５ｘ＋１)の微分

(２ｘ−１)^5の微分
ｙ＝ｓｉｎ５ｘの微分
ｙ＝ｓｉｎｘ・ｃｏｓｘの微分
ｙ＝(ｓｉｎｘ)^3の微分
ｙ＝(ｔａｎ３ｘ)^2の微分

ｙ＝ｓｉｎｘの第ｎ次導関数

ｙ＝ｘ^3−ｘ^2の接線


●積分
∫(３ｘ＋２)⁵ｄｘの不定積分

∫ｔａｎｘｄｘの不定積分
∫(１／ｓｉｎｘ)ｄｘの不定積分
∫ｓｉｎ²ｘｄｘの不定積分
∫ｓｉｎ⁵ｘ・ｃｏｓ²ｘｄｘの不定積分

∫ｌｏｇｘｄｘの不定積分
∫ｘ²・ｅ^xの不定積分
∫ｅ^x・ｓｉｎｘの不定積分

∫[1〜2]√(４−ｘ²)ｄｘの積分

●面積
ｙ＝ｘｅ^x，ｘ＝−１，ｘ＝１，ｘ軸で囲まれた図形の面積
ｙ＝ｘｅ^-x，ｙ＝ｘ／ｅ，ｙ＝ｘ／ｅ²で囲まれた図形の面積
ｘ＝ｓｉｎｙとｙ軸の間の面積

●体積
ｙ＝２−ｘ²の回転体の体積
ｙ＝ｘ，ｙ＝−ｘ²＋４ｘで囲まれた図形の回転体の体積
ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１の回転体
ｙ＝ｘ²をｙ軸のまわりに回転した回転体

●曲線の長さ
ｘ＝ａ(θ−ｓｉｎθ)，ｙ＝ａ(１−ｃｏｓθ)


まだまだ追加していきます！


数学３微分の練習に活用してください。好評です！



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高校数学「極限」「三角関数」ｌｉｍ[x→0]{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^2}

高校数学「極限」「三角関数」ｌｉｍ[x→0]{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２}

■　問題

ｌｉｍ[x→0]{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２}の極限を調べよ。


三角関数の極限を求めるときは、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を使えるようにします。


解答解説はこのページ下です。


数学３はまずは、教科書＋基本問題集で練習するとよいです。
たとえばこんなのがおすすめです。



■　解答解説

コサインの極限は、そのままｘ＝０を入れてしまって大丈夫な場合もありますが、今回の問題では０／０になってしまうので、不適です。

やはり、「ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１」が使えるようにしなければならない。と考えます。

ｌｉｍ[x→0]{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２}

この式を変形してサインが出てくるようにするには、三角関数の相互関係より「１−(ｃｏｓｘ)^2＝(ｓｉｎｘ)^2」が使えるようにすればＯＫですね！
そのためには(１＋ｃｏｓｘ)をかけます。
もちろん、単に(１＋ｃｏｓｘ)をかけるのではなく、式の値が変わらないようにするために(１＋ｃｏｓｘ)／(１＋ｃｏｓｘ)をかけます。

　(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２
＝{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２}・(１＋ｃｏｓｘ)／(１＋ｃｏｓｘ)
＝{(１−ｃｏｓ^２ｘ)／ｘ^２}・１／(１＋ｃｏｓｘ)
＝(ｓｉｎ^２ｘ／ｘ^２)・１／(１＋ｃｏｓｘ)

このように変形できます。だから、

ｌｉｍ[x→0]{(１−ｃｏｓｘ)／ｘ^２}＝ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎ^２ｘ／ｘ^２)・１／(１＋ｃｏｓｘ)

ですね。

ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１，ｌｉｍ[x→0]ｃｏｓｘ＝１だから、極限値は１・１／２＝１／２


関連項目
サインの極限
コサインの極限


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高校数学(用語)「四分位偏差」

高校数学(用語)「四分位偏差」

★四分位偏差(quartile deviation)

四分位範囲の半分の値のこと。


四分位範囲は、第３四分位数と第１四分位数の差であり、箱ひげ図の「箱」のサイズだから、「箱」の真ん中が四分位偏差。ということができます。

四分位範囲を問う問題はそれほど出ませんが、一応覚えておきましょう！


データの分析の考え方・解き方の習得に活用してください。好評です！



◆関連項目
四分位数、範囲、四分位範囲
データの分析まとめ


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高校数学「数列」「漸化式」ａn+1＝−２ａn

高校数学「数列」「漸化式」ａn+1＝−２ａn

好評発売中の数列の書籍から１問ご紹介します。


■　問題

　　「　次のように定められた数列の一般項ａｎと第ｎ項までの和Ｓｎを求めよ。
　ａ1＝２，ａn+1＝−２ａn　(ｎ＝１，２，３，…)」


これはどんな数列でしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！


■　選択肢

　�@　初項が２，公差が２の等差数列

　�A　初項が２，公差が−２の等差数列

　�B　初項が２，公比が２の等比数列

　�C　初項が２，公比が−２の等比数列


★★　お知らせ　★★

ＡＥ個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、各大学の入試対策も行っています。過去問を中心に、基礎からやり直す人から医学部を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します！
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■　選択肢の解答

　�C　初項が２，公比が−２の等比数列

　今回の漸化式は、「第ｎ項から第ｎ＋１項にいくには、−２を掛ける」という意味なので、次々と−２を掛けていく数列です。つまり、等比数列というわけです。


■　解答解説

　この漸化式で表される数列は、初項２，公比−２の等比数列なので、等比数列の公式を使います。

まず一般項は、★ａn＝ａｒ^(n-1) なので、
ａn＝２・(−２)^(n-1)
　 ＝−(−２)・(−２)^(n-1) ←２＝−(−２)
　 ＝−(−２)^n ←(−２)・(−２)^(n-1)＝(−２)^n

和は・・・(以下略)


この問題は次の書籍のP.53に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
数列まとめ


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高校数学(用語)「相関係数」

高校数学(用語)「相関係数」

★相関係数(correlation coefficient)

２つのデータ(ｘ，ｙ)の関連を表す値で、

(共分散)／(ｘの標準偏差とｙの標準偏差の積)

で求めることができる。

相関係数が１に近ければ「正の相関」があり、散布図では、傾きが１の直線に近い分布になり、
相関係数が−１に近ければ「負の相関」があり、散布図では、傾きが−１の直線に近い分布になる。


共分散は偏差の積の平均、標準偏差は分散の平方根で、分散は偏差の２乗の平均です。

さらに、偏差は平均との差なので、何はともあれ平均を出すことが第一歩です。


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◆関連項目
平均値、偏差、共分散
データの分析まとめ


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高校数学(用語)「共分散」

高校数学(用語)「共分散」

★共分散(covariance)

２種類のデータの偏差の積の平均を共分散という。


偏差は各データの平均との差なので、共分散を求めたいときは、

それぞれの平均→それぞれの偏差→偏差の積を合計→偏差の積の平均

という流れになります。


共分散は主に、相関係数を求めるために使われます。


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◆関連項目
平均値、偏差、相関係数
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高校数学(用語)「箱ひげ図」

高校数学(用語)「箱ひげ図」

★箱ひげ図(box plot)

第１四分位数〜第３四分位数の部分を「箱」とし、最小値〜第１四分位数と第３四分位数〜最大値を「ひげ」として「箱」の両側に描いた図で、データのばらつき具合を表したものを箱ひげ図という。さらに、箱の中に「中央値(第２四分位数)」を｜で示す。
平均値を＋で書き足すことも多い。


最大値・最小値、四分位数を表した図なので、箱ひげ図を描いたり活用するためには、これらの用語の意味と求め方をしっかり理解しておく必要があります。
１０秒でわかる！数学１Ａ「命題と集合」「データの分析」の考え方などで練習しておきましょう！


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◆関連項目
平均値、四分位数
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高校数学(用語)「偏差」

高校数学(用語)「偏差」

★偏差(deviation)

各データの平均との差を偏差という。


偏差だけを求める問題はほとんど出題されませんが、分散を求めるために偏差を使います。

平均→偏差→分散→標準偏差→相関係数

だいたいこんなかんじの流れですね。


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◆関連項目
平均値、分散
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高校数学「データの分析」まとめ

高校数学「データの分析」まとめ

高校数学１Ａのデータの分析に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆　公式・解き方・考え方

平均値、中央値、最頻値
四分位数
範囲、四分位範囲
四分位偏差
箱ひげ図
偏差
分散，標準偏差
共分散
相関係数


◆　問題

１０個のデータの中央値
６つのデータの平均と分散
４０人のテスト結果の分散
分散から標準偏差を求める


リクエストがあればお気軽にどうぞ！


この書籍もご利用ください。好評です！



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高校数学「データの分析」６つのデータの平均と分散

高校数学「データの分析」６つのデータの平均と分散

■　問題

６つの数からなるデータＡを、

Ａ＝{１，２，３，４，５，６}

とする。

データＡの平均と分散を求めよ。


解答解説はこのページ下です。


データの分析の問題の解き方・考え方の習得にご利用ください。好評です！



■　解答解説

データの分析の単元の基本です。

平均はもちろん

(１＋２＋３＋４＋５＋６)÷６＝２１／６＝７／２

ですね。

分散は「偏差の２乗の平均」です。

偏差は平均との差なので、

−５／２，−３／２，−１／２，１／２，３／２，５／２

ですね。これらの２乗の平均が分散です。

　{(−５／２)^2＋(−３／２)^2＋(−１／２)^2＋(１／２)^2＋(３／２)^2＋(５／２)^2}／６
＝(２５／４＋９／４＋１／４＋１／４＋９／４＋２５／４)／６
＝(７０／４)／６
＝３５／１２


ちなみに、分散の平方根が標準偏差です。
つまりこの場合の標準偏差は√(３５／１２)＝√(３５)／２√３＝√(１０５)／６ですね！


データの分析まとめ


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高校数学「２次関数」「最大最小」ｙ＝ｘ^2−２ｘ＋３(−１≦ｘ≦３)

高校数学「２次関数」「最大最小」ｙ＝ｘ^２−２ｘ＋３(−１≦ｘ≦３)

■　問題

次の２次関数の−１≦ｘ≦３における最大値・最小値を求めよ。

ｙ＝ｘ^２−２ｘ＋３


解答解説はこのページ下です。


２次関数の問題の解き方・考え方の習得にご利用ください。



■　解答解説

基本的な最大最小の問題です。
まずはこのくらいの難易度の最大最小を素早く確実に答えられるよう練習しましょう！

２次関数の最大最小の問題を解くときは、まずは頂点を求めます。
頂点は増加と減少が切り替わる点なので、定義域内に頂点が含まれていれば、頂点が最大か最小になるからです。

頂点の座標を求めるには「平方完成」ですね！

ｙ＝ｘ^２−２ｘ−３
　＝(ｘ^２−２ｘ＋１−１)−３
　＝(ｘ−１)^２−１−３
　＝(ｘ−１)^２−４

よって、頂点の座標は(１，−４)となります。

定義域は−１≦ｘ≦３なので、頂点は定義域に含まれます。
ｘの２乗の係数は正の数なので、下に凸のグラフだから、頂点は最小値になります。

そして、頂点から遠い方が最大値です。

この場合は定義域の両端が頂点からの距離は同じなので、ｘ＝−１，３どちらも最大値となります。
例えばｘ＝３を代入すると、

ｙ＝３^２−２×３−３
　＝９−６−３
　＝０

最大値はゼロですね！

まとめると、

ｘ＝−１，３のとき最大値０
ｘ＝１のとき最小値−４


２次関数まとめ


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高校数学「データの分析」分散から標準偏差を求める

高校数学「データの分析」分散から標準偏差を求める

好評発売中の１０秒でわかる！数学１Ａ「命題と集合」「データの分析」の考え方から１問、ブログ用に再編集してご紹介します。


■　問題

「４０人の生徒に対して行われたあるテストの得点のデータの分散は２．９４である。標準偏差を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！


■　選択肢

　�@　標準偏差は２．９４

　�A　２．９４を２乗する

　�B　２．９４の平方根をとる

　�C　２．９４を逆数にする


★★　お知らせ　★★

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マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します！
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■　選択肢の解答

　�B　２．９４の平方根をとる

　分散の平方根が標準偏差です。
　そして、分散は偏差(平均値との差)の２乗の平均値です。
分散は２乗の平均なので、それをルートすることによって、単位がもとの値と等しくなり、データの散らばり具合を比較しやすくなります。


■　解答解説

　標準偏差を求めるためには、分散が必要。
　分散を求めるためには、偏差が必要。
　偏差は、平均との差。

　今回の問題では、分散が２．９４とわかっているので、求める標準偏差は

√２．９４＝１．７１…


この問題は次の書籍のP.29に掲載されています。書籍では、実際のデータの表や分散を求めるまでの計算式、間違いの選択肢のコメントや類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
分散と標準偏差、中央値
データの分析まとめ


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高校数学「データの分析」１０個のデータの中央値

高校数学「データの分析」中央値

好評発売中の１０秒でわかる！数学１Ａ「命題と集合」「データの分析」の考え方から１問ご紹介します。中学の「資料の整理」でも登場する「中央値」についての問題です。


■　問題

「次のような１０個のデータがある。
　１３，２１，１７，１６，２５，２０，１２，１８，１６，１９
　このデータの中央値を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！


■　選択肢

　�@　真ん中の数だから、平均値を求める

　�A　真ん中の数だから、左から５番目の数を答える

　�B　真ん中の数だから、右から５番目の数を数える

　�C　データの小さい順に並べて、順番が真ん中の数を答える


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■　選択肢の解答

　�C　データの小さい順に並べて、順番が真ん中の数を答える

　「中央値」とは、大きさの順番がちょうど真ん中の値のことです。
　つまり、「中央値」を知りたいときは、データの値の順に並べ替えて、順番が真ん中の値を見つけます。
　ただし、データの個数が偶数のときは、ちょうど真ん中の数はないので、真ん中に近い２つの数の平均をとります。


■　解答解説

　１３，２１，１７，１６，２５，２０，１２，１８，１６，１９

　これら１０個のデータを小さい順に並べると、次のようになります。

　１２，１３，１６，１６，１７，１８，１９，２０，２１，２５

　データの個数が１０個で偶数なので、中央値は５番目と６番目の平均です。
小さい順に５番目と６番目は１７，１８ですね。この２つの平均は、

(１７＋１８)÷２＝１７．５

よって、このデータの中央値は、１７．５です。


この問題は次の書籍のP.17に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
中央値
データの分析まとめ


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高校数学「命題と集合」『ｘ＝０，ｙ＝０ならばｘｙ＝０である』の真偽

高校数学「命題と集合」『ｘ＝０，ｙ＝０ならばｘｙ＝０である』の真偽

好評発売中の１０秒でわかる！数学１Ａ「命題と集合」「データの分析」の考え方から１問ご紹介します。


■　問題

「『ｘ＝０，ｙ＝０ならばｘｙ＝０である』という命題について　真偽の判断をすると？」


このときは何をすれば良いでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！


■　選択肢

　�@　ｘ＝０のときｙ＝０となるか考える

　�A　ｘ＝０，ｙ＝０のときｘｙ＝０となるか考える

　�B　ｘｙ＝０となるようなｘ，ｙがあるか考える

　�C　ｘｙ＝０のときｘ＝０，ｙ＝０となるか考える



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■　選択肢の解答

　�A　ｘ＝０，ｙ＝０のときｘｙ＝０となるか考える

　「ｐならばｑである」という命題の真偽を判断したいときは、ｐの条件を満たしているならばｑの条件を満たすかどうかを考えます。
　具体的には反例(成り立たない例)を探します。


■　解答解説

　命題の真偽の判断をするときは、反例があるかどうかを考えます。
反例が一つでもあれば「偽」、反例が一つもなければ「真」ですね。

　今回の問題の「ｘ＝０，ｙ＝０ならばｘｙ＝０である」について考えてみましょう。

　「ｘ＝０，ｙ＝０」と言っているのだから、ｘとｙはともにゼロにしかなりません。
　ゼロとゼロを掛けたらゼロなので、このときは「ｘｙ＝０」となるに決まっています。反例は存在しません。つまり、この命題は「真」です。

　このように、反例(成り立たない例)が存在しない場合に、その命題は真である。ということができます。


この問題は次の書籍のP.9に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
真偽の判断
必要条件・十分条件


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高校数学「平方根」「整数部分と小数部分」１／(２−√３)

高校数学「平方根」「整数部分と小数部分」１／(２−√３)

先日発売した１０秒でわかる高校数学１Ａ「数と式」の考え方から１問ご紹介します。


■　問題

「１／(２−√３)の整数部分ａと小数部分ｂを求めよ。」


この問題での「整数部分」「小数部分」とは何でしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！


■　選択肢

　�@　整数は１と２。小数は√３

　�A　１／(２−√３)の式の値のうち、小数点以上の部分が整数部分、
小数点以下の部分が小数部分

　�B　小数になるのは√３なので、整数部分は１，小数部分は√３−１

　�C　小数になるのは２−√３なので、整数部分は２，小数部分は−√３


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■　選択肢の解答

　�A　１／(２−√３)の式の値のうち、小数点以上の部分が整数部分、
小数点以下の部分が小数部分

　一般に、小数を用いて表される数の、
　　・小数点以上の部分が「整数部分」
　　・小数点以下の部分が「小数部分」
です。つまり、小数部分は、もとの数から整数部分を引いたものになります。
　例えば、√２＝１．４１４…なので、√２の整数部分は１，小数部分は√２−１です。


■　解答解説

　まずは、値を調べやすい形に変形します。つまり有理化します。

１／(２−√３)＝(２＋√３)／{(２−√３)(２＋√３)}
　　　　　　＝(２＋√３)／(４−３)
　　　　　　＝２＋√３

１＜√３＜２なので、３＜２＋√３＜４ですね。
つまり、２＋√３＝３．……という小数になります。
ならば、整数部分ａ＝３ですね。

そして、整数部分を引いた残りが小数部分なので、
ｂ＝２＋√３−３
　＝√３−１


この問題は次の書籍のP.53に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
絶対値を含む方程式(基本)
絶対値を含む方程式(やや難しい)


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高校数学「平方根」「分母の有理化」２／(√５＋１)

高校数学「平方根」「分母の有理化」２／(√５＋１)

先日発売した１０秒でわかる高校数学１Ａ「数と式」の考え方から１問ご紹介します。


■　問題

「　次の分数の分母を有理化せよ。
２／(√５＋１)」


この場合も、有理化なので分子と分母に何かをかけますが、
何をかければでしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！


■　選択肢

　�@　√５ をかける

　�A　 √５＋１をかける

　�B 　√５−１をかける

　�C　 分子と分母を２乗する


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■　選択肢の解答

　�B 　√５−１をかける

　分母に複数の項があるときの有理化は、展開の公式を使います。
　「(ａ＋ｂ)(ａ−ｂ)＝ａ^2−ｂ^2」が使えるようにかければ、２乗の項だけが残るので、ルートが消える。というわけです。


■　解答解説

　この分数の分母を有理化するには、分子と分母に√５−１をかけます。やってみましょう！

　{２／(√５＋１)}・{(√５−１)／(√５−１)}
＝２(√５−１)／(√５^2−１^2)
＝２(√５−１)／(５−１)
＝２(√５−１)／４
＝(√５−１)／２


この問題は次の書籍のP.49に掲載されています。書籍では、場合分けした場合の解き方、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
１／(√２＋√３)


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高校数学「不等式」「絶対値」｜ｘ＋２｜≦５

高校数学「不等式」「絶対値」｜ｘ＋２｜≦５

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■　問題

「次の不等式を解け。
　｜ｘ＋２｜≦５」


このときは、絶対値の中身がプラスの場合とマイナスの場合で分けることもできますが、他の考え方もできます。それはどういう方法でしょうか？
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ！


■　選択肢

　�@　絶対値が５以下だから、ｘ＋２≦５

　�A　絶対値が５以下だから、ｘ＋２≦−５

　�B　絶対値が５以下だから、−５≦ｘ＋２≦５

　�C　絶対値が５以下だから、ｘ≦５


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■　選択肢の解答

　�B　絶対値が５以下だから、−５≦ｘ＋２≦５

　絶対値が５以下ということは、原点からの距離が５以下です。原点からの距離が５の点は５と−５なので、それらよりも原点に近い範囲ということで、
「−５から５」となります。


■　解答解説

　絶対値が５以下だから、「−５から５」という考えて解いてみましょう！

−５≦ｘ＋２≦５

真ん中をｘだけにするために、それぞれ−２します。

−５−２≦ｘ＋２−２≦５−２

それぞれ計算すれば、

−７≦ｘ≦３



この問題は次の書籍のP.37に掲載されています。書籍では、場合分けした場合の解き方、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
絶対値を含む方程式(基本)
絶対値を含む方程式(やや難しい)


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