2019年09月02日

解答(判別式を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

解答(判別式を使う場合)★高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。

問題ページはこちら

この記事では、判別式を使って解いた場合を解説します。

「円と直線が接する」場合、円と直線の式を合成して、判別式D=0で解くことでkの値を求めることができます。
2次関数と直線の位置関係を考えるときに、判別式を使えたのと同じイメージですね。

まずは合成してみましょう!

直線の式を円の式に代入して、

    x^2+(2x+k)^2=15
x^2+4x^2+4kx+k^2=15
5x^2+4kx+k^2−15=0

kを定数とみなして、xの2次方程式ができました。
これを判別式に代入して、「接する」条件のD=0で解けば求めるkの値が出るというわけです。

D=(4k)^2−4・5・(k^2−15)
 =16k^2−20k^2+300
 =−4k^2+300=0
      −4k^2=−300
        k^2=75
         k=±√75
          =±5√3

ということで、接するときのkの値は±5√3です。

5x^2+4kx+k^2−15=0にk=5√3を代入すると、

5x^2+4・5√3・x+75−15
5x^2+20√3・x+60=0
    x^2+4√3+12=0
      (x+2√3)^2=0
よって、x=−2√3

y=2x+kに、k=5√3,x=−2√3を代入すると、
y=2・(−2√3)+5√3
 =−4√3+5√3
 =√3

つまり、k=5√3のとき、x=−2√3,y=√3であることがわかりました。

k=−5√3のときも同様にすると、5x^2−2x√3・x+60=0より(x−2√3)^2=0だからx=2√3。
y=2x+kにk=−5√3,x=2√3を入れるとy=−√3が得られます。

ということで、

k=5√3のとき、接点(−2√3,√3)
k=−5√3のとき、接点(2√3,−√3)


点と直線の距離を使った場合は、別の記事で解説します。


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高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

高校数学「図形と方程式」「円」「直線」「接線」

円x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。

円と直線の位置関係に関する問題です。
「円と直線が接する」条件は、2通りあります。

ひとつは判別式。
もう一つは点と直線の距離。

どっちを使っても、もちろん同じ答えになるので、まずは自分が得意な方でやってみてください。

解答解説は・・・

判別式を使う場合
点と直線の距離を使う場合


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2019年09月01日

高校数学「指数不等式」の続き

高校数学「指数不等式」の続き

次の不等式を解け。
(1/9)^x−(1/3)^x−6<0

前回の記事で、t=(1/3)^xとすれば、

(1/9)^x={(1/3)^2}^x={(1/3)^x}^2=t^2

などと表せることを述べました。
この記事ではその続きをやってみます。

tで置き換えると、与式は

t^2−t−6<0

と書き換えることができます。
これは普通に2次不等式ですね。
ならば、普通に解けばOKです。

(t+2)(t−3)<0

(t+2)(t−3)=0のとき、t=−2,3で、不等号は<0なので、放物線を描いた場合の横軸の下側が求める範囲となります。
つまり、

−2<t<3

ですね。
ここでtをもどしてみると、

−2<(1/3)^x<3

底>0だから、真数条件より(1/3)^x>0なので、0<(1/3)^x<3

(1/3)^(-1)=3だから、x>−1


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2019年08月30日

高校数学「指数不等式」

高校数学「指数不等式」

次の不等式を解け。
(1/9)^x−(1/3)^x−6<0

このような場合は指数方程式と同様に、式の一部を文字でおくとわかりやすくなります。

t=(1/3)^xとすれば、

(1/9)^x={(1/3)^2}^x={(1/3)^x}^2=t^2

ですね。

続きはこちら


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2019年08月29日

解答★意外と解けない高校数学「指数方程式」

解答★意外と解けない高校数学「指数方程式」

次の方程式を解け。
4^x−3・2^(x+1)−16=0

問題ページはこちら

では解説です。

式をよく見てみると、4^xや2^xなどがあります。
ここから、「2^xについての方程式と考えればいいかも?」と推測します。

4^x=(2^2)^x=(2^x)^2

なので、2^x=tとおけば、tについての2次方程式になりそうです。

ついでに書いておくと、2^(x+1)=(2^x)・(2^1)=2・2^x=2tですね。ということは・・・

4^x−3・2^(x+1)−16=0
  t^2−3・2t−16=0
    t^2−6t−16=0
     (t+2)(t−8)=0
t=−2,8

よって、2^x=−2,8

2は何乗しても正の数なので、−2になることはありません。つまり、

2^x=8
2^x=2^3
 x=3

これで完成ですね!


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意外と解けない高校数学「指数方程式」

意外と解けない高校数学「指数方程式」

次の方程式を解け。
4^x−3・2^(x+1)−16=0

指数方程式としては標準的な問題ですが、このタイプの問題がわからないので教えて欲しいという質問は非常に多いです。
計算法則をしっかり把握していないと解けないかも?


解答解説はこちら


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ヒント:2^x(2のx乗)についての2次方程式とみなして・・・?
posted by えま at 01:25| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年08月26日

高校数学「2次方程式」「解と係数の関係」「虚数」

高校数学「2次方程式」「解と係数の関係」「虚数」

2次方程式x^2−2x+3=0の2つの解をα,βとするとき、次の値を求めよ。
(1) α^2+β^2
(2) (α+1)(β+1)

今回は(3)を解説します。

(3) α−β

解と係数の関係により、α+β=2,αβ=3なのは(1), (2)と同様です。

α−βの場合は、そのままではこれらの条件を使う事ができません。
そんなときはどうすればいいかというと、2乗ですね!

(α−β)^2=α^2−2αβ+β^2

当然ですがこうなります。
でも、こうなると、値がわかります。・・・よね?

解と係数の関係より、αβ=3,(1)よりα^2+β^2=−2です。
これらを代入すると、

(α−β)^2=−2−2×3
    =−2−6
    =−8

聞いているのは、α−βなので、この平方根をとり、

√(−8)=2√2i

ちなみに、このiは虚数単位です。
√(−1)=iですね。


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2019年08月23日

高校数学「2次方程式」「解と係数の関係」

高校数学「2次方程式」「解と係数の関係」

2次方程式x^2−2x+3=0の2つの解をα,βとするとき、次の値を求めよ。
(1) α^2+β^2

今回は(2)を解説します。

(2) (α+1)(β+1)

解と係数の関係により、α+β=2,αβ=3なので、これらを使うことを念頭に置いて式の変形をしていきます。

与式を展開すると、

 (α+1)(β+1)
=αβ+α+β+1

ただ単に展開しただけですが、これですでに解と係数の関係が使える形になっていますね。
α+β=2,αβ=3を代入すると、

=3+2+1
=6


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2019年08月22日

高校数学「2次方程式」「解と係数の関係」

高校数学「2次方程式」「解と係数の関係」

2次方程式x^2−2x+3=0の2つの解をα,βとするとき、次の値を求めよ。
(1) α^2+β^2

このように解をα,βとおく問題の場合、解と係数の関係の公式を使うと解きやすい場合が多いです。

一般に、

ax^2+bx+c=0において、
α+β=−b/a,αβ=c/a

でしたね。

今回の問題に当てはめると、a=1,b=−2,c=3なので、

α+β=−(−2/1)=2
αβ=3/1=3

ですね。

求める式はα^2+b^2なので、α+β=2の両辺を2乗してみます。

   (α+β)^2=2^2
α^2+2αβ+β^2=4
α^2+2×3+β^2=4   ←αβ=3
   α^2+β^2=4−6
        =−2

このように、この手の問題の場合、まずはわかっている関係式を2乗するとうまくいく場合があります。


次の記事→(2) (α+1)(β+1)


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2019年08月20日

高校数学「対称式」「式の計算」

高校数学「対称式」「式の計算」

x+1/x=3のとき、x^2+1/x^2の値を求めよ。

「えーっと、それぞれ2乗してあるから、x^2+1/x^2の値は、3を2乗して9」などと間違える人が非常に多い問題です。

(a+b)^2=a^2+b^2ではなく、(a+b)^2=a^2+2ab+b^2だから、それぞれの2乗だからといって、もとの式の値を2乗すればいいというわけではありません。

もちろん、ちゃんと2乗の計算をする必要があります。

もとの式を2乗すると、(x+1/x)^2=3^2ですね。
これを計算すると、

x^2+2・x・1/x+(1/x)^2=9
      x^2+2+1/x^2=9

ですね。2を移項すれば、

x^2+1/x^2=9−2=7

よって、x+1/x=3のとき、x^2+1/x^2=7である。ということができます。


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2019年08月08日

解答★意外と解けない高校数学「2次関数」「切り取る線分」

解答★意外と解けない高校数学「2次関数」「切り取る線分」

問題ページはこちら

2次関数y=x^2−2axがx軸から切り取る線分の長さをaを使って表しなさい。

「切り取る線分」とは、「x軸と放物線の2つの交点の間の線分」のことです。

2次関数はx軸と2つの交点を持つ場合があり、そのときの線分が「切り取る線分」です。

つまり、「交点間の距離」=「切り取る線分の長さ」です。

だから、まずは2つの交点のx座標を求めます。

y=x^2−2ax=0
  x(x−2a)=0

よって、x=0,2a

つまり、0と2aの間の距離、すなわち、2a−0=2aが「切り取る線分の長さ」です。


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意外と解けない高校数学「2次関数」「切り取る線分」

高校数学「2次関数」「切り取る線分」

2次関数y=x^2−2axがx軸から切り取る線分の長さをaを使って表しなさい。

2次関数は最大最小が最も代表的な論点ですが、このようなことが問われる場合もあります。

「切り取る線分」とは、つまり何なのか?

がわかれば、特に難しくありませんが、どうでしょうか?


解答解説はこちら


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2019年08月06日

高校数学「微分」「商の微分法」「極値」

高校数学「微分」「商の微分法」「極値」

関数f(x)=x^2/(x−1)について、次の問いに答えよ。
(1) 第1次導関数f'(x)を求めよ。

(2) 第2次導関数f''(x)を求めよ。

(3) 極値を求めよ。

数学2でもやっているように、極値とは「極大値」「極小値」であり、極値は増減が切り替わる点であり、接線の傾きがゼロです。
f'(x)は接線の傾きを表すので、f'(x)=0解けば極値のx座標がわかります。

(1) 第1次導関数f'(x)より、f'(x)=x(x−2)/{(x−1)^2}なので、

x(x−2)/{(x−1)^2}=0

両辺に(x−1)^2を掛けて、

x(x−2)=0

よって、x=0,2

これが極値でのxの値です。これらのときのy座標が「極値」です。

f(0)=0/(0−1)=0

f(2)=2^2/(x−1)=4

よって、x=0のとき極小値0,x=2のとき極大値4


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2019年07月29日

高校数学「微分」「商の微分法」「第2次導関数」

高校数学「微分」「商の微分法」「第2次導関数」

関数f(x)=x^2/(x−1)について、次の問いに答えよ。
(1) 第1次導関数f'(x)を求めよ。

(2) 第2次導関数f''(x)を求めよ。

前回の記事で、第1次導関数を求めました。
今回は第2次導関数を求めます。

特に変わったことはなく、単にもう一回微分するだけです。
少し計算が大変ですが、がんばっていきましょう!

f'(x)=x(x−2)/{(x−1)^2}をさらにもう一回微分します。
分数なので、やはり「商の微分法」をやります。

商の微分法の公式は、

{f(x)/g(x)}'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

でしたね。

この問題にこの公式を当てはめてみましょう!
公式のf(x)はx(x−2)=x^2−2x,g(x)は(x−1)^2だから、

 f''(x)
=[(x^2−2x)'・(x−1)^2−(x^2−2x)・{(x−1)^2}']/{(x−1)^2}^2
=(2x−2)・(x−1)^2−(x^2−2x)・2(x−1)'・(x−1)}/{(x−1)^4}
={2(x−1)・(x−1)^2−x(x−2)・2(x−1)}/{(x−1)^4}
={2(x−1)^3−2x(x−2)(x−1)/{(x−1)^4}
={2(x−1)^2−2x(x−2)}/{(x−1)^3}

これをさらに計算して、

={2(x^2−2x+1)−2x^2+4x)}/{(x−1)^3}
=(2x^2−4x+2−2x^2+4x)/{(x−1)^3}
=2/{(x−1)^3}


ちなみに、第2次導関数は、変曲点などに活用します。


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2019年07月27日

高校数学「微分」「商の微分法」

高校数学「微分」「商の微分法」

関数f(x)=x^2/(x−1)について、次の問いに答えよ。
(1) 第1次導関数f'(x)を求めよ。

f'(x)は、つまりは微分した関数です。

与式はf(x)=x^2/(x−1)で、分数なので、「商の微分法」をやるのが標準的です。

商の微分法の公式は、

{f(x)/g(x)}'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

でしたね。

この問題にこの公式を当てはめてみましょう!
公式のf(x)はx^2,g(x)はx−1だから、

f'(x)={(x^2)'・(x−1)−x^2・(x−1)'}/{(x−1)^2}
   ={2x(x−1)−x^2}/{(x−1)^2}
   =(2x^2−2x−x^2)/{(x−1)^2}
   =(x^2−2x)/{(x−1)^2}
   =x(x−2)/{(x−1)^2}


ということでまずは第1次導関数は完成です。


次の記事→(2)第2次導関数


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2019年07月18日

解答★高校数学基本問題「2次関数」「2点間の距離」「ベクトル」

解答★高校数学基本問題「2次関数」「2点間の距離」「ベクトル」


問題ページはこちら


2点A(−3,−9),B(1,7)について次の問いに答えよ。

(1) 点Aを頂点とし、点Bを通る放物線の式を求めよ。

頂点がわかっている2次関数は次の式を使います。

y=a(x−p)^2+q

(p,q)が頂点の座標、(x,y)は関数上の点の座標ですね。

今回の問題では、(p,q)=(−3,−9),(x,y)=(1,7)なので、

   7=a{1−(−3)}^2−9
   7=a(1+3)^2−9
   7=16a−9
−16a=−9−7
 16a=16
   a=1

よって、求める2次関数は、y=(x+3)^2−9


(2) 線分ABの長さを求めよ。

2点間の距離は、三平方の定理の応用です。

d=√{(x2−x1)^2+(y2−y1)^2}

ですね。
つまり、座標平面上で直角三角形を使って、三平方の定理の式を表しただけです。

2点A,Bの座標を代入すると、

d=√[{1−(−3)}^2+(7−(−9)}^2]
 =√{(1+3)^2+(7+9)^2}
 =√(16+256)
 =√272
 =4√17


(3) →ABの成分と、→ABに平行で大きさが3のベクトルを求めよ。

→ABは、AからBまでいくのにx方向にいくつ、y方向にいくつ進むか?を表すと考えればOKです。
つまり、Bの座標からAの座標を引けばOK!

→AB=(1−(−3),7−(−9))
   =(4,16)

|→AB|は結局ABの2点間の距離なので、(2)で求めた4√17です。
大きさが3のベクトルを求めたいならば、大きさが3になるように→ABに何らかの値を掛ければ良いですね。
4√17を3にするには・・・

3/(4√17)倍をすればいいですね!

 (→AB)×3/(4√17)
=(4,16)×3/(4√17)
=(4×3/(4√17),16×3/(4√17))
=(3/√17,12/√17)

有理化すると、

=((3/17)√17,(12/17)√17)

逆方向でも平行なので、それぞれプラスマイナスをつけて、求めるベクトルは、

(±(3/17)√17,±(12/17)√17)


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2019年07月16日

高校数学基本問題「2次関数」「2点間の距離」「ベクトル」

高校数学基本問題「2次関数」「2点間の距離」「ベクトル」

2点A(−3,−9),B(1,7)について次の問いに答えよ。

(1) 点Aを頂点とし、点Bを通る放物線の式を求めよ。
(2) 線分ABの長さを求めよ。
(3) →ABの成分と、→ABに平行で大きさが3のベクトルを求めよ。


2点A,Bについて異なる分野の問題を配置してみました。
どれも基本問題です。
3問合計で5分くらいで解けるようにしたいですね。


解答解説はこちら


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2019年07月12日

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」「平行条件」「最小値」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」「平行条件」「最小値」

→a=(1,2),→b=(2,−3)とするとき次の問いに答えよ。

(1) →a−→bと→a−t(→b)が平行になるときのtの値を求めよ。
(2) t(→a)+→bの大きさを求めよ。またその最小値を求めよ。


係数部分にtなどの文字が入ってくると、途端にわからない人が多くなります。
皆さんはどうですか?


解答解説は後ほど掲載します。


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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2019年07月10日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「接線」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「接線」


問題ページはこちら


y=x^3+x^2−2上の点(−1,−2)における接線の方程式を求めよ。

「接線といえば微分」と結びついたでしょうか?

微分してできた関数を導関数といい、その導関数にx座標を代入した値を微分係数といいます。
微分係数はその点における接線の傾きと等しくなります。
だから、「接線といえば微分」となるわけです。

与式を微分すると、

y'=3x^2+2x

ですね。
接点の座標は(−1,−2)なので、x=−1を代入して、

y'=3(−1)^2+2(−1)
 =3−2
 =1

つまり、接線の傾きは1です。

求める接線は、傾きが1で、(−1,−2)を通る直線というわけですね!

y−y1=m(x−x1)に、m=1,x1=−1,y1=−2を代入して、

y−(−2)=1・{x−(−1)}
 y+2=x+1
   y=x+1−2
   y=x−1


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高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「接線」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「接線」

y=x^3+x^2−2上の点(−1,−2)における接線の方程式を求めよ。


数学2でも数学3でも、「接線の方程式を求めよ」と言われたら、基本的に同じことをします。
「接線」といえば・・・?


解答解説はこちら


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