高校数学「確率統計」正規分布Ｎ(１５，４2)に従うとき

高校数学「確率統計」正規分布Ｎ(１５，４²)に従うとき

◆問題

確率変数Ｘが正規分布Ｎ(１５，４²)に従うとき、Ｐ(１３≦Ｘ≦１５)を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解答解説

確率変数Ｘが正規分布(ｍ，σ²)に従うとき、Ｘに関する確率はＸを標準化して標準正規分布Ｎ(０，１)における確率に直して求めることができます。

Ｚ＝(Ｘ−ｍ)／σ

とすると、ＺはＮ(０，１)に従うことが知られていて、このＺを、Ｘを標準化した確率変数といいます。

今回の問題では、ｍ＝１５，σ＝４だから、Ｚ＝(Ｘ−１５)／４となります。これを用いてＰ(１３≦Ｘ≦１５)を書き換えてみます。

　Ｐ(１３≦Ｘ≦１５)
＝Ｐ((１３−１５)／４≦Ｚ≦(１５−１５)／４)
＝Ｐ(−２／４≦Ｚ≦０)
＝Ｐ(−０．５≦Ｚ≦０)

このように書き換えることができました。

Ｐ(−０．５≦Ｚ≦０)＝Ｐ(０≦Ｚ≦０．５)だから、あとは世紀分布表を用いて値を調べると、

Ｐ(０≦Ｚ≦０．５)＝０．１９１５

このようになります。


正規分布表はこちら


◆確率統計まとめ


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高校数学「積分」ｙ＝ｘ2−４ｘ＋１とｘ軸で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」ｙ＝ｘ²−４ｘ＋１とｘ軸で囲まれた図形の面積

■　問題

放物線ｙ＝ｘ²−４ｘ＋１とｘ軸で囲まれた図形の面積Ｓを求めよ。


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■　解答解説

ｘ軸と関数に囲まれた図形の面積を求めるには、ｘ軸との交点の間の区間で定積分ですね！
まずは交点を求めてみましょう！

ｘ軸上はｙ＝０だから、

ｘ²−４ｘ＋１＝０

因数分解できないので、解の公式を使います。

ｘ＝[−(−４)±√{(−４)²−４×１×１}]／(２×１)
　＝{４±√(１６−４)}／２
　＝(４±√１２)／２
　＝(４±２√３)／２
　＝２±√３

だから、２−√３から２＋√３の区間で定積分ですね！
・・・ですが、普通に定積分をやると計算がかなり大変になってしまいます。
２次式を積分すると３次式になり、それに２−√３を代入したり・・・となってしまいます。
もちろんこの程度ならやればできますが、もっと簡単に計算できる公式があることも知っておくと良いでしょう。
いわゆる、「１／６の公式」です。
２次関数とｘ軸または直線との間の面積を求めるために使うことができます。

２つの交点をα，βとすると、

Ｓ＝(１／６)(β−α)³

こんなシンプルな式で面積を求めることができます。
どこかにマイナスがついたりつかなかったり、公式の表し方はいくつかありますが、「大きい方から小さい方を引いて、３乗して、１／６」と覚えておくのが実用的だと思います。

今回はα＝２−√３，β＝２＋√３なので、

Ｓ＝(１／６)(２＋√３−２＋√３)³
　＝(１／６)(２√３)³
　＝(１／６)×２４√３
　＝４√３


◆関連項目
ｙ＝ｘ²＋ｘとｙ＝２ｘ＋６に囲まれた図形の面積
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算�A

高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算�A

■　問題

次の定積分を求めよ。

∫[1〜3]|ｘ²−４|ｄｘ


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■　解答解説

絶対値を含む定積分を考えるときは、場合分けが必要になる場合があります。
絶対値なので、値がマイナスなら符号を変えるという操作が必要になります。

どこで符号が変わるかを調べるため、まずはイコールゼロで解いてみます。

ｘ²−４＝０
(ｘ＋２)(ｘ−２)＝０
ｘ＝−２，２

今回の積分の区間は１から３だから、１〜２と２〜３の２ヶ所に分けて考えます。
２より左はマイナス、２より右はプラスだから、

　∫[1〜3]|ｘ²−４|ｄｘ
＝−∫[1〜2](ｘ²−４)ｄｘ＋∫[2〜3](ｘ²−４)ｄｘ

このように分けることができます。
あとは計算ですね！

＝−[(１／３)ｘ³−４ｘ][1〜2]＋[(１／３)(ｘ³−４ｘ][2〜3]
＝−{８／３−８−(１／３−４)}＋２７／３−１２−(８／３−８)
＝−(８／３−８−１／３＋４)＋２７／３−１２−８／３＋８
＝−(７／３−４)＋１９／３−４
＝−７／３＋４＋１９／３−４
＝１２／３
＝４


◆関連項目
基本的な定積分の計算
微分積分(数学２)まとめ

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高校数学「積分」絶対値を含む定積分の計算�@

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■　問題

次の定積分を求めよ。

∫[1〜3]|ｘ−２|ｄｘ


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■　解答解説

絶対値を含む定積分を考えるときは、場合分けが必要になる場合があります。

絶対値なので、値がマイナスなら符号を変えるという操作が必要になります。

ｘ−２＝０を解くと、ｘ＝２だから、ｘ＝２を境に式の値の符号が変わります。

ｘ＜２ならマイナス、ｘ＞２ならプラスですね。
マイナスのところは符号を変えて積分。プラスのところはそのまま積分です。
つまり、

　∫[1〜3]|ｘ−２|ｄｘ
＝−∫[1〜2](ｘ−２)ｄｘ＋∫[2〜3]|ｘ−２|ｄｘ

これを計算すればよい。というわけです。
やってみましょう！

＝−[(１／２)ｘ²−２ｘ][1〜2]＋[(１／２)ｘ−２ｘ][2〜3]
＝−{(１／２)・４−２・２−(１／２−２)}＋(１／２)・９−２・３−{(１／２)・４−２・２}
＝−(２−４−１／２＋２)＋９／２−６−(２−４)
＝１／２＋９／２−４
＝５−４
＝１


この問題は単純な図形なので、他の方法もできますが、こういった単純な問題で、原則通りにやる練習をするのも良いと思います！


◆関連項目
基本的な定積分の計算
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高校数学「図形と方程式」線分ＡＱを１：２に内分する点Ｐの軌跡

高校数学「図形と方程式」線分ＡＱを１：２に内分する点Ｐの軌跡

◆問題
点Ｑが直線ｘ−２ｙ＋２＝０上を動くとき、点Ａ(２，−３)と点Ｑを結ぶ線分ＡＱを１：２に内分する点Ｐの軌跡を求めよ。


軌跡に関する少し難しい問題です。
定期テストレベルなら、このくらいが解ければだいたいＯＫだと思います。


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◆解答解説

軌跡の問題では、基本的には点Ｐを(ｘ，ｙ)とおきます。
そして点Ｐ以外に移動する点があれば、それも文字で置きます。
例えば、Ｑ(ｓ，ｔ)とするのが標準的だと思います。

今回の問題も、この置き方でやっていきます。

Ｑはｘ−２ｙ＋２＝０上の点なので、この直線の式に代入することができますね。
つまり、ｓ−２ｔ＋２＝０です。

点ＰはＡＱを１：２に内分する点だから、内分の公式を使って式を立てます。

ｘ＝(２×２＋１×ｓ)／(１＋２)＝(４＋ｓ)／３
ｙ＝{２×(−３)＋１×ｔ)／(１＋２)＝(−６＋ｔ)／３

求めるのはＰの軌跡、つまり、ｘとｙの関係式です。
だから、ｓ，ｔを消去するために、それぞれｓ，ｔについて解きます。

　ｘ＝(４＋ｓ)／３
３ｘ＝４＋ｓ
　ｓ＝３ｘ−４

　ｙ＝(−６＋ｔ)／３
３ｙ＝−６＋ｔ
　ｔ＝３ｙ＋６

これらをｓ−２ｔ＋２＝０に代入すれば、ｘ，ｙの式ができますね！

３ｘ−４−２(３ｙ＋６)＋２＝０
３ｘ−４−６ｙ−１２＋２＝０
３ｘ−６ｙ−１４＝０

よって、求める軌跡は、「３ｘ−６ｙ−１４＝０の直線」です。


◆関連項目
２点Ｏ(０，０)，Ａ(６，０)からの距離の比が２：１である点Ｐの軌跡
軌跡の立式の仕方
図形と方程式まとめ


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高校数学「微分」ｙ＝ｘ4−８ｘ3＋１８ｘ2−１１のグラフ

高校数学「微分」ｙ＝ｘ⁴−８ｘ³＋１８ｘ²−１１のグラフ


◆問題

ｙ＝ｘ⁴−８ｘ³＋１８ｘ²−１１のグラフを描け。


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◆解答解説

ｙ＝ｘ⁴−８ｘ³＋１８ｘ²−１１のグラフを描け。

３次関数や４次関数のグラフを描くときは、増減表を作るのが標準的です。

そのためには、ｙ'＝０になるときのｘの値が必要ですね。
まずは微分して計算してみましょう！

ｙ'＝４ｘ³−２４ｘ²＋３６ｘ＝０
ｘ³−６ｘ²＋９ｘ＝０
ｘ(ｘ²−６ｘ＋９)＝０
ｘ(ｘ−３)²＝０
よって、ｘ＝０，３

ｘ＝３のところは重解なので、ｘ＝３のところでｙ'はゼロになりますが、その前後どちらもｙ'の符号は同じになります。
というわけで、増減表は以下のようになります。

ｘ	…	０	…	３	…
ｙ'	−	０	＋	０	＋
ｙ	↘	極小	↗		↗

そしてグラフは以下のようになります。




◆関連項目
４次関数の最大最小
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」ｙ＝(ｘ−２)3の微分

高校数学「微分」ｙ＝(ｘ−２)³の微分

◆問題

ｙ＝(ｘ−２)³を微分せよ。


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◆解答解説

数学２の微分としては発展的な内容、数学３の微分としては基本的な内容となります。

この記事では主に数学３の微分で登場する公式を使って解説します。

ｙ＝(ａｘ＋ｂ)ⁿのとき、
ｙ'＝ｎ(ａｘ＋ｂ)'(ａｘ＋ｂ)^n-1
　＝ａｎ(ａｘ＋ｂ)^n-1

このように微分することができます。

これを使えば、与式は、

ｙ'＝３(ｘ−２)'(ｘ−２)²
　＝３(ｘ−２)²

このように微分することができます。

もちろん、いったん展開してから微分(数学２の普通のやり方)しても、全く同じ式を求めることができます。


◆関連項目
微分積分(数学２)まとめ
微分積分(数学３)まとめ


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高校数学「逆関数」ｆ(ｘ)＝４xの逆関数

高校数学「逆関数」ｆ(ｘ)＝４^xの逆関数

◆問題

次の関数の逆関数を求めよ。

ｆ(ｘ)＝４^x


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◆解答・解説

前回の問題と同様に、ｘの整式で表される関数の逆関数を求めるときは、ｘについて解いて、ｘとｙを入れ替える。という操作をします。

ｙ＝４^xとしてやってみましょう！

対数に書き直せば、

ｘ＝ｌｏｇ₄ｙ

ですね。

ｘとｙを入れ替えると、

ｙ＝ｌｏｇ₄ｘ

というわけで、

ｆ^-1(ｘ)＝ｌｏｇ₄ｘ


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高校数学「逆関数」ｆ(ｘ)＝ｘ／(ｘ＋３)の逆関数

高校数学「逆関数」ｆ(ｘ)＝ｘ／(ｘ＋３)の逆関数

◆問題

次の関数の逆関数を求めよ。

ｆ(ｘ)＝ｘ／(ｘ＋３)


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◆解答・解説

ｘの整式で表される関数の逆関数を求めるときは、ｘについて解いて、ｘとｙを入れ替える。という操作をします。

ｙ＝ｘ／(ｘ＋３)として、計算してみましょう！

ｙ(ｘ＋３)＝ｘ
ｙｘ＋３ｙ−ｘ＝０
ｘ(ｙ−１)＝−３ｙ
ｘ＝−３ｙ／(ｙ−１)

ｘとｙを入れ替えて、

ｙ＝−３ｘ／(ｘ−１)

というわけで、求める逆関数は、

ｆ^-1(ｘ)＝−３ｘ／(ｘ−１)


次の問題→ｆ(ｘ)＝４^x


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高校数学「無理関数」曲線ｙ＝√(ｘ−１)とｙ＝ｘ＋ｋの共有点が２個のとき

高校数学「無理関数」曲線ｙ＝√(ｘ−１)とｙ＝ｘ＋ｋの共有点が２個のとき

◆問題

曲線ｙ＝√(ｘ−１)について次の問いに答えよ。

(1) 直線ｙ＝ｘ−３との共有点の座標を求めよ。

(2) 直線ｙ＝ｘ＋ｋと接するときのｋの値を求めよ。

(3) (2)のときの接点の座標を求めよ。

(4) 直線ｙ＝ｘ＋ｋと異なる２点で交わるようなｋの値の範囲を求めよ。


↓↓(4)の解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

(2)より、接するときはｋ＝−３／４です。
そして、グラフを考えると、この場合より上にいくと共有点がなくなってしまうことがわかると思います。

つまり、ｋ＝−３／４より下にいく必要があります。
いくらでも下に行って良いわけではありません。

無理関数のグラフはプラスの部分だけの範囲だから、(１，０)の点を通る場合が一番下になります。
このとき、０＝１＋ｋより、ｋ＝−１

一番上のときｋ＝−３／４，一番下のときｋ＝−１だから、これらの間が求める範囲になります。

よって、−１＜ｋ＜−３／４


この問題の最初に戻る→直線ｙ＝ｘ−３との共有点の座標


◆関連項目
無理関数のグラフの基本的な特徴
双曲線


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高校数学「無理関数」曲線ｙ＝√(ｘ−１)とｙ＝ｘ＋ｋの接点の座標

高校数学「無理関数」曲線ｙ＝√(ｘ−１)とｙ＝ｘ＋ｋの接点の座標

◆問題

曲線ｙ＝√(ｘ−１)について次の問いに答えよ。

(1) 直線ｙ＝ｘ−３との共有点の座標を求めよ。

(2) 直線ｙ＝ｘ＋ｋと接するときのｋの値を求めよ。

(3) (2)のときの接点の座標を求めよ。


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◆解答・解説

ｋ＝−３／４がわかったので、あとは代入して計算していけばＯＫです。

ｘ²＋(２ｋ−１)ｘ＋ｋ²＋１＝０にｋ＝−３／４を代入して、

ｘ²＋(−３／２−１)ｘ＋９／１６＋１＝０
ｘ²−(５／２)ｘ＋２５／１６＝０
(ｘ−５／４)²＝０
よって、ｘ＝５／４

接するので曲線と直線どちらに入れても良いのですが、今回は曲線の方に入れてみます。

ｙ＝√(５／４−１)
　＝√(１／４)
　＝１／２

というわけで、求める接点の座標は、(５／４，１／２)


次の問題→共有点が２個のとき


◆関連項目
無理関数のグラフの基本的な特徴
双曲線


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高校数学「無理関数」曲線ｙ＝√(ｘ−１)とｙ＝ｘ＋ｋが接するとき

高校数学「無理関数」曲線ｙ＝√(ｘ−１)とｙ＝ｘ＋ｋが接するとき

◆問題

曲線ｙ＝√(ｘ−１)について次の問いに答えよ。

(1) 直線ｙ＝ｘ−３との共有点の座標を求めよ。

(2) 直線ｙ＝ｘ＋ｋと接するときのｋの値を求めよ。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

ｙ＝√(ｘ−１)は無理関数で、ｙ＝ｘ＋ｋは１次関数ですね。

接するときも共有点をもつので、まずは連立方程式の要領で計算します。

√(ｘ−１)＝ｘ＋ｋ
ｘ−１＝(ｘ＋ｋ)²
ｘ−１＝ｘ²＋２ｋｘ＋ｋ²

２次方程式になったので、●●＝０の形にしてみます。

ｘ²＋(２ｋ−１)ｘ＋ｋ²＋１＝０

接するということは、この式の解が１つと考えます。
判別式をＤ＝ｂ²−４ａｃとすると、

Ｄ＝(２ｋ−１)²−４×１×(ｋ²＋１)
　＝４ｋ²−４ｋ＋１−４ｋ²−４
　＝−４ｋ−３

解が１つなので、Ｄ＝０です。つまり、

−４ｋ−３＝０
　　　４ｋ＝−３
　　　　ｋ＝−３／４


次の問題→接点の座標


◆関連項目
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高校数学「無理関数」曲線ｙ＝√(ｘ−１)と直線ｙ＝ｘ−３の共有点

高校数学「無理関数」曲線ｙ＝√(ｘ−１)と直線ｙ＝ｘ−３の共有点

◆問題

曲線ｙ＝√(ｘ−１)について次の問いに答えよ。

(1) 直線ｙ＝ｘ−３との共有点の座標を求めよ。


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◆解答・解説

ｙ＝√(ｘ−１)は無理関数で、ｙ＝ｘ−３は１次関数ですね。
こういった場合でも、関数の共有点や交点はとにかく連立方程式で求めることができます。
右辺同士をイコールで結んで解いていきましょう！

ｘ−３＝√(ｘ−１)

まずは両辺を２乗して、

(ｘ−３)²＝ｘ−１

２次方程式になったので、普通に解きます。

ｘ²−６ｘ＋９＝ｘ−１
ｘ²−７ｘ＋１０＝０
(ｘ−２)(ｘ−５)＝０
よって、ｘ＝２，５

ｘ＝２のときｘ−３＝−１＜０だから、ｘ−３＝√(ｘ−１)に適しません。
ｘ＝５のときは、ｘ−３＝２＞０だから大丈夫です。

だから、この２つの関数の共有点のｘ座標はｘ＝５のみが適切な値である。ということができます。

ｘ＝５のとき、ｙ＝５−３＝２

よって、求める共有点の座標は(５，２)


次の問題→接するとき


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無理関数のグラフの基本的な特徴
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高校数学「分数関数」不等式２／(ｘ−１)＞ｘ

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◆問題

直角双曲線ｙ＝２／(ｘ−１)について次の問いに答えよ。

(1) 漸近線の方程式を求めよ。

(2) ２つの関数ｙ＝２／(ｘ−１)とｙ＝ｘの交点の座標を求めよ。

(3) 不等式２／(ｘ−１)＞ｘを解け。


↓↓(3)の解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

場合分けして式を変形して解くこともできますが、グラフを考えることで不等式を解くこともできます。

２／(ｘ−１)＞ｘ

これはつまり、ｙ＝２／(ｘ−１)のグラフがｙ＞ｘのグラフより上側にあることを意味しています。



交点と漸近線を考えると、そういう範囲は、

ｘ＜−１，１＜ｘ＜２ですね！


この問題の最初に戻る→漸近線の方程式


◆関連項目
反比例(中学数学)
双曲線


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高校数学「分数関数」ｙ＝２／(ｘ−１)とｙ＝ｘの交点

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◆問題

直角双曲線ｙ＝２／(ｘ−１)について次の問いに答えよ。

(1) 漸近線の方程式を求めよ。

(2) ２つの関数ｙ＝２／(ｘ−１)とｙ＝ｘの交点の座標を求めよ。


↓↓(2)の解答解説はお知らせの下↓↓

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◆解答・解説

関数の種類にかかわらず、関数の交点は連立方程式で求めることができます。

ｙ＝２／(ｘ−１)とｙ＝ｘを連立して解きます。

ｘ＝２／(ｘ−１)
ｘ(ｘ−１)＝２
ｘ²−ｘ−２＝０
(ｘ＋１)(ｘ−２)＝０
よって、ｘ＝−１，２

聞いているのは座標なので、ｙ座標も求めます。

ｙ＝ｘにそれぞれのｘの値を代入すると、ｙ＝−１，２

というわけで、求める交点の座標は、

(−１，−１)，(２，２)


次の問題→不等式２／(ｘ−１)＞ｘの解


◆関連項目
反比例(中学数学)
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高校数学「分数関数」ｙ＝２／(ｘ−１)の漸近線

高校数学「分数関数」ｙ＝２／(ｘ−１)の漸近線

◆問題

直角双曲線ｙ＝２／(ｘ−１)について次の問いに答えよ。

(1) 漸近線の方程式を求めよ。


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◆解答・解説

直角双曲線は中学数学の反比例の応用です。
反比例のグラフを平行移動したもので、

ｙ＝ｋ／(ｘ−ｐ)＋ｑ

この式で表されるグラフは、ｙ＝ｋ／ｘをｘ軸方向にｐ，ｙ軸方向にｑ移動したものになります。
漸近線は、ｘ＝ｐ，ｙ＝ｑですね。

今回の問題では、ｙ＝２／(ｘ−１)だから、

ｙ＝２／ｘをｘ軸方向に１だけ移動したものになります。

つまり、漸近線は、ｘ＝１，ｙ＝０です。


次の問題→直線との交点


◆関連項目
反比例(中学数学)
双曲線


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高校数学「平面図形の性質」√５の作図

高校数学「平面図形の性質」√５の作図

◆問題

長さ１の線分ＡＢが与えられたとき、√５の線分を作図せよ。


解答はこのページ下
この記事では、この作図をするときの考え方やコンパスの使い方を解説します。

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◆解答解説

直角三角形を使って√５を作図することができます。

直角をはさむ２辺の長さが１と２ならば、三平方の定理より、斜辺の長さは√５となります。

つまり、例えば以下のような手順で√５の線分を作図することができます。

ＡＢのＢを通る垂線を作図する。
(コンパスを使って垂直二等分線を引く方法で垂線を作図します)

→その垂線にＡＢの２倍の長さをとり、その点をＣとする。
(ＡＢにコンパスの幅を合わせて、垂線上で２回とります)

→ＡとＣを結べば√５の線分のできあがり！
(△ＡＢＣは１：２：√５の直角三角形になります)


数学Ａ平面図形まとめ


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高校数学「平面図形の性質」ＡＢを７等分するときの作図

高校数学「平面図形の性質」ＡＢを７等分するときの作図

◆問題

線分ＡＢが与えられたとき、線分ＡＢを４：３に内分する点を作図せよ。


解答はこのページ下
この記事では、この作図をするときの考え方やコンパスの使い方を解説します。

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◆解答解説

長さを測って７で割って４：３にするのももちろん可能ですが、コンパスと定規のみを使って作図することを考えます。
コンパスは一定の長さを測ることができるので、コンパスで幅を変えずに７回連続で測れば、ある線分を７等分した図を描くことができます。

まず、点Ａからある程度離れた適当な位置に点Ｃをとって、線分ＡＣを引きます。

コンパスを適当な幅にして、Ａを中心とする円とＡＣとの交点を描きます。
(このとき、コンパスの開く幅は、ＡＣ上に７回分入るような幅にします)

円とＡＣとの交点を中心にして、同様に次の交点を描きます。

さらに、新しい交点を中心にして、次の交点を描く・・・

とやっていき、ＡＣ上に７回交点を描きます。
そうすると、最後の交点とＡとの間は７等分されたことになります。
ＡＣを７等分ではなく、「ＡＣ上に７回目に描いた点とＡとの間を７等分」です。

この「最後の交点」を例えばＤとして、ＢＤを引きます。

そして、ＢＤに平行な線を、ここまでの交点を通るように引いていけば、ＡＢを７等分する点を取ることができる。というわけですね！

７等分できれば、３：４になる点が、求める点となります。


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高校数学「定積分」∫[0〜x](３ｔ−１)ｄｔの導関数

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■　問題

次のｘの関数の導関数を求めよ。

∫[0〜x](３ｔ−１)ｄｔ


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■　解答解説

「積分した式を導関数にする？なんだそれ？」
と混乱してお手上げになってしまう人もいますが、そんなときこそ、とにかくできることを言ってる通りにやるのが大切です。

∫[0〜x](３ｔ−１)ｄｔ

まずは普通に定積分の計算をしましょう！

＝[(３／２)ｔ²−ｔ][0〜x]
＝(３／２)ｘ²−ｘ

ですね。
これが定積分の計算結果なので、これを微分すればＯＫです！
つまり求める式は、

３ｘ−１

結局、もとの式の文字をｘに変えただけになってしまいました。
積分は微分の逆で、積分して微分したのだから、もとに戻ってしまう。というわけです！


◆関連問題
基本的な定積分の計算
数学２微分積分まとめ


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高校数学「不定積分」基本的な不定積分の計算

高校数学「不定積分」基本的な不定積分の計算

■　問題

次の不定積分を求めよ。

(1) ∫(４ｘ−１)ｄｘ

(2) ∫(３ｘ²＋４ｘ−２)ｄｘ

(3) ∫(ｘ＋１)(ｘ−３)ｄｘ

(4) ∫(ｙ−４)²ｄｙ

(5) ∫(ｘ＋１)³ｄｘ


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■　解答解説

積分は微分の逆なので、積分するときは「次数を１上げて、新しい指数で割る」という操作をします。

公式としては、★∫ｘⁿｄｘ＝{１／(ｎ＋１)}ｘⁿ⁺¹＋Ｃ となります。

ちなみに微分ならば、「次数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」ですね！

そして、定数を微分するとゼロなので、積分するときは微分したときに消えた定数を復活させなければいけません。それが積分定数Ｃです。

ではそれぞれの問題を計算していきます。


(1) ∫(４ｘ−１)ｄｘ
＝(１／２)・４ｘ²−ｘ＋Ｃ
＝２ｘ²−ｘ＋Ｃ


(2) ∫(３ｘ²＋４ｘ−２)ｄｘ
＝(１／３)・３ｘ³＋(１／２)・４ｘ²−２ｘ＋Ｃ
＝ｘ³＋２ｘ²−２ｘ＋Ｃ


(3) ∫(ｘ＋１)(ｘ−３)ｄｘ
＝∫(ｘ²−２ｘ−３)ｄｘ
＝(１／３)ｘ³−(１／２)・２ｘ²−３ｘ＋Ｃ
＝(１／３)ｘ³−ｘ²−３ｘ＋Ｃ


(4) ∫(ｙ−４)²ｄｙ
＝∫(ｙ²−８ｙ＋１６)ｄｙ
＝(１／３)ｙ³−(１／２)・８ｙ²＋１６ｙ＋Ｃ
＝(１／３)ｙ³−４ｙ²＋１６ｙ＋Ｃ


(5) ∫(ｘ＋１)³ｄｘ
＝∫(ｘ³＋３ｘ²＋３ｘ＋１)ｄｘ
＝(１／４)ｘ⁴＋(１／３)・３ｘ³＋(１／２)・３ｘ²＋ｘ＋Ｃ
＝(１／４)ｘ⁴＋ｘ³＋(３／２)ｘ²＋ｘ＋Ｃ


(3)以降のように、式にカッコがあるときは、まずは展開してから積分します。
(4)のように、変数の文字がｘでなくても積分できます。
積分定数Ｃを忘れずに！


◆関連問題
ｆ(ｘ)＝ｘ²の不定積分Ｆ(ｘ)
「微分」ｘ²＋３ｘ＋２
数学２微分積分まとめ


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