2021年05月23日

高校数学「連立不等式」3x+2<x+4,8x+1>6x−5

高校数学「連立不等式」3x+2<x+4,8x+1>6x−5

先日発売した10秒でわかる高校数学1A「数と式」の考え方から1問ご紹介します。


■ 問題

「次の連立不等式を解け。
  3x+2<x+4
  8x+1>6x−5」



このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ それぞれ解く。ただ、それだけ

 A それぞれ解いて、共通範囲を求める

 B 不等号をイコールに変えて方程式にしてしまう

 C 右辺をゼロにする


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■ 選択肢の解答

 A それぞれ解いて、共通範囲を求める

 連立不等式を解くときは、
★「まずそれぞれ解く」→「2つの解の共通範囲を求める」
という手順で考えます。共通範囲を求めるときは、数直線を使うとわかりやすいですね。


■ 解答解説

 まずはそれぞれ解きます。
3x+2<x+4  8x+1>6x−5
3x−x<4−2 8x−6x>−5−1
  2x<2 2x>−6
   x<1 x>−3

共通しているところが解なので、求める解は、
−3<x<1


この問題は次の書籍のP.29に掲載されています。書籍では、数直線、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
連立2次不等式


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2021年05月21日

高校数学「因数分解」2x^2−xy−y^2−7x+y+6

高校数学「因数分解」2x^2−xy−y^2−7x+y+6

昨日発売した10秒でわかる高校数学1A「数と式」の考え方から1問ご紹介します。


■ 問題

「次の式を因数分解せよ。
2x^2−xy−y^2−7x+y+6」



このときはまず最初に何をすればいいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!



■ 選択肢

 @ 2x^2−xy−y^2の部分を因数分解する

 A xについて降べきの順に整理する

 B xでくくる

 C yでくくる



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■ 選択肢の解答

 A xについて降べきの順に整理する

 このように、xもyも様々な種類の項を含む、いわば「フルコース」の2次式の場合、xについて降べきの順に整理し、まずは定数項(yなどを含む項)を因数分解してみると上手くいくことがあります。
 とにかく全ての項をかっこの中に入れるのが因数分解なので、共通する部分ができるようにしたり、公式を適用しやすく変形する。という方針です。



■ 解答解説

 まずは与式を降べきの順に整理すると、
 2x^2−xy−y^2−7x+y+6
=2x^2+(−y−7)x+(−y^2+y+6)
=2x^2−(y+7)x−(y^2−y−6)   ←マイナスでくくった
=2x^2−(y+7)x−(y+2)(y−3)  ←定数項を因数分解した

ここでこの式全体をxの2次式と捉えて、たすきがけをします。
難しく見えると思いますが、掛けて(y+2)(y−3)になるのは、
(y+2)と(y−3)なので、意外とパターンが限られています。

 1   −(y+2) = −2y−4
   ×
 2     y−3 =  y−3
―――――――――――――――――――
 2  −(y+2)(y−3) −(y+7)

={x−(y+2)}(2x+y−3)
=(x−y−2)(2x+y−3)


この問題は次の書籍のP.17に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
3x^2+y^2−4xy−x+3y−4の因数分解


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2021年05月18日

高校数学「二項定理」nC0+nC1+nC2+……+nCr+……+nCn=2^n

高校数学「二項定理」nC0+nC1+nC2+……+nCr+……+nCn=2


■ 問題

(1+x)の展開式を利用して、次の式を証明せよ。
nC0+nC1+nC2+……+nCr+……+nCn=2



いわゆる二項定理を利用して考えます。


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■ 解答解説

(1+x)を展開することを考えます。

xについての整式と捉えると、展開したら、定数項、1次の項、2次の項、…と並ぶはずですね。

二項定理を使って、それぞれの項の係数を考えれば、

定数項・・・nC0
1次の項・・・nC1
2次の項・・・nC2

このようになっていきます。
ここから、証明したい式の左辺は、(1+x)の全ての項の係数であると推定できると思います。

係数を全て足したものだから、「(1+x)にx=1を代入したもの」と言っても同じです。

(1+x)に、x=1を代入すると、

(1+1)=2

よって、nC0+nC1+nC2+……+nCr+……+nCn=2


解説記事のリクエストも受け付けています。
「この問題わからない。誰か教えて!」という人は、お気軽にご連絡ください。


江間淳の書籍はこちら
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2021年05月16日

高校数学「絶対値」「方程式」|x−2|=3

高校数学「絶対値」「方程式」|x−2|=3


■ 問題

次の方程式を解け。
|x−2|=3



解き方・考え方は一つではありませんが、個人的には、しっかり場合分けをして解くことをオススメしています。


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■ 解答解説

絶対値は「数字の符号を取ったもの」「原点からの距離」などと理解できます。

与式の|x−2|=3は、「x−2の値は+3と−3の場合がある」「x−2の値は原点から3だけ離れた位置にある」ことを意味します。

絶対値の扱いとしては、

・中身がプラスならそのまま外す
・中身がマイナスなら符号を変えて外す

と考えればOKです。

場合分けをしてみると、

(i) 絶対値の中身がプラスのとき

x−2≧0すなわちx≧2のとき

x−2=3
  x=3+2
  x=5

これはx≧2を満たす。

(ii) 絶対値の中身がマイナスのとき

x−2<0すなわちx<2のとき

−(x−2)=3
−x+2=3
  −x=3−2
  −x=1
   x=−1

これはx<2を満たす。

(i),(ii)より、x=5,−1


このように、絶対値を含む方程式の場合、1次方程式なのに解が複数出ることがあります。


ちなみに、このような単純な方程式では必ず満たす範囲の値が出てきますが、式によっては不適となる値が出てくることもあるので、その都度、出た解が場合分けの範囲を満たしているか確認しなければいけません。


◆関連問題
2|x|+|2x+3|=7


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2021年05月04日

高校数学「数列」「数学的帰納法」1+4+7+……+(3n−2)

高校数学「数列」「数学的帰納法」

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

「数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。ただし、nは自然数とする。
1+4+7+……+(3n−2)=(1/2)n(3n−1)」



このときはまずn=1の場合に等式が成り立つことを確認し、次に、
n=kで成り立つと仮定すると、n=k+1でも成り立つことを示します。
n=k+1でも成り立つことを示すには、まず何をすればいいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 両辺に(k+1)を足す

 A 両辺に第(k+1)項を足す

 B 「1個ずらして引く」をやる

 C an=a1+Σ[k=1〜n-1]bkをやる


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■ 選択肢の解答

 A 両辺に第(k+1)項を足す

 数学的帰納法を用いて式の証明をするときは、

[1]n=1のとき成り立つ。
[2]n=kのとき成り立つと仮定するとn=k+1のときも成り立つ。

これら2つのことを言っていきます。これら2つの事が言えば、「n=1が成り立つならばn=2も成り立つ。n=2が成り立つならn=3も成り立つ。n=3が成り立つならn=4も…」のように、次々と次の項が成り立つことが言えるので、全ての自然数について証明したことになります。

 そのための代表的な方法が、第(k+1)項を両辺に足す。です。

・左辺には初項から第k項までが書かれているので、第(k+1)項を足せば、初項から第(k+1)項までの和になります。
・右辺は第k項までの和なので、第(k+1)項の値を加えて変形した結果、第(k+1) 項までの和の式が得られるはずです。

これらが言えれば、「n=kのとき成り立つと仮定すると、n=k+1のときも成り立つ」ということができます。


■ 解答解説

[1] n=1のとき

(左辺)=1,(右辺)=(1/2)1・(3−1)=1

よって成り立つ。


[2] n=kのとき成り立つと仮定すると、

1+4+7+……+(3k−2)=(1/2)k(3k−1)

この式の両辺にに第(k+1)項すなわち、(3k+1)を加えると、

1+4+7+……+(3k−2)+(3k+1)=(1/2)k(3k−1)+(3k+1)

この式の右辺を計算すると、

(右辺)=(3/2)k^2−(1/2)k+3k+1

   =(3/2)k^2+(5/2)k+1

   =(1/2)(3k^2+5k+2) ←(1/2)でくくった

   =(1/2)(3k+2)(k+1) ←因数分解した

これはn=k+1の場合の右辺なので、与式はn=k+1のときも成り立つ。
よって、与式は全ての自然数について成り立つ。


この問題は次の書籍のP.69に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
数列まとめ


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2021年04月22日

高校数学「数列」「漸化式」1/an=bnのおきかえを利用する場合

高校数学「数列」「漸化式」1/an=bnのおきかえを利用する場合

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

「a1=1,an+1=an/3an+4で定められる数列{an}の一般項を1/an=bnのおきかえを利用して求めよ。」


おきかえを利用するためには、まずは与式を変形する必要があります。
どのような方針で変形すればいいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 分数だとわかりにくいので、まずは両辺に(3an+4)を掛ける

 A1/anの形にしなければいけないのだから、両辺を逆数にする

 Ban/(3an+4)を約分して、1/(3+4)とする

 C1/an=bnをanについて解いて、与式に代入する


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■ 選択肢の解答

 A1/anの形にしなければいけないのだから、両辺を逆数にする

 この問題では、おきかえの形が指定されているので、それが活用できるように与式を変形します。
1/an=bnにn=n+1を代入すれば、an+1=1/bn+1となります。さらに、
分子が定数なので、分子からanが消えるようにする必要があります。与式を逆数にすれば、右辺の分母がanだけになるので、約分しやすくなる点に注目してください。


■ 解答解説

まずは与式の両辺を逆数にします。

1/an+1=(3an+4)/anとなるので、右辺を約分すると、(右辺)=3+(4/an)

ここで、1/an=bnなので、1/an+1=bn+1です。両辺それぞれ置き換えれば、

bn+1=3+4bnが得られます。

これはP.61でも取り上げた、「等差と等比の複合の漸化式」の形です。同様にやってみましょう!

bn+1+1=4(bn+1)と変形して、bn+1=cnとすると、
cn+1=4cnが得られます。

さらに、c1=b1+1=1/a1+1=1+1=2だから、

cnは初項が2,公比が4の等比数列です。よって一般項は、cn=2・4^(n-1)
bn+1=cnだから、bn=2・4^(n-1)−1

そして、1/an=bnだからan=1/bnなので、求める一般項は、

an=1/{2・4^(n-1)−1}


この問題は次の書籍のP.65に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差と等比の複合の漸化式
数列まとめ


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2021年04月13日

高校数学「数列」「漸化式」「階差数列」a1=−1,an+1=an+3n

高校数学「数列」「漸化式」「階差数列」a1=−1,an+1=an+3n

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「 次のように定められた数列の一般項anを求めよ。
 a1=−1,an+1=an+3n (n=1,2,3,…)」



このときは、第n群までの最初の項を取り出して数列とみなして解くことも
できますが、他にはどんな方法が可能でしょうか?
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■ 選択肢

 @ 初項が−1,公差が3の等差数列

 A 初項が−1,公差が3nの等差数列

 B 初項が−1,公比が3nの等比数列

 C 初項が−1,階差数列が3n


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■ 選択肢の解答

 C 初項が−1,階差数列が3n

 an+1=an+3nは、第n項に3nを足すと第n+1項になる。ことを意味します。次の項に行く度に3nを足し続ける。というわけです。足し続ける数は3nだから、項数によって段階的に変化します。つまり、これは階差数列を用いた数列を漸化式で表したものです。



■ 解答解説

 この数列anは階差数列をbn=3nと考えて計算すればOKですね!

P.33にも掲載したように、an=a1+Σ[k=1〜n-1]bkだから、

an=−1+Σ[k=1〜n-1]3k
  =−1+3・(1/2)・(n−1)・(n−1+1)
  =−1+(3/2)n(n−1)
  =(3/2)n^2−(3/2)n−1


この問題は次の書籍のP.57に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
群数列
数列まとめ


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2021年04月10日

高校数学「数列」群数列1|2,3|4,5,6|…

高校数学「数列」群数列1|2,3|4,5,6|…

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「  自然数の列を次のように、第n群にはn個の数が入るようにする。
 1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|11,……
 このとき、第n群の最初の項を求めよ。」



このときは、第n群までの最初の項を取り出して数列とみなして解くことも
できますが、他にはどんな方法が可能でしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 第1群から第(n−1)群までに何個の数があるか求める

 A 自然数の列を区切ると等比数列になるので、等比数列の公式を使う

 B 自然数の列は等差数列なので、普通に等差数列の公式を使う

 C どれでもない


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■ 選択肢の解答

 @ 第1群から第(n−1)群までに何個の数があるか求める

 第n群の最初の項は、第(n−1)群の最後の項の次の項ですね。だから、第(n−1)群までに何個の数(項)があるかわかれば、それに1を足せばOK!というわけです。


■ 解答解説

 第n群の最初の項を求めるには、第(n−1)群までの項数を求める必要があります。「第n群にはn個の数が入る」ので、第1群には1個の数が入り、第2群には2個の数が入り、第3群には3個、第4群には4個……となっていくので、第(n−1)群までの項数は、1からn−1までの和になります。
つまり、第(n−1)群までには、

 Σ[k=1〜n-1]k=(1/2)n(n−1)

だけの数があり、第(n−1)群の最後の項は(1/2)n(n−1)であることがわかります。これに1を足したのが第n群の最初の項なので、求める数は、

(1/2)n(n−1)+1=n^2/2−n/2+1

これで終わりでも構いませんが、さらに(1/2)でくくると模範的です。

          =(1/2)(n^2−n+2)


この問題は次の書籍のP.45に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
群数列
数列まとめ


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2021年04月06日

高校数学「数列」等差と等比の複合an=n・2^(n-1)

高校数学「数列」等差と等比の複合an=n・2^(n-1)

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「 一般項がan=n・2^(n-1)で表される数列の初項から第n項までの和Snを求めよ。」


このときは最初にどうすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 等差数列と等比数列の積だから、等差数列の和の式と
  等比数列の和の式を掛ける

 A 一般項がわかっているからΣで書いて、当てはまる公式を探す

 B 初項からいくつかの項を並べて書いてみる

 C こんな問題見たことないので、パス!


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■ 選択肢の解答

 B 初項からいくつかの項を並べて書いてみる

 n・2^(n-1)を分解してみると、nは等差数列、2^(n-1)は等比数列です。このような、等差数列等比数列の積の形の数列はΣの公式を適用できません。そんなときは、初心に戻って、まずは具体的に項を並べて書いてみると良いです。

1・1+2・2+3・2^2+4・2^3+……+(n−1)・2^(n-2)+n・2^(n-1)

具体的に書いてみると、当然この通りになりますね。まずはこのテの問題の場合は、このように書いてみることから始める。と覚えておくと良いです。


■ 解答解説

 まず、それぞれの項を書いたら、次は「等比数列の公比を掛けて、1個ずらして引く」と考えます。

   Sn=1・1+2・2+3・2^2+……+(n−1)・2^(n-2)+n・2^(n-1)
−)2Sn=    1・2+2・2^2+3・2^3+……+(n−1)・2^(n-1)+n・2^n
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
  −Sn= 1 + 2 + 2^2 + 2^3+……+2^(n-2)+2^(n-1)−n・2^n

こうすると、右辺の−n・2^n以外の部分が等比数列となるので、普通の公式を使うことができますね!等比数列の部分は初項1,公比2なので、

−Sn=1・(2^n−1)/(2−1)−n・2^n
   =2^n−1−n・2^n

Sn=n・2^n−2^n+1 ←両辺の符号を変えて順番を変えた
 =2^n・(n−1)+1       ←2^nでくくった



この問題は次の書籍のP.41に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差数列
等比数列
数列まとめ


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2021年03月20日

高校数学「数列」階差数列を使うとき

高校数学「数列」階差数列を使うとき

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「 1,3,6,10,15,……
 この数列{an}の一般項を求めよ。」



このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 最初の2項を見ると2増加しているから、d=2の等差数列

 A 第2項と第3項を比べると2倍だから、r=2の等比数列

 B 初項が1,第5項が15で、15倍だから・・・?あれ?

 C 2項間の差も比も一定でないので、それぞれの差を求めて式で表す


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マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 C 2項間の差も比も一定でないので、それぞれの差を求めて式で表す

 2項間の差が一定ならば等差数列です。2項間の比が一定ならば等比数列です。どちらも一定でないならば他の方法を採る必要があります。
 そんなときはまず、それぞれの2項間の差を求めてみましょう!
  a1 a2 a3 a4 a5
an:1,3,6,10,15,…
   v v v  v
bn: 2 3 4  5
b1 b2 b3 b4
2項間の差を表す数列を階差数列といいます。この場合、2,3,4,5となっています。これはa=1,d=1の等差数列で、bn=n+1となります。
 そして、anとbnの関係を確認していくと、a2=a1+b1,a3=a2+b2=a1+b1+b2,a4=a3+b3=a1+b1+b2+b3,…となっているので、
要するに、anの一般項はa1にbnの和を足したものになる。そしてbnの方はanよりも必ず項数が1少なくなるので、

★ an=a1+Σ[k=1〜n-1]bk

となるのですね!


■ 解答解説

a1=1,階差数列の一般項はbn=n+1なので、

an=a1+Σ[k=1〜n-1]bkにそれぞれ代入すると、

an=1+Σ[k=1〜n-1](n+1)
  =1+(n−1)(n−1+1)/2+(n−1)・1  ←nにn−1を代入
  =1+(n^2−n)/2+n−1
  =(n^2+n)/2    ←通分して足した


この問題は次の書籍のP.33に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差数列
一般項
数列まとめ


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2021年03月16日

高校数学「数列」anが負になるとき

高校数学「数列」anが負になるとき

先日発売した数列の書籍から1問ご紹介します。


■ 問題

  「 a1=200,d=−7の等差数列がある。anが負になる最小のnの値を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 一般項anを求める

 A 数列の和Snを求める

 B 平方完成をする

 C 微分して極値を求める


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■ 選択肢の解答

 @ 一般項anを求める

 聞いているのは「最小のnの値」ですが、等差数列anについて考えるので、まずは一般項anを求めるのが良いです。
 等差数列の一般項は、P9でも登場したように★an=a+(n−1)dです。



■ 解答解説

 まずは一般項を求めます。等差数列なので、an=a+(n−1)dに代入して、

an=200+(n−1)×(−7)
  =200−7n+7
  =−7n+207

この数列の値が負になるときを考えるので、−7n+207<0を解きます。

−7n+207<0
    −7n<−207
      n>207/7=29.4・・・.

この範囲で最も小さい整数は30なので、求めるnの値は30


この問題は次の書籍のP.25に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差数列
一般項
数列まとめ


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2021年03月12日

高校数学「数列」初項が2,公比が3の等比数列

高校数学「数列」初項が2,公比が3の等比数列

数日前に数列の書籍を発売した。ということで、その中から1問ご紹介します。


■ 問題

  「初項が2,公比が3の等比数列の一般項anを求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 一般項だからan=a+(n−1)dに代入する

 A 一般項だからan=ar^(n-1)に代入する

 B 一般項だからy=ax+bに代入する

 C 一般項だから Σ[k=1〜n]k=(1/2)(n+1)に代入する


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■ 選択肢の解答

 A 一般項だからan=ar^(n-1)に代入する

 等比数列の一般項の公式は、★an=arn−1です。初項がaで、公比がrだから、次の項に行く度にrを掛けます。初項はaのみでrは掛けていないので、第n項目ではrはn−1回掛けていることになります。だからan=arn−1となることを理解しておくといいでしょう!



■ 解答解説

 等比数列なので、an=ar^(n-1)にa=2,r=3を代入して、

an=2・3^(n-1)

この数字の組み合わせの場合は、これ以上計算できないので、これで完成です!


この問題は次の書籍のP.17に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差数列
一般項
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2021年03月10日

高校数学「数列」1,4,7,10,13,・・・

高校数学「数列」1,4,7,10,13,・・・

昨日数列の書籍を発売した。ということで、その中から1問ご紹介します。


■ 問題

  「次の数列の一般項anを求めよ。
  1,4,7,10,13,・・・」



このときは何をすれば良いでしょうか?(複数選択)
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 最初は1だから初項a=1

 A 第2項は4だから公差d=4

 B 初項は1,第2項は4だから4倍になっているので公比r=4

 C 次の項に進む度に3ずつ増えてるから公差は3


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■ 選択肢の解答

 @ 最初は1だから初項a=1
 C 次の項に進む度に3ずつ増えてるから公差は3

 高校数学の数列の最も基本的なタイプの問題です。実際に並べられた数字の列を見て、最初の項と増減の仕方を見抜くことが大切です。2つの項の間だけで判断すると、等差なのか等比なのかあるいはそれ以外なのかを勘違いしてしまう可能性があるので、少なくとも3つの項の関係を考えることが大切です。


■ 解答解説

初項a=1,公差d=3を等差数列の一般項an=a+(n−1)dに代入して、

an=1+(n−1)×3
 =1+3n−3
 =3n−2


この問題は次の書籍のP.9に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
等差数列
一般項
数列まとめ



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2021年03月09日

高校数学(用語)「群数列」

高校数学(用語)「群数列」

★群数列(group sequence)

ある数列の一部を一定の法則に従って区切った数列を群数列という。


1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…

これを

1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|11,12,…

このように区切ったものが代表例です。

n個目の区切った部分を「第n群」と呼び、「第n群の初項」や「第n群の数列の和」を求めるのがノーマルな問いとなっています。


もとの数列は等差数列の場合が多いですが、等比数列など、その他の数列の場合もあります。


◆関連項目
等差数列等比数列
数列まとめ


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2021年03月07日

高校数学「微分」「三角関数」y=sinx・cosxの微分

高校数学「微分」「三角関数」y=sinx・cosxの微分

■ 問題

  「(sinx)'=cosx,(cosx)'=−sinxである。y=sinx・cosxを微分せよ」



このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ (sinx)'=cosx,(cosx)'=−sinxなんだから、
  そのままかければ良いに決まってる

 A sinx・cosxは、2つの関数の積だから、積の微分法に従って
  計算するに違いない

 B sinx・cosxは、合成関数だから、合成関数の微分法で計算する

 C sinx・cosxを変形して単純な形に直してから微分する


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■ 選択肢の解答

 A sinx・cosxは、2つの関数の積だから、積の微分法に従って
  計算するに違いない
または
 C sinx・cosxを変形して単純な形に直してから微分する

 Aの場合:sinxとcosxは、それぞれが「式」で、sinx・cosxはそれらの積だと考えられます。だから、「積の微分法」に従って計算することができます。

 Cの場合:積の微分法は計算が面倒になりがちなので、三角関数の公式を使って単純な式に変形してから微分した方がよい場合も多いです。この場合は、サインの2倍角の公式を使って変形して、「合成関数の微分法」で計算できますね!



■ 解答解説

 では、実際にAの場合の「積の微分法」を使って計算してみましょう!

y=sinx・cosx
y'=(sinx)'・cosx+sinx・(cosx)'
  =(cosx)^2−(sinx)^2

これで終わりでも間違いではないのですが、三角関数の場合は、更に簡単にできる場合が多いです。この場合は、2倍角の公式を使って、

  =cos2x

とするのがノーマルです。



この問題は次の書籍のP.45に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
y=sin5xの微分y=(sinx)^3の微分f(x)・g(x)の微分


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2021年02月25日

高校数学(用語)「階差数列」

高校数学(用語)「階差数列」

★階差数列(progression of differences)

隣り合う項の差が一定の法則に従って式で表されるとき、その差の数列を階差数列という。

もとの数列をan,階差数列をbnとすると、

a1,a2,a3,a4,…
 v  v  v  v
 b1 b2  b3 b4 …

このような関係になります。
つまり、

a2=a1+b1
a3=a2+b2=a1+b1+b2
a4=a3+b3=a1+b1+b2+b3

となるので、一般項anは、

an=a1+Σ[1〜n-1]bk

で表すことができます。

また、階差数列bnは、等差数列等比数列の場合もありますし、その他の数列の場合もあります。


◆関連項目
等差数列等比数列
数列まとめ


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2021年02月22日

高校数学「微分」「合成関数」(2x−1)^5の微分

高校数学「微分」「合成関数」(2x−1)^5の微分

■ 問題

 「(2x−1)^5を微分せよ」


このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢


 @ (2x−1)^5を必死に展開して、必死に微分する

 A (2x−1)^5を華麗に展開して、涼しい顔で微分する

 B 「指数を1下げてもとの指数を掛ける」から、5(2x−1)^4になる

 C かっこの中が式になっているので、合成関数の微分をして、
  5(2x−1)'・(2x−1)^4とする


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■ 選択肢の解答

 C かっこの中が式になっているので、合成関数の微分をして、
  5(2x−1)'・(2x−1)^4とする

 「カッコのn乗」などの形になっている場合は、合成関数とみなして「合成関数の微分法」を行うのが模範的です。
 この場合は、(ax+b)nの微分と考えて公式を適用しても構いません。
「指数を1下げてもとの指数を掛けて、カッコの中身を微分したやつを掛ける」
と理解しておくと使いやすいと思います。


■ 解答解説

 ここでは「ちゃんと」合成関数の微分法をやってみます。

 y=(2x−1)^5,t=2x−1とすると、y=t^5
まずはこの式を微分します。「yをtの式で表した関数をtについて微分する」・・・


このブログでは途中の計算式は省略します。


t=2x−1なので、10t^4=10(2x−1)^4となります。


 基本に忠実にちゃんとやると以上のようになりますが、今回の問題のような(ax+b)^nの形の式の場合は、公式に従って微分すると捉えて、
y'=5(2x−1)'・(2x−1)^4=10(2x−1)^4と考えるのが普通ですし、ちゃんとやっても、この式がすぐにイメージできるようにしておきたいですね。


この問題は次の書籍のP.37に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
y=sin5xの微分y=(sinx)^3の微分f(x)・g(x)の微分関数f(x)=x^2/(x−1)の微分


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2021年02月15日

高校数学「微分」f(x)/g(x)の導関数

高校数学「微分」f(x)/g(x)の導関数

■ 問題

 「f(x)=2x−1,g(x)=x^3−1のとき、f(x)/g(x)の導関数を求めよ」


このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか?
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■ 選択肢

 @ f'(x)をg'(x)で割る

 A 分子と分母をそれぞれ微分してから分数にする

 B 分母はg(x)の2乗、分子はf'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)

 C 分母はg(x)の2乗、分子はf'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)


このときは何をすればよいでしょうか?
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■ 選択肢の解答

 C 分母はg(x)の2乗、分子はf'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)

 分数の微分は、「分母を2乗、分子は積の微分法の式の間の符号を変える」
と理解しておくと使いやすいと思います。
 間の符号がマイナスになるのは、分母は逆数=マイナス1乗を表し、それを積の微分法に従って微分したためです。この理屈を理解し、自分で説明できるようにしておくと、自信を持って計算することができますよ!


■ 解答解説

 では早速、商の微分法の計算をしてみましょう!

f(x)=2x−1,g(x)=x^3−1なので、

{f(x)/g(x)}'={f'(x)・g(x)−f(x)・g'(x)}/{g(x)}^2

このブログでは途中の計算式は省略します。

=(−6x^4+x^3−2)/(x^3−1)^2


この問題は次の書籍のP.33に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
f(x)・g(x)の微分関数f(x)=x^2/(x−1)の微分


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高校数学(用語)「積の微分法」

高校数学(用語)「積の微分法」

★積の微分法(product rule)

「y=f(x)・g(x)」の形で表される関数を微分すると、

y'=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)

という式が得られます。

複数の整式の積を微分するときは、「一つずつ微分して合計する」というイメージです。


数学3の微分では、商の微分法や合成関数の微分法も登場します。
あわせてチェックしておきましょう!


◆関連項目
商の微分法、合成関数の微分法


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2021年02月11日

高校数学「微分」f(x)・g(x)の導関数

高校数学「微分」f(x)・g(x)の導関数

■ 問題

 「f(x)=2x−1,g(x)=x^3−1のとき、f(x)・g(x)の導関数を求めよ」



このとき、スマートに解くには何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ f'(x)とg'(x)をかける

 A f'(x)とg'(x)を足す

 B (2x−1)(x^3−1)を展開してから微分する

 C f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)を計算する


このときは何をすればよいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、各大学の入試対策も行っています。過去問を中心に、基礎からやり直す人から医学部を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 C f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)を計算する

 2つの整式の積を微分するときは、「1個ずつ微分して足す」と考えます。
 商や分数の微分でも同様の考えで計算できますし、今後の様々な関数の微分・積分でも、同様の考えを使う場合があります。しっかり理解して、迷わず確実に計算できるようにしておきましょう!


■ 解答解説

 では早速、積の微分法の計算をしてみましょう!

f(x)=2x−1,g(x)=x^3−1なので、

 {f(x)・g(x)}'
=f'(x)・g(x)+f(x)・g'(x)
=(2x−1)'・(x^3−1)+(2x−1)・(x^3−1)'
=2(x^3−1)+(2x−1)・3x^2
=2x^3−2+6x3−3x^2
=8x^3−3x^2−2


この問題は次の書籍のP.29に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
関数f(x)=x^2/(x−1)の微分


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