2019年10月22日

高校数学「2次方程式」係数に√を含む場合

高校数学「2次方程式」A

■問題
2次方程式3x^2−7√2x+4=0を解け。


■考え方
係数に√が入っていますが、普通に因数分解や解の公式を使うこともできます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

3x^2−7√2x+4=0

2次方程式なので、普通にたすきがけをやってみましょう!

a=3,b=−7√2,c=4なので、いろいろ試してみると・・・

 3   −√2 =  −√2
   ×
 1  −2√2 = −6√2
――――――――――――――
 3    4    −7√2

こんな場合にうまくいきそうです。
よって、

(3x−√2)(x−2√2)=0

x=√2/3,2√2


次の問題→2次方程式解がわかっているとき


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posted by えま at 01:29| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年10月21日

高校数学「2次方程式」係数が分数の場合

高校数学「2次方程式」@

■問題
2次方程式(3/4)x^2−9x+6=0を解け。


■考え方
係数に分数があるとやりにくいので、分数がなくなるように変形してから解くと良いです。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


■解答解説

まずは与式の両辺に4をかけて、分数がなくなるようにします。

(3/4)x^2−9x+6=0
3x^2−36x+24=0

係数は全て3で割れるので、割っておくと係数が小さくなって計算しやすくなります。

x^2−12x+8=0

あとは因数分解できればやる。できなければ解の公式。ですね!
掛けて8,足して−12の整数の組み合わせは存在しないので、解の公式に代入します。

x=[−(−12)±√{(−12)^2−4×1×8}]/2×1
 ={12±√(144−32)}/2
 =(12±√112)/2
 =(12±4√7)/2
 =6±2√7


次の問題→係数に√を含む2次方程式


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2019年10月19日

高校数学「2次関数」「最大値から式を求める」A

高校数学「2次関数」「最大値から式を求める」A

x=1のとき最大値5をとり、x=−1のときy=1となる2次関数の式を求めよ。


定義域が与えられていなくて「最大値5」ということは・・・?


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



定義域が与えられていないときの最大値は頂点になります。
言い換えれば、2次関数が上に凸のグラフになり、その頂点が最大になるわけです。

逆に、下に凸のグラフならば、頂点は最小です。

この問題では「x=1のとき最大値5」と言っているので、頂点は(1,5)です。

頂点がわかっているので、y=a(x−p)^2+qに代入して、

y=a(x−1)^2+5ですね。

このグラフが、x=−1のときy=1だから、この座標をx,yに代入すると、

 1=a(−1−1)^2+5
 1=4a+5
4a=1−5
4a=−4
 a=−1

よって、求める2次関数の式は、y=−(x−1)^2+5


関連問題
2次関数の式を求める。頂点がわかっているとき
最大値を求める


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高校数学「2次関数」「最大値から式を求める」@

高校数学「2次関数」「最大値から式を求める」@

2次関数y=x^2+2x+c(−2≦x≦2)の最大値が1のとき、cの値を求めよ。


与えられた2次関数はa>0なので、下に凸の2次関数てすね。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



グラフを描いてみるとわかると思いますが、

下に凸の2次関数の最大値は、定義域の両端のうち頂点から遠い方になります。

だから、「最大値が1」ならば、「定義域の両端のどちらかのy座標か1になる」ことを意味します。

まずは頂点を求めてみましょう!

y=x^2+2x+c
 =x^2+2x+1−1+c
 =(x+1)^2−1+c
よって、頂点は(−1,−1+c)です。

定義域は−2≦x≦2なので、両端のうち頂点から遠い方はx=2ですね。

ということは、x=2のときy=1である。ことがわかります。

だから与式にx=2,y=1を代入すればOKです。

1=4+4+c
c=1−8
c=−7


関連問題
最大値を求める


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高校数学「2次関数」「式を求める」D

高校数学「2次関数」「式を求める」D

x軸と点(−2,0),(3,0)で交わり、y軸と点(0,−12)で交わる。


x軸,y軸と交わるときは、グラフの位置や形がある程度決まります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



2次関数のグラフは左右対称なので、x軸との交点が2つともわかっていれば、それらのちょうと真ん中が軸になります。

今回の問題では、(−2,0),(3,0)なので、その真ん中の、x=1/2が軸になります。

軸は頂点のx座標と一致するので、頂点がわかる場合と同様に、y=a(x−p)^2+qに代入してみると、

y=a(x−1/2)^2+qとなります。

これが与えられた点を通るので、(3,0),(0,−12)をそれぞれ代入してみれば、

(3,0)を代入すると、0=a(3−1/2)^2+qすなわち、(25/4)a+q=0
さらに両辺を4倍して、25a+4q=0・・・@が得られます。

(0,12)を代入すると、12=a(0−1/2)^2+qすなわち(1/4)a+q=−12
さらに両辺を4倍して、a+4q=−48・・・Aが得られます。

これらを連立して解けば、a,qがわかって、2次関数の式も求められる。というわけですね。

@−Aより、24a=48すなわちa=2

a=2をAに代入して、2+4q=−48より、4q=−50すなわちq=−25/2

よって、求める2次関数は

y=2(x−1/2)^2−25/2


この記事では、軸を求めて計算してみましたが、3点がわかっているのでy=ax^2+bx+cに代入して解くこともできます。


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高校数学「2次関数」「式を求める」C

高校数学「2次関数」「式を求める」C

y=(1/2)x^2のグラフを平行移動したもので、頂点がx軸上にあり、点(3,8)を通る2次関数の式を求めよ。


頂点に関する情報がある場合は、y=a(x−p)^2+qに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点に関する情報がわかっているときは、y=a(x−p)^2+qに代入します。

頂点がx軸上にあることから、頂点のy座標はゼロであることがわかります。つまり、q=0です。

通る点の座標(3,8)はx,yに代入します。

そして、y=(1/2)x^2を平行移動したので、a=(1/2)です。

やってみると、

 8=(1/2)(3−p)^2+0
16=(3−p)^2
16=9−6p+p^2

移項してまとめると、

p^2−6p+9−16=0
  p^2−6p−7=0
  (p+1)(p−7)=0

よって、p=−1,7

p=−1のとき、y=(1/2)(x+1)^2
p=7のとき、y=(1/2)(x−7)^2


次の問題→x軸,y軸との交点がわかっているとき


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2019年10月18日

高校数学「2次関数」「式を求める」B

高校数学「2次関数」「式を求める」B

3点(−1,5),(−2,−3),(1,9)を通る2次関数の式を求めよ。

この問題の続きです。

3点がわかっているときは、y=ax^2+bx+cに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点や軸が与えられず、3点の座標がわかっているときは、y=ax^2+bx+cに3点の座標をそれぞれ代入し、
できた式を連立方程式にして解きます。

前回の記事で、3点の座標を代入して、

 5=a−b+c・・・@
−3=4a−2b+c・・・A
 9=a+b+c・・・B

という3つの式を作りました。
これらを連立して解いてみましょう!

まずは、@とBが共通する項があるので、取り出して差し引いてみると・・・

@・・・  a−b+c=5
B・・・−)a+b+c=9
   ―――――――――――
       −2b =−4
          b=2

b=2がわかったので、@とAに入れてみます。

@より、a−2+c=5すなわちa+c=7・・・C
Aより、4a−4+c=−3すなわち4a+c=1・・・D

これで残りはaとcの2つだけなので、中学レベルの連立方程式ですね。

C・・・   a+c=7
D・・・−)4a+c=1
   ――――――――――
     −3a  =6
         a=−2

a=−2をCに代入して、−2+c=7よって、c=9

a,b,cが全て出たので、y=ax^2+bx+cに代入して、

y=−2x^2+2x+9


次の記事→頂点がわかっているとき


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高校数学「2次関数」「式を求める」A

高校数学「2次関数」「式を求める」A

3点(−1,5),(−2,−3),(1,9)を通る2次関数の式を求めよ。


3点がわかっているときは、y=ax^2+bx+cに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点や軸が与えられず、3点の座標がわかっているときは、y=ax^2+bx+cに3点の座標をそれぞれ代入し、
できた式を連立方程式にして解きます。

今回の問題では、(−1,5),(−2,−3),(1,9)なので、それぞれ代入してみます。

(−1,5)を代入すると、5=a−b+c
(−2,−3)を代入すると、−3=4a−2b+c
(1,9)を代入すると、9=a+b+c

これで3つの式ができたので、あとは連立して解くだけです。


つづく→連立して解いた答え


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高校数学「2次関数」「式を求める」@

高校数学「2次関数」「式を求める」@

頂点が点(1,2)で、点(4,−7)を通る2次関数の式を求めよ。


頂点がわかっているときは、y=a(x−p)^2+qに代入します。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



頂点が(p,q)の2次関数は、y=a(x−p)^2+qで表されます。

頂点の座標はp,qに、その他の通る点の座標はx,yに代入します。

今回の問題では、「頂点が点(1,2)で、点(4,−7)を通る」ので、p=1,q=2,x=4,y=−7を代入します。

 −7=a(4−1)^2+2
 −7=a×3^2+2
 −7=9a+2
−9a=2+7
−9a=9
  a=−1

よって、求める2次関数の式は、

y=−(x−1)^2+2


次の問題→3点(−1,5),(−2,−3),(1,9)を通る2次関数の式


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高校数学「2次関数」「最大値」A

高校数学「2次関数」「最大値」A

2次関数y=x^2−2ax+1(0≦x≦1)の最大値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。


前回の記事では、頂点が定義域の真ん中にある場合の最大値を求めました。
この記事では、頂点が真ん中ではないときを求め、解答を完成させます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



前回の記事で、まずは頂点が定義域の真ん中のときの最大値を求めました。

あとは、真ん中より左の場合と右の場合を求めれば完成です!


与式を平方完成して

y=x^2−2ax+1
 =x^2−2ax+a^2−a^2+1
 =(x−a)^2−a^2+1

よって、頂点は(a,−a^2+1)でしたね。

下に凸の2次関数の最大値は、定義域の両端のうち、頂点から遠い方になります。

真ん中はa=1/2のときなので、それより左はa<1/2です。
a<1/2のとき、定義域の右端x=1が最大値になります。
与式にx=1を代入すると、y=1−2a+1=−2a+2

真ん中より右の場合は、a>1/2ですね。
このときは、定義域の左端x=0が最大値になります。
つまり、y=1が最大値です。

前回の記事の頂点が真ん中にある場合とあわせてまとめると、

a<1/2のとき、x=1で最大値−2a+2
a=1/2のとき、x=0,1で最大値1
a>1/2のとき、x=0で最大値1


関連項目
最小値の場合
平方完成のやり方
2009年センター数1Aの2次関数


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2019年10月17日

高校数学「2次関数」「最大値」@

高校数学「2次関数」「最大値」@

2次関数y=x^2−2ax+1(0≦x≦1)の最大値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。


2次関数の最大最小を考えるときは、まずは頂点を求めます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


与式を平方完成して

y=x^2−2ax+1
 =x^2−2ax+a^2−a^2+1
 =(x−a)^2−a^2+1

よって、頂点は(a,−a^2+1)です。

下に凸の2次関数の最大値は、定義域の両端のうち、頂点から遠い方になります。
頂点がちょうど真ん中にある場合は、定義域の両端が同じ値になり、その場合が境目となります。

というわけで、まずは定義域の真ん中に頂点がある場合を求めてみましょう!

定義域は0≦x≦1なので、真ん中はx=1/2ですね。

頂点は(a,−a^2+1)なので、a=1/2のとき、最大値は定義域の両端になります。
与式にx=0を代入すると、y=1です。

よって、a=1/2のとき、x=0,1で最大値1


つづく


関連項目
最小値の場合
平方完成のやり方
2009年センター数1Aの2次関数


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2019年10月16日

高校数学「2次関数」「最小値」A

高校数学「2次関数」「最小値」A

2次関数y=x^2−2ax+1(0≦x≦1)の最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。


まず@では、頂点を求めて、頂点が定義域内にある場合の最小値を求めました
この記事では、頂点が定義域内にない場合も考え、解答を導きます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


与式を平方完成して

y=x^2−2ax+1
 =x^2−2ax+a^2−a^2+1
 =(x−a)^2−a^2+1

よって、頂点は(a,−a^2+1)であることがわかりました。

与式の2次関数は下に凸のグラフなので、頂点が定義域より左にあるときは、定義域の左端が最小値になります。
つまり、a<0ならば、x=0で最小値ですね。
与式にx=0を代入すると、y=1
よって、「a<0のとき、x=0で最小値1」となります。

続いて、頂点が定義域より右にあるときは、定義域の右端が最小値になります。
つまり、a>1ならば、x=1で最小値です。
与式にx=1を代入すると、1−2a+1=−2a+2
よって、「a>1のとき、x=1で最小値−2a+2」となります。

前回の頂点が定義域内にある場合とまとめると、

a<0のときx=0で最小値1
0≦a≦1のときx=aで最小値−a^2+1
a>1のときx=1で最小値−2a+2


関連項目
平方完成のやり方
2009年センター数1Aの2次関数


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高校数学「2次関数」「最小値」@

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2次関数y=x^2−2ax+1(0≦x≦1)の最小値を求めよ。また、そのときのxの値を求めよ。


最大最小を考えるときは、グラフを考えた方がよいです。この2次関数はa>0なので下に凸ですね。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。


下に凸の2次関数の最小値を考えるときは、まずは頂点が定義域に入っている場合を考えるとよいです。
ということで、与式を平方完成して

y=x^2−2ax+1
 =x^2−2ax+a^2−a^2+1
 =(x−a)^2−a^2+1

よって、頂点は(a,−a^2+1)であることがわかりました。
この頂点が定義域(0≦x≦1)に入っていれば、頂点が最小値です。
すなわち、

0≦a≦1のとき、x=aで最小値−a^2+1

ですね。

ここまでできれば、記述式の試験ならまずは部分点がもらえるし、2次関数の最低限のイメージは理解できていると言えます。
数学が苦手な人もまずはここまでできるようにしましょう!


つづく


関連項目
平方完成のやり方
2009年センター数1Aの2次関数


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2019年10月13日

高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」「余事象」

高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」「余事象」

coffeeの6文字全てを並べてできる順列のうち、2つのfが隣り合わないものの総数を求めよ。


「隣り合わない」場合は、余事象の考えを使うと簡単にできる場合があります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



「2つのfが隣り合わない場合の数」を求めたいなら、「全ての場合の数」から「2つのfが隣り合う場合の数」を引くのが簡単です。

まず、「全ての場合の数」を求めましょう!

coffeeの6文字には、同じ文字が含まれています。
いわゆる「同じものを含む順列」を考えます。

まず6文字全てを並べるので、6!です。
このうち、fとeは2文字ずつあるので、それぞれが、同じ2文字の並び方は無視することができます。だから、その2文字の階乗で割る。というわけです。
つまり、

 6!/(2!・2!)
=(6×5×4×3×2×1)/(2×1×2×1)
=6×5×3×2
=180通り

続いて、fの2文字が隣り合う場合も求めます。
「隣り合う」ときは、その2文字を1つとして考えて、

 5!/2!
=5×4×3×2×1/2×1
=5×4×3
=60通り

「全ての場合の数」から「fが隣り合うとき」を引いたのが、「2つのfが隣り合わない場合の数」なので、

180−60=120通り


関連問題
連続するとき
余事象


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高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」A

高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」A

9人の生徒を、5人,2人,2人の3組に分ける方法は何通りあるか求めよ。


人数が同じグループがある場合は、それらが入れ替わった場合のことも考えなければいけません。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



人数が同じ場合は、A,BとB,Aを区別することができないので、その同じ人数のグループの並び方を除外する必要があります。
この問題では、2人のグループが2つあるので、それらの並び方の2通りで割る必要があります。

まずは除外する前の9人の並び方を求めてみましょう!
ここだけに限っては、3組に分ける場合と同じ考え方です。
人数の少ない2人の組を先に考えると計算が簡単になります。

 9C2×7C2×5C5
=(9×8/2×1)×(7×6/2×1)×1
=(9×4)×(7×3)

これを2で割るので、

 (9×4×7×3)÷2
=9×2×7×3
=378通り


関連問題→人数が違う場合


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高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」@

高校数学「場合の数」「人数が同じグループ分け」

9人の生徒を、3人,3人,3人の3組に分ける方法は何通りあるか求めよ。


人数が同じ場合は、3組が入れ替わった場合のことも考えなければいけません。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



人数が同じ場合は、A,BとB,Aを区別することができないので、その同じ人数のグループの並び方を除外する必要があります。
この問題では、3組の人数が全て同じなので、その3組の並べ方3!=3×2×1=6通りで割る必要があります。

まずは除外する前の3人×3組の並び方を求めてみましょう!
ここだけに限っては、前回の問題と同じ考え方です。つまり、

 9C3×6C3×3C3
=(9×8×7/3×2×1)×(6×5×4/3×2×1)×(3×2×1/3×2×1)
=(3×4×7)×(5×4)

これを6で割るので、

 (3×4×7×5×4)÷6
=2×7×5×4
=280通り


次の記事→人数が同じ場合A

関連問題→人数が違う場合


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posted by えま at 09:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「場合の数」「人数の異なるグループ分け」

高校数学「場合の数」「人数の異なるグループ分け」

9人の生徒を、4人、3人、2人の3組に分ける方法は何通りあるか求めよ。


人数が全て異なるときは、単純に考えればOKです!


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



3組の人数が全て異なるので、組が入れ替わることができません。だから、単純に順に場合の数を求めかけ算すればOKです。
まず4人の組から考えると、9人から4人を選ぶので9C4
次は残り5人から3人選んで5C3
最後は残り2人から2人選ぶので、2C2=1


 9C4×5C3×2C2
=(9×8×7×6/4×3×2×1)×(5×4×3/3×2×1)×1
=(9×2×7)×(5×2)
=1260通り


次の記事→人数が同じ場合@


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2019年10月11日

高校数学「場合の数」「空き部屋なしで2つにグループ分けするとき」

高校数学「場合の数」「空き部屋なしで2つにグループ分けするとき」

A,B2つの部屋に5人を入れるとき、空き室がないように全員を入れる方法は何通りあるか求めよ。


前回の問題と同様に、5人くらいなら、「樹形図でがんばる!」でも何とかなりますが、もちろん簡単に計算する方法があります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



空き部屋がないときも、前回の問題と同様に考えることができます。
つまり、「2つのグループに分ける」ときは、「5人それぞれがAかBを選択する」と考えれば良いです。

まずは、空き部屋があっても構わない条件で2つのグループに分けます。

それは2^5=32通りですね。

これには、「5人全員A」「5人全員B」の場合も含むので、これらの場合を引いて、

32−2=30通り

これで完成です!


前回の問題→空き部屋ありのとき


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高校数学「場合の数」「2つにグループ分けするとき」

高校数学「場合の数」「2つにグループ分けするとき」

A,B2つの部屋に5人を入れるとき、空き室があってもよいので全員を入れる方法は何通りあるか求めよ。


5人くらいなら、「樹形図でがんばる!」でも何とかなりますが、もちろん簡単に計算する方法があります。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



「5人を2つの部屋に入れる」つまり、「2つのグループに分ける」ときは、「5人それぞれがAかBを選択する」と考えれば良いです。

まず最初の一人がAかBの2通りから選ぶ。→2通り
二人目もAかBの2通りから選ぶ。→2通り

これら最初の2人は連続して(同時に)選ぶので、かけ算をして、2×2=4通りの場合の数があります。

さらに、3人目も2通り、4人目も2通り、もちろん5人目も2通りの選び方があるので、
つまりは5人がそれぞれ2通りずつの選び方がある。ということになります。

これらは全て連続して(同時に)起こるので、かけ算をして、2の5乗ですね。

2^5=32通り


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2019年10月10日

高校数学「場合の数」「円順列」「向かい合う2人が決まっているとき」

高校数学「場合の数」「円順列」「向かい合う2人が決まっているとき」

男子A,B,Cの3人,女子D,E,Fの3人の合計6人が円形のテーブルに向かって座るとき、AとBが向かい合う座り方は何通りあるか求めよ。


AとBの位置が決まっているので、まずはそこから考えます。


解説はこのページ下


この書籍も参考にしてください。



AとBが向かい合うということは、まず2つの向かい合う席を決めてその2席にAとBを座らせます。
これはどの2席に置いても回転すれば同じなので、一通りと考えられます。

A,Bの2席は決まっていて、残りの4席に残りの4人を並べる。ということなので、残りの4人は回転すると異なる並び方になってしまいます。
だから、残りの4人は普通の順列として考えると、

4!=4×3×2×1=24通り


前の問題→男女が交互に並ぶとき


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posted by えま at 23:13| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
こんなヤツです
名前:江間淳
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