2024年03月20日

高校数学「平面のベクトル」△OAB内部の点を→OA,→OBで表し、OP:PQを求める

高校数学「平面のベクトル」△OAB内部の点を→OA,→OBで表し、OP:PQを求める

■ 問題

△OABにおいて、辺OAを3:1に内分する点をC,辺OBを4:1に内分する点をDとする。また、線分ADと線分BCの交点をP,直線OPと辺ABの交点をQとする。→OA=→a,→OB=→bとするとき、次の問いに答えよ。

(1) →OPを→a,→bを用いて表せ。

(2) OP:PQを求めよ。


↓(2)の解答解説はこのページ下に↓


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■ 解答解説

※この記事ではベクトルの→を一部省略して記載します。

(1)で、

→OP=(1/2)・→b+(3/8)・→a

であることがわかりました。
今度はOP:PQを求めます。

やはり、「まずはできることをやる」「一つのものを2通りの方法で表す」ことを意識して式を立てていきます。

→OPと→OQは平行だから、OQ=k・OPということができます。
つまり、OQ=k{(1/2)b+(3/8)a}です。

また、点QはAB上の点なので、(1)のときと同様に、AQ:QB=t:1−tとおくことができますね。
つまり、OQ=(1−t)OA+tOB=(1−t)a+tbです。

これで→OQを2通りの方法で表すことができました。
これらをイコールで結べば方程式ができますね!

k{(1/2)b+(3/8)a}=(1−t)a+tb
(k/2)b+(3k/8)a=(1−t)a+tb

係数比較をすれば、

3k/8=1−t …@
 k/2=t …A

これら2つの式ができます。
Aより、k=2tで、これを@に代入すると、

3・2t/8=1−t
3t/4=1−t
3t=4−4t
7t=4
 t=4/7

よって、k=8/7

ということは、OQ=(8/7)OPですね。
ならば、OP:PQ=7:1となります。


(1)に戻る


◆関連項目
平面図形への応用@三角形・内分点などに関する問題
ベクトルまとめ


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2024年03月19日

高校数学「平面のベクトル」△OAB内部の点を→OA,→OBで表す

高校数学「平面のベクトル」△OAB内部の点を→OA,→OBで表す

■ 問題

△OABにおいて、辺OAを3:1に内分する点をC,辺OBを4:1に内分する点をDとする。また、線分ADと線分BCの交点をP,直線OPと辺ABの交点をQとする。→OA=→a,→OB=→bとするとき、次の問いに答えよ。

(1) →OPを→a,→bを用いて表せ。


↓(1)の解答解説はこのページ下に↓


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■ 解答解説

※この記事ではベクトルの→を一部省略して記載します。

いろいろなことが書いてあって、どこから手をつけたら良いかわからない人も多いと思います。
そんなときは、とにかく「できることをやる」のが大切です。

まずは→OC,→ODを表しましょう!

「辺OAを3:1に内分する点をC」としているので、OC=(3/4)OA=(3/4)aです。
同様に「辺OBを4:1に内分する点をD」だから、OD=(4/5)OB=(4/5)bです。

そして求めたいのは→OPだから、OPを含む図形を考えます。

例えば△OADに注目すると、AD上にPがあります。
同様に、△OBCに注目すると、BC上にもPがありますね。

→OPはこのように、2つの異なる見方ができる。ということができます。
だから、→OPを2つの方法で表してイコールで結べば方程式ができて解けるはず!?という方針で考えていきましょう!

線分AD上のどこかにPがあるので、ADをPが内分していると考えて、
AP:PD=t:1−tとします。t:1−tとおく理由についてはこちらをご覧ください
すると内分の公式より、「OP=(1−t)OA+tOD」と表すことができます。
つまり、OP=(1−t)a+t・(4/5)bですね。

同様にBCに注目して、BP:PC=s:1−sとすると、「OP=(1−s)OB+sOC」ですね。
これもa,bで書き直すと、OP=(1−s)b+s・(3/4)aとなります。

どちらもOPで等しいので、イコールで結べば、

(1−t)a+(4t/5)b=(1−s)b+(3s/4)a

係数比較をすれば、s,tについての方程式ができてしまいます。

1−t=3s/4 …@
4t/5=1−s …A

あとは普通に連立方程式を解けばOKです!

@×4… 4−4t=3s
     −4t=3s−4
      4t=−3s+4

これをAに代入して、
(−3s+4)/5=1−s
−3s+4=5−5s
2s=5−4
2s=1
 s=1/2

OP=(1−1/2)b+(3/4)(1/2)a
  =(1/2)b+(3/8)a


次の問題→OP:PQ


◆関連項目
平面図形への応用@三角形・内分点などに関する問題
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2024年03月10日

高校数学「平面のベクトル」図形への応用A

高校数学「平面のベクトル」図形への応用A

■ 問題




この記事では(2)を解説します。解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

※この記事ではベクトルの→を省略して記載します。

(2)では、3点A,B,Cが一直線上にあることを示します。

一直線上にあるための条件は何かというと・・・

「それら3点を使ってできる2つのベクトルが平行」

ですね!
そして、ベクトルの平行条件は、「片方のベクトルを何倍かしたらもう片方のベクトルと一致する」です。

(1)で、AB=2a−2b,AC=3a−3bであることがわかりました。
ABとACは、ちょうど偶然にも(?)3点A,B,Cを使った2つのベクトルなので、これらが平行であることを示しまょう!

AB×(3/2)=3a−3bであり、これはACと一致します。
つまり、AB‖ACですね。

よって、3点A,B,Cは一直線上にあるということができますね!


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◆関連項目
三角形・内分点などに関する問題
ベクトルの平行条件
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2024年03月09日

高校数学「平面のベクトル」図形への応用@

高校数学「平面のベクトル」図形への応用@

■ 問題




この記事では(1)を解説します。解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

問題を一見した段階では方針が見えない人も多いと思います。
そんなときは、とにかくAB,ACを別の表し方をしてみましょう!

※この記事ではベクトルの→を省略して記載します。

ベクトルの差でそれぞれのベクトルを書き直してみると、

AB=OB−OA
  =3a−5b−(a−3b)
  =3a−5b−a+3b
  =2a−2b

AC=OC−OA
  =4a−6b−(a−3b)
  =4a−6b−a+3b
  =3a−3b

これでAB,ACそれぞれをa,bを使って表せてしまいましたね。
一応まとめて書き直すと、

AB=2a−2b,AC=3a−3b


次の問題→A,B,Cが一直線上にあることを示す


◆関連項目
内積|→a+t・→b|の最小値
ベクトルまとめ


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2024年03月06日

高校数学「平面のベクトル」|→OA|=3,|→OB|=4,→OA・→OB=6のとき、△OABの面積S

高校数学「平面のベクトル」|→OA|=3,|→OB|=4,→OA・→OB=6のとき、△OABの面積S

■ 問題

|→OA|=3,|→OB|=4,→OA・→OB=6のとき、△OABの面積Sを求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

|→OA|=3,|→OB|=4,→OA・→OB=6のとき、△OABの面積S

ベクトルの絶対値、つまり、辺の長さと内積の値が与えられています。
これらの情報から、cosθを求めることができるので、cosθからsinθを求め、最後は三角比を使った面積の公式に代入する。という流れですね!

内積の公式より、→OA・→OB=|→OA||→OB|cosθに与えられた値を代入すると、

    6=3×4×cosθ
12cosθ=6
  cosθ=1/2

sin2θ+(1/2)2=1
sin2θ=1−1/4
sin2θ=3/4
sinθ=√3/2

これで「2辺とはさむ角」がわかったので、S=(1/2)bc・sinAに代入すると、

S=(1/2)×3×4×√3/2
 =3√3


ちなみに、cosθ=1/2から、θ=60°と角度を求めて、sin60°=√3/2とした方が簡単かも知れません。


◆関連項目
内積ベクトルまとめ
三角形の面積の公式三角比まとめ


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2024年03月05日

高校数学「平面のベクトル」三角形の面積

高校数学「平面のベクトル」三角形の面積

■ 問題

3点O(0,0),A(4,3),B(1,−3)を頂点とする三角形の面積Sを求めよ。


解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

いろいろな解き方が考えられますが、ここではベクトルを使って地道に求めてみます。

基本的な方針としては、数学1の三角比の三角形の面積の公式S=(1/2)bc・sinAを使う。という方針です。

例えば、S=(1/2)・OA・OB・sin∠AOBと考えてやっていきましょう!

cos∠AOBを求めればsin∠AOBがわかるので、ベクトルの内積を用います。

座標より、→OA=(4,3),→OB=(1,−3)だから、

→OA・→OB=4×1+3×(−3)=4−9=−5

|→OA|=√(42+32)=√(16+9)=√25=5
|→OB|=√{12+(−3)2}=√(1+9)=√10

内積の公式より、→OA・→OB=|→OA||→OB|cosθだから、cosθ=→OA・→OB/|→OA||→OB|です。
これにそれぞれの値を代入すると、

cosθ=−5/(5・√10)=−1/√10

これでコサインがわかったので、三角比の公式からサインを求めます。

sinθ=√(1−cos2θ)=√(1−1/10)=√(9/10)=3/√10

これで面積を求めるために必要な値が全てわかりました。
それぞれ代入して計算します。

△OAB=(1/2)OA・OB・sin∠AOB=(1/2)・5・√10・3/√10=15/2


◆関連項目
内積ベクトルまとめ
三角形の面積の公式三角比まとめ


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2024年03月03日

高校数学「平面のベクトル」絶対値がわかっていて内積を求めるとき

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■ 問題




解答解説はこのページ下


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■ 解答解説

ベクトルの問題では、2乗するとうまくいくことがあります。

※この記事ではベクトルの→を省略して記載します。

|2a+b|2=4|a|2+4a・b+|b|2

まずは2乗するとこのような式ができますね。

この式に与えられた値を代入すると、

√102=4・12+4a・b+√22

これをa・bについて解けば、内積がわかります。

  10=4+4a・b+2
  10=6+4a・b
4a・b=10−6
4a・b=4
 a・b=1

内積の公式を使えばcosθの値がわかり、なす角もわかります。

a・b=|a||b|cosθ
  1=1・√2・cosθ
cosθ=1/√2

よって、θ=45°


◆関連項目
内積|→a+t・→b|の最小値
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2024年02月29日

高校数学「平面のベクトル」→a=(2,−3),→b=(x,−12)が垂直

高校数学「平面のベクトル」→a=(2,−3),→b=(x,−12)が垂直

■ 問題

→a=(2,−3),→b=(x,−12)が垂直になるように、xの値を定めよ。


解答解説はこのページ下


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AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。平日昼間に授業可能な既卒生・社会人を若干名募集しています。今年度の受験生はもちろん、来年度の受験の準備もそろそろ始めると良いですね!
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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 解答解説

ベクトルが垂直ということは、2つのベクトルのなす角が90°ですね!

ここでベクトルの内積を考えます。

→a・→b=|→a||→b|cosθ

だから、なす角が90°のときは内積の値はゼロになります。
そう言われても、「ちょっと何言ってるかわかりません」という人もいるかも知れませんね(笑)
もう少し詳しく説明しましょう!

cos90°=0ですね。(これが怪しい人は三角比の定義三角比の表などを確認してください)

|→a||→b|cosθは、|→a|と|→b|とcosθをかけたものだから、cosθ=0となれば、全体がゼロになってしまいます。
だから、2つのベクトルのなす角が90°のときは内積はゼロ。つまり、垂直ならば内積はゼロ。です。

ベクトルの成分がわかっているときは、→a・→b=x12+y12このように、x同士y同士をそれぞれかけて合計することで内積を求めることができます。

今回の問題では、→a=(2,−3),→b=(x,−12)だから、

→a・→b=2×x+(−3)×(−12)
    =2x+36

これが内積の値で、垂直ならばこれがゼロだから、

2x+36=0
   2x=−36
    x=−18


同じ2つのベクトルで平行の場合はこちら


◆関連項目
ベクトルの平行条件・垂直条件
ベクトルまとめ
三角比まとめ


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2024年02月26日

高校数学「三角比」円に内接する四角形ABCDの角や辺B

高校数学「三角比」円に内接する四角形ABCDの角や辺B

◆問題

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3,BC=√2,CD=√2,DA=1のとき、次のものを求めよ。

(1) ∠B

(2) AC

(3) 四角形ABCDの面積


↓(3)の解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

四角形の面積は、2つの三角形に分けて求めて合計すれば良い場合が多いです。

今回の問題では、すでに∠B=45°がわかっているので、この角を活用して、△ABCと△CDAの2つに分けて考えるとよいです。

三角形の面積の公式は、

★S=(1/2)bc・sinA

ですね。
このb,c,Aは要するに「2辺とはさむ角」です。

今回の△ABCでは、sinBを使うので、S=(1/2)ac・sinBとなります。
では代入して計算してみましょう!

△ABC=(1/2)×√2×3×sin45°
    =(1/2)×3√2×1/√2
    =3/2

同様にして△CDAも求めてみましょう!

△CDA=(1/2)×√2×1×sin135°
    =(1/2)×√2×1/√2
    =1/2

四角形ABCDはこれら2つの三角形の合計だから、

四角形ABCD=3/2+1/2=2


この問題の最初に戻る→(1) ∠B


◆関連項目
∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCの面積
三角比まとめ

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2024年02月25日

高校数学「三角比」円に内接する四角形ABCDの角や辺A

高校数学「三角比」円に内接する四角形ABCDの角や辺A

◆問題

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3,BC=√2,CD=√2,DA=1のとき、次のものを求めよ。

(1) ∠B

(2) AC


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◆解答解説

∠B=45°がわかったので、余弦定理でACを求めることができます。

最初からもう一度やっても、もちろんかまいませんが、(1)の式の一部をそのまま利用すると簡単に計算できます。
入試はたいてい時間設定が厳しいので、なるべく手間をかけずに素早く解けるよう工夫することも大切です。
また、手間をかけなければ、その分ミスも減りますね!

というわけで、△ABCについて余弦定理を使って、

AC2=11−6√2・cosB

このような式ができています。
∠B=45を代入すると、

AC2=11−6√2・1/√2

あとはそのまま計算します。

 =11−6
 =5

よって、AC=√5


次の問題→四角形ABCDの面積


◆関連項目
∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCの面積
三角比まとめ

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2024年02月24日

高校数学「三角比」円に内接する四角形ABCDの角や辺@

高校数学「三角比」円に内接する四角形ABCDの角や辺@

◆問題

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3,BC=√2,CD=√2,DA=1のとき、次のものを求めよ。

(1) ∠B


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◆解答解説

円に内接する四角形の対角の和は180°という性質があるので、∠B+∠D=180°となります。

だから、cosD=cos(180°−B)=−cosBです。

これを用いて、余弦定理の式を2つ作ってみましょう!

まずは△ABCについて

AC2=AB2+BC2−2AB・BC・cosB
  =32+√22−2×3×√2×cosB
  =9+2−6√2・cosB
  =11−6√2・cosB

次は△CDAについて

AC2=CD2+DA2−2・CD・DA・cosD
  =√22+12−2×√2×1×cosD
  =2+1−2√2・cosD
  =3+2√2・cosB  ←cosD=−cosB

これらはどちらもAC2で等しいので、

11−6√2・cosB=3+2√2・cosB

あとはcosBについて解きます。

−6√2・cosB−2√2・cosB=3−11
−8√2・cosB=−8
    cosB=1/√2

よって、B=45°


次の問題→ACの長さ


◆関連項目
∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCの面積
三角比まとめ

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2024年02月23日

高校数学(用語)「ベクトルの絶対値」

高校数学(用語)「ベクトルの絶対値」

★ベクトルの絶対値(absolute value of a vector)

ベクトルの大きさ、長さのこと。

→a=(x,y)とすると、|→a|=√(x2+y2)となる。


成分表示された平面のベクトルの絶対値は、要するに「横がx,縦がyの直角三角形の斜辺」ですね。
空間のベクトルでもだいたい同様で、直方体の対角線になります。


◆関連項目
ベクトルの内積ベクトルの垂直条件・平行条件
ベクトルまとめ
絶対値


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2024年02月19日

高校数学「ベクトル」正六角形ABCDEFA

高校数学「ベクトル」正六角形ABCDEFA

◆問題

正六角形ABCDEFにおいて、→AB=→a,→AF=→bとするとき、次のベクトルを求めよ。

(1) →EC
(2) →BC


(3) →FD
(4) →EA
(5) →DA


↓(3)〜(5)の解答解説はお知らせの下↓


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

ベクトルの足し算、引き算などを活用して、いろいろなベクトルを表す問題です。

ベクトルの基本的な計算方法などについては、ベクトルまとめページなどをご覧ください。

では早速今回の問題です。

正六角形のどの点をAとしても構いませんが、普通は上の点をAとして、そこから左回りに順にB,C,D,E,Fとします。ここではその前提で解説していきます。

(3) →FD

まず、→FD=→FE+→EDですね。

→FE=→BCであって、(2)より→BC=→a+→bです。
だから、→FE=→a+→bということができます。

さらに、→ED=→AB=→aですね。

よって、→FD=→a+→b+→a=2(→a)+→b


(4) →EA

→EA=→EF+→FAですね。
→EFは→BCの逆、→FAは→AFの逆だから、

→EA=−(→a+→b)−(→b)
   =−(→a)−2(→b)


(5) →DA

一番下の点から上の点までだから、やはり正六角形の対角線のうちの1つで、(2)の→BCの逆向きです。
つまり、

→DA=−2(→BC)=−2(→a+→b)=−2(→a)−2(→b)


(1)に戻る


◆関連問題
点A(5,2),点B(1,6)がある。→ABの成分表示と大きさを求めよ。
ベクトルまとめ


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2024年02月18日

高校数学「ベクトル」正六角形ABCDEF@

高校数学「ベクトル」正六角形ABCDEF@

◆問題

正六角形ABCDEFにおいて、→AB=→a,→AF=→bとするとき、次のベクトルを求めよ。

(1) →EC
(2) →BC


↓解答解説はお知らせの下↓


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

ベクトルの足し算、引き算などを活用して、いろいろなベクトルを表す問題です。

ベクトルの基本的な計算方法などについては、ベクトルまとめページなどをご覧ください。

では早速今回の問題に入ります。

正六角形ABCDEFにおいて、→AB=→a,→AF=→bとするとき、次のベクトルを求めよ。
正六角形のどの点をAとしても構いませんが、普通は上の点をAとして、そこから左回りに順にB,C,D,E,Fとします。ここではその前提で解説していきます。

(1) →EC

Eを始点、Cを終点としているので、右から左に水平に矢印が伸びることになります。
平行で長さが等しいベクトルは同じベクトルなので、→EC=→FBです。

→FB=→FA+→AB

で、→FA=−(→AF)だから、

→FB=→a−(→b)すなわち、→EC=→a−(→b)となります。


(2) →BC

→BCはBから真下に進む矢印です。
正六角形はそれぞれの点からちょうど正面に対角線を引くと、3本が1点で交わり、正三角形が6個できます。
だから、→BCはこれらの正三角形の上から下方向のベクトル全てと等しくなります。
例えば、Aから対角線の交点までのベクトルと同じです。

ということは、→BC=→AB+→AF=→a+→b


次の問題→FDなど


◆関連問題
点A(5,2),点B(1,6)がある。→ABの成分表示と大きさを求めよ。
ベクトルまとめ


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2024年02月17日

高校数学「ベクトル」座標からベクトルを求める問題A

高校数学「ベクトル」座標からベクトルを求める問題A

◆問題

座標平面上に3点A(1,2),B(3,5),C(5,−1)がある。次のベクトルの成分表示と大きさをそれぞれ求めよ。

(1) →AB
(2) →BA


(3) →BC
(4) →CA


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◆解説

座標平面上に3点A(1,2),B(3,5),C(5,−1)がある。次のベクトルの成分表示と大きさをそれぞれ求めよ。

(3) →BC

これまでと同様に考えればOKです。
BからCに行くには、x方向に2,y方向に−6移動すればいいですね。
つまり、→BC=(2,−6)です。

公式を使えば、→BC=(5−3,−1−5)=(2,−6)
このように求めることもできます。

そして、ベクトルの大きさは、直角三角形の斜辺だから、

|→BC|=√{22+(−6)2}
    =√(4+36)
    =√40
    =2√10


(4) →CA

同様にして、→CA=(1−5,2−(−1))=(−4,3)

さらに、大きさは、

|→CA|=√{(−4)2+32}
    =√(16+9)
    =√25
    =5

ですね!


(1), (2)に戻る→(1) →AB (2) →BA



◆関連問題
点A(5,2),点B(1,6)がある。→ABの成分表示と大きさを求めよ。
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2024年02月16日

高校数学「ベクトル」座標からベクトルを求める問題@

高校数学「ベクトル」座標からベクトルを求める問題@

◆問題

座標平面上に3点A(1,2),B(3,5),C(5,−1)がある。次のベクトルの成分表示と大きさをそれぞれ求めよ。

(1) →AB
(2) →BA


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◆解説

座標平面上に3点A(1,2),B(3,5),C(5,−1)がある。次のベクトルの成分表示と大きさをそれぞれ求めよ。

(1) →AB

ベクトルABは「Aを出発してBに到達するにはどう移動したか」を意味します。
A(1,2),B(3,5)だから、x方向に2,y方向に3移動することになりますね。
つまり、「→AB=(2,3)」です。

公式を適用すると、「→AB=(3−1,5−2)=(2,3)」と求めることもできます。

ベクトルの大きさは直角三角形の斜辺になるので、三平方の定理で求めることができます。
つまり、

|→AB|=√(22+32)
    =√(4+9)
    =√13

(2) →BA

ベクトルBAは、「BからAに行くにはどう移動したか」だから、→ABの逆です。
つまり、x方向に−2,y方向に−3移動したことになりますね。
だから、「→BA=(−2,−3)」です。

公式を適用すると、「→BA=(1−3,2−5)=(−2,−3)」と求めることもできます。

また、ベクトルの逆は符号が変わる。と見ることもできるので、→AB=(2,3)の符号を変えた。と考えてもよいです。


次の問題→BC,CA


◆関連問題
点A(5,2),点B(1,6)がある。→ABの成分表示と大きさを求めよ。
ベクトルまとめ


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2024年02月14日

高校数学「数列」漸化式a1=1,an+1=(1/2)an−3

高校数学「数列」漸化式a1=1,an+1=(1/2)an−3

◆問題

次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。

1=1,an+1=(1/2)an−3


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◆解答解説

1=1,an+1=(1/2)an−3

この数列は、「次の項にいくたびに、1/2倍して3を引く」ことなります。
つまり、等差数列と等比数列の両方の要素が含まれている。ということができます。
そんなときは、

n+1−α=p(an−α)

の形に直してカッコの中身をbnでおく。という流れですね。

まずは与式をこの形に直すために、an+1−α=p(an−α)を変形して与式と同じ形にします。

n+1=p・an−pα+α

与式と係数比較をすると、

p=1/2,−pα+α=−3

であることがわかります。
これを解くと、

−(1/2)α+α=−3
  (1/2)α=−3
     α=−6

というわけで、与式は

n+1−(−6)=(1/2){an−(−6)}
すなわち、
n+1+6=(1/2)(an+6)

と表すことができます。
この式のカッコの中身をbnとおきます。
つまり、bn=an+6とすると、

n+1=(1/2)bn

と置き換えられますね。

さらに、n=1のとき、b1=a1+6=1+6=7だから、bnの初項は7です。
つまり、bnは、初項7,公比1/2の等比数列です。
ならば普通に等比数列の一般項の公式より、

n=7・(1/2)n-1

ですね。
そしてつい先ほどbn=an+6とおいたので、an=bn−6だから、

n=7・(1/2)n-1−6

これが求める一般項の式となります。


◆関連項目
n+1=3an−2,a1=2で表される数列の一般項漸化式で表された等差数列漸化式で表された等比数列
数列まとめ


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2024年02月10日

高校数学「数列」「数学的帰納法」n3+2nは3の倍数

高校数学「数列」「数学的帰納法」n3+2nは3の倍数


■ 問題

nが自然数のとき、n3+2nは3の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、各大学の入試対策も行っています。過去問を中心に、基礎からやり直す人から医学部を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 解答解説

数学的帰納法を用いた証明の代表的なパターンの1つです。大学入試に数学を使う人は解けるようにしておきたい問題です。

まず、「n3+2nは3の倍数である」ことを@とおいておきます。
こうすることにより、証明を書く手間が少し省けます。

[1] n=1のとき

3+2n=13+2×1=3
よって、@は成り立つ。

[2] n=kのとき@が成り立つと仮定すると、自然数mを用いて、

3+2k=3m

と表すことができる。

n=k+1のとき、

 (k+1)3+2(k+1)
=k3+3k2+3k+1+2k+2
=k3+2k+3k2+3k+3
=k3+2k+3(k2+k+1)

3+2k=3mであり、k2+k+1は整数だから、

3+2k+3(k2+k+1)は3の倍数である。

よって、@はn=k+1のときも成り立つ。

[1],[2]より、@は全ての自然数で成り立つ。


◆関連項目
「数学的帰納法」1+4+7+……+(3n−2)
数列まとめ


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2024年02月05日

高校数学「数と式」3次式の因数分解Ax^3・y^3+1

高校数学「数と式」3次式の因数分解Ax33+1


◆問題

次の式を因数分解せよ。

33+1


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◆解答解説

3次式を因数分解するのだから、3次式の因数分解の公式を使います。
3乗足す3乗の場合は、

3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

ですね!

与式は、(xy)3+13と書き換えることができるので、

a=xy,b=1と考えることができます。
というわけで、

 x33+1
=(xy)3+13
=(xy+1)(x22−xy+1)

このように因数分解することができます。


数と式まとめ


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2024年02月04日

高校数学「数と式」3次式の因数分解@216x^3−125

高校数学「数と式」3次式の因数分解@216x3−125


昨日の高校生の授業から、1問ピックアップします。


◆問題

次の式を因数分解せよ。

216x3−125


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◆解答解説

216,125という数字を見て「3乗っぽいな」と見当をつけます。
実際に確認すると、

3=216,53=125

ですね。
だから与式は

(6x)3−53

このように書き換えることができます。
だから、3乗の因数分解の公式

3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

が使えますね!
a=6x,b=5を代入すると、

 216x−125
=(6x)3−53
=(6x−5){(6x)2+6x×5+52}
=(6x−5)(36x2+30x+25)


数と式まとめ


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