高校数学「平面上の曲線」θ＝π／４の表す線など

高校数学「平面上の曲線」θ＝π／４の表す線など

◆問題

次の極方程式で表されるのは、どのような直線または曲線であるか答えよ。

(1) θ＝π／４

(2) ｒ＝１


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◆解答・解説

極座標(ｒ，θ)は、始線となるＯＸからθだけ回転して、Ｏからｒの距離の点を表します。

(1) θ＝π／４

ｒは特に決まっていない。つまり、何でもよい。θはπ／４と角度だけ決まっている。

ということは、始線ＯＸからπ／４だけ回転した直線上の点の集合を表している。と考えられます。

つまり、「極Ｏを通り、始線ＯＸとのなす角がπ／４の直線」を表します。


(2) ｒ＝１

今度は半径だけが決まっていて、角度が決まっていません。つまり、角度はあらゆる値をとることができる。というわけです。

一般に、中心が極Ｏで、半径がａの円の極方程式は「ｒ＝ａ」で表されます。

この場合はｒ＝１なので、「中心が極Ｏで、半径が１の円」を表します。


◆関連項目
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」直交座標が(１，−√３)である点Ｐの極座標

高校数学「平面上の曲線」直交座標が(１，−\( \sqrt{３} \)である点Ｐの極座標

◆問題

直交座標が(１，−\( \sqrt{３} \)である点Ｐの極座標(ｒ，θ)を求めよ。


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◆解答・解説

極座標(ｒ，θ)は、始線となるＯＸからθだけ回転して、Ｏからｒの距離の点を表します。
だから、直交座標(ｘ，ｙ)と以下の関係が成り立ちます。

ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，ｒ＝\( \sqrt{x^2 + y^2} \)

今回は直交座標が(１，−√３)だから、ｘ＝１，ｙ＝−√３を代入して計算していきます。
まずはｒを求めます。

ｒ＝\( \sqrt{1^2 +( − \sqrt{3} )^2} \)
　＝\( \sqrt{１＋３} \)
　＝√４
　＝２

ｘ＝ｒｃｏｓθに、ｘ＝１，ｒ＝２を代入すると、
１＝２ｃｏｓθより、ｃｏｓθ＝１／２

ｙ＝ｒｃｏｓθに、ｙ＝−√３，ｒ＝２を代入すると、
−√３＝２ｓｉｎθつまり、ｓｉｎθ＝−√３／２

このようなコサインとサインの値の組合せになるのは、θ＝５３πですね！

よって、求める点Ｐの極座標は、(２，５３π)


◆関連項目
平面上の曲線まとめ


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高校数学「平面上の曲線」極座標が(２，π／６)である点Ｐの直交座標

高校数学「平面上の曲線」極座標が(２，π／６)である点Ｐの直交座標

◆問題

極座標が(２，π／６)である点Ｐの直交座標を求めよ。


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◆解答・解説

極座標(ｒ，θ)は、始線となるＯＸからθだけ回転して、Ｏからｒの距離の点を表します。
だから、直交座標(ｘ，ｙ)と以下の関係が成り立ちます。

ｘ＝ｒｃｏｓθ，ｙ＝ｒｓｉｎθ，ｒ＝\( \sqrt{x^2 + y^2} \)

今回は極座標が(２，π／６)だから、ｒ＝２，θ＝π／６を代入すると、

ｘ＝２ｃｏｓ(π／６)
　＝２×√３／２
　＝√３

ｙ＝２ｓｉｎ(π／６)
　＝２×１／２
　＝１

よって、求める点Ｐの直交座標は(√３，１)


◆関連項目
平面上の曲線まとめ


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高校数学「複素数平面」複素数ｗ＝ｉ(ｚ＋１)で表される点ｗ

高校数学「複素数平面」複素数ｗ＝ｉ(ｚ＋１)で表される点ｗ

■問題

点ｚが原点を中心とする半径１の円周上を動くとき、複素数ｗ＝ｉ(ｚ＋１)で表される点ｗは、どのような図形を描くか求めよ。

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この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

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■解説

この問題でｚは「原点を中心とする半径１の円」を表しています。
これを式で表すと、

|ｚ|＝１

ですね。

与式はｗ＝ｉ(ｚ＋１)だから、これをｚについて解けば、|ｚ|＝１で式を作ることができる。という方針です。

　ｗ＝ｉｚ＋ｉ
ｉｚ＝ｗ−ｉ
　ｚ＝(ｗ−ｉ)／ｉ

|ｚ|＝１だから、|(ｗ−ｉ)／ｉ|＝１です。つまり、|ｗ−ｉ|／|ｉ|＝１です。
|ｉ|＝１だから結局、|ｗ−ｉ|＝１です。

この形の式は円ですね！

「ｗは、中心が点ｉで半径１の円」である。ことがわかります。


関連問題→等式|ｚ−(２＋ｉ)|＝１を満たす点ｚの表す図形

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高校数学「確率統計」正規分布

高校数学「確率統計」正規分布

正規分布について、次のことが知られています。

正規分布の平均と標準偏差

確率変数Ｘが正規分布Ｎ(ｍ，σ²に従うとき
Ｅ(Ｘ)＝ｍ，σ(Ｘ)＝σ

また、確率変数Ｘが正規分布Ｎ(ｍ，σ²)に従うとき、

　　Ｚ＝Ｘ−ｍσ

とすると、Ｚは平均０，標準偏差１の正規分布Ｎ(０，１)に従い、このＺを「標準化した確率変数」といいます。

そして、Ｚは正規分布表によって確率を求めることができる。というわけです。


◆関連事項
正規分布表
確率統計まとめ

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高校数学「微分」「対数微分法」分数式の３乗根の微分

高校数学「微分」「対数微分法」分数式の３乗根の微分

次の関数を微分せよ。
ｙ＝{ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２}^1/3

つまり、「ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２の３乗根」です。
このように、式が複雑なときは「対数微分法」を使うと微分しやすい場合があります。

対数微分法とは、まず両辺の自然対数をとり、その対数を微分するという方法です。

今回の問題では、まず、

ｌｏｇ|ｙ|＝(１／３)ｌｏｇ|ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２|

とします。
全体の１／３乗は係数に移動しています。
さらに、分数全体についている絶対値は、分子と分母それぞれに分けても同じなので、分解していきます。

ｌｏｇ|ｙ|＝(１／３)ｌｏｇ|ｘ||ｘ−３|²|ｘ＋２|
　　　　＝(１／３)(ｌｏｇ|ｘ|＋２ｌｏｇ|ｘ−３|−ｌｏｇ|ｘ＋２|)

これで、右辺が全て対数の１次式になったので、微分できそうですね。

ｙ'／ｙ＝(１／３){１／ｘ＋２／(ｘ−３)−１／(ｘ＋２)}
　　　＝(１／３){(ｘ−３)(ｘ＋２)＋２ｘ(ｘ＋２)−ｘ(ｘ−３)}／{ｘ(ｘ−３)(ｘ−２)}
　　　＝(１／３)(ｘ²−ｘ−６＋２ｘ²＋４ｘ−ｘ²＋３ｘ)／{ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)}
　　　＝(２ｘ²＋６ｘ−６)／{３ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)}

求めるのはｙ'だから、左辺がｙ'だけになるように、両辺にｙをかけます。

ｙ'＝ｙ(２ｘ²＋６ｘ−６)／{３ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)}

ｙ＝{ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２}^1/3だから、

ｙ'＝{ｘ(ｘ−３)²ｘ＋２}^1/3・２ｘ²＋６ｘ−６３ｘ(ｘ−３)(ｘ＋２)

あとは、(ｘ−３)の３乗根で少し約分できたりもしますが、とりあえずここまでできるようになっていれば、それほど問題ないと思います。


数学３微分積分まとめ


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　　　　　　　　　無断転載等はご遠慮ください。(c)江間淳

高校数学「極限」「三角関数」(π−２ｘ)／ｃｏｓｘの極限

高校数学「極限」「三角関数」(π−２ｘ)／ｃｏｓｘの極限

■　問題

次の極限を調べよ。

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - 2\pi}{\cos x} \]


こういったちょっと複雑な式でも、サインの極限を求めるときは、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を使えるようにします。

公式はコレです→

解答解説はこのページ下です。

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良かったらこの書籍もご利用ください。
１０秒でわかる高校数学３「微分」基本問題の考え方

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■　解答解説

ｓｉｎｘ／ｘの形を使うには、ｘ→０でなければいけません。
今回はｘ→π／２なので、まずはこの点を変更します。

π−２ｘ＝θとおくと、ｘ＝π／２のときθ＝０ですね。
だからこれに従って、ｘをθに置き換えます。

π−２ｘ＝θ
−２ｘ＝θ−π
　　ｘ＝π／２−θ／２

というわけで、

\[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{x - 2\pi}{\cos x} \]
は、
\[
\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2}\right)}
\]
に変換することができます。

ｃｏｓ(π／２−θ／２)＝ｓｉｎ(θ／２)だから、

θ／{ｃｏｓ(π／２−θ／２)}＝θ／{ｓｉｎ(θ／２)}＝２・(θ／２)／{ｓｉｎ(θ／２)}

このようになります。

よって、求める極限値は２

◆関連項目
サインの極限
コサインの極限
極限・微分まとめ(数学３)


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高校数学「複素数平面」等式|ｚ−(２＋ｉ)|＝１を満たす点ｚの表す図形

高校数学「複素数平面」等式|ｚ−(２＋ｉ)|＝１を満たす点ｚの表す図形

■問題

等式|ｚ−(２＋ｉ)|＝１を満たす点ｚは、どのような図形を表すか？

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

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■解説

|ｚ−(２＋ｉ)|＝１

この等式は、「点(２＋ｉ)からの距離が１である」ことを意味しています。

ある特定の点からの距離が一定の点の集合は・・・

円ですね！

つまり、この等式は「点(２＋ｉ)を中心とする半径１の円」を表しています。


なお、一般に、

複素数α，正の数ｒに対して 　　|ｚ−α|＝ｒ を満たす点ｚの全体は、中心α，半径ｒの円を表す。

ということができます。

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高校数学「極限」「三角関数」(ｓｉｎｘ)／(ｘ＋ｔａｎｘ)の極限

高校数学「極限」「三角関数」(ｓｉｎｘ)／(ｘ＋ｔａｎｘ)の極限

■　問題

ｌｉｍ[x→0]{(ｓｉｎｘ)／(ｘ＋ｔａｎｘ)}の極限を調べよ。


こういったちょっと複雑な式でも、サインの極限を求めるときは、ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１を使えるようにします。

公式はコレです→

解答解説はこのページ下です。

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１０秒でわかる高校数学３「微分」基本問題の考え方

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■　解答解説

ｌｉｍ[x→0](ｓｉｎｘ／ｘ)＝１が使えるようにするためには、ｓｉｎ３ｘ／ｘの極限と同様のことをするのが基本的な方針です。

今回の問題では、その問題よりも、もう少し式が複雑なので、まずはｔａｎｘ＝ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘを使って変形していきます。

　ｓｉｎｘ／(ｘ＋ｔａｎｘ)
＝ｓｉｎｘ／(ｘ＋ｓｉｎｘ／ｃｏｓｘ)
＝ｓｉｎｘ／(ｘ＋ｓｉｎｘ・１／ｃｏｓｘ)

ｓｉｎｘ／ｘの形をつくるために、分子と分母をｘで割ります。

＝(ｓｉｎｘ／ｘ)／{１＋(ｓｉｎｘ／ｘ)・(１／ｃｏｓｘ)}

これでサインのところは全てｓｉｎｘ／ｘの形になりました。
あとは公式と、ｃｏｓ０＝１を使って、

　ｌｉｍ[x→0][(ｓｉｎｘ／ｘ)／{１＋(ｓｉｎｘ／ｘ)・(１／ｃｏｓｘ)}]
＝１／(１＋１・１／１)
＝１／２

よって、求める極限値は１／２です！

◆関連項目
サインの極限
コサインの極限
極限・微分まとめ(数学３)


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高校数学「複素数平面」等式|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|を満たす点ｚの表す図形

高校数学「複素数平面」等式|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|を満たす点ｚの表す図形

■問題

等式|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|を満たす点ｚは、どのような図形を表すか？

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

|ｚ−２|＝|ｚ−ｉ|

Ａ(２)，Ｂ(ｉ)とすると、
この式のｚは、２点Ａ，Ｂからの距離が等しい点を表しています。

Ａ，Ｂからの距離が等しい点の集合は何か？といえば、

線分ＡＢの垂直二等分線ですね！

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高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�A

高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�A

■問題

α＝１＋ｉ，β＝３＋２ｉ，δ＝２−ｉの表す点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｄとするとき、直線ＡＢとＡＤはどのような位置関係にあるか求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

３点の位置関係を調べるならば、それらを結ぶ直線によってできる角を調べるのが有力な方法です。
つまり、
δ−αβ−α
を調べればよい。というわけです。
やってみましょう！

　δ−αβ−α
＝２−ｉ−(１＋ｉ)３＋２ｉ−(１＋ｉ)
＝１−２ｉ２＋ｉ
＝−ｉ(２＋ｉ)２＋ｉ
＝−ｉ

計算した結果、この複素数は純虚数になってしまいました。
ということは、ＡＢとＡＤのなす角は９０°であり、「ＡＢとＡＤは垂直である」ということができます。


前の問題→実数の場合

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高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�@

高校数学「複素数平面」３点Ａ，Ｂ，Ｃの位置関係�@

■問題

α＝１＋ｉ，β＝３＋２ｉ，γ＝５＋３ｉの表す点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、３点Ａ，Ｂ，Ｃはどのような位置関係にあるか求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

３点の位置関係を調べるならば、それらを結ぶ直線によってできる角を調べるのが有力な方法です。
つまり、
γ−αβ−α
を調べればよい。というわけです。
やってみましょう！

　γ−αβ−α
＝５＋３ｉ−(１＋ｉ)３＋２ｉ−(１＋ｉ)
＝４＋２ｉ２＋ｉ
＝２(２＋ｉ)２＋ｉ
＝２

計算した結果、この複素数は実数になってしまいました。
ということは、ＡＢとＡＣのなす角は０°であり、「３点Ａ，Ｂ，Ｃは一直線上にある」ということができます。


次の問題→純虚数の場合

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高校数学「因数定理」ｘ3＋２ｘ2−２ｘ＋３はｘ＋３を因数にもつか？

高校数学「因数定理」ｘ³＋２ｘ²−２ｘ＋３はｘ＋３を因数にもつか？

◆問題

Ｐ(ｘ)＝ｘ³＋２ｘ²−２ｘ＋３が、ｘ＋３を因数にもつかどうか調べよ。因数にもつ場合は因数分解せよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

１次式を因数にもつかどうかは、因数定理で簡単に調べることができますね。

Ｐ(ａ)＝０のとき、ｘ−ａを因数にもつ

今回はｘ＋３を因数にもつかどうかを調べたいので、Ｐ(−３)を計算します。

Ｐ(−３)＝(−３)³＋２(−３)²−２×(−３)＋３
　　　＝−２７＋１８＋６＋３
　　　＝０

ゼロになったので、ｘ＋３は因数です。

そしてその場合は「因数分解せよ。」と言っているので、因数分解します。３次式の因数分解をするときは、まずはその因数でＰ(ｘ)を割ります。

もちろん普通に割り算で良いですが、ここでは組み立て除法で記載してみます。

まずはｘ＋３で割るので、左に−３，あとは係数を並べて書きます。

−３｜１　２　−２　３


続いて、一番上のくらいの係数をそのまま下ろして、「隣の位に掛けて足す」ことを次々とやっていきます。


−３｜１　２　−２　３
　　　　−３　　３−３
―――――――――――
　　　１−１　　１　０

というわけで、割った結果は、ｘ²−ｘ＋１、余りゼロです。
だから因数分解した結果は、

Ｐ(ｘ)＝(ｘ＋３)(ｘ²−ｘ＋１)

カッコの中は２次式ですが、「複素数の範囲で因数分解せよ」などと言われていなければ、コレで終わりです。

◆関連項目
３次方程式ｘ³＋ａｘ²−ｘ−６＝０の解の１つが２のとき
因数定理・高次方程式まとめ


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高校数学「複素数平面」α，β，γを使って∠ＡＢＣを計算

高校数学「複素数平面」α，β，γを使って∠ＡＢＣを計算

■問題

α＝１＋ｉ，β＝３＋２ｉ，γ＝２＋４ｉの表す点をそれぞれＡ，Ｂ，Ｃとするとき、∠ＡＢＣを求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

３点Ａ(α)，Ｂ(β)，Ｃ(γ)が与えられたとき、以下の式が成り立ちます。

∠ＢＡＣ＝ａｒｇγ−αβ−α

α、β、γにそれぞれ値を代入して計算してみましょう！

　γ−αβ−α
＝１＋３ｉ２＋ｉ
＝(１＋３ｉ)(２−ｉ)(２＋ｉ)(２−１)
＝２−ｉ＋６ｉ−３ｉ²４−ｉ²
＝５＋５ｉ５
＝１＋ｉ
＝√２{ｃｏｓ(π／４)＋ｉｓｉｎ(π／４)}

つまり、ａｒｇγ−αβ−α＝π／４です。

ということは、∠ＢＡＣ＝π／４ですね！

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高校数学「複素数平面」正三角形になるようなγの値

高校数学「複素数平面」正三角形になるようなγの値

■問題

点Ａ(α)，点Ｂ(β)，点Ｃ(γ)を頂点とする正三角形ＡＢＣがある。α＝１＋２ｉ，β＝７＋４ｉのとき、γを求めよ。

---

この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

---

■解説

点ｚを点ｚ₀のまわりにθだけ回転した点をｗとすると、

ｗ−ｚ₀＝(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)(ｚ−ｚ₀)

という式が成り立ちます。
これを利用すると、γを表すことができますね。

例えばＡを中心とすると、Ｂを６０°＝π／３だけ回転した点がＣということができます。
つまり、

γ−α＝{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}(β−α)

です。α，βの値を代入して計算してみましょう！

γ＝{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}(β−α)＋α
＝(１／２＋ｉ・√３／２)(７＋４ｉ−１−２ｉ)＋１＋２ｉ
＝(１／２＋ｉ・√３／２)(６＋２ｉ)＋１＋２ｉ
＝３＋ｉ＋３√３ｉ＋√３ｉ²＋１＋２ｉ
＝４−√３＋３ｉ＋３√３ｉ
＝(４−√３)＋(３＋３√３)ｉ


回転方向は逆でも正三角形になるので、−π／３の場合も同様にやります。

γ＝{ｃｏｓ(−π／３)＋ｉｓｉｎ(−π／３)}(β−α)＋α
＝(１／２−ｉ・√３／２)(６＋２ｉ)＋１＋２ｉ
＝３＋ｉ−３√３ｉ＋√３＋１＋２ｉ
＝４＋√３＋３ｉ−３√３ｉ
＝(４＋√３)＋(３−３√３)ｉ


というわけで、求める値は、
γ＝(４−√３)＋(３＋３√３)ｉ，(４＋√３)＋(３−３√３)ｉ

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高校数学「複素数平面」点ｚ0＝１＋ｉのまわりにπ／６だけ回転した点ｗ

高校数学「複素数平面」点ｚ₀＝１＋ｉのまわりにπ／６だけ回転した点ｗ

■問題

点ｚ＝５＋３ｉを、点ｚ₀＝１＋ｉのまわりにπ／６だけ回転した点ｗを求めよ。

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この問題をはじめとして、複素数の問題もいろいろ掲載しています。
よかったら他のページもご覧ください→複素数平面まとめ

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■解説

点ｚを点ｚ₀のまわりにθだけ回転した点をｗとすると、

ｗ−ｚ₀＝(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)(ｚ−ｚ₀)

という式が成り立ちます。
点ｚ₀を原点とみなして回転を考えると、ｚ₀の分だけ引けば良い。というわけです。

今回の問題では、ｚ＝５＋３ｉ，ｚ₀＝１＋ｉ，θ＝π／６です。
これらの値を適宜代入していきます。

ｗ−ｚ₀＝{ｃｏｓ(π／６)−ｉｓｉｎ(π／６)}(ｚ−ｚ₀)

まずはこんな式ができます。
ｗを出したいので、移項して計算していきます。

ｗ＝{ｃｏｓ(π／６)＋ｉｓｉｎ(π／６)}(ｚ−ｚ₀)＋ｚ₀
　＝(√３／２＋ｉ／２)(５＋３ｉ−１−ｉ)＋(１＋ｉ)
　＝(√３／２＋ｉ／２)(４＋２ｉ)＋(１＋ｉ)
　＝２√３＋√３ｉ＋２ｉ＋ｉ²＋１＋ｉ
　＝２√３＋√３ｉ＋２ｉ−１＋１＋ｉ
　＝２√３＋(３＋√３)ｉ

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高校数学「複素数平面」(１＋√３ｉ)12の計算

高校数学「複素数平面」(１＋√３ｉ)¹²の計算

■問題

(１＋√３ｉ)¹²を計算せよ。


複素数の何乗もしている場合の計算では、ド・モアブルの定理を使います。

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■解説

ド・モアブルの定理とは、

ｎが整数のとき、(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ

という定理です。

つまりは、複素数をｎ乗すると、偏角をｎ倍することになる。というわけです。

この定理を使うには、まずは極形式に直します。

ｒ＝√(１²＋√３²)＝√４＝２だから、
１＋√３ｉ＝２{１／２＋(√３／２)ｉ}
　　　　＝２{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}

与式のカッコの中身を変形できたので、あとはド・モアブルの定理を使います。

　(１＋√３ｉ)¹²
＝２¹²{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}¹²
＝４０９６(ｃｏｓ４π＋ｉｓｉｎ４π)
＝４０９６

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高校数学「複素数平面」点ｚ／αはどのような点か

高校数学「複素数平面」点ｚ／αはどのような点か

■問題

０でない複素数ｚ＝ｒ(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)とα＝２{ｃｏｓ(π／３)＋ｉｓｉｎ(π／３)}について、点ｚ／αはどのような点か求めよ。


つまり、ｚ／αを計算して、商の複素数の図形的意味を説明します。

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■解説

商の場合も、積の場合と主なポイントは同じです。

要するに、商の極形式を計算して、もとの複素数との変化を見ればいいよ！ってことです。

まばすｚ／αを計算してみましょう！

商の極形式より、
ｚ／α＝(ｒ／２){ｃｏｓ(θ−π／３)＋ｉｓｉｎ(θ−π／３)}

「ｒ／２だから、距離は１／２倍、θ−π／３だから−π／３回転」です。

きちんとかっこつけて言えば、

「点ｚ／αは、点ｚを原点からの距離を１／２倍して−π／３だけ回転した点」

と言えます！

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高校数学「複素数平面」α＝√２＋√２ｉを掛けた点αｚ

高校数学「複素数平面」α＝√２＋√２ｉを掛けた点αｚ

■問題

０でない複素数ｚ＝ｒ(ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ)に、α＝√２＋√２ｉを掛けた点αｚはどのような点か？


つまり、αｚを計算して、複素数の積の図形的意味を説明します。

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■解説

複素数の積の図形的意味については、一般に以下のことが言えます。

α＝ｒ0(ｃｏｓθ0＋ｉｓｉｎθ0)とするとき、 αｚ＝ｒ0(ｃｏｓθ0＋ｉｓｉｎθ0)ｚの表す点αｚは、点ｚを原点のまわりにθ0だけ回転し、さらに、原点からの距離をｒ0倍した点である。

要するに、積の極形式を計算して、もとの複素数との変化を見ればいいよ！ってことです。

αｚを計算してみましょう！

そのためにまずはαを極形式に直します。

α＝√２＋√２ｉだから、ｒ＝√(√２²＋√２²)＝√４＝２なので、
α＝２{√２／２＋(√２／２)ｉ}＝２{ｃｏｓ(π／４)＋ｉｓｉｎ(π／４)}

積の極形式より、
αｚ＝２ｒ{ｃｏｓ(θ＋π／４)＋ｉｓｉｎ(θ＋π／４)}

αｚの式はこのようになります。
つまりｚをどのように移動したか？というと、「原点からの距離を２倍してπ／４だけ回転した」と言えます！

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高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」７個の数字を並べる�B

高校数学「場合の数」「同じものを含む順列」７個の数字を並べる�B

■　問題

１，１，１，２，２，３，３の７個の数字を一列に並べる。このとき、次の問いに答えよ。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか？

(2) １が２個だけ隣り合う並べ方は何通りあるか？

(3) どの数字も同じ数字は隣り合わない並べ方は何通りあるか？


↓(3)の解答解説はお知らせの下に↓


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１０秒でわかる！高校数学１Ａ「場合の数・確率」の考え方

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■　解答解説

「どの同じ数字も隣り合わない」ためには、例えば「同じ数字を並べて、その間に別の数字を入れる」という考えができます。

いくつかの考え方ができますが、まずは１を３つ並べて、間に２，３を入れる方式で考えてみます。

　１　１　１
＾　＾　＾　＾
�@　�A　�B　�C
　
１が連続しないために、他の数字を入れることができる場所は以上の４ヶ所があります。

(i)４ヶ所に数字を１つずつ入れるとき
２と３の入れ方は何でもいいので、４！／(２！・２！)＝６通り

(ii) ４ヶ所のうち３ヶ所に数字を入れるとき
３ヶ所の選び方は、１が連続しないためには、�@�A�Bか�A�B�Cの２通り。
そのうち１ヶ所は２３または３２で、その場所の選び方は３通り。
残りの２ヶ所に入る数字は２，３か３，２
よって、２×２×３×２＝２４通り

(iii) ４ヶ所のうち２ヶ所に数字を入れるとき
２ヶ所の選び方は、�A�Bのみ。
その２ヶ所の数字の入れ方は、２個＆２個または３個＆１個。
２個ずつの場合は、どちらも２３，２３で、それぞれ２通りの並べ方があるので、２×２＝４通り。
３個と１個の場合は、３個は２３２か３２３で、残り１個は自動的に決まります。そして、�Aと�Bのどちらに３個が入るかが２通りあります。
つまりこの場合、２×２＝４通り。

全部合計すると、６＋２４＋４＋４＝３８通りです！


この問題の最初に戻る→全部で何通り？

◆関連項目
確率まとめ


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