2024年02月17日

高校数学「ベクトル」座標からベクトルを求める問題A

高校数学「ベクトル」座標からベクトルを求める問題A

◆問題

座標平面上に3点A(1,2),B(3,5),C(5,−1)がある。次のベクトルの成分表示と大きさをそれぞれ求めよ。

(1) →AB
(2) →BA


(3) →BC
(4) →CA


↓(3), (4)の解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

座標平面上に3点A(1,2),B(3,5),C(5,−1)がある。次のベクトルの成分表示と大きさをそれぞれ求めよ。

(3) →BC

これまでと同様に考えればOKです。
BからCに行くには、x方向に2,y方向に−6移動すればいいですね。
つまり、→BC=(2,−6)です。

公式を使えば、→BC=(5−3,−1−5)=(2,−6)
このように求めることもできます。

そして、ベクトルの大きさは、直角三角形の斜辺だから、

|→BC|=√{22+(−6)2}
    =√(4+36)
    =√40
    =2√10


(4) →CA

同様にして、→CA=(1−5,2−(−1))=(−4,3)

さらに、大きさは、

|→CA|=√{(−4)2+32}
    =√(16+9)
    =√25
    =5

ですね!


(1), (2)に戻る→(1) →AB (2) →BA



◆関連問題
点A(5,2),点B(1,6)がある。→ABの成分表示と大きさを求めよ。
ベクトルまとめ


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2024年02月16日

高校数学「ベクトル」座標からベクトルを求める問題@

高校数学「ベクトル」座標からベクトルを求める問題@

◆問題

座標平面上に3点A(1,2),B(3,5),C(5,−1)がある。次のベクトルの成分表示と大きさをそれぞれ求めよ。

(1) →AB
(2) →BA


↓解答解説はお知らせの下↓


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◆解説

座標平面上に3点A(1,2),B(3,5),C(5,−1)がある。次のベクトルの成分表示と大きさをそれぞれ求めよ。

(1) →AB

ベクトルABは「Aを出発してBに到達するにはどう移動したか」を意味します。
A(1,2),B(3,5)だから、x方向に2,y方向に3移動することになりますね。
つまり、「→AB=(2,3)」です。

公式を適用すると、「→AB=(3−1,5−2)=(2,3)」と求めることもできます。

ベクトルの大きさは直角三角形の斜辺になるので、三平方の定理で求めることができます。
つまり、

|→AB|=√(22+32)
    =√(4+9)
    =√13

(2) →BA

ベクトルBAは、「BからAに行くにはどう移動したか」だから、→ABの逆です。
つまり、x方向に−2,y方向に−3移動したことになりますね。
だから、「→BA=(−2,−3)」です。

公式を適用すると、「→BA=(1−3,2−5)=(−2,−3)」と求めることもできます。

また、ベクトルの逆は符号が変わる。と見ることもできるので、→AB=(2,3)の符号を変えた。と考えてもよいです。


次の問題→BC,CA


◆関連問題
点A(5,2),点B(1,6)がある。→ABの成分表示と大きさを求めよ。
ベクトルまとめ


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2024年02月14日

高校数学「数列」漸化式a1=1,an+1=(1/2)an−3

高校数学「数列」漸化式a1=1,an+1=(1/2)an−3

◆問題

次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。

1=1,an+1=(1/2)an−3


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◆解答解説

1=1,an+1=(1/2)an−3

この数列は、「次の項にいくたびに、1/2倍して3を引く」ことなります。
つまり、等差数列と等比数列の両方の要素が含まれている。ということができます。
そんなときは、

n+1−α=p(an−α)

の形に直してカッコの中身をbnでおく。という流れですね。

まずは与式をこの形に直すために、an+1−α=p(an−α)を変形して与式と同じ形にします。

n+1=p・an−pα+α

与式と係数比較をすると、

p=1/2,−pα+α=−3

であることがわかります。
これを解くと、

−(1/2)α+α=−3
  (1/2)α=−3
     α=−6

というわけで、与式は

n+1−(−6)=(1/2){an−(−6)}
すなわち、
n+1+6=(1/2)(an+6)

と表すことができます。
この式のカッコの中身をbnとおきます。
つまり、bn=an+6とすると、

n+1=(1/2)bn

と置き換えられますね。

さらに、n=1のとき、b1=a1+6=1+6=7だから、bnの初項は7です。
つまり、bnは、初項7,公比1/2の等比数列です。
ならば普通に等比数列の一般項の公式より、

n=7・(1/2)n-1

ですね。
そしてつい先ほどbn=an+6とおいたので、an=bn−6だから、

n=7・(1/2)n-1−6

これが求める一般項の式となります。


◆関連項目
n+1=3an−2,a1=2で表される数列の一般項漸化式で表された等差数列漸化式で表された等比数列
数列まとめ


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2024年02月10日

高校数学「数列」「数学的帰納法」n3+2nは3の倍数

高校数学「数列」「数学的帰納法」n3+2nは3の倍数


■ 問題

nが自然数のとき、n3+2nは3の倍数であることを数学的帰納法を用いて証明せよ。


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■ 解答解説

数学的帰納法を用いた証明の代表的なパターンの1つです。大学入試に数学を使う人は解けるようにしておきたい問題です。

まず、「n3+2nは3の倍数である」ことを@とおいておきます。
こうすることにより、証明を書く手間が少し省けます。

[1] n=1のとき

3+2n=13+2×1=3
よって、@は成り立つ。

[2] n=kのとき@が成り立つと仮定すると、自然数mを用いて、

3+2k=3m

と表すことができる。

n=k+1のとき、

 (k+1)3+2(k+1)
=k3+3k2+3k+1+2k+2
=k3+2k+3k2+3k+3
=k3+2k+3(k2+k+1)

3+2k=3mであり、k2+k+1は整数だから、

3+2k+3(k2+k+1)は3の倍数である。

よって、@はn=k+1のときも成り立つ。

[1],[2]より、@は全ての自然数で成り立つ。


◆関連項目
「数学的帰納法」1+4+7+……+(3n−2)
数列まとめ


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2024年02月05日

高校数学「数と式」3次式の因数分解Ax^3・y^3+1

高校数学「数と式」3次式の因数分解Ax33+1


◆問題

次の式を因数分解せよ。

33+1


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◆解答解説

3次式を因数分解するのだから、3次式の因数分解の公式を使います。
3乗足す3乗の場合は、

3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)

ですね!

与式は、(xy)3+13と書き換えることができるので、

a=xy,b=1と考えることができます。
というわけで、

 x33+1
=(xy)3+13
=(xy+1)(x22−xy+1)

このように因数分解することができます。


数と式まとめ


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2024年02月04日

高校数学「数と式」3次式の因数分解@216x^3−125

高校数学「数と式」3次式の因数分解@216x3−125


昨日の高校生の授業から、1問ピックアップします。


◆問題

次の式を因数分解せよ。

216x3−125


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◆解答解説

216,125という数字を見て「3乗っぽいな」と見当をつけます。
実際に確認すると、

3=216,53=125

ですね。
だから与式は

(6x)3−53

このように書き換えることができます。
だから、3乗の因数分解の公式

3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)

が使えますね!
a=6x,b=5を代入すると、

 216x−125
=(6x)3−53
=(6x−5){(6x)2+6x×5+52}
=(6x−5)(36x2+30x+25)


数と式まとめ


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2024年02月01日

高校数学「数列」Sn=1/(√1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+……+1/{√n+√(n+1)}

高校数学「数列」Sn=1/(√1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+……+1/{√n+√(n+1)}

◆問題

次の和Snを求めよ。

Sn=1/(√1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+……+1/{√n+√(n+1)}


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◆解答解説

Sn=1/(√1+√2)+1/(√2+√3)+1/(√3+√4)+……+1/{√n+√(n+1)}

これは等差数列でもなく等比数列でもなく、このような数列に対応するΣの公式もないので、できるだけ簡単な形に式を変形することを考えます。

式をよく見てみると、Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}などの問題と形が似ていることに気付くと思います。
ならば、その手の問題と似たようなことができないかな?と考えます。

とりあえず最初の項1/(√1+√2)をピックアップしてみましょう。
分母にルートがあると計算しにくいので、有理化してみると・・・

 1/(√1+√2)
={1/(√1+√2)}×{(√2−√1)/(√2−√1)}
=(√2−√1)/(√22−√12)
=(√2−√1)/(2−1)
=√2−√1

このように変形することができますね。

1/(√2+√3)も同様に有理化すれば、√3−√2と直すことができます。

ということは、この数列の全ての項は同様に有理化することができて、

Sn=(√2−√1)+(√3−√2)+(√4−√3)+……+{√(n+1)−√n}

このように変形することができます。
すると、部分分数分解のときと同じように、それぞれ相殺して、

Sn=−√1+√(n+1)

これだけ残ることになります。

√1=1なので、ちょっと見やすく書き直すと、

Sn=√(n+1)−1

これで完成ですね!


◆関連項目
Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}部分分数分解
数列まとめ

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2024年01月31日

高校数学「数列」Sn=1/(1・4)+1/(4・7)+1/(7・10)+……+1/{(3n−2)(3n+1)}

高校数学「数列」Sn=1/(1・4)+1/(4・7)+1/(7・10)+……+1/{(3n−2)(3n+1)}

◆問題

次の和Snを求めよ。

Sn=1/(1・4)+1/(4・7)+1/(7・10)+……+1/{(3n−2)(3n+1)}


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◆解答解説

Sn=1/(1・4)+1/(4・7)+1/(7・10)+……+1/{(3n−2)(3n+1)}

前回の問題と同様に、部分分数分解をします。

「同様」だから、1/(1・4)=1/1−1/4だよね!

などと、検証せずに安易にやってしまって間違える人たくさんいます。
雰囲気・イメージだけで判断せず、「たぶんこう」と思うものの確証がないときは、実際にやってみましょう!
実際に1/1−1/4を計算してみると・・・

1/1−1/4=4/4−1/4=3/4

ですね。1/4ではありません。
でも、3/4は1/4の3倍だから、これを1/3倍して、

(1/3)・(3/4)=1/4

こうすれば、ちゃんと1/4になります。

同様に、1/(4・7)もやってみましょう!

1/4−1/7=7/28−4/28=3/28すなわち3/(4・7)です。
ならば、これも1/3すれば、1/(4・7)になりますね。
つまり、1/(4・7)=(1/3)(1/4−1/7)です。

ということは、1/(7・10)=(1/3)(1/7−1/10)だし、その次も同様に1/(10・13)=(1/3)(1/10−1/13)となります。

最後の項の1/{(3n−2)(3n+1)}も同様に、(1/3){1/(3n−2)−1/(3n+1)}となります。

つまり、全ての項が、分数の差の1/3倍になると推定できます。
だから、与式は

Sn=(1/3){(1/1−1/4)+(1/4−1/7)+(1/7−1/10)+……+1/(3n−2)−1/(3n+1)}

このように書き換えることができます。
1/4同士、1/7同士、1/10同士が次々と相殺してゼロになり、最初と最後だけが残ります。
つまり、

Sn=(1/3){1−1/(3n+1)}

あとは計算してできるだけ簡単にします。

 =(1/3){(3n+1)/(3n+1)−1/(3n+1)}
 =(1/3){3n/(3n+1)}
 =n/(3n+1)


◆関連項目
Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}部分分数分解
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高校数学「数列」Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}

高校数学「数列」Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}

◆問題

次の和Snを求めよ。

Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}


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◆解答解説

Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}

このように、分母が自然数の積になっている分数の和を求めるときは、いわゆる部分分数分解をします。

まず最初の項、1/(1・2)について考えてみます。

1/(1・2)=1/2

ですね。さらに、

1/1−1/2=2/2−1/2=1/2

となります。だから、

1/(1・2)=1/1−1/2

ということができます。
同様に、

1/(2・3)=1/2−1/3,1/(3・4)=1/3−1/4

となります。
通分して引いてみると、そうなっちゃいます。Snの式のそれぞれの項を置き換えてみると、

Sn=(1/1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+……+{1/n−1/(n+1)}

このように書き換えることができます。

Sn=(1/1−1/2)+(1/21/3)+(1/31/4)+……+{1/n−1/(n+1)}

色をつけたところがそれぞれ相殺してゼロになるので、最初と最後だけが残ります。
つまり、

Sn=1/1−1/(n+1)
 =(n+1)/(n+1)−1/(n+1)
 =n/(n+1)


◆関連項目
Sn=1/(1・4)+1/(4・7)+1/(7・10)+……+1/{(3n−2)(3n+1)}部分分数分解
数列まとめ

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2024年01月29日

高校数学「三角比」円に内接する四角形ABCDの辺の長さ

高校数学「三角比」円に内接する四角形ABCDの辺の長さ

◆問題

円に内接する四角形ABCDで、AB=6,BC=10,CD=4,∠B=60°のとき、DAの長さを求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

四角形は三角形に分けることができるので、対角線を引くなどして、三角形を作って正弦定理や余弦定理を使うことができます。

例えば、今回の問題ではBとDを結べば、△ABCはAB=6,BC=10,∠B=60°だから、余弦定理でCAを求めることができますね。

CA2=AB2+BC2−2×AB×BC×cosB
  =62+102−2×6×10×cos60°
  =36+100−120×1/2
  =76
よって、CA=√76=2√19

四角形ABCDは円に内接するので、∠B=60°ならば、∠D=120°です。
すると、△ACDに注目すれば、CD=4,∠D=120とCA=2√19の、2辺と1角がわかっていることになります。
ならば、余弦定理の式を作れば、残りの1辺DAがわかりますね!

AC2=CD2+DA2−2×CD×DA×cos∠D
76=16+DA2−2×4×DA×(−1/2)
76=16+DA2+4DA

移項してまとめると、

DA2+4DA−60=0
(DA+10)(DA−6)=0
よってDA=−10,6
DA>0だから、DA=6


◆関連項目
正弦定理・余弦定理△ABCにおいて、AB=4,BC=5,CA=3である。辺BC上にBD=2となるように点Dをとる。このとき、ADの長さを求めよ。
三角比まとめ

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2024年01月28日

高校数学「数列」平面上にn本の直線があり、どの2本も平行でなく…

高校数学「数列」平面上にn本の直線があり、どの2本も平行でなく…

◆問題

平面上にn本の直線があり、どの2本も平行でなく、また、どの3本も同一の点で交わらないとする。このとき、これらの直線によって平面はいくつの部分に分けられるか求めよ。


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◆解答解説

例えば、平面上に3本の直線が引いてあるとします。
ここに1本の直線つまり、4本目を書き足すと、もともとの3本と交わり、交点が3つ増えます。
そうすると、新たに直線を引いたことにより、分けられた平面の区域は4つ増えることになります。

n本の直線が引いてある場合で同様に考えれば、n+1本目を引けば、交点がn個増えて、平面の区域はn+1個増えるはずですね。
n本目の直線を引いたときの区域の個数をanとして、これを式で表せば、

n+1=an+n+1

となります。
「n+1本目を引けば、n本目のときよりn+1個多い」という意味を表します。

これは階差数列を表す漸化式になっているので、普通に階差数列の一般項の求め方をやります。

n=a1Σ[k=1〜n-1]bk

ですね。
直線が1本のとき、平面は2つの区域に分けられるので、a1=2です。
そして、bn=n+1ですね。
だから、

an=2+Σ[k=1〜n-1](k+1)
 =2+(n/2)(n−1)+n−1
 =2+n2/2−n/2+n−1
 =n2/2+n/2+1

n=1のとき、1/2+1/2+1=2だから、このanはn=1のときも成り立つ。

というわけで、n本の直線によって、平面はn2/2+n/2+1個の部分に分けられる。ことがわかりました。

ちなみに、1/2でくくって、(1/2)(n2+n+2)個としてもよいです。


◆関連項目
漸化式で表された階差数列a1=−1,an+1=an+3n
数列まとめ

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2024年01月27日

高校数学「数列」漸化式a1=2,an+1=an+2

高校数学「数列」漸化式a1=2,an+1=an+2

◆問題

次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。

1=2,an+1=an+2


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◆解答解説

n+1=an+2

この式は、「第n項に2を足したら第n+1項になる」ことを意味します。

つまり、「次の項にいく度に2を足す」のだから、等差数列です。

漸化式で表されていても、等差数列の場合もあるし、等比数列の場合もあるし、その他の数列の場合もあります。
数列の種類によって、適切な公式や解き方をやる必要があります。

今回は等差数列だから、普通に等差数列の公式を使います。

an=a+(n−1)dに、a=3,d=2を代入して、

an=3+(n−1)×2
 =3+2n−2
 =2n+1

a1=2×1+1=3だから、n=1のときも成り立つ。

というわけで、求める一般項は、an=2n+1


◆関連項目
漸化式で表された等差数列
数列まとめ

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2024年01月26日

高校数学「三角比」√3・tanθ−3=0

高校数学「三角比」√3・tanθ−3=0

◆問題

√3・tanθ−3=0を満たすθの値を求めよ。ただし、0°≦θ≦180°とする。


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◆解答解説

基本的な三角方程式です。
いきなりθを出すことはできないので、まずはtanθについて解きます。

√3・tanθ−3=0
  √3・tanθ=3
    tanθ=3/√3

3=√32だから、√3で約分して、

tanθ=√3

これを満たすθが、今回の問題の解です。
tanθ=y/xだから、x=1,y=√3になる角度は、60°ですね。

よって、θ=60°


◆関連項目
sinA=1/2のとき
三角比まとめ

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2024年01月25日

高校数学「三角比」tanA=8/15のとき、sinA,cosA

高校数学「三角比」tanA=8/15のとき、sinA,cosA

◆問題

tanA=8/15のとき、sinA,cosAを求めよ。


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◆解答解説

tanA=8/15のとき、sinA,cosA

三角比の相互関係に代入して計算・・・でもちろんOKですが、ここでは別の方法でやってみたいと思います。

斜辺がr,横がx,縦がyの直角三角形のx,y,rを用いて、三角比はそれぞれ、

sinA=y/r,cosA=x/r,tanA=y/x

と表すことができます。

tanA=8/15ということは、x=15,y=8です。

直角三角形の2辺がわかっているので、斜辺は三平方の定理で求めることができますね。

2=152+82
 =225+64
 =289
r=17

というわけで、sinA=8/17,cosA=15/17と求めることができます。

このように、直角三角形の3辺の長さを用いれば、三角比の相互関係の公式を使わなくても、三角比の値を求めることができます。


◆関連項目
sinA=1/2のとき
三角比まとめ

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2024年01月23日

三角比の表

三角比の表

角 / 正弦(sin) / 余弦(cos) / 正接(tan)
0 / 0.0000 / 1.0000 / 0.0000

1 / 0.0175 / 0.9998 / 0.0175
2 / 0.0349 / 0.9994 / 0.0349
3 / 0.0523 / 0.9986 / 0.0524
4 / 0.0698 / 0.9976 / 0.0699
5 / 0.0872 / 0.9962 / 0.0875
6 / 0.1045 / 0.9945 / 0.1051
7 / 0.1219 / 0.9925 / 0.1228
8 / 0.1392 / 0.9903 / 0.1405
9 / 0.1564 / 0.9877 / 0.1584
10 / 0.1736 / 0.9848 / 0.1763

11 / 0.1908 / 0.9816 / 0.1944
12 / 0.2079 / 0.9781 / 0.2126
13 / 0.2250 / 0.9744 / 0.2309
14 / 0.2419 / 0.9703 / 0.2493
15 / 0.2588 / 0.9659 / 0.2679
16 / 0.2756 / 0.9613 / 0.2867
17 / 0.2924 / 0.9563 / 0.3057
18 / 0.3090 / 0.9511 / 0.3249
19 / 0.3256 / 0.9455 / 0.3443
20 / 0.3420 / 0.9397 / 0.3640

21 / 0.3584 / 0.9336 / 0.3839
22 / 0.3746 / 0.9272 / 0.4040
23 / 0.3907 / 0.9205 / 0.4245
24 / 0.4067 / 0.9135 / 0.4452
25 / 0.4226 / 0.9063 / 0.4663
26 / 0.4384 / 0.8988 / 0.4877
27 / 0.4540 / 0.8910 / 0.5095
28 / 0.4695 / 0.8829 / 0.5317
29 / 0.4848 / 0.8746 / 0.5543
30 / 0.5000 / 0.8660 / 0.5774

31 / 0.5150 / 0.8572 / 0.6009
32 / 0.5299 / 0.8480 / 0.6249
33 / 0.5446 / 0.8387 / 0.6494
34 / 0.5592 / 0.8290 / 0.6745
35 / 0.5736 / 0.8192 / 0.7002
36 / 0.5878 / 0.8090 / 0.7265
37 / 0.6018 / 0.7986 / 0.7536
38 / 0.6157 / 0.7880 / 0.7813
39 / 0.6293 / 0.7771 / 0.8098
40 / 0.6428 / 0.7660 / 0.8391

41 / 0.6561 / 0.7547 / 0.8693
42 / 0.6691 / 0.7431 / 0.9004
43 / 0.6820 / 0.7314 / 0.9325
44 / 0.6947 / 0.7193 / 0.9657
45 / 0.7071 / 0.7071 / 1.0000
46 / 0.7193 / 0.6947 / 1.0355
47 / 0.7314 / 0.6820 / 1.0724
48 / 0.7431 / 0.6691 / 1.1106
49 / 0.7547 / 0.6561 / 1.1504
50 / 0.7660 / 0.6428 / 1.1918

51 / 0.7771 / 0.6293 / 1.2349
52 / 0.7880 / 0.6157 / 1.2799
53 / 0.7986 / 0.6018 / 1.3270
54 / 0.8090 / 0.5878 / 1.3764
55 / 0.8192 / 0.5736 / 1.4281
56 / 0.8290 / 0.5592 / 1.4826
57 / 0.8387 / 0.5446 / 1.5399
58 / 0.8480 / 0.5299 / 1.6003
59 / 0.8572 / 0.5150 / 1.6643
60 / 0.8660 / 0.5000 / 1.7321

61 / 0.8746 / 0.4848 / 1.8040
62 / 0.8829 / 0.4695 / 1.8807
63 / 0.8910 / 0.4540 / 1.9626
64 / 0.8988 / 0.4384 / 2.0503
65 / 0.9063 / 0.4226 / 2.1445
66 / 0.9135 / 0.4067 / 2.2460
67 / 0.9205 / 0.3907 / 2.3559
68 / 0.9272 / 0.3746 / 2.4751
69 / 0.9336 / 0.3584 / 2.6051
70 / 0.9397 / 0.3420 / 2.7475

71 / 0.9455 / 0.3256 / 2.9042
72 / 0.9511 / 0.3090 / 3.0777
73 / 0.9563 / 0.2924 / 3.2709
74 / 0.9613 / 0.2756 / 3.4874
75 / 0.9659 / 0.2588 / 3.7321
76 / 0.9703 / 0.2419 / 4.0108
77 / 0.9744 / 0.2250 / 4.3315
78 / 0.9781 / 0.2079 / 4.7046
79 / 0.9816 / 0.1908 / 5.1446
80 / 0.9848 / 0.1736 / 5.6713

81 / 0.9877 / 0.1564 / 6.3138
82 / 0.9903 / 0.1392 / 7.1154
83 / 0.9925 / 0.1219 / 8.1443
84 / 0.9945 / 0.1045 / 9.5144
85 / 0.9962 / 0.0872 / 11.4301
86 / 0.9976 / 0.0698 / 14.3007
87 / 0.9986 / 0.0523 / 19.0811
88 / 0.9994 / 0.0349 / 28.6363
89 / 0.9998 / 0.0175 / 57.2900
90 / 1.0000 / 0.0000 / −

三角比(数学1)まとめ三角関数(数学2)まとめ
えまじゅくブログインデックス記事


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

10秒でわかる高校数学2B「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます!
ラベル:数学
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2024年01月20日

高校数学「三角比」a=√7,b=4,c=3の△ABCの面積

高校数学「三角比」a=√7,b=4,c=3の△ABCの面積

◆問題

a=√7,b=4,c=3の△ABCの面積を求めよ。


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◆解答解説

高校数学「三角比」a=√7,b=4,c=3の△ABCの面積

三角形の面積は、S=(1/2)bc・sinAで求めることができます。
このb,c,Aはかならずこの組合せでなければいけないわけではなく、「2辺とそのはさむ角」ならOKです。

今回の問題では、サインの値や角度がひとつもわかっていないので、

まずは余弦定理でコサインを求める
→コサインからサインを求める
→面積の公式に代入する

このような流れでやっていきます。

A,B,Cのどれでもいいのですが、先ほど書いた公式に合わせて、cosAを求めるところからやっていきます。

2=b2+c2−2bc・cosAに、a=√7,b=4,c=3を代入して、

(√7)2=42+c2−2×4×3×cosA

あとはcosAについて解いていきます。

     7=16+9−24cosA
24cosA=25−7
24cosA=18
  cosA=18/24=3/4

コサインがわかれば、相互関係を使ってサインを求めることができます。

sin2A+cos2A=1にcosA=3/4を代入して、

sin2A+(3/4)2=1
sin2A+9/16=1
     sin2A=1−9/16
     sin2A=7/16
           sinA=√7/4

サインがわかったので、面積の公式に代入していきます。

S=(1/2)bc・sinAに、b=4,c=3,sinA=√7/4を代入して、

S=(1/2)×4×3×√7/4
 =3√7/2


◆関連項目
∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCの面積
三角比まとめ

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2024年01月18日

高校数学「三角比」A=60°,c=3√2,外接円の半径R=3のとき、残りの辺と角

高校数学「三角比」A=60°,c=3√2,外接円の半径R=3のとき、残りの辺と角

◆問題

△ABCにおいて、A=60°,c=3√2,外接円の半径R=3のとき、残りの辺と角を求めよ。


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◆解答解説

数学1Aの三角比のノーマルな問題です。
いくつか角や辺が与えられて、残りの値を求めるときは、正弦定理や余弦定理を使います。

今回の問題では、外接円の半径がわかっているので、まずは正弦定理を使いましょう!

a/sinA=2Rに、A=60°,R=3を代入して、

a/sin60°=2×3
 a/(√3/2)=6
      a=6×√3/2=3√3

c/sinC=2Rに、c=3√2,R=3を代入して、

(3√2)/sinC=6
     3√2=6sinC
    sinC=(3√2)/6=√2/2

よって、C=45°

A+B+C=180°だから、B=180°−60°−45°=75°

これで3つの角が全てわかりました。
辺もa,cの2つがわかっています。

75°のサインの値は(数1の範囲では)出すことが難しいので、aかcで余弦定理を使って、残りのbを出していきましょう!
例えば、cosAを使えば、

2=b2+c2−2bc・cosA
(3√3)2=b2+(3√2)2−2b・3√2・cos60°
27=b2+18−2b・3√2・1/2

これでbについての2次方程式ができました。
あとは普通に解いていきます。
まずは移項して、

2−3√2・b−9=0

因数分解はできなそうなので、解の公式で解きます。

b=[−(−3√2)±√{(−3√2)2−4×1×(−9)}]/2×1
 ={3√2±√(18+36)}/2
 =(3√2±√54)/2
 =(3√2±3√6)/2

b>0だから、b=(3√2+3√6)/2=3(√2+√6)/2

よって、a=3√3,b=3(√2+√6)/2,B=75°,C=45°


◆関連項目
b=15,c=15√3,A=30°の△ABCの残りの辺の長さと角の大きさ
三角比まとめ

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2024年01月14日

高校数学「三角比」b=15,c=15√3,A=30°の△ABCの残りの辺の長さと角の大きさ

高校数学「三角比」b=15,c=15√3,A=30°の△ABCの残りの辺の長さと角の大きさ

◆問題

△ABCにおいて、b=15,c=15√3,A=30°のとき、残りの辺の長さと角の大きさを求めよ。


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◆解答解説

数学1Aの三角比のノーマルな問題です。
いくつか角や辺が与えられて、残りの値を求めるときは、正弦定理や余弦定理を使います。
この場合は、「2辺とそのはさむ角」がわかっているので、まずは余弦定理を使ってみましょう!

2=b2+c2−2bc・cosAに、b=15,c=15√3,A=30°を代入して、

2=152+(15√3)2−2×15×15√3・cos30°
 =225+225×3−2×225√3×√3/2
 =225×4−225×3 ←2で約分して、√32=3
 =225

よって、a=15

1組の角と対辺がわかったので、次は正弦定理を使ってみます。

  a/sinA=b/sinB
15/sin30°=15/sinB
    sinB=sin30°
よって、B=30°

さらにCも正弦定理で・・・とやっても構いませんが、△ABCなので、A+B+C=180°だから、

C=180°−30°−30°
 =120°

というわけで、まとめると、

a=15,B=30°,C=120°


◆関連項目
∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCの面積
三角比まとめ

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2024年01月10日

高校数学「図形と方程式」円周上の点Pにおける接線

高校数学「図形と方程式」円周上の点Pにおける接線

◆問題

2+y2=5の円周上の点P(1,−2)における接線の方程式を求めよ。


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◆解答解説

2+y2=5の円周上の点P(1,−2)における接線の方程式を求めよ。

原点を中心とする円x2+y2=r2の周上の点(a,b)における接線の方程式は、

★ ax+by=r2

で求めることができます。

今回の問題では、r2=5,(a,b)=(1,−2)だから、求める接線の方程式は、

1x−2y=5
 x−2y=5


◆関連項目
円の方程式円の外部から引いた接線の方程式
図形と方程式まとめ


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2024年01月09日

高校数学「図形と方程式」kの値にかかわらず通る定点の座標

高校数学「図形と方程式」kの値にかかわらず通る定点の座標

◆問題
kを定数とする。直線(1+k)x−(1−3k)y=−5k−1は、kの値にかかわらず定点を通る。その定点の座標を求めよ。


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◆解答解説

「定点を通る」などの条件の場合、kを含む項と含まない項に分けて、恒等式の考え方を用います。

まずはカッコを外してイコールゼロにします。

(1+k)x−(1−3k)y=−5k−1
 x+kx−y+3ky=−5k−1

移項して、

kx+3ky+5k+x−y+1=0

kでくくると、

k(x+3y+5)+(x−y+1)=0

与式はこのように変形できます。
kの値にかかわらず式が成り立つということは、カッコの中身がそれぞれゼロですね。
つまり、

x+3y+5=0,x−y+1=0

これらを同時に満たすx,yの値が、求める定点の座標です。

  x+3y+5=0
−)x− y+1=0
――――――――――
    4y+4=0
      4y=−4
       y=−1

x−(−1)+1=0
   x+2=0
     x=−2

よって、求める定点の座標は(−2,−1)


◆関連項目
図形と方程式まとめ


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こんなヤツです
名前:江間淳
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職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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