2019年07月09日

高校数学「円の方程式」「平方完成」

高校数学「円の方程式」「平方完成」

方程式x^2+y^2−6x−4y−12=0はどのような図形を表すか。

xも2乗、yも2乗の場合は、円を表します。
円の場合は、中心と半径を求めて、「中心(a,b),半径rの円」のように答えます。

式は、(x−a)^2+(y−b)^2=r^2の形になります。
この形のとき、中心(a,b),半径rですね。

今回の問題では、中心と半径はそのままではわからないので、この「わかる形」にします。
かっこの2乗なので、いわゆる「平方完成」をすればOKですね!

        (x^2−6x)+(y^2−4y)−12=0
(x^2−6x+9)−9+(y^2−4y+4)−4−12=0
             (x−3)^2+(y−2)^2=25
             (x−3)^2+(y−2)^2=5^2

よって、中心(3,2),半径5の円


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ラベル:数学
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解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

|→a|=√3,|→b|=2で、→aと→bのなす角が30°であるとき、次の問いに答えよ。

(1) →a・→bを求めよ。

ベクトルの内積は次の公式で計算することができます。

→a・→b=|→a||→b|・cosθ

これに、|→a|=√3,|→b|=2、θ=30°を代入して

→a・→b
=√3×2・cos30°
=2√3×√3/2
=3

ちなみに、ベクトルの内積はスカラーになることを覚えておくと良いと思います。


(2) |3(→a)−(→b)|を求めよ。

合成されたベクトルの値を求めるためには、まずは2乗するとうまくいくことが多いです。
ベクトルは2乗するとスカラーになり、内積もスカラーになるからです。
計算は基本的に普通の文字式と同じやり方でできます。すなわち、普通に2乗の展開などをやることができますね!
やってみましょう!

|3(→a)−(→b)|^2
=9|→a|^2ー6(→a・→b)+|→b|^2
=9・(√3)^2−6・3+2^2
=27ー18+4
=13

2乗した値が13なので、求める値は√13


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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2019年07月08日

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

|→a|=√3,|→b|=2で、→aと→bのなす角が30°であるとき、次の問いに答えよ。

(1) →a・→bを求めよ。
(2) |3(→a)−(→b)|を求めよ。


定期テストでもよく出題されるレベルの問題です。
当然必ず解けるようになっていなければいけませんが、これも質問されることが多いです。
皆さんはどうでしょうか?


解答解説はこちら


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2019年07月04日

解答(3)★高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の2点A(2,1),B(−4,3)について次の問いに答えよ。

問題ページはこちら

(1) 2点A,Bを通る直線の式を求めよ。
(2) 2点A,Bを直径とする円の方程式を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


(3) 2点A,Bを1:2に内分する点の座標を求めよ。

2点A,Bをm:nに内分する点の座標は、

((nx1+mx2)/(m+n),(ny1+my2)/(m+n))

で表すことができます。

この式に、A(2,1),B(−4,3),m:n=1:2を代入すると、

 ({2・2+1・(−4)}/(1+2),(2・1+1・3)/(1+2))
=((4−4)/3,(2+3)/3)
=(0,5/3)

これだけで完成ですね!

ちなみに、外分ならば、nのところがマイナスになります。


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解答(2)★高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の2点A(2,1),B(−4,3)について次の問いに答えよ。

問題ページはこちら

(1) 2点A,Bを通る直線の式を求めよ。

この記事では(2)を解説します。

(2) 2点A,Bを直径とする円の方程式を求めよ。

中心(p,q),半径rの円の方程式は

(x−p)^2+(y−q)^2=r^2

です。

2点A,Bを直径とするので、中心はA,Bの中点です。中点は2点の座標の平均でしたね。つまり、

(p,q)=((2−4)/2,(1+3)/2)
   =(−1,2)

半径は、中心と円周上の点との距離に等しいので、2点間の距離の公式を使って求めることができます。

d=√{(x2−x1)^2+(y2−y1)^2}に、d=r,(2,1),(−1,2)を代入して、

r=√{(−1−2)^2+(2−1)^2}
 =√(9+1)
 =√10

これで中心(−1,2),半径√10がわかりました。

よって、求める円の方程式は、

(x+1)^2+(y−2)^2=10


つづく


(3) 2点A,Bを1:2に内分する点の座標を求めよ。


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解答(1)★高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の2点A(2,1),B(−4,3)について次の問いに答えよ。

問題ページはこちら

(1) 2点A,Bを通る直線の式を求めよ。

2点を通る直線の式は、y=ax+bでももちろん構いませんが、高校生向けの問題としては、

y−y1=m(x−x1)

を使えるようにしておいた方が良いです。

さらに、mは傾きであり変化の割合なので、

m=(y2−y1)/(x2−x1)

ですね。
これらを組み合わせると、

y−y1={(y2−y1)/(x2−x1)}(x−x1)

という式が得られます。
これに今回の2点の座標、A(2,1),B(−4,3)を代入してみましょう!

y−1={(3−1)/(−4−2)}(x−2)

代入だけをすると、こうなります。
あとは計算して、なるべく簡単な形にすれば完成です!

y−1=−(2/6)(x−2)
y−1=−(1/3)(x−2)
  y=−(1/3)x+2/3+1
  y=−(1/3)x+5/3


つづく

(2) 2点A,Bを直径とする円の方程式を求めよ。
(3) 2点A,Bを1:2に内分する点の座標を求めよ。


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2019年07月03日

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

高校数学基本問題 数学2B「点と直線」「円」「内分」

座標平面上の2点A(2,1),B(−4,3)について次の問いに答えよ。

(1) 2点A,Bを通る直線の式を求めよ。
(2) 2点A,Bを直径とする円の方程式を求めよ。
(3) 2点A,Bを1:2に内分する点の座標を求めよ。


どれも基本事項です。
素早く正確に解けるようにしておきたいですね!


解答解説はこちら


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解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

2点O(0,0),A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めよ。
問題ページはこちら

このように未知の点Pについて考える場合は、Pの座標を文字で置きます。
そして、条件に従って「その通りの式」を作ると考えると良いと思います。

P(x,y)とおくと、2点間の距離の公式より、

OP=√(x^2+y^2)
AP=√{(x−6)^2+y^2}

ですね。
O,Aからの距離の比が2:1だから、OP:AP=2:1です。
その通りに式にを作れば、

√(x^2+y^2):√{(x−6)+y^2}=2:1

このような式ができます。
あとは計算して、できるだけわかりやすい式にすればOKですね!

   2√(x^2+y^2)=√{(x−6)^2+y^2}
    4(x^2+y^2)=(x−6)^2+y^2
    4x^2+4y^2=x^2−12x+36+y^2
3x^2+12x+3y^2=36
   x^2+4x+y^2=12
 (x+2)^2−4+y^2=12
   (x+2)^2+y^2=16

よって、求める軌跡は、中心(−2,0),半径4の円


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2019年07月02日

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「軌跡」

2点O(0,0),A(6,0)からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求めよ。


軌跡も質問が多い単元です。
ちゃんと条件通りに式を作れば必ずできるはずですが、どうでしょうか?


解答解説はこちら


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2019年07月01日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」「公式」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」「公式」


10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方P.25より


 次の表は、40人の生徒のテストの結果である。
┌──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┐
│ 得点│0│1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│ 計│
├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┤
│ 人数│0│0│1│3│4│8│9│8│4│3│0│ 40│
└──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┘
 このデータの分散を求めよ。


前回の記事では、正直に「偏差の2乗の平均」を計算することにより、分散を求めました。

この記事では、公式を使った別解を解説します。


分散はデータの値をxとすると、次の式で求めることもできます。

(分散)=(xの2乗の平均)−(xの平均の2乗)

では、今回の問題にこの公式を当てはめてみましょう!
 (2^2×1+3^2×3+4^2×4+5^2×8+6^2×9+7^2×8+8^2×4+9^2×3)÷40
=(4×1+9×3+16×4+25×8+36×9+49×8+64×4+81×3)÷40
=(4+27+64+200+324+392+256+243)÷40
=1510÷40
=37.75

平均は前回の記事で求めたように5.9です。
よって、(xの平均の2乗)は、

5.9^2=34.81

(分散)=(xの2乗の平均)−(xの平均の2乗) なので、

(分散)=37.75−34.81=2.94


当然ですが、前回の記事で求めた値と一致しました。
こちらの方法の方が計算が簡単になることが多いので、できるだけ覚えておいた方が良いと思います。


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高校数学「極座標」「直交座標」

高校数学「極座標」「直交座標」

直交座標で(−2,2√3)で表される点の極座標(r,θ)を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。

「直交座標」とは、いわゆる普通の「座標」です。(x,y)で表されます。
「極座標」は、(r,θ)で表されます。rは特定の点O(極)からの距離、θは始線からの回転角(偏角)です。

このタイプの問いの場合は、Oは基本的に共通して「原点」ととらえてOKです。

直交座標での(−2,2√3)の原点からの距離がrです。
これは普通に2点間の距離で求めることができますね。

r=√{(−2)^2+(2√3)^2}
 =√(4+12)
 =√16
 =4

そして、cosθ=x/r,sinθ=y/rだから、
cosθ=−2/4=−1/2
sinθ=2√3/4=√3/2
このような場合のθは、(2/3)πですね。

よって、求める極座標は(4,(2/3)π)となります。


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2019年06月29日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」


10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方P.25より


 次の表は、40人の生徒のテストの結果である。
┌──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┐
│ 得点│0│1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│ 計│
├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┤
│ 人数│0│0│1│3│4│8│9│8│4│3│0│ 40│
└──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┘
 このデータの分散を求めよ。


分散は、偏差の2乗の平均です。

そして、偏差とは平均との差です。

つまり、まずは平均を求めて、それぞれのデータと平均との差を2乗した値の平均が分散です。


「平均=合計÷人数」ですね。
この場合は、2点が1人、3点が3人、4点が4人、5点が8人・・・となっているので、これらを全て合計して40で割ると、

 (2×1+3×3+4×4+5×8+6×9+7×8+8×4+9×3)÷40
=(2+9+16+40+54+56+32+27)÷40
=236÷40
=5.9

平均は5.9点です。

それぞれの得点からこの5.9を引いた値を2乗して、平均したものが分散です。

 {(2−5.9)^2・1+(3−5.9)^2・3+(4−5.9)^2・4
  +(5−5.9)^2・8+(6−5.9)^2・9+(7−5.9)^2・8
  +(8−5.9)^2・4+(9−5.9)^2・3}÷40

途中の計算は省略しますが、これを計算すると、

2.94という値が得られます。
つまり、求める分散は2.94ですね!


今回の問題は、数字的に少しばかり大変だったと思います。
そんなときに使える公式もあります。その公式については別の記事で解説します


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2019年06月28日

高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」

高校数学意外と解けない?問題 数学1A「データの分析」「分散」


10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方P.25より


 次の表は、40人の生徒のテストの結果である。
┌──┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬─┬──┐
│ 得点│0│1│2│3│4│5│6│7│8│9│10│ 計│
├──┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼─┼──┤
│ 人数│0│0│1│3│4│8│9│8│4│3│0│ 40│
└──┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴─┴──┘
 このデータの分散を求めよ。


この単元の問題は、とにかく用語と計算方法を覚えて、その通りにやるしかありません。
分散はデータのばらつき具合を表す値です。
はたして、どうやって計算するのでしょうか・・・?


解答解説は後ほど掲載します。


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2019年06月27日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「三角比」「内接円」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学1A「三角比」「内接円」

a=5,b=4,c=3の△ABCの、内接円の半径rを求めよ。

公式を使った解き方は、数字を入れればいいだけなので、ここではあえて掲載せずに、三角形の面積を使った解き方を解説します。

内接円の半径は、三角形の面積から求めることができます。

内接円の中心と、三角形の各頂点を結ぶと、△ABCは3つの三角形、△OAB,△OBC,△OCAに分けることができます。
当然ながら、△ABC=△OAB+△OBC+△OCAですね。

そして、△ABCの3辺は内接円の接線なので、円と接線の定理が成り立ちます。
接線と接点に引いた半径は垂直に交わるので、この3つの三角形の高さは全て内接円の半径rになります。

だから、
△ABC=(1/2)r×AB+(1/2)r×BC+(1/2)r×CA
    =(1/2)r(AB+BC+CA)

このように表すことができます。
これは実際のところ、いわゆる「公式」と同じ式です。
このようにして公式を導くことができる。というわけです。

今回の△ABCの3辺は3,4,5なので直角三角形です。
だから、△ABC=(1/2)×3×4=12/2=6

6=(1/2)r(3+4+5)
6=(12/2)r
6=6r
r=1

ということで、求める内接円の半径rは1であることがわかりました。


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高校数学意外と解けない?問題 数学1A「三角比」「内接円」

高校数学意外と解けない?問題 数学1A「三角比」「内接円」

a=5,b=4,c=3の△ABCの、内接円の半径rを求めよ。


内接円の半径はセンター試験でも頻出です。内接円の半径の公式はあるにはありますが、単に公式に当てはめて解くより、図形の性質を利用して解けるようにしておいた方がよいです。


解答解説はこちら


このコーナーでは、「基本だし、わかれば難しくないけど、意外と解けない人が多い問題」を中心に掲載していきます。


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2019年06月26日

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」


問題ページはこちら


→a=(10,5),→b=(1,2)で、tは実数とする。|→a+t・→b|の最小値とそのときのtの値を求めよ。

まず、→a+t・→bを表してみましょう!

(10,5)+t(1,2)=(10+t,5+2t)

となります。
これの絶対値なので、三平方の定理の応用で

 √{(10+t)^2+(5+2t)^2}
=√(100+20t+t^2+25+20t+4t^2)
=√(5t^2+40t+125)

この式の値の最小値を聞いています。
つまりは、√の中身が最小ならば最小値です。
√の中身は2次式なので、最小値なら平方完成をします。

=√{5(t^2+8t)+125}
=√{5(t+4)^2−16×5+125}
=√{5(t+4)^2+45}

というわけで、t=−4のとき最小値になります。代入してみると、

=√45
=3√5

よって、t=−4のとき最小値3√5


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posted by えま at 22:32| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

高校数学意外と解けない?問題 数学2B「ベクトル」

→a=(10,5),→b=(1,2)で、tは実数とする。|→a+t・→b|の最小値とそのときのtの値を求めよ。


ベクトルに絶対値がついていたり、最小値だったりで、慣れてない人にはハードルが高い要素が多いですが、わかればそれほど難しくないです。


解答解説はこちら


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posted by えま at 08:49| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年06月25日

解答★高校数学基本問題「ベクトル」「点と直線」

解答★高校数学基本問題「ベクトル」「点と直線」


問題ページはこちら


2点A(3,3),B(5,−1)について次の問いに答えよ。

(1) 線分ABの長さを求めよ。
(2) 線分ABを2:1に内分する点、外分する点の座標を求めよ。
(3) →ABと|→AB|を求めよ。


(1)
2点間の距離は、三平方の定理の応用で求められます。
公式としては、

d=√{(x2−x1)^2+(y2−y1)^2}

ですね。
これに、(x1,y1)=(3,3),(x2,y2)=(5,−1)を代入して、

d=√{(5−3)^2+(−1−3)^2}
 =√(4+16)
 =√20
 =2√5

(2)
内分点はm:nに内分するとき、((nx1+mx2)/(m+n),(ny1+my2)/(m+n))で求められます。
外分は、この公式のnの符号をマイナスにします。

内分点
 ((1×3+2×5)/(2+1),{1×3+2×(−1)}/(2+1))
=((3+10)/3,(3−2)/3)
=(13/3,1/3)

外分点
 ((−1×3+2×5)/(2−1),{−1×3+2×(−1)}/(2−1))
=((−3+10)/1,(−3−2)/1)
=(7,−5)

(3)
→ABは、点Aを始点、点Bを終点とするベクトルです。
AからBまで行くにはどれだけ進めば良いか?を表す。と理解しておくと良いと思います。
だから、点B−点Aで求めることができます。

→AB=(5−3,−1−3)
   =(2,−4)

|→AB|は、→ABの絶対値で、つまりはベクトルの長さです。
座標平面上の長さは2点間の距離で求められる。つまり、三平方の定理で求められる。というわけです。

→AB=(2,−4)なので、

|→AB|=√{2^2+(−4)^2}
   =√(4+16)
   =√20
   =2√5

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ラベル:数学
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解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「微分係数」

解答★高校数学意外と解けない?問題 数学2B「微分」「微分係数」


問題ページはこちら


関数f(x)=−2x^2+4x−3のx=1における微分係数を求めよ。

「x=1における微分係数」とは、f'(1)のことです。
つまり、微分してx=1を代入した値です。

やってみましょう!

f'(x)=−4x+4

f'(1)=−4+4=0

よって、求める微分係数は0


「微分係数とは何か?」「微分係数はどうやって求めることができるか?」さえわかれば、とても簡単な問題でしたね!


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posted by えま at 21:53| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学基本問題「ベクトル」「点と直線」

高校数学基本問題「ベクトル」「点と直線」

2点A(3,3),B(5,−1)について次の問いに答えよ。

(1) 線分ABの長さを求めよ。
(2) 線分ABを2:1に内分する点、外分する点の座標を求めよ。
(3) →ABと|→AB|を求めよ。



解答解説はこちら


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ラベル:数学
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