高校数学「数と式」ｘ4＋４の因数分解

高校数学「数と式」ｘ⁴＋４の因数分解

◆問題

ｘ⁴＋４を因数分解せよ。


数学１としては発展的な内容になりますが、工夫次第で充分解けると思います！


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓


◆解答解説

「ｘの４乗だから、２乗の２乗にわけちゃえば簡単！・・・と思ったら、アレ？うまくいかない！？」

このように思った人、いると思います。

ａ²−ｂ²＝(ａ＋ｂ)(ａ−ｂ)

の形で因数分解できそうに見えますが、今回の問題では、間の符号がプラスなので、(このままでは)この公式は使えませんね。

いろいろ試行錯誤してみると・・・

(ｘ²＋２)²＝ｘ⁴＋４ｘ²＋４

これを活用すれば良いのではないか？
と推測できるはず！・・・かも知れません(笑)
まあ、これを使えばできるので、これを使う。ということです。

　ｘ⁴＋４
＝ｘ⁴＋４ｘ²＋４−４ｘ²

だから、

＝(ｘ²＋２)²−４ｘ²

このように変形できます。

ｘ²＋２＝Ａとおけば、

＝Ａ²−４ｘ²
＝(Ａ＋２ｘ)(Ａ−２ｘ)

Ａをもとに戻せば、

＝(ｘ²＋２＋２ｘ)(ｘ²＋２−２ｘ)

これで終わりでも問題はありませんが、それぞれのカッコの中を次数の高い順に並べるとキレイです。

＝(ｘ²＋２ｘ＋２)(ｘ²−２ｘ＋２)


数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学(用語)「双曲線」

高校数学(用語)「双曲線」

この記事では数学３の双曲線について掲載します。

★双曲線(hyperbola)

２定点Ｆ，Ｆ'からの距離の差が一定である点の軌跡を双曲線といい、Ｆ，Ｆ'を双曲線の焦点という。
また、直線ＦＦ'を主軸、主軸と双曲線との交点を頂点、線分ＦＦ'の中点を中心という。


双曲線の方程式の標準形は、

ｘ²／ａ²−ｙ²／ｂ²＝１

で、この双曲線はｘ軸、ｙ軸と原点に対して対称であり、頂点はｘ軸との交点(±ａ，０)となる。


さらに、双曲線の漸近線は、双曲線の方程式の右辺を０で置き換えた式をｙについて解くと得られる。

ｘ²／ａ²−ｙ²／ｂ²＝０より、

ｙ＝±(ｂ／ａ)ｘ


◆関連項目
数学１の２次関数(放物線)、楕円
平面上の曲線まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「平面上の曲線」円を変形してできた楕円�B

高校数学「平面上の曲線」円を変形してできた楕円�B

◆問題
円ｘ²＋ｙ²＝２５をｘ軸方向に２／５倍してできる図形は、どのような図形か求めよ。


問題自体は前回の記事と同じです。
この記事では、「円周上の点Ｐが点Ｑに移動すると考えて、２点の関係式を作る」方法で解いてみます。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★★★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★　　　茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室　　　　　　　　★
★　「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。　　　　★
★　対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！　　　　★
★　オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。　　　　　★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

　えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
　２人〜４人の同時指導も好評です！
　今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

　東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
　同時募集しています。卓球と勉強両方やる人には優待もあります！

　興味をお持ちの方は、まずはこちらからお問い合わせください。

　家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆解答・解説

もとの円周上の点Ｐ(ｘ，ｙ)がＱ(Ｘ，Ｙ)に移る。と考えます。

ｘ軸方向に２／５倍する。つまり、ｙ座標は変化しません。
ということは、ｘ，ｙ，Ｘ，Ｙの関係式は以下のように表すことができます。

(２／５)ｘ＝Ｘ，ｙ＝Ｙ

(２／５)ｘ＝Ｘを変形すると、ｘ＝(５／２)Ｘと表すことができます。

ｘ²＋ｙ²＝２５に、ｘ，ｙを代入すると、

{(５／２)Ｘ}²＋Ｙ²＝２５

このような式ができ上がります。
あとは右辺が１になるように計算すると、

ｘ²／４＋ｙ²／２５＝１

と求めることができます。


前回の記事(ａ，ｂの値を直接求める方法)と比べてみてください。


◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
円の方程式、図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「平面上の曲線」円を変形してできた楕円�A

高校数学「平面上の曲線」円を変形してできた楕円�A

◆問題
円ｘ²＋ｙ²＝２５をｘ軸方向に２／５倍してできる図形は、どのような図形か求めよ。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★★★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★　　　茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室　　　　　　　　★
★　「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。　　　　★
★　対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！　　　　★
★　オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。　　　　　★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

　えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
　２人〜４人の同時指導も好評です！
　今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

　東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
　同時募集しています。卓球と勉強両方やる人には優待もあります！

　興味をお持ちの方は、まずはこちらからお問い合わせください。

　家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆解答・解説

まず、もとの円は、中心(０，０)，半径５の円ですね。
だから、円とｘ軸との交点は(±５，０)，ｙ軸との交点は(０，±５)となります。

この円をｘ軸方向に２／５倍すると、ｙ軸との交点は(０，±５)で変わらず、ｘ軸との交点は(±２，０)に変わります。

つまり、楕円の式において、ａ＝２，ｂ＝５であることがわかります。
だから求める図形の方程式は、

ｘ²／４＋ｙ²／２５＝１

と求めることができます。


ちなみにこの手の問題は、２／５倍することによって、円周上の点Ｐが点Ｑに移動すると考えて、２点の関係式を作り、もとの円の方程式に代入して解くこともできます。


◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
円の方程式、図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学(用語)「放物線」

高校数学(用語)「放物線」

この記事では数学３の放物線について掲載します。

★放物線(parabola)

定点ＦとＦを通らない定直線ｌからの距離が等しい点の軌跡を放物線という。
定点Ｆを焦点、定直線ｌを準線、Ｆを通り準線と直交する直線の放物線の軸という。

焦点(ｐ，０)，準線ｘ＝−ｐの放物線の式は、
ｙ²＝４ｐｘ

焦点(０，ｐ)，準線ｘ＝−ｐの放物線の式は、
ｘ²＝４ｐｙ


◆関連項目
数学１の２次関数(放物線)、楕円
平面上の曲線まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「平面上の曲線」まとめ

高校数学「平面上の曲線」まとめ

高校数学３の平面上の曲線に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆　公式・解き方・考え方

放物線
楕円、焦点
双曲線


●関連項目
円の方程式と中心、半径


◆　問題

●楕円
楕円ｘ²／２５＋ｙ²／１６＝１の焦点など
楕円４ｘ²＋９ｙ²＝１の焦点など
２点Ｆ(３，０)，Ｆ'(−３，０)からの距離の和が１０の楕円の方程式
焦点がＦ(０，４)，Ｆ'(０，−４)で、長軸の長さが１２のの楕円の方程式
(ｘ−２)²／１５＋(ｙ＋３)²／９＝１の焦点
円ｘ²＋ｙ²＝２５をｘ軸方向に２／５倍してできる図形

楕円ｘ²／３＋ｙ²／６＝１上の点(１，−２)における接線
楕円ｘ²／２＋ｙ²／８＝１の接線うち、傾きが１のもの
楕円ｘ²／４＋ｙ²／３＝１と直線ｙ＝ｘ＋ｋが異なる２点で交わる
楕円ｘ²／５＋ｙ²／４＝１と直線ｙ＝ｘ＋ｋが異なる２点Ｐ，Ｑで交わるとき、線分ＰＱの中点Ｒの軌跡

●双曲線
２焦点(２，０)，(−２，０)からの距離の差が２の双曲線の方程式
焦点が(±４，０)，漸近線がｙ＝±ｘの双曲線の方程式
双曲線ｘ²−５ｙ²＝５と直線ｙ＝２ｘ＋ｋとの共有点の個数


まだまだ追加していきます！リクエストがあればお気軽にどうぞ！


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「平面上の曲線」円を変形してできた楕円�@

高校数学「平面上の曲線」円を変形してできた楕円�@

◆問題
円ｘ²＋ｙ²＝４をｙ軸方向に１／２倍してできる図形は、どのような図形か求めよ。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★★★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★　　　茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室　　　　　　　　★
★　「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。　　　　★
★　対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！　　　　★
★　オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。　　　　　★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

　えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
　２人〜４人の同時指導も好評です！
　今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

　東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
　同時募集しています。卓球と勉強両方やる人には優待もあります！

　興味をお持ちの方は、まずはこちらからお問い合わせください。

　家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆解答・解説

まず、もとの円は、中心(０，０)，半径２の円ですね。
だから、円とｘ軸との交点は(±２，０)，ｙ軸との交点は(０，±２)となります。

この円をｙ軸方向に１／２倍すると、ｘ軸との交点は(±２，０)で変わらず、ｙ軸との交点は(０，±１)に変わります。

つまり、楕円の式において、ａ＝２，ｂ＝１であることがわかります。
だから求める図形の方程式は、

ｘ²／４＋ｙ²／１＝１
すなわち、ｘ²／４＋ｙ²＝１

と求めることができます。


ちなみにこの手の問題は、１／２倍することによって、円周上の点Ｐが点Ｑに移動すると考えて、２点の関係式を作り、もとの円の方程式に代入して解くこともできます。


◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
円の方程式、図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「平面上の曲線」楕円の焦点を求める

高校数学「平面上の曲線」楕円の焦点を求める

◆問題
楕円(ｘ−２)²／１５＋(ｙ＋３)²／９＝１の焦点の座標を求めよ。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★★★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★　　　茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室　　　　　　　　★
★　「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。　　　　★
★　対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！　　　　★
★　オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。　　　　　★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

　えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
　２人〜４人の同時指導も好評です！
　今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

　東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
　同時募集しています。卓球と勉強両方やる人には優待もあります！

　興味をお持ちの方は、まずはこちらからお問い合わせください。

　家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆解答・解説

分子のｘ²やｙ²に何かを足したり引いたりしている場合は、楕円を平行移動したと考えられます。
例えば、２次関数の頂点でも同じ考えをしますね。

今回の問題の場合、ｘ²／１５＋ｙ²／９＝１を、ｘ軸方向に２，ｙ軸方向に−３移動したと考えられます。
ということは、焦点の座標も同じだけ平行移動したはずですね。

ｘ²／１５＋ｙ²／９＝１の焦点の座標を(±ｃ，０)とすると、

ｃ＝√(１５−９)＝√６

つまり、これの焦点は(±√６，０)です。

これをｘ軸方向に２，ｙ軸方向に−３移動するので、求める焦点の座標は、

(２＋√６，−３)，(２−√６，−３)


◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「数と式」(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ＋３)(ｘ＋４)の展開

高校数学「数と式」(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ＋３)(ｘ＋４)の展開

◆問題

(ｘ＋１)(ｘ＋２)(ｘ＋３)(ｘ＋４)を展開せよ。


ちょっと工夫して計算すると、計算が楽になります。


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓


◆解答解説

このように、カッコがいくつもある場合は組み合わせ方を工夫すると、楽に計算できる場合があります。
どのように組み合わせるかというと、

「同じ部分ができるようにする」

という方針です。

例えばそのままの順番で、まず(ｘ＋１)(ｘ＋２)の部分と(ｘ＋３)(ｘ＋４)の部分を展開すると、

(与式)＝(ｘ²＋３ｘ＋２)(ｘ²＋７ｘ＋１２)

となり、特に何事もなくそのまま万遍なく掛けていき、９つの項がでてきて同類項をまとめる。という手順になります。
これでももちろん正しい式を求めることができますが、まあまあ面倒です。
そこで、「同じ部分ができるようにする」と、

(与式)＝{(ｘ＋１)(ｘ＋４)}{(ｘ＋２)(ｘ＋３)}

この組み合わせにします。これをそれぞれ展開すれば、

　　＝(ｘ²＋５ｘ＋４)(ｘ²＋５ｘ＋６)

こうなって、「ｘ²＋５ｘ」という共通の部分ができました。
ｘ²＋５ｘ＝Ａとすると、

　　＝(Ａ＋４)(Ａ＋６)
　　＝Ａ²＋１０Ａ＋２４

あとはＡを元に戻して、

　　＝(ｘ²＋５ｘ)²＋１０(ｘ²＋５ｘ)＋２４
　　＝ｘ⁴＋１０ｘ³＋２５ｘ²＋１０ｘ²＋５０ｘ＋２４
　　＝ｘ⁴＋１０ｘ³＋３５ｘ²＋５０ｘ＋２４

これで完成です！
この手順でやっても、もちろん楽ではありませんが、何も工夫せずやるよりはミスを防ぎやすくなるはずです。


数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「平面上の曲線」楕円の方程式を求める�A

高校数学「平面上の曲線」楕円の方程式を求める�A

◆問題
焦点がＦ(０，４)，Ｆ'(０，−４)で、長軸の長さが１２のの楕円の方程式を求めよ。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★★★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★　　　茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室　　　　　　　　★
★　「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。　　　　★
★　対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！　　　　★
★　オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。　　　　　★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

　えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
　２人〜４人の同時指導も好評です！
　今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

　東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
　同時募集しています。卓球と勉強両方やる人には優待もあります！

　興味をお持ちの方は、まずはこちらからお問い合わせください。

　家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆解答・解説

楕円とｘ軸との交点は(ａ，０)，(−ａ，０)，楕円とｙ軸との交点は(０，ｂ)，(０，−ｂ)として、楕円の方程式は、以下のように表されます。

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１

今回の問題では、焦点の座標が(０，±４)で、長軸の長さが１２だから、２ｂ＝１２よりｂ＝６です。

焦点の座標を(０，±ｃ)とすると、

ｃ²＝ｂ²−ａ²

という関係が成り立つので、

４²＝６²−ａ²

１６＝３６−ａ²
ａ²＝２０

よって、求める楕円の方程式は、ｘ²／２０＋ｙ²／３６＝１


◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「平面上の曲線」楕円の方程式を求める�@

高校数学「平面上の曲線」楕円の方程式を求める�@

◆問題
２点Ｆ(３，０)，Ｆ'(−３，０)からの距離の和が１０の楕円の方程式を求めよ。


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★★★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★　　　茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室　　　　　　　　★
★　「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。　　　　★
★　対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！　　　　★
★　オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。　　　　　★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

　えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
　２人〜４人の同時指導も好評です！
　今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

　東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
　同時募集しています。卓球と勉強両方やる人には優待もあります！

　興味をお持ちの方は、まずはこちらからお問い合わせください。

　家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆解答・解説

楕円とｘ軸との交点は(ａ，０)，(−ａ，０)，楕円とｙ軸との交点は(０，ｂ)，(０，−ｂ)として、楕円の方程式は、以下のように表されます。

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１

今回の問題では、２定点(焦点)Ｆ，Ｆ'からの距離の和が１０だから、

２ａ＝１０より、ａ＝５がわかります。

さらに、焦点の座標ｃとａ，ｂの関係から、ｃ²＝ａ²−ｂ²に、ａ＝５，ｃ＝３を代入すると、

３²＝５²−ｂ²
９＝２５−ｂ²
ｂ²＝１６＝４²

これでｂ＝４がわかりました。ａ，ｂがそろったので、楕円の方程式に代入すると、

ｘ²／２５＋ｙ²１６＝１



◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「平面上の曲線」楕円の焦点など�A

高校数学「平面上の曲線」楕円の焦点など�A

◆問題
次の楕円の焦点、２焦点からの距離の和をそれぞれ求めよ。

４ｘ²＋９ｙ²＝１


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★★★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★　　　茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室　　　　　　　　★
★　「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。　　　　★
★　対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！　　　　★
★　オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。　　　　　★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

　えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
　２人〜４人の同時指導も好評です！
　今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

　東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
　同時募集しています。卓球と勉強両方やる人には優待もあります！

　興味をお持ちの方は、まずはこちらからお問い合わせください。

　家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆解答・解説

楕円とｘ軸との交点は(ａ，０)，(−ａ，０)，楕円とｙ軸との交点は(０，ｂ)，(０，−ｂ)として、楕円の方程式は、以下のように表されます。

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１

今回の問題の式は、４ｘ²＋９ｙ²＝１なので、見た目上は公式と違う形となっています。
焦点等を求めるためには、公式と同じ形にする必要があります。
つまり、係数の４と９を分母に移動する必要があります。

４＝１／(１／４)，９＝１／(１／９)と表すことができるので、与式は次のように変形できます。

ｘ²／(１／４)＋ｙ²／(１／９)＝１

よって、ａ＝１／２，ｂ＝１／３

２焦点からの距離の和は、２ａ＝２×１／２＝１となります。


焦点はｃ＝√(ａ²−ｂ²)なので、

ｃ＝√(１／４−１／９)
　＝√(９／３６−４／３６)
　＝√(５／３６)
　＝√５／６

よって、焦点の座標は(±√５／６，０)です。


◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「平面上の曲線」楕円の焦点など

高校数学「平面上の曲線」楕円の焦点など

◆問題
次の楕円の焦点、２焦点からの距離の和、および長軸と短軸の長さをそれぞれ求めよ。

ｘ²／２５＋ｙ²／１６＝１


↓↓解答解説はお知らせの下↓↓

━━━━━━━━━━━━━お知らせ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
★★★★★★★「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」生徒募集！★★★★★★★★★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★　　　茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室　　　　　　　　★
★　「ＡＥ個別学習室(えまじゅく)」では、生徒募集をしています。　　　　★
★　対象は小学生・中学生・高校生・浪人生。社会人も歓迎します！　　　　★
★　オンライン授業も好評です！全国の生徒さんに対応可能です。　　　　　★
★　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　★
★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

　えまじゅくでは、経験豊富なプロ講師のマンツーマン授業が受けられます。
　２人〜４人の同時指導も好評です！
　今年も何人もの生徒さんが、第一志望(以上)の結果を出してくれました。

　東海村教室では、全国大会経験者による指導が受けられる卓球教室の生徒も
　同時募集しています。卓球と勉強両方やる人には優待もあります！

　興味をお持ちの方は、まずはこちらからお問い合わせください。

　家庭教師・塾のサイトと連絡先はここ → http://www.a-ema.com/

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

◆解答・解説

楕円とｘ軸との交点は(ａ，０)，(−ａ，０)，楕円とｙ軸との交点は(０，ｂ)，(０，−ｂ)として、楕円の方程式は、以下のように表されます。

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１

今回の問題の式は、ｘ²／２５＋ｙ²／１６＝１なので、

ａ²＝２５，ｂ²＝１６だから、

ａ＝５，ｂ＝４

２焦点からの距離の和は２ａだから、２ａ＝２×５＝１０となります。

さらに、ａ＞ｂなので、長軸の長さは２ａ＝１０，短軸の長さは２ｂ＝８です。


焦点はｃ＝√(ａ²−ｂ²)なので、

ｃ＝√(２５−１６)
　＝√９
　＝３

よって、焦点の座標は(±３，０)です。


素早く解くには、公式として上記の内容を覚えている必要がありますが、混乱した場合は、楕円は２つの焦点からの距離の和が一定である点の軌跡であることを思い出して、図を描いて一つ一つ距離を表してみると公式が導けるはずです。
特に、普段の勉強では、多少時間がかかったとしても、一度やってみると理解が深まります！


◆関連項目
楕円の方程式
平面上の曲線まとめ
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学(用語)「楕円」「焦点」

高校数学(用語)「楕円」「焦点」

★楕円(ellipse)

２点Ｆ，Ｆ'からの距離の和が一定である点の軌跡を楕円という。

★焦点(focus)

これらの２点Ｆ，Ｆ'を焦点という。


直線ＦＦ'をｘ軸上直線とし、ＦＦ'の中点を原点とすると、楕円とｘ軸との交点は(ａ，０)，(−ａ，０)，楕円とｙ軸との交点は(０，ｂ)，(０，−ｂ)となります。
これらのａ，ｂを用いて、楕円の方程式の標準形は、

ｘ²／ａ²＋ｙ²／ｂ²＝１

と表すことができます。

そして、焦点(±ｃ，０)とすると、ｃ＝√(ａ²−ｂ²)という関係が成り立ち、２焦点からの距離の和は２ａとなります。


ちなみに、ａ＝ｂのとき、ｘ²＋ｙ²＝ａ²となるので、円は楕円の特殊な場合である。と見ることもできます。


◆関連項目
円の方程式


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「数と式」カッコの３乗の展開

高校数学「数と式」カッコの３乗の展開

カッコの３乗の展開は、ひたすらがんばればできることは間違いありませんが、とても面倒なので、公式をマスターするのがおすすめです。

まずはａ＋ｂの３乗の場合。ａとｂが順序よく並んでいることに注目してください。

★(ａ＋ｂ)³＝ａ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²＋ｂ³


続いて、ａ−ｂの３乗の場合。
この式のｂの部分の符号がマイナスになるので、ｂの指数が奇数の項のみマイナスがつきます。

★(ａ−ｂ)³＝ａ³−３ａ²ｂ＋３ａｂ²−ｂ³


念のため、「ひたすらがんばる」方式でやってみます。

　(ａ＋ｂ)³
＝(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)²
＝(ａ＋ｂ)(ａ²＋２ａｂ＋ｂ²)
＝ａ³＋２ａ²ｂ＋ａｂ²＋ａ²ｂ＋２ａｂ²＋ｂ³
＝ａ³＋３ａ²ｂ＋３ａｂ²＋ｂ³

当然ですが、公式と同じ形の式を導くことができました。


↓解き方・考え方の習得にはこの書籍もおすすめです↓



数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「数と式」ユークリッドの互除法

高校数学「数と式」ユークリッドの互除法

★ユークリッドの互除法(Euclidean Algorithm)

ａ＞ｂとして、ａ÷ｂの余りを出す。その余りでｂを割る。さらにその余りで…
このように、余りがゼロになるまで次々と割り算をしていきます。
余りがゼロになったときの割る数がａ，ｂの最大公約数になる。
という方法です。

例：
(i) ８と６の場合

８÷６＝１・・・２
６÷２＝３

これで余りがゼロになったので、８と６の最大公約数は２と求められました。


(ii) ７００と３１５の場合

７００÷３１５＝２・・・７０
３１５÷７０＝４・・・３５
７０÷３５＝２

よって、最大公約数は３５


◆関連項目
一次不定方程式の解き方
高校数学数と式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「図形と方程式」不等式の表す領域

高校数学「図形と方程式」不等式の表す領域

座標平面上に領域を表す場合はまず、境界線となるグラフを描きます。
そして不等号に従って、その境界線の上や下、中や外を領域として示します。
主なパターンを以下に示します。


・直線のグラフと領域

ｙ＞ａｘ＋ｂ・・・境界線よりｙが大きいので、境界線の上側
ｙ＜ａｘ＋ｂ・・・境界線よりｙが小さいので、境界線の下側


・放物線のグラフと領域

ｙ＞ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ・・・境界線よりｙが大きいので、境界線の上側
ｙ＜ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ・・・境界線よりｙが小さいので、境界線の下側


・円のグラフと領域

(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＞ｒ²・・・左辺の式の値がｒの２乗より大きいので、境界線の外側
(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＜ｒ²・・・左辺の式の値がｒの２乗より小さいので、境界線の内側


不等号にイコールが入っている場合は、「境界線を含む」とします。


◆関連項目
直線の方程式、２次関数(放物線)、円の方程式
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「図形と方程式」数直線上と座標平面の内分・外分

高校数学「図形と方程式」数直線上と座標平面の内分・外分

★　内分(internal division)

ある線分を、その線分上の点で分けることを内分、その線分の延長線上の点で分けることを外分という。


まず、数直線上に線分ＡＢがあり、線分ＡＢをｍ：ｎに内分する点をＰとします。
Ａ，Ｂ，Ｐの座標をそれぞれａ，ｂ，ｐとすると、

ｐ＝(ｎａ＋ｍｂ)／(ｍ＋ｎ)

数直線上の内分点Ｐの座標はこのように表されます。

　　　　　　　Ｐ
Ａ―――――――――――Ｂ
　　　ｍ　　　：　ｎ

分子はｍとｎを反対側にかける。というイメージで覚えると使いやすいと思います。


通常の座標平面の場合は、ｘ，ｙそれぞれにこの式を当てはめることになります。
Ａ(ｘa，ｙa)，Ｂ(ｘb，ｙb)，Ｐ(ｘp，ｙp)とすると、

ｘp＝(ｎｘa＋ｍｘb)／(ｍ＋ｎ)，ｙp＝(ｎｙa＋ｍｙb)／(ｍ＋ｎ)


★　外分(external division)

そして、線分の延長線上に点Ｐがくるのが外分です。
「いったん外側に出てから戻ってくる」とイメージするとわかりやすいと思います。

公式は内分とほとんど同じですが、少し符号が変わります。
外分の場合は、ｍ：ｎの数値のうち、ｎの符号だけがマイナスになります。

内分・外分の基本問題です→線分ＡＢの内分点と外分点の問題


◆関連項目
図形と方程式まとめ
ベクトルまとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「平行条件」

高校数学「平行条件」


平行線の間では、平行条件が成り立ちます。

図形と方程式の単元の直線の式に関しては、「傾きが等しい直線は平行である」ということができます。
つまり

ｍ＝ｍ'

です。
ｍがもとの直線の傾き、ｍ'が平行線の傾きですね。


ちなみに、平行条件をベクトルを使って表すと、

→ａ＝ｍ・→ｂ

です。
「片方のベクトルを何倍かすると、もう片方と一致する」という意味ですね。


◆関連項目
直線の公式ｙ−ｙ1＝ｍ(ｘ−ｘ1)、ベクトルの平行条件・垂直条件
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

高校数学「図形と方程式」円の方程式

高校数学「図形と方程式」円の方程式

中心(ａ，ｂ)，半径ｒの円の方程式は、

★　(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²

の形で表されます。

ｘ，ｙがともに２乗で、右辺にはｒの２乗がある。と考えると覚えやすいと思います。

(ｘ−ａ)²と(ｙ−ｂ)²のどちらにも係数がない(係数は１になる)ことも理解しておきましょう。

例えば、(ｘ−３)²＋(ｙ＋１)²＝４という方程式で表される図形は、「中心(３，−１)，半径２の円」となります。


もともとカッコの２乗になっていないときは、２次関数の頂点を出す場合と同じく平方完成をして、この形に直します。

例えば、ｘ²−２ｘ＋ｙ²＋４ｙ＝０という方程式が与えられた場合、ｘ，ｙをそれぞれ平方完成すると、中心と半径を求めることができます。

ｘ²−２ｘ＋１−１＋ｙ²＋４ｙ＋４−４＝０
(ｘ−１)²−１＋(ｙ＋２)²−４＝０
(ｘ−１)²＋(ｙ＋２)²＝５

というわけで、この方程式で表される図形は、「中心(１，−２)，半径√５の円」であることがわかりました。


◆関連項目
平方完成のやり方
図形と方程式まとめ


江間淳の書籍はこちら
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
　20年以上の実績。全学年、英・数・理をはじめ全教科対応
　　最高級の指導を提供します！メール添削も好評です！

プロ家庭教師の江間です。　　　　ＡＥ個別学習室(えまじゅく)
http://www.a-ema.com/k/　　　　 http://www.a-ema.com/j/
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−