高校数学「微分」３次方程式２ｘ3−６ｘ−１＝０の実数解の個数

高校数学「微分」３次方程式２ｘ³−６ｘ−１＝０の実数解の個数


◆問題

３次方程式２ｘ³−６ｘ−１＝０の実数解の個数を求めよ。



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◆解答解説

３次方程式２ｘ³−６ｘ−１＝０の実数解の個数を求めよ。

方程式の実数解は、関数ｙ＝ｆ(ｘ)のｘ軸との交点により求めることができます。
だから、ｘ軸との共有点の個数が実数解の個数と等しくなります。

３次関数とｘ軸との共有点の個数は、極値とｘ軸との位置関係により決まる。ということができます。

極値を使うのだから、まずは微分ですね！

ｆ(ｘ)＝２ｘ³−６ｘ−１とおくと、
ｆ'(ｘ)＝６ｘ²−６

ｆ'(ｘ)＝０のとき極値だから、

６ｘ²−６＝０
　ｘ²−１＝０
　　　(ｘ＋１)(ｘ−１)＝０
よって、ｘ＝±１

そして増減表です。

ｘ	…	−１	…	１	…
ｙ'	＋	０	−	０	＋
ｙ	↗	極大	↘	極小	↗

ｆ(−１)＝２(−１)³−６・(−１)−１
　　　＝−２＋６−１
　　　＝３
ｆ(１)＝２−６−１
　　＝−５

つまり、極大値は３，極小値は−５です。
極大値は正の数、極小値は負の数ですね。
ということは、極大値と極小値の間にｘ軸がくるので、この３次関数とｘ軸は３つの交点をもちます。

交点が３つだから、もとの３次方程式の解の個数は３つです。


◆関連項目
３次方程式ｘ³＋４ｘ²−３ｘ＋ａ＝０の異なる実数解の個数
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」極限(用語)

高校数学「微分」極限(用語)

★極限(limit)

数列の項の番号を限りなく大きくするとき、または関数の変数の値をある値に近づけるか正・負の無限大にするときに、数列や関数値が限りなく近づく一定の値。


とりあえず、数学２の範囲では「関数の変数の値をある値に限りなく近づけるときの式の値」と考えればよいです。
ある値に限りなく近づくので、実質的に「代入」と同じになります。
ただし、そのまま代入すると０／０の形になってしまう場合は、式の変形をして０／０にならないようにします。


◆関連項目
極限値の計算�@、極限値の計算�A
定義に従った微分


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高校数学「微分」ｆ'(２)＝−５などから２次関数ｆ(ｘ)の式を求める問題

高校数学「微分」ｆ'(２)＝−５などから２次関数ｆ(ｘ)の式を求める問題


◆問題

ｆ'(２)＝−５，ｆ'(−１)＝７，ｆ(１)＝３である２次関数ｆ(ｘ)を求めよ。



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◆解答解説

ｆ'(２)＝−５，ｆ'(−１)＝７，ｆ(１)＝３である２次関数ｆ(ｘ)を求めよ。

「関数の式がわからないなら、文字でおいてみよう！」という考え方をします。
２次関数だから一般的には、ｆ(ｘ)＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃとおくことができます。

与えられた条件から式を立てていきます。
まずはｆ(ｘ)を微分しておきます。

ｆ'(ｘ)＝２ａｘ＋ｂ

ですね。
あとはそれぞれ代入していきます。

ｆ'(２)＝４ａ＋ｂ＝−５　……�@
ｆ'(−１)＝−２ａ＋ｂ＝７　……�A
ｆ(１)＝ａ＋ｂ＋ｃ＝３　……�B

�@−�Aより、６ａ＝−１２よって、ａ＝−２

ａ＝−２を�@に代入すると、−８＋ｂ＝−５よって、ｂ＝３

�Bにこれらを代入して、
−２＋３＋ｃ＝３よって、ｃ＝２

というわけで、ａ，ｂ，ｃが全てわかりました。あとはａ，ｂ，ｃを代入して式を答えて完成です！

ｆ(ｘ)＝−２ｘ²＋３ｘ＋２


◆関連項目
ｆ(１)＝２などから３次関数ｆ(ｘ)の式を求める問題
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」ｆ(１)＝２などから３次関数ｆ(ｘ)の式を求める問題

高校数学「微分」ｆ(１)＝２などから３次関数ｆ(ｘ)の式を求める問題


◆問題

ｘ³の係数が１で、ｆ(１)＝２，ｆ(−１)＝−２，ｆ'(−１)＝０である３次関数ｆ(ｘ)を求めよ。



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◆解答解説

ｘ³の係数が１で、ｆ(１)＝２，ｆ(−１)＝−２，ｆ'(−１)＝０である３次関数ｆ(ｘ)を求めよ。

「関数の式がわからないなら、文字でおいてみよう！」という考え方をします。
３次関数だからまず、一般的には、ｆ(ｘ)＝ａｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄとおくことができます。

与えられた条件から、式を立てていきます。

「ｘ³の係数が１」だから、ａ＝１です。
つまり、ｆ(ｘ)＝ｘ³＋ｂｘ²＋ｃｘ＋ｄです。

あとはそれぞれの条件を一つ一つ表すと、

ｆ(１)＝１＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝２
　　　　　ｂ＋ｃ＋ｄ＝１　……�@

ｆ(−１)＝−１＋ｂ−ｃ＋ｄ＝−２
　　　　　　　ｂ−ｃ＋ｄ＝−１　……�A

ｆ'(ｘ)＝３ｘ²＋２ｂｘ＋ｃ
ｆ'(−１)＝３−２ｂ＋ｃ＝０
　　　　　　−２ｂ＋ｃ＝−３　……�B

�@−�Aより、２ｃ＝２よって、ｃ＝１　……�C

�Cを�Bに代入して、
−２ｂ＋１＝−３よって、ｂ＝２

�@にこれらの値を代入して、２＋１＋ｄ＝１よって、ｄ＝−２

これでａ，ｂ，ｃ，ｄすべてわかりましたね。
というわけで求める式は、

ｆ(ｘ)＝ｘ³＋２ｘ²＋ｘ−２


◆関連項目
ｆ'(２)＝−５などから２次関数ｆ(ｘ)の式を求める問題
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」等式ｆ(ｘ)＋ｘ・ｆ'(ｘ)＝６ｘ2−１０ｘ＋１を満たす２次関数

高校数学「微分」等式ｆ(ｘ)＋ｘ・ｆ'(ｘ)＝６ｘ²−１０ｘ＋１を満たす２次関数


◆問題

等式ｆ(ｘ)＋ｘ・ｆ'(ｘ)＝６ｘ²−１０ｘ＋１を満たす２次関数ｆ(ｘ)を求めよ。



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◆解答解説

等式ｆ(ｘ)＋ｘ・ｆ'(ｘ)＝６ｘ²−１０ｘ＋１を満たす２次関数ｆ(ｘ)を求めよ。

「関数の式がわからないなら、文字でおいてみよう！」という考え方をします。

ｆ(ｘ)＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃとおくと、ｆ'(ｘ)＝２ａｘ＋ｂですね。

これを与式に代入すると、

(左辺)＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＋ｘ(２ａｘ＋ｂ)
　　＝ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＋２ａｘ²＋ｂｘ
　　＝３ａｘ²＋２ｂｘ＋ｃ

右辺と係数比較をすると、

３ａ＝６，２ｂ＝−１０，ｃ＝１

です。
それぞれ解けば、ａ＝２，ｂ＝−５，ｃ＝１ですね。

よって、求める２次関数は

ｆ(ｘ)＝２ａ²−５ｘ＋１


◆関連項目
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」極限値の計算�A

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次の極限値を求めよ。

ｌｉｍ{(−４ｈ＋ｈ²)／ｈ}
^ｈ→０


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◆解答解説

この問題では、ｈが限りなく０に近づくときの式の値を求めます。
前回の問題と同様に、ｈ＝０を代入すると考えて良いですが、今回はそのまま代入すると０／０の不定形になってしまいます。
これを避けるために、まずは約分します。

　ｌｉｍ{(−４ｈ＋ｈ²)／ｈ}
　^ｈ→０
＝ｌｉｍ(−４＋ｈ)
　^ｈ→０

こうなれば、不定形にならずに計算できますね！

＝−４


◆関連項目
ｘ²＋３ｘ＋２を定義に従って微分
公式に従った微分の方法、微分係数
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」極限値の計算�@

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次の極限値を求めよ。

ｌｉｍ(ｘ³−３ｘ²＋２)
^ｘ→−２


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◆解答解説

この問題では、ｘが限りなく−２に近づくときの式の値を求めます。
ｘが限りなく−２に近づくので、実質的にｘ＝−２です。
だから、ｘ＝−２を代入したときの式の値が、極限値となります。

　ｌｉｍ(ｘ³−３ｘ²＋２)
　^ｘ→−２
＝(−２)³−３(−２)²＋２
＝−８−１２＋２
＝−１８

というわけで、求める極限値は−１８です。


◆関連項目
ｘ²＋３ｘ＋２を定義に従って微分
公式に従った微分の方法、微分係数
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」関数ｆ(ｘ)＝ｘ2＋ｘの、ｘ＝１からｘ＝２までの平均変化率

高校数学「微分」関数ｆ(ｘ)＝ｘ²＋ｘの、ｘ＝１からｘ＝２までの平均変化率

関数ｆ(ｘ)＝ｘ²＋ｘの、ｘ＝１からｘ＝２までの平均変化率を求めよ。


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◆解答解説

関数ｆ(ｘ)＝ｘ²＋ｘの、ｘ＝１からｘ＝２までの平均変化率を求めよ。

「平均変化率」というと、難しそうに見えるかも知れませんが、つまりは「変化の割合」です。
中学数学でも登場したアレです。
だから、「平均変化率＝ｙの増加量／ｘの増加量」で求めることができます。

一応高校数学の新たな要素としては、ｘ，ｙの増加量をそれぞれ「Δｘ」「Δｙ」と書くことがある。という程度でしょうか？
とにかく、平均変化率つまり変化の割合を求めていきましょう！

Δｘ＝２−１＝１
Δｙ＝ｆ(２)−ｆ(１)＝４＋２−(１＋１)＝４

よって、求める平均変化率は、

４／１＝４


◆関連項目
ｘが１から１＋ｈまで増加するときの平均変化率
ｘ²＋３ｘ＋２を定義に従って微分
公式に従った微分の方法、微分係数
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」微分係数を定義に従って求める

高校数学「微分」微分係数を定義に従って求める

関数ｆ(ｘ)＝ｘ²−３ｘ＋２のｘ＝１における微分係数を定義に従って求めよ。


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◆解答解説

関数ｆ(ｘ)＝ｘ²−３ｘ＋２のｘ＝１における微分係数を定義に従って求めよ。

定義に従って微分するときは、限りなく近い２点間の平均変化率を求める。つまり、極限値を求める。と考えられます。
この場合はｘ＝１における微分係数だから、１から１＋ｈまでの平均変化率を考えます。

ｌｉｍ[{ｆ(１＋ｈ)−ｆ(１)}／{(１＋ｈ)−１}]
　^h→0

これを計算すればよいです。

ｆ(１＋ｈ)＝(１＋ｈ)²−３(１＋ｈ)＋２
　　　　＝１＋２ｈ＋ｈ²−３−３ｈ＋２
ｆ(１)＝１−３＋２

だから、

＝ｌｉｍ{(ｈ²−ｈ)／ｈ}
　　^h→0
＝ｌｉｍ(ｈ−１)
　　^h→0
＝−１

よって、ｘ＝１における微分係数は−１


◆関連項目
ｘが１から１＋ｈまで増加するときの平均変化率
ｘ²＋３ｘ＋２を定義に従って微分
公式に従った微分の方法、微分係数
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「微分」関数ｙ＝ｘ4−６ｘ2＋５の極値

高校数学「微分」関数ｙ＝ｘ⁴−６ｘ²＋５の極値

関数ｙ＝ｘ⁴−６ｘ²＋５の極値を求めよ。


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◆解答解説

関数ｙ＝ｘ⁴−６ｘ²＋５の極値を求めよ。

極値とは増加減少の切り替わるポイントで、つまりは接線の傾きがゼロのところになります。
接線の傾きは、導関数によって求められます。
というわけで、極値を求める場合もまずは微分します。

ｙ'＝４ｘ³−１２ｘ

導関数の値がゼロの場合だから、イコールゼロで解きます。

４ｘ³−１２ｘ＝０
　ｘ³−３ｘ＝０
　ｘ(ｘ²−３)＝０
　ｘ(ｘ＋√３)(ｘ−√３)＝０
よって、ｘ＝０，±３

あとは増減表を描いて、極大極小を求めていきます。

ｘ	…	−√３	…	０	…	√３	…
ｙ'		０		０		０
ｙ

まずはこのようにｘの値を書いて、その下のｙ'の欄にゼロを入れます。ｙ'＝０で解いたのだから、ｘ＝０，±√３のところはｙ'＝０ですね。
続いて、ｙ'の値を調べて符号がプラスかマイナスかを書き入れます。

ｘ	…	−√３	…	０	…	√３	…
ｙ'	−	０	＋	０	−	０	＋
ｙ

あとはｙ'の符号に従って、ｙの増減を矢印で示し、極大・極小を書き込みます。

ｘ	…	−√３	…	０	…	√３	…
ｙ'	−	０	＋	０	−	０	＋
ｙ	↘	極小	↗	極大	↘	極小	↗

それぞれの極値を計算して完了です。
ｘ＝−√３のとき、ｙ＝(−√３)⁴−６(−√３)²＋５＝９−１８＋５＝−４
ｘ＝０のとき、ｙ＝５
ｘ＝√３のとき、ｙ＝(√３)⁴−６(√３)²＋５＝９−１８＋５＝−４

というわけで、極値は以下のようになります。
ｘ＝０のとき極大値５，ｘ＝±√３のとき極小値−４


◆関連問題
微分積分(数学２)まとめ


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高校数学「図形と方程式」中心が(−２，１)で、ｙ軸に接する円の方程式

高校数学「図形と方程式」中心が(−２，１)で、ｙ軸に接する円の方程式

◆問題

中心が(−２，１)で、ｙ軸に接する円の方程式を求めよ。


円の方程式に関する基本問題です。


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◆解答解説

中心(ａ，ｂ)，半径ｒの円は

(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²

で表されます。

今回の問題では、「中心が(−２，１)で、ｙ軸に接する」という条件になっています。

中心はそのままａ，ｂに入れればＯＫですが、半径は書いていません。
そのかわりに「ｙ軸に接する」という条件が与えられています。

ｙ軸に接するということはもちろん、ｙ軸が接線になります。
接線ならば、接線の性質が成り立ちます。

「中心と接点を結んだ直線は接線と垂直に交わる」という性質がありますね？
この場合はつまり、接点の真横に中心がある。ということができます。

中心は(−２，１)だから、中心と接線との距離は２ですね。
ならば、半径は２です。

というわけで、今回の条件では、ａ＝−２，ｂ＝１，ｒ＝２と読み取ることができます。
あとは代入して完成です！

{ｘ−(−２)}²＋(ｙ−１)²＝２²
(ｘ＋２)²＋(ｙ−１)²＝４


◆関連項目
円の方程式の基本
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」中心が(５，−３)，半径が４の円の方程式

高校数学「図形と方程式」中心が(５，−３)，半径が４の円の方程式

◆問題

中心が(５，−３)，半径が４の円の方程式を求めよ。


円の方程式に関する基本問題です。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

中心(ａ，ｂ)，半径ｒの円は

(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²

で表されます。

今回の問題では、「中心が(５，−３)，半径が４」と与えられているので、そのまま代入すればＯＫですね！

(ｘ−５)²＋{ｙ−(−３)}²＝４²

解答としては、できるだけ簡単な形に直します。

(ｘ−５)²＋(ｙ＋３)²＝１６

これで完成です！


◆関連項目
円の方程式の基本
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」２点(０，１)，(２，３)を直径の両端とする円の方程式

高校数学「図形と方程式」２点(０，１)，(２，３)を直径の両端とする円の方程式

◆問題

２点(０，１)，(２，３)を直径の両端とする円の方程式を求めよ。


円の方程式に関する基本問題です。
この条件から中心の座標を求められるので、(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²を使います。


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◆解答解説

２点(０，１)，(２，３)を直径の両端とする円の方程式を求めよ。

この２点が直径の両端になるということは・・・

中心が・・・

この２点のちょうど真ん中にある！

とわかりますね！

真ん中だから中点です。
つまり、中心の座標は、

ｘ座標：(０＋２)／２＝２／２＝１
ｙ座標：(１＋３)／２＝４／２＝２

ということで、(１，２)です。

半径は、中心と円周上の点との距離だから、(１，２)と(０，１)との距離を求めます。

ｒ＝√{(１−０)²＋(２−１)2}
　＝√(１＋１)
　＝√２

この円の中心は(１，２)、半径は√２であることがわかりました。

この問題では方程式を聞いているので、(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²に代入すると、

(ｘ−１)²＋(ｙ−２)²＝２



◆関連項目
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高校数学「図形と方程式」中心がｙ＝２ｘ上にあり、原点と点(３，１)を通る円の方程式

高校数学「図形と方程式」中心がｙ＝２ｘ上にあり、原点と点(３，１)を通る円の方程式

◆問題

中心がｙ＝２ｘ上にあり、原点と点(３，１)を通る円の方程式を求めよ。


円の方程式に関する少し難しい問題です。
中心に関する情報があるので、(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²を使います。


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◆解答解説

中心がｙ＝２ｘ上にあり、原点と点(３，１)を通る円の方程式を求めよ。

中心がｙ＝２ｘという関数上にあるので、この点の座標を文字でおきます。
中心のｘ座標をａとすると、ｙ＝２ａですね。
つまり、中心の座標は、(ａ，２ａ)となります。
この時点で円の方程式は、

(ｘ−ａ)²＋(ｙ−２ａ)²＝ｒ²

このようになります。
通る点が２ヶ所わかっているので、それぞれ代入してみましょう！

原点(０，０)を代入すると、
(０−ａ)²＋(０−２ａ)²＝ｒ²
ａ²＋４ａ²＝ｒ²
５ａ²＝ｒ²

(３，１)を代入すると、
(３−ａ)²＋(１−２ａ)²＝ｒ²
ａ²−６ａ＋９＋４ａ²−４ａ＋１＝ｒ²
５ａ²−１０ａ＋１０＝ｒ²

これら２つの式を連立して解きます。
右辺がどちらもｒ²で等しいので、左辺同士をイコールで結んで、
５ａ²−１０ａ＋１０＝５ａ²
　　−１０ａ＝−１０
　　　　　ａ＝１

これでａの値がわかりました。
５ａ²＝ｒ²に代入すると、
　５＝ｒ²
　ｒ＝√５

というわけで、求める方程式は、

(ｘ−１)²＋(ｙ−２)²＝５


◆関連項目
円の方程式の基本
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」２点(−５，１)，(２，８)を通り、ｘ軸に接する円の方程式

高校数学「図形と方程式」２点(−５，１)，(２，８)を通り、ｘ軸に接する円の方程式

◆問題

２点(−５，１)，(２，８)を通り、ｘ軸に接する円の方程式を求めよ。


円の方程式に関するもう少し難しい問題です。
中心に関する情報はないように見えますが、(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²を使います。


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◆解答解説

２点(−５，１)，(２，８)を通り、ｘ軸に接する円の方程式を求めよ。

中心に関する情報は書いてないし、円周上の点も２つしかわからない。
「無理！」となってしまう人も多いと思いますが、そんなときこそわかる情報を一つ一つ確認してできることをやっていく。という意識が大切です。

まず円周上の点は(−５，１)と(２，８)この２点がわかっているので、式さえできればこれらの座標をｘ，ｙに代入することができます。

「ｘ軸に接する」ということから何が言えるでしょうか？
円と接線の性質より、中心から接点に引いた半径は接線と垂直に交わる。ということができます。
ｘ軸に対して垂直な線上に中心があるので、つまり、接点の真上に中心がある。と推定できますね！

接点の座標を(ａ，０)とすれば、中心のｘ座標もａです。

さらに、ｘ軸から半径の分だけ上に進んだ点が中心だから、中心のｙ座標は半径と等しくなります。
つまり、半径をｒとすれば、中心の座標は(ａ，ｒ)ですね！

というわけで、円の方程式はまず、

(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｒ)²＝ｒ²

このように表すことができます。
ｘ，ｙに座標を代入すれば、残る文字はａ，ｒだけになるので、連立方程式で解けそうですね。

(−５，１)のとき、
(−５−ａ)²＋(１−ｒ)²＝ｒ²
２５＋１０ａ＋ａ²＋１−２ｒ＋ｒ²＝ｒ²
ａ²＋１０ａ−２ｒ＋２６＝０

(２，８)のとき、
(２−ａ)²＋(８−ｒ)²＝ｒ²
４−４ａ＋ａ²＋６４−１６ｒ＋ｒ²＝ｒ²
ａ²−４ａ−１６ｒ＋６８＝０

これらの連立方程式を解きます。

ａ²＋１０ａ−２ｒ＋２６＝ａ²−４ａ−１６ｒ＋６８
１４ａ＝−１４ｒ＋４２
　　ａ＝−ｒ＋３

これをａ²＋１０ａ−２ｒ＋２６＝０に代入すると、
(−ｒ＋３)²＋１０(−ｒ＋３)−２ｒ＋２６＝０
ｒ²−６ｒ＋９−１０ｒ＋３０−２ｒ＋２６＝０
ｒ²−１８ｒ＋６５＝０
(ｒ−５)(ｒ−１３)＝０
よって、ｒ＝５，１３

ｒ＝５のとき、ａ＝−５＋３＝−２
ｒ＝１３のとき、ａ＝−１３＋３＝−１０

これでａ，ｒがわかりました。あとは方程式を答えて完成ですね！

求める方程式は、(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｒ)²＝ｒ²だったので、これにそれぞれａ，ｒを代入します。

(ｘ＋２)²＋(ｙ−５)²＝５²
(ｘ＋２)²＋(ｙ−５)²＝２５

(ｘ＋１０)²＋(ｙ−１３)²＝１３²
(ｘ＋１０)²＋(ｙ−１３)²＝１６９


◆関連項目
円の方程式の基本
図形と方程式まとめ


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高校数学「図形と方程式」中心がｘ軸上にあり、２点(３，５)，(−３，７)を通る円の方程式

高校数学「図形と方程式」中心がｘ軸上にあり、２点(３，５)，(−３，７)を通る円の方程式

◆問題

中心がｘ軸上にあり、２点(３，５)，(−３，７)を通る円の方程式を求めよ。


円の方程式に関する少し難しい問題です。
中心に関する情報があるので、(ｘ−ａ)²＋(ｙ−ｂ)²＝ｒ²を使います。


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◆解答解説

中心がｘ軸上にあり、２点(３，５)，(−３，７)を通る円の方程式を求めよ。

中心がｘ軸上にあるということは、中心のｙ座標はゼロですね。
だから中心の座標を(ａ，０)と置いてみます。

これを円の方程式に代入すると、

(ｘ−ａ)²＋ｙ²＝ｒ²

このような式が得られます。
これに通る点の座標を代入すれば、文字ｘ，ｙが消えて、ａとｒについての方程式になります。
座標は２ヶ所与えられているので、式を２つ作ることができて、連立すれば解ける。という方針です！
やってみましょう！

(３，５)を代入すると、
(３−ａ)²＋５²＝ｒ²
９−６ａ＋ａ²＋２５＝ｒ²
ａ²−６ａ＋３４＝ｒ²

(−３，７)を代入すると、
(−３−ａ)²＋７²＝ｒ²
９＋６ａ＋ａ²＋４９＝ｒ²
ａ²＋６ａ＋５８＝ｒ²

これら２つの式はとも右辺がｒ²だから、左辺同士をイコールで結ぶことができます。

ａ²＋６ａ＋５８＝ａ²−６ａ＋３４

あとはこの方程式を解きます。

６ａ＋６ａ＝３４−５８
　　１２ａ＝−２４
　　　　ａ＝−２

ａ²−６ａ＋３４＝ｒ²にａ＝−２を代入して、

ｒ²＝(−２)²−６×(−２)＋３４
　＝４＋１２＋３４
　＝５０
よって、ｒ＝√５０＝５√２

求める方程式は、

(ｘ＋２)²＋ｙ²＝５０


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高校数学「指数・対数」指数不等式３2x−７・３x−１８＜０

高校数学「指数・対数」指数不等式３^2x−７・３^x−１８＜０

■　問題

次の不等式を解け。

３^2x−７・３^x−１８＜０


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

３^2x−７・３^x−１８＜０

３のｘ乗についての２次不等式と考えて解いていけばＯＫです！
このままでは混乱しやすいという人は、３^x＝ｔとおいて解いていきましょう！

ｔ²−７ｔ−１８＜０
(ｔ−９)(ｔ＋２)＜０
よって、−２＜ｔ＜９

ｔ＝３^xだから、底が正の数なので真数条件よりｔ＞０ですね。
ということは、−２＜ｔ＜９の範囲のうち有効なのは

０＜ｔ＜９

となります。つまり、

０＜３^x＜９

これに該当するｘの範囲は

ｘ＜２

となります。

ちなみに、３^-1＝１／３，３^-2＝１／９，３^-3＝１／２７，…
だから、ｘの値は負の数になっても０＜ｔ＜９を満たします。


◆関連項目
指数不等式４^x+1−５・２^x＋１＞０
指数・対数まとめ


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高校数学「指数・対数」(−２-1)-3÷２-3×２4

高校数学「指数・対数」(−２^-1)^-3÷２^-3×２⁴

■　問題

次の計算をせよ。

(−２^-1)^-3÷２^-3×２⁴


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■　解答解説

指数がたくさんあって混乱しやすいですね。
基本的にはどこからやっても構いませんが、自分にとって確実なパターンを見つけておいた方がよいです。
ここでは、まず最初に割り算をかけ算に直すところからやっていきます。

(−２^-1)^-3÷２^-3×２⁴

まず割り算をかけ算に直すと、直後の数や式のみを逆数にする、つまり、指数の符号を変えます。

＝(−２^-1)^-3×２³×２⁴

続いてカッコの部分を処理します。
カッコの外に指数があるなら、中の指数とかけ算します。

＝−２³×２³×２⁴

あとは残った部分を普通に計算すればＯＫですね！

＝−２¹⁰
＝−１０２４


ちなみに、与式の後半部分の２^-3×２⁴の部分を最初に約分して２¹にすることはできません。
もしそうすると、２^-3の前の÷の記号を無視して計算することになってしまいますよね？


◆関連項目
指数・対数まとめ


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高校数学「三角関数」三角不等式ｃｏｓ２θ−ｓｉｎθ≦０

高校数学「三角関数」三角不等式ｃｏｓ２θ−ｓｉｎθ≦０

■問題

三角不等式ｃｏｓ２θ−ｓｉｎθ≦０を解け。ただし、０≦θ＜２πとする。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！


■解答解説

三角不等式ｃｏｓ２θ−ｓｉｎθ≦０を解け。

角度の部分が２θとθで揃っていないので、２倍角の公式を使ってまずは揃えます。

ｃｏｓ２θ＝ｃｏｓ²θ−ｓｉｎ²θ
　　　　＝１−２ｓｉｎ²θ

これをｃｏｓ２θに代入すると、

１−２ｓｉｎ²θ−ｓｉｎθ≦０

これで比較的簡単な２次不等式になりました。
あとは普通に解いていきます。

２ｓｉｎ²＋ｓｉｎθ−１≧０
(２ｓｉｎθ−１)(ｓｉｎθ＋１)≧０
よって、ｓｉｎθ≦−１，ｓｉｎθ≧１／２

これらは、この２次不等式を満たすサインの値の範囲が、ｓｉｎθ≦−１，ｓｉｎθ≧１／２であることを意味しています。

あとは、これらの式からθの値の範囲を求めます。

ｓｉｎθ≦−１より、θ＝(３／２)π
ｓｉｎθ≧１／２より、π／６≦θ≦(５／６)π

よって求めるθの範囲は、θ＝(３／２)π，π／６≦θ≦(５／６)π


◆関連項目
加法定理、２倍角の公式
三角関数の相互関係
三角関数まとめ


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高校数学「指数・対数」５-3log52

高校数学「指数・対数」５^-3log₅2

■　問題

次の値を求めよ。

５^-3log₅2


解答解説はこのページ下に


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■　解答解説

５^-3log₅2の値を求めるので、まずはコレをｘとおいてみましょう！

５^-3log₅2＝ｘ

このようにおくと、指数と対数の関係から、この式を変形することができますね。

ａ^b＝ｃならばｌｏｇ_aｃ＝ｂだから、これと同様に考えると、

ｌｏｇ₅ｘ＝−３ｌｏｇ_５２

このように変形できます。
両辺が底が３の対数になったので、基本的な対数方程式と考えることができます。
つまり、両辺を同じ形にしてｘの値を求めていきます。

ｌｏｇ₅ｘ＝ｌｏｇ₅２^-3
ｌｏｇ₅ｘ＝ｌｏｇ₅(１／８)
よって、ｘ＝１／８


◆関連項目
次の式の値を求めよ。３^2log₃4
対数の公式、指数・対数まとめ


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