2021年02月08日

高校数学「微分」定義に従った微分f(x)=1/x^2

高校数学「微分」定義に従った微分f(x)=1/x^2

■ 問題

「定義に従って次の関数を微分せよ。f(x)=1/x^2」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 定義に従わずに解いちゃう

 A (x+凾)−xを計算する

 B f(x+凾)−f(x)を計算する

 C lim{f(x+Δx)−f(x)}/Δxを計算する


このときは何をすればよいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


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■ 選択肢の解答

 C lim{f(x+Δx)−f(x)}/Δxを計算する

 実は「定義に従った微分」自体は数学2の範囲です(笑)
 「2点間の距離が限りなく近い」つまり「凾→0」のときの「平均変化率(=接線の傾き)」を求めるのが「微分」です。
 平均変化率は変化の割合なので、yの増加量/xの増加量で求めることができます。
xはxからx+凾まで増加するので、xの増加量は(x+凾)−x=凾、yはf(x)からf(x+凾)まで増加するので、yの増加量はf(x+凾)−f(x)となります。これらを単純に分母と分子においた場合の極限が微分。というわけです。


■ 解答解説

f(x)=1/x^2をlim[Δx→0][{f(x+凾)−f(x)}/凾肋に当てはめてみると

 lim[Δx→0][{1/(x+凾)^2−1/x^2}/Δx]

このブログでは計算の途中経過は省略します。

=−2/x^3


この問題は次の書籍のP.21に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
x^2+3x+2を定義に従って微分せよ。


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2021年01月31日

高校数学「場合の数・確率」基本的な条件つき確率

高校数学「場合の数・確率」基本的な条件つき確率

■ 問題

 「3本の当たりくじが入っている15本のくじがある。AさんとBさんが順に1本ずつこのくじを引くとき、Aさんが当たりを引いたときの、Bさんが当たりを引く条件付き確率を求めよ」


このときは何をすればよいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢


@ 15本中3本が当たりだから、3/15の2乗

A 15本中2本が当たりだから、3C2/15C2

B Aさんが当たりを引く確率とBさんが当たりを引く確率を掛ける

C Aさんが当たりを引いたなら、当たりが1本減っていて、全体の本数も1本減っているので、残りの本数で当たる確率を求める


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■ 選択肢の解答

C Aさんが当たりを引いたなら、当たりが1本減っていて、全体の本数も1本減っているので、残りの本数で当たる確率を求める

 基本的な条件付き確率では、ある事柄が起こったその時点をスタートラインと考えて、確率を考えれば大丈夫です。
 この場合なら、「Aさんが当たりを引く」という事象が終わった後に、「Bさんが当たりを引く」確率を聞いています。Bさんが引く時点では、当たりは14本中2本になっています。この「残りの本数」で求めた確率が、「Aさんが当たりだったときにBさんが当たりを引く条件付き確率」です。


■ 解答解説

Aさんが当たりを引いているので、Bさんが引く時点で、当たりは残り2本、全体は14本だから、求める条件付き確率は、

2/14=1/7


この問題は次の書籍のP.53に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
順列・組み合わせ反復試行
場合の数・確率まとめ


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2021年01月24日

高校数学「数列」「等差と等比の積」(2n−1)・3^(n-1)

高校数学「数列」「等差と等比の積」(2n−1)・3^(n-1)

◆問題
次の数列の和Snを求めよ。
Sn=1・1+3・3+5・3^2+7・3^3+……+(2n−1)・3^(n-1)


解答解説はこのページ下へ!


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◆解答解説
このような等差数列等比数列の積の形の数列の和を求めるときは、「公比を掛けて1個ずらして引く」ことをします。

Sn=1・1+3・3+5・3^2+7・3^3+……+(2n−1)・3^(n-1)

は、全ての項が(等差数列)×(等比数列)の形になっています。
等差数列の部分は、1,3,5,7,…
等比数列の部分は、1,3,3^2,3^3,…
となっていますね。
これらのうち、等比数列の方の公比は3なので、Snに3をかけると、

3Sn=1・3+3・3^2+5・3^3+7・3^4+……+(2n−3)・3^(n-1)+(2n−1)・3^n

このように書くことができますね。
両辺に3を掛けたので、等比数列の部分の指数が1ずつ増えています。
これをSnから引くと、式の大部分が等比数列になってしまいます。

   Sn=1・1+3・3+5・3^2+7・3^3+……+(2n−1)・3^(n-1)
−)3Sn=    1・3+3・3^2+5・3^3+7・3^4+……+(2n−3)・3^(n-1)+(2n−1)・3^n
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
 −2Sn=1・1+2・3+2・3^2+2・3^3+2・3^4+……+2・3^(n-1)−(2n−1)・3^n

こうすると、赤色の部分は、初項が6,公比が3、項数がn−1の等比数列の和になっていますね。
だから、赤色の部分には等比数列の和の公式を普通に使って、

−2Sn=1+6{3^(n-1)−1}/(3−1)−(2n−1)・3^n
−2Sn=1+3・{3^(n-1)−1}−(2n−1)・3^n
−2Sn=1+3^n−3−2n・3^n+3^n

あとはまとめて両辺を−2で割ります。

−2Sn=2・3^n−2n・3^n−2
  Sn=−3^n+n・3^n+1
  Sn=3^n・(n−1)+1


◆関連問題
数列1・3,2・4,3・5,・・・の初項から第n項までの数列の和Snを求めよ。


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2021年01月23日

高校数学「場合の数・確率」1枚のコインを10回連続で投げるとき

高校数学「場合の数・確率」1枚のコインを10回連続で投げるとき

■ 問題

   「1枚のコインを10回連続で投げるとき、表が2回だけ出る確率を求めよ」


このときは何をすればよいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢


 @ 表が出る確率は1/2,裏が出る確率も1/2なので、1/2の10乗

 A 表が2回、裏が8回だから、1/2の10乗。
  更に、表が出るのは10回中2回だから、10C2を掛ける

 B 表が2回、裏が8回だから、1/2の10乗。
  更に、表が出るのは10回中2回だから、2/10を掛ける

 C 10回中2回が表だから、2/10


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■ 選択肢の解答

 A 表が2回、裏が8回だから、1/2の10乗。
  更に、表が出るのは10回中2回だから、10C2を掛ける

 まず、コインは(特に何も条件がなければ)表が出る確率も裏が出る確率も1/2です。
 表が2回出るのは1/2の2乗です。裏が8回出るのは1/2の8乗です。これらは同時に起こるので掛けて、1/2の10乗。と考えるのが基本です。
 ただし、これだけでは、「1回目と2回目が表、残りの8回が裏」などの、ある一つの特定の出方の確率を求めただけになってしまいます。
 2回の表の出方は、もちろん「1回目と2回目」の場合もありますが、「1回目と3回目」とか「2回目と5回目」とか、「9回目と10回目」かも知れませんね。これらの場合どれでも「10回中2回表」には違いありません。
 これらの表の出方が、「10回中2回」なので、10C2通りある。のです。


■ 解答解説

 いわゆる「反復試行」の問題ですね。前ページの解説では、1/2の10乗と
表と裏をまとめてしまいましたが、最初に立てる式としては、2乗と8乗に分けて書くのが普通です。

 (1/2)^2・(1/2)^8・10C2
=(1/2)^10・(10・9)/(2・1)
=(5・9)/2^10
=45/1024


この問題は次の書籍のP.45に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
順列・組み合わせ反復試行
場合の数・確率まとめ


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2021年01月22日

高校数学(用語)「部分分数分解」

高校数学(用語)「部分分数分解」

★部分分数分解(partial fraction decomposition)

分数式の積を分数式の差に分解すること。

例えば、

1/(2・3)=1/2−1/3
1/x(x+1)=1/x−1/(x+1)
1/(2・5)=(1/3)(1/2−1/5)

など。
最初はこんなことができるのが不思議に思うはずです。まずは上記のような例を実際に計算して、本当にイコールになることを確認してみると良いと思います。

主に、分数式の数列の和を求めるときに、この部分分数分解をします。
部分分数分解をすると、隣り合う項同士が相殺し合って、最初と最後だけが残ることがあります。
そうなれば、数列の和は分解された分数の最初と最後を足したものになる。というわけで、とても簡単に計算することができるのですね。


◆関連項目
数列の和
数列まとめ


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2021年01月21日

高校数学「場合の数・確率」4人でじゃんけんをするとき

高校数学「場合の数・確率」4人でじゃんけんをするとき

■ 問題

  「4人でじゃんけんを1回するとき、2人が勝つ確率を求めよ」


このときは何をすればよいでしょうか?(複数選択)
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 4人中2人が勝つから、2/4

 A 4人中2人が勝つから、その2人の選び方は4C2

 B 4人中2人が負けるから、その2人の選び方は4C2

 C 勝った人の手の出し方は、3通り

 D 4人とも3通りの手の出し方があるから、3の4乗


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■ 選択肢の解答

 A 4人中2人が勝つから、その2人の選び方は4C2
 C 勝った人の手の出し方は、3通り
 D 4人とも3通りの手の出し方があるから、3の4乗

 確率の分母は「全体の場合の数」なので、特に条件なく、4人の手のパターン全てを考えます。4人とも、グー、チョキ、パーの3通りずつの出し方があるので、4の3乗通りの出し方があります。
 分子は、「そのときの場合の数」なので、「2人が勝つ」場合を考えます。
まず、「4人のうち誰が勝つか」を考えます。4人中2人を選ぶので、4C2通りです。
 次に、その勝った人はグー、チョキ、パーのうちどれで勝ったかを考えます。3通りの勝ち方があります。
 そして「そのときの場合の数」/「全体の場合の数」とすればいいですね!


■ 解答解説

 まず、分母は「全ての場合の数」なので、3の4乗です。
 分子は「そのときの場合の数」で、誰が勝つかの選び方が4C2,勝った人の手の出し方はグー、チョキ、パーのうちのどれかなので3通り。これらは同時の事柄なので掛ける。と考えて・・・

 (4C2・3)/3^4
=[{(4・3)/(2・1)}・3]/3^4
=(2・3^2)/3^4
=2/9   ←約分した


この問題は次の書籍のP.41に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
順列・組み合わせ場合の数・確率まとめ


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2021年01月19日

高校数学「因数分解」「たすき掛け」2x^2+x−10

高校数学「因数分解」「たすき掛け」

この記事では、2次式の因数分解の「たすきがけ」のやり方を解説します。

2x^2+x−10

のように、xの2乗の項に係数がついているときに、たすきがけをする。と考えると良いです。
では、「たすきがけをする」というのは、具体的にどうすればいいでしょうか?
「2x^2+x−10」の場合でやってみましょう!

@a,c,bの順に係数を書く

まず、少しスペースを取って、適当な長さの横線を書き、その下にax^2+bx+cの係数をa,c,bの順に書きます。

  スペース

――――――――――
 2 −10  1


Aa,cの上に、それぞれの因数を書く

aの上には「掛けたらaになる2つの数」を、cの上には「掛けたらcになる2つの数」を書きます。

 2   5
  ×
 1  −2
――――――――――
 2 −10  1


Bたすきに掛けて合計bになれば完成!

線の上に並んだ4の数のうち、左上と右下、左下と右上の組み合わせでかけ算をし、その結果をそれぞれbの数の上に書きます。

 2   5= 5
  ×
 1  −2=−4
――――――――――
 2 −10  1

かけ算して出てきたbの上の数の合計がbの値と一致すれば、その組み合わせが正しい因数分解の係数と定数になる。というわけです。
この式の場合は、

2x^2+x−10=(2x+5)(x−2)

となります!


なお、Aで書いた数の組み合わせが一発で合うとは限らないので、Bの段階で合わなかったら、Aに戻って別パターンを考えてまたBを試す。というように、慣れるまでは、AとBを何度も行ったり来たりする必要があると思います。最初はすごく大変に感じると思いますが、練習すれば、このくらいの数字ならすぐに見つかるようになります。しっかり練習しましょう!


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高校数学(用語)「分散」「標準偏差」

高校数学(用語)「分散」「標準偏差」

★分散(variance)

データの分析において、各データの偏差の2乗の平均を分散という。

偏差は平均との差なので、平均より大きい値はプラスになり、平均より小さい値はマイナスになります。
だから偏差は合計するとゼロになってしまいますが、2乗すれば全て正の数となり、データのばらつき度合いを表すことができます。


★標準偏差(standard deviation)

分散の正の平方根のこと。

標準偏差の単位は、もとのデータの単位と同じになるので、分散よりもばらつき度合いのイメージが掴みやすいと考えられます。
相関係数を求めるには、共分散と標準偏差を利用します。


◆関連項目
階級値最頻値中央値、共分散、相関係数
データの分析まとめ


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2021年01月17日

高校数学「場合の数・確率」5人の円順列

高校数学「場合の数・確率」5人の円順列

■ 問題

  「A,B,C,D,Eの5人が円卓を囲んで座るとき、全部で何通りの場合の数があるか求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
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■ 選択肢

 @ 5人が全員並ぶから、5の階乗

 A 5人から5人全員選ぶから、5C5

 B 同じ並びで回転しただけの場合は同じ事象だから、5の階乗から
  それらを除外して5で割る

 C よくわからないけど(5−1)!


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■ 選択肢の解答

 B 同じ並びで回転しただけの場合は同じ事象だから、5の階乗から
  それらを除外して5で割る

 「円順列は(n−1)の階乗」と覚えている人も多いと思いますが、どうしてそうなるのかも理解しておいた方が良いです。
 まず、5人全員を並べるから、その場合の数は5の階乗です。
 5人の並びそのものは同じで、5人全員の位置が回転しただけのものが、それぞれ5通りずつあります。その5通りをそれぞれ除外するので、5で割ります。
 n個の円順列の場合は、回転して同じになる場合がn通りずつあるので、nの階乗をnで割るから(n−1)の階乗となるのです。



■ 解答解説

 では実際に計算してみましょう。

「5人の円順列」なので、(5−1)の階乗です。。

(5−1)!=4!
     =4×3×2×1
     =24通り


この問題は次の書籍のP.25に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
順列・組み合わせ円順列場合の数・確率まとめ


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2021年01月15日

高校数学(用語)「同じものを含む順列」

高校数学(用語)「同じものを含む順列」

★同じものを含む順列(permutation with repetition)

1,1,2,2の4つの数字を使って4桁の整数を作る場合など、同じものを含む順列を考える場合は、

(全部の階乗)/(それぞれの階乗の積)

場合の数を求めることができます。

1,1,2,2の例の場合ならば、全部で4文字なので、

全てを区別する場合の数は4!

1が2個、2が2個はそれぞれ区別しないので、それらを除外するために2!×2!で割る。

だから、

4!/(2!・2!)=(4・3・2・1)/(2・1・2・1)=6通りとなります。

「同じものを含む順列」の代表例としては他には、格子状の道の通り方、たくさんのもののグループ分けなどがあります。


◆関連項目
場合の数順列場合の数・確率まとめ


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2021年01月14日

高校数学(用語)「確率」

高校数学(用語)「確率」

★確率(probability)

ある事象が起こる度合いを確率といい、確率は

(確率)=(その事象の場合の数)/(全体の場合の数)

で求めることができる。


一応強調しておくと、「確立」ではなく「確率」です。

多くは変換ミスだと思いますが、「サイコロを1個降って1が出る確立は1/6」などと表記している人がいます。正しくは「サイコロを1個振って1が出る確率は1/6」ですね。


ちなみに、「サイコロ」というと普通は6面体のサイコロを指しますが、実は8面体や12面体などいろいろあります。



◆関連項目
場合の数場合の数・確率まとめ


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高校数学「数列」まとめ

高校数学「数列」まとめ

高校数学2Bの数列に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆ 公式・解き方・考え方

「初項」「末項」「公差」「公比」
一般項
数列の和
等差数列
等比数列
等比数列の和
等差数列と等比数列
Σの公式
階差数列
部分分数分解
群数列
漸化式で表された等差数列
漸化式で表された等比数列
等差と等比の複合の漸化式


数列の解き方・考え方の習得に活用してください!



◆ 問題

●等差数列
等差数列の一般項を求めよ。
等差数列の和を求めよ。
初項が3,公差が2である等差数列
a=−29,d=3の等差数列
等差数列{an}について、a3=10,a6=22のとき、一般項を求めよ。
11,a,−3がこの順に等差数列をなすとき、aの値を求めよ。

●等比数列
初項が2,公比が3の等比数列の一般項anを求めよ。
初項が2,公比が3の等比数列の和Snを求めよ。
初項が5,公比が2である等比数列の、第5項から第10項までの和を求めよ。
第3項が27,第6項が−729である等比数列の一般項を求めよ。
初項が2,公比が3の等比数列の初項から第5項目までの和を求めよ。

●Snに関する問題
数列anの和Snが、Sn=n^2+5nで表されるとき、anを求めよ。
Sn=3^n−1のとき、この数列の一般項anを求めよ。
数列{an}の初項から第n項までの和Snと一般項anの関係式がan=2Sn+2n−3で表されるとき

●いろいろな数列
数列1・3,2・4,3・5,・・・の初項から第n項までの数列の和Snを求めよ。
次の数列の和Snを求めよ。Sn=1・1+3・3+5・3^2+7・3^3+……+(2n−1)・3^(n-1)
一般項がan=n・2^(n-1)で表される数列の初項から第n項までの和Snを求めよ。
群数列1|2,3|4,5,6|7,8,9,10|11,……
a1=1,an+1=an/3an+4で定められる数列{an}の一般項を1/an=bnのおきかえを利用して求めよ。

●漸化式
等比数列の漸化式an+1=−2an
階差数列の漸化式a1=−1,an+1=an+3n
an+1=3an−2,a1=2で表される数列の一般項を求めよ。

●数学的帰納法
数学的帰納法を用いて、次の等式を証明せよ。1+4+7+……+(3n−2)=(1/2)n(3n−1)


リクエストがあればお気軽にどうぞ!


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2021年01月13日

高校数学「座標平面」「重心」

高校数学「座標平面」「重心」

★重心(center of gravity)

座標平面上の三角形の重心の求め方は、とにかく「座標の平均」です。
頂点の座標を用いて、それぞれの座標を平均して求めます。

座標平面において、重心をG,三角形の頂点の座標をA(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)とすると、

G=((x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3)

となります。

つまり、座標平面なら、x座標、y座標それぞれを平均すればOKです。

座標空間ならば、x座標、y座標だけでなくz座標も同様に平均すれば重心の座標になってしまいます。

さらに、座標だけでなくベクトルでも、同じ考え方で重心を求めることができると覚えておくといいでしょう!


◆関連項目
物理における「重心」


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2021年01月12日

高校数学(用語)「条件付き確率」

高校数学(用語)「条件付き確率」

★条件付き確率(conditional probability)

事象Aが成り立っているときの事象Bの確率PA(B)を条件付き確率という。

条件付き確率は「PA(B)=P(A∩B)/P(A)」という式で表される。


P(A∩B)は「AとBが両方起こる確率」、P(A)は「Aが起こる確率」なので、

PA(B)は「AとBが両方起こる確率」から「Aが起こる確率」を除外した。と考えることもできます。


意味を考えれば、公式は自ずと導かれますが、実際の問題では判断しにくいことも多いので、「PA(B)=P(A∩B)/P(A)」に代入する。という考え方をした方が実用的かも知れません。
ある程度問題練習をして、自分なりのとらえ方を身につけておくことをおすすめします!


◆関連項目
場合の数、確率、場合の数・確率まとめ


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2021年01月07日

高校数学(用語)「反復試行」

高校数学(用語)「反復試行」

★反復試行(repeated trials)

サイコロやコインを投げる場合など、毎回の場合の数や確率が変わらない試行を繰り返すことを反復試行という。


くじを連続で引く場合は、全体の枚数が減っていくので反復試行ではありませんが、「引いて確認して戻す」場合は、毎回全体の数が変わらないので反復試行になります。
「反復試行」に当てはまる事象は、サイコロやコインの場合だけとは限らないので、問題文の記述をしっかり読み取って、何が当てはまるかを常に考えるようにしていきましょう!


関連問題→1個のサイコロを5回投げるとき、奇数の目が2回出る確率を求めよ。


◆関連項目
場合の数、確率、場合の数・確率まとめ


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2021年01月06日

高校数学(用語)「垂線」

高校数学(用語)「垂線」

★垂線(vertical line)

ある直線に対して垂直に交わる線を垂線という。


垂線は垂直なので、当然垂直条件が成り立ちます。

直線の式の傾きを用いて垂直条件を表すと、

mm'=−1

です。
通常はmがもとの直線の傾き、m'が垂線の傾きですが、とにかく「傾きを掛けたら−1」です。

ベクトルを使った垂直条件は、

→a・→b=0

です。
つまり「内積がゼロ」です。

問題の設定に応じて、使いやすい方を使う。という意識を持っておくと、使えるときに気づくようになると思います。


◆関連項目
直線の公式y−y1=m(x−x1)ベクトルの平行条件・垂直条件


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2021年01月04日

高校数学「場合の数・確率」3桁の整数を作るとき

高校数学「場合の数・確率」3桁の整数を作るとき

■ 問題

  「9枚のカードに1〜9の異なる数字が一つずつ書かれている。
  これらのカードの中から無作為に3枚取りだして3桁の整数を作るとき、
  何通りの整数ができるか求めよ。」



このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 9枚から3枚だから、9×3

 A 9枚から3枚だから、9C3

 B 9枚から3枚だから、9P3

 C 9枚のカードを並べるから9!


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、基礎から医学部など満点を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 B 9枚から3枚だから、9P3

 「9枚から3枚取り出して、整数を作る」ということは「取り出して並べる」ことを意味します。
 例えば、123と132は別の整数ですね。このように「順番が違うと別の事象となる」場合は順列となり、Pの計算をする。というわけです。
 9P3は、「9から順に3個の数字を掛ける」計算をします。


■ 解答解説

 では実際に計算してみましょう。

「9枚から3枚取り出して並べる」ので、9P3です。

9P3=9×8×7
  =504通り



この問題は次の書籍のP.5に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
順列・組み合わせ


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2020年12月31日

高校数学「三角比」「面積」2辺とその挟む角がわかっているとき

高校数学「三角比」「面積」2辺とその挟む角がわかっているとき

■ 問題

  「∠A=60°,b=4,c=6の三角形ABCの面積を求めよ。」

このときはまず最初に何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 4×6÷2

 A 底辺をbとして高さを求める

 B 底辺をcとして高さを求める

 C どれでもない


★★ お知らせ ★★

AE個別学習室(えまじゅく)水戸教室では、「大学入試共通テスト」の対策授業を行っています。従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、基礎から医学部など満点を目指す人まで、理系文系全科目の指導が可能です。
マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 選択肢の解答

 C どれでもない

 直角三角形でない三角形で面積を問われたら、三角比の単元で習う面積の公式S=(1/2)bc・sinAを使うのが標準的です。
 何らかの方法で底辺と高さがわかる場合は、もちろん「底辺×高さ÷2」でやってみてもよいです。


■ 解答解説

S=(1/2)bc・sinAに、b=4,c=6,A=60°を代入すると、

S=(1/2)×4×6×sin60°
S=12×√3/2
S=6√3


この問題は次の書籍のP.25に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや、類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連問題
三角比の値
サインかコサインがわかっているとき


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2020年12月26日

高校数学(用語)「余事象」

高校数学(用語)「余事象」

★余事象(complementary event)

ある事象について、その事象に当てはまらない事象のこと。


例えば、「サイコロ1個をふるとき、出目が1である」という事象の余事象は「1ではない目が出る」つまり「2〜6の目が出る」です。

要するに「〜ではない」が余事象と理解しておけば良いと思います。

「少なくとも〜」の場合の数・確率を求める場合は、そのまま求めるよりも、余事象の場合を計算して、全体から引いた方が簡単な場合が多いです。

関連問題→2個のさいころを同時に投げるとき、少なくとも1個は4以下の目が出る確率コイン1枚を4回連続で投げて、表が少なくとも1回出る確率


◆関連項目
場合の数、確率、場合の数・確率まとめ


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2020年12月24日

高校数学(用語)「点と直線の距離」

高校数学(用語)「点と直線の距離」

★点と直線の距離(distance from a point to a line)

点と直線の距離dは、直線ax+by+c=0,点(x1,y1)を用いて、次のように表すことができます。

d=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)

要するに分子は「直線の式に座標を代入したもの」の絶対値、分母は「直角を挟む2辺がxの係数とyの係数となる直角三角形の斜辺」です。

注意点としては、直線はy=ax+bの形ではなくax+by+c=0の形にしなければいけない。というところだと思います。
(自分の生徒でもy=ax+bのまま代入して間違う人は多いです)


また、原点の座標は(0,0)なので、原点と直線の距離は

d=|c|/√(a^2+b^2)

となってしまうことも把握しておくと良いでしょう。


◆関連項目
直線の公式y−y1=m(x−x1)2点間の距離、垂直な直線


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こんなヤツです
名前:江間淳
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職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
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