2019年12月19日

高校数学「対数方程式」B

高校数学「対数方程式」B

■ 問題

対数方程式log[2](x+3)+log[2]x=2を解け。


■ 選択肢

この問題を解くためには、まず最初に何をすればいいでしょうか?

@左辺は足し算なので、log[2](x+3+x)=2よりlog[2](2x+3)とする
A左辺は足し算なので、log[2]{(x+3)x}よりlog[2](x^2+3x)とする
Blogは無視して、2(x+3)+2x=2とする
Cとりあえず両辺を2乗する


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



■ 選択肢の解答

A左辺は足し算なので、log[2]{(x+3)x}よりlog[2](x^2+3x)とする

log[a]b+log[a]c=log[a]bc
つまり、「対数の足し算は真数のかけ算」です。


■ 解答解説

方程式を解くときは、まずはじめに、できるだけ簡単な形にするのが大原則です。

対数は2個以上あると、指数と対数の関係式a^b=cならばlog[a]c=bを使うのが難しいので、できるだけ1個にすることを考えます。
そのために、log[a]b+log[a]c=log[a]bcが使える。というわけです。

log[2](x+3)+log[2]x=2
    log[2](x^2+3x)=2

ここで、指数と対数の関係より、x^2+3x=2^2です。あとはこれを解いて、

  x^2+3x=4
x^2+3x−4=0
(x+4)(x−1)=0
よって、x=−4,1

ここで注意が必要です。
対数方程式の場合、「真数条件」を考えなければいけない場合があります。
「真数条件」とは、「底が正の数ならば真数も正の数」ということです。
「底が2ならば、2を何乗してもマイナスにはならない」ですよね?2乗したら4,3乗したら8,−1乗は1/2,−2乗は1/4などなど。

今回の問題では、与式の真数は、x+3とxなので、これらがともに正の数でなければいけません。
つまり、x+3>0,x>0です。これらの共通範囲はx>−3なので、x=−4,1のうちx=−4は不適です。

よって、この方程式の解はx=1ですね!

log[2](x+1)=3は、2^3=x+1と書き直すことができますね。
あとはこれを普通に解けばOKです。

2^3=x+1
 8=x+1
 x=8−1
 x=7


次の問題→対数の2次方程式
前の問題→log[2](x+1)=3


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ラベル:数学
posted by えま at 18:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数方程式」A

高校数学「対数方程式」A

対数方程式log[2](x+1)=3を解け。


前回の問題より少し難しいですが、やはり、対数と指数の関係がわかっていれば簡単な問題です。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


指数と対数の間には、

a^b=cならばlog[a]c=b
(aのb乗はc) (底がa,真数がcの対数はb)

という関係が成り立ちます。

log[2](x+1)=3は、2^3=x+1と書き直すことができますね。
あとはこれを普通に解けばOKです。

2^3=x+1
 8=x+1
 x=8−1
 x=7


次の問題→対数の足し算を含む方程式
前の問題→log[5]x


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posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数方程式」@

高校数学「対数方程式」@

対数方程式log[5]x=2を解け。


対数と指数の関係がわかっていれば簡単な問題です。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


指数と対数の間には、

a^b=cならばlog[a]c=b
(aのb乗はc) (底がa,真数がcの対数はb)

という関係が成り立ちます。

log[a]cはすなわち、「aをcにするには何乗か?」を意味します。

今回の問題の「log[5]x=2」は、「5をxにするには2乗する」を意味します。

だから、x=25ですね。

または、指数と対数の関係より、

x=5^2=25

と考えることもできます。


次の問題→log[2](x+1)=3


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posted by えま at 09:10| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「対数関数」A

高校数学「対数関数」A

関数y=(log[2]x)^2−log[2](x^4)+6について、次の問いに答えよ。
(1) t=log[2]xとして、与式をtで表せ。
(2) 1≦x≦8のとき、yの最大値・最小値を求めよ。



1≦x≦8のとき、tの範囲がどうなるかに気をつけて、普通に最大最小をやればOKです。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


(1)から、t=log[2]xとすると、y=t^2−4t+6であることがわかっています。
この関数の最大最小を求めたい。という問題です。

y=t^2−4t+6は、tの2次関数になっているので、2次関数の最大最小を普通にやればOK!というわけです。
すなわち、まずは平方完成ですね!

y=t^2−4t+6
 =(t−2)^2−4+6
 =(t−2)^2+2

よって、t=2のときy=2が頂点です。

1≦x≦8なので、0≦log[2]x≦3すなわち0≦t≦3です。
t=2はこの範囲に入っていて、t^2の係数はプラスなので、下に凸の放物線だから、頂点が最小値です。

さらに、t=log[2]xより、log[2]x=2すなわち、x=4のとき最小値2

定義域の両端のうち、頂点から遠い方が最大値なので、t=0すなわち、x=1のとき、最大値6

となります。


前の問題→log[2]xをtで表す


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posted by えま at 00:26| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年12月18日

高校数学「対数関数」@

高校数学「対数関数」@

関数y=(log[2]x)^2−log[2](x^4)+6について、次の問いに答えよ。
(1) t=log[2]xとして、与式をtで表せ。


単純に置き換えるだけ・・・ですが、計算法則をちゃんと考えないと危ないかも知れません。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。


y=(log[2]x)^2−log[2](x^4)+6を、t=log[2]xとしてtで表すだけの設問です。
特に難しいことはありませんが、log[2](x^4)はt^4ではないことに注意してください。

真数の指数は対数の係数なので、

log[2](x^4)=4・log[2]x=4t

です。
ということで、

y=t^2−4t+6


次の問題→yの最大最小


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posted by えま at 16:50| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年12月14日

高校数学「常用対数」「桁数」A

高校数学「常用対数」「桁数」A

(1/5)^10を小数で表した場合、小数第何位にはじめて0でない数が現れるか求めよ。ただし、log[10]2=0.3010とする。


前回の問題は底が1より大きかったので掛ければ掛けるほど値が大きくなるから「何桁の数か?」でした。今回の問題は底が1より小さいので、掛ければ掛けるほど値が小さくなっていきます。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



「何桁の数か?」でも「小数第何位に初めて0でない数が現れるか?」でも、やることは基本的に同じです。
まずは常用対数の値を求めます。

 log[10]{(1/5)^10}
=10・log[10](1/5)

問題文にはlog[10]2の値しか書いてないので、1/5を2で表すことを考えます。
底は10なので、10と2を使って表せば、最終的にlogを消すことができます。
ならば・・・1/5=2/10としてみると良さそうですね!

=10・log[10](2/10)
=10(log[10]2−log[10]10) ←真数の割り算は対数の引き算
=10(0.3010−1)
=10×(−0.6990)
=−6.99

前回の問題と同様に、ここで基本的な値から確認してみましょう。

10^(-1)=0.1
10^(-2)=0.01

これらの間の値を考えてみると、10^(-1.5)は、0.1と0.01の間の値なので、小数第2位に初めて0でない数が現れます。

今回の問題でも同様に考えてみると、

−7<−6.99<−6

なので、小数第7位に初めて0でない数が現れる。ということがわかります。


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posted by えま at 15:16| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「常用対数」「桁数」@

高校数学「常用対数」「桁数」@

3^50は何桁の数か求めよ。ただし、log[10]3=0.4771とする。


底が10の対数を「常用対数」と言います。常用対数の値がわかれば、その数字の桁数がわかります。


解答解説はこのページ下


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まずは常用対数の値を求めてみます。

 log[10](3^50)
=50・log[10]3
=50×0.4771
=23.855

常用対数の値が23.855になったということは、3^50=10^23.855です。

念のためここで簡単な例を思い出してみましょう。

10^1=10よって、指数が1のときは2桁
10^2=100よって、指数学2のときは3桁

10^1.5を考えてみると、10より大きく100より小さいので、2桁であることがわかります。
つまり、指数の値が1以上2未満ならその数は2桁と推定できます。

今回の問題では

23≦23.855<24

だから、24桁ですね!


次の問題→底が1より小さいとき


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2019年12月12日

高校数学「指数対数」「対数の足し算」A

高校数学「指数対数」「対数の足し算」A

log[2]12+log[2](1/3)を計算せよ。


前回の問題よりも少し難しいですが、まだまだこのくらいは基本です。
やはり、対数の計算法則に従って変形します。


解答解説はこのページ下


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対数の計算は、そのままではやりにくい場合が多いので、まず最初にできるだけ簡単な形に直すようにします。

log[2]12は、「2を12にするには何乗か?」を表します。
しかし、2を何乗しても、わかりやすい数の指数では12にはなりません。
log[2](1/3)もそれ単独では直すことが難しいですね。

つまり、前回の問題のように、それぞれ直して足す。という方法はできない。と考えられます。

そんなときは別の公式を使うことを考えます。

log[a]b+log[a]c=log[a]bc

です。
つまり、「対数の足し算は真数のかけ算」を意味します。
底が等しい対数の足し算をひとつの対数にまとめるときは、2つの対数の真数をかけ算すればよいのです。

 log[2]12+log[2](1/3)
=log[2](12×1/3)
=log[2]4
=2

ですね!


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高校数学「指数対数」「対数の足し算」@

高校数学「指数対数」「対数の足し算」@

log[2]8+log[2]4を計算せよ。


対数の計算の基本的な問題ですね。
念のため言っておきますが、log[2]12ではありません。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



対数の計算は、そのままではやりにくい場合が多いので、まず最初にできるだけ簡単な形に直すようにします。

log[2]8は、「2を8にするには何乗か?」を表すので、log[2]8=3です。

8=2^3だから、log[2]8=log[2](2^3)=3log[2]2=3と考えてもよいです。
これは「真数の指数を対数の係数に」して、「log[2]2=1」と変形しました。

log[2]4も同様にすると、log[2]4=2です。
ということは、

log[2]8+log[2]4=3+2=5


このように、それぞれの対数を簡単な形に直せるときは、直してから足し算するのがノーマルな解き方です。


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高校数学「指数対数」「変換」

高校数学「指数対数」「変換」

次の式の値を求めよ。3^(2log[3]4)


「3の2log[3]4乗」です。
指数部分が対数になっていて、一見すると手に負えないように見えると思いますが、意外と簡単です。


解答解説はこのページ下


解法の習得に役立つ問題集です。



指数と対数の関係は次のように表されます。

a^b=c (aをb乗したらcになる)

これを対数で表すと

log[a]c=b (aをcにするにはb乗する)

当然どちらも同じa,b,cで成り立ちます。

今回の問題も、この関係を利用して変形できます。

求める式の値をkとすると、

3^(2log[3]4)=k

と表せますね。
a=3,b=2log[3]4,c=kなので、これを対数で表すと、

log[3]k=2log[3]4

対数の係数は真数の指数なので、2log[3]4=log[3]16です。

log[3]k=log[3]16

よって、k=16

つまり、「3^(2log[3]4)の値は16」ということがわかりました。


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2019年12月11日

高校数学「三角関数」「三角方程式」「2倍角」A

高校数学「三角関数」「三角方程式」「2倍角」A「三角関数の合成」

三角方程式2√3(cosx)^2−2sinxcosx=√3を解け。ただし、0≦x<2πとする。


前回の記事では、2倍角の公式を使って、式を変形しました。
その続きです。


解答解説はこのページ下


三角関数の解き方が身につく!と好評です!


前回の記事で、与式は

√3(cos2x+1)−sin2x=√3

と変形できることがわかりました。
この状態ではまだサインとコサイン両方があって計算しにくいので、どちらか片方に統一することを考えます。

サインもコサインも1次式なので・・・

三角関数の合成をすることができますね!

asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)・sin(θ+α)

このように変形するやつです。
この公式を使うために、asinθ+bcosθの形にしてみましょう!

 √3(cos2x+1)−sin2x=√3
√3・cos2x+√3−sin2x=√3
 −sin2x+√3・cos2x=0  ←√3を相殺した

これでasinθ+bcosθの形になりました。
a=−1,b=√3なので、α=(2/3)πです。よって、

√(1+3)・sin{2x+(2/3)π}=0
     sin{2x+(2/3)π}=0

サインの値がゼロになるのは、0°,180°ですね。

また、0≦x<2πより、(2/3)π≦2x+(2/3)π<(14/3)πです。

ということは、2x+(2/3)πは、π,2π,3π,4πの4通りあります。
それぞれ解いてみると、

2x+(2/3)π=πよりx=π/6
2x+(2/3)π=2πよりx=(2/3)π
2x+(2/3)π=3πよりx=(7/6)π
2x+(2/3)π=4πよりx=(5/3)π

つまり、x=π/6,(2/3)π,(7/6)π,(5/3)π


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2019年12月10日

高校数学「三角関数」「三角方程式」「2倍角」@

高校数学「三角関数」「三角方程式」「2倍角」@

三角方程式2√3(cosx)^2−2sinxcosx=√3を解け。ただし、0≦x<2πとする。


大学入試レベルでは、このくらいの難易度が標準的ということができると思います。


解答解説はこのページ下


三角関数の解き方が身につく!と好評です!


与式には異なるタイプの項があるので、まずは一つにまとめる必要があります。
できそうな事がいろいろあって迷うと思いますが、

2sinxcosxに注目すると・・・

2倍角の公式が使えるかも?とひらめく人もいると思います。

2sinxcosx=sin2x・・・@と置き換えることができますね。

ならば、最初の2√3(cosx)^2も、2倍角を使って表せないかな?と考えてみると・・・

cos2x=(cosx)^2−(sinx)^2
     =2(cosx)^2−1

なので、2(cosx)^2=cos2x+1・・・Aとすることができます。

@,Aを与式に代入すると、

√3(cos2x+1)−sin2x=√3

このような式が得られます。


つづく→解答解説後半


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高校数学「三角関数」「三角不等式」「タンジェント」

高校数学「三角関数」「三角不等式」「タンジェント」

三角不等式tanx<1を解け。ただし、0≦x<2πとする。


タンジェントの不等式は、見た目上の範囲が3つになってしまう場合があります。


解答はこのページ下


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まずは、tanx=1を解いて境界線を出します。
tax=1となるのは、45°45°90°の形になるときだから、45°=π/4と225°=(5/4)πです。

問題の式はtanx<1なので、この境界線のときの値よりもtanxの値が小さくなるときを答えます。

まず、45°の方について考えると、45°よりも上にいくとtanxの値は大きくなり、45°よりも下にいくとtanxの値は小さくなります。

下にいくのはどこまででも行けるかというとそうでもありません。
tan270°は無限大になってしまうので、値なしです。そして、tan270°の右はマイナス、左はプラスとなります。tanxは270°において不連続なので、45°より下で、270°より上であることがわかります。
さらに、0≦x<2πなので、この「45°より下で、270より上」の範囲は、「0≦x<45°」と「270°<x<360°」に分けられます。

次に225°の方について考えます。
いくつかのtanxの値を考えるなどして、判断すると、225°より上に行くとtanxの値は小さくなります。
そして90°のところは270°と同様に無限大です。
だから90°をまたいだ範囲になることはありません。
つまり、こちら側は90°<x<225°

まとめると、

0≦x<45°,90°<x<225°,270°<x<2π

ラジアンに直して、

0≦x<π/4,π/2<x<(5/4)π,(3/2)π<x<2π


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高校数学「数列」「漸化式」「等差と等比の複合」

高校数学「数列」「漸化式」「等差と等比の複合」

an+1=3an−2,a1=2で表される数列の一般項を求めよ。


この数列は要するに、次の項にいくたびに3を掛けてから2を引きます。






an+1=3an−2

次の項にいく度に「3倍して2を引く」ということは、等比数列の性質もあり、等差数列の性質もある。ということができます。

このように複合した性質を持つ場合は、そのままでは公式が適用できないので、まずは変形することを考えます。
この等差数列と等比数列の複合の場合は、

an+1−α=p(an−α)

の形にします。
こうすれば、an−α=bnとおいて、bnは等比数列になるので、一般項が表せる。というわけです。

まずはこのαとpを求めるために、an+1−α=p(an−α)を変形します。

an+1−α=p(an−α)
 an+1=p・an−pα+α

単に展開して移項しただけです。
これで与式と同じになりました。

an+1=3an−2と比較すると、

p=3,−pα+α=−2

P=3を−pα+α=−2に代入して、
−3α+α=−2
 −2α=−2
   α=1

よって、与式はan+1−1=3(an−1)と変形できます。

括弧の中身つまり、an−1=bnとおけば、さらに

bn+1=3bn

となります。
これは「次の項に行く度に3を掛ける」ので、公比が3の等比数列です。
初項はan−1=bnより、a1−1=b1だから、b1=2−1=1です。

よって、bnは初項が1,公比が3の等比数列なので、

bn=1・3^(n-1)
  =3^(n-1)

ここでもう一度an−1=bnを使います。

an−1=3^(n-1)
  an=3^(n-1)+1

これで完成です!


関連項目
漸化式の基本的な方法


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ラベル:数学
posted by えま at 14:41| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「空間のベクトル」「2点間の距離」

高校数学「空間のベクトル」「2点間の距離」

座標空間上の2点A(2,−1,3),B(3,2,1)間の距離を求めよ。


空間でも2点間の距離なら三平方の定理ですね!







空間上の2点間の距離は、要するに「直方体の対角線」と同じになります。

x方向にどれだけ移動するか?・・・x2−x1
y方向にどれだけ移動するか?・・・y2−y1
z方向にどれだけ移動するか?・・・z2−z1

が、直方体の3辺の長さになりますね。
だから、

d=√{(x2−x1)^2+(y2−y1)^2+(z2−z1)^2}

が直方体の対角線であり、2点間の距離だ。というわけです。

今回の問題では、A(2,−1,3),B(3,2,1)なので、

d=√{(3−2)^2+(2+1)^2+(1−3)^2}
 =√(1+9+4)
 =√14

A,B間の距離は、|→AB|でもあることも頭に入れておきましょう!


関連問題
→AB
空間のベクトルの平行


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posted by えま at 08:32| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「空間のベクトル」「座標→ベクトル」

高校数学「空間のベクトル」「座標→ベクトル」

座標空間上の2点A(2,−1,3),B(3,2,1)について、 →ABを求めよ。


ベクトルABは、AからBに進むことを考えます。






空間でも平面でも、→ABは「AからBに行くにはどの方向にどれだけ移動するか」を表すので、
空間のベクトルでも、平面のベクトルと同様に、座標を使って「終点−始点」でベクトルを求めることができます。

A(2,−1,3),B(3,2,1)の2点を、x座標同士、y座標同士、z座標同士で引き算します。

→AB=(3−2,2+1,1−3)=(1,3,−2)


関連問題
空間における2点間の距離
空間のベクトルの平行


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posted by えま at 08:18| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年12月07日

高校数学「空間のベクトル」「平行条件」

高校数学「空間のベクトル」「平行条件」

3点A(2,−1,3),B(3,2,1),C(a,b,5)について、 A,B,Cが一直線上にあるようにa,bの値を定めよ。


空間の場合は、図で表すのも難しいので、ベクトルの平行条件を考えるとよいと思います。







ベクトルの平行条件は空間でも平面と同様に、

k・→a=→b

です。
要するに、「片方のベクトルを何倍かしたら、もう片方のベクトルと一致する」です。

3点が一直線上にあるならば、その3点を使って作った2つのベクトルは平行になり、平行ならば当然平行条件を満たす。というわけです。

まずは与えられた3点を用いて、2つのベクトルを作ってみましょう!(→ABの求め方)
3点A(2,−1,3),B(3,2,1),C(a,b,5)
 →AB
=(3−2,2+1,1−3)
=(1,3,−2)

 →AC
=(a−2,b+1,5−3)
=(a−2,b+1,2)

これらが平行なので、

k・→AB=→AC
k(1,3,−2)=(a−2,b+1,2)
(k,3k,−2k)=(a−2,b+1,2)

このイコールが成り立つためには、x成分、y成分,z成分がそれぞれ等しいので、

k=a−2,3k=b+1,−2k=2

という式ができます。これらを連立して解けば、a,bがわかって、解決!ですね。

−2k=2
  k=−1

−1=a−2
−a=−2+1
−a=−1
 a=1

−3=b+1
−b=1+3
−b=4
 b=−4

ということで、求めるa,bの値は、

a=1,b=−4


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posted by えま at 16:19| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年11月12日

高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」A

高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」A

点A(2,3)を通り、ベクトル→d=(4,1)に平行な直線の媒介変数表示を求め、直線の式を求めよ。ただし、媒介変数をtとする。


媒介変数表示を求めるところまではこちらで解説しています。
直線の式はtを消去した形です。


解説はこのページ下


センター過去問もチェックしておきましょう!



前回の解説で、求めるベクトルの媒介変数表示は、x=2+4t,y=3+tであることがわかりました。

ここからtを消去すれば直線の式になります。
消去するには、どちらかの式をtについて解いて、もう片方に代入すればOKですね。

 y=3+t
−t=3−y
 t=y−3

これをx=2+4tに代入して、

x=2+4(y−3)
x=2+4y−12
x=4y−10

ここで終わりでもダメではありませんが、直線の式の一般形の形に直しておいた方がよいです。つまり、移項して

x−4y+10=0


関連問題
→a=(1,2),→b=(2,−3)


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posted by えま at 12:03| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」@

高校数学「ベクトル」「媒介変数」「平行な直線」@

点A(2,3)を通り、ベクトル→d=(4,1)に平行な直線の媒介変数表示を求めよ。ただし、媒介変数をtとする。


Aからスタートして、→dの向きに進む。というイメージで考えるとわかりやすいです。


解説はこのページ下


センター過去問もチェックしておきましょう!




Aを出発点にして、→dに平行に移動するので、

A+t・→d

というイメージで求めることができます。

A(2,3),→d=(4,1)なので、

(x,y)=(2,3)+(4t,t)=(2+4t,3+t)

よって、x=2+4t,y=3+t


つづく→tを消去した式


関連問題
→a=(1,2),→b=(2,−3)


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posted by えま at 11:22| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2019年11月08日

高校数学「微分」「接線の方程式」

高校数学「微分」「接線の方程式」

y=x^3の接線のうち、(1,0)を通るものの方程式を求めよ。


接線といえば微分です。


解説はこのページ下


今回の問題は、この書籍のP.29にも掲載されています。



微分すると、接線の傾きが出てきます。
だから、接線の方程式を求めたければ、与式を微分します。

y=x^3だから、y'=3x^2

これがy=x^3の接線の傾きを表す式だ。というわけです。

(1,0)はこの関数上の点ではないので、接点のx座標をtとおくと、接線の傾きはy'=3t^2、接点の座標は(t,t^3)となります。

あとはこれらの情報を直線の式y−y1=m(x−x1)に代入して、

y−t^3=(3t^2)(x−t)

この点が(1,0)を通るので、x,yに代入して、

0−t^3=(3t^2)(1−t)
−t^3=3t^2−3t^3
2t^3−3t^2=0
t^2(2t−3)=0
よって、t=0,3/2

t=0のとき、
y−0=0×(x−0)
  y=0

t=3/2のとき
y−(3/2)^3={3(3/2)^2}(x−3/2)
y−27/8=(27/4)(x−3/2)
     y=(27/4)x−81/8+27/8
     y=(27/4)x−54/8
     y=(27/4)x−27/4


関連問題
y=x^3+x^2−2上の点(−1,−2)における接線の方程式


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